Đang tải... (xem toàn văn)
Để xác định miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn ta lần lượt tìm miền nghiệm của từng bất phương trình.. Dựa vào đồ thị suy ra miền nghiệm của hệ là miền không bị gạch bỏ[r]
(1)Phần
BẤT ĐẲNG THỨC
GIÁ TRỊ LỚN NHẤT - GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT
Phần BẤT ĐẲNG THỨC GTLT - GTNN 1
Chủ đề BẤT ĐẲNG THỨC
Dạng Chứng minh BĐT dựa vào định nghĩa tính chất
Dạng Chứng minh BĐT dựa vào BĐT Cauchy (AM-GM)
Dạng Chứng minh BĐT dựa vào BĐT Cauchy Schwarz 11
Dạng Chứng minh BĐT dựa vào BĐT C.B.S 12
Dạng Chứng minh BĐT dựa vào tọa độ vectơ 13
Dạng Bất đẳng thức giá trị tuyệt đối 14
Dạng Sử dụng phương pháp làm trội 15
Dạng Ứng dụng BĐT để giải PT, HPT, BPT 16
Bài tập trắc nghiệm chủ đề 1: Bất đẳng thức 18
Chủ đề GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT 21
Dạng Dùng tam thức bậc hai 21
Dạng Dùng BĐT Cauchy 22
Dạng Dùng BĐT C.B.S 24
Dạng Dùng BĐT chứa dấu giá trị tuyệt đối 25
Dạng Dùng tọa độ vectơ 26
Bài tập trắc nghiệm chủ đề 2: GTLN-GTNN 27
BÀI TẬP TỔNG HỢP PHẦN 29
(2)BẤT ĐẲNG THỨC
1 Tính chất:
Điều kiện Nội dung
Cộng hai vế với số a < b a + c < b + c (1)
Bắc cầu a < b b < c a < c (2)
Nhân hai vế c > a < b ac < bc (3a)
c < a < b ac > bc (3b)
Cộng vế theo vế BĐT chiều a b a c b d c d
(4)
Nhân vế BĐT biết dương: a > 0, c >
0
0
a b
ac bd c d
(5)
Nâng lên lũy thừa với n
Mũ lẻ 2n 2n
a b a b (6a)
Mũ chẵn 0a b a2n b2n (6b)
Lấy hai vế
0
a a b a b (7a)
a a b a 3b (7b)
Nghịch đảo
a, b dấu a b 1 1
a b
(8a)
a, b khác dấu a b 1 1
a b
(8b)
Lưu ý:
Khơng có qui tắc chia hai bất đẳng thức chiều Ta nhân hai vế bất đẳng thức biết chúng dương Cần nắm vững đẳng thức đáng nhớ cách biến đổi
2 Bất đẳng thức cạnh tam giác:
Với a, b, c độ dài ba cạnh tam giác, ta có:
a b c , , 0 a b cab
b c abc ca b c a
3 Bất đẳng thức giá trị tuyệt đối: x x x , với số thực x
x 0; x x x; x, với số thực x
x a a xavới a
x a x ahoặc x với a a
Định lí: a, b ta có: a b a b a b
Tóm tắt lí thuyết
1
(3)4 Bất đẳng thức trung bình cộng trung bình nhân (Bất đẳng thức Cơ-si hay AM-GM)
Định lí: Với hai số khơng âm a, b ta có:
2
a b ab
hay a b 2 ab hay
2
2
a b
ab
Dấu “=” xảy a = b
Hệ 1: Nếu hai số dương thay đổi có tổng khơng đổi tích chúng lớn
khi hai số
Tức với hai số dương a, b có a + b = S khơng đổi thì:
2
max
2 ( )
4 4
S S
ab S ab ab , đạt a = b
Ý nghĩa hình học: Trong tất hình chữ nhật có chu vi hình vng có diện tích lớn
Hệ 2: Nếu hai số dương thay đổi có tích khơng đổi tổng chúng lớn
khi hai số
Tức với hai số dương a, b có a b = P khơng đổi thì:
min
2 ( ) 2
ab P ab P, đạt a = b
Ý nghĩa hình học: Trong tất hình chữ nhật có diện tích hình vng có chu vi nhỏ
Mở rộng:
① Với số a, b, c không âm, ta có:
3
3
a b c
abc
hay
3
a b c abc hay
3
3
a b c
abc
Dấu “=” xảy a = b = c
② Với n số a1, a2, a3, …, an khơng âm, ta có: 1 3
n n
n
a a a a
a a a a n
Dấu “=” xảy a1 = a2 = a3 = … = an
5 Bất đẳng thức Bunhiacôpxki (chứng minh trước dùng) Dạng tổng quát:
Cho 2n số thực tùy ý a1, a2, …, an, b1, b2, …, bn,khi đó:
Dạng 1: 2 2 2
1 2 2
(a b a b a bn n) (a a an)(b b bn)
Dấu “=” xảy
1
n n
a
a a
b b b
Dạng 2: 2 2 2
1 2 n n ( n)( n)
a b a b a b a a a b b b
Dấu “=” xảy
1
n n
a
a a
b b b
Dạng 3: 2 2 2
1 2 n n ( n)( n)
a b a b a b a a a b b b
Dấu “=” xảy
1
n 0
n
a
a a
b b b
Hệ quả:
Nếu a x1 1a x2 2 a xn n số thì: c
2
2 2
1 2 2
1 2
min( )
n n
n n
x
x x
c
x x x
a a a a a a
(4) Nếu 2 2
1 n
x x x c số thì:
2 2
1 2
max(a x a x a xn n) c a a an
1
n 0
n
x
x x
a a a
2 2
1 2
max(a x a x a xn n) c a a an
1
n 0
n
x
x x
a a a
Trường hợp đặc biệt:
Cho a, b, x, y số thực, ta có:
Dạng 1: 2 2
(ax by ) (a b )(x y ) Dấu “=” a b
x y
Dạng 2: 2 2
( )( )
ax by a b x y Dấu “=”a b
x y
Dạng 3: 2 2
( )( )
ax by a b x y Dấu “=” a b 0
x y
Dạng Chứng minh BĐT dựa vào định nghĩa tính chất
A PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Để chứng minh AB định nghĩa, ta lựa chọn theo hướng sau: Hướng Chứng minh A B – 0
Hướng Thực phép biến đổi đại số để biến đổi bất đẳng thức ban đầu bất đẳng thức
Hướng Xuất phát từ bất đẳng thức
Hướng Biến đổi vế trái vế phải thành vế lại
Chú ý: Với hướng hướng công việc thường biến đổi A B thành tổng đại lượng –
không âm Và với bất đẳng thức A B cần dấu “=” xảy ? – 0
B BÀI TẬP MẪU
VD 1.1 Cho a b c d, , , số thực Chứng minh bất đẳng thức sau:
① 2
2
a b ab ② 2
1
a b ab a b
③ 2
a b c abbcca ④ Nếu a 1
b
a a c
b b c
⑤ 3 2
( )
a b a bb aab ab ⑥ 2 2 2
( ) ( )
a x b y a b xy
(5)
C BÀI TẬP CƠ BẢN VÀ NÂNG CAO
1.1 Cho a b c d, , , số thực Chứng minh bất đẳng thức sau:
① 2
3 2( )
a b c a b c ② 2
2( )
a b c abbcca
③
2
2 4
a
b c ab ac bc
④ 4 2
1 2 ( 1)
a b c a a b a c
⑤ 2 2 2
(1 ) (1 ) (1 ) 6
a b b c c a abc ⑥ 2 2
( )
a b c d e a b c de
⑦ 1 1 1 1 1 1
abc ab bc ca , với a b c , , 0⑧ a b c ab bc ca, với
, , 0
a b c
1.2 Cho a b c d, , , số thực Chứng minh bất đẳng thức sau:
①
3
3
2 2
a b a b
, với a b , 0 ②
4 3
a b a bab
③
3 4
a a ④ 3
a b c abc, với a,b,c
⑤
6
4
2
a b
a b
b a
, với a, b ⑥
2
3 2 2
a a
⑦ 1 2 1 2 2
1a 1b 1ab , với a b , 1 ⑧
5 4 2
(6)1.3 Cho a b c d e , , , , Chứng minh a2b2 2ab (1) Áp dụng bất đẳng thức (1) để chứng minh các bất đẳng thức sau:
① 2
(a 1)(b 1)(c 1)8abc ② 2 2
(a 4)(b 4)(c 4)(d 4)256abcd
③ 4 4
4
a b c d abcd
1.4 Cho a b c , , Chứng minh a2b2c2ab bc ca (2) Áp dụng bất đẳng thức (2) để chứng minh bất đẳng thức sau:
① 2
(a b c)3(a b c ) ② 4
( )
a b c abc a b c
③
(a b c) 3(abbcca) ④
2
2 2
3 3
a b c a b c
⑤
3 3
a b c ab bc ca
, với a b c , , 0 ⑥ 4
a b c abc, với a b c 1
1.5 Cho a b c d , , , 0 Chứng minh rằng: a 1
b
a a c
b b c
(3) Áp dụng bất đẳng thức (3) để
chứng minh bất đẳng thức sau:
① a b c 2
abbcca ② 1 2
a b c d
a b c b c d c d a d a b
③ 2 a b b c c d d a 3
a b c b c d c d a d a b
1.6 Cho a b c , , Chứng minh a3b3a b b a2 ab a b( ) (4) Áp dụng bất đẳng thức (4) để chứng minh bất đẳng thức sau:
①
3 3 3
2( )
a b b c c a
a b c
ab bc ca
② 3 13 3 31 3 31 1
a b abcb c abcc a abc abc, a b c , , 0
③ 3 13 3 13 3 13 1
1 1 1
a b b c c a , với abc 1
④ 1 1 1 1
1 1 1
a b b c c a , với a b c , , 0 abc 1
⑤ 3 3 3 3 3 3
4 a b 4 b c 4 c a 2(a b c ), a b c , , 0
1.7 Cho a b x y , , , Chứng minh bất đẳng thức sau (BĐT Min-côp-xki):
2 2 2
( ) ( )
a x b y a b xy (5)
Áp dụng (5):
① Cho a b , 0 thỏaa b Chứng minh: 1 2
1a 1b 5
② Tìm GTNN 2
2
1 1
P a b
b a
, với a b , 0
③ Cho x y z , , 0 thỏa xyz1 Chứng minh: 2
2 2
1 1 1
82
x y z
x y z
(7)Dạng Chứng minh BĐT dựa vào BĐT Cauchy (AM-GM)
A PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Các dạng bất đẳng thức Cauchy (AM-GM):
Với x y , 0
2
2
2
x y xy
x y xy
①
② Dấu “=” xảy xy
Với x y ,
2
2
2
( ) 4
x y
xy
x y xy
③
④
.Dấu “=” xảy x y
Với x y z , , 0 thì
3
3
3
x y z xyz
x y z
xyz
⑤
⑥
Dấu “=” x y z
B BÀI TẬP MẪU
Loại 1: Đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình nhân ngược lại:
VD 1.2 Cho a b c , , 0 Chứng minh bất đẳng thức sau:
①
(ab) 4ab ② 2
2(a b )(ab) ③ 1 1 4
ab ab ④
1 1 1 9
abca b c
(8)Loại 2: Tách cặp nghịch đảo
VD 1.3 Chứng minh bất đẳng thức sau:
① a b 2 a b, 0
ba ②
18
6 0 2
x
x x
③ 2 3 2
2 2
x
x x
④
1 10
3 3
a a
a
Loại 3: Sử dụng bổ đề suy luận từ BĐT Cauchy (AM-GM):
Dạng 1: x y 1 1 4 hay 1 1 4 (1)
x y x y x y
Dấu “=” xảy x = y
Dạng 2: x y z 1 1 1 9 hay 1 1 1 9 (2)
x y z x y z x y z
Dấu “=” xảy x=y=z
VD 1.4 Cho a b , 0 Chứng minh 1 1 4
ab a b (1) Áp dụng bất đẳng thức (1) để chứng minh bất đẳng thức sau:
① 1 1 1 2 1 1 1 a b c, , 0
a b c a b b c c a
② 1 1 1 2 1 1 1
2 2 2
a b b c c a a b c b c a c a b
a b c, , 0
(9)Loại 4: Đặt ẩn phụ để áo dụng BĐT Cauchy:
VD 1.5 Cho a b c , , 0 Chứng minh bất đẳng thức (BĐT Nesbit) sau:
3 2
a b c
b c caab HD: Đặt
b c x
c a y
a b z
C BÀI TẬP CƠ BẢN VÀ NÂNG CAO
Loại 1: Đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình nhân ngược lại:
1.8 Cho a b c , , 0 Chứng minh bất đẳng thức sau:
① 2
2
a b ab ② (a b )(1ab)4ab
③ (a b c) 1 1 1 9
a b c
④
1 1 (a b) 4
a b
⑤ 1 a 1 b 1 c 8
b c a
⑥
1 1 1 1 16
abcd a b c d
⑦ (1 a b a)( b ab)9ab ⑧ 8
64 ( )
a b ab a b
⑨ 3
3a 7b 9ab ⑩ (ab b)( c c)( a)8abc
⑪ a b2 2 2(a b ) ab ⑫ 4 2, 3 3
a
a a
1.9 Cho a b c , , 0 Chứng minh bất đẳng thức sau:
① a b c ab bc ca ② ab bc ca abc a b c
③ ab bc ac a b c
c a b ④
1 1 1
a b c
bccaab abc
⑤ ab a b a b 1
b a
⑥
3 3
a b c
ab bc ca
b c a
1.10 Cho a b c , , 0 Chứng minh bất đẳng thức sau:
①
2 2
a b c
a b c
b c a ②
3 3
2 2
a b c
a b c
b c a
③
3 3 2
2 2
a b c a b c
b c a b c a ④
3 3
a b c
a b c
bccaab
⑤
3 3
a b c
ab bc ca
b c a ⑥
5 5
2 2
3 3
a b c
a b c
(10)Loại 2: Tách cặp nghịch đảo
1.11 Chứng minh bất đẳng thức sau:
①
1 9
2 4
a a
a
②
2
2 2 1
a
a a
③ 8 6 1
1
x
x x
④
1
3 0
( )
a a b
a a b
Loại 3: Sử dụng bổ đề suy luận từ BĐT Cauchy (AM-GM):
1.12 Cho a b , 0 Chứng minh 1 1 4
ab a b (1) Áp dụng bất đẳng thức (1) để chứng minh bất đẳng thức sau, với a b c , , 0:
① 1 1 1 2 1 1 1
a b c a b b c c a
② 2
ab bc ca a b c
a b b c c a
③ 1 1 1 1
2a b ca2b c a b 2c với
1 1 1 4
abc
④ 1 1 1 2 1 1 1
2 2 2
a b b c c a a b c b c a c a b
1.13 Cho a b c, , độ dài ba cạnh tam giác, p nửa chu vi
Chứng minh rằng: 1 1 1 2 1 1 1
p a p b p c a b c
1.14 Cho a b c , , 0 Chứng minh 1 1 1 9
abc a b c (2) Áp dụng bất đẳng thức (2) để chứng minh bất đẳng thức sau:
① 2 2 2 9 a b c, , 0
abb c ca a b c
② 2 2 1 1 1 3
( ) , , 0 2
a b c a b c a b c
a b b c c a
③ 3 0; 1
1 1 1 4
x y z
x y z x y z
x y z
④ 2 1 2 1 2 1 9 , , 0
2 2 2 a b c
a bcb acc ab
⑤ 2 12 2 1 1 1 30 a b c, , 0
a b c abbcca
Loại 4: Đặt ẩn phụ để áo dụng BĐT Cauchy:
1.15 Cho x 2014 Chứng minh bất đẳng thức sau:
2013 2014 1 1
2 2 2015 2 2014
x x
x x
HD: Đặt
2013 0
2014 0
a x
b x
1.16 Cho x y z , , 0 Chứng minh bất đẳng thức sau:
3
2 2 2 4
x y z
xyzx yz xy z HD: Đặt
2 0
2 0
2 0
a x y z
b x y z
c x y z
(11)Dạng Chứng minh BĐT dựa vào BĐT Cauchy Schwarz
A PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Thực chất bất đẳng thức Cauchy Schwarz hệ trực tiếp bất đẳng thức Bunhiacôpski mà ở dễ dàng hình dung, tạm gọi bất đẳng thức cộng mẫu số
1 Cho a b , x y , 0 Áp dụng BĐT Bunhiacôpski cho hai số: a , b
x y
; x, y
ta được:
2 ôps 2 ( )2
. .
Bunhiac ki
a b a b a b a b
x y x y
x y x y x y x y
(1)
2 Cho a b c , , x y z , , 0 Áp dụng BĐT Bunhiacôpski cho ba số: a , b , c
x y z
;
x, y, z ta được:
2 2 ôps
. . .
Bunhiac ki
a b c a b c
x y z x y z
x y z x y z
2 2
( )
a b c a b c
x y z x y z
(2)
B BÀI TẬP MẪU
VD 1.6 Chứng minh:
2 2
2
a b c a b c
b c c a a b
, với a b c , , 0
(12)C BÀI TẬP CƠ BẢN VÀ NÂNG CAO
1.17 Chứng minh:
① 1
2 2 2
a b c
b cc aa b , với a b c , , 0
② 3
2
a b c
b c caab , với a b c , , 0
③
3 3 2
2
a b c a b c
b c c a a b
, với a b c , ,
④ 2 2 2 9
( ) ( ) ( ) 4( )
a b c
bc ca ac a b c , với a b c , , 0
⑤
2 2
2 2 1
2 2 2
a b c
a b b c c a , với a b c , , 0 a b c 3
1.18 Với a b c, , độ dài 3 cạnh tam giác Chứng minh rằng:
①
2 2
a b c
a b c
b c ac a ba b c ②
3 3
2 2
a b c
a b c
b c ac a ba b c
1.19 Với a b c , , 0 a b c Chứng minh rằng: 3
① 1
2 2 2
a b c
a bcb acc ab ② 2 2 2 1
a b c
abc bac cab
Dạng Chứng minh BĐT dựa vào BĐT C.B.S
A PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Cho a b x y, , , Cho a b c x y z, , , , ,
① (ax by )2 (a2b2)(x2y2) Dấu “=”xảy a b
x y
❶ (ax by cz )2 (a2b2c2)(x2y2z2) Dấu “=”xảy a b c
x y z
② ax by (a2b2)(x2 y2)
Dấu “=”xảy a b
x y
❷ax by cz (a2b2c2)(x2y2z2) Dấu “=”xảy a b c
x y z
③ ax by (a2b2)(x2y2)
Dấu “=” xảy a b 0
x y
❸ax by cz (a2b2c2)(x2y2z2)
Dấu “=” xảy a b c 0
x y z
B BÀI TẬP MẪU
VD 1.7 Chứng minh 2
1
x y 3x4y 5
(13)C BÀI TẬP CƠ BẢN VÀ NÂNG CAO
1.20 Chứng minh bất đẳng thức sau: ① Nếu 2
1 ì 3 4 5
x y th x y ② Nếu x22y2 8thì 2x3y 2 17
③ Nếu 2 5
4 1 ì
2
x y th xy ④ Nếu 2 5
36 16 9 ì 2 4
x y th y x
1.21 Chứng minh bất đẳng thức sau:
① Nếu x[1; 3] A6 x 1 3x10 2
② Nếu x[1; 5] B3 x 1 5x 10
③ Nếu x [ 2; 1] C 1 x 2x 6
④ Nếu x[4; 13] D2 x 4 13x3 5
1.22 Chứng minh bất đẳng thức sau: ① Nếu 2
1
x y x2y 5 ② Nếu 3x4y1 2 1
25
x y
Dạng Chứng minh BĐT dựa vào tọa độ vectơ
A PHƯƠNG PHÁP GIẢI
1 a( ; )x y a x2y2
2 AB xB xA2yByA2
3 AB BC AC, dấu “=” xảy B nằm A C
4 u v u v u v , dấu “=” xảy u v , hướng 5 u v w u v w , dấu “=” xảy u v , , w hướng 6 u v . u v .
B BÀI TẬP MẪU
VD 1.8 CMR: (a c )2b2 (a c )2b2 2 a2b2 , với a b c , ,
(14)C BÀI TẬP CƠ BẢN VÀ NÂNG CAO
1.23 Chứng minh bất đẳng thức sau:
① 2 2
4 6 9 4 2 12 10 5
a b a a b a b ,với a b c , ,
② 2 2 2
a ab b a acc b cbc , với a b c , ,
③ 2 2 2
(a b ) c (a b ) c 2 a c , với a b c , ,
④ 2
1 x x 1 x x 1 1
, với x
⑤ c a( c) c b c( ) ab, với a c 0, bc
Dạng Bất đẳng thức giá trị tuyệt đối
A PHƯƠNG PHÁP GIẢI
1 x x x , với số thực x
2 x 0; x x x; x, với số thực x 3 x a a xavới a 0
4 x ax a x với a a 0
5 Định lí: a b, ta có: a b a b a b
B BÀI TẬP MẪU
VD 1.9 Với số a b c, , tùy ý Chứng minh rằng:
① ab a b ② a b a b
C BÀI TẬP CƠ BẢN VÀ NÂNG CAO
1.24 Với số a b c, , tùy ý Chứng minh rằng:
① a b c a b c ② a b b c ac
③
1 1 1
a b a b
a b a b
④ 1 1
a b a b
a b a b
(15)1.25 Chứng minh rằng:
① a 2ab với a 2b ② Nếu x y0
1 1
x y
x y
1.26 Chứng minh rằng: x x 0 với x
Áp dụng: Chứng minh x x2 xác định với x 1 x
1.27 Chứng minh rằng:
① Nếu a 1, b 1 10, ac 10 abc 20
② Nếu a 1, b 1 ab 1 ab
Dạng Sử dụng phương pháp làm trội
A PHƯƠNG PHÁP GIẢI
1 Phương pháp:
Để chứng minh AB, ta làm trội A thành C (A C ), C dạng tính tổng hữu hạn tích hữu hạn, sau chứng minh C B (biểu thức C đóng vai trò trung gian để so sánh A B)
Phương pháp chung để tính tổng hữu hạn Sn a1a2a3 an cố gắng biểu diễn nhân tử ak Sn dạng hiệu số hạng liên tiếp ak mk –mk1 Khi đó:
1– 2 – 3 – 1 1–
n n n n
S m m m m m m m m
Phương pháp chung để tính tích hữu hạn Pn a a a1 .2 3.an cố gắng biểu diễn nhân
tử ak Pn dạng thương số hạng liên tiếp
1 k k
k
m a
m
Khi đó:
1
2 1
n n
n n
m
m m m
P
m m m m
2 Ví dụ:
① CMR: 1 1 1 1 1
1.22.33.4n n( 1) với n (1) *
Giải
Ta có: 1 1 1
1.2 1 2 1 1 1 2.323
1 1 1 ( 1) 1
n n nn
Do VT (1)= 1 1 1 1 1 1
1.22.3n n( 1) n1 với n *
Vậy 1 1 1 1 1
1.22.33.4n n( 1) với n *
② CMR: 1 1 1 1 1 2 1 4 3 8 n 2n 3
(16)Giải
Ta có:
2
2
1 2 1 ( 1) 1 1 1
2 ( 2) ( 2) 2
k k k k k
k k k k k k k k
1 1 4 2 2 3 3 1 3
1 9 3 3 1
8 8 2 4
2
1 1 1
1
2 2
n n
n n n n
Do đó, VT (1): 1 1 1 1 1 2 1 2 1 2 2 2 2 4
3 8 2 1 2 2 2 3
n n
n n n n n
Vậy 1 1 1 1 1 2 1 4
3 8 n 2n 3
với n *
B BÀI TẬP CƠ BẢN VÀ NÂNG CAO
1.28 Chứng minh với số nguyên dương n, ta có:
① 1 1 1 1 1
1.22.33.4 n n( 1) ② 2 2 1 1 1 1
2 1 2 3 n
③ 1 1 1 1 1
1 2 3 2 2
n n n n
1.29 Cho k , chứng minh: 0 1 2 1 1
(k 1) k k k 1
Áp dụng: CM: 1 1 1 1 2
23 24 3 (n1) n , với n *
1.30 Cho k , chứng minh 0 13 1 1
1
k k k Áp dụng: CM: 3 3
1 1 1 1 2
1 2 3 n , với n *
Dạng Ứng dụng BĐT để giải PT, HPT, BPT
Loại 1: Tổng hai số không âm: ( ) 2 ( )2 0 ( ) 0
( ) 0
f x
f x g x
g x
Loại 2: Phương pháp đối lập:
Giải phương trình f(x) = g(x) (*)
Nếu chứng minh ( )
( )
f x M
g x M
(*) ( ) ( )
f x M
g x M
Loại 3: Sử dụng tính chất:
Giải phương trình f x g x MN (*)
Nếu chứng minh ( ) ì (*) ( )
( ) ( )
f x M f x M
th
g x N g x N
B BÀI TẬP MẪU
VD 1.10 Giải phương trình sau:
4 6 10 27
x x x x
(17)
VD 1.11 Giải phương trình sau: 2
1 1 2
x x x x x x
C BÀI TẬP CƠ BẢN VÀ NÂNG CAO
1.31 Giải phương trình sau:
① 2
2 3 2 3 3 1
x x x x x x ②
2 4 6 11
x x x x
③
2x 3 5 2 x 3x 12x4 ④ 2 1 19 2 2 6 10 24
x x
x x
⑤ 2
2 5 1 1 2
x x x x x ⑥ 2
3x 6x7 5x 10x14 42xx
⑦ 2
3x 6x7 2x 4x322xx
⑧ 2 2
(18)Bài tập trắc nghiệm chủ đề 1: Bất đẳng thức
TN1.1 Nếu ab cd bất đẳng thức sau ln đúng? .
A acbd B a c b d C a d b c D ac bd
TN1.2 Nếu m0, n0 bất đẳng thức sau ln đúng?
A m n B.n m– 0 C.–m–n D m n– 0
TN1.3 Nếu a b, c số ab bất đẳng sau đúng?
A acbc B 2
a b C a c b c D c a c b
TN1.4 Nếu ab c d bất đẳng thức sau đúng?
A B a c b d C acbd D a c b d
TN1.5 Bất đẳng thức sau với số thực a?
A 6a3a B 3a6a C 6 3 a 3 6a D 6 a 3 a
TN1.6 Nếu a b c, , số ab bất đẳng thức sau đúng?
A 3a2c3b2c B 2
a b C acbc D acbc
TN1.7 Nếu a b 0, cd0 bất đẳng thức sau không đúng?
A acbc B a c b d C 2
a b D acbd
TN1.8 Nếu a b 0, cd 0. bất đẳng thức sau không đúng?
A a c b d B acbd C.a b
c d D.
a d
b c
TN1.9 Sắp xếp ba số 6 13, 19 3 16 theo thứ tự từ bé đến lớn thứ tự
A 19, 3 16, 6 13 B 3 16, 19, 6 13
C 19, 6 13, 3 16 D 6 13, 3 16, 19
TN1.10 Nếu a2c b 2c bất đẳng thức sau đúng?
A.3a 3b B.a2 b2 C 2a2b D 11
a b.
TN1.11 Nếu 2a2b 3 b 3c bất đẳng thức sau đúng?
A ac B ac C.3a 3c D 2
a c
TN1.12 Một tam giác có độ dài cạnh 1, 2, x x số nguyên Khi đó, x
A.1 B.2 C.3 D 4
TN1.13 Với số thực a bất kì, biểu thức sau nhận giá trị âm?
A
2 1
a a B
1
a a C
2 1
a a D
2 1
a a
TN1.14 Với số thực a bất kì, biểu thức sau luôn dương
A
2 1
a a B
1
a a C
2 1
a a D
2 1
a a
TN1.15 Trong số 3 2, 15, 2 3, 4
A số nhỏ là 15, số lớn là2 3
B số nhỏ 2 3, số lớn 4
C số nhỏ 15, số lớn 3 2
D số nhỏ 2 3, số lớn 3 2
(19)TN1.16 Cho hai số thực a b, cho ab Bất đẳng thức sau không đúng?
A.a4 b4 B 2a 1 2b1 C b a 0 D a 2 b 2
TN1.17 Nếu 0a1 bất đẳng thức sau ?
A 1 a
a . B
1
a
a. C.a a D.
3
a a
TN1.18 Cho a b c d, , , số thực đóa c, 0 Nghiệm phương trình ax b 0 nhỏ nghiệm phương trình cx d 0
A.b c
a d B
b c
a d C.
b a
d c D
b d
a c
TN1.19 Nếu a b a b a b bất đẳng thức sau đúng?
A ab0 B ba C a b 0 D.a0 b0
TN1.20 Cho a b c, , độ dài ba cạnh tam giác Mệnh đề sau không ?
A
a ab ac B
ab bc b
C 2
2
b c a bc D 2
2
b c a bc
TN1.21 Cho a số thực bất kì, 22
1
a P
a Bất đẳng thức sau với a ?
A P 1 B P1 C P 1 D.P1
TN1.22 Cho Qa2b2c2ab bc cavới a b c, , là ba số thực Khẳng định sau đúng?
A Q0 a b c, , là số dương
B Q0 a b c, , là số không âm
C Q0. với a b c, , là số
D Q0 với a b c, , là số
TN1.23 Số nguyên a lớn cho 200 300
3
a là:
A B C D
TN1.24 Cho hai số thực a b, tùy ý Mệnh đề sau đúng?
A ab a b B ab a b C ab a b D ab a b
TN1.25 Cho hai số thực a b, tùy ý Mệnh đề sau đúng?
A ab a b. B a a
b b với b 0
C Nếu a b 2
a b D a b a b
TN1.26 Cho hai số thực a b, tùy ý Mệnh đề sau đúng?
A a b a b B a b a b C a b a b D a b a b
TN1.27 Bất đẳng thức sau với số thực x ?
A x x B x x C x2 x2 D x x
TN1.28 Nếu a b, số thực a b bất đẳng thức sau ln đúng?
A a2 b2 B 1 1
(20)TN1.29 Cho a Nếu 0 x a bất đẳng thức sau đúng?
A x a B x x C x a D 1 1
x a
TN1.30 Nếu x a bất đẳng thức sau đúng?
A x a B 1 1
xa C x a D x a
TN1.31 Cho a1,b1 Bất đẳng thức sau không ?
A a2 a1 B ab2a b1 C ab2b a1 D 2 b 1 b
TN1.32 Điền dấu thích hợp vào ô trống để bất đẳng thức
A Nếu a b, dương
4
ab a b a b
.
B Với a b, bất kỳ 2 a 2ab b 2 a2b2
C Nếu a b c, , dương a b c 1
bcca ab
TN1.33 Cho a b, là số thực Xét tính đúng–sai mệnh đề sau:
A
2 2 2
2 2
a b a b
B a2b2 1 a b ab
C a2 b293abab
TN1.34 Cho a b c d, , , số dương Hãy điền dấu , , , thích hợp vào trống
A Nếu a c
b d
a b c d
a c
B Nếu a c
b d
a b c d
b d
C a b c ab bc ca
D 2 ab( a b) 2ab a b
TN1.35 Cho a2b2c2 1 Hãy xác định tính đúng-sai mệnh đề sau:
A ab bc ca 0 B 1
2
ab bc ca .
C ab bc ca 1 D ab bc ca 1
(21)GIÁ TRỊ LỚN NHẤT GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT
Khái niệm GTLN, GTNN hàm số (biểu thức): Xét hàm số y f x( )với tập xác định D:
M GTLN f x( ) D
0
( ) ,
, ( )
f x M x D
x D f x M
Kí hiệu: max[ ( )]f x M xx0
m GTNN f x( ) D
0
( ) ,
, ( )
f x m x D
x D f x m
Kí hiệu: min[ ( )]f x m xx0
Chú ý: - Biểu thức khơng có giá trị lớn hay nhỏ
- Biểu thức có hai giá trị lớn nhỏ
Dạng Dùng tam thức bậc hai
A PHƯƠNG PHÁP GIẢI
[ ( )] min ( ) 0
Pm f x m Pm f x
PM [ ( )]f x M maxPM f x( )0
B BÀI TẬP MẪU
VD 1.12 Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau: 2
2 2 2 4 12
Pa b ab a b
Tóm tắt lí thuyết
Phương pháp giải toán
2
(22)C BÀI TẬP CƠ BẢN VÀ NÂNG CAO
1.32 Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau:
① Ax2y2z24 – – 4x y z9 ② Bx– 12y– 52x–y42
③ C x y2 2x2– 6xy4 – 3x ④ Dx215y2xy8xy2017
⑤ E x22xy2– 4y5 ⑥ F x y2 22x224xy16x191
⑦ Gx22y29z2 – 2x12y6z24
⑧ H xy x – 2y612x2– 24x3y218y36
⑨ I a2b2ab3a3b2014
1.33 Cho a b c, , đơi khác Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau:
① f x( )(xa)2(xb)2 ② f x( )(xa)2 (xb)2(xc)2
Dạng Dùng BĐT Cauchy
A PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Hệ quả:
Nếu x y , 0 có Sxy khơng đổi Pxy lớn xy
Nếu x y , 0 có Pxy khơng đổi S xy nhỏ x y
B BÀI TẬP MẪU
VD 1.13 Tìm giá trị lớn biểu thức sau:
① Gx– – x, với 3 x 7 ② H 2 – –x x, với 0, 5x3
VD 1.14 Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau:
①
2
(x 2017)
K
x
, với x 0 ② L (4 x)(2 x)
x
, với x 0
③
3
2
P x
x
, với x 0 ④ 2
2 2
x Q
x
, với x 2
(23)
VD 1.15 Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số:
① y x 1 5x ② y 1 2 x x8
C BÀI TẬP CƠ BẢN VÀ NÂNG CAO
1.34 Tìm giá trị lớn biểu thức sau: ① 2 2
3 8 –
A x x với 2 2x2 2 ② Bx2 –x với 0 x 2
③ C 2 – –x x với0, 5x3 ④ Dx3 – 3x với 0x 3
⑤ E4x8 – 5x với 0x8 / 5 ⑥ F 4x– – 5 x với 1 x 8 / 5
1.35 Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau: ① A x 4
x
, với x 0 ② 2 36
4 2
x B
x
, với x 2
③ 3 2
2 1
x C
x
, với x 1 ④
2 3 1
D x
x
, với 1 3
x
⑤ E 2x 3 x
, với x 0 ⑥ 1
1
F x
x
, với x 1
⑦ G (x 2)(8 x) x
, với x 0 ⑧
2
4 9 2
x H
x
, với x 0
⑨
2
9 21 25 3
x x
I
x
, với x 0 ⑩
2
2 4
x x
J
x
, với x 0
1.36 Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số:
① y x 1 3x ② y x 1 4x ③ y2 x4 8x
④ y 3x x5 ⑤ y4 x 3 5 4x ⑥ y5 x 1 6x
1.37 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A a b c
b c c a a b
(24)Dạng Dùng BĐT C.B.S
A PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Nếu a x1 1a x2 2 a xn n c số thì:
2
2 2
1 2 2
1 2
min( )
n n
n n
x
x x
c
x x x
a a a a a a
Nếu 2 2
1 n
x x x c số thì:
2 2
1 2
max(a x a x a xn n) c a a an
1
0 n
n
x
x x
a a a
2 2
1 2
max(a x a x a xn n) c a a an
1
0 n
n
x
x x
a a a
B BÀI TẬP MẪU
VD 1.16 Tìm giá trị lớn nhỏ nhất:
① P2xy, biết 2
5
x y ② P4x2y, biết 2
2x 3y 6
(25)C BÀI TẬP CƠ BẢN VÀ NÂNG CAO
1.38 Tìm giá trị lớn nhỏ nhất:
① P3x4y, biết x2y2 1 ② P4 3x2 9x
③ P2x7y, biết 3x28y2 1 ④ P2xy, biết 2x2 5y2 8
1.39 Hai số dương x y thỏa mãn , 3x2y6xy Tìm GTNN tổng x y
Dạng Dùng BĐT chứa dấu giá trị tuyệt đối
A PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Sử dụng bất đẳng thức sau:
① Pm f x( )2 mminPm f x( )0
② PM f x( )2M maxPM f x( )0
③ a b a b Dấu “=” xảy 0
0
a b
0
0
a b
④ ab a b Dấu “=” xảy 0
0
a b
0
0
a b
⑤ a b c a b c Dấu “=” xảy
0
0
0
a b c
0
0
0
a b c
B BÀI TẬP MẪU
VD 1.17 Tìm giá trị nhỏ biểu thức:
① P 5 x2016 ② P x2016 x2017
C BÀI TẬP CƠ BẢN VÀ NÂNG CAO
1.40 Tìm giá trị nhỏ biểu thức:
① P x 1 2x5 3x18 ② Q x2 x 1 2x5
(26)Dạng Dùng tọa độ vectơ
A PHƯƠNG PHÁP GIẢI
1 a( ; )x y a x2y2
2 AB xB xA2yByA2
3 AB BC AC, dấu “=” xảy B nằm A C
4 u v u v u v , dấu “=” xảy u v , hướng 5 u v w u v w , dấu “=” xảy u v w , , hướng 6 u v . u v .
B BÀI TẬP MẪU
VD 1.18 Tìm GTNN: 2
1 1
P x x x x
C BÀI TẬP CƠ BẢN VÀ NÂNG CAO
1.41 Tìm GTLN, GTNN:
① Tìm GTNN: 2 2
2 2 2 2
P x ax a x bx b , a0,b0
② Tìm GTNN: 2
6 13 2 2
P a a a a
③ Tìm GTLN: 2
10 26 4 4
P x x x x
④ Tìm GTNN: 2
4 8 2 2
(27)Bài tập trắc nghiệm chủ đề 2: GTLN-GTNN
TN1.36 Cho f x xx2 Kết luận sau đúng?
A. f x( ) có giá trị nhỏ bằng1
4 B f x( )có giá trị lớn
1 2.
C f x( )có giá trị nhỏ 1
4
D f x( )có giá trị lớn 1
4
TN1.37 Cho hàm số
1 1
f x x
Mệnh đề sau ?
A f x( ) có giá trị nhỏ 0 , giá trị lớn
B. f x( ) khơng có giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn
C f x( ) có giá trị nhỏ 1, giá trị lớn
D f x( ) khơng có giá trị nhỏ giá trị lớn
TN1.38 Với giá trị a hệ phương trình 1
2 1
x y
x y a có nghiệm ( ; )x y với x y lớn .
A 1
4
a B. 1
2
a C. 1
2
a D a1
TN1.39 Cho biết hai số a b có tổng Khi đó, tích hai số a b
A có giá trị nhỏ là9
4. B có giá trị lớn 9 4
C có giá trị lớn 3
2 D khơng có giá trị lớn
TN1.40 Cho a b 2 Khi đó, tích hai số a b
A có giá trị nhỏ là 1 B có giá trị lớn 1
C có giá trị nhỏ ab D khơng có giá trị nhỏ TN1.41 Chox2y2 1, gọi Sxy Khi ta có
A S 2 B.S 2 C. 2S 2 D 1 S 1
TN1.42 Cho x y hai số thực thay đổi cho , xy2 Gọi 2
m x y Khi ta có:
A giá trị nhỏ m B giá trị nhỏ m
C giá trị lớn m D giá trị lớn m
TN1.43 Với x2, biểu thức: 2
x,
2 1
x ,
2 1
x ,
1 2
x
,
2
x
giá trị biểu thức nhỏ nhất?
A 2
x B
2 1
x C
2 1
x D 2
x
TN1.44 Giá trị nhỏ biểu thức x23x với x là:
A. 3
2
B 9
4
C. 27
4
D. 81
8
TN1.45 Giá trị nhỏ biểu thức x23x với x là:
A 9
4
B 3
2
C.0 D 3
(28)TN1.46 Giá trị nhỏ củabiểu thức với là:
A 9 B. 6 C 0 D 3
TN1.47 Cho biểu thức P a a vớia0 Mệnh đề sau mệnh đề đúng?
A GTLN P 1
4 B GTLN P
1 4
C GTLN P 1
2 D P đạt GTLN
1 4
a
TN1.48 Giá trị lớn hàm số 2 2
5 9
f x
x x
A 11
4 B.
4
11 C. 11
8 . D.
8 11.
TN1.49 Cho biểu thức f x 1x Kết luận sau đúng? 2
A Hàm số f x( ) có giá trị lớn nhất, khơng có giá trị nhỏ
B Hàm số f x( ) có giá trị nhỏ nhất, khơng có giá trị lớn
C Hàm số f x( ) có giá trị nhỏ giá trị lớn
D Hàm số f x( ) khơng có giá trị nhỏ khơng có giá trị lớn
TN1.50 Giá trị nhỏ hàm số f x( ) x 2 x
với x 0
A B 1
2 C 2 D 2
TN1.51 Giá trị nhỏ hàm số f x( ) 2x 3 x
với x 0
A 4 3 B 6 C 2 3 D 2 6
TN1.52 Giá trị nhỏ hàm số ( ) 2 2 1
x f x
x
với x 1
A. B 5
2 C 2 D
TN1.53 Cho x Giá trị lớn hàm số 2 f x( ) x 2
x
A 1
2 2 B 2
2 C 2
2 D 1
2
TN1.54 Giá trị nhỏ hàm số f x( ) 2x 1 x
với x 0
A 2 B 1
2 C 2 D 2
TN1.55 Giá trị nhỏ hàm số f x( ) 2x 12 x
với x 0
A 1 B 2 C 3 D 2
TN1.56 Điền số thích hợp vào chỗ chấm để mệnh đề
A Giá trị lớn hàm số y x 1 3xvới 1 là… ………… x 3
B Giá trị nhỏ hàm số
2 5 1
y x x ………
2
(29)BAØI TẬP TỔNG HỢP PHẦN
1.42 Chứng minh rằng:
1 0, 0
x x x x x HD đặt t x
1.43 Chứng minh rằng: a b b c c a 6
c a b
1.44 Cho a b Chứng minh rằng: 2
a) 2
2
a b b) 4
2
a b c) 8
2
a b
1.45 Cho a0, b0 Chứng minh a b a b
b a
1.46 Chứng minh bất đẳng thức sau:
①
5(x1)x 1 5x x( 1), x–1 0 ② 5 4
0
x y x yxy , biết xy0
③ 4a 1 4b 1 4c 1 5, biết , , 1 4
a b c , a b c 1
1.47 Chứng minh a b ab 0 1 1
ab
1.48 Chứng minh 2
0
a abb với số thực a b,
1.49 Chứng minh rằng: ①
2 3
2 2 2
a b a b a b
, a 0 b 0
②
2 3 6
2 2 3 6
a b a b a b a b
, a b c , ,
1.50 Chứng minh rằng, x y0
1 1
x y
x y
1.51 Chứng minh rằng:
① Nếu a b, hai số dấu a b 2
ba ② Nếu a b, hai số trái dấu 2
a b
ba
1.52 Chứng minh a b c , , 0 thì:
4 4
3
a b c
abc
b c a
1.53 Chứng minh a b c , , 0 thì: (a b c)2 3(a2b2c2)
1.54 CMR a b c d, , , khơng âm thì:
4
4
a b c d
abcd
1.55 Chứng minh a b, khơng âm thì:
1 1 1
a b a b
a b a b
1.56 Chứng minh bất đẳng thức sau:
① a b c ab bc ca, với a0, b0, c0
② 2 2 2
( )
a b b c c a abc a b c , với a b c , ,
1.57 Chứng minh bất đẳng thức sau: ①
2
6 4 2
a a
, với a ②
2
3 2 2
a a
(30)1.58 So sánh: a2 a4 àv a a6, với a 0
1.59 Cho a b c , , 0 Chứng minh rằng: 4
( )
a b c abc a b c
1.60 Cho a b c , , 0; 1 Chứng minh bất đẳng thức sau sai:
1 1 1
(1 ) , (1 ) , (1 )
4 4 4
a b b c c a
1.61 Giả sử a b c, , ba số dương cho: axb1 –xcx1 –x với giá trị x Chứng
minh đó, với giá trị x ta có:
axc(1x)bx(1x v bx) à c(1x)ax(1x)
1.62 Cho số thực x y z , , 0 Chứng minh bất đẳng thức:
4 4
3
16xyz x( yz)3 (xy) (yz) (zx)
1.63 Cho số dương a b c, , thỏa mãn abc Chứng minh rằng: 1
3 3
3 (1 )(1 ) (1 )(1 ) (1 )(1 ) 4
a b c
b c a c b a
1.64 Cho a b c , , 0 a b c Chứng minh rằng: 6 1 13 1 13 1 13 729 512
a b c
1.65 Cho a b c, , độ dài ba cạnh tam giác, p nửa chu vi
Chứng minh rằng: p pa p b pc 3p
1.66 Cho a b c p q, , , , 5 số dương tùy ý Chứng minh rằng:
3
a b c
pbqc pcqa paqb pq
1.67 Cho a b c, , ba số khác 0 Chứng minh rằng:
2 2
2 2
a b c a b c
b c a bca
1.68 Áp dụng BĐT Cô-si để tìm giá trị nhỏ hàm số sau:
① 18 ( 0)
2
x
y x
x
② 18 ( 1)
2
x
y x
x
③ 3 1 ( 1)
2 1
x
y x
x
④
5 1
3 2 1 2
x
y x
x
⑤ 5 ( : 0 1) 1
x
y x
x x
⑥
3
1
( 0)
x
y x
x
1.69 Áp dụng BĐT Cơ-si để tìm giá trị nhỏ hàm số sau:
① y(x3)(5x) ( 3 x5) ② y( (6x x) (0x6)
③ y(x3)(5 ) x ( 3 5) 2
x
④ y(2x5)(5x) ( / 2 x5)
⑤ y(6x3)(52 )x ( / 2 x5 / 2) ⑥ 2
9
y x x ( 3 x3)
1.70 Giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình sau: ①
2 5 1 2
x x x ĐS: x 1
(31)③ x 1 2 x2 x 1 2 x2 2 ĐS: x 3
④ 2
2 7x 11x 25x12x 6x1 ĐS: x 1 x 7
⑤ 4 1
2 (1 ) 27
x x ĐS: x 1/ 3
⑥ 4
1 1 2 8
x x x x ĐS: x 1/ 2
⑦ 2
1 1 2
x x x x ĐS: x 1
⑧ 3x1 2x 1 x2 ĐS: x
⑨ 2x3 3x5 x2 ĐS: x
⑩ 1
2 1
xy x x
xy x x
ĐS: 1; 1
⑪
2
2
2 2
x y y x
x y x y
ĐS: 1; , 1; , 0; , 1;0
2 2
1.71 Cho a b , 0 Tìm GTNN biểu thức: S a b
b a
1.72 Cho a Tìm GTNN biểu thức: 3 S a 1 a
1.73 Cho a Tìm GTNN biểu thức: 2 S a 12 a
1.74 Cho a b , 0 a b Tìm GTNN biểu thức: 1 S ab 1 ab
1.75 Cho a b , 0 Tìm GTNN biểu thức: S a b ab a b ab
1.76 Cho a b c , , 0 3
2
a b c Tìm GTNN biểu thức: S a b c 1 1 1
a b c
1.77 Cho a b c , , 0 3
2
a b c Tìm GTNN biểu thức: 2
2 2
1 1 1
S a b c
b c a
1.78 Cho a b c, , 0 2
1
a b c Tìm GTNN của: S a b c 1
abc
1.79 Tìm giá trị nhỏ biểu thức:P 3 1 1 3 1 1 3 1 1
a b b c c a
1.80 Cho a b c, , khác 0 Tìm giá trị nhỏ biểu thức:
2 2
2 2 2
( ) ( ) ( )
a b c
T
a b c b c a c a b
1.81 Cho 3 số thực dương a b c, , thỏa 2
1
a b c Tìm giá trị nhỏ biểu thức:
ab bc ca
P
c a b
1.82 Cho hai số thực a b thỏa điều kiện a b Tìm giá trị nhỏ biểu thức: 2 8
(32)1.83 Cho x y hai số thay đổi thỏa mãn điều kiện , 0 , x 3 0 y4 Tìm giá trị lớn
(3 )(4 )(2 3 )
P x y x y
1.84 Cho 3 số dương a b c, , Tìm giá trị nhỏ biểu thức: T a b b c c a
c a b
1.85 Với a b c, , độ dài 3 cạnh tam giác
Tìm giá trị nhỏ của: T 4a 9b 16c
b c a c a b a b c
BAØI TẬP TRẮC NGHIỆM PHẦN
TN1.57 Cho a b 0 Bất đẳng thức sau đúng?
A 3
( )( )
a b a b a b B a b 2 4ab
C a a 2bb b 2a D Cả 3 đáp án
TN1.58 Cho 2 số a b Câu sau sai?
A 4 1 a2 2 4a2 B
1 1 1
a b a b
a b a b
C
1 1
a b
a b D.
2
2 2 2
4ab a b a b
TN1.59 Cho a b c, , với ab a c Câu sau đúng?
A a2 bc B 2a2b2 c2
C 2 a b c D Cả 3 đáp án
TN1.60 Cho a b c d, , , với a b 0 cd 0 Bất đẳng thức sau sai?
A a c b d B a c b d . C acbd . D 2 2
.
a c b d
TN1.61 Cho 3 số a b c, , không âm Bất đẳng thức sau sai?
A a b c 2 3a2b2c2 B
4
a b ab
C ab bc ca a2b2c2 D abab14ab
TN1.62 Xét mệnh đề sau đây:
I 3 3 2
2
a b a b a b II ab2 ab III a b c 2 3ab bc ca Mệnh đề đúng?
A I II B II III C I III D I, II III TN1.63 Bất đẳng thức sau sai?
A
2
3 2 2
a a
B
6
1 1 5 4
a
a C
1 . 1 2
ab
ab D Cả 3 đáp án
TN1.64 Cho a b c, , là cạnh tam giác Xét bất đẳng thức sau đây: I a2b2c2ab bc ca .
II a2b2c2 2(ab bc ca ).
III 2 2 2 3
a b c b c a c a b a b c
Bất đẳng thức đúng?
(33)TN1.65 Cho a b c, , số không âm Xét bất đẳng thức sau đúng?
A a b ab14 ab B 3
a b a b ab
C 2
a b c ab bc ca D Cả A C TN1.66 Câu 10 Câu sau với số x y ?
A
2
2
1 1
4
x x x x B
4 2
2
x y x y xy
C x1 2 x
y y D Cả A B
TN1.67 Cho a b c, , dương Bất đẳng thức đúng?
A a b bcca8
c a b B 6
a b b c c a
c a b
C a b bcca9
c a b D Cả A C
TN1.68 Cho a b c, , dương Câu sau sai ?
A 3
a b ab a b B.abbcca8abc
C 2 1 2
2
a b a b D.11 4
a b a b
TN1.69 Cho a b c, , dương Bất đẳng thức đúng?
A
2 2
1 1 1
6
a b c
a b c B
1 1 1 ( ) 9.
a b c
a b c
C 1 1 1 8
b a c b a c D Cả A C
TN1.70 Cho 2
1
x y Câu sau sai ?
A | 12x5 | 13.y B | 12x5 | 17.y C | 12x5 | 169.y D | 12x5 | 289.y
TN1.71 Cho bốn số a b x y, , , thỏa mãn 2
2, 3 , 3
x y a x b y Tìm bất đẳng thức
A |axby| 3. B |axby| 9.
C | (a xy)b x( y) | 6. D | (a xy)b x( y) | 54
TN1.72 Tìm giá trị lớn hàm số
2 15 25
y x x 5;5
2
A 25.
4 B
25 .
8 C 0 D
5 4
TN1.73 Tìm giá trị nhỏ hàm số 2 1 1
y x x
x
A 1 2 B 1 2 C 2 2 D 2 1
TN1.74 Tìm giá trị lớn hàm số
32
y x x 0; 2
A 64 B 0 C 32 D 48
TN1.75 Tìm giá trị nhỏ hàm số ya16
a với a0
A 16 B 8 C 4 D 2
TN1.76 Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ A 7x x2 với 2 x7
(34)ĐÁP ÁN TRẮC NGHIỆM PHẦN
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
C B C D D A B C A C B B D B D A A D A D
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
D D C B C A D A B D C D D A D D
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
C A B B C A A D C D D B A D C B C C B
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76
A C D D A D B B D A C B D A B D
TN1.32 A ; B ; C TN1.33 A sai; B đúng; C TN1.34 A ; B ; C ; D
TN1.35 A sai; B đúng; C sai; D
TN1.56 2 x 2; 17 5 8 x 4
(35)Phần
BẤT PHƯƠNG TRÌNH HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH
Chủ đề BẤT PHƯƠNG TRÌNH HỆ BPT BẬC NHẤT MỘT ẨN 36 Dạng Tìm điều kiện xác định bất phương trình 36 Dạng Bất phương trình tương đương 38 Dạng Giải bất phương trình bậc ẩn 40 Dạng Giải hệ bất phương trình bậc ẩn 41 Dạng Bất phương trình, hệ bất phương trình bậc ẩn chứa tham số 42 BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM CHỦ ĐỀ 45
Chủ đề DẤU CỦA NHỊ THỨC BẬC NHẤT BPT QUI VỀ BPT BẬC MỘT ẨN 49 Dạng Xét dấu biểu thức 49 Dạng Giải bất phương trình tích 51 Dạng Giải bất phương có ẩn mẫu 52 Dạng Dấu nhị thức miền 54 Dạng Giải PT, BPT chứa dấu giá trị tuyệt đối 55 BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM CHỦ ĐỀ 56
Chủ đề BẤT PHƯƠNG TRÌNH HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN 58 Dạng Bất phương trình bậc hai ẩn 58 Dạng Hệ bất phương trình bậc hai ẩn 59 Dạng Một ví dụ áp dụng vào kinh tế 60 BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM CHỦ ĐỀ 62
Chủ đề DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI 67 Dạng Xét dấu biểu thức 67 Dạng Giải bất phương trình bậc hai 69 Dạng Giải bất phương trình tích, thương 70 Dạng Giải hệ bất phương bậc hai 71 Dạng Phương trình & Bất phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối 73 Dạng Phương trình & Bất phương trình chứa thức 74 Dạng Bài toán chứa tham số phương trình & bất phương trình 77 BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM CHỦ ĐỀ 81
BÀI TẬP TỔNG HỢP PHẦN 84
(36)BẤT PHƯƠNG TRÌNH HỆ BPT BẬC NHẤÂT MỘT ẨN
1 Điều kiện xác định bất phương trình:
Điều kiện bất phương tình điều kiện mà ẩn số phải thõa mãn để biểu thức hai vế của bất phương tình có nghĩa Cụ thể, ta có trường hợp sau:
① Dạng 1
( )
Q x Điều kiện: Q x ( ) 0
② Dạng 2n P x( ) (n ) Điều kiện: P x ( ) 0
Dạng 2n1P x( ) (n ) Điều kiện: P x( ) có nghĩa ③ Dạng 1
( )
Q x Điều kiện: Q x ( ) 0
2 Hai bất phương trình tương đương:
Hai bất phương trình gọi tương đương với chúng có tập nghiệm Chú ý: Hai bất phương trình vơ nghiệm tương đương
3 Giải biện luận bất phương trình bậc dạng: ax + b <
Điều kiện Kết tập nghiệm
0
a S ; b
a
0
a S b;
a
0
a b 0 S
0
b S
Các dạng:ax b , 0 ax b , 0 ax b làm tương tự 0
Dạng Tìm điều kiện xác định bất phương trình
A PHƯƠNG PHÁP GIẢI
1 Dạng 1
( )
Q x Điều kiện: Q x ( ) 0
2 Dạng 2n P x( ) (n ) Điều kiện: P x ( ) 0
Dạng 2n1P x( ) (n ) Điều kiện: P x( ) có nghĩa
3 Dạng 1
( )
Q x Điều kiện: Q x ( ) 0
Tóm tắt lí thuyết
Phương pháp giải tốn
3
(37)B BÀI TẬP MẪU
VD2.1 Tìm điều kiện xác định bất phương trình sau:
① 1 1 1 1
x x ② 2
1 2
4 4 3
x
x x x ③
3 2
2 1 1
1
x
x x
x
④ 2 1 3 1
4
x x
x
⑤
2
3x x 1 x ⑥ x 1 1 1
x x
VD2.2 Chứng minh bất phương trình sau vơ nghiệm:
①
8 3
x x ② 2
1x 7x 1 ③ 2 3
1 2( 3) 5 4
2
x x x
(38)C BÀI TẬP CƠ BẢN
2.1 Cho bất phương trình: 12 1
( 2)
x
x x
① Tìm điều kiện bất phương trình cho
② Tìm tất giá trị x thỏa mãn điều kiện
2.2 Tìm tập hợp giá trị x thỏa mãn điều kiện bất phương trình: 3x x5 10 Từ suy bất phương trình cho vơ nghiệm
2.3 Tìm điều kiện bất phương trình sau:
① 1
2 3 5
x x x
x
②
3
1
x
③ 1
2 2
x x ④ 3
1 1 0
x x x
2.4 Chứng minh bất phương trình sau vơ nghiệm: ①
2
1 1 1
x x
②
2
2
1
1 2
1
x x
x x
③ 4
1 1 2 1
x x x x
D BÀI TẬP NÂNG CAO 2.5 Tìm điều kiện bất phương trình sau:
① x2 2x ② 2x3 1 2x3 ③ 3
3 3
x
x x
④ 3 1 2 1
2 2
x
x x
⑤
1 1 2
(x1) x3 ⑥
1 1 1
( 2)( 3) 4
1
x
x x x
x
2.6 Chứng minh bất phương trình sau vô nghiệm:
① x 2 1 0 ② 2
(x1) x 3
③ 2 2
( 3) 2 ( 3) 5
x x x x ④ 2
1 2( x1) 10 6 xx 2
2.7 Chứng minh bất phương trình sau ln với x
①
1 0
x x ②
2
( 2) 0 1
x x
③
2 2
2
1 ( 1)
1
x x x
x
Dạng Bất phương trình tương đương
A PHƯƠNG PHÁP GIẢI
1 Bất phương trình tương đương:
Hai BPT tương đương chúng có chung tập nghiệm Hai BPT vơ nghiệm tương đương
2 Các phép biến đổi tương đương:
Cho BPT f x g x , có TXĐ D h x xđ D
f x g x f x h x g x h x
f x g x f x h x . g x h x . h x 0, x D
(39)B BÀI TẬP MẪU
VD2.3 Giải thích cặp bất phương trình sau tương đương ?
① 4x 1 0 4v x 1 0 ② 2
2x 5 2x1 2v x 2x60
③ 1 0 à 1 21 21 1 1
x v x
x x
④ x 1 x và (2x1) x 1 x(2x1)
VD2.4 Trong hai bất phương trình sau đây, bất phương trình tương đương với bất phương trình
2 –1 0x ? ① 2 1 1 1
3 3
x
x x
②
1 1
2 1
3 3
x
x x
C BÀI TẬP CƠ BẢN VÀ NÂNG CAO
2.8 Các cặp bất phương trình sau tương đương khơng ? Vì ? ① 2x 1 0 2 1 1 1
2 2
x
x x
② 2x 1 0
1 1 2 1
2 2
x
x x
③ x 3 0
( 3) 0
x x ④ x 3 0
( 3) 0
x x
⑤ x 2 0
(x 2) 0 ⑥ x 5 0
(x2)(x 2x2)0
2.9 Trong bốn cặp bất phương trình sau đây, chọn cặp bất phương trình tương đương (nếu
có):
①
2 0 à ( 2) 0
x v x x ②
2 0 à ( 2) 0
x v x x
③
2 0 à ( 2) 0
x v x x ④
2 0 à ( 2) 0
(40)Dạng Giải bất phương trình bậc ẩn
A PHƯƠNG PHÁP GIẢI
- Bước Đặt điều kiện cho bất phương trình có nghĩa (nếu có) - Bước Chuyển vế giải
- Bước Giao nghiệm với điều kiện tập nghiệm S
B BÀI TẬP MẪU
VD2.5 Giải bất phương trình sau:
①
(x2)(2x1)2x (x1)(x3) ②
(2x1)(x3) 3 x 1 (x1)(x3)x 5
③ 2 1 3
3
x
x x
④ 3 1 2 1 2
2 3 4
x x x
⑤ (1 2)x 3 2 ⑥ 2
(x 3) (x 3) 2
(41)C BÀI TẬP CƠ BẢN VÀ NÂNG CAO 2.10 Giải bất phương trình sau:
① 3 5 1 2
2 3
x x
x
② 2( 1) 3 3
3
x
x x
③ 2
(x 2) (x 2) 2 ④ x(7x)6(x1)x(2x)
⑤ 2 2 1 3
2 3 4 2
x x x x
⑥
(x1)(2x1)x 3 2x
⑦ x x (2 x3)( x1) ⑧
(x1)(x2)(x3)xx 6x 5
2.11 Giải bất phương trình sau:
①
(x4) (x1)0 ②
(x2) (x3)0
③ (x2) x3 x40 ④ (x2) (x3)(x4)0
⑤
(x1) (x2)0 ⑥ 2x 8 4x210
Dạng Giải hệ bất phương trình bậc ẩn
A PHƯƠNG PHÁP GIẢI
- Bước Đặt điều kiện cho hệ bất phương trình có nghĩa (nếu có)
- Bước Giải bất phương trình hệ lấy giao tập nghiệm thu - Bước Giao nghiệm với điều kiện tập nghiệm S
B BÀI TẬP MẪU
VD2.6 Giải hệ bất phương trình sau: ①
5
6 4 7 7
8 3
2 5 2
x x
x
x
②
1 15 2 2
3 3 14 2( 4)
2
x x
x x
(42)C BÀI TẬP CƠ BẢN VÀ NÂNG CAO
2.12 Giải hệ bất phương trình sau:
① 5 2 4 5
5 4 2
x x x x
② 2 1 3 4
5 3 8 9
x x x x ③ 5 2 4 3 6 5 3 1 13 x x x x ④ 2
3
(1 ) 5 3
( 2) 6 7 5
x x x
x x x x
⑤ 4 5 3 7 3 8 2 5 4 x x x x ⑥
1 2 3
3 5 5 3 3 2 x x x x x x ⑦ 5
6 4 7 7 8 3 2 25 2 x x x x ⑧ 1 15 2 2
3 3 14 2( 4) 2 x x x x ⑨
3 2 7 2
5 3 1 5(3 1) 2 2 x x x x ⑩
3 1 3 1 2 1
2 3 4 3
2 1 4 3
5 3
x x x x
x x ⑪ 3 3 2 5 6 3 2 1 2 x x x x ⑫ 4 5 3 6 7 4 2 3 3 x x x x
2.13 Tìm tất nghiệm nguyên hệ bất phương trình sau:
①
42 5 28 49
8 3 2 25 2 x x x x ② 1 45 2 6
3 9 14 2(3 4) 2 x x x x
Dạng Bất phương trình, hệ bất phương trình bậc ẩn chứa tham số
A PHƯƠNG PHÁP GIẢI
1 Giải biện luận bất phương trình bậc dạng: ax + b <
Điều kiện Kết tập nghiệm
0
a S ; b
a
0
a S b;
a
0
a b 0 S
0
b S
2 Giải biện luận bất phương trình dạng: ( a x1 b )( a x1 2 b )2 0 hoặc 1
2
0
a x b a x b
Đặt
1
b x
a
, 2
2
b x
a
Tính x1–x2
Lập bảng xét dấu chung a a1. 2; x1–x2
Từ bảng xét dấu, ta chia toán thành nhiều trường hợp Trong trường hợp ta xét dấu
của (a x1 b1)(a x2 b2) 1
2
a x b a x b
(43)3 Giải biện luận hệ BPT bậc dạng:
1
2
a x b 0 ( )
a x b 0 ( 2)
Giải (1); (2) tìm tập nghiệm S1, S2 tương ứng Tập nghiệm hệ S S1S2
Hệ có nghiệm S S1S2
Hệ vô nghiệm S S1S2
Hệ có nghiệm hệ có dạng ( ; )
( ; )
f x m a
a b g x m b
B BÀI TẬP MẪU
VD2.7 Giải biện luận bất phương trình sau theo tham số m :
①
1
mx xm ② 2mx x 4m 3
VD2.8 Tìm m để hệ bất phương trình 0
3 0
x m x
có nghiệm ?
(44)VD2.9 Tìm m để hệ bất phương trình 7 0
12
x
mx m
vô nghiệm ?
VD2.10 Tìm m để bất phương trình mx3m có tập nghiệm khoảng 2 0 (0;)
C BÀI TẬP CƠ BẢN VÀ NÂNG CAO
2.14 Giải biệt luận bất phương trình sau:
① m x( m)4x5 ② mx 6 2x3m ③ (x1)kx3x4
④ (a1)x a 3 4x1 ⑤ m x( m)2(4x) ⑥
3xm m x( 3)
⑦ k x( 1)4x5 ⑧ b x( 1) 2 x
2.15 Tìm m để bất phương trình sau vơ nghiệm:
① 2
4 3
m x m xm ②
1 (3 2)
m x m m x
③
3mx2(xm) ( m1) ④
4
mxm mx
2.16 Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm:
① m x( m)x1 ② mx 6 2x3m
③ (m1)xm3m4 ④
1
mx m x
2.17 Tìm m để hệ bất phương trình sau có nghiệm:
① 3 2 4 5
3 2 0
x x
x m
② 2 0
1
x
m x
③
2
4 2 1
3 2 2 1
x m mx
x x
④ 4 5 3 2
3 2 2 0
x x
x m
(45)① 2 7 8 1
2 5 0
x x
x m
②
2
( 3) 7 1
2 5 8
x x x
m x
③
2
9 3
4 1 6
mx x m
x x
④ 2 7 8 1
5 2
x x
m x
2.19 Tìm m để bất phương trình sau có tập nghiệm D cho trước:
① x m 1 có tập nghiệm D [ 2; )
② 2x m 3(x1) có tập nghiệm D (4; )
③
16 2( )
mx xm có tập nghiệm D [ 38; )
④
( 2) ( 1)
m x m x có tập nghiệm D
⑤ m x( m)1 có tập nghiệm D
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM CHỦ ĐỀ
TN2.1 Cho mệnh đề sau:
(I) x 1 nghiệm bất phương trình 2x 1 0 (II) x 1 nghiệm bất phương trình 2x 1 0
(III) 1;
2
S
tập nghiệm bất phương trình 2x 1 0
(IV) 1;
2
S
tập nghiệm bất phương trình 2x 1 0
Số mệnh đề là:
A 1 B 2 C 5 D 4
TN2.2 Cho bất phương trình 2 3 x Hãy giá trị 3 x nghiệm bất
phương trình cho giá trị sau :
A 5
3
x B 1
3
x C 1
3
x D 5
3
x
TN2.3 Cho bất phương trình 3 2 3
2 2
x
x x
(1) Hãy chọn khẳng định khẳng
định sau Tập nghiệm phương trình
A S 2; B S 2; C S \ 2 D S ; 2
TN2.4 Cho bất phương trình x 3 3x Hãy chọn khẳng định khẳng định sau Tập nghiệm bất phương trình
A S 3; B ;3 C S 3 D S
TN2.5 Cho bất phương trình 2x Hãy khẳng định sai khẳng định sau 1 0
A Bất phương trình cho có nghiệm với x thuộc 1 1; 2 2
B Bất phương trình cho có nghiệm với x thuộc 0;
C Tập nghiệm bất phương trình cho D Tập nghiệm bất phương trình cho 1;
2
TN2.6 Cho bất phương trình | | 2x x Tập nghiệm bất phương trình 0
(46)TN2.7 Tập nghiệm bất phương trình x2 x 12 1 x2 x
A B 0; C 0; D 1;
TN2.8 Cho bất phương trình 3 2 x 3x20 (1) Hãy kết luận sai kết luận sau Bất phương trình (1) có nghiệm với x cho
A 2 0
3 x
B 0 3
2
x
C 2 3
3 x 2
D 3
2
x
TN2.9 Hãy chọn kết luận kết luận sau
Tập nghiệm bất phương trình x 2 x 1 0
A B 1;2 C D ;1 2;
TN2.10 Trong bất phương trình cho sau đây, bất phương trình tương đương với bất
phương trình 4x 1 0
1 : 4 2 1
1 1
x x
x x
2
2 : 2 x1 4 x
2
1
3 : 4 2
1
x
x x
x
2
2
1 4 : 4
1 1
x x
x x
A 1 2 B 2 3 C 3 4 D 1 4
TN2.11 Hãy sai lầm bước bước giải bất phương trình 2 1
1
x x(*):
A Điều kiện bất phương trình:x 1 x 0
B (*)2xx1
C x1
D Tập nghiệm bất phương trình cho 1;
TN2.12 Hãy sai lầm bước bước giải bất phương trình
2
2 3 1 2 5
x x x x (*)
A (*) x1x3 x1 2 x5
B x 3 2x5
C x 8
D Tập nghiệm bất phương trình cho ;8
TN2.13 Hãy sai lầm bước bước giải bất phương trình x2 (*) 1 x 2
A (*) x2 1 x22 B x2 1 x24x 4
C 4x 3 D 4
3
x
TN2.14 Xét mệnh đề sau, mệnh đề mệnh đề sai ? A Tập nghiệm 2x 3 0 3;
2
S
B Tập nghiệm 3 2 x0 ; 3 2
S
C Tập nghiệm 2x 3 0 3; 2
S
D Tập nghiệm 3 2x0 ; 3 2
(47)TN2.15 Hệ bất phương trình
2 5 1 4 1 2
x x
m x m x
có tập nghiệm
A S ; 3 B S C S 3; D S 3; 2
TN2.16 Hệ bất phương trình
4 2
2 0
x x
x
có tập nghiệm
A S 3; B S C S 2;3 D ; 2
TN2.17 Hệ bất phương trình
2 1 3 3 2
3 2
3 2
x x
x x
x
có tập nghiệm
A S B S 7; C 8;8
3
S
D 7;8
TN2.18 Hệ bất phương trình | 2 3 | 1
|1 | 3
x x
có tập nghiệm
A ; 3
2
S
B S 2;
C 4;2 3
S
D
3 ; 2;
2
S
TN2.19 Cho bất phương trình ax3 (*) Mệnh đề sau mệnh đề sai ?
A Khi a0 tập nghiệm phương trình (*) S
B Khi a0 tập nghiệm phương trình (*) ;3
S
a
C Khi a0 tập nghiệm phương trình (*) 3;
S
a
D.Khi a0 tập nghiệm phương trình (*) S
TN2.20 Cho bất phương trình ax0 (*) Mệnh đề sau mệnh đề sai ?
A Khi a0 tập nghiệm phương trình (*) S ;0
B Khi a0 tập nghiệm phương trình (*) S 0;
C.Khi a0 tập nghiệm phương trình (*) S
D Khi a0 tập nghiệm phương trình (*) S
TN2.21 Cho bất phương trình ax1 (*) Mệnh đề sau mệnh đề sai ?
A Khi a0 tập nghiệm phương trình (*) 1;
S
a
B Khi a0 tập nghiệm phương trình (*) ;1
S
a
C.Khi a0 tập nghiệm phương trình (*) S
D Khi a0 tập nghiệm phương trình (*) S
TN2.22 Cho bất phương trình m1xm21 (*) Mệnh đề sau mệnh đề sai ?
A Khi m1 tập nghiệm phương trình (*) S
B Khi m1 tập nghiệm phương trình (*) S ;m1
C.Khi m1 tập nghiệm phương trình (*) S
(48)TN2.23 Chọn khẳng định sai Bất phương trình m x2 4x vơ nghiệm 1
A m 0 B m 2
C.m 2 D m 2 m 2
TN2.24 Cho bất phương trình mx2x2m (*) Khẳng định sau khẳng định sai ?
A Khi m 1 tập nghiệm phương trình (*) S
B Khi m 2 tập nghiệm phương trình (*) S 2;
C (*)m1x2m1x 2
D (*) Có nghiệm với giá trị m
TN2.25 Khẳng định sau khẳng định sai ?
A Bất phương trình bậc ẩn ln có nghiệm
B Bất phương trình ax b 0 vơ nghiệm a 0 b 0
C Bất phương trình ax b 0 có tập nghiệm a 0 b 0
D Bất phương trình ax b 0 vơ nghiệm a 0
TN2.26 Cho hệ bất phương trình 2 3 2
0
x x
x m
Hãy chọn kết luận kết luận sau
Hệ bất phương trình cho có nghiệm
A ; 1
3
m B 1
3
m
C 1; 3
m D.m
TN2.27 Cho hệ bất phương trình
2 0 2 3 3
1
5 5
mx m
x x
Xét mệnh đề sau:
(I) Khi m 0 hệ bất phương trình cho vơ nghiệm
(II) Khi m 0 hệ bất phương trình cho có tập nghiệm (III) Khi m 0 hệ bất phương trình cho có tập nghiệm 2; 5
(IV) Khi m 0 hệ bất phương trình cho có tập nghiệm 2; 5
Trong mệnh đề có mệnh đề ?
(49)DẤU CỦA NHỊ THỨC BẬC NHẤT BPT QUI VỀ BPT BẬC NHẤT MỘT ẨN
1 Dấu nhị thức bậc nhất: f(x) = ax + b
a) Sử dụng bảng xét dấu: (trái trái- phải cùng: với hệ số a)
x – b
a
+
f(x) = ax + b a > – 0 +
a < + 0 –
b) Sử dụng trục số:
Nếu a > thì:
Nếu a < thì:
2 Bất phương trình tích số:
Dạng: P x Q x ( ) ( ) 0 Trong P x , Q x nhị thức bậc
Phương pháp: Lập bảng xét dấu P x Q x . Từ suy tập nghiệm
3 Bất phương trình chứa ẩn số mẫu:
Dạng: ( ) 0
( )
P x
Q x (2) Trong P x , Q x là nhị thức bậc
Phương pháp: Lập bảng xét dấu ( )
( )
P x
Q x Từ suy tập nghiệm
Lưu ý: Nếu bất phương trình chưa có dạng bpt (2) ta đưa bpt (2) theo bước: “Chuyển vế Qui đồng không khử mẫu”
Dạng Xét dấu biểu thức
A PHƯƠNG PHÁP GIẢI
x – b
a
+
f x axb trái dấu với a 0 cùng dấu với a
B BÀI TẬP MẪU Tóm tắt lí thuyết
Phương pháp giải toán b
a
f ( x ) ax b 0
f ( x ) ax b 0
b
a
f ( x ) ax b 0
f ( x ) ax b 0 x
x
4
(50)VD2.11 Xét dấu biểu thức sau:
① f x( )3x2 ② f x( ) 2x5 ③ ( ) 4 3 2 1
x f x
x
④ ( ) 4 3
3 1 2
f x
x x
⑤
(4 1)( 2) ( )
3 5
x x
f x
x
(51)C BÀI TẬP CƠ BẢN 2.20 Xét dấu biểu thức sau:
① f x( )(2x1)(x3) ② f x( ) ( 3x3)(x2)(x3)
③
( ) ( 2) (3 )
f x x x x ④ f x( ) ( 2x3)(x2)(x4)
⑤ ( ) 1
( 1)( 2)
x f x
x x
⑥
2
( 3) ( )
( 5)(1 )
x x f x
x x
⑦ f x( )(4x1)(x2)(3x5)(72 )x
D BÀI TẬP NÂNG CAO
2.21 Xét dấu biểu thức sau:
①
( ) 4 1
f x x ②
( ) 2 (2 3) 3
f x x x ③
( ) 6
f x x x
④
( ) 7 6
f x x x ⑤ ( ) 1 2
3 2
x f x
x
⑥
3 1 ( )
2 1 2
f x
x x
⑦
( ) 5 3
f x x x x ⑧
( ) 2 2
f x x x ⑨ ( ) 1 1
3 3
f x
x x
⑩
2
6 8 ( )
8 9
x x
f x
x x
⑪
2
4
4 4 ( )
2
x x
f x
x x
⑫
1 1 ( )
1
x f x
x x
Dạng Giải bất phương trình tích
A PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Để giải bất phương trình dạng:P x( )0; P x( )0;P x( )0; P x( )0
Trong P x( )(a x1 b1)(a x2 b2) (a xn bn)
Bước 1: Tìm nghiệm nhị thức a x1 b1, a x2 b2, …, a xn bn
Bước 2: Sắp xếp nghiệm tìm theo thứ tự tăng dần, xét dấu Bước 3: Dựa vào bảng xét dấu suy nghiệm bất phương trình
B BÀI TẬP MẪU
VD2.12 Giải bất phương trình sau: ① (x1)(x1)(3x6)0 ② (2x7)(4 ) x 0
(52)VD2.13 Giải bất phương trình: ①
4 6 0
x x x ② 2
2 7 2 3 0 x x x
C BÀI TẬP CƠ BẢN
2.22 Giải bất phương trình sau: ①
20 2( 11)
x x x ② 3 (2x x7)(9 ) x 0 ③ (x1)(x1)(3x6)0
④ (2x7)(4 ) x 0 ⑤ 3 (2x x7)(9 ) x 0 ⑥ ( 2x2)(x1)(2x3)0
D BÀI TẬP NÂNG CAO
2.23 Giải bất phương trình sau: ①
8 17 10 0
x x x ②
6 11 6 0
x x x ③
2x 5x 2x20
④ 2
(x 2x3) (3x3) ⑤
2x 3x 5x 6 0 ⑥
2 5 6 0
x x x
⑦
3x 8x 3x 2 0 ⑧
3 10 24 0
x x x ⑨
4 17 60 0
x x x
⑩
2 4 0
x x
2.24 Giải biệt luận bất phương trình sau:
①
4 2
mx xm ②
2mx 1 x4m ③
( 1) 1
x m m
④
2(m1)x(m1) (x1)
Dạng Giải bất phương có ẩn mẫu
A PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Để giải bất phương trình dạng: ( ) 0; ( ) 0; ( ) 0; ( ) 0 ( ) ( ) ( ) ( )
P x P x P x P x
Q x Q x Q x Q x
Trong P x , Q x tích nhị thức bậc Bước 1: Tìm nghiệm P x 0, Q x 0.
Bước 2: Sắp xếp nghiệm tìm theo thứ tự tăng dần, xét dấu Chú ý dùng kí hiệu || vị trí Q x 0
(53)B BÀI TẬP MẪU
VD2.14 Giải bất phương trình sau:
① (2 5)( 2) 0 3 4
x x
x
②
1 1 1 ( 1)
x x ③
1 2 3 4 3
x x x ④
1 2 3 4 3
x x x
C BÀI TẬP CƠ BẢN VÀ NÂNG CAO
2.25 Giải bất phương trình sau: ① 2 3 1 1 1 x x x ② 3 5
1x 2x1 ③
(3 )( 2) 0 1 x x x
④ 3 2 0
(3 1)( 4)
x x x ⑤ 3 1 2 2 1 x x ⑥ 2 2 3 1 2 1
x x
x x
⑦ 1
5 2
x
x ⑧
4 3 6 2 5 x x ⑨
2 5 3 2 3 2 2 5
x x
x x
⑩ 4 3
3x 1 2 x
⑪ 2 1 1 2 x x x x ⑫ 2 5 1 2 1
x x
⑬ 1 4
1
x x
⑭
1 2 1
x xx ⑮
5 6 1 6 x x
⑯ 1 2 3 x x ⑰ 2 2 3 1 2 1
x x
x x
⑱
1 2 3 1 2 3
x x x
2.26 Giải bất phương trình sau: ①
4
3
( 2) ( 6) 0 ( 7) ( 2)
x x x x ②
(54)Dạng Dấu nhị thức miền
A PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Với f x axb, ta lưu ý kết sau:
① ( ) 0, 0
0
a
f x x
b
② ( ) 0, 0
0
a
f x x
b
③ ( ) 0, 0
( ) 0
a
f x x
f
④ ( ) 0, 0
( ) 0
a
f x x
f
⑤ ( ) 0, 0
( ) 0
a
f x x
f
⑥ ( ) 0, 0
( ) 0
a
f x x
f
⑦ ( ) 0, ( ; ) ( ) 0
( ) 0
f
f x x
f
⑧ ( ) 0, ( ; ) ( ) 0
( ) 0
f
f x x
f
B BÀI TẬP MẪU
VD2.15 Cho bất phương trình: (m1)xm20 Tìm m để:
① Nghiệm với x ② Nghiệm với x 2
③ Nghiệm với mọix 1 ④ Nghiệm x 1; 3
(55)Dạng Giải PT, BPT chứa dấu giá trị tuyệt đối
A PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Tương tự giải phương trình chứa ẩn dấu giá trị tuyệt đối, ta thường sử dụng định
nghĩa tính chất dấu giá trị tuyệt đối để khử dấu giá trị tuyệt đối
Dạng ①: A B B AB
Dạng ②: A B 0
: ó nghia
B A c
0
B
A B
A B
Dạng ③: a f x( )b g x( ) h x( ): dùng PP chia khoảng
Lưu ý: Với B , ta ln có: 0 A B B AB ; A B A B
A B
B BÀI TẬP MẪU
VD2.16 Giải bất phương trình sau:
① 2 x 1 x 3 5 ② 2 x 3 3x 1 x 5 ③ 2 1 4
x ④
2 1 2 1
x x
C BÀI TẬP CƠ BẢN VÀ NÂNG CAO
2.27 Giải phương trình, bất phương trình sau:
① x 1 x 1 4 ② 2x 2 2x 3x ③ 2 2x5 x1
④ 2x4 x1 ⑤ 2 1 1
( 1)( 2) 2
x
x x
⑥
2
2 1
x x
⑦ 5 10
2 1
x x
⑧
2 1
2 1 3
1
x x
x
⑨ 2 2 3
5 6
x
x x
⑩ 3 3
4 1 x
x ⑪ 3x 5 2 ⑫ ( 2 3)x1 3 2
(56)BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM CHỦ ĐỀ
TN2.28 Cho f x 2x Khẳng định sau khẳng định sai ? 1
A f x 0, x 2 B 0, 1
2
f x x
C. f x 0, x 0 D 0, 1
2
f x x
TN2.29 Cho f x m21x1 Khẳng định sau khẳng định sai ?
A f x với 0 x thuộc 0;
B f x với 0 x thuộc 21 ; 1
m
C Khi m 0 f x với 0 x thuộc 1;
D Tập nghiệm bất phương trình f x chứa 0 0; với m
TN2.30 Cho f x 3 5x m số khác Hãy chọn số âm số sau
A f 0 B f 1
C 3
5
f m
D
2
3 5
f m
TN2.31 Cho f x 2x1x3 Khẳng định sau khẳng định sai ?
A f x với 0 ; 1 2
x
B f x với 0
1 ;
2
x
C. f x với 0 1; 3 2
x
D f x với 0 x 3;
TN2.32 Cho f x 3x4 3 x Khẳng định sau khẳng định sai ?
A f x với 0 x thuộc ; 4 3
B f x với 0 x thuộc
4 2 ; 3 3
C f x 0 với ; 4
3
x
D f x với 0 2
; 3
x
TN2.33 Cho 1 2
2 7
x x
f x
x
Khẳng định sau khẳng định ?
A f x 0 Khi 0 x ,0 1 x 0 2 0 7 2
x
B f x với 0 x thuộc 1;2
C Trên khoảng ; 1, 1;2, 2;7 2 ,
7 ; 2
, f x không đổi dấu f x đổi
dấu qua giá trị x 1 ,x 2 7 2
x
D 0, 1; 2 7; 2
f x x
, 7 0, ; 1 2;
2
f x x
(57)TN2.34 Cho f x | 3x2 ||1 | x Khẳng định sau khẳng định sai ?
A Trên ; 2
3
f x 3x2 1 4 x
B Trên 2 1; 3 4
f x 3x2 4x1
C Trên 2 1; 3 4
f x 7x 1
D Trên 1; 4
f x 3 x
TN2.35 Tập nghiệm bất phương trình 1 2 x2x5x1 0
A 1;1 2
S
B
5 1;
2
S
C 1;1 5; 2 2
S
D
1;
TN2.36 Tập nghiệm bất phương trình x x 23x20
A S ; 2 B S 2; 1
C ; 22; D S 2; 1 0;
TN2.37 Tập nghiệm bất phương trình x x 23x20
A S 0;1 B S ;12;
C S 0;1 2; D S ;1 2;
TN2.38 Tập nghiệm bất phương trình
| 3 1| 2
0 5
x x
x
là
A 2;1 5; 3
S
B
5;
S
C ;1 5; 3
S
D
1 2; 5;
3
TN2.39 Tập nghiệm bất phương trình |x3 | 2 x 1 0
A S ; 4 B ;2 3
S
C S D
;3
S
TN2.40 Cho bất phương trình x4x2 (*) Xét mệnh đề sau: 1 0
(I) Tập nghiệm bất phương trình (*) tập nghiệm hệ bất phương trình
4 2 0
4 2 1
x x
x x
(II) Tập nghiệm (*) S 1 10; 1 10 (III) Bất phương trình (*) vơ nghiệm
(IV) Tập nghiệm (*) 1 10; 4 2; 1 10
Trong mệnh đề có mệnh đề ?
(58)BẤT PHƯƠNG TRÌNH HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
1 Bất phương trình bậc hai ẩn:
① ax by c 0; ② ax by c 0; ③ ax by c 0; ④ ax by c 0;
2 Hệ bất phương trình bậc hai ẩn:
Là hệ gồm hai hay nhiều bất phương trình bậc hai ẩn
Ví dụ:
2 0
3 2
3
x y
x y
y x
,
2 3 6 0
0
2 3 1 0
x y
x
x y
Dạng Bất phương trình bậc hai ẩn
A PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Để xác định miền nghiệm ax by c 0 (tương tự cho dạng lại) ta thực bước sau:
Bước 1: Vẽ đường thẳng d ax by: c 0
Bước 2: Lấy điểm M x 0; y0 không nằm d xác định giá trị củadM ax0by0c Nếu:
dM 0 nửa mặt phẳng (không kể bờ d ) chứa điểm M miền nghiệm
0
ax by c
dM 0 nửa mặt phẳng (không kể bờ d ) chứa điểm M không miền nghiệm
của ax by c 0
Bước 3: Gạch bỏ miền không nghiệm, miền cịn lại khơng gạch miền nghiệm
0
ax by c
Chú ý: Miền nghiệm ax by c 0 ax by c 0 bao gồm tất điểm nằm đường thẳng d ax by: c 0
B BÀI TẬP MẪU
VD2.17 Biểu diễn hình học tập nghiệm bpt bậc hai ẩn sau:
① x 2 2(y2)2(1x) ② 3(x1)4(y2)5x3
Tóm tắt lí thuyết
Phương pháp giải toán
5
(59)
C BÀI TẬP CƠ BẢN VÀ NÂNG CAO
2.28 Xác định miền nghiệm bất phương trình bậc hai ẩn sau: ① 3xy20 ② 2xy1
③ x 3 2(2y5)2(1x) ④ (1 3)x(1 3)y2
⑤ x 2 2(y1)2x4 ⑥ 2x 2y 2 2 0
Dạng Hệ bất phương trình bậc hai ẩn
A PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Để xác định miền nghiệm hệ bất phương trình bậc hai ẩn ta tìm miền nghiệm của bất phương trình
Dựa vào đồ thị suy miền nghiệm hệ miền không bị gạch bỏ
B BÀI TẬP MẪU
VD2.18 Biểu diễn hình học tập nghiệm hệ bất phương trình bậc hai ẩn sau:
①
2 0
3 2
3
x y
x y
y x
②
2 3 6 0
0
2 3 1 0
x y
x
x y
(60)C BÀI TẬP CƠ BẢN VÀ NÂNG CAO
2.29 Xác định miền nghiệm hệ bất phương trình bậc hai ẩn sau đây: ① 2 1 0
3 5 0
x x
② 3 0
2 3 1 0
y
x y
③ 2 0
3 2
x y
x y
④
3 2 6 0
3
2( 1) 4
2 0
x y
y x
x
⑤
0
3 3
5
x y
x y
x y
⑥
3 0
2 3
2
x y
x y
y x
Dạng Một ví dụ áp dụng vào kinh tế
A PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Vấn đề tìm miền nghiệm hệ bất phương trình bậc có liên quan chặt chẽ đến ngành tốn học có nhiều ứng dụng đời sống - Ngành Quy hoạch tuyến tính Dưới phương pháp giải tốn "Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức bậc ẩn"
Bài tốn: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức F ax by Với ( x y nghiệm ; )
hệ bất phương trình bậc ẩn cho trước
Giải: Xác định miền nghiệm S hệ bất phương trình cho Ta thường S đa
giác
Tính giá trị F ứng với (x, y) tọa độ đỉnh đa giác
Kết luận: + Giá trị lớn F số lớn giá trì tìm
+ Giá trị nhỏ F số nhỏ giá trị tìm
B BÀI TẬP MẪU
VD2.19 Tìm GTLN NN F 3x9y , với x y nghiệm hệ bất phương ;
1 0
2 4 0
1 0
2 4 0
x y x y x y
x y
(61)C BÀI TẬP CƠ BẢN VÀ NÂNG CAO
2.30 Gọi S tập hợp điểm mặt phẳng tọa độ thỏa hệ:
2 2 2 2 5
x y
x y
x y
a) Hãy xác định S để thấy S tam giác
b) Trong S tìm điểm x y làm cho biểu thức ; f x y , yx có giá trị nhỏ
2.31 Có ba nhóm máy A, B, C dùng để sản xuất hai loại sản phẩm I II Để sản xuất đơn vị
sản phẩm loại phải dùng máy thuộc nhóm khác Số máy nhóm và số máy nhóm cần thiết để sản xuất đơn vị sản phẩm thuộc loại cho trong bảng sau:
Nhóm Số máy
nhóm
Số máy nhóm để sản xuât đơn vị sản phẩm
Loại I Loại II
A 10 2 2
B 4 0 2
C 12 2 4
Một đơn vị sản phẩm I lãi nghìn đồng, đơn vị sản phẩm II lãi nghìn đồng Hãy lập phương án để việc sản xuất hai loại sản phẩm có lãi cao
2.32 Một xưởng có máy cắt máy tiện dùng để sản xuất trục sắt đinh ốc Sản xuất trục sắt
lần lượt máy cắt chạy máy tiện chạy giờ, tiền lãi triệu Sản xuất đinh ốc máy cắt máy tiện chạy giờ, tiền lãi triệu Một máy sản xuất loại Máy cắt làm không 6giờ/ngày, máy tiện làm không 4giờ/ngày Một ngày xưởng nên sản xuất loại để tiền lãi cao
2.33 Trong thi pha chế, đội dùng tối đa 24g hương liệu, lít nước 210g đường để
pha nước cam nước táo Pha lít nước cam cần 30g đường, lít nước 1g hương liệu; pha lít nước táo cần 10g đường, lít nước 4g hương liệu Mỗi lít nước cam 60 điểm, lít nước táo 80 điểm Cần pha chế lít nước trái loại để đạt điểm cao
2.34 Một phân xưởng có hai máy đặc chủng M1, M2 sản xuất hai loại sản phẩm kí hiệu I II Một
tấn sản phẩm loại I lãi triệu đồng, sản phẩm loại II lãi 1,6 triệu đồng Muốn sản xuất tấn sản phẩm loại I phải dùng máy M1 máy M2 Muốn sản xuất
sản phẩm loại II phải dùng máy M1 máy M2 Một máy dùng
để sản xuất đồng thời hai loại sản phẩm Máy M1 làm việc không ngày, máy
M2 làm việc không Hãy đặt kế hoạch sản xuất cho tổng số tiền lãi cao
2.35 Một người tiếp nhận ngày không 600 đơn vị vitamin A không 500 đơn vị
vitamin B Một ngày người cần 400 đến 1000 đơn vị vitamin A lẫn B Do tác động phối
hợp hai loại vitamin, ngày số đơn vị vitamin B phải khơng 1
(62)BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM CHỦ ĐỀ
TN2.41 Cho bất phương trình2x4y có tập nghiệm 5 S Khẳng định sau khẳng định đúng ?
A 1;1 S B 1;10 S C 1; 1 S D 1;5 S
TN2.42 Cho bất phương trìnhx2y có tập nghiệm 5 0 S Khẳng định sau khẳng định ?
A 2; 2S B 1;3S C 2; 2 S D 2; 4 S
TN2.43 Cho bất phương trình2x 3y 20 có tập nghiệm S Khẳng định sau khẳng định ?
A 1;1 S B 2;0
2 S
C 1; 2 S D 1;0 S
TN2.44 Cho hệ bất phương trình 0
2 5 0
x y
x y
có tập nghiệm S Khẳng định sau khẳng định ?
A 1;1 S B 1; 1 S C 1; 1
2 S
D
1 2 ; 2 5 S
TN2.45 Cho hệ bất phương trình 0
3 1 0
x
x y
có tập nghiệm S Khẳng định sau
khẳng định ?
A 1; 1 S B 1; 3S C.1; 5S D 4; 3S
TN2.46 Cho hệ bất phương trình 0
3 1 0
x
x y
có tập nghiệm S Khẳng định sau
khẳng định ?
A 1; 2 S B 2;0S C 1; 3S D 3;0S
TN2.47 Cho hệ bất phương trình
3
1
1 0
2
x y
x y
có tập nghiệm S Khẳng định sau khẳng
định ?
A 1; 2 S B 2;1S C 5; 6 S D S
TN2.48 Cho hệ bất phương trình
3
2 1
2
4 3 2
x y
x y
có tập nghiệm S Khẳng định sau khẳng
định ?
A 1; 1 4 S
B Sx y; | 4x 3 2
C Biểu diễn hình học S nửa mặt phẳng chứa gốc tọa độ kể bờ d, với d là đường thẳng 4x3y 2
D Biểu diễn hình học S nửa mặt phẳng khơng chứa gốc tọa độ kể bờ d, với d
(63)TN2.49 Miền nghiệm bất phương trình 3x2y 6
A. B
C. D
TN2.50 Miền nghiệm bất phương trình 3x2y 6
A. B
C. D
O x
2
3
y
O x
y
2
3
O x
y
2
3
O
2 3
y
x
O x
2
3
y
O x
y
2
3
O x
y
2
3
O
2 3
y
(64)TN2.51 Miền nghiệm bất phương trình 3x2y 6
A. B
C. D
TN2.52 Miền nghiệm bất phương trình 3x2y 6
A. B
C. D
O x
2
3
y
O x
y
2
3
O x
y
2
3
O
2 3
y
x
O x
2
3
y
O x
y
2
3
O x
y
2
3
O
2 3
y
(65)TN2.53 Cho hệ
2 3 5 (1)
3
5 (2) 2
x y
x y
Gọi S tập nghiệm bất phương trình (1), 1 S tập nghiệm 2
của bất phương trình (2) S tập nghiệm hệ
A S1S2 B S2 S1 C S2 S D S1S
TN2.54 Phần không gạch chéo hình sau biểu diễn miền nghiệm hệ bất phương trình
trong bốn hệ A, B, C, D ?
A 0
3 2 6
y
x y
B 0
3 2 6
y
x y
C 0
3 2 6
x
x y
D 0
3 2 6
x
x y
TN2.55 Miền tam giác ABC kể ba cạnh sau miền nghiệm hệ bết phương trình bốn bệ A, B, C, D ?
O
C
B
5 2 2
A
x
O
2 3
y
(66)A
0 5 4 10 5 4 10
y
x y
x y
B
0
4 5 10 5 4 10
x
x y
x y
C
0
5 4 10 4 5 10
x
x y
x y
D
0
5 4 10 4 5 10
x
x y
x y
TN2.56 Cho hệ bất phương trình
2
3 5 15
0
0
x y
x y
x y
Khẳng định sau khẳng định sai ?
A Trên mặt phẳng tọa độ Oxy , biểu diễn miền nghiệm hệ bất phương trình cho
miền tứ giác ABCO kể cạnh với A0;3, 25 9; 8 8
B
, C2;0 O0;0
B Đường thẳng : xym có giao điểm với tứ giác ABCO kể 1 17 4
m
C Giá trị lớn biểu thức xy , với x y thỏa mãn hệ bất phương trình cho 17
4
D Giá trị nhỏ biểu thức xy , với x y thõa mãn hệ bất phương trình cho
TN2.57 Biểu thức L y , với x x y thõa mãn hệ bất phương trình tập 13, đạt giá trị lớn
nhất a đạt giá trị nhỏ b Hãy chọn kết kết sau:
A 25
8
a b 2 B a 3 b 2 C a 3 b 0 D a 3 9
8
(67)DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
Định lí dấu tam thức bậc hai:
2
0 ( ) f x ax bx c a
0
a f x. 0, x f x dấu với a
0
0 \
2 . ,
a f x x b
a
f x dấu với a
0
2
. 0, ;
a f x x x x Trong trái
. 0, (– ; ) ( ; )
a f x x x x Ngoài
Dạng Xét dấu biểu thức
A PHƯƠNG PHÁP GIẢI
1 Dấu tam thức bậc hai: 2
4 /
b ac b ac
① TH1: : 0 f x vô nghiệm
x –
f x cùng dấu với a
② TH2: : 0 f x có nghiệm kép 1 2
2
b
x x
a
x –
2
b a
f x cùng dấu với
a 0
cùng dấu với a
③ TH3: : 0 f x có nghiệm x1, x2x1 x2:
x – x1 x2
f x cùng 0 trái 0 cùng
“Trong trái, cùng”
B BÀI TẬP MẪU
VD2.20 Xét dấu biểu thức sau:
①
( ) 3 5
f x x x ②
( ) 3 2 5
f x x x ③
( ) 9 24 16
f x x x ④
2
2 1
( )
4
x x
f x
x
Tóm tắt lí thuyết
Phương pháp giải tốn
6
(68)
C BÀI TẬP CƠ BẢN
2.36 Xét dấu biểu thức sau:
①
( ) 5 3 1
f x x x ②
( ) 2 3 5
f x x x ③
( ) 12 36
f x x x
④ f x( )(2x3)(x5) ⑤
( ) 3 2 1
f x x x ⑥
( ) 4 1
f x x x
⑦ 3
( ) 3 4
f x x x ⑧
( ) 3 5
f x x x ⑨
( ) 2 5 2
f x x x
⑩
( ) 4 3 1
f x x x ⑪
( ) 3 5 1
f x x x ⑫
( ) (1 2) 2 1 2
f x x x
D BÀI TẬP NÂNG CAO
2.37 Xét dấu biểu thức sau:
①
( ) (3 10 3)(4 5)
f x x x x ② 2
( ) (3 4 )(2 1)
f x x x x x
③ 2
( ) (4 1)( 8 3)
f x x x x ④ 2
( ) (3 4 )(2 1)
f x x x x x
⑤
( ) (3 10 3)(4 5)
f x x x x ⑥
2
2
(3 )(3 ) ( )
4 3
x x x
f x x x ⑦ 2
(3 )(3 ) ( )
4 3
x x x
f x
x x
⑧
7 ( )
4 19 12
x f x
x x
⑨
11 3 ( ) 5 7 x f x x x
⑩ ( ) 33 22 3 2 x f x x x ⑪ 2 4 12 ( )
6 3 2
x x f x x x ⑫ 2 3 2 ( ) 1 x x f x x x ⑬ 5 4 ( )
4 8 5
x x
f x
x x x
⑭
2
15 7 2 ( ) 6 5 x x f x x x ⑮ 2 17 60 ( )
( 8 5)
x x
f x
x x x
(69)Dạng Giải bất phương trình bậc hai
A PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Bước Cho f x 0 tìm nghiệm x1, x2 (nếu có)
Bước Lập bảng xét dấu f x dựa vào dấu tam thức bậc hai (chú ý xếp nghiệm theo thứ tự)
Bước Từ bảng xét dấu, suy tập nghiệm bất phương trình
B BÀI TẬP MẪU
VD2.21 Giải bất phương trình sau:
①
3x 2x 5 0 ②
2x 3x 5 0
③
3x 7x 4 0
④
9x 24x160 ⑤
4 3 0
x x ⑥
2x 5x 3 0
⑦
6 9 0
x x
⑧
16x 40x250 ⑨
2x 4x 3 0
(70)C BÀI TẬP CƠ BẢN
2.38 Giải bất phương trình sau: ①
4x x 1 0 ②
3x x 4 0
③
6 0
x x
④
2 3 0
x x ⑤
5x 4x 12 0
⑥
16x 40x250
⑦
3x 4x40 ⑧
6 0
x x ⑨
9 6
x x
⑩
6x x 2 0 ⑪ 1
3 6 0
3x x ⑫
2
2x 7x150
⑬
2(x2) 3, 52x ⑭
( 5) 2( 2)
x x x
Dạng Giải bất phương trình tích, thương
A PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Giải bất phương trình dạng: f( x ).g( x ) f( x )0 g( x )
Bước Tìm điều kiện xác định D1 có
Bước Cho f x 0; g x 0 tìm nghiệm x ii 1 .n
Bước Lập bảng xét dấu f x , g x suy dấu f x g x( ) ( ) ( )
( )
f x
g x
Bước Từ bảng xét dấu, suy tập nghiệm S1 Vậy tập nghiệm bất phương trình SD1S1
B BÀI TẬP MẪU
VD2.22 Giải bất phương trình sau:
①
(1 )( x x x30)0 ②
2
2
(2 )( 2 1) 0 3 4
x x x
x x
③ 2
2 3 2 0 5 6
x x
x x
④
2
2 16 27 2 7 10
x x
x x
(71)C BÀI TẬP CƠ BẢN VÀ NÂNG CAO 2.39 Giải bất phương trình sau:
①
3 0
x x ②
(2x1)(x x 30)0 ③
3x x 4x x 3 0
④
(1 )( x x x30)0 ⑤
5 4 0
x x ⑥
2 63 0
x x
⑦
3 2 0
x x ⑧
19 216 0
x x
2.40 Giải bất phương trình sau: ① 2 0 5 6 x x x x ② 2 9 14 0 5 4 x x x x
③
2 0 9 20 x x x ④ 2
4 3 1 0 5 7 x x x x ⑤ 2
5 3 8 0 7 6 x x x x ⑥ 2 4 4 0 2 1 x x x x ⑦ 2 1 0 4 5 x x x x ⑧ 2 7 12 0 2 4 5
x x x x ⑨ 2 7 12 0 2 4 5
x x
x x
2.41 Giải bất phương trình sau:
① 1 2 3
4 3 4
x x x ②
2
2 7 7 1 3 10 x x x x
③ 2
1 1
5 4 7 10
x x x x
④
2
2 10 14 1 3 2 x x x x ⑤ 2
5 6 1 5 6
x x x
x x x
⑥
2 1 2 1
1 1 1
x
x x x x
⑦ 2 1 1 0
1 1
xx x ⑧
2 5 1 6 7 3
x
x x x
⑨
1 1 1 2 1
x x x
⑩ 1 2 3
1 3 2
x x x ⑪
1 1 2
2 2
x x x ⑫
1 1 2 1 x x x x
⑬ 14 9 30
1 4 x x x x ⑭
2( 4) 1 ( 1)( 7) 2
x
x x x
2.42 Giải bất phương trình sau:
① 2
(x x 1)(x x 3)15 ② 2
(x 3x1)(x 3x3)5
③ 2
(x x 1)(x x 7) 5 ④
2
15
2 2 1 0
1
x x
x x
2.43 Tìm giá trị ngun khơng âm x thỏa mãn bất phương trình: 2 3 1 2 2
4 2 2
x x
x x x x
2.44 Tìm tập xác định hàm số sau:
① y (2x5)(1 ) x ②
2
5 4
2 3 1
x x
y
x x
③
3 3 1 2 15 x y x x ④ 2 5 4 5 4 x x y x x
Dạng Giải hệ bất phương bậc hai
A PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Giải hệ bpt bậc hai ẩn:
2
f( x ) ax bx c 0 1 g( x ) a x b x c 0 2
Bước Giải 1 , 2 tập nghiệm tương ứng S , 1 S 2
(72)B BÀI TẬP MẪU
VD2.23 Giải hệ bất phương trình sau: ①
2
3 7 2 0
2 3 0
x x x x
② 2 2 1 5
2 9 7 0
x x x
C BÀI TẬP CƠ BẢN VÀ NÂNG CAO
2.45 Giải hệ bất phương trình sau: ①
2
2 9 7 0
6 0 x x x x ② 2
4 5 6 0
4 12 5 0
x x x x ③ 2
2 5 4 0
3 10 0
x x x x ④ 2
2 6 0
3 10 3 0
x x x x ⑤ 2
2 3 0
11 28 0
x x x x ⑥ 2 0, 25 0 x x x ⑦ 2
3 4 1 0
3 5 2 0
x x x x ⑧ 2
8 7 0
8 20 0
x x x x ⑨ 2 1 0 4
2 5 5 0
x x x ⑩
( 1)(2 3) 0
1
( 4) 0
4 x x x x ⑪ 2 4
(2 1) 9
x x x
⑫ 22 3 ( 1)( 2)
6
x x x
x x
2.46 Giải hệ bất phương trình sau:
①
2
9 0
( 1)(3 7 4) 0
x
x x x
② 4 0
1 1 1
1 2
x
x x x
③
3 2 0
0 1 x x x x ④ 2
4 5 0 6 8 0 2 3 0
x x x x x ⑤
2 2
(2 1)(4 )
0
2 3
( 16 21) 36
x x
x x
x x x
⑥ 2 7 4 4 2 5 0 1 x x x x x ⑦ 2
12 64 0 8 15 0 0, 75 6, 5
x x x x x ⑧
2 2
2
2
(4 3 8) (5 4 )
0
2 3
( 8 ) ( 10)
x x x x
x x
x x x
2.47 Tìm giá trị a cho ta ln có: x
2
5
1 7
2 3 2
x x a
x x
(73)Dạng Phương trình & Bất phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối
A PHƯƠNG PHÁP GIẢI
1 Phương trình–Bất phương tình chứa ẩn dấu giá trị tuyệt đối:
Để giải phương trình, bất phương trình chứa ẩn dấu trị tuyệt đối, ta thường sủ dụng
định nghĩa tính chất giá trị tuyệt đối để khử dấu giá trị tuyệt đối
Xem lại cách giải phương trình trị tuyệt đối (Chương 3) Các dạng thường gặp sau:
Dạng ①: A B A B AB Dạng ②: A B B AB
Dạng ③: A B (AB A)( B)0
Dạng ④: a A b B C: dùng phương pháp chia khoảng Lưu ý:
A A A0 A A A0
B BÀI TẬP MẪU
VD2.24 Giải phương trình, bất phương trình sau:
①
3 2 0
x x x ②
8 15 3
x x x
C BÀI TẬP CƠ BẢN VÀ NÂNG CAO
2.48 Giải phương trình sau:
① 2
5 4 6 5
x x x x ② x1 2x1 ③
2
2 2 1
x x
④ 2x3 4 3 x ⑤
2 3 2 2
x x x ⑥
2 1 0
x x
⑦ 2
2 3 2 5
(74)2.49 Giải bất phương trình sau: ①
1 2 5
x x x
② 2
1
x x x ③ 2
5 4 6 5
x x x x
④
4x 4x 2x 1 5 ⑤
3x 5x2 0 ⑥ 22 1 1
3 4 2
x
x x
2.50 Giải bất phương trình sau:
① x 1 x2 3 ② 2 x3 3x 1 x5
2.51 Tìm tất giá trị x thỏa mãn:
①
1 2 1
x x x 3
3
x ②
2 4 2 6 0
x x x x 181
③
3 3 0
x x x ④ 2
20 9 3 10 21
x x x x
Dạng Phương trình & Bất phương trình chứa thức
A PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Để giải phương trình, bất phương trình chứa ẩn dấu ta thường dùng phép nâng
lũy thừa đặt ẩn phụ để khử
Xem lại cách giải phương trình có dấu (Chương 3)
Các dạng bất phương trình có chứa ẩn thức thường gặp:
Dạng ①: A B B 0
A B
Dạng ②: AB
2
0
0
A B
A B
Dạng ③: AB
2
0
0
0
A B B
A B
B BÀI TẬP MẪU
VD2.25 Giải hệ bất phương trình sau:
①
1 2
x x ②
3 10 2
x x x ③
2 15 3
x x x
④
( 3) 6 3
x x x x ⑤ (x2 x 2) 2x2 1 0 ⑥ x 3 x 1 x2
Lưu ý: Đối với phương
trình, bất phương trình khơng có dạng chuẩn lí thuyết, ta thực hiện:
B1: Đặt điều kiện cho có nghĩa
B2: Chuyển vế cho vế đều không âm
(75)
C BÀI TẬP CƠ BẢN VÀ NÂNG CAO
2.52 Giải phương trình sau: ①
2x 4x 1 x1 ② 9x 3x20 ③
2 4 2
x x x
④
2 3 2 3
x x x ⑤ 5x26x42(x1) ⑥ 9 5 3 6
3
x x
x
⑦
4 2( 3)
x x ⑧
4x 101x64 2(x10)
2.53 Giải phương trình sau:
① 2
2 2 4 3
x x x x ②
(x1)(x2)x 3x4
③ 2
3 12 3
x x x x ④ 2
2x 3 2x 30
⑤ 3
18 81 x x ⑥
2x 3x 3 5 2x 3x9
⑦ 2
2x 6 2x 3x23(x1) 2.54 Giải phương trình sau:
① (x1) 16x17 (x1)(8x23) ② 2
21
4 6 0 4 10 x x
x x
③ 2 2 213 6
2 5 3 2 3
x x
x x x x ④
2
2 1
1
x x
x
2.55 Giải bất phương trình sau: ①
6 1
x x x ② 2x 1 2x3 ③
2x 1 1 x
④
5 14 2 1
x x x ⑤
6 8 2 3
x x x ⑥
4 12 2 3
x x x
⑦
2x 7x5 x1 ⑧
12 1
x x x ⑨
4 12 4
x x x
⑩
4 5 3
(76)2.56 Giải bất phương trình sau:
① 1x 4x3 ② x2 x62 ③ 22x 10x 2
④ 2
9 7 2
x x ⑤ x2 x 1 x ⑥ 2x 1 2 x x3
⑦ x 3 x 1 x2 ⑧ x3 7x 2x8 ⑨ x 3 x 1 x2
⑩
4x2 5x 61x ⑪
8 12 4
x x x
⑫
5x 61x 4x2
⑬ 2 x 4x 3 2
x
⑭ x3 1 x ⑮
6 5 8 2
x x x
2.57 Giải bất phương trình sau:
①
6 (x2)(x32)x 34x48 ②
(x4)(x1) 3 x 5x2 6
③ 2
4 6 2 8 12
x x x x ④
2 (x x1) 1 x x 1
⑤ 2
5x 10x 1 72xx ⑥ (x1)(x4)5 x25x28
⑦
(4x)(6x)x 2x12 ⑧
4 (4 x x)( 2) x 2x 12
⑨
( 3) 3 6
x x x x ⑩
(x1)(x2)x 3x4
2.58 Giải bất phương trình sau:
① 4 1 3
1 4 2
x x
x x
②
3 1
2 1
3 1
x x
x x
③ 2 6 1 2 1
6 1
x x
x x
④
5 1
5 2 4
2 2
x x
x x
2.59 Giải bất phương trình sau:
① x 1 3x (x1)(3x)2 ② 2
( 4) 4 ( 2) 2
x x x x x
③
7x7 7x62 49x 7x42181 14 x 2.60 Giải bất phương trình sau (nhân lượng liên hợp):
① x8 x 3 x 3 ② x1 x 3 8x2x11
③ 3x 6 3x3 3x 1 3x2 3 ④
2
16
4(3 2) 4 1 1
x
x x
⑤ 4x12 2x10 1 3 2 x2
2.61 Giải bất phương trình sau:
① 2
4 3 2 3 1 1
x x x x x ② 2
3 2 4 3 2 5 4
x x x x x x
③ 2
2 2 3 4 5
x x x x x x ④ 2
3 2 6 5 2 9 7
x x x x x x
2.62 Giải bất phương trình sau:
① (x2) x24x2 4 ②
(2x1) x 1 4x 1
③ (x3) x24x2 9 ④ (x3) x2 4x2 9
⑤
2
9 4
3 2
5 1
x
x x
⑥ 2
3(4 9)
2 3
3 3
x
x x
(77)2.63 Giải bất phương trình sau: ① 2 4 1 3 10 x x x ② 2 6 6
2 5 4
x x x x
x x
③ 5 1
1 x x ④ 2 12 12
11 2 9
x x x x
x x
2.64 Giải bất phương trình sau:
① (x1) x2 x 2 0 ② (x23 ) 2x x23x2 0
2.65 Tìm tập xác định hàm số sau:
①
3 4 8
y x x x ②
2
1
2 1 2
x x y x x
③ 2 1 2 1
7 5 2 5
y
x x x x
④
2
5 14 3
y x x x
Dạng Bài toán chứa tham số phương trình & bất phương trình
A PHƯƠNG PHÁP GIẢI
1 Tam thức bậc hai không đổi dấu :
Từ định lí dấu tam thức bậc hai, ta suy kết sau: Cho
( 0)
f x ax bxc a
① ( ,
0 0 0
f x x a
② ( , 0 0 0
f x x a
③ ( , 0 0 0
f x x a
④ ( , 0 0 0
f x x a
Trong trường hợp hệ số a có chứa tham số ta xét trường hợp:
Trường hợp 1: a , giải tìm giá trị m thay vào 0 f x kiểm tra
Trường hợp 2: a : Áp dụng công thức 0
Từ ta suy điều kiện vơ nghiệm bất phương trình:
⑤ Để BPT f x ( ) 0 vô nghiệm ( ) 0, 0 0
a
f x x
⑥ Để BPT f x ( ) 0 vô nghiệm ( ) 0, 0 0
a
f x x
⑦ Để BPT f x ( ) 0 vô nghiệm ( ) 0, 0 0
a
f x x
⑧ Để BPT f x ( ) 0 vô nghiệm ( ) 0, 0 0
a
f x x
2 Giải biện luận bất phương trình bậc hai: f(x) = ax2 + bx + c >
Bước Xét a (nếu hệ số a có tham số) 0
Bước Lập , cho để tìm nghiệm, có nghiệm nghiệm 0 m i
Bước Lập bảng xét dấu a bảng xét dấu (biến số m )
(78)B BÀI TẬP MẪU
VD2.26 Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm trái dấu: 2
2x (m m1)x2m 3m 5 0
VD2.27 Tìm m để biểu thức
(m2)x 2(m2)xm3 dương
VD2.28 Tìm m để
2( 1) 3 0
x m xm với mọix 0
(79)VD2.29 Tìm m để bất phương trình sau vơ nghiệm:
(m2)x 2(m1)x2m0
VD2.30 Tìm m để hàm số sau có tập xác định :
( ) 2 3 ( 1) 3( 1)
y f x x m x m xm
VD2.31 Giải biện luận bpt: 2x2(m9)xm23m40
(80)C BÀI TẬP CƠ BẢN VÀ NÂNG CAO
2.66 Tìm m để phương trình sau có nghiệm:
①
(m5)x 4mxm20 ②
(m1)x 2(m1)x2m 3 0
③
( 2) 2 3 0
x m x m
2.67 Tìm m để phương trình sau vơ nghiệm:
①
(3m x) 2(m3)xm20 ②
(m2)x 2(2m3)x5m60
2.68 CMR: phương trình sau vơ nghiệm dù m lấy giá trị nào:
① 2
2( 1) 2 3 0
x m x m m ② 2
(m 1)x 2(m2)x60
③ 2
(2m 1)x 4mx20 ④ 2
2( 1) 2( 1) 0
x m x m m
⑤ 2
2( 3) 2 7 10 0
x m x m m ⑥ 2
( 3 1) 3 2 0
x m xm m
2.69 Chứng minh phương trình sau ln có nghiệm với giá trị tham số m :
① 1
( 1) 0 3
x m xm ②
2( 1) 3 0
x m xm
③ 3 1
( 1) 0
4 2
x m x m ④
(m1)x (3m2)x 3 2m0
2.70 Tìm m để bất phương trình sau vơ nghiệm:
①
6 7 0
x xm ②
2( 1) 1 0
x m x
③
(m2)x 2x40 ④
4( 1) 5 0
mx m xm
⑤
(m2)x 2(m2)m40 ⑥
(m4)x (m1)x2m 1 0
⑦
(m1)x 2(m1)x3m20 ⑧
(3m1)x (3m4)x2m 1 0
⑨ 2
(m 2m3)x 2(m1)x 1 0 ⑩
( 8) 2( 8) 8 1 0
m m x m x m
2.71 Tìm m để hàm số sau có tập xác định :
① 2
( ) ( 4 5) 2( 1) 2
y f x m m x m x ②
( ) (3 1) (3 1) 4
y f x m x m xm
③
2
4 5
( ) 2
(2 ) 2 1
x
y f x x
m x mx m
④
2
2
3 4
( ) 3 7 x x 2
y f x x mx
x mx m
⑤
2
2
( 2) 2
( ) 3 2017
1
mx m x
y f x m m
x
⑥ 2
( ) 5 2 ( 1) 2( 1) 2
y f x x m m x m m
2.72 Tìm giá trị m để biểu thức sau dương:
①
4 5
x xm ②
( 2) 8 1
x m x m
③ 2
4 ( 2)
x x m ④
(3m1)x (3m1)xm4
2.73 Tìm giá trị m để biểu thức sau âm:
①
(m2)x 5x4 ②
(m4)x (m1)x2m1
③
12 5
mx x ④ 2
4( 1) 1
x m x m
(81)2.74 Tìm giá trị m để bất phương trình sau nghiệm với x (có tập nghiệm ):
① 2
2 2 2 1 0
x m x m
② 2
(m 1)x 2(m1)x 3 0
③ 2
(m 3)x 2(m1)x 1 0 ④ 2
(m 2)x 2(m1)x 1 0
⑤
(m1)x 2(m1)x4m0 ⑥
(m4)x (m6)xm 5 0
⑦
(m1)x (m1)x 1 2m0 ⑧
(m1)x 2(m1)xm20
⑨
(m2)x 2(m3)xm 1 0 ⑩
(m1)x 2(m1)x3(m2)0
2.75 Tìm giá trị m để hệ bất phương trình sau có nghiệm:
①
2 15 0
( 1) 3
x x
m x
②
5 6 0
mx + < 0
x x
③ 42 1 7 2
2 1 0
x x
x mx
④
3 4 0
( 1) 2 0
x x
m x
2.76 Tìm giá trị m để hệ bất phương trình sau vơ nghiệm:
①
10 16 0
3 1
x x
mx m
②
3 4 0
( 1) 2 0
x x
m x
2.77 Tìm giá trị m để:
①
2( 1) 3 0
x m xm đúng x 0 ②
( 1) 1 0
x m x x 0
③
(3m x) 2(m1)x 1 0 x 0 ④
2( 2) 2 0
x m xm x 0; 1
⑤
2 3 2 0
x mx m x 1; 2
2.78 Tìm tham số m để bất phương trình:
2( 1) 5 0
mx m xm
① Có nghiệm ② Có nghiệm ③ Có nghiệm đoạn trục số có độ dài 2.79 Tìm tham số m để bất phương trình:
(1m x) 2mxm 6 0
① Có nghiệm ② Có nghiệm ③ Có nghiệm đoạn trục số có độ dài
2.80 Tìm giá trị m cho phương trình: 2
(1 ) 1 0
x m x m
① Vơ nghiệm ② Có nghiệm phan biệt ③ Có nghiệm phân biệt
2.81 Tìm giá trị a cho phương trình sau có ba nghiệm phân biệt: 2
(a1)x ax a 1 0
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM CHỦ ĐỀ
TN2.58 Cho tam thức bậc hai f x x2 x 12 Khẳng định sau khẳng định sai ?
A 2371 0 801
f
B
35683 0 12110
f
C 1583492 0 4100013
f
D f x với mọi 0 x thuộc ; 3
TN2.59 Cho tam thức bậc hai f x x2 x 12 Khẳng định sau khẳng định sai ?
A f x với 0 x 0
B Tồn giá trị x mà f x 0
C Tập nghiệm bất phương trình f x 0
(82)TN2.60 Cho tam thức bậc hai f x 4 5xx220 Khẳng định sau khẳng định ?
A f 2016 0 B f20170
C f2 50 D Phương trình f x có hai nghiệm phân biệt 0
TN2.61 Xét khẳng định sau:
(I)
2
24 0
2
x x
với x thuộc
(II) x6 8 x với 0 x thuộc 6;
(III) x6 8 x với 0 x thuộc \ 6; 8
(IV)x2 2x48 với 0 x thuộc
(V) x22x48 với 0 x thuộc \ 6; 8 Số khẳng định khẳng định
A 1 B 4 C 3 D.2
TN2.62 Cho f x ax2bx c với a 0, b24ac Khẳng định sau khẳng định sai ?
A Nếu a 0 tồn số x cho 0 f x 0 0 0
B Nếu tồn số x cho 0 af x 0 phương trình 0 f x có hai nghiệm phân biệt 0
C Nếu tồn số x cho 0 af x 0 0 0
D Nếu với số x có af x 0 phương trình 0 f x vô nghiệm 0 Cho biểu thức f mx 25x1 Chọn kết tập
TN2.63 Tìm tất giá trị tham số m cho biểu thức
5 1 0,
f x mx x x
A m 0 B 25;0
4
m
C 25
4
m D Khơng có giá trị m
TN2.64 Tìm tất giá trị tham số m cho biểu thức
5 1 0,
f x mx x x
A m 0 B m 0
C 25
4
m D Khơng có giá trị m
TN2.65 Cho biểu thức f x x22mx Xét khẳng định sau: 1
(I) Khơng có giá trị m để f x với giá trị 0 x
(II) Khơng có giá trị m để f x với giá trị 0 x
(III) Với giá trị m tồn x cho 0 f x 0 (IV)Với giá trị m tồn x cho 0 f x 0 Các khẳng định là:
A I II B I IV C II III D III IV
(83)A S B 1;8 3
S
C
8 \ 1;
3
S
D S
TN2.67 Trong bất phương trình sau, bất phương trình có tập nghiệm S 0;5
A x25x 0 B x25x 0 C x25x 0 D x25x 0
TN2.68 Trong bất phương trình sau, bất phương trình vơ nghiệm
A x22x m 2 2 0 B x22xm220
C x22x m 2 2 0 D x22xm220
TN2.69 Bất phương trình ln có tập nghiệm với giá trị m
A x22mx2m2m 1 0 B x22mx2m2m 1 0
C x22mx2m2m 1 0 D x22mx2m2m 1 0
TN2.70 Tập nghiệm S bất phương trình 2x23x2 1 x20
A S ;1 1; B S 1;1
C S D S
TN2.71 Tập nghiệm S bất phương trình x 1 x24x20 A S ; 2 2; B S 2; 2
C S 2; 2 D S \2; 2
TN2.72 Tập nghiệm S bất phương trình
2
4 4
0
5 4
x x
x x
A S 2;3 B S 2;3 2
C S ;2 3; D S 2;3 2
TN2.73 Tập nghiệm S bất phương trình 2x2 x 1 1
A 1 17; 1 1;1 17
4 2 4
S
B 1 17; 1 1;1 17
4 2 4
S
C 1 17 1; 17
4 4
S
D ;1 17 1 17;
4 4
S
TN2.74 Tập nghiệm S bất phương trình 2 1 5 2
x x
A 1 59 1; 59
4 4
S
B 1 59; 1 1;1 59
4 2 4
S
C 1 59; 1 1;1 59
4 2 4
S
D ;1 59 1 59;
4 4
S
TN2.75 Tập nghiệm S bất phương trình |x2x23 | 2
A 1 41; 1 1;1 41
4 2 4
S
B S
C 1; 1 1;3 2 2
S
D
1 41 3 1 41
; 1 ;
4 2 4
S
(84)BAØI TẬP TỔNG HỢP PHẦN
2.82 Giải bất phương trình sau:
① 3 1 2 2 3
3
x
x x
② 2 5 3 3 7 2
3 4
x x
x
③ (1 3)x42 3 ④ 2
(x 5) (x 5) 10
2.83 Giải bất phương trình sau:
① 16 5 3 3 3 x x x x ②
6 3
4 4 2
x x x
③ 2
3x 5x7 3x 5x2 1
2.84 Giải phương trình sau:
① x 3 4 x 1 x 8 6 x 1 1 ② x 14x49 x 14x49 14
③ 2 x 1 1 3 ④ 2
1 2(2 1)
x x x
2.85 Giải phương trình sau: ①
2 3 2 2 1
x x x ② 2 x1 x2 3x1
③ x 3 1 x 5 1 2 ④
6 5 9
x x x
⑤ 3 1 3 3
x x
⑥
2 0 4 x x x
⑦ 3 2
3 1 x
x ⑧
9
2 5 3 x
x
2.86 Giải hệ bất phương trình sau: ①
2
2 9 9 0
5 7 3 0
x x x x ② 2
3 11 4 0
8 20 0
x x x x ③
2( 1) 3( 4) 5
3 4
0
4 4
x x x
x x x ④ 2 2
3 7 8
1 1
3 7 8
2 1 x x x x x x
2.87 Tìm tất nghiệm nguyên hệ bất phương trình sau:
①
5
6 4 7
7 8 3 2 25 2 x x x x ② 1
15 2 2
3 3 14 2( 4) 2 x x x x
2.88 Giải bất phương trình sau:
① 3 x5 x ② 4 x9 x 9
③ x13 24 6 x 0 ④
( 6) 9 6 6 1
(85)2.89 Giải biện luận bất phương trình sau theo tham sốm :
①
1 3
mx xm ② m m( 2)x 1 m1
③ 3 2 1
( 7) 7
x x m m ④
2 5 0
x mx
⑤
4 1 0
mx x ⑥
(m3)x 2(m1)x(2m3)0
2.90 Tìm a b để bất phương trình sau có tập nghiệm 0; :
(x2a b 1)(x a 2b1)0
2.91 Tìm a b (b –1) để hai bất phương trình sau tương đương:
(x a b x)( 2ab)0 xa2 b1
2.92 Giải bất phương trình, hệ bất phương trình sau (ẩn m ):
①
2m m 5 0 ②
9 0
m m
③
(2m1) 4(m1)(m2)0 ④
(2 1)( 1) 0
m m m
⑤
2
2
2
(2 1) 4( ) 0
1 0
2 1
0
m m m
m m m m m ⑥
( 2) ( 3)( 1) 0
2 0 3 1 0 3
m m m
m m m m
⑦ 22 1 0
( 2)(2 1) 0
m
m m m
⑧ 2 2 0
(2 1) 4( 2) 0
m m
m m m
2.93 Tìm giá trị tham số m để tam thức bậc hai sau có dấu khơng đổi (dấu khơng phụ thuộc
vào x ):
① 2
( )2 ( 2) 1
f x x m x m m ② 2
( ) ( 1) (2 1) 1
f x m m x m x
2.94 Tìm giá trị tham số m để phương trình sau có nghiệm:
① 2
2x 2(m2)x 3 4mm 0 ②
(m1)x 2(m3)xm20
2.95 Tìm giá trị tham số m để phương trình sau có hai nghiệm phân biệt trái dấu:
① 2
(m 1)x (m3)x(m m)0 ②
( 2) 5 0
x m m xm m
2.96 Tìm giá trị tham số m để phương trình sau có hai nghiệm dương phân biệt:
① 2
2 3 0
x xm m ② 2
(m m3)x (4m m2)xm0
③ 2
(m m1)x (2m3)xm 5 0 ④ 2
6 2 2 9 0
x mx m m
⑤
(m2)x 2mxm 3 0
2.97 Cho: mx2 – 2 m1xm 3 0 Tìm m để phương trình có:
① hai nghiệm trái dấu ② hai nghiệm âm ③ nghiệm dương phân biệt
2.98 Cho tam thức:
– 2 5 – 4
f x x mx m
① Tìm m để f x 0 với x
(86)2.99 Cho tam thức: f x m– 3x2 – 2m1xm3
① Tìm m để f x 0 với x
② Tìm m để phương trình có hai nghiệm dấu
2.100 Cho phương trình:
1 – 2 2 7 0
m x m xm Tìm m để phương trình có hai nghiệm
1,
x x thỏa:
① x12x2 ② x1x2 2 ③ 2x1x2
2.101 Tìm m cho nghiệm x1, x2 phương trình:
①
– 5 – 2 – 1 2 0
m x m x m thỏa x1–1x2
②
3 – 2 9 5 – 1 0
m x m x m thỏa 1x1x2
③
2m1 x 2xm 1 0 thỏa x1x2 4
④
1 – 2 9 5 – 1 0
m x m x m thỏa x1 1 x2
⑤
– 2 3 – 2 0
x mx m thỏa x12x2
⑤
3 2 – 3 – 2 0
m x m xm thỏa x1 x2 6
⑥
– 2 2 – 3 10 – 11 0
m x m x m thỏa –4x1 x2
2.102 Cho tam thức: f x m– 2x2– 2mxm– 1 Định m để:
① f x 0, x ② Phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa: x1 x2 2
2.103 Cho phương trình:m– 4x42m– 2x2m– 10
① Tìm m cho phương trình vơ nghiệm
② Tìm m cho phương trình có nghiệm phân biệt
2.104 Với giá trị m hệ phương trình sau có nghiệm thỏa mãn điều kiện x và0 y 0?
2
4
2 ( 1) 9
(2 1) 1
x m m y m
m x m y
2.105 Tìm m để bất phương trình sau với x :
①
5x x m0 ②
(m1)x 2(m1)x3m 3 0
③
2
2 1 3 4
x mx
x x
④
2
( 2) 2 2 0
m m x mx
⑤
10 5 0
mx x ⑥ 2
(m 4m5)x 2(m1)x20
⑦
2
1 1 2 2 3
x mx
x x
⑧
2
3 5 4
0 ( 4) (1 ) 2 1
x x
m x m x m
⑨
2
2 4
4 6
1
x mx
x x
⑩
2
8 20
0 2( 1) 9 4
x x
mx m x m
2.106 Tìm m để hệ bất phương trình sau có nghiệm:
① 7 2 4 19
2 3 2 0
x x
x m
② 2 1 2
2
x x
m x
2.107 Tìm m để bất phương trình sau vơ nghiệm:
①
5x x m0 ②
10 5 0
(87)2.108 Tùy theo giá trị m , biện luận số nghiệm phương trình:
(m3)x (2m1)x 3 0
2.109 Tùy theo giá trị m , xác định số nghiệm phương trình:
2 3
x x m
2.110 Tìm tất giá trị m để ứng với giá trị phương trình sau có nghiệm:
2
1mx 1 (1 ) m xmx
2.111 Cho phương trình:
(m 5)x 3mxm 1 0 Với giá trị m phương tình cho:
① Có nghiệm ? ② Có hai nghiệm trái dấu ? 2.112 Cho phương trình:
(m2)x 2(m1)x 2m 1 0 Tìm m để phương trình có:
① Một nghiệm ② Hai nghiệm phân biệt ③ Bốn nghiệm phân biệt
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM PHẦN
TN2.76 Tìm điều kiện xác định bpt 2x6 3 2x
A x3 B x2 C.2 x 3 D Điều kiện khác TN2.77 Tìm điều kiện xác định bpt 42x x25
A x2 B x2 C x2 D 2 x2
TN2.78 Tìm điều kiện xác định bpt
5 1
6 2 1
x
x
x x
A 1 x 6 B x6 x1 C 1 x 6 D x1 x6
TN2.79 Tìm điều kiện xác định bpt 2 5 1 0 5 6 5 10
x
x x x
A x3 B 2 x 3 C.x2 x3 D x2 x3
TN2.80 Tìm điều kiện xác định bất phương trình: 6 9 7 2 1 5 11 24
x
x x
x x x
A x5 x8 B x7 C.x7 x8 D x7 x8
TN2.81 Xét cặp bất phương trình sau: I x230
x x 3 0
II x 5 0 x5x22x30 III x 1 0
(x1)(x 2x3)0 Cặp bất phương trình tương đương?
A Chỉ I B Chỉ II C II III D I III TN2.82 Giải bất phương trình sau: 2x54x10 5 2 x
A 5
2
x B 5
2
x C 5
2
x D Vô nghiệm
TN2.83 Giải bất phương trình sau:
3 2
3 1
x x
x x
x
A 5
3
x B. 5
3
x x1 C 5
3
x D 5
3
x x1
TN2.84 Giải bất phương trình sau: (2 34)x 1 3.
A 1 3
2
x B 1 3
2
x C 1 3
2
x D 1 3
2
(88)TN2.85 Giải bất phương trình sau:
2
5 40 3 5
x x
A x2 5 B x2 5 C x 2 5 D x 2 5
TN2.86 Giải bất phương trình sau:
( 5)0
x x
A x5 B x0
C.x5 x0 D x5 hoặcx0
TN2.87 Giải bất phương trình sau: x1x20
A.x1 x2 B x1 C.x2 D x2
TN2.88 Giải bất phương trình sau: | 10 | 4 x x 0
A x2 B x4 x2
C x4 D x4
TN2.89 Tập hợp nghiệm bất phương trình sau:
(x 4) | 2x5 | 0 là:
A B 1; C 1; D ;1
TN2.90 Tập hợp nghiệm bất phương trình sau: 1 1 1 32
1
x
x x x x là:
A (0;) B \ {0;1}
C (; 0) D 1;
TN2.91 Giải bất phương trình sau: 2 5 2 4.
4 3
x x
x x
A x 1 3x4 B 3 x 4
C 1 x 3 x4 D x 1 3x4
TN2.92 Giải bất phương trình sau: 3 2 1 1
x x
x x
A 1 5 3
x B x 1 1 5
3
x
C 1 x1 5 3
x D x 1 1 5
3
x
TN2.93 Giải bất phương trình sau:
3 5 6
3 1 4
x x
x
x
A x 3 B 3 x4
C x4 D x 4 x 3
TN2.94 Giải bất phương trình sau:
2
3 5 6
3
3 2
x x
x x
A x 2 2 3
3 x
B x 2 x 3
C 2 2
3
x
x 3 D 2 x 3
TN2.95 Bất phương trình 4m5x 3 4mx5m có tập hợp nghiệm tập ; 0 chỉ khi:
A 3
5
m B 3.
5
m C 3
5
m D 3
5
(89)TN2.96 Bất phương trình (m22)xm2 7x4m3
A Vô nghiệm m 3.
B Có tập nghiệm ; 1 3
m
m
3
3
m
m
C Có tập nghiệm 1; 3
m
m 3 m3.
D Cả 3 đáp án
TN2.97 Tập hợp nghiệm bất phương trình 2x6 2x5 là:
A 5; 2
B 1;
4
C 5 1;
2 4
D Đáp số khác
TN2.98 Giải phương trình: x3 x2 5
A Vô nghiệm B.2; 3 C 2; 3 D 2; 3
TN2.99 Giải bất phương trình: 2 3 5 2 1
x
x x
A 0 3 8
x
x 1 B x 0hoặc x 1
C x 0 3 1
8x D
3 0
8 x
TN2.100 Cho bất phương trình: (m3)(x4)m24m3 (1) Xét mệnh đề sau: I Nếu m 3: (1) có nghiệm xm3.
II Nếu m 3: (1) có nghiệm xm3 III Nếu m 3: (1) vô số nghiệm
Mệnh đề đúng?
A Chỉ I B Chỉ II C I II D I, II III
TN2.101 Giải bất phương trình: 3 4 2 4. 2 2
x x
x x
A 2 x 8 B x 8 x 2
C 2 x2 2x8 D x8
TN2.102 Giải bất phương trình:
2
2
8 15 2 2 . 25 5
x x x x
x x
A 5 x 1 B 5 3
2
x
x 1
C x 5 x 1 D x 5 3 1
2 x
TN2.103 Giải bất phương trình:
5 5 5 6 0.
x x x x
A 1 x1 2x3 B x 1 1x2 x 3
C 1 x3 D 1 x2 x 3
TN2.104 Miền nghiệm bất phương trình:
3
2
549
( 4) 5
5
x
x x x
x x
là:
A 61 9 9
x B 61 0 9 x
5x9
C 61
9
x x 9 D 61
9
(90)TN2.105 Miền nghiệm bất phương trình:
2
2 7
1 4
1
x x
x là:
A 4 3
5
x
x 1 B 4 x1.
C 3 1
5
x D x 4 x 1
TN2.106 Giải bất phương trình: (x29)(4x)x27x12:
A 4 x4. B 4 x 3 x 4
C x 4 x 3 D x 4 3x4
TN2.107 Giải phương trình: 3x5x5
A x10 B x3
C x 3 x 10 D Vơ nghiệm TN2.108 Giải bất phương trình:
2 2 2 3
x x x
A 7
3
x x 1 B 7
3
x 3
2
x
C 7 1
3
x D x 1
TN2.109 Định m để bất phương trình x22(m4)x2m110 có miền nghiệm
A m 1 m 5 B 1m5
C m 5 m 1 D 5 m 1.
TN2.110 Giải bất phương trình
2
2
4 3
2
x mx m
x x có miền nghiệm khi:
A 13 12. 2
m B 13
2
m m 12
C 3 3
2
m D m 3 3
2
m
TN2.111 Định m để phương trình x2m1x2m20 có nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn
3
1 0
x x
A m 1 m 3 B m3 C m 1 D 1 m3.
TN2.112 Giải bất phương trình:
2 2 2 3
x x x
A 7
3
x x 1 B 7
3
x 3
2
x
C 7 1
3
x D x 1
TN2.113 Với điều kiện m để phương trình
2(3 2) 8 16 0
mx m x m có nghiệm phân
biệt x1, x2 khác thỏa mãn
2
1
x x
x x
A 2 m2 B m 0 m 2 C m 0 m 2 D 0 x 2
TN2.114 Tập nghiệm phương trình: x27x4 x11
(91)TN2.115 Giải bất phương trình: x25x x5.
A 5 x 1 x 1 B 5 x 1
C x 1 x 1 D 1 x 1
TN2.116 Giải hệ phương trình:
5 6 0 (1)
2 5
5 (2)
2 3 x x x x x
A 2 x 3 B 2 26
3 x
C x 3 2 26
3
x
D x 3 3 26
3
x
TN2.117 Giải hệ phương trình:
2
2
(2 4) ( 2) 0 (1)
6 0 (2)
x x x x
A 2 x 3 B 2 x 3
C x 2 x 3 D x 2 x 3
TN2.118 Giải hệ phương trình:
2 2
6 8
0 (1)
4 4 2
2
0 (2)
8 15 x x x x x x x x
A x 2 x 5 B 2 x 3 x 4
C 3 x 4 D 3 x 5
TN2.119 Giải hệ phương trình: 2
2 2 9
> (1) 3 3
2
0 (2) 8 15 x x x x x x x x
A 9 x 3 x 3 B 3 x 3
C 3 x 1 D Vô nghiệm
TN2.120 Giải bất phương trình: 2 4 9 1 3 2 3 x x
x x
A x1 B 5 x 1 C 5 x0 D 0x1
TN2.121 Miền nghiệm hệ bất phương trình: 2
5 4 0 8 15 0
10 9 0 x x x x x x
A x 1 x4 B 4 x 5 C.Vô nghiệm D 3 x 9
TN2.122 Miền nghiệm hệ bất phương trình
3
7 10 0
2 2 0
x x
x x x
A 5 x 2 B 5 x 2 1 x1
C x 2 1 x1 D Vô nghiệm
TN2.123 Định m để hệ bất phương trình sau có nghiệm
5 4 0
( 5) 7 0
x x
m x
(92)TN2.124 Định m để hệ bất phương trình sau vơ nghiệm:
2
6 5 0
(2 3) 3 0
x x
x m x m m
A 1m2 B m 1 m 2 C m1 D Không tồn m
TN2.125 Tìm giá trị a cho với x, ta ln có:
2
2 3
1 5.
2 2
x x a
x x
A 9
4
a 71
12
a B 9 71
4 a 12 C 9 4
a D.Không tồn a
TN2.126 Giải phương trình 3x5 x6
A 11
2
x B 1
4
x
C 11
2
x 1
4
x D 11
2
x 1
4
x
TN2.127 Số nghiệm phương trình x25x4 4x4
A B 3 C D 0
TN2.128 Tập nghiệm phương trình x23x5 4x5 0 là:
A 1; 0; 2 B 1; 0 C 2;5 D 1; 0; 2; 5
TN2.129 Giải bất phương trình 4 9 7. 2 3
x x
A x 3 3
2
x B x 3 2
3
x
C 3
2
x 2
3
x D
TN2.130 Giải bất phương trình
9x5 x 2x5.
A 1 x1. B 2 x 1 5 x11
C x 2 x 11 D Vơ nghiệm
TN2.131 Giải phương trình 3x216x5 5 x
A x 2 B x5 C 2 x5 D x 2 x 5
TN2.132 Giải phương trình: x25x6 x 3
A x 1 x 3 B x 1
C x 1 x 3 D x 1 x 3
TN2.133 Giải phương trình 2
59x x 3
A x 5 x 10 B x10
C x 10 x 10 D x 5 x 5
TN2.134 Tìm nghiệm bất phương trình:
2
1 1 2
x x
x
x
A 1 1
4x2 B
1 1 4 x 2
C 1
4
x 1
2
x D 1
4
x 1
2
(93)TN2.135 Với giá trị m bất phương trình sau vô nghiệm: m3x22m2x4
A m 4 B m 4 C m 4 D Không tồn m
TN2.136 Với giá trị m bất phương trình sau vơ nghiệm: 2m1x mx24
A 1 2m 1 2 B m 1 2 m 1 2
C 3 2 m 3 2 D m 3 2 m 3 2
TN2.137 Định m để bất phương trình (m7)x2m 4 (m2)x có tập hợp nghiệm tập hợp của ;1
A m 5 B m5 C m1 D m1
TN2.138 Định m để bất phương trình (2m7)x22mx4m có tập hợp nghiệm tập hợp
2;
A m4 B m4 C m 4 D m 4
TN2.139 Để giải bất phương trình 2 3 3 0 4 5
x
x có học sinh lí luận qua giai đoạn sau:
I 2 3 3 0 2 3 3 4 5 0 9 7< (1)
4 5 4 5 4 5
x x
x x
x x x
II (1)9x74x5 < (2)
III (2) 5 7
4 9
x
Vậy bất phương trình có tập nghiệm là: 5; 7
4 9
Lí luận hay sai? Nếu sai sai từ giai đoạn nào?
A Sai từ giai đoạn I B Sai từ giai đoạn II C Sai từ giai đoạn III D Cả I, II, III
TN2.140 Giải hệ bất phương trình:
5 2 4 3
2 6
x x x x
A x 4 x 3 B 4 x 3 C x 4 x 3 D 6 x 3
TN2.141 Giải hệ bất phương trình:
2
( 5) ( 4) 0
2 2
0
2 2
x x
x x
x x
A 1 2
2x B
1 2
x x 2
C x 2 0x2 D x 2 1
2
x
TN2.142 Giải hệ bất phương trình:
1 4 2 2 5 3 2
0 5 2
x x
x
x x
A x 2 x 5 B 2 1
2
x
5
2
x
C x 2 5
2
x D 2 1
2
x
(94)TN2.143 Giải bất phương trình: 5 2 5 4 8
x
x
A x 5 x 8 B x 8 37 2
x
C x 5 37
2
x D x 8 x 8
TN2.144 Giải hệ bất phương trình:
2 3 2
5 6 3 3
x x
x x
x x
A 2 x 4 B.Vô nghiệm
C x 5 37
2
x D x 3 2x4 9
2
x
TN2.145 Gọi x 1 x hai nghiệm phương trình: 2 3x5 x5 Khi x12x22
A 25 B 5 C 25 D 5
TN2.146 Giải bất phương trình: 2
5 x 5x28x 5x4
A 9 x4 B.x 9 x 4
C 0 x 8 D x 0 x 8
TN2.147 Tìm giá trị nhỏ giá trị lớn biểu thức P x2 6x với 2 x 6
A 0 B 2
C 2 2 2 D 2 2 4
Giả thiết sau dùng cho câu 148, 149, 150 Cho năm hàm số:
1 2 3
f x x , 2
1 | |
| |
f x x
x
, f3 x x 1
x
, f4 x x 1 x
f5 x 1 x22x Hãy chọn
khẳng định đúng:
TN2.148 Hàm số khơng có giá trị nhỏ
A f x 1 B f2 x
C f3 x D f5 x
TN2.149 Hàm số có giá trị lớn -2 khoảng ;0
A f x 1 B f2 x
C f3 x D f4 x
TN2.150 Hàm số có giá trị lớn
A f x 1 B f4 x
C f5 x D. f3 x
TN2.151 Hãy khẳng định sai khẳng định sau Mọi nghiệm bất phương trình
2x 1 0 nghiệm bất phương trình mxm 1 0
A m 0 B 2
3
m
C m 0 hoặc 2
3
m D 0 2
3
m
(95)TN2.152 Cho năm phương trình:
2
2 0
x m x m (1) x22m1x m 5 0 (2)
2 m 1 x 2mx 1 0 (3) x22m2x3m25m12 (4) 0
2
3 1 3 7 0
x m xm m (5)
Hãy chọn khẳng định khẳng định sau
Trong năm phương trình trên, phương trình có hai nghiệm phân biệt với giá trị
m
A (1) B (1) (2) C (1), (2) (5) D (1) (5)
TN2.153 Với năm phương trình cho TN2.152, chọn khẳng định Các phương trình
có hai ngiệm với giá trị m
A (3) B (3) (5) C (3), (4) (5) D (3) (4) TN2.154 Cho ba biểu thức
1 4 1
f x x x m
2 2 2 2
f x x xm
3 3 2 3 4 1
f x m x m x m
Trong khẳng định sau, khẳng định sai ?
A Với m thuộc 2 2 7;
3 3
ta có f3 x ln số âm x thay đổi
B Khi m 5 thìf x với giá trị 1 0 x
C Khơng có giá trị m để f x 1 0 với giá trị x
D Chỉ 2 2 2
m tồn x để 0 f2 x0 0
ĐÁP ÁN TRẮC NGHIỆM PHẦN
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
B D B C C D C D C C B B A C D B D C A D
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
A A A C D C C D A D D A C B C D B D A C
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
C A B C B D D B C A B D A A C B B C B A
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
C C D C D B D A C A D D D C A C A B D C
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
B C A D C D A B D D A C B A D D B D A C
101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120
C D A B A D A D B C A D C D C A B C D C
121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140
B A B A B C A B B D D A C A D C A D D B
141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154