Ch ứng minh rằng có thể vẽ một đường tròn màu đỏ bán kính 1 cm trên mặt cái bánh c ốm chứa ít nhất 3 hạt vừng ở bên trong... T ỉnh A có 4 khu công nghiệp khác nhau và có 7 doanh nghiệp[r]
(1)SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH HƯNG YÊN
HƯNG YÊN NĂM HỌC 2008 – 2009
MƠN TỐN – Lớp 12
Thời gian 180 phút (không kể thời gian giao đề)
Câu 1: (3,0 điểm)
a) Giải bất phương trình: ( ) ( ) ( ) ( )
2
3 log log 11
x− x − < x− x+ +
b) Giải hệ phương trình:
2009 cos cos 2009 cos cos 2009 cos cos
x y z
y z x
z x y
+ = +
+ = +
+ = +
Câu 2: (2,5 điểm)
a) Tìm tất giá trị m để phương trình sau có nghiệm:
cos cos
4 x+ −2 x− =1 m, với m tham số
b) Cho a, b, c số thực dương tùy ý thỏa mãn điều kiện a + b + c = Tìm giá
trị lớn biểu thức:
2 2
ab bc ca
M
c ab a bc b ca
= + +
+ + +
Câu 3: (3,5 điểm)
a) Trong khơng gian Oxyz tìm phương trình mặt phẳng (R) qua hai điểm M(-4; -9; 12), A(2; 0; 0) cắt trục Oy, Oz hai điểm B, C cho OB – = OC (B, C không trùng với gốc tọa độ O)
b) Giả sử tồn hình nón ( ) thỏa mãn điều kiện sau: Thiết diện qua trục tam giác cạnh a
Hình cầu S1 nội tiếp hình nón có bán kính r1
Hình cầu S2 nằm hình nón, tiếp xúc với tất đường sinh tiếp xúc với hình cầu S1; hình cầu S3 nằm trong hình nón, tiếp xúc với tất đường sinh tiếp xúc với hình cầu S2; … hình cầu S2009 nằm hình nón, tiếp xúc với tất đường sinh tiếp xúc với hình cầu S2008 Gọi Vk thể tích hình cầu Sk (k∈N,1≤ ≤k 2009) V thể tích hình nón
i) Tính r1 theo a tỷ số
V V
ii) Tính 2009
1
k k
V
=
∑ theo a Câu 4: (1,0 điểm)
Trong bảng hình vng gồm 10 x 10 vng (10 hàng, 10 cột), người ta viết vào ô vụông số tự nhiên từ đến 100 theo cách sau: hàng thứ nhất, từ trái sang phải, viết số từ đến 10; hàng thứ hai, từ trái sang phải, viết số từ 11 đến 20; hết hàng thứ 10 Sau cắt bảng hình vng thành hình chữ nhật cỡ x x Tính tích sở hai số hình chữ nhật cộng 50 tích lại Cần phải cắt bảng hình vng để tổng tìm nhỏ nhất?
……….Hết………
Họ tên thí sinh:………Số báo danh:………Phòng thi:……… Chữ ký giám thị số 1:………
(2)SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH HƯNG YÊN
HƯNG YÊN NĂM HỌC 2007 – 2008
MƠN TỐN – Lớp 12
Thời gian 180 phút (không kể thời gian giao đề)
Câu 1: (2,5 điểm)
a/ Giải hệ phương trình:
3
2
log log 10
x y
e e x y
x
y
− = −
+ =
b/ Hãy xác định số nghiệm phương trình (ẩn x) sau:
2008 2007 2006
x− + x− = x−
Câu 2: (3,5 điểm)
a/ Cho tam giác ABC có A(2; -1) đường phân giác góc B,C có phương trình: x – 2y + = 0; x + y + = Lập phương trình đường thẳng chứa BC
b/ Trong khơng gian Oxyz cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có A(0;0;0), B(1;0;0), D(0;1;0), A’(0;0;1) Giải sử M, N hai điểm di động đoạn thẳng AB’ BD cho AM = BN = a (0< <a 2)
+) Tính toạ độ vectơ MN theo a
+) Tìm a cho đường thẳng chứa MN đường vng góc chung hai đường thẳng AB’ BD
Câu 3: (2,0 điểm)
a/ Tìm nghiệm nguyên phương trình: 2
5x +2y +10x+4y=6 b/ Các số thực dương x, y, z thoả mãn điều kiện: 2
3
x + + =y z Chứng minh rằng: xy yz zx
z + x + y ≥
Câu 4: (2,0 điểm)
a/ Cho phương trình: ( *) 0,
n n
x +x + + + − =x x∈N Chứng minh phương trình có nghiệm dương gọi nghiệm xn Tìm limxn n → ∞
b/ Trên mặt bánh cốm (màu xanh) hình vng có cạnh cm có 51 hại vừng Chứng minh vẽ đường trịn màu đỏ bán kính cm mặt bánh cốm chứa hạt vừng bên
……….Hết………
Họ tên thí sinh:………Số báo danh:………Phịng thi:……… Chữ ký giám thị số 1:………
(3)SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH HƯNG YÊN
HƯNG YÊN NĂM HỌC 2006 – 2007
MƠN TỐN – Lớp 12
Thời gian 180 phút (không kể thời gian giao đề)
Câu 1: (1,5 điểm)
Cho hàm số ( )
2
8
1 m
x mx m
y C
x
+ − + =
−
Tìm đường thẳng qua điểm cực đại, điểm cực tiểu đồ thị hàm số (Cm) tiếp xúc với đường trịn có phương trình: x2+ − +y2 6x 2my−3m2+4m+ =5 0
Câu 2: (1,0 điểm)
Tỉnh A có khu cơng nghiệp khác có doanh nghiệp khác mốn vào đầu tư khu cơng nghiệp Tỉnh A muốn chọn từ khu cơng nghiệp, doanh nghiệp xếp doanh nghiệp vào đầu tư khu cơng nghiệp (Mỗi khu cơng nghiệp có doanh nghiệp vào đầu tư) Hỏi có cách xếp vậy?
Câu 3: (2,0 điểm) a/ Tính giới hạn:
1
.2
lim
x x
x x
→
− −
b/ Tính tích phân: 200
0
1 cos x dx
π
+
∫
Câu 4: (2,0 điểm)
a/ Tìm tất nghiệm nguyên (x; y) phương trình: 2x2− − + + =xy 7x 3y 7 0
b/ Giải phương trình: tg(πs inx)=
c/ Giải hệ phương trình: ( )( ) ( )
( )( ) ( )
2
2
1
1
x y y x
y x x y
− + = +
− + = +
Câu 5: (1,0 điểm) Một kiến xuất phát từ đỉnh A muốn leo đến đỉnh C’ hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ Hỏi kiến phải leo theo đường ngắn nhất; có đường ngắn (Hình lập phương đáy ABCD có mặt kín nhựa đặt mặt bàn phẳng)
Câu 6: (2,0 điểm) Cho tứ diện OABC có góc tam diện vng đỉnh O, P điểm chuyển động đáy ABC Tìm giá trị nhỏ biểu thức:
2 2
2 2
PA PB PC
T
OA OB OC
= + +
……….Hết………
Họ tên thí sinh:………Số báo danh:………Phịng thi:……… Chữ ký giám thị số 1:………
(4)SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH HƯNG YÊN
HƯNG YÊN NĂM HỌC 2005 – 2006
MÔN TOÁN – Lớp 12
Thời gian 180 phút (không kể thời gian giao đề)
Câu 1: (3,0 điểm)
a/ Giải bất phương trình: 2
3
x − + +x x − + ≥x x − +x
b/ Cho ( ) ( ) ( ) ( )
.sin sin sin ; os
n n
P x =x α−x nα + n− α Q x =x − x c α+ Chứng minh
rằng Pn(x) chia hết cho Q(x) với ∀ ∈α R ∀ ∈n N n, ≥2 Câu 2: (2,0 điểm)
a/ Giải phương trình: x! + y! + z! = t! (với x, y, z, t số tự nhiên)
b/ Giải phương trình: 3sin2 sinx 3sinx 4 sin4
2
x− − − = − x−π
Câu 3: (1,0 điểm)
Cho dãy số nguyên dương {an} thoả mãn điều kiện: an>an−1.an+1, ∀ ∈n N*
Tính giới hạn: 2
1
1
lim
x
n
n
n a a a
→∞
+ + +
Câu 4: (1,5 điểm) Chứng minh rằng:
1
0
1
1
n n
i n i
C
i n
+
=
− =
+ +
∑ Trong ký hiệu
1
0
n
i n
i
a a a a
=
= + + +
∑
Câu 5: (1,0 điểm) Cho đường tròn tâm O cắt ba cạnh BC, CA, AB tam giác ABC tương ứng A1 A2, B1 B2, C1 C2 Gọi x, y, z tương ứng đường thẳng qua A1, B1, C1 vng góc với BC, CA, AB; gọi x’, y’, z’ tương ứng đường thẳng qua A2, B2, C2 vng góc với BC, CA, AB Chứng minh x, y, z đồng quy x’, y’, z’ đồng quy
Câu 6: (1,5 điểm) Trong mặt phẳng toạ độ cho đường tròn (C) có phương trình:
2
9
x + =y Tìm m để đường thẳng y = m có điểm cho từ điểm kẻ tiếp tuyến đến (C) cặp tiếp tuyến tạo thành góc 450
……….Hết………
Họ tên thí sinh:………Số báo danh:………Phòng thi:……… Chữ ký giám thị số 1:………
(5)SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH HƯNG YÊN
HƯNG YÊN NĂM HỌC 2004 – 2005
MƠN TỐN – Lớp 12
Thời gian 180 phút (không kể thời gian giao đề)
Câu 1: (2,0 điểm)
Cho hàm số y x ( )C x
= +
a/ Tìm điểm A, B tương ứng thuộc nhánh đồ thị (C) cho AB ngắn b/ Gọi d1, d2 cặp tiếp tuyến song song đồ thị hàm số (C) Hãy tìm cặp tiếp tuyến cho khoảng cách chúng lớn
Câu 2: (1,0 điểm) Cho ( )
2 *
0
1 n ,
n
I =∫x −x dx n∈N Hãy tính lim n
x n
I I
+ →∞
Câu 3: (2,0 điểm) Giả sử phương trình
ax
x − + + =x b có nghiệm thực phân biệt Chứng minh a2+ >3b 0
Câu 4: (3,0 điểm) Cho tứ diện SABC Hai điểm I, J thứ tự chuyển động AB, AC cho: AB AC
AI + AJ = Chứng minh mặt phẳng (SIJ) qua đường thẳng
cố định
Câu 5: (2,0 điểm) Cho dãy số {Un} xác định sau:
( )
1
2
1
ln 2005
2
n n
U R
U + U
∈
= + −
với
*
n∈N Chứng minh dãy số {Un} có giới hạn hữu hạn
……….Hết………
Họ tên thí sinh:………Số báo danh:………Phòng thi:……… Chữ ký giám thị số 1:………
(6)SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH HƯNG YÊN
HƯNG YÊN NĂM HỌC 2003 – 2004
MƠN TỐN – Lớp 12
Thời gian 180 phút (không kể thời gian giao đề)
Câu 1: (3,0 điểm) Cho hàm số 2ax
1
b y
x x
+ =
+ +
a/ Tìm a, b để hàm số có cực trị
b/ Tìm a, b để hàm số có cực đại cực tiểu
c/ Với a = 1, chứng minh rằng: ∀ ∈b R, đồ thị hàm số có điểm uốn thẳng hàng Lập phương trình đường thẳng
Câu 2: (2,0 điểm)
a/ Biết
3
1
ln
os2
2 x
c α dx
−
=∫ Hãy tìm sinα
2 π π α< <
b/ Cho số nguyên m≥2 cho n∈N* Chứng minh rằng:
( )
1
1
5 cos s inx
4
n n
km k
x n dx
=
+ <
∑
∫
Câu 3: (2,0 điểm)
a/ Giải phương trình lượng giác:
2 4
s inx+ s in x s in x s in x+ + =cosx+cos x+cos x+cos x
b/ Chứng minh tam giác ABC ta ln có:
1 1
t cot cot cot
sin sin sin 2 2 2
A B C A B C
g tg tg g g g
A B C
+ + = + + +
Câu 4: (2,0 điểm) Trong không gian với hệ toạ độ Đề-Các trực chuẩn Oxyz cho đường thẳng (d) mặt phẳng (P) có phương trình là:
( ) ( )
1
:
1 2
:2
x y z
d
P x y z
+ = − = − − − + − =
a/ Tìm toạ độ giao điểm A đường thẳng (d) với mặt phẳng (P) Tính góc đường thẳng (d) mặt phẳng (P)
b/ Viết phương trình hình chiếu vng góc (d’), đường thẳng (d) mặt phẳng (P) Lấy điểm B nằm đường thẳng (d) cho AB = a, với a số dương cho
trước Xét tiử số AB AM
BM
+ với điểm M di động mặt phẳng (P) Chứng tỏ rằng,
tồn vị trí M để tỉ số đạt giá trị lớn giá trị nhỏ Câu 5: (1,0 điểm) Cho số x, y dương Chứng minh rằng:
2001 2003
2001 2003
2004 2000
x x
x y x y
y y
− −
+ ≥ +
……….Hết………