File - 108920

đường thẳng đó. Cho hình chóp đều. b) Dựng và tính độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng AB và SC. Cho hình chóp. Cho hình chóp. Cho hình chóp. b) Tính khoảng cách [r]

(1)

GV TR GV TR GV TR

GV TRẦẦẦẦN QUN QUN QUN QUỐỐC NGHỐỐC NGHC NGHĨAC NGHĨAĨAĨA 1111

VÉCTƠ TRONG KHÔNG GIAN QUAN HỆ VNG GĨC

Vấn đề VÉCTƠ TRONG KHƠNG GIAN

I. Véctơtrongkhơnggian ①

①①

① Véctơ, giá độ dài véctơ

 Véctơ khơng gian đoạn thẳng có hướng Kí hiệu AB véctơ có điểm đầu A , điểm cuối B Véctơ cịn kí hiệu a, b

, c, …

 Giá véctơ đường thẳng qua điểm đầu điểm cuối véctơ Hai véctơ gọi phương giá chúng song song trùng Ngược lại, hai véctơ có giá cắt gọi hai véctơ không phương Hai véctơ phương cùng hướng ngược hướng

 Độ dài véctơ độ dài đoạn thẳng có hai đầu mút điểm đầu điểm cuối véctơ Véctơ có độ dài gọi véctơ đơn vị Kí hiệu độ dài véctơ AB

AB

Như vậy: AB =AB BA=

②

②②

② Hai véctơ nhau, đối Cho hai véctơ a, b

(≠ 0

)  Hai véctơ a b

gọi chúng có hướng độ dài

Kí hiệu a=b | | | | a b a b a b  = ⇔  =  hướng

 Hai véctơ a gọi đối chúng ngược hướng độ dài

Kí hiệu a= −b | | | | a b a b a b  = ⇔  =  hướng ③ ③③

③ Véctơ – khơng

Véctơ – khơng véctơ có điểm đầu điểm cuối trùng Kí hiệu: 0

, AA BB CC= = = =0

Véctơ – phương, hướng tùy ý, có độ dài khơng Véctơ – không phương, hướng với véctơ II.Phépcộngvàphéptrừvéctơ

① ①①

① Định nghĩa  Cho a b

Trong không gian lấy điểm A tùy ý, dựng AB=a

, BC =b

Véctơ AC được gọi tổng hai véctơ a b

và kí hiệu AC= AB BC a b+ = +

 a b a− = + −( )b

② ②②

② Tính chất

 Tính chất giao hốn: a b b a+ = +

 Tính chất kết hợp: (a b+ )+ = +c a (b c+ )

 Cộng với 0: a+ = + =0 0 a a

 Cộng với véctơ đối: a+ −( a)= − +a a =0

a b A B C

a b

a b+ 8

(2)

TÀI LI TÀI LITÀI LI

TÀI LIỆỆỆỆU HU HU HỌU HỌỌC TỌC TẬC TC TẬẬẬP TOÁN 11P TOÁN 11P TOÁN 11P TOÁN 11 –––– HK2HK2HK2HK2 2222

③ ③ ③

③ Các qui tắc

 Qui tắc ba điểm: Với ba điểm A, B, C ta có: AC= AB BC+ Mở rộng: Qui tắc đa giác khép kín

Cho n điểm A A A1, , , 2 3 …, An–1, An Ta có: A A1 2+A A2 3+ +A An−1 n = A A1 n

…

 Qui tắc trừ (ba điểm cho phép trừ):

Với ba điểm A, B, C ta có: AC=BC BA−  Qui tắc hình bình hành:

Với hình bình hành ABCD ta có: AC= AB AD+

DB= AB AD−

 Qui tắc hình hộp

Cho hình hộp ABCD A B C D. ′ ′ ′ ′ với AB, AD, AA′ ba cạnh có chung đỉnh A AC′ đường chéo, ta có:

AC′=AB AD AA+ + ′

III.Phépnhânmộtsốvớimộtvéctơ ①

① ①

① Định nghĩa

Cho k ≠ véctơ 0 a ≠0

Tích k a. véctơ: - Cùng hướng với a k > 0

- Ngược hướng với a k < 0 ②

② ②

② Tính chất Với a, b

bất kì; m n R, ∈ , ta có:  m a b( + )=ma mb+

 (m n a ma na+ )= +

 m na( ) ( = mn a)  1.a a= , ( )−1 a= −a  0.a =0

; 0k =0 ③

③ ③

③ Điều kiện để hai véctơ phương Cho hai véctơ a b

(≠0

),k ≠ : a0 phương b

⇔ a=kb

Hệ quả: điều kiện để ba điểm A, B, C thẳng hàng AB=k AC

④ ④ ④

④ Một số tính chất  Tính chất trung điểm

Cho đoạn thẳng AB có I trung điểm, ta có: IA IB+ =0

; IA= −IB

;

2 AI =IB= AB

 MA MB+ =2MI

(M bất kì)  Tính chất trọng tâm

Cho ABC∆ , G trọng tâm, ta có: GA GB GC+ + =0

 MA MB MC+ + =3MG

(M bất kì)  Tính chất hình bình hành

Cho hình bình hành ABCD tâm O , ta có:  OA OB OC OD+ + + =0

 MA MB MC MD+ + + =4MO 1 A 2 A 3 A 4

A A5 A7

8 A 9 A 10 A n-1 A n A A B C A B C D A B C D A' B' C' D' M

A I B

A

B G C

A

B C

(3)

GV TR GV TR GV TR

IV.Điềukiệnđểbavéctơđồngphẳng ①

①①

① Khái niện đồng phẳng ba véctơ không gian Cho ba véctơ a, b

, c (≠ 0

) không gian Từ điểm O ta dựng OA=a

, OB b=

, OC c=

Khi xảy hai trường hợp:

 Các đường thẳng OA , OB , OC không nằm mặt phẳng ta nói ba véctơ a,b

,c không đồng phẳng

 Các đường thẳng OA , OB , OC nằm mặt phẳng ta nói ba véctơ a, b,c đồng phẳng

② ②②

② Định nghĩa

Ba véctơ gọi đồng phẳng giá chúng song song

với mặt phẳng

Trên hình bên, giá véctơ a, b

, c song song với mặt phẳng (α) nên ba véctơ a, b

, c đồng phẳng ③

③③

③ Điều kiện để ba véctơ đồng phẳng Định lí 1.

Cho ba véctơ a, b

, c trong a b

không phương Điều kiện cần đủ để ba véctơ a, b

, c đồng phẳng có số m , n cho c=ma nb+

④ ④④

④ Phân tích véctơ theo ba véctơ khơng đồng phẳng Định lí

Nếu ba véctơ a, b

, c khơng đồng phẳng với véctơ d

, ta tìm số m , n , p cho d =ma nb+ +pc

Dạng1.Tínhtốnvéctơ

A PHƯƠNG PHÁP GIẢI

① ① ①

① Quy tắc ba điểm: AB AC CB= +

(quy tắc cộng) AB CB CA= −

(quy tắc trừ) ②

② ②

② Quy tắc hình bình hành: Với hình bình hành ABCD ta ln có: AC AB AD= + ③

③ ③

③ Quy tắc hình hộp: Cho hình hộp ABCD A B C D. ′ ′ ′ ′ , ta được: AC′= AB AD AA+ + ′ ④

④ ④

④ Quy tắc trung điểm: Cho I trung điểm AB, M điển bất kỳ: IA IB+ =0

2

MA MB+ = MI ⑤

⑤ ⑤

⑤ Tính chất trọng tâm tam giác: G trọng tâm ABC∆ , ∀M ta có: 0

GA GB GC+ + =

(4)

TÀI LIỆỆU HỆỆU HU HỌU HỌỌC TỌC TC TC TẬẬP TOÁN 11ẬẬP TOÁN 11P TOÁN 11P TOÁN 11 –––– HK2HK2HK2HK2 4444

⑥ ⑥⑥

⑥ Tính chất trọng tâm tứ diện: G trọng tâm tứ diện ABCD: 0

GA GB GC GD+ + + =

∀M ta có: MA MB MC MD+ + + =4MG ⑦

⑦⑦

⑦ Ba véctơ gọi đồng phẳng giá chúng song song với mặt phẳng ⑧

⑧⑧

⑧ Nếu ba véctơ a, b

, c khơng đồng phẳng véctơ d

viết dạng d =ma nb+ + pc

, với m , n , p 

 

 Chú ý:  Để biểu diễn véctơ hệ sở ta thường đưa gốc để tính, chẳng hạn véctơ MN

gốc O cho trước OM

, ON

theo hệ sở thuận lợi, từ ta có: MN =ON OM−

 Để tính đoạn AB ta bình phương vơ hướngAB AB=

hệ sở gồm véctơ đồng phẳng

 Để tính góc hai véctơ u v ta tính u , v

.

u v cos( , ) .

. u v u v

u v

 =

B BÀI TẬP MẪU

Ví dụ Cho hình hộp ABCD A B C D Đặt ′ ′ ′ ′ =

AB a , =

AD b , AA′ =c Hãy phân tích véctơ AC , ′ ′

BD , ′ ′B D , ′ DB , ′

BC ′

AD theo ba véctơ a , b , c

Ví dụ Cho hình lăng trụ ABC A B C Đặt AA ′ ′ ′ ′ =a

, =

AB b, = AC c a) Hãy phân tích véctơ ′

B C , ′

BC theo ba véctơ a , b , c b) Gọi ′G trọng tâm tam giác ′ ′ ′A B C Biểu thị véctơ ′

AG qua ba véctơ a , b , c

(5)

GV TR GV TR GV TR

Ví dụ Cho hình tứ diện ABCD Gọi A′, B′, C , ′ D′lần lượt trọng tâm tam giác BCD , CDA , DAB, ABC Đặt ′ =

AA a , ′ =

BB b, ′ =

CC c Hãy phân tích véctơ ′

DD ,

AB,

BC,

CD,

DA theo ba véctơ a , b , c

Ví dụ Cho hình tứ diện ABCD có AB c , = CD c , = ′ AC b , = BD b , = ′ BC a ,= AD a Tính cosin = ′ góc véctơ

BC và

DA

Ví dụ Cho hình chóp tam giác S ABC có cạnh BC a= 2 và cạnh lại a Tính cosin góc véctơ

AB và

SC

(6)

Ví dụ Cho hình chóp tam giác S ABC có SA SB SC b đơi hợp với góc = = = 30° Tính khoảng cách từ S đến trọng tâm G chúng

Ví dụ Cho hình tứ diện ABCD có tất cạnh m Các điểm M N trung điểm AB CD

a) Tính độ dài MN b) Tính góc hai véctơ MN và

BC

(7)

GV TR GV TR GV TR

Dạng2.Chứngminhđẳngthứcvéctơ

① ① ①

① Sử dụng phép toán cộng, trừ, nhân véctơ với số, tích vơ hướng ②

② ②

② Sử dụng quy tắc trung điểm, trọng tâm tam giác, trọng tâm tứ diện, quy tắc hình bình hành, hình hộp, …

  

 Chú ý: ABC∆ A B C∆ ′ ′ ′ có trọng tâm ′+ ′+ ′=0 AA BB CC

Ví dụ Cho tứ diện ABCD Gọi M N trung điểm AB CD Chứng minh:

a) 2 = + = +

MN AD BC AC BD

b) Điểm G trọng tâm tứ diện ABCD + + + =0 GA GB GC GD

Ví dụ Cho tứ diện ABCD với G trọng tâm a) Chứng minh + + =4

AB AC AD AG

b) Gọi A′ trọng tâm tam giác BCD Chứng minh: ′ . ′+ ′ . ′+ ′ . ′=0 A B AA A C AA A D AA

Ví dụ 10 Cho hình hộp ABCD A B C D Gọi ′ ′ ′ ′ D , 1 D2, D3 điểm đối xứng điểm D′ qua

A , B′, C Chứng tỏ B trọng tâm tứ diện D D D D 1 2 3 ′

(8)

Ví dụ 11 Cho hình chóp S ABCD

a) Chứng minh ABCD hình bình hành + = + SB SD SA SC

b) Gọi O giao điểm AC BD Chứng tỏ ABCD hình bình hành 4

+ + + =

SA SB SC SD SO

Dạng3.Quanhệđồngphẳng

① ①①

① Để chứng minh ba véctơ a, b

, c đồng phẳng, ta chứng minh tồn cặp số thực m , n sao cho: c=ma nb+

②

②②

② Để chứng minh ba véctơ a, b

, c không đồng phẳng, ta chứng minh:

0

ma nb+ +pc = ⇔m n= = p=

③ ③③

③ Bốn điểm A , B , C, D đồng phẳng 3 véctơ AB

, AC

, AD

đồng phẳng

Ví dụ 12 Chứng minh:

a) Nếu có + + =0

ma nb pc 3 số m , n , p khác véctơ a ,

b , c đồng phẳng

b) Nếu a ,

b , c ba véctơ không đồng phẳng + + =0

(9)

GV TR GV TR GV TR

Ví dụ 13 Cho hình tứ diện ABCD Trên cạnh AD lấy điểm M cho =3

AM MD cạnh BC lấy điểm N cho = −3

NB NC Chứng minh ba véctơ AB , DC MN đồng phẳng

Dạng4.Cùngphươngvàsongsong

① ① ①

① Để chứng minh ba điểm A , B , C phân biệt thẳng hàng, ta chứng minh hai véctơ

AB,

AC

cùng phương, nghĩa =

AB k.AC; chọn điểm O để chứng minh

= +

OC kOA tOB, với t k+ =1 ②

② ②

② Để chứng minh hai đường thẳng AB CD song song trùng nhau, ta cần chứng minh hai véctơ

AB,

CD phương Khi

AB,

CD phương có điểm thuộc đường thẳng AB mà khơng thuộc đường thẳng CD ngược lại AB CD hai đường thẳng song song

③ ③ ③

(10)

điểm C, D thuộc ( )P chứng minh =

AB k.CD ta lấy ( )P hai véctơ a

bkhơng phương, sau chứng minh

AB, a b đồng phẳng có điểm thuộc đường thẳng AB mà không thuộc ( )P đường thẳng AB song song với ( )P

④ ④④

④ Đường thẳng AB qua M khi A , M , B thẳng hàng Đường thẳng AB cắt CD I =

IA k.IB, =

IC t.ID Đường thẳng AB cắt mp MNP ( ) I A , I , B thẳng hàng M , N, P , I đồng phẳng

Ví dụ 14 Cho hai điểm phân biệt A, B điểm O Chứng minh điều kiện cần đủ để một điểm M nằm đường thẳng AB = +

OM kOA tOB , k t+ =1 Ngồi k và t không phụ thuộc điểm O Với điều kiện k , t điểm M thuộc đoạn thẳng

AB? Điểm M trung điểm đoạn AB?

Ví dụ 15 Cho tứ diện ABCD , M N điểm thuộc AB CD cho = −2 MA MB , 2

= −

ND NC Các điểm I , J , K thuộc AD, MN , BC cho = IA k ID , =

JM k JN , =

KB k KC Chứng minh điểm I , J , K thẳng hàng

(11)

GV TR GV TR GV TR

GV TRẦẦẦN QUẦN QUN QUN QUỐỐỐỐC NGHC NGHĨAC NGHC NGHĨAĨAĨA 11111111

BÀI TẬP CƠ BẢN NÂNG CAO VẤN ĐỀ

Bài Cho G trọng tâm tứ diện ABCD Chứng minh rằng:

a) + + + =0

GA GB GC GD b) + + + =4

MA MB MC MD MG Bài Cho hình chóp S ABCD Gọi =. O AC∩BD Chứng minh rằng:

a) Nếu ABCD hình bình hành + = +

SD SB SA SC Điều ngược lại có khơng? b) ABCD hình bình hành ⇔ + + + =4

SA SB SC SD SO

Bài Cho tứ diện ABCD Lấy điểm M , N theo thứ tự thuộc AB CD cho =

AM k AB

và =

DN k DC

a) Chứng minh rằng: MN =(1−k AD k BC) +

b) Gọi điểm E, F, I theo thứ tự thuộc AD, BC MN cho =

AE mAD, =

BF mBC =

MI mMN Chứng minh E, F, I thẳng hàng

Bài Cho tứ diện ABCD Lấy điểm M , N theo thứ tự thuộc AB CD cho = −2 MA MB và = −2

ND NC Các điểm I , J , K thuộc AD, MN , BC cho = IA k ID, =

JM k JN =

KB k KC. Chứng minh điểm I , J , K thẳng hàng

Bài Cho hai đường thẳng ∆ ∆ cắt ba mặt phẳng song song 1 ( )α , ( )β ( )γ A, B, C A , 1 B , 1 C Với O điểm không gian, đặt 1 = 1

OI AA , = 1 OJ BB ,

1 =

OK CC Chứng minh ba điểm I , J , K thẳng hàng Bài Cho hình chóp S ABC Đáy ABC có trọng tâm G Tính .

SG theo ba véctơ SA, SB

SC Bài Cho hình lăng trụ tam giác ABC A B C có AA ′ ′ ′ ′ =a

, =

AB b =

AC c Hãy phân tích véctơ ′

B C, ′

BC qua véctơ a, b, c

Bài Cho tứ diện ABCD Gọi A , 1 B , 1 C 1 D điểm thỏa: 1 1 = −2 1

A A A B, 1 = −2 1 B B B C,

1 = −2

C C C D, 1 = −2 1

D D D A Đặt = AB i, =

AC j, =

AD k Hãy biểu diễn véctơ A B1 1,

1 A C , 1 1

A D theo ba véctơ i, j,

k

Bài Cho hình hộp ABCD EFGH Gọi . K giao điểm AH DE, I giao điểm BH và DF Chứng minh ba véctơ

AC,

KI

FG đồng phẳng

Bài 10 Cho ∆ABC Lấy điểm S nằm mặt phẳng (ABC Trên đoạn SA lấy điểm ) M cho 2

= −

MS MA đoạn BC lấy điểm N cho = −2

NC NB Chứng minh ba véctơ AB,

MN

SC đồng phẳng

Bài 11 Cho hình lăng trụ ABC A B C Gọi ′ ′ ′ I J trung điểm BB′ ′ ′A C Điểm K thuộc ′ ′B C cho ′= −2 ′

KC KB Chứng minh bốn điểm A, I , J , K thuộc mặt phẳng

Bài 12 Cho hình chóp S ABC Lấy điểm A′, B′, ′C thuộc tia SA , SB , SC cho ′

=

(12)

TÀI LIỆỆU HỆỆU HU HỌU HỌỌC TỌC TC TC TẬẬP TOÁN 11ẬẬP TOÁN 11P TOÁN 11P TOÁN 11 –––– HK2HK2HK2HK2 12121212 Bài 13 Cho hình hộp ABCD A B C D . 1 1 1 1

a) Chứng minh rằng: 1+ 1 =2

AC AC AC

b) Xác định vị trí điểm O cho: + + + + 1+ 1+ 1+ 1=0 OA OB OC OD OA OB OC OD

c) Chứng minh điểm M khơng gian ta ln có:

1 1 8

+ + + + + + + =

MA MB MC MD MA MB MC MD MO Bài 14 Cho tứ diện ABCD , hai điểm M , N thỏa mãn: MA tMC+ =0

, NB t ND+ =0

Chứng tỏ khi t thay đổi trung điểm I MN di chuyển đường thẳng cố định

Bài 15 Trong không gian, cho ba điểmA, B, C cố định khơng thẳng hàng, tìm tập hợp điểm M

sao cho: + + = − −

MA MB MC MA MB MC

Bài 16 Cho hình lập phương ABCD A B C D Gọi ′ ′ ′ ′ M , N điểm thuộc AD′ BD

cho = ′

MA k MD , =

ND k NB (k≠0,k≠1)

a) Chứng minh MN song song với mặt phẳng (A BC ′ )

b) Khi MN ′A C song song với nhau, chứng tỏ MN vng góc với AD′ DB Bài 17 Trong không gian cho ∆ABC

a) Chứng minh điểm M∈(ABC có ba số x , ) y, z mà x y z+ + =1 cho

= + +

OM xOA yOB zOC với điểm O

b) Ngược lại, có điểm O khơng gian cho = + +

OM xOA yOB zOC, đó x y z+ + =1 M∈(ABC )

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

Câu Cho hình lăng trụ ABC A B C. ′ ′ ′ , M trung điểm BB′ Đặt CA a=

, CB=b

, AA′ =c Khẳng định sau đúng?

A 1

2 AM = + −b c a

B 1

2 AM = − −a c b

C 1

2 AM = + −a c b

D 1

2 AM = − +b a c

Câu Trong không gian cho điểm O bốn điểm A , B , C, D không thẳng hàng Điều kiện cần đủ để A , B , C, D tạo thành hình bình hành là:

A OA OB OC OD+ + + =0

B OA OC OB OD+ = +

C 1 1

2 2

OA+ OB OC= + OD

D 1 1

2 2

OA+ OC OB= + OD

Câu Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành Đặt . SA a=

, SB=b

, SC=c , SD d=

Khẳng định sau đúng?

A a c b d+ = +

B a b c d+ = +

C a d b c+ = +

D a c b d+ + + =0

Câu Cho tứ diện ABCD Gọi M P trung điểm AB CD Đặt AB b= ,

, AC c=

AD d=

A 1( )

2

MP= c d b+ −

B 1( )

2

MP= d b c+ −

C 1( )

2

MP= c b d+ −

D 1( )

2

MP= c d b+ +

(13)

GV TR GV TR GV TR

Câu Cho hình hộp ABCD A B C D. ′ ′ ′ ′ có tâm O Gọi I tâm hình bình hành ABCD Đặt AC′ =u, CA′ =v

, BD′ =x, DB′ = y

đúng?

A 2 1( )

2

OI = u v x y+ + +

B 2 1( )

2

OI= − u v x y+ + +

C 2 1( )

4

OI = u v x y+ + +

D 2 1( )

4

OI= − u v x y+ + +

Câu Cho hình hộp ABCD A B C D. ′ ′ ′ ′ Gọi I K tâm hình bình hành ABB A′ ′ BCC B′ ′ Khẳng định sau sai?

A 1 1

2 2

IK = AC= A C′ ′

B Bốn điểm , , , I K C A đồng phẳng

C BD+2IK =2BC

D Ba véctơ BD

, IK

, B C′ ′ không đồng phẳng

Câu Cho tứ diện ABCD Người ta định nghĩa “ G trọng tâm tứ diện ABCD 0

GA GB GC GD+ + + =

” Khẳng định sau sai?

A G trung điểm đoạn IJ ( I , J trung điểm AB CD )

B G trung điểm đoạn thẳng nối trung điểm AC BD

C G trung điểm đoạn thẳng nối trung điểm AD BC

D Chưa thể xác định

Câu Cho tứ diện ABCD có G trọng tâm tam giác BCD Đặt x= AB

, y= AC

, z= AD

Khẳng định sau đúng?

A 1( )

3

AG= x y z+ +

B 1( )

3

AG= − x y z+ +

C 2( )

3

AG= x y z+ +

D 2( )

3

AG= − x y z+ +

Câu Cho hình hộp ABCD A B C D. ′ ′ ′ ′ có tâmO Đặt AB a=

, BC=b

M điểm xác định

( )

1 2 OM = a b−

A M tâm hình bình hành ABB A′ ′ B M tâm hình bình hành BCC B′ ′

(14)

Vấn đề HAI ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC

I.Tíchvơhướngcủahaivéctơtrongkhơnggian ①

① ①

① Góc hai véctơ

Cho u v hai véctơ khơng gian Từ điểm A vẽ AB=u

, AC v=

Khi ta gọi góc BAC (0° ≤BAC≤180 )° góc hai véctơ u v, kí hiệu (u v , )

Ta có (u v , )=BAC ②

② ②

② Tích vơ hướng

Cho hai véctơ u v (≠0

) Tích vơ hướng u v là:

( )

. . .cos ,

u v = u v u v Nếu u =0

v =0

ta quy ước u v = . 0 ③

③ ③

③ Tính chất Tính chất Với a, b

, c ba véctơ khơng gian k∈ ℝ , ta có:  Tính chất giao hốn: a b b a. = .

 Tính chất phân phối: a b c( + )=a b a c +

 Tính chất kết hợp: (k a b ) =k a b( ) =a k b.( )

 Bình phương vơ hướng:

0

a ≥ , a2 = ⇔0 a=0

④ ④ ④

④ Véctơ phương đường thẳng  Véctơ a ≠0

gọi véctơ phương đường thẳng d giá song song trùng với đường thẳng d

 Nếu a véctơ phương đường thẳng d k a. véctơ phương của đường thẳng d

 Một đường thẳng d khơng gian hồn tồn xác định biết điểm A thuôc d véctơ phương

⑤ ⑤ ⑤

⑤ Một số ứng dụng tích vơ hướng

 Tính độ dài đoạn thẳng AB: AB= AB = AB2

 Xác định góc hai véctơ: cos( , ) .

| | | | u v u v u v =  Chứng minh hai đường thẳng vng góc

II.Gócgiữahaiđườngthẳng

Góc hai đường thẳng a b không gian góc hai đường thẳng a′ b′ qua điểm song song với a b Ta có:

(a b, ) (= a b′ ′, )=ϕ

III.Haiđườngthẳngvnggóc ①

① ①

① Định nghĩa

Hai đường thẳng gọi vng góc với góc chúng 90° Kí hiệu: a⊥ hay bb ⊥ a

② ② ②

② Nhận xét

 Nếu u, v véctơ phương hai đường thẳng a b a b⊥ ⇔u v . =0  Nếu //a b c a⊥  ⊥ c b

(15)

GV TR GV TR GV TR

GV TRẦẦẦN QUẦN QUN QUN QUỐỐỐỐC NGHC NGHĨAC NGHC NGHĨAĨAĨA 1515 1515

Dạng1.Chứngminhvnggóc

① ① ①

① Cách Sử dụng trực tiếp định nghĩa góc hai đường thẳng khơng gian ②

② ②

② Cách Muốn chứng minh hai đường thẳng AB CD vng góc với ta chứng minh AB CD =. 0

③

③ ③

③ Cách Chứng minh đường thẳng vng góc với mặt phẳng chứa đường thẳng ④

④ ④

④ Cách Dùng định lí ba đường vng góc (ĐL4)

Ví dụ 16 Cho tứ diện ABCD Chứng minh AB AC. =AC AD. = AD AB.

AB⊥CD, AC⊥BD, AD⊥BC Điều ngược lại có không?

Ví dụ 17 Cho hình chóp S ABC có SA SB SC= = ASB BSC CSA== Chứng minh SA⊥BC, SB⊥ AC, SC⊥ AB

Ví dụ 18 Cho tứ diện ABCD Chứng minh AB⊥CD⇔ AC2+BD2 =AD2+BC2

Ví dụ 19 Cho tứ diện ABCD Gọi M , N trung điểm đoạn AC , BD, BC , AD Chứng minh MN =PQ AB⊥CD

(16)

Dạng2.Gócgiữahaiđườngthẳng

Để tính góc hai đường thẳng chéo a b , ta chọn hai cách sau: Cách Thực theo bước sau:

Bước Tìm góc việc lấy điểm A (thơng thường A∈ A ba ∈ ) Qua A dựng a′ b′ theo thứ tự song song với a và b Khi đó, góc nhọn vng tạo

a′ b′ góc a b

Bước Tính góc: Sử dụng tỉ số lượng giác góc trong tam giác vng dùng định lí hàm số sin, côsin tam giác thường để xác định số đo góc a b

Cách Thực theo bước sau:

Bước Tìm véctơ u v theo thứ tự véctơ phương đường thẳng a và b

Bước Tính số đo góc α hai véctơ u v Bước Khi đó, góc hai đường thẳng a b :

• góc α 0° ≤a≤90° • 180 –° α α góc tù

Ví dụ 20 Cho hình chóp S ABC có SA SB SC AB AC a= = = = = BC a= 2 Tính góc hai đường thẳng AB SC

b a

A b'

a'

ϕ

v u

B

C A

(17)

GV TR GV TR GV TR

Ví dụ 21 Cho tứ diện ABCD có AB c= , CD=c′, AC= , BD b′b = , BC= , ADa =a′ Tính cosin góc hai đường thẳng BC AD

Ví dụ 22 Cho tứ diện ABCD cạnh a Gọi M trung điểm CD Tính góc hai đường thẳng AB CD , BC AM

(18)

TÀI LIỆỆU HỆỆU HU HỌU HỌỌC TỌC TC TC TẬẬP TOÁN 11ẬẬP TOÁN 11P TOÁN 11P TOÁN 11 –––– HK2HK2HK2HK2 18181818 Ví dụ 24 Cho tứ diện ABCD có BC AD a= = , AC=BD b= , AB=CD c= Tính góc BC AD

Ví dụ 25 Cho tứ diện ABCD có 4 3

CD= AB Gọi I , J trung điểm BC , AC , BD Biết 5

6

JK = AB, tính góc đường thẳng CD với đường thẳng IJ AB

Ví dụ 26 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thoi, cạnh bên SA AB= SA⊥BC a) Tính góc SD BC

b) Gọi I , J điểm thuộc SB SD cho IJ // BD Chứng minh góc giữa AC IJ không phụ thuộc vài vị trí I J

(19)

GV TR GV TR GV TR

Ví dụ 27 Cho hình hộp ABCD A B C D. ′ ′ ′ ′ có cjanh a , BAD =60° , BAA′=DAA′=120° a) Tính góc cặp đường thẳng AB với A D′ AC′ với B D′

b) Tính diện tích hình A B CD′ ′ ACC A′ ′

(20)

Bài 18 Cho ba tia Ox , Oy , Oz không đồng phẳng

a) Đặt xOy=α, yOz=β, zOx= Chứng minh rằng: γ cos cos cos 3 2 α + β + γ > −

b) Gọi Ox′, Oy′, Oz′ tia phân giác góc xOy , yOz , zOx Chứng minh rằng Ox′ Oy′ vng góc với Oz′ vng góc với Ox′ Oy′

Bài 19 Cho tứ diện ABCD có tất cạnh m Gọi M , N trung điểm AB, CD a) Tính độ dài MN theo a b) Tính góc MN với AB, CD BC Bài 20 Cho hình lập phương ABCD EFGH Hãy xác định góc cặp véctơ sau: .

a) AB

EG

b) AF

EG

c) AB

DH

Bài 21 Cho tứ diện ABCD Gọi M , N trung điểm cạnh BC , AD Hãy tính góc giữa AB CD , biết AB CD= =2a MN =a 2

Bài 22 Cho hình chóp S ABC có SA SB SC AB AC a= = = = = , BC a= 2 Tính góc hai đường thẳng SC AB

Bài 23 Cho tứ diện ABCD , biết AB AC= DB=DC a) Chứng minh AD vng góc với BC

b) Gọi M , N điểm thuộc đường thẳng AB BD cho MA=k MB , ND k NB=

. Tính góc hai đường thẳng MN BC Bài 24 Cho tứ diện ABCD Chứng minh rằng:

a) AB CD AC DB AD BC. + . + . =0

Từ đó, suy tứ diện ABCD có AB⊥CD AC⊥DB AD⊥BC

b) Nếu AB AC. =AC AD. = AD AB.

AB⊥CD, AC⊥DB, AD⊥BC Điều ngược lại có đúng khơng?

c) Nếu AD BD CD= = BDC CDA= AB⊥CD, AC⊥DB, AD⊥BC

Bài 25 Cho tứ diện ABCD có AB AC AD= = vàBAC BAD= =60° , CAD = 90° Chứng minh rằng: a) AB vng góc với CD

b) Nếu I J trung điểm AB CD IJ ⊥ AB IJ ⊥CD

Bài 26 Cho hình chóp tam giác S ABC có SA SB SC= = ASB=BSC CSA= Chứng minh SA BC⊥ , SB⊥AC, SC⊥ AB

Bài 27 Cho hai tam giác ABC ABC′ có chung cạnh AB nằm hai mặt phẳng khác nhau Gọi M , N , P, Q trung điểm cạnh AC , CB , BC′ , C A′ Chứng minh rằng:

a) AB⊥CC′ b) Tứ giác MNPQ hình chữ nhật

Bài 28 Cho hình chóp S ABCD đáy ABCD hình bình hành SAB SAD tam giác vuông tạiA Chứng minh rằng:

a) SA vng góc với BC CD b) SA vng góc với AC BD

Bài 29 Cho hai hình vng ABCD ABC D′ ′ có chung cạnh AB nằm hai mặt phẳng khác nhau, có tâm O O′ Cmr: AB⊥OO′ tứ giác CDD C′ ′ hình chữ nhật

Bài 30 Cho véctơ n (khác 0

) hai véctơ a b

ba véctơ n,a b

không đồng phẳng Bài 31 Chứng minh ba véctơ vng góc với véctơ n (khác 0

) đồng phẳng Từ suy ra, các đường thẳng vng góc với đường thẳng song song với mặt phẳng Bài 32 Gọi S diện tích ABC∆ Chứng minh rằng: 2 ( )2

2

(21)

GV TR GV TR GV TR

Câu 10 Trong không gian cho ba đường thẳng phân biệt a , b, c Khẳng định sau sai?

A Nếu a b nằm mặt phẳng vng góc với c a b //

B Nếu a b c a// ⊥ c⊥ b

C Nếu góc a c góc b c a b //

D Nếu a b nằm mp( )α //c góc a c góc b c

Câu 11 Cho tứ diện ABCD có AB CD= =a, 3 2 a

IJ = ( , I J trung điểm BC AD) Số đo góc hai đường thẳng AB CD

A 30° B 45° C 60° D 90°

Câu 12 Cho tứ diện ABCD cóAC =a, BD=3a Gọi M N trung điểm AD .

BC Biết AC vng góc với BD Tính MN

A 10

2 a

MN = B 6

3 a

MN = C 3 2

2 a

MN = D 2 3

3 a MN =

Câu 13 Cho hình hộp ABCD A B C D. ′ ′ ′ ′ Giả sử tam giác AB C′ A DC′ ′ có góc nhọn Góc giữa hai đường thẳng AC A D′ góc sau đây?

A ∠BDB′ B ∠AB C′ C ∠DB B′ D ∠DA C′ ′

Câu 14 Cho tứ diện ABCD Chứng minh AB AC. = AC AD. =AD AB.

AB⊥CD, AC⊥BD, AD⊥BC Điều ngược lại không?

Sau lời giải:

Bước 1: AB AC = AC AD ⇔ AC AB AD.( −)=0⇔ AC DB = ⇔0 AC⊥BD Bước 2: Chứng minh tương tự, từ AC AD. =AD AB.

ta AD⊥BC AB AC. =AD AB. ta AB CD⊥ .

Bước 3: Ngược lại đúng, trình chứng minh bước trình biến đổi tương đương

Bài giải hay sai? Nếu sai sai đâu?

A Đúng B Sai từ bước C Sai từ bước D Sai bước

Câu 15 Cho tứ diện ABCD (tứ diện có tất cạnh nhau) Số đo góc hai đường thẳng AB CD bằng:

A 30° B 45° C 60° D 90°

Câu 16 Cho hình hộp ABCD A B C D. ′ ′ ′ ′ có tất cạnh Trong mệnh đề sau, mệnh đề sai?

A A C′ ′ ⊥BD B BB′ ⊥BD C A B′ ⊥DC′ D BC′⊥A D′

Câu 17 Cho tứ diện ABCD , M trung điểm cạnh BC Khi cos(AB DM bằng: , )

A

6 3

b) 2

2

C

2 3

D

2 1

Câu 18 Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng ABCD cạnh a cạnh bên . .

a Gọi M N trung điểm AD SD Số đo góc (MN SC bằng: , )

A 30° B 45° C 60° D 90°

Câu 19 Cho hình chóp S ABCD có tất cạnh a Gọi . I J trung điểm SC BC Số đo góc (IJ CD bằng: , )

A 30° B 45° C 60° D 90°

Câu 20 Cho tứ diện ABCD có AB=CD Gọi I , J, E , F trung điểm củaAC, BC, BD , AD Góc (IE JF bằng: , )

(22)

Vấn đề ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC MẶT PHẲNG

I. Địnhnghĩađườngthẳngvnggócvớimặtphẳng: ①

① ①

① Định nghĩa 5: Đường thẳng gọi vng góc với mặt phẳng vng góc với đường thẳng mặt phẳng

( ) , ( )

a⊥ α ⇔a⊥b ∀ ⊂b α ; ( )

( ) a a b b α α ⊥   ⊥  ⊂  ② ② ②

② Định lí 3: Nếu đường thẳng d vng góc với hai đường thẳng cắt a b nằm mặt phẳng ( )α đường thẳng

d vng góc với mặt phẳng ( )α II.Tínhchất

① ① ①

① Tính chất 4: ⓐ

ⓐ ⓐ

ⓐ Có mặt phẳng ( )P qua điểm O cho trước vng góc với đường thẳng a cho trước

ⓑ ⓑ ⓑ

ⓑ Có đường thẳng ∆ qua điểm O cho trước vng góc với mặt phẳng ( )P cho trước

② ② ②

② Định nghĩa 6: Mặt phẳng qua trung điểm O đoạn AB vng góc với AB mặt phẳng trung trực đoạn AB

M ∈mặt trung trực AB ⇔MA MB=

III.Liênhệgiữaquanhệsongsongvàquanhệvnggóccủađườngthẳngvàmặtphẳng ①

① ①

① Tính chất 5: ⓐ

ⓐ ⓐ

ⓐ Nếu mặt phẳng vng góc với trong hai đường thẳng song song vng góc với đường thẳng cịn lại

ⓑ ⓑ ⓑ

ⓑ Hai đường thẳng phân biệt vuông góc với mặt phẳng chúng song song với

② ② ②

② Tính chất 6: ⓐ

ⓐ ⓐ

ⓐ Đường thẳng vng góc với hai mặt phẳng song song thì vng góc với mặt phẳng lại

( ) ( ) ( ) ( ) // a a α β β α   ⊥  ⊥  ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )// a a α β α β α β ⊥   ⊥   ≡/  ⓑ ⓑ ⓑ

ⓑ Hai mặt phẳng phân biệt vng góc với đường thẳng chúng song song với a b c α O A M O B α α β a a b α a α O ∆ α O a α b ( ) ( ) , , b c

b c a

a b a c α α ⊂    ⊥   ⊥ ⊥  caét ( ) ( ) // a b b a α α   ⊥  ⊥  ( ) ( ) // a

b a b

(23)

GV TR GV TR GV TR

③ ③③

③ Tính chất 7: ⓐ

ⓐ ⓐ

ⓐ Cho đường thẳng a mặt phẳng ( )α song song với Đường thẳng vng góc với ( )α vng góc với a

( ) ( ) // a b a b α α   ⊥  ⊥  ( ) ( ) ( ) // a

a b a

b α α α ⊂/   ⊥   ⊥  ⓑ ⓑ ⓑ

ⓑ Nếu đường thẳng mặt phẳng (không chứa đường thẳng đó) vng góc với đường thẳng chúng song song với

IV.Địnhlíbađườngvnggóc ①

①①

① Định nghĩa 7: Phép chiếu song song lên mặt phẳng ( )α theo phương l vng góc với mặt phẳng ( )α gọi phép chiếu vng góc lên mặt phẳng ( )α

② ②②

② Định lí 4: (Định lí đường vng góc)

Cho đường thẳng a khơng vng góc với mặt phẳng ( )α đường thẳng b nằm ( )α Khi đó, điều kiện cần đủ để b vng góc với a b vng góc với hình chiếu a′ a trên ( )α

( ) ( )

b

a thì b a b a

Ch a aα α α ⊂   ′ ⊥/  ⊥ ⇔ ⊥  ′ =  V.Gócgiữađườngthẳngvàmặtphẳng

Định nghĩa 8: Góc đường thẳng mặt phẳng ⓐ

ⓐ ⓐ

ⓐ Nếu đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng ( )α ta nói góc đường thẳng a và mặt phẳng ( )α 90°

( ) ( ,( )) 90 a⊥ α  a α = ° ⓑ

ⓑ ⓑ

ⓑ Nếu đường thẳng a khơng vng góc với mặt phẳng ( )α góc a hình chiếu a′ a ( )α gọi góc đường thẳng a mặt phẳng ( )α

( )

(a, α )=(a a, ′)=AOH

  

Chú ý: 0° ≤(a,( )α )≤90°

a b α α a b A B

A' B' a'

(24)

Dạng1.Chứngminhđườngthẳngvnggócvớimặtphẳng

A PHƯƠNG PHÁP GIẢI ①

① ①

① Chứng minh đường thẳng d vng góc với hai đường thẳng cắt nằm ( )P

( )

,

, b c

b c a

a b a c α α ⊂    ⊥   ⊥ ⊥  caét ② ② ②

② Chứng minh a nằm trong hai mặt phẳng vng góc d vng góc với giao tuyến  d vng góc với mặt cịn lại

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , a a a α β α β β α ⊥   ∩ = ∆  ⊥  ⊂ ⊥ ∆ ③ ③ ③

③ Chứng minh a giao tuyến hai mặt phẳng vng góc với mặt thứ

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

a

P a P

P α β α β ∩ =   ⊥  ⊥  ⊥  ④ ④ ④

④ Chứng minh đường thẳng d song song với a mà a⊥( )P ⑤

⑤ ⑤

⑤ Đường thẳng vng góc với hai mặt phẳng song song vng góc với mặt phẳng còn lại (TC6)

( ) ( ) ( ) ( ) // a a α β β α   ⊥  ⊥  ⑥ ⑥ ⑥

⑥ Chứng minh d trục tam giác ABC nằm ( )P B BÀI TẬP MẪU

Ví dụ 28 Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác ABC vng B, SA⊥(ABC) a) Chứng minh: BC⊥(SAB)

b) Kẻ đường cao AH tam giác SAB Chứng minh AH ⊥(SBC) c) Kẻ đường cao AK tam giác SAC Chứng minh SC⊥(AHK) d) Đường thẳng HK cắt BC I Chứng minh IA⊥(SAC)

(25)

GV TR GV TR GV TR

Ví dụ 29 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, SA⊥(ABCD) a) Chứng minh: BC⊥(SAB) CD⊥(SAD)

b) Kẻ đường cao AH tam giác SAB Chứng minh AH ⊥(SBC) c) Kẻ đường cao AK tam giác SAD Chứng minh SC ⊥(AHK)

d) Trong mặt phẳng (ABCD kẻ ) AM ⊥ BD M Chứng minh BD⊥(SAM)

(26)

Ví dụ 30 Cho hình chóp A BCD Gọi O hình chiếu A lên (BCD ) Chứng minh AB=AC =AD⇔OB OC OD= =

Ví dụ 31 Cho hình chóp S ABC có SA SB SC a= = = , ASB =90°, BSC = 60°, CSA = 120° Gọi I trung điểm cạnh AC Chứng minh SI ⊥(ABC)

(27)

GV TR GV TR GV TR

Ví dụ 32 Cho hình lăng trụ đứng ABC A B C. ′ ′ ′ có đáy tam giác ABC vng cân A, BC=2CC′ Gọi I , K trung điểm BC AI ′

a) Chứng minh B C′ ′⊥(A AI′ ) b) Chứng minh AK ⊥(A BC′ )

c) Gọi K hình chiếu vng góc A A C′ Chứng minh B, H , K thẳng hàng

C BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 33 Cho tứ diện ABCD có hai mặt (ABC ) (BCD hai tam giác cân có chung cạnh đáy BC )

Gọi I trung điểm BC a) Chứng minh BC⊥(ADI)

b) Gọi AH đường cao ∆ADI, chứng minh rằngAH ⊥(BCD)

Bài 34 Cho tứ diện OABC có OA, OB , OC đơi vng góc với Gọi H hình chiếu vng góc điểm O mặt phẳng (ABC )

a) Chứng minh BC⊥(OAH), CA⊥(OBH), AB⊥(OCH) b) Chứng minh H trực tâm ABC∆

c) Chứng minh 1 2 12 12 1 2 OH =OA +OB +OC

d) Chứng minh 2 2

ABC OAB OBC OCA S∆ =S∆ +S∆ +S∆ e) Chứng minh góc ABC∆ nhọn

Bài 35 Cho hình chóp S ABCD có đáy hình thoi có SA SB SC SD= = = Gọi O giao điểm của AC BD

a) Chứng minh SO⊥(ABCD)

b) Gọi I , J trung điểm AB, BC Chứng minh IJ ⊥(SBD)

c) Gọi G trọng tâm ACD∆ H cạnh SD cho HD=2HS Cm HG⊥(ABCD) Bài 36 Cho hình chóp S ABCD có đáy hình thoi có SA SC= SB=SD

a) SO⊥(ABCD) b) AC⊥(SBD) BD⊥(SAC)

Bài 37 Cho hình chóp S ABC có SA⊥(ABC) tam giác ABC khơng vuông Gọi H K là trục tâm tam giác ABC SBC Chứng minh:

(28)

TÀI LIỆỆU HỆỆU HU HỌU HỌỌC TỌC TC TC TẬẬP TOÁN 11ẬẬP TOÁN 11P TOÁN 11P TOÁN 11 –––– HK2HK2HK2HK2 28282828 Bài 38 Trên mặt phẳng ( )α cho hình bình hành ABCD Gọi O giao điểm AC BD, S

một điểm nằm mặt phẳng ( )α cho SA=SC, SB=SD Chứng minh rằng: a) SO⊥( )α

b) Nếu mặt phẳng (SAB kẻ SH) ⊥AB H AB⊥(SOH)

Bài 39 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thoi có cạnh SA vng góc với (ABCD )

Gọi I K hai điểm lấy hai cạnh SB SD cho SI SK

SB = SD Chứng minh: a) BD⊥SC b) IK ⊥(SAC)

Bài 40 Cho tứ diện SABC có SA⊥(ABC) có ABC∆ vng B Trong mặt phẳng (SAB kẻ ) AM ⊥SB M Trên cạnh SC lấy điểm N cho SM SN

SB = SC Chứng minh rằng: a) BC ⊥(SAB) vàAM ⊥(SBC) b) MN ⊥(SAB), từ suy SB⊥ AN Bài 41 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng tâm O , SA vng góc với (ABCD )

Gọi H, I , K hình chiếu vng góc điểm A SB , SC SD a) Chứng minh BC⊥(SAB), CD⊥(SAD)

b) Chứng minh (SAC mặt trung trực đoạn ) BD

c) Chứng minh AH , AK vng góc với SC Từ suy ba đường thẳng AH, AI, AK nằm mặt phẳng

d) Chứng minh (SAC mặt trung trực đoạn ) HK Từ suy HK ⊥ AI e) Tính diện tích tứ giác AHIK biết SA= AB a=

Dạng2.Gócgiữađườngthẳngvàmặtphẳng

Để tìm góc đường thẳng a mặt phẳng ( )α ta thường dùng cách sau đây: 



 Cách 1:

Bước Tìm O a= ∩( )α

Bước Lấy A a∈ dựng AH ⊥( )α H Khi (a,( )α )=(a a, ′)=AOH Bước Tính số đo góc AOH

 

 Chú ý: 0° ≤(a,( )α )≤90° 



 Cách 2: Tính gián hai hướng sau:

Hướng 1: Chọn đường thẳng d //a mà góc d ( )α tính Từ ta có: (a,( )α )=(d,( )α )

Hướng 2: Chọn mặt phẳng ( ) ( )β // α mà góc a ( )β tính Từ ta có: (a,( )α )=(a,( )β )

α

a

a'

H O

A

(29)

GV TR GV TR GV TR

Ví dụ 33 Cho tứ diện ABCD Tính góc đường thẳng AB (BCD ) ĐS: 54044′

Ví dụ 34 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a , SA⊥(ABCD) SA a= 2 Tính góc giữa:

a) SC , SD với (ABCD ) b) BD với (SAC ) ĐS: a) 450; 54044′ b) 900

Ví dụ 35 Cho hình chóp S ABCD có ABCD hình thang cân đáy lớn AD=2a, AB=BC CD a= = hình chiếu vng góc S (ABCD trung điểm ) I AD SAD∆ tam giác a) Tính góc SC (ABCD )

b) Gọi K trung điểm AB, tính góc KI mặt phẳng (SAB ) c) Tính góc BD với (SAB )

d) Tính góc SA (MBD ) ĐS: a) 600 b) arctan( 1/2 ) c) arctan d) arcsin( 1/4 )

(30)

Bài 42 Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh a tâm O ; SA⊥(ABCD), SA a= 2 Tính góc giữa:

a) SO (ABCD ) b) SC và(SAB ) c) BD (SAD ) d) SB (SAC )

ĐS: a) arctan2 b) 300 c) 450 d) arcsin( /6 )

Bài 43 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thang vng A B, AD=2BC AB BC a= = SA vng góc với (ABCD ) SA a= 2 Tính góc giữa:

a) SC (SAD ) b) SD (SAC ) c) SB (SAC ) d) AC (SCD )

ĐS: a) 300 b) arctan( /2 ) c) arcsin( /6 ) d) 450

Bài 44 Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh a tâm O ; SA⊥(ABCD) Gọi M , N lần lượt hình chiếu A lên SB SD

a) Chứng minh MN BD // SC⊥(AMN)

b) Gọi K giao điểm SC với mặt phẳng (AMN Chứng minh tứ giác AMKN có hai ) đường chéo vng góc với

c) Nếu cho AB a= SA a= 6, tính góc ϕ cạnh SC mặt phẳng (ABCD góc ) α BD mặt phẳng (SBC ) ĐS: c) ϕ=600, α=arcsin( 21 /7 )

Bài 45 Cho hình chóp S ABC đáy ABC tam giác vuông cân A, BC= , a 3 2 SA SB SC= = = a a) Tính khoảng cách từ S tới mp ABC ( )

b) Tính góc SA mp ABC ( ) ĐS: a) a 2 2 b)

3 cos

3

(31)

GV TR GV TR GV TR

Bài 46 Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh a , SA⊥(ABCD), SA a= 6 Tính góc giữa:

a) SC với mặt phẳng (ABCD ) (SAB )

b) SB với mặt phẳng (SAC ) ĐS: a) 60 ; arctan0 7 7

c) AC với mặt phẳng (SBC ) ĐS: b) arctan 14 14 c)

21 arctan

7

Bài 47 Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh a , O tâm đáy SO⊥(ABCD), M N trung điểm cạnh SA , CD Cho biết MN tạo với đáy (ABCD góc ) 60° a) Tính MN SO

b) Tính góc MN mp SBD ( ) ĐS: a) MN a 5; SO a 5 2

= = b) arcsin2 15

15

Bài 48 Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh a , O tâm đáy, SO⊥(ABCD), SA tạo với (ABCD ) (SBC hai góc ) H hình chiếu A (SBC ) a) Chứng minh SO AH=

2 a

HB = Tính SA

b) Tính tan góc SA với mp ABCD ( ) ĐS: a) a/2 b) /2

Bài 49 Cho hình lập phương ABCD A B C D. ′ ′ ′ ′ a) Tính góc AB′ BC′ ; AC′ CD′

b) IK với (A B C D′ ′ ′ ′ , ) I , K trung điểm BC , A D′ ′ ĐS: a) 60 ; 90° ° b) 45°

Bài 50 Cho hình lập phương ABCD A B C D. ′ ′ ′ ′ cạnh a Tính góc giữa:

a) B D′ (AA D D′ ′ ) b) BD (B AC′ ) ĐS: a) arctan( /2 ) b) arctan 2

Dạng3.Thiếtdiệnquamộtđiểmchotrướcvà vnggócvớimộtđườngthẳngchotrước

Để tìm thiết diện khối đa diện ( )S với mặt phẳng ( )P , (((( ))))P qua điểm M cho trước và vng góc với đường thẳng d cho trước, ta lựa chọn hai cách sau: Cách Dựng mặt phẳng ( )P sau:

 Dựng hai đường thẳng cắt vng góc với d , có đường qua M

 Mặt phẳng xác định hai đường thẳng ( )α  Xác định thiết diện theo phương pháp học

(32)

TÀI LIỆỆU HỆỆU HU HỌU HỌỌC TỌC TC TC TẬẬP TOÁN 11ẬẬP TOÁN 11P TOÁN 11P TOÁN 11 –––– HK2HK2HK2HK2 3232 3232 B BÀI TẬP MẪU

Ví dụ 36 Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh a , SA⊥(ABCD. Hãy xác định thiết diện của: a) mặt phẳng ( )P qua trung điểm I AB vng góc với AC với tứ diện S ABD . b) mặt phẳng ( )Q qua A, vuông góc với SC hình chóp S ABCD .

Ví dụ 37 Cho tứ diện ABCD Xác định thiết diện cắt tứ diện mặt phẳng ( )P qua trung điểm I của AB vng góc với AB

(33)

GV TR GV TR GV TR

Ví dụ 38 Tứ diện SABC có ABC tam giác vng cân đỉnh B, AB= , a SA⊥(ABC), SA= Gọi a

( )α mặt phẳng qua trung điểm M AB vng góc với SB

a) Xác định mặt phẳng ( )α ĐS: b) S=5a2 2 /32 (đvdt)

b) ( )α cắt tứ diện SABC theo thiết diện hình gì? tính diện tích thiết diện

Ví dụ 39 Cho hình lăng trụ đứng ABC A B C. ′ ′ ′ có đáy tam giác vuông cân, AB= AC a= , AA′ =a 2 Ba điểm I , K, M trung điểm BC , CC′ BI

a) Chứng minh B C′ ⊥(AKI)

(34)

TÀI LIỆỆU HỆỆU HU HỌU HỌỌC TỌC TC TC TẬẬP TOÁN 11ẬẬP TOÁN 11P TOÁN 11P TOÁN 11 –––– HK2HK2HK2HK2 3434 3434 C BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 51 Cho hình chóp S ABC , đáy tam giác ABC vuông B, SA⊥(ABC) SA AB= Gọi ( )P là mặt phẳng qua điểm M thuộc cạnh AB vng góc với SB Hãy xác định thiết diện

( )P cắt hình chóp Thiết diện hình gì? Thiết diện hình bình hành khơng?

Bài 52 Cho hình chóp S ABCD có đáy hình thang vng đáy lớn AD, SA⊥(ABCD) Mặt phẳng ( )α qua M thuộc cạnh SC vng góc với AB Hãy xác định thiết diện hình chóp S ABCD với mặt phẳng . ( )α Thiết diện hình gì?

Bài 53 Cho hình chóp S ABC có ABC tam giác cạnh a SA SB SC b= = = Gọi G trọng tâm ABC∆

a) Chứng minh SG⊥(ABC) Tính SG

b) Xét mặt phẳng ( )P qua A vng góc với đường thẳng SC Tìm hệ thức liên hệ a b để ( )P cắt SC điểm C′ nằm S C Khi đó, tính diện tích thiết diện của hình chóp S ABC cắt . ( )P

ĐS: a) SG= 9b2−3a /32 b) a b 2; S> =a2 3b2−a /(4b)2 (đvdt)

Bài 54 Cho hình vng ABCD cạnh a , tâm O Trên đường thẳng vng góc với (ABCD O , lấy )

điểm S cho 6 2 a

SO = Mặt phẳng ( )α qua A vng góc với SC cắt SB , SC , SD B′, C′, D′

a) Tính AC′ Chứng minh C′ trung điểm SC ĐS: AC'=a /2

b) Chứng minh B D′ ′ song song với BD Từ suy cách dựng hai điểm B′ D′

Dạng4.Điểmcốđịnh-Tìmtậphợpđiểm

① ①①

① Tậphợpđiểmthườnggặp:

Cho điểmA, B, C không thẳng hàng mặt phẳng ( )α

 Nếu M điểm thỏa mãn AM ⊥ BC điểm M nằm mặt phẳng ( )P qua A và vng góc với BC

 Nếu điểm M thỏa mãn: AM ⊥( )α điểm M nằm mặp phẳng ( )P qua A vng góc với ( )α

 Nếu điểm M thỏa mãn MA MB= M nằm mặt phẳng ( )P qua trung điểm I của AB vng góc với AB , mặt phẳng trung trực đoạn AB

(35)

GV TR GV TR GV TR

② ② ②

② Haibàitốnquỹtích:

Bài tốn 1: “Quĩ tích hình chiếu H điểm cố định O lên đường thẳng di động d mặt phẳng

( )α quay quanh điểm cố định A” Gọi B hình chiếu O ( )α

Ch OH BH

BH d

Do OH d

α =  ⊥



⊥ 

2 BHA π

 = H∈( )α  Quĩ tích đường trịn đường kính BA ( )α

Bài tốn 2: “Quĩ tích hình chiếu H điểm cố định A mặt phẳng ( )α di động luôn chứa đường thẳng cố định d ”

Bước Xác định mặt phẳng ( )P qua A vuông góc với d Tìm a=( ) ( )α ∩ P

Bước Gọi H hình chiếu vng góc A lên a , H hình chiếu vng góc A ( )P

Bước Gọi E giao điểm d với ( )P Trong

( )P , ta có AHE =90° nên quĩ tích đường trịn đường kính AE ( )P

Ví dụ 40 Tìm tập hợp điểm M cách mút đoạn thẳng AB

Ví dụ 41 Tìm tập hợp điểm M cách ba đỉnh tam giác ABC

Ví dụ 42 Cho tam giác ABC Tìm tập hợp điểm:

a) M cho MA⊥BC b) N cho: NA⊥BC, NB⊥CA, NC⊥ AB

O

B A

H

d

α

B

d

α

H E A

P

(36)

TÀI LIỆỆU HỆỆU HU HỌU HỌỌC TỌC TC TC TẬẬP TOÁN 11ẬẬP TOÁN 11P TOÁN 11P TOÁN 11 –––– HK2HK2HK2HK2 36363636 C BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 55 Cho hình thang ABCD vng A B, có AD=2a, AB BC a= = Trên tia

( )

Ax⊥ ABCD lấy điểm S Gọi C′, D′ hình chiếu vng góc A SC và SD Chứng minh rằng:

a)

90 SBC SCD= = °

b) AD′, AC′ AB nằm mặt phẳng

c) Đường thẳng OS=2a luôn qua điểm cố định S di động Ax

Bài 56 Cho mặt phẳng ( )α điểm O ( )α A điểm cố định thuộc ( )α cho OA khơng vng góc với ( )α , d đường thẳng di động ( )α luôn qua

A Gọi M là hình chiếu vng góc O d a) Tìm tập hợp điểm M thỏa tính chất nêu b) Tìm vị trí d để độ dài OM lớn

Bài 57 Cho hình vng ABCD tâm O, S điểm di động tia Ax vng góc với (ABCD) a) Tìm tập hợp hình chiếu vng góc O đường thẳng SB

b) Tìm tập hợp chân đường cao vẽ từ đỉnh D M

Bài 58 Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng, cạnh bên SA SB SC SD b= = = = hợp với đáy góc 60° Gọi I trung điểm CD Tính góc hợp đường thẳng:

a) SC (SBD ) b) SI (SAB ) ĐS: a) 300 b) 44024′ Bài 59 Cho hình tứ diện ABCD có AB, BC , CD đơi vng góc với AB= , BCa = , b

CD c=

a) Tính AD b) Chỉ điểm cách A, B, C , D (Tâm mặt cầu ngoại tiếp khối tứ diện) c) Tính góc đường thẳng AD với mặt phẳng (BCD ) (ABC )

Bài 60 Cho hình hộp đứng ABCD A B C D. ′ ′ ′ ′ có cạnh AB a= , AD= 2a, AA′ =3a BAD =600 a) Chứng minh AB⊥(BD D′ )

b) Gọi H, K hình chiếu vng góc D BD′ BC′ Chứng minh BC′ ⊥(DHK)

Bài 61 Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng ABCD cạnh a , SA a= SA⊥(ABCD) a) Chứng minh mặt bên hình chóp tam giác vng

b) Mặt phẳng ( )α qua A vng góc với cạnh SC cắt SB , SC , SD tạiB′, C′ , D′ Chứng minh B D BD′ ′// AB′ ⊥SB

Bài 62 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành SA SC= , SB=SD Gọi O giao điểm AC BD

a) Chứng minh: SO⊥(ABCD)

b) Gọid1=(SAB) (∩ SCD),d2 =(SBC) (∩ SAD) Chứng minh: SO⊥(d d1, 2)

Bài 63 Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác vuông B, SA⊥(ABC)

a) Trong SAB∆ kẻ đường cao AH Chứng minh BC⊥(SAB), AH ⊥(SBC) b) Trong SAC∆ kẻ đường cao AK Chứng minh SC ⊥(AHK)

(37)

GV TR GV TR GV TR

Bài 64 Cho ABC∆ cân A có A =1200, cạnh BC a= 3 Lấy điểm S mặt phẳng chứa ABC

∆ cho SA= Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp SBCa ∆

a) Chứng minh:AO⊥(SBC) b) Tính AO SBC∆ vng S ĐS: a/2

Bài 65 Cho hình chóp S ABCD có ABCD hình vng cạnh a , SA a= 2 SA⊥(ABCD) Gọi AH đường cao SAB∆

a) Tính tỉ số SH

SB và độ dài AH

b) Gọi ( )α mặt phẳng qua A vng góc với SB , ( )α cắt hình chóp theo thiết diện hình gì? Tính diện tích thiết diện ĐS: a) SH SB AH/ = / , =a 3/ b)

/18

S=5a 6 (đvdt)

Bài 66 Cho tam giác ABC có đường cao AH =2a Gọi O trung điểm AH Trên đường thẳng vng góc với mặt phẳng (ABC O , lấy điểm S cho ) OS=2a Gọi I điểm

OH , đặt AI= , x a x< <2a Gọi ( )α mặt phẳng qua I vng góc với đường thẳng OH a) Xác định mặt phẳng ( )α

b) Dựng thiết diện ( )α với tứ diện SABC Thiết diện hình gì? .

Bài 67 Tính theo a x diện tích thiết diện Với x diện tích thiết diện lớn nhất?Cho hình chóp S ABCD có đáy hình thoi tâm O cạnh a , . B =600, SA= a SA⊥(ABCD) Gọi M là điểm cạnh SB

a) Khi M trung điểm cạnh SB , tính diện tích thiết diện hình chóp S ABCD với .

(ADM )

b) Khi M di động cạnh SB , tìm tập hợp hình chiếu vng góc S mặt phẳng

(ADM )

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 21 Khẳng định sau sai?

A Nếu đường thẳng d ⊥( )α thì d vng góc với hai đường thẳng ( )α

B Nếu đường thẳng d vng góc với hai đường thẳng nằm ( )α d ⊥( )α

C Nếu đường thẳng d vng góc với hai đường thẳng cắt nằm ( )α d vng góc với đường thẳng nằm ( )α

D Nếu d ⊥( )α đường thẳng a//( )α d⊥a

Câu 22 Trong khơng gian cho đường thẳng ∆ điểm O Qua O có đường thẳng vng góc với ∆ cho trước?

A 1 B 2 C 3 D Vô số

Câu 23 Qua điểm O cho trước, có mặt phẳng vng góc với đường thẳng ∆ cho trước?

Câu 24 Mệnh đề sau sai?

A Hai đường thẳng phân biệt vng góc với mặt phẳng song song

B Hai mặt phẳng phân biệt vng góc với đường thẳng song song

C Hai đường thẳng phân biệt vng góc với đường thẳng thứ ba song song

(38)

Câu 25 Cho hình chóp S ABC có . SA⊥(ABC) ABC∆ vuông B Gọi AH đường cao SAB

∆ Khẳng định sau sai?

A SA BC⊥ B AH⊥BC C AH⊥AC D AH ⊥SC

Câu 26 Trong không gian tập hợp điểm M cách hai điểm cố định A B là:

A Mặt phẳng trung trực đoạn thẳng AB . B Đường trung trực đoạn thẳng AB

C Mặt phẳng vng góc với AB A D Đường thẳng qua A vng góc với AB

Câu 27 Cho tứ diện ABCD có AB= AC DB=DC Khẳng định sau đúng?

A AB⊥(ABC) B AC⊥BD C CD⊥(ABD) D BC⊥AD

Câu 28 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thoi tâmO Biết SA SC. = SB SD Khẳng = định sau đây khẳng định sai?

A SO⊥(ABCD) B AC⊥(SBD) C BD⊥(SAC) D CD⊥ AC

Câu 29 Cho hình chóp S ABC có SA SB SC. = = tam giác ABC vuông B Vẽ SH ⊥(ABC),

( ).

H∈ ABC Khẳng định sau khẳng định đúng?

A H trùng với trọng tâm tam giác ABC B H trùng với trực tâm tam giác ABC .

C H trùng với trung điểm AC D H trùng với trung điểm BC

Câu 30 Cho hình chóp S ABC có cạnh . SA⊥(ABC) đáy ABC tam giác cân C Gọi H K lần lượt trung điểm AB SB Khẳng định sau sai?

A CH ⊥SA B CH⊥SB C CH⊥ AK D AK⊥SB

Câu 31 Cho hình chóp S ABC có SA SB SC. = = Gọi O hình chiếu S lên mặt đáy ABC Khẳng định sau khẳng định đúng?

A O trọng tâm tam giác ABC B O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC C O trực tâm tam giác ABC D O tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC Câu 32 Cho hình chóp S ABCD có . SA⊥(ABC) đáy ABCD hình chữ nhật Gọi O tâm

ABC I trung điểm SC Khẳng định sau khẳng định sai?

A BC⊥SB B (SAC mặt phẳng trung trực đoạn ) BD

C IO⊥(ABCD) D Tam giác SCD vuông D

Câu 33 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng . SA⊥(ABCD). Gọi I , J, K lần lượt trung điểm AB BC SB Khẳng định sau khẳng định sai? ,

A (IJK) (// SAC ) B BD⊥(IJK)

C Góc SC BD có số đo 60° D BD⊥(SAC)

Câu 34 Cho hình tứ diện ABCD có AB , BC, CD đơi vng góc Hãy điểm O cách đều bốn điểm A , B , C, D

A O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC B O trọng tâm tam giác ACD C O trung điểm cạnh BD D O trung điểm cạnh AD

Câu 35 Cho hình chóp S ABC có . SA⊥(ABC) AB⊥BC Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác SBC H hình chiếu vng góc O lên (ABC Khẳng định sau đúng? )

A H trung điểm cạnh AB B H trung điểm cạnh AC

(39)

GV TR GV TR GV TR

Câu 36 Cho tứ diện ABCD Vẽ AH ⊥(BCD) Biết H trực tâm tam giác BCD Khẳng định sau đây khẳng định đúng?

A AB CD= B AC BD= C AB CD⊥ D CD⊥BD

Câu 37 Cho hình chópS ABCD , đáy ABCD hình vng có tâm O , . SA⊥(ABCD) Gọi I trung điểm SC Khẳng định sau khẳng định sai?

A IO⊥(ABCD) B (SAC mặt phẳng trung trực đoạn ) BD

C BD SC⊥ D SA SB SC= =

Câu 38 Cho tứ diện ABCD có cạnh AB , BC, BD vng góc với đơi Khẳng định sau khẳng định đúng?

A Góc AC (BCD góc ACD) ∠ B Góc AD (ABC góc ) ∠ADB

C Góc AC (ABD góc CAB) ∠ D Góc CD (ABD góc ) ∠CBD

Câu 39 Cho tam giác ABC vuông cân A BC= Trên đường thẳng qua a A vng góc với

(ABC lấy điểm S cho ) 6

2 a

SA = Tính số đo đường thẳng SB (ABC )

A 30° B 45° C 60° D 75°

Câu 40 Cho hình vng ABCD có tâm O cạnh bằng2a Trên đường thẳng qua O vng góc với

(ABCD lấy điểm S Biết góc SA ) (ABCD có số đo ) 45° Tính độ dài SO .

A SO =a 3 B SO a= 2 C 3

2 a

SO = D 2

2 a SO =

Câu 41 Cho hình thoi ABCD có tâm O , BD=4a, AC=2a Lấy điểm S không thuộc (ABCD ) cho SO⊥(ABCD). Biết tan 1

2

SBO = Tính số đo góc SC (ABCD ).

A 30° B 45° C 60° D 75°

Câu 42 Cho hình chóp S ABCD , đáy ABCD hình vng cạnh a và. SA⊥(ABCD) Biết 6

3 a

SA = Tính góc SC (ABCD )

A 30° B 45° C 60° D 75°

Câu 43 Cho hình chóp S ABCD có cạnh bên SA SB SC SD. = = = Gọi H hình chiếu của S lên mặt đáy ABCD Khẳng định sau khẳng định sai?

A HA HB HC HD= = =

B Tứ giác ABCD hình bình hành

C Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn

D Các cạnh SA, SB, SC, SD hợp với đáy ABCD góc

Câu 44 Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác cạnh a Hình chiếu vng góc S lên .

(ABC trùng với trung điểm ) H cạnh BC Biết tam giác SBC tam giác đều.Tính số đo của góc SA (ABC )

A 30° B 45° C 60° D 75°

Câu 45 Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vuông cạnh huyền BC a. = Hình chiếu vng góc của S lên (ABC trùng với trung điểm BC Biết SB a) = Tính số đo góc SA (ABC )

(40)

Vấn đề HAI MẶT PHẲNG VNG GĨC

I.Gócgiữahaimặtphẳng ①

①①

① Định nghĩa 9: Góc hai mặt phẳng

Góc hai mặt phẳng góc hai đường thẳng lần lượt vng góc với hai mặt phẳng

( ) ( ) (( ) ( ), ) ( , ) a a b b α α β β ⊥   =  ⊥   

 Chú ý: ( ) ( )α // β (( ) ( )α , β )= °0 ( ) ( )α ≡ β (( ) ( )α , β )= °0 ②

②②

② Định lí 5: (Diện tích đa giác chiếu)

Gọi S diện tích đa giác H mặt phẳng ( )P S′ diện tích hình chiếu H ′′′′ H mặt phẳng ( )P′ ϕ góc hai mặt phẳng ( )P ( )P′ ,

.cos

S′ =S ϕ , S∆A B C' ' =S∆ABC.cosϕ II.Haimặtphẳngvnggóc

① ①①

① Định nghĩa 10: Hai mặt phẳng vng góc

Hai mặt phẳng gọi vng góc với góc chúng bằng 90°

( ) ( )α ⊥ β ⇔(( ) ( )α , β )=90° ②

②②

② Định lí 6: Điều kiện để hai mặt phẳng vng góc

Nếu mặt phẳng chứa đường thẳng vng góc với mặt phẳng khác hai mặt phẳng vng góc với

( ) ( ) ( ) ( ) a a α α β β ⊂   ⊥  ⊥  ③ ③③

③ Định lí 7: (Tính chất hai mặt phẳng vng góc)

Nếu hai mặt phẳng vng góc với đường thẳng nào nằm mặt phẳng mà vng góc với giao tuyến vng góc với mặt phẳng

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , a a a α β α β β α ⊥   ∩ = ∆  ⊥  ⊂ ⊥ ∆ ④ ④④

④ Hệ 1:

Nếu hai mặt phẳng ( )α ( )β vng góc với A điểm nằm ( )α đường thẳng a qua A vng góc với ( )α nằm ( )β

(41)

GV TR GV TR GV TR

⑤ ⑤ ⑤

⑤ Hệ 2:

Nếu hai mặt phẳng cắt vuông góc với mặt phẳng thứ ba giao tuyến chúng vng góc với mặt phẳng thứ ba

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

P a P

P α β α β ∩ = ∆  ⊥  ⊥  ⊥  ⑥ ⑥ ⑥

⑥ Hệ 3:

Qua đường thẳng a khơng vng góc với mặt phẳng

( )α có mặt phẳng ( )β vng góc với mặt phẳng ( )α

( ) !( ) ( ) ( )

a⊥/ α  ∃ β ⊃avaø β ⊥ α

III.Hìnhlăngtrụđứng.Hìnhhộpchữnhật.Hìnhlậpphương

Định nghĩa 11 Hình vẽ Tính chất

Hình lăng trụ đứng

Là hình lăng trụ có cạnh bên vng góc với mặt đáy

Các mặt bên hình lăng trụ đứng hình chữ nhật, vng góc với mặt đáy

Hình lăng trụ

Là hình lăng trụ đứng có đáy đa giác

Các mặt bên hình lăng trụ đứng hình chữ nhật nhau vng góc với mặt đáy

Hình hộp đứng

Là hình lăng trụ đứng có đáy hình bình hành

Hình hộp đứng có mặt bên hình chữ nhật

Hình hộp chữ nhật

Là hình lăng trụ đứng có đáy hình chữ nhật

Các mặt hình chữ nhật

Hình lập phương

Là hình hộp chữ nhật có tất các cạnh

Các mặt hình vng nhau

IV.Hìnhchópđều ①

① ①

① Định nghĩa 12

Một hình chóp gọi hình chóp đáy của đa giác các cạnh bên Trong hình chóp đều:

- Đường thẳng vng góc với đáy kẻ từ đỉnh gọi đường cao hình chóp - Đường cao kẻ từ đỉnh mặt bên gọi trung đoạn hình chóp

(42)

② ②②

- Các mặt bên hình chóp tam giác cân - Các cạnh bên tạo với mặt đáy góc

- Các mặt bên tạo với mặt đáy góc

- Tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy hình chiếu đỉnh xuống đáy V.Hìnhchópcụtđều

① ①①

① Định nghĩa 13 Khi cắt hình chóp mặt phẳng song song với đáy để hình chóp cụt hình chóp cụt gọi hình chóp cụt

Đoạn nối tâm hai đáy gọi đường cao hình chóp cụt ②

②②

- Các mặt bên hình thang cân

- Hai đáy hai đa giác đồng dạng nằm hai mặt phẳng song song

Dạng1.Gócgiữahaimặtphẳng

Để tính góc hai mặt phẳng ( )α ( )β ta thực theo cách sau:

Cách 1 Sử dụng định nghĩa:

Bước Chọn điểm O , từ kẻ :  OE⊥( )α E  OF ⊥( )β FF

Bước Khi đó: (( ) ( )α , β )=(OE OF, )

Cách 2 Dùng cho mặt phẳng cắt nhau:

“Góc hai mặt phẳng góc hai đường vng góc với giao tuyến điểm”

Bước Tìm giao tuyến d ( )α và( )β Bước Chọn điểm O d , từ đó:

 Trong ( )α dựng Ox⊥ d  Trong ( )β dựng Oy⊥d Bước Khi đó: (( ) ( )α , β )=(Ox,Oy)

Cách 3 Dùng diện tích đa giác chiếu:

Gọi S diện tích đa giác H ( )P S′ diện tích hình chiếu H

H trên ( )P′ ϕ góc ( )P ( )P′ , thì: S′ =S.cosϕ hay cos S S ϕ=

Ví dụ 43 Cho hình chóp S ABC với ABC∆ vuông cân B BA=BC a= , SA⊥(ABC), SA a= 3 a) Tính góc (SBC) (ABC) b) Tính góc (SAC) (SBC)

A

B C

D E F

H

A'

B' C' D'

E' F'

S

β F

O

E

α

d

α β

O

x y

P

P' A

B C

A'

B' C'

H H H H

(43)

GV TR GV TR GV TR

ĐS: a) 600 b) 52014′

Ví dụ 44 Cho hình chóp S ABCD , đáy ABCD hình vng tâm O , AB a= , SA⊥(ABCD) SA= a a) Trong tam giác SAC , hạ OH ⊥SC Chứng minh góc OHB góc hai mặt phẳng

(SBC) (SAC) Tính số đo OHB

b) Tính góc (SBC) (SCD) ĐS: a) 600 b) 600

(44)

TÀI LIỆỆU HỆỆU HU HỌU HỌỌC TỌC TC TC TẬẬP TOÁN 11ẬẬP TOÁN 11P TOÁN 11P TOÁN 11 –––– HK2HK2HK2HK2 4444 4444 Ví dụ 45 Cho hình chóp tứ giác S ABCD với AB a= Gọi O hình chiếu S mặt đáy, đặt

SO x=

a) Tìm x cho góc (SCD) (ABCD) 45°

b) Với giá trị x tìm câu a), tính góc (SAD) (SCD) ĐS: a) x = a/2 b) 600

Ví dụ 46 Cho hình lập phương ABCD A B C D. ′ ′ ′ ′ cạnh a

a) Tính góc (ACB′ ) (ACD′ ) ĐS: a) arccos (1/3) b) x = a/2

(45)

GV TR GV TR GV TR

Bài 68 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SA⊥(ABCD) Hai điểm M và N thay đổi hai cạnh CB CD , đặt CM = , CNx = y Tìm hệ thức liên hệ giữa x y để:

a) Hai mặt phẳng (SAM) (SAN) tạo với góc 45° ĐS: a) 2a2 =2a( x y ) xy+ − b) Hai mặt phẳng (SAM) (SAN) vng góc với ĐS: b) a( x y ) x+ = 2+y2 Bài 69 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SA⊥(ABCD), SA a= 3

Tính góc cặp mặt phẳng sau:

a) (SAB) (SCD) b) (SBC) (ABC) c) (SBD) (ABD) d) (SBC) (SCD)

e) (SAB) (SBD) ĐS: a) 300 b) 600 c) arctan d) arctan2 21 21 e)

3 arctan

2

Bài 70 Cho ABC∆ cạnh a Trên đường thảng vng góc với (ABC) B C , lấy điểm M N nằm phía mặt phẳng (ABC) cho BM = , x CN =2x Tính x sao cho góc (ABC) (AMN) 60° ĐS: x = a /2

Bài 71 Cho tứ diện SABC , ABC∆ vuông cân A, AB= Hình chiếu S a (ABC) trùng với trung điểm H BC

2 a

SH = Tính góc (SAB) (SBC) ĐS: 600

Bài 72 Cho tứ diện đề ABCD Gọi I , J , K trung điểm cạnh AB, CD , BC Tính góc

giữa hai mặt phẳng (IJK) (BCD) ĐS: arctan 2

Bài 73 Cho hình chóp S ABCD có đáy hình chữ nhật, AB a= , BC=2a Cạnh bên SA vng góc với đáy, SA= Tính: a

a) Góc mặt (SAB), (SBC), (SCD), (SAD) với mặt đáy

b) Góc cặp mặt phẳng (SAB) (SAD); (SBC) (SAB); (SBC) (SCD);

(SAD) (SCD)

c) Góc cặp mặt phẳng (SAB) (SCD), (SAD) (SBC)

ĐS: a) 900, 450, arctan1 2, 90

0 b) 900, 900, arctan 10

5 , 90

0 c) 900 arctan1

2

− ; 450

Bài 74 Cho hình chóp tam giác S ABC có cạnh đáy 3a , cạnh bên 2a a) Tính góc cạnh bên mặt đáy

b) Tính tan góc tạo mặt bên mặt đáy ĐS: a) 300 b) tanα = /3

Bài 75 Từ điểm nằm ngồi mặt phẳng ( )P , hạ đường vng góc MA hai đường xiên MB, MC tới ( )P Biết MA= , a MB, MC tạo với ( )P góc 30 MB0 ⊥MC

a) Tính độ dài đoạn thẳng BC

b) Tính góc ϕ tạo (MBC) (ABC) ĐS: a) BC=2a b) =45ϕ ° Bài 76 Cho lăng trụ ABC A B C. ′ ′ ′ có tất cạnh đáy a biết góc tạo thành cạnh bên

mặt đáy 60° hình chiếu H điẻnh A lên (A B C′ ′ ′ trùng với trung điểm cạnh B C) ′ ′ a) Tính tan góc hai đường thẳng BC AC′

b) Tính tan góc (ABB A′ ′ mặt đáy ) ĐS: a) tanϕ= b) tan3 α =2 3

Bài 77 Cho ∆ABC vuông A, có cạnh huyền BC thuộc mặt phẳng ( )P Gọi β, γ góc hợp hai đường thẳng AB, AC với ( )P Gọi α góc hợp (ABC) với ( )P Chứng minh rằng:

2 2

(46)

Dạng2.Chứngminhhaimặtphẳng vnggóc

① ① ①

① Chứng minh góc chúng 90° ②

② ②

② Chứng minh có đường thẳng nằm mặt phẳng mà vng góc với mặt phẳng

( )

( ) ( ) ( )

a a

α

α β

β

⊂ 

 ⊥

 ⊥ 

③ ③ ③

③ Chứng minh a//( )P mà ( )Q ⊥a ④

④ ④

④ Chứng minh ( ) ( )P // R mà ( ) ( )Q ⊥ R

Ví dụ 47 Cho hình chóp S ABCD có đáy hình thoi tâm O Các tam giác SAC SBD cân S Chứng minh: SO⊥(ABCD) (SAC) (⊥ SBD)

Ví dụ 48 Cho hình chóp S ABC có đáy tma giác vuông cân B, SA⊥(ABC) a) Chứng minh: (SBC) (⊥ SAB)

b) Gọi M trung điểm AC Chứng minh: (SBM) (⊥ SAC)

α

β

(47)

GV TR GV TR GV TR

Ví dụ 49 Cho hình chóp S ABC , đáy tam giác cân A Hình chiếu S (ABC) trung điểm H BC Trong SAC∆ , kẻ đường cao CI C/minh: (IBC) (⊥ SAC) (IBC) (⊥ SAB)

Ví dụ 50 Cho hình vng ABCD tâm O , cạnh a Dựng d d′ vng góc với (ABCD) B D Gọi M N hai điểm di động d , d′ nằm bên mặt phẳng (ABCD) cho

2 .

2 a

BM DN = Chứng minh: (MAC) (⊥ NAC) (AMN) (⊥ CMN)

(48)

Bài 78 Cho hình chóp S ABC có đáy ABC∆ vng B SA⊥(ABC) Trong ∆SAB SAC

∆ , kẻ đường cao AH ⊥ AB AK ⊥SC Gọi E giao điểm HK BC C/m: a) AH ⊥(SBC) b) (AHK) (⊥ SAC) c) EA⊥ AC

Bài 79 Cho AMN∆ cân A, AM =AN a= , MN = Gọi x I trung điểm MN Trên đường thẳng qua I vng góc với (AMN), ta lấy điểm B cho IA IB=

a) Gọi J trung điểm AB C/m góc (ABM) (ABN) góc IM JN b) Tính AB theo a x suy giá trị x để (ABM) (⊥ ABN)

Bài 80 Cho hình chóp S ABC , đáy tam giác vuông A Mặt bên (SAC) tam giác vuông S , nằm mặt phẳng vng góc với (ABC) Chứng minh:

a) (SAB) (⊥ SAC) b) (SAB) (⊥ SBC)

Bài 81 Cho tứ diện ABCD Gọi O trọng tâm BCD∆ H trung điểm đoạn AO Chứng minh các mặt phẳng (HBC), (HCD) (HBD) đơi vng góc với

Bài 82 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thoi tâm O, cạnh a , BAD = 60° Cạnh bên SA vng góc với đáy 6

2 a

SA = Chứng minh: a) (SBD) (⊥ SAC) b) (SBC) (⊥ SDC) Bài 83 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a vàSA SB SC= = =a Chứng minh:

a) (ABCD) (⊥ SBD) b) ∆SBD vng

Bài 84 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thoi tâm I cạnh a có góc A 60°, cạnh 6

2 a

SC = SC⊥(ABCD) a) Chứng minh: (SBD) (⊥ SAC)

b) Trong ∆SCA, kẻ IK ⊥SA K Tính IK

c) Chứng minh 90BKD = ° từ suy (SAB) (⊥ SAD)

Bài 85 Cho tứ diện ABCD có hai mặt phẳng (ABC), (ABD) nằm hai mặt phẳng vng góc với mặt phẳng (BDC) Vẽ đường cao BE, DF BCD∆ đường cao DK ACD∆ a) Chứng minh AB⊥(BCD)

b) Chứng minh (ABE) (⊥ ADC) (DFK) (⊥ ADC)

c) Gọi O H trực tâm BCD∆ ACD∆ Chứng minh OH ⊥(ADC) Bài 86 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng tâm cạnh a SO⊥(ABCD)

2 a

SO = Gọi I , J trung điểm cạnh AB, CD Chứng minh: a) (SAC) (⊥ SBD) b) (SAB) (⊥ SIJ) c) (SAB) (⊥ SCD)

Bài 87 Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác cạnh a SA=SB SC= Gọi H hình chiếu của S lên mặt phẳng (ABC) Đặt SH = h

a) Tính h theo a cho(SAB) (⊥ SAC) ĐS: a) h a 6= /

(49)

GV TR GV TR GV TR

Dạng3.Thiếtdiệnchứađườngthẳngavàvnggócvới(α) (akhơngvnggócvới(α))

Bước Chọn điểm A a∈ cho từ A dựng đường thẳng b vng góc với ( )α cách dễ

Bước Khi đó, mặt phẳng (a b, ) mặt phẳng ( )β cần dựng

Bước 3: Tìm giao điểm ( )β với cạnh bên hình chóp Từ suy thiết diện

 

 Chú ý: Nếu có đường thẳng d⊥( )α ( )β // d hay ( )β ⊃d

Ví dụ 51 Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh a, SA⊥(ABCD) SA a= 3 Gọi ( )α là mặt phẳng chứa AB vng góc với (SDC)

a) Mặt phẳng ( )α cắt hình chóp theo thiết diện hình ?

b) Tính diện tích thiết diện ĐS: S=7a2 3 /16

α

β a

b A

(50)

TÀI LIỆỆU HỆỆU HU HỌU HỌỌC TỌC TC TC TẬẬP TOÁN 11ẬẬP TOÁN 11P TOÁN 11P TOÁN 11 –––– HK2HK2HK2HK2 50505050 Ví dụ 52 Chi hình chóp S ABCD có đáy hình thang vng A D, AD=CD a= , AB=2a Cạnh bê SA vng góc với đáy SA= Gọi a ( )α mặt phẳng chứa SD vng góc với

(SAC) Xác định tính diện tích thiết diện ( )α cắt hình chóp ĐS: S=a2 3 /2

Bài 88 Cho hình chóp S ABC có ba cạnh SA , AB, AC đơi vng góc với SA AB AC a= = =

a) Gọi H hình chiếu A (SBC) Chứng minh H trực tâm SBC∆

b) Trên cạnh SB , ta lấy điểm E cho SE=2BE Gọi ( )α mặt phẳng chưa AE vng góc với (SBC) Xác định tính diện tích thiết diện ( )α cắt hình chóp.

Bài 89 Cho hình chóp S ABCD , đáy ABCD hình vng tâm O cạnh a, SA= a

( )

SA⊥ ABCD

a) Gọi ( )α mặt phẳng qua O , trung điểm M SD vng góc với (ABCD) Hãy xác định ( )α , mặt phẳng ( )α cắt hình chóp S ABCD theo thiết diện hình ? Tính diện tích thiết diện

b) Gọi ( )β mặt phẳng qua A, trung điểm E CD vng góc với (SAB) Hãy xác định ( )β , mặt phẳng ( )β cắt hình chóp S ABCD theo thiết diện hình ? Tính diện tích thiết diện

(51)

GV TR GV TR GV TR

Dạng4.Hìnhlăngtrụ–Hìnhlậpphương–Hìnhhộp

① ① ①

① Lăng trụ có:

• Hai đáy song song đa giác • Các cạnh bên song song • Các mặt bên hình bình hành ②

② ②

② Lăng trụ đứng lăng trụ có cạnh bên vng góc với đáy ③

③ ③

③ Lăng trụ tam giá lăng trụ đứng, có đáy tam giác ④

④ ④

④ Lăng trụ có đáy tam giác lăng trụ xiên, có đáy tam giác ⑤

⑤ ⑤

⑤ Lăng trụ tứ giác lăng trụ đứng, có đáy hình vng ⑥

⑥ ⑥

⑥ Lăng trụ có đáy tứ giác lăng trụ xiên, có đáy hình vng ⑦

⑦ ⑦

⑦ Hình hộp hình lăng trụ xiên, có đáy hình bình hành ⑧

⑧ ⑧

⑧ Hình hộp đứng lăng trụ đứng, có đáy hình bình hành ⑨

⑨ ⑨

⑨ Hình hộp chữ nhật lăng trụ đứng, có đáy hình chữ nhật ⑩

⑩ ⑩

⑩ Hình lập phương lăng trụ đứng, có đáy mặt bên hình vng

Ví dụ 53 Cho hình lập phương ABCD A B C D. ′ ′ ′ ′ Chứng minh rằng: a) (AB C D′ ′ ) (⊥ BCD A′ ′ ) b) AC′⊥(A BD′ )

Lăng trụ xiên

Lăng trụ đứng

Lăng trụ

Cạnh bên vng góc đáy

(52)

TÀI LIỆỆU HỆỆU HU HỌU HỌỌC TỌC TC TC TẬẬP TOÁN 11ẬẬP TOÁN 11P TOÁN 11P TOÁN 11 –––– HK2HK2HK2HK2 52525252 Ví dụ 54 Cho hình hộp chữ nhật ABCD A B C D. ′ ′ ′ ′ có AB a= , BC= , CCb ′ = c

a) Chứng minh rằng: (ADC B′ ′) (⊥ ABB A′ ′) b) Tính độ dài đường chéo AC′ theo a, b , c

Bài 90 Cho hình lập phương ABCD A B C D. ′ ′ ′ ′ cạnh a Chứng minh khoảng cách từ điểm B, C , D, A′, B′, D′ đến đường chéo AC′ Tính khoảng cách

Bài 91 Cho hình lăng trụ đứng ABC A B C. ′ ′ ′ đáy tam giác cạnh a, A A a′ = 2 Gọi M , N lần lượt trung điểm cạnh AB, A C′ ′

a) Xác định thiết diện lăng trụ với mặt phẳng ( )α qua MN vng góc với (BCC B′ ′ ) Thiết diện hình ?

b) Tính diện tích thiết diện ĐS:

2

a 15 S

8

= (đvdt) Bài 92 Cho hình lăng trụ đứng ABC A B C. ′ ′ ′ đáy tam giác vuông cân A Đoạn nối trung điểm M

của AB trung điểm N B C′ ′ có độ dài a, MN hợp với đáy góc α mặt bên (BCC B′ ′ góc ) β

a) Tính cạnh đáy cạnh bên lăng trụ theo a α

(53)

GV TR GV TR GV TR

Câu 46 Cho hình chóp S ABC có . SA⊥(ABC) đáy ABC vuông A Khẳng định sau sai?

A (SAB) (⊥ ABC) B (SAB) (⊥ SAC)

C Vẽ AH ⊥BC, H∈BC  góc ASH góc hai mặt phẳng (SBC) (ABC)

D Góc hai mặt phẳng (SBC) (SAC) góc SCB

Câu 47 Cho tứ diện ABCD có AC= AD BC=BD Gọi I trung điểm CD Khẳng định sau sai ?

A Góc hai mặt phẳng (ACD) (BCD) gócAIB B (BCD) (⊥ AIB)

C Góc hai mặt phẳng (ABC) (ABD) góc CBD D (ACD) (⊥ AIB)

Câu 48 Cho hình chóp S ABC có SA⊥(ABC) AB⊥BC Góc hai mặt phẳng (SBC)

(ABC) góc sau đây?

A Góc SBA B Góc SCA

C Góc SCB D Góc SIA (I trung điểm BC )

Câu 49 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng và. SA⊥(ABCD) Khẳng định sau đây khẳng định sai ?

A Góc hai mặt phẳng (SBC) (ABCD) góc ABS

B Góc hai mặt phẳng (SBD) (ABCD) góc SOA ( O tâm hình vng ABCD )

C Góc hai mặt phẳng (SAD) (ABCD) góc SDA

D (SAC) (⊥ SBD)

Câu 50 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng tâm O Biết . SO⊥(ABCD), 3

SO a= đường tròn ngoại tiếp ABCD có bán kính a 2 Tính góc hợp mặt bên với đáy?

A 30° B 45° C 60° D 75°

Câu 51 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật tâm O khoảng cách từ . A đến BD bằng 2

5 a

Biết SA⊥(ABCD) SA=2 a Gọi α góc hai mặt phẳng (ABCD)

(SBD). Khẳng định sau khẳng định sai ?

A (SAB) (⊥ SAD) B (SAC) (⊥ ABCD) C tanα= 5 D α=∠SOA.

Câu 52 Cho hình lăng trụ ABCD A B C D. ′ ′ ′ ′ có đáy ABCD hình thoi,AC=2a Các cạnh bênAA′, BB′ vng góc với đáy AA′ = Khẳng định sau khẳng định sai ? a

A Các mặt bên hình lăng trụ hình chữ nhật

B Góc hai mặt phẳng (AA C C′ ′ ) (BB D D′ ′ ) có số đo 60°

C Hai mặt bên (AA C′ ) (BB D′ ) vng góc với hai đáy

D Hai hai mặt bên AA B B′ ′ AA D D′ ′

Câu 53 Cho hình lăng trụ ABCD A B C D. ′ ′ ′ ′ Hình chiếu vng góc A′ lên (ABC)trùng với trực tâm H tam giác ABC Khẳng định sau không đúng?

A (AA B B′ ′ ) (⊥ BB C C′ ′ ) B (AA H′ ) (⊥ A B C′ ′ ′)

(54)

Câu 54 Cho hình chóp S ABC có . SA⊥(ABC) đáy ABC tam giác cân ởA Gọi H hình chiếu vng góc A lên (SBC). Khẳng định sau khẳng định đúng?

A H SB∈ B H trùng với trọng tâm tam giác SBC

C H SC∈ D H SI∈ (I trung điểm BC )

Câu 55 Cho hình chóp S ABC có hai mặt bên . (SBC) (SAC) vng góc với đáy (ABC). Khẳng định sau sai ?

A SC⊥(ABC)

B Nếu A′ hình chiếu vng góc A lên (SBC) SA′ ⊥SB

C (SAC) (⊥ ABC)

D BK đường cao tam giác ABC BK ⊥(SAC)

Câu 56 Cho hình chóp S ABC có hai mặt bên . (SAB) (SAC) vng góc với đáy (ABC), tam giác ABC vng cân A có đường cao AH H( ∈BC). Gọi O hình chiếu vng góc A lên (SBC). Khẳng định sau ?

A SC⊥(ABC) B (SAH) (⊥ SBC)

C O SC∈ D Góc hai mặt phẳng (SBC) (ABC) góc SBA

Câu 57 Cho tứ diện ABCD có hai mặt bên ACD BCD hai tam giác cân có đáy CD Gọi H hình chiếu vng góc B lên (ACD). Khẳng định sau khẳng định sai ?

A AB nằm mặt phẳng trung trực CD

B H∈AM (M trung điểm CD )

C Góc hai mặt phẳng (ACD) (BCD) góc ADB

D (ABH) (⊥ ACD)

Câu 58 Cho hình lăng trụ đứng ABC A B C. ′ ′ ′ có đáy ABC tam giác vuông cân ởA H trung điểm BC Khẳng định sau khẳng định sai ?

A Các mặt bên ABC A B C. ′ ′ ′ hình chữ nhật

B (AA H′ ) mặt phẳng trung trực BC

C Nếu O hình chiếu vng góc A lên (A BC′ ) O∈A H′

D Hai mặt phẳng (AA B B′ ′ ) (AA C C′ ′ ) vng góc

Câu 59 Hình hộp ABCD A B C D. ′ ′ ′ ′ trở thành hình lăng trụ tứ giác phải thêm điều kiện sau đây?

A Tất cạnh đáy cạnh bên vng góc với mặt đáy

B Cạnh bên cạnh đáy cạnh bên vuông góc với mặt đáy

C Có mặt bên vng góc với mặt đáy đáy hình vng

D Các mặt bên hình chữ nhật mặt đáy hình vng

Câu 60 Cho hình hộp chữ nhật ABCD A B C D. ′ ′ ′ ′ Khẳng định sau khẳng định sai?

A Hình hộp có mặt hình chữ nhật

B Hai mặt ACC A′ ′ BDD B′ ′ vng góc

C Tồn điểm O cách tám đỉnh hình hộp

(55)

GV TR GV TR GV TR

Câu 61 Cho hình lập phương ABCD A B C D. ′ ′ ′ ′ cạnh bằnga Khẳng định sau sai ?

A Hai mặt ACC A′ ′ BDD B′ ′ vng góc

B Bốn đường chéoAC A C BD B D′, ′ , ′, ′ a 3

C Hai mặt ACC A′ ′ BDD B′ ′ hai hình vuông

D AC⊥BD'

Câu 62 Cho hình hộp chữ nhật ABCD A B C D. ′ ′ ′ ′ cóAB= AA′= , a AD=2a Gọi α góc đường chéo A C′ đáy ABCD Tính α

A α ≈20 45'° B α ≈24 5'° C α ≈30 18 '° D α ≈25 48'°

Câu 63 Cho hình lăng trụ tứ giác ABCD A B C D. ′ ′ ′ ′ có cạnh đáy bằnga, góc hai mặt phẳng

(ABCD) (ABC′) có số đo 60° Cạnh bên hình lăng trụ bằng:

A 3a B a 3 C 2a D a 2

Câu 64 Cho hình lăng trụ đứng ABC A B C. ′ ′ ′ có AB = AA′=a, BC =2a, CA a= 5 Khẳng định sau sai ?

A Đáy ABC tam giác vuông

B Hai mặt (AA B B′ ′ ) (BB C′ ′) vng góc

C Góc hai mặt phẳng (ABC) (A BC′ ) có số đo 45°

D AC′ =2a 2

Câu 65 Cho hình lăng trụ lục giác ABCDEF A B C D E F. ′ ′ ′ ′ ′ ′ có cạnh bên a ADD A′ ′ hình vng Cạnh đáy lăng trụ bằng:

A a B

2 a

C

3 a

D

2 a

Câu 66 Cho hình lăng trụ tứ giác ABCD A B C D. ′ ′ ′ ′ có ACC A′ ′ hình vng, cạnh bằnga Cạnh đáy hình lăng trụ bằng:

A

2 a

B a 2 C

3 a

D a 3

Câu 67 Cho hình lăng trụ tam giác ABC A B C. ′ ′ ′ có cạnh đáy 3a cạnh bên 2 a Gọi G G′ trọng tâm hai đáy ABC A B C′ ′ ′ Khẳng định sau khi nói AA G G′ ′ ?

A AA G G′ ′ hình chữ nhật có hai kích thước 2a a

B AA G G′ ′ hình vng có cạnh 2a

C AA G G′ ′ hình chữ nhật có diện tích 6a

D AA G G′ ′ hình vng có diện tích 8a

Câu 68 Cho hình lập phương ABCD A B C D. ′ ′ ′ ′ có cạnh a Khẳng định sau sai?

A Tam giác AB C′ tam giác

B Nếu α góc AC′ cos 2 3 α =

C ACC A′ ′ hình chữ nhật có diện tích 2a2

D Hai mặt AA C C′ ′ BB D D′ ′ hai mặt phẳng vng góc với

Câu 69 Cho hình chóp S ABC có đường cao SH Xét mệnh đề sau: . I) SA=SB SC=

II) H trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC III) Tam giác ABC tam giác

IV) H trực tâm tam giác ABC .

Các yếu tố chưa đủ để kết luận S ABC hình chóp đều? .

(56)

Câu 70 Cho hình chóp tam giác S ABC có cạnh đáy . a đường cao SH cạnh đáy Tính số đo góc hợp cạnh bên mặt đáy

A 30° B 45° C 60° D 75°

Câu 71 Cho hình chóp tứ giác có cạnh đáy a chiều cao

2 a

Tính số đo góc giữa mặt bên mặt đáy

A 30° B 45° C 60° D 75°

Câu 72 Tính cosin góc hai mặt tứ diện

A B C 2 1 D 3 1

Câu 73 Cho hình chóp S ABC có cạnh đáy . a, góc mặt bên mặt đáy 60° Tính độ dài đường cao SH

A

2 a

SH = B

2 a

SH = C

3 a

SH = D

3 a SH =

Câu 74 Cho hình chóp tứ giác có tất cạnh a Tính cosin góc mặt bên và mặt đáy

A 2 1 B 3 1 C 3 1 D 2 1

Câu 75 Cho ba tia Ox , Oy , Oz vng góc đơi Trên Ox , Oy , Oz lấy điểm A , B, C cho OA=OB OC a= = Khẳng định sau sai?

A O ABC hình chóp .

B Tam giác ABC có diện tích

3 a

S = C Tam giác ABC có chu vi 2 a p =

D Ba mặt phẳng (OAB) (, OBC) (, OCA) vuông góc với đơi

Câu 76 Cho hình thoi ABCD có cạnh a A =60° Trên đường thẳng vng góc với mặt phẳng (ABCD) O ( O tâm ABCD ), lấy điểm S cho tam giác SAC tam giác đều Khẳng định sau đúng?

A S ABCD hình chóp .

B Hình chóp S ABCD có mặt bên tam giác cân . C 3

2 a SO =

D SA SB hợp với mặt phẳng (ABCD)những góc

Câu 77 Cho hình chóp cụt ABC A B C. ′ ′ ′ với đáy lớn ABC có cạnh bằnga Đáy nhỏ A B C′ ′ ′ có cạnh

2 a

, chiều cao . 2 a

OO′ = Khẳng định sau sai ?

A Ba đường cao AA BB CC′, ′, ′ đồng qui S

B

2 a AA′=BB′=CC′=

C Góc mặt bên mặt đáy góc SIO (I trung điểm BC )

D Đáy lớn ABC có diện tích gấp lần diện tích đáy nhỏ A B C′ ′ ′ .

Câu 78 Cho hình chóp cụt tứ giác ABCD A B C D. ′ ′ ′ ′ cạnh đáy nhỏ ABCD 3 a

và cạnh đáy lớn A B C D′ ′ ′ ′ bằnga Góc cạnh bên mặt đáy 60° Tính chiều cao OO′ hình chóp cụt cho

A

3 a

OO′ = B

2 a

OO′ = C

3 a

OO′ = D

(57)

GV TR GV TR GV TR

Vấn đề KHOẢNG CÁCH

① ① ①

① Khoảngcáchtừmộtđiểmđếnmộtđườngthẳng

Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng a MH, với H hình chiếu M đường thẳng a

Kí hiệu: d M a( , )=MH ②

② ②

② Khoảngcáchtừmộtđiểmđếnmộtmặtphẳng

Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng ( )α MH, với H hình chiếu M mặt phẳng ( )α

Kí hiệu: d M( , ( )α )=MH

③ ③ ③

③ Khoảngcáchgiữahaiđườngthẳngsongsong

Khoảng cách hai đường thẳng song song khoảng cách từ điểm thuộc đường đến đường

( , ) ( , )

d a b =d M b =MH ( M∈ ) a

④ ④ ④

④ Khoảngcáchgiữađườngthẳngvàmặtphẳngsongsong

Khoảng cách đường thẳng a mặt phẳng ( )α song song với khoảng cách từ điểm M thuộc đường a đến mặt phẳng ( )α

( )

( , ) ( ,( ))

d a α =d M α =MH ( M∈ ) a

⑤ ⑤ ⑤

⑤ Khoảngcáchgiữahaimặtphẳngsongsong

Khoảng cách hai mặt phẳng song song khoảng cách từ điểm mặt phẳng đến mặt phẳng

( ) ( )

( , ) ( ,( )) ( ,( ))

d α β =d a α =d A β =AH

(với a⊂( ) a A a; ∈ ) ⑥

⑥ ⑥

⑥ Khoảngcáchgiữahaiđườngthẳngchéonhau

- Đường thẳng c cắt hai đường thẳng a, b vng góc với đường thẳng gọi đường vng góc chung a b IJ gọi đoạn vng góc chung a

b

- Khoảng cách hai đường thẳng chéo độ dài đoạn vng góc chung hai đường thẳng

a

b c

J

I a

b J

I

α

β

α H

M α

M

H a

α M

H a

b

α

M

H a

α

A B

H K

β

(58)

Dạng1.Khoảngcáchtừmộtđiểmđếnđườngthẳng,mặtphẳng

A PHƯƠNG PHÁP GIẢI 1 KhoảngcáchtừđiểmMđếnđườngthẳngdchotrước

Các bước thực hiện:

Bước Trong mặt phẳng (M d, ) hạ MH ⊥d với H d∈

Bước Thực việc xác định độ dài MH dựa hệ thức lượng tam giác, tứ

giác, đường tròn, …

 

 Chú ý:

• Nếu tồn đường thẳng a qua A song song với d thì: ( , ) ( , )

d M d =d A d = AK vớiA d∈ • Nếu MA d I∩ = , thì: ( )

( )

,

d M d MI

d A d = AI 2 KhoảngcáchtừđiểmOđếnmặtphẳng(α)

Các bước thực hiện:

Bước Tìm hình chiếu Hcủa O lên ( )α

- Tìm mặt phẳng ( )β qua O vng góc với ( )α - Tìm∆ =( ) ( )α ∩ β

- Trong mặt phẳng ( )β , kẻ OH ⊥ ∆ H  H hình chiếu vng góc O lên ( )α

Bước Khi OH khoảng cách từ O đến ( )α 



 Chú ý:

• Chọn mặt phẳng ( )β cho dễ tìm giao tuyến với ( )α • Nếu có đường thẳng d⊥( )α kẻ Ox d cắt // ( )α H • Nếu OA// ( )α thì: d O( ,( )α )=d A( ,( )α )

• Nếu OA cắt ( )α I thì: ( ( ))

( )

, ,

d O OI

AI d A

α α =

Ví dụ 55 Tứ diện SABC có tam giác ABC vng cân đỉnh B AC=2a, có cạnh SA vng góc với mặt phẳng (ABC) SA= a

a) Tính khoảng cách từ S đến BC ĐS: a) a b) a / 6

b) Hạ HK ⊥SB Tính khoảng cách từ trung điểm O AC đến đường thẳng CH

α

M

H a

a M A

K

d

A

K d

I H

M

α

β

∆

O

H

α H

O d

α H

O A

K α H

O A

(59)

GV TR GV TR GV TR

Ví dụ 56 Cho tam giác ABC với AB=7cm, BC=5cm, CA=8cm Trên đường thẳng vng góc với mặt phẳng (ABC) A, lấy điểm O cho AO=4cm Tính khoảng cách từ điểm A điểm O đến đường thẳng BC ĐS: cm; 8cm

Ví dụ 57 Hình chóp tam giác S ABC có cạnh đáy 3a , cạnh bên 2a gọi G trọng tâm của tam giác đáy ABC , M trung điểm SC

a) Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng(ABC)

b) Tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng (SAG) ĐS: a) a b) 3a/4

Ví dụ 58 Cho hình chóp S ABC có SA SB a= = , ASB =1200, BSC = 600, CSA = 900 Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ABC) ĐS: a/2

(60)

TÀI LIỆỆU HỆỆU HU HỌU HỌỌC TỌC TC TC TẬẬP TOÁN 11ẬẬP TOÁN 11P TOÁN 11P TOÁN 11 –––– HK2HK2HK2HK2 6060 6060 Ví dụ 59 Hình chóp S ABCD có đáy hình vng ABCD tâm O cạnh a, cạnh SA vng góc với mặt phẳng (ABCD) SA= Gọi a I trung điểm cạnh SC M trung điểm đoạn AB a) Tính khoảng cách từ I đến mặt phẳng (ABCD)

b) Tính khoảng cách từ I đến đường thẳng CM ĐS: a) a/2 b) a 30 / 10

Ví dụ 60 Cho hình lập phương ABCD A B C D. ′ ′ ′ ′ cạnh a Tính: a) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (A BD′ )

b) Tính khoảng cách từ A′, B, C , D′ đến đường thẳng AC′ ĐS: a) a / b) a / 3

Bài 93 Cho tam giác ABC cạnh 3a , điểm H thuộc cạnh AC với HC= Dựng đoạn SH a vuông góc với (ABC) SH =2a

a) Hãy nêu cách dựng đoạn vng góc HK vẽ từ H đến (SAB)

b) Tính khoảng cách từ H từ C đến mặt phẳng (SAB) ĐS: b) 2a / , 3a 21 /7

Bài 94 Cho hình chóp S ABCD có đáy hình thoi tâm O , cạnh a, ABC =60° , SO vng góc với mặt phẳng đáy,

2 a SO =

a) Hãy nêu cách dựngOH ⊥(SCD)

b) Tính OH khoảng cách từ B đến (SCD) ĐS: b) OH=a 15 /10; d[b,(SCD)]=a 15 /5 , 3a 21 /7

(61)

GV TR GV TR GV TR

Dạng2.Khoảngcáchgiữahaiđườngthẳngchéonhau

• Đoạnvnggócchungcủahaiđườngthẳngchéonhauavàb  Trường hợp a b⊥ :

- Dựng mặt phẳng ( )α chứa a vng góc với b B - Trong ( )α dựng BA⊥ a A

 AB đoạn vng góc chung

 Trường hợp a b khơng vng góc với

Cách 1: (Hình a)

- Dựng mp ( )α chứa a song song với b

- Lấy điểm M tùy ý b dựng MM′ ⊥( )α M ′ - Từ M ′ dựng // b b′ cắt a A

- Từ A dựng AB MM ′ cắt // b B  AB đoạn vng góc chung

Cách 2: (Hình b)

- Dựng mặt phẳng ( )α ⊥a O , ( )α cắt b I - Dựng hình chiếu vng góc b′ b lên ( )α - Trong mp ( )α , vẽ OH ⊥b′ H

- Từ H dựng đường thẳng song song với a cắt b B - Từ B dựng đường thẳng song song với OH cắt a A  AB đoạn vuông góc chung

• Khoảngcáchgiữahaiđườngthẳngchéonhauavàb

Cách 1 Dùng đường vng góc chung:

- Tìm đoạn vng góc chung AB a b - d a b( , )= AB

Cách 2 Dựng mặt phẳng ( )α chứa a song song với b Khi đó: d a b( , )=d b( , ( )α )

Cách 3 Dựng mặt phẳng song song chứa a b Khi đó: d a b( , )=d(( ) ( )α , β )

Ví dụ 61 Cho tứ diện OABC có OA, OB , OC đơi vng góc với OA OB OC a= = = Gọi I trung điểm BC Xác định tính độ dài đoạn vng góc chung cặp đường thẳng sau:

a) OA BC b) AI OC ĐS: a) a /2 b) a /5

b

a B

A α

(Hình a)

A

α

B M

M'

a b

b'

(Hình b)

α

b'

a b

A

O

I H

(62)

TÀI LIỆỆU HỆỆU HU HỌU HỌỌC TỌC TC TC TẬẬP TOÁN 11ẬẬP TOÁN 11P TOÁN 11P TOÁN 11 –––– HK2HK2HK2HK2 6262 6262

Ví dụ 62 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, có cạnh SA=2a vng góc với mặt phẳng đáy Dựng tính độ dài đoạn vng góc chung cặp đường thẳng sau: a) SB CD b) SC BD c) SC AB ĐS: a) a b) a /3 c) 2a /5

(63)

GV TR GV TR GV TR

Ví dụ 63 Cho tứ diện ABCD cạnh A Xác định tính độ dài đoạn vng góc chung 2

đường thẳng AB CD ĐS: a /2

Ví dụ 64 Cho tứ diện OABC có OA OB OC a= = = AOB=AOC=60° , BOC =90°

a) Chứng minh ∆ABC vng OA⊥BC Tìm đường vng góc chung tính khoảng cách

giữa hai đường thẳng OA BC ĐS: a) a/2

b) Chứng minh hai mặt phẳng (ABC) (OBC) vng góc với

(64)

TÀI LIỆỆU HỆỆU HU HỌU HỌỌC TỌC TC TC TẬẬP TOÁN 11ẬẬP TOÁN 11P TOÁN 11P TỐN 11 –––– HK2HK2HK2HK2 64646464 Ví dụ 65 Cho hình lập phương ABCD A B C D. ′ ′ ′ ′ cạnh a Tính khoảng cách hai đường thẳng:

a) AA′ CB′ b) AA′ vàDB′

c) AC B D′ ′ d) BC′ CD′ ĐS: a) a b) a /2 c) a d) a /3

Ví dụ 66 Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng ABCD tâm O có cạnh AB a= Đường cao SO hình chóp vng góc với mặt đáy (ABCD) có SO= Tính khoảng cách giữa: a a) AC SD b) SC AB ĐS: a) a /3 b) 2a /5

(65)

GV TR GV TR GV TR

Ví dụ 67 Cho hình lập phương ABCD A B C D. ′ ′ ′ ′ cạnh a Tính khoảng cách giữa: a) AA′ mặt phẳng song song (BB DD′, ′ )

b) Hai mặt phẳng song song (A BD′ ) (CB D′ ′ ) ĐS: a) a /2 b) a /3

Ví dụ 68 Cho hình hộp chữ nhật ABCD A B C D. ′ ′ ′ ′ có AB a= , AD b= , AA′ = c a) Tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (ACC A′ ′ )

b) Tính khoảng cách hai đường thẳng BB′ AC′ ĐS: a) ab/ a2+b2 b) ab/ a2+b2

(66)

Bài 96 Cho tứ diện S ABC có SA⊥(ABC) Gọi H, K trực tâm ABC∆ SBC∆ a) Chứng minh ba đường thẳngAH, SK , BC đồng quy

b) Chứng minh SC⊥(BHK) HK ⊥(SBC) c) Xác định đường vng góc chung BC SA

Bài 97 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a có SA SB SD= = =a

60

BAD = °

a) Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ABCD) độ dài cạnh SC b) Chứng minh (SAC) (⊥ ABCD)

c) Chứng minh SB BC⊥

d) Gọi ϕ góc hai mặt phẳng (SBD) (ABCD) Tính tanϕ

Bài 98 Cho tứ diện ABCD có hai mặt (ABC) (ADC) nằm hai mặt phẳng vng góc với nhau ∆ABC vng A có AB a= , AC b= ∆ADC vng D có CD a=

a) Chứng minh tam giác BAD BDC tam giác vuông

b) Gọi I K trung điểm AD BC Chứng minh IK dường vng góc chung hai đường thẳng AD BC

Bài 99 Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh a, tâm O , SA= vàa SA⊥(ABCD) Gọi I , M theo thứ tự trung điểm SC AB

a) Chứng minh: OI ⊥(ABCD). ĐS: b) d[I,CM]=a 30 /10 , d[S,CM]=a 30 /5

b) Tính khoảng cách từ I đến đường thẳng CM , từ suy khoảng cách từ S đến CM Bài 100 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a có BAD = 600 Gọi O giao

điểm AC BD Đường thẳng SO vng góc với mặt phẳng (ABCD) 3 4

a SO = Gọi E trung điểm đoạn BC , F trung điểm BE

a) Chứng minh: (SOF) (⊥ SBC)

b) Tính khoảng cách từ O A đến mặt phẳng (SBC)

Bài 101 Cho hình chóp S ABC có 90ASB = ° , BSC = 60° , ASC = 120° SA=SB SC a= = Gọi I là trung điểm AC

a) Chứng minhSI ⊥(ABC)

b) Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ABC) ĐS: a/2

Bài 102 Cho hình chóp S ABC có SA=2a SA⊥(ABC), đáy tam giác vuông cân B với AB a= Gọi M trung điểm AC

a) Dựng đoạn vng góc chung SM BC

b) Tính độ dài đoạn vng góc chung SM BC ĐS: 2a 17 /17

Bài 103 Cho hình chóp S ABCD có đáy hình thoi tâm O , cạnh a, 60

A = có đường cao

2 a SO =

a) Tính khoảng cách từ O đến (SBC)

(67)

GV TR GV TR GV TR

Câu 79 Cho tứ diện SABC SA , SB, SC vng góc với đơi SA=3a, SB a= , SC =2a Khoảng cách từ A đến đường thẳng BC bằng:

A 2 3a B 5 7a C 3 8a D 6 5a

Câu 80 Cho hình chóp A BCD có cạnh . AC⊥(BCD) BCD tam giác cạnh bằnga Biết 2

AC a= M trung điểm BD Khoảng cách từ C đến đường thẳng AM bằng:

A 2

3

a B 6

11

a C 7

5

a D 4

7 a

Câu 81 Cho hình chóp A BCD có cạnh . AC⊥(BCD) BCD tam giác cạnh bằnga Biết 2

AC a= M trung điểm BD Khoảng cách từ A đến đường thẳng BD bằng:

A 2 3a B 3 2a C 4a D 11 a

Câu 82 Cho hình chóp S ABCD có . SA⊥(ABCD) đáy ABCD hình thoi cạnh a B = 60° Biết SA=2a Tính khỏang cách từ A đến SC

A 2 3a B 3 4a C 5 2a D 5a

Câu 83 Cho hình chóp S ABCD có . SA⊥(ABCD), SA=2a, ABCD hình vng cạnh bằnga Gọi O tâm ABCD , tính khoảng cách từ O đến SC .

A 3 a B a C a D a

Câu 84 Cho hình chóp tứ giác có cạnh đáy a góc hợp cạnh bên mặt đáy α Khoảng cách từ tâm đáy đến cạnh bên bằng:

A a 2 cotα B a 2 tanα C 2cos a

α D 2sin

2 a

α

Câu 85 Cho hình chóp S ABC SA , . AB, BC vng góc với đơi Biết

SA= a, AB a= 3, BC a= 6 Khoảng cách từ B đến SC bằng:

A a 2 B 2a C 2a 3 D a 3

Câu 86 Cho hình chóp S ABC SA , . AB, BC vng góc với đôi BiếtSA a= 3, AB a= 3 Khoảng cách từ A đến (SBC) bằng:

A a B a C 5 2a

D

2 a

Câu 87 Cho hình chóp S ABCD có . SA⊥(ABCD), đáy ABCD hình chữ nhật Biết AD=2a, SA a= Khoảng cách từ A đến (SCD) bằng:

A 2 3a B 3 2a C 5 2a D 7 3a

Câu 88 Cho hình chóp tam giác S ABC cạnh đáy 2a chiều cao . a 3 Tính khoảng cách từ tâm O đáy ABC đến mặt bên:

A a B 3 2a

C 3

10

a D 2

5 a

Câu 89 Cho hình chóp tứ giác S ABCD có cạnh đáy . a chiều cao a 2 Tính khỏang cách từ tâm O đáy ABCD đến mặt bên:

(68)

Câu 90 Cho hình chóp S ABCD có . SA⊥(ABCD), đáy ABCD hình thang vng có chiều cao AB a= Gọi I J trung điểm AB CB Tính khỏang cách đường thẳng IJ (SAD)

A 2 a B 3 a C 2 a D 3 a

Câu 91 Cho hình thang vuông ABCD vuông A D, AD=2a Trên đường thẳng vng góc D với (ABCD) lấy điểm S với SD a= 2. Tính khỏang cách đường thẳng DC (SAB)

A 3 2a B 2 a

C a D

3 a

Câu 92 Cho hình chóp O ABC có đường cao . 2 . 3 a

OH = Gọi M N trung điểm OA và OB Khỏang cách đường thẳng MN (ABC) bằng:

A 2 a B 2 a C 3 a D 3 a

Câu 93 Cho tứ diện ABCD có cạnh a Tính khoảng cách AB CD

A a B a C 2 a D 3 a

Câu 94 Cho hình chóp S ABCD có . SA⊥(ABCD), đáy ABCD hình chữ nhật với AC a= 5 2.

BC a= Tính khoảng cách SD BC

A 4 3a B 3 2a C a

D a

Câu 95 Cho hình lập phương ABCD A B C D. ′ ′ ′ ′ có cạnh a Khoảng cách BB′ AC bằng:

A 2 a B 3 a C 2 a D 3 a

Câu 96 Cho hình lập phương ABCD A B C D. ′ ′ ′ ′ có cạnh (đvd) Khoảng cách AA′ BD′ bằng:

A 3 B 2 C 2 D

Câu 97 Cho hình lăng trụ tứ giác ABCD A B C D. ′ ′ ′ ′ có cạnh đáy a Gọi M , N, P trung điểm AD , DC, A D′ ′ Tính khoảng cách hai mặt phẳng (MNP) (ACC′)

A 3 a B 4 a C 3 a D a

Câu 98 Cho hình lăng trụ tam giác ABC A B C. ′ ′ ′ có cạnh bên hợp với đáy góc 60°, đáy ABC tam giác A′ cách A , B, C Tính khoảng cách hai đáy hình lăng trụ

A a B a C

2 a D 3 2a

Câu 99 Cho tứ diện ABCD có cạnh a Khoảng cách từ A đến (BCD) bằng:

A a B a C a D 3 a

Câu 100 Cho tứ diện ABCD có cạnh a Khoảng cách hai cạnh đối AB CD bằng:

(69)

GV TR GV TR GV TR

BÀI TẬP TỔNG HỢP CHỦ ĐỀ

Bài 104 Cho hình lập phương ABCD A B C D. ′ ′ ′ ′ cạnh a

a) Chứng minh B D′ ⊥(BA C′ ′) BC′⊥(A B CD′ ′ ) b) Tính khoảng cách hai mặt phẳng (BA C′ ′ ) (ACD′ )

c) Tính khoảng cách hai đường thẳng BC′ CD′

d) Xác định tính độ dài đoạn vng góc chung AB′ BC′

Bài 105 Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh a, SA⊥(ABCD) SA= Gọi a I , K lần lượt trung điểm AB SC Chứng minh IS=IC ID= suy IK ⊥(SDC)

Tính IK ĐS: a 2/2

Bài 106 Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh a SAB∆ Gọi H , K trung điểm AB, AD SH ⊥BC Chứng minh:

a) SH ⊥(ABCD) b) AC⊥SK CK ⊥SD

Bài 107 Cho tứ diện SABC có SA⊥(ABC) Gọi H , K trực tâm ABC∆ SBC∆ Chứng minh:

a) AH, SK , BC đồng qui b) SC⊥(BHK) c) HK ⊥(SBC)

Bài 108 Cho lăng trụ ABC A B C. ′ ′ ′ có ABC∆ cạnh a, cạnh bên CC′ vng góc với đáy CC′ = a a) Gọi I trung điểm BC Chứng minh AI⊥BC′

b) Gọi M trung điểm BB′ Chứng minh AM ⊥BC′ c) Lấy N A B∈ ′ ′ cho

4 a

NB′ = gọi J trung điểm B C′ ′ Chứng minh AM MNJ′( ) Bài 109 Cho tứ diện ABCD có ABC∆ ∆ABD vng B, BCD∆ vuông C

a) Chứng minh AB⊥(BCD) ACD∆ vuông C

b) Chứng minh CD⊥(ABC) ∆BHD vuông H với H hình chiếu B lên AC Bài 110 Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng tâm O cạnh a, SA vng góc với đáy SA= a

a) Gọi I trung điểm SD Chứng minh AI ⊥(SCD)

b) Gọi M điểm thay đổi SD Chứng minh hình chiếu O CM thuộc đường trịn cố định

Bài 111 Cho hình chóp S ABCD có đáy hình thang vng A B với AB=BC a= , AD=2a;

( )

SA⊥ ABCD SA=2a Gọi M điểm cạnh AB.( )α mặt phẳng qua M vng góc với AB Đặt AM = , ( 0x < < ) x a

a) Định hình tính thiết diện hình chóp S ABCD với ( )α

b) Tính diện tích thiết diện theo a x ĐS: (2a – x)(a – x)

Bài 112 Cho hình lăng trụ ABC A B C. ′ ′ ′ có tất cạnh a Góc tạo cạnh bên mặt phẳng đáy 30° Hình chiếu H điể A mặt phẳng (A B C′ ′ ′ thuộc đường thẳng B C) ′ ′ a) Tính khoảng cách hai mặt phẳng đáy ĐS: a) a/2 b) a /4

b) Chứng minh hai đường thẳng AA′ B C′ ′ vng góc, tính khoảng cách chúng Bài 113 Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác vuông B, AB= , a AC=2a, SA⊥(ABC), SA=2a

a) Xác định thiết diện hình chóp mặt phẳng ( )P qua A vng góc với SC

(70)

TÀI LIỆỆU HỆỆU HU HỌU HỌỌC TỌC TC TC TẬẬP TOÁN 11ẬẬP TOÁN 11P TOÁN 11P TOÁN 11 –––– HK2HK2HK2HK2 70707070 Bài 114 Cho đường trịn ( )C đường kính AB mặt phẳng ( )α đường thẳng d vng góc

với ( )α A, d lấy điểm S ( )C lấy điểm M a) Chứng minh MB⊥(SAM)

b) Dựng AH SB⊥ H , AK⊥SM K Chứng minh AK ⊥(SBM) vàSB⊥(AHK) c) Gọi I =HK∩MB Chứng minh AI ⊥(SAB) AI tiếp tuyến ( )C

Bài 115 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thoi tâm O có SB SD AB= = a) Chứng minh (SAC) mặt trung trực đoạn BD

b) Chứng minh SAC∆ vuông S

c) Gọi H, K hình chiếu vng góc A SB SD Chứng minh SH =SK, OH =OK, HK BD //

d) Chứng minh (SAC) mặt trung trực đoạn HK

Bài 116 Cho hình chóp S ABCD có SA a= 6 vng góc với mặt phẳng (ABCD), đáy ABCD nửa lục giác nội tiếp đường trịn đường kính AD=2a

a) Tính khoảng cách từ A B đến mặt phẳng (SBC)

b) Tính khoảng cách từ đường thẳng AD đến mặt phẳng (SCD)

c) Tính diện tích thiết diện hình chóp với mặt phẳng ( )α song song với mặt phẳng

(SAD) cách khoảng a

. ĐS: a) a , a /2 b) a /3 c) a2 6 /2

Bài 117 Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng tâm O cạnh a, có SA=a 2

( )

SA⊥ ABCD Gọi ( )α mặt phẳng qua A vng góc với SC a) Xác định thiết diện hình chóp tạo ( )α

b) Chứng minh thiết diện tứ giác nội tiếp có hai đường chéo vng góc với Tính

diện tích thiết diện ĐS: a2 2 /3

Bài 118 Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác vuông B, AB=BC a= , SA a= 3,

( )

SA⊥ ABC , M∈AB, AM = Gọi x ( )α mặt phẳng qua M vng góc với AB Dựng và tính diện tích S thiết diện hình chóp với ( )α theo a x Tìm x để S lớn Bài 119 Cho tứ diện ABCD có BCD∆ BH đường cao BCD∆ O trung điểm BH

và AO⊥(BCD), AO BH= =2a, BI = với Ix ∈OH (a x< <2a), ( )α qua I vuông góc với OH Dựng tính diện tích thiết diện tạo ( )α ĐS: 2(3x – 2a)(2a – x)/ Bài 120 Cho tứ diện ABCD có (ABC) (ABD) vng góc với (BCD)

a) Chứng minh AB⊥(BCD)

b) Cho BE DF đường cao BCD∆ C/m (ABE) (⊥ ACD), (DAF) (⊥ ABC) c) Cho DI đường cao ∆ABD Chứng minh (DIF) (⊥ ACD)

d) Gọi H =BE∩DF K =DI∩AE Chứng minh KH ⊥(ACD) Bài 121 Cho hình hộp chữ nhật ABCD A B C D. ′ ′ ′ ′ có AB a= , BC= , CCb ′ = c

a) Tính khoảng cách từ B đến (ACC A′ ′)

(71)

GV TR GV TR GV TR

Bài 122 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng tâm O , cạnh a, SO⊥(ABCD), 6

SA a= , mặt phẳng ( )P qua B vng góc với SD Hãy xác định thiết diện tính diện tích thiết diện tạo ( )P với hình chóp ĐS: a2 39 /39

Bài 123 Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác đểu cạnh a, cạnh bên a

Gọi ( )α mặt phẳng qua A song song với BC vng góc với SI (I trung điểm BC ) a) Hãy xác định thiết diện hình chóp với mặt phẳng ( )α Thiết diện hình ?

b) Tính góc đường thẳng AB ( )α ĐS: 450

Bài 124 Cho hình chóp S ABCD có đáy hình thoi cạnh 2a góc 60A = ° , cạnh SA , SB SD a 3 Gọi H trọng tâm ∆ABD

a) Chứng minh SH ⊥(ABCD)

b) Tính khoảng cách từ S đến đường thẳng AC BD

c) Tính góc SC mặt phẳng (ABCD). ĐS: b) a 15; a 3

3 3 c)

5 arctan

3

Bài 125 Cho tứ diện ABCD có AB AC AD= = BCD∆ vuông cân C , O trung điểm BD và I trung điểm BC Chứng minh:

a) (AOC) (⊥ BCD), (ABD) (⊥ BCD) (AOI) (⊥ ABC)

b) Cho CH đường cao ABC∆ Chứng minh (OCH) (⊥ ABC)

Bài 126 Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vuông cạnh a SA⊥(ABCD), SA a= 3 Mặt phẳng

( )α chứa AB vng góc với (SCD) Xác định tính diện tích thiết diện hình chóp

với ( )α ĐS: 7a2 3 /16

Bài 127 Trong mặt phẳng ( )α cho đường trịn tâm O đường kính AB M thuộc đường trịn (M khơng trùng với A, B) Trên đường thẳng vng góc với mặt phẳng ( )α A lấy điểm S Gọi D, E hình chiếu A lên SB , SM Chứng minh:

a) (ADE) (⊥ SBM)

b) Tìm vị trí điểm M để (SOM) (⊥ SAB)

Bài 128 Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh a, SA⊥(ABCD) SA= Gọi a E trung điểm cạnh CD Tính theo a khoảng cách từ điểm S tới đường thẳng BE.ĐS: 3a /5

Bài 129 Cho hính chóp S ABCD có đáy hình thang vng A D, AB=2a, AD=DC a= ,

( )

SA⊥ ABCD , SA= Gọi a ( )α mặt phẳng chứa SD vuông góc với (SAC) a) Chứng minh BC⊥(SAC)

b) Xác định thiết diện hình chóp ( )α

c) Tính diện tích thiết diện ĐS: a2 3 /2

Bài 130 Gọi ( )β mặt phẳng qua trung điểm M SA N∈AD, AN = , vng góc với x

(72)

TÀI LIỆỆU HỆỆU HU HỌU HỌỌC TỌC TC TC TẬẬP TOÁN 11ẬẬP TOÁN 11P TOÁN 11P TOÁN 11 –––– HK2HK2HK2HK2 7272 7272

Bài 131 Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng tâm O cạnh a, SA=a 3 SA⊥(ABCD) a) Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC)

b) Tính khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SBC)

c) Tính khoảng cách từ trọng tâm ∆SAB đến mặt phẳng (SAC) ĐS: a) a /2 b) a /4 c) a /6

Bài 132 Cho hình thoi ABCD tâm O , cạnh a AC a= . Từ trung điểm H cạnh AB dựng

( )

SH ⊥ ABCD với SH= , a B =60°

a) Tính khoảng cách từ điểm O đến (SCD) ĐS: a 21 /14

b) Tính khoảng cách từ điểm A đến (SBC) ĐS: 2a 57 /19

Bài 133 Cho hình hộp đứng ABCD A B C D. ′ ′ ′ ′ có đáy hình thoi cạnh a, A =60° góc đường chéo A C′ mặt đáy 60°

a) Tính khoảng cách hai đáy hình hộp, suy khoảng cách hai đường AC D C′ ′ b) Dựng đoạn vng góc chung hai đường thẳng A C′ BB′ Tính khoảng cách hai

đường thẳng ĐS: a) 3a; 3a b) a/2

Bài 134 Cho hình chóp S ABCD có cạnh đáy a, cạnh bện a Gọi I , J trung điểm cạnh AB CD

a) Chứng minh: AB⊥(SIJ)

b) Dựng tính độ dài đoạn vng góc chung hai đường thẳng AB SC ĐS: a 42 /7

Bài 135 Cho hình chóp S ABC có SA=3a SA⊥(ABC) Tam giác ABC cóAB BC= =2a,

120

BAC = ° Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (ABC). ĐS: 3a/2

Bài 136 Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác vng cân B, BC= , a SA⊥(ABC), SA=2a Gọi M , N trung điểm cạnh SB SC

a) Tính khoảng cách SB SC ĐS: 3a 20 /20

b) Dựng mặt phẳng chứa MN song song với BC Tính d MN BC( , ) ĐS: a/2

Bài 137 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, tâm O , SA⊥(ABCD) SA a= Gọi I trung điểm SC M trung điểm AB

a) Chứng minh OI ⊥(ABCD)

b) Tính khoảng cách từ điểm I đến đường thẳng CM ĐS: a 105 /10

Bài 138 Cho hình tứ diện ABCD có AD⊥(ABC), AC= AD=4 cm, AB =3 cm, BC =5 cm Tính

khoảng cách A mặt phẳng (BCD) ĐS: 34 /17

Bài 139 Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác cạnh a SA⊥(ABC) Tính

( )

( , )

d A ABC theo a, biết a

SA = ĐS: a /2

Bài 140 Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng, SAB∆ cạnh a, (SAB) (⊥ ABCD)

a) Chứng minh SCD∆ cân

b) Tính số đo góc hai mặt phẳng (SCD) (ABCD)

(73)

GV TR GV TR GV TR

Bài 141 Cho hình lập phương ABCD A B C D. ′ ′ ′ ′ có cạnh a

a) Tính theo a khoảng cách hai đường thẳng A B′ B D′

b) Gọi M , N P trung điểm cạnh B B′ , CD ,A D′ ′ Tính góc hai

đường thẳng MP C N′ ĐS: a) a /6 b) 900

Bài 142 Cho hình chóp S ABCD có cạnh đáy a, tâm O , cạnh bên a a) Tính đường cao hình chóp

b) Tính góc cạnh bên mặt bên với mặt đáy

c) Tínhd O( , (SCD)) ĐS: a) a 6 2 c)

a 42 14 d)

a 3 2 e)

2

6a 42 49

d) Xác định tính độ dài đoạn vng góc chung BD SC

e) Gọi ( )α mặt phẳng chứa AB vng góc với (SCD), ( )α cắt SC , SD C′ và D′ Tứ giác ABC D′ ′ hình ? Tính diện tích tứ giác

Bài 143 Cho hình chóp tứ giác S ABCD , đáy ABCD hình vng cạnh a, SA vng góc với

(ABCD) góc (SBC) đáy 60° Gọi I trung điểm CD , E trung điểm cạnh BC J điểm cạnh BC cho BJ =2JC Tính khoảng cách:

a) Giữa hai đường BC SD b) Giữa hai đường CD SB c) Giữa hai đường SA BD d) Giữa hai đường SI AB e) Giữa hai đường DJ SA f) Giữa hai đường DJ SC g) Giữa hai đường AE SC

Bài 144 Cho hình chóp tứ giác S ABCD , đáy ABCD hình chữ nhật với AB a= , AD a= 3, SAB∆ đều nằm mặt phẳng vng góc với đáy Gọi H trung điểm AB Tính khoảng cách: a) từ A đến mặt phẳng (SBD) b) hai đường SH CD

c) hai đường SH AC d) hai đường SB CD e) hai đường BC SA f) hai đường SC BD

Bài 145 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với AB a= 2, AD=2a Biết tam giác SAB cân S có diện tích

6 a

Gọi H trung điểm AB Tính khoảng cách: a) từ A đến mặt phẳng (SBD) b) hai đường SH BD

c) hai đường BC SA

Bài 146 Cho hình lập phương ABCD A B C D. ′ ′ ′ ′ cạnh a Lấy điểm M ∈AD′, điểm N∈BD cho: AM =DN = ( 0x < <x a 2)

a) Tìm x để đoạn thẳng MN có độ dài ngắn ĐS: a /

b) Khi MN ngắn nhất, chứng minh MN đường vng góc chung AD′ DB, đồng thời MN A C// ′

Bài 147 Cho hình lập phương ABCD A B C D. ′ ′ ′ ′ cạnh a Gọi I điểm thuộc cách AB, AI = x ( 0< <x a)

a) Khi góc hai đường thẳng AC′ DI 60° , xác định vị trí điểm I

b) Tính theo a x diện tích thiết diện hình lập phương cắt mặt phẳng (B DI′ ) Tìm x để diện tích nhỏ

c) Tính khoảng cách từ điểm C đến (B DI′ ) theo a x

ĐS: a) x=( 4− 15 )a b) S a a2 x2 ( a x )2

= + + − (đvdt), min

a S khi x

2

= ; c)

2

2 2 2

a h

a x ( a x ) =

(74)

TÀI LIỆỆU HỆỆU HU HỌU HỌỌC TỌC TC TC TẬẬP TOÁN 11ẬẬP TOÁN 11P TOÁN 11P TOÁN 11 –––– HK2HK2HK2HK2 7474 7474 Bài 148 Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác cạnh a, I trung điểm BC , SA⊥(ABC)

a) Chứng minh (SAI) (⊥ SBC)

b) Gọi M , N trung điểm AC , AB; BE, CF đường cao của SBC∆ Chứng minh (MBE) vng góc với (SAC) (NFC) vng góc với (SBC) c) Gọi H , O trực tâm SBC∆ ABC∆ Chứng minh OH vng góc với

(SBC)

d) Cho ( )α qua A song song voi BC ( )α vng góc với (SBC) Tính diện tích thiết diện tạo hình chóp S ABC mặt phẳng . ( )α SA=2a ĐS: 16a2 3 / 19 19

e) Chứng minh AK AS khơng đổi Tìm vị trí S để SK ngắn .

f) Khi SA a= 3 Tính góc hai mp (SBC) (ABC), (SAC) (SBC).

Bài 149 Cho hình lăng trụ tứ giác ABCD A B C D. ′ ′ ′ ′ cạnh đáy a, cạnh bên a 6 Xét đường thẳng ∆ qua điểm A song song với BD Gọi ( )P mặt phẳng qua ∆ C′ a) Thiết diện hình lăng trụ cho cắt bới ( )P hình gì? Tính diện tích thiết diện b) Tính góc hai mặt phẳng ( )P (ABCD). ĐS: a) S=2a2 (đvdt) b) 600 Bài 150 Cho hình lập phương ABCD A B C D. ′ ′ ′ ′ cạnh a

a) Tính góc tạo hai đường thẳng AC′ A B′ ĐS: 900

b) Gọi M , N , P trung điểm cạnhA B′ ′, BC , DD′ Cm: AC′ ⊥(MNP) Bài 151 Cho hình chóp tam giác S ABC Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ABC) hình

chóp S ABC : .

a) Có tất cạnh a

b) Cạnh bên SA a= 2, cạnh đáy AB= a

c) Cạnh đáy AB a= góc tạo cạnh bên mặt đáy 60° d) Cạnh bên

2 a

SB = góc tạo cạnh bên mặt đáy 60°

e) Cạnh bên a

SB = góc tạo mặt bên mặt đáy 60°

Bài 152 Cho hình chóp tứ giác S ABCD Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ABCD) hình chóp S ABCD : .

a) Tất cạnh a

b) 10

2 a

SA = , AB= a

c) SA=2a 3 góc tạo cạnh bên mặt đáy 60° d) SA a= 2 góc tạo mặt bên mặt đáy 60° e) AB=2a góc cạnh bên mặt đáy 60°

Bài 153 Cho hình lăng trụ ABC A B C. ′ ′ ′ có tất cạnh a Gọi C trung điểm CC′ 1 a) Tính góc hai đường thẳng C B 1 A B′ ′ Tính góc giứa hai mặt phẳng (C AB1 )

(ABC)

b) Chứng minh hình chóp C ABB A1. ′ ′ hình chóp tứ giác

c) Một mặt phẳng ( )P chứa cạnh AB, tạo với mặt phẳng đáy (ABC) góc ϕ cắt hình lăng trụ cho theo hình có diện tích khác 0 Tính diện tích thiết diện theo a ϕ

ĐS: a) 30 ; 300 0 b)

2

0 a 3

0 C' MC : S 4 cos

ϕ

< < = , ( )

2

0 a 3

C' MC 90 : S 3 tan 1 3tan sin

ϕ ϕ

< < = − ,

0 2

90 : S a

(75)

GV TR GV TR GV TR

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM TỔNG HỢP CHỦ ĐỀ

Câu 101 Chọn khẳng định khẳng định sau:

A Vectơ không gian đoạn thẳng

B Vectơ không gian tia

C Vectơ không gian đoạn thẳng có độ dài xác định

D Vectơ không gian đoạn thẳng có hướng

Câu 102 Trong khơng gian cho hai điểm M , N Khi đó,

A giá vectơ MN

tia MN B giá vectơ MN

đoạn thẳng MN

C giá vectơ MN

đường thẳng MN

D giá vectơ MN

song song với giá vectơ NM

Câu 103 Trong không gian cho vectơ AB

Chọn khẳng định khẳng định sau:

A Độ dài vectơ AB

số thực dương

B Độ dài vectơ AB

độ dài đoạn thẳng AB

C Độ dài vectơ AB

đoạn thẳng AB D Độ dài vectơ AB

đường thẳng AB

Câu 104 Cho hình hộp chữ nhật ABCD A B C D. ′ ′ ′ ′ Khi đó, vectơ AD vectơ đây?

A CD

B B C′ ′ C D C′ ′ D BA

Câu 105 Cho hình hộp chữ nhật ABCD A B C D. ′ ′ ′ ′ Trong vectơ DC, AC

, A B′ ′

, BB′

, AB′

Có bao nhiêu vectơ vectơ AB

?

A 1 B 2 C 3 D 4

Câu 106 Cho hình hộp chữ nhật ABCD A B C D. ′ ′ ′ ′ Khi đó, ba vectơ đồng phẳng

A CD B A, ′ ′

D C′ ′ B CD B A, ′ ′

BC′

C CD B A, ′ ′

A A′ D AD AB,

BC′

Câu 107 Cho hình hộp chữ nhật MNPQ M N P Q. ′ ′ ′ ′ Khi đó,

A MN NP PM+ =

B MQ Q N+ ′ ′=PQ

C PN Q N− ′ ′=PQ

D MM′−N N′ =2MN

Câu 108 Gọi M N P Q trung điểm AB , , , AC, CD DB tứ diện ABCD Các vectơ đồng phẳng

A AB

, BC

, AD

B MP

, PQ

, CD

C AC

, MP

, BD

D MP

, BC

, AD

Câu 109 Trong không gian, cho hai hình bình hành ABCD ABEF có O O′ tương ứng giao hai đường chéo hình Khi đó,

A CE DF+ =4OO′

B CE DF DC+ + =3OO′

C EA EB EC+ + =3EO

D DC BA CE DF+ + + =0

Câu 110 Cho hình hộp chữ nhật MNPQ M N P Q. ′ ′ ′ ′ Khi đó,

A MN NN+ ′+NP MP= ′

B MP PP− ′−MN =MM′

C MQ QN P P P Q+ − ′ = ′

D MP PP+ ′+P N′ ′+M M′ =0

Câu 111 Cho điểm A , B, C, D không gian, mệnh đề sau, mệnh đề sai?

A AB BC CA+ + =0

B AB CB CA− =

C AD DB CB CA+ − + =0

(76)

Câu 112 Trong mệnh đề sau, mệnh đề đúng?

A Ba vectơ đồng phẳng giá ba vectơ song song với mặt phẳng

B Ba vectơ đồng phẳng có vectơ ngược hướng với hai vectơ lại

C Ba vectơ đồng phẳng giá ba vectơ trùng song song với nhau

D Ba vectơ đồng phẳng ba vectơ nằm mặt phẳng

Câu 113 Cho hình hộp MNPQ M N P Q. ′ ′ ′ ′ , MN ′, NP′

NQ

A ba vectơ phương B ba vectơ hướng

C ba vectơ đồng phẳng D ba vectơ không đồng phẳng

Câu 114 Cho hình hộp chữ nhật ABCD A B C D. ′ ′ ′ ′ có O O′ tâm mặt ABCD , , A B C D′ ′ ′ ′ Khi AC, OO′

BB′

A ba vectơ đồng phẳng B ba vectơ không đồng phẳng

C ba vectơ phương D ba vectơ hướng

Câu 115 Điều kiện cần đủ để ba vectơ a

, b

, c

đồng phẳng là:

A Có hai số x , y để xa yb c+ + =0

B Có hai số x , y khơng đồng thời 0 để c=xa yb+

C Có ba số x, y, z để xa yb zc+ + =0

D Có ba số x, y, z không đồng thời 0 để xa yb zc+ + =0

Câu 116 Cho hình hộp ABCD A B C D. ′ ′ ′ ′ Đặt AA′ =a, AB b=

, AC c=

Gọi M trung điểm CD Khi đó:

A 1

2 MC′ = +a b

C 1

2

MC′ = a b c+ +

B 1

2 MC′ = +a b c+

D 1

2 MC′ = + +a b c

Câu 117 Cho hình hộp ABCD A B C D. ′ ′ ′ ′ Đặt AA′ =a, AB b=

, AC c=

Gọi E trung điểm CC′ Khi đó:

A AE a b c= + +

B 1

2 AE= a c+

C 1

2 AE= a b+

D 1( )

2 AE= a c+

Câu 118 Cho hình bình hành ABCD , gọi E điểm Khi đó:

A EA EC EB ED+ = +

B EA EB− =EC ED−

C EA EB EC ED+ = +

D EA EC− =EB ED−

Câu 119 Cho tứ diện SMNP , gọi G trọng tâm tam giác MNP ,

A SM SN SP SG+ + =

B 1

3 SM SN SP+ + = SG

C SM SN SP SG+ + + =0

D SM SN SP+ + =3SG

Câu 120 Cho tứ diện SMNP , gọi G trọng tâm tam giác MNP Vectơ SG

phương với vectơ sau đây?

A SA SB SC+ −

B SA SC SB+ −

C 2 SA( +SB SC+ )

D SB SC SA+ −

Câu 121 Cho tứ diện SMNP , gọi G trọng tâm tam giác MNP Vectơ GS

hướng với vectơ nào sau đây?

A SA SB SC+ +

B −SA SB SC− −

C 2 SA( +SB SC+ )

(77)

GV TR GV TR GV TR

Câu 122 Cho hình chóp S ABC , điểm M , N tương ứng trung điểm cạnh SA, BC Gọi I trung điểm MN, P điểm Khi

A 2 PI =PS PA PB PC+ + +

B 3PI =PS PA PB PC+ + +

C 4PI =PS PA PB PC+ + +

D 1( )

2

PI = PS PA PB PC+ + +

Câu 123 Cho hình chóp S ABC , điểm M , N tương ứng trung điểm cạnh SA, BC Gọi I trung điểm MN, P điểm Khi đó, PI

phương với vectơ sau đây?

A PA PB+

B PM PN+

C PB PC+

D PA PB PC+ +

Câu 124 Cho hình chóp S ABC , điểm M , N tương ứng trung điểm cạnh SA, BC Khi đó, vectơ PS+PA PB PC+ +

hướng với vectơ sau đây?

A PA PB+

B −PM PN−

C PM PN PS+ +

D PM PN+

Câu 125 Cho hình hộp MNPQ M N P Q. ′ ′ ′ ′ Khi đó, góc hai vectơ MN

NP′

góc đây?

A NPQ′ B MPN C NMQ′ D NMQ

Câu 126 Cho hình hộp MNPQ M N P Q. ′ ′ ′ ′ Khi đó, góc hai vectơ MM ′ NP′

góc đây?

A N NP′ ′ B MPN C NMQ′ D NMM ′ Câu 127 Cho hình chóp S ABCD có đáy hình bình hành Khi đó, góc hai vectơ BS.

CD

A SBC B SCB C SAB D SBA Câu 128 Cho vectơ a khác 0

Khi đó, góc hai vectơ a a−

góc có số đo

A 0° B 90° C 180° D 360°

Câu 129 Trong không gian, với hai điểm phân biệt A , B Ta ln có:

A AB BA BA AB ≠

B AB BA BA AB + =0

C

AB BA= −AB

D

AB BA= AB

Câu 130 Trong không gian, với ba vectơ a, b

c khác 0

, ta ln có:

A (a b c+ ) ≠c a b.( + )

B ( )a b c a b c + ( ) =0

C (a b c+ ) =c a b.( + )

D ( )a b c. =a b c.( ).

Câu 131 Trong không gian, với hai vectơ a b

khác vectơ khơng, ta ln có:

A a b = a b

B a b > a b

C a b = a b .cos( )a b,

D a b.< a b

Câu 132 Trong không gian, với hai vectơ a b

khác vectơ khơng, ta ln có:

A a b >. 0

B a b ≥. 0

C a b ≤. 0

D a b ∈.

ℝ

Câu 133 Trong không gian, với hai điểm phân biệt A , B Ta ln có:

A AB AB =

B AB AB =

C

AB AB= AB

D

AB AB= −AB

Câu 134 Gọi α góc hai đường thẳng d , 1 d có vectơ phương 2 u u1,

Ta ln có:

A cosα =cos(u u1, 2)

B cosα = −cos(u u1, 2)

C cosα = cos(u u1, 2)

D cosα >cos(u u1, 2)

(78)

Câu 135 Trong mệnh đề sau, mệnh đề đúng?

A Tích vơ hướng hai vectơ a b

vectơ

B Tích vơ hướng hai vectơ a b

số thực dương

C Tích vơ hướng hai vectơ a b

số thực

D Tích vơ hướng hai vectơ a b

số thực khác 0

Câu 136 Cho hình hộp MNPQ M N P Q. ′ ′ ′ ′ , khẳng định sau, khẳng định đúng?

A MN =PQ

B MN =N M′ ′

C MM′=PP′

D MP=NQ

Câu 137 Cho hình hộp chữ nhật ABCD A B C D. ′ ′ ′ ′ có AB a= , AD b= , AA′ =c Tích vơ hướng

AB B C′ ′

A 1 B ab C 0 D abc

Câu 138 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành Tổng AB AD. +

A AS

B SC

C AC

D SA

Câu 139 Cho hình lập phương ABCD A B C D. ′ ′ ′ ′ có cạnh a Tích vơ hướng AB C D ′ ′

A

2a B 0 C a 2 D a2

−

Câu 140 Cho hình lập phương ABCD A B C D. ′ ′ ′ ′ có cạnh a Tích vơ hướng (AB BC B D+ ) ′ ′

A a 2 B

0 C

2a D

2 a

Câu 141 Cho hình lập phương MNPQ M N P Q. ′ ′ ′ ′ có cạnh a Khi đó,

A

MN Q P′ ′ =a

B

MN PQ a=

C MN NP ′. ′ =a2 D MN NP ′. ′ =0

Câu 142 Cho hình lập phương ABCD A B C D. ′ ′ ′ ′ có cạnh a Khi đó,

A

AC B D a′ =

B

AC B D′ = a

C AC B D ′ =0 D

AC B D′ = −a

Câu 143 Trong khẳng định sau, khẳng định đúng?

A Một đường thẳng có vectơ phương

B Một đường thẳng có vơ số vectơ phương

C Các vectơ phương đường thẳng hướng với

D Các vectơ phương đường thẳng ngược hướng với

Câu 144 Trong mệnh đề sau, mệnh đề sai?

A Có đường thẳng qua điểm cho trước vng góc với mặt phẳng cho trước

B Có đường thẳng qua điểm cho trước vng góc với hai đường thẳng chéo cho trước

C Có mặt phẳng qua điểm cho trước vng góc với đường thẳng cho trước

D Có mặt phẳng qua điểm cho trước vng góc với mặt phẳng cho trước

Câu 145 Trong mệnh đề sau đây, mệnh đề đúng?

A Hai đường thẳng vng góc với đường thẳng d song song trùng

B Hai đường thẳng vng góc với đường thẳng d vng góc với

C Hai đường thẳng vng góc với đường thẳng d chéo

D Hai đường thẳng vng góc với đường thẳng d cắt

(79)

GV TR GV TR GV TR

A Nếu a⊥b, ( )P ⊥a ( )P //b C Nếu //a b , ( )P ⊥a ( )P ⊥b

B Nếu a//( )P , a⊥b ( )P ⊥b D Nếu a//( )P , a⊥b ( )P //b

A Nếu góc hai vectơ 180° hai vectơ

B Nếu góc hai vectơ 180° hai vectơ đối

C Nếu góc hai vectơ 180° hai vectơ ngược hướng

D Nếu góc hai vectơ 180° hai vectơ hướng

Câu 148 Nếu hai vectơ a

, b

khác 0

thỏa mãn a b = a b

A góc hai vectơ a, b

180° B góc hai vectơ a, b

90°

C hai vectơ a

, b

ngược hướng D hai vectơ a

, b

hướng

Câu 149 Nếu hai vectơ a

, b

khác 0

thỏa mãn a b.= − a b

A cos( )a b =,

B cos( )a b = −,

C cos( )a b =,

D cos( )a b =,

Câu 150 Cho hình hộp ABCD A B C D. ′ ′ ′ ′ , đường thẳng không song song với mặt phẳng (ABCD)?

A B D′ ′ B A D′ ′ C AC D B C′ ′

Câu 151 Cho hình chóp S ABCD Khi số mặt bên hình chóp tam giác cân .

A 1 B 2 C 3 D 4

Câu 152 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác SA vng góc với mặt phẳng (ABC) Khi số mặt hình chóp S ABC tam giác vuông .

A 1 B 2 C 3 D 4

Câu 153 Cho hình lập phương ABCD A B C D. ′ ′ ′ ′ Đường thẳng AC vng góc với mặt phẳng sau đây?

A (ACC A′ ′) B (ABB A′ ′) C (BDD B′ ′) D (BC D′ ′)

Câu 154 Cho hình chóp S ABCD có SA vng góc với đáy Khi đó, góc đường thẳng SB với mặt phẳng đáy góc đây?

A SCA B SBA C SBD D BAB

Câu 155 Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh a, SA vng góc với đáy, SB a= 2 Khi đó góc SD với mặt phẳng (ABCD)

A 60° B 90° C 45° D 30°

Câu 156 Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh a, SA vng góc với đáy, SC a= 3 Khi đó góc SB với mặt phẳng (ABCD)

A 45° B 60° C 90° D 30°

Câu 157 Cho hình chóp S ABCD có đáy hình chữ nhật, SA vng góc với đáy Trong tam giác cho đây, tam giác tam giác vuông?

A ∆SAB B ∆SAD C ∆SAC D ∆SCD

Câu 158 Cho hình lập phương MNPQ M N P Q. ′ ′ ′ ′ Khi mặt phẳng (MPP M′ ′) vng góc với mặt phẳng đây?

(80)

Câu 159 Cho hai mặt phẳng ( )P , ( )Q vng góc với theo giao tuyến ∆ cho đường thẳng a Trong khẳng định sau, khẳng định đúng?

A Nếu a//( )P a⊥( )Q B Nếu a//( )Q a⊥( )P

C Nếu a⊂( )P , a ⊥ ∆ a⊥( )Q D Nếu a⊥ ∆ a⊥( )P a⊥( )Q

Câu 160 Cho hai mặt phẳng phân biệt ( ) ( )P , Q vng góc với mặt phẳng ( )R Trong khẳng định sau, khẳng định đúng?

A ( ) ( )P ≡ Q B ( ) ( )P // Q

C ( )P cắt ( )Q D ( ) ( )P // Q ( )P cắt ( )Q theo giao tuyến ∆ thỏa mãn ∆ ⊥( )R

Câu 161 Trong khẳng định sau, khẳng định sai?

A Hình hộp chữ nhật có mặt bên hình chữ nhật

B Hình hộp chữ nhật hình lăng trụ đứng

C Hình lăng trụ đứng hình hộp chữ nhật

D Hình hộp chữ nhật có cạnh bên vng góc với đáy

A Hai đường thẳng phân biệt vng góc với đường thẳng song song với

B Hai đường thẳng phân biệt vng góc với mặt phẳng song song với

C Hai đường thẳng phân biệt vng góc với đường thẳng cắt

D Hai mặt phẳng phân biệt vng góc với mặt phẳng song song với

Câu 163 Cho hai mặt phẳng ( )P , ( )Q đường thẳng a Trong mệnh đề sau đây, mệnh đề đúng?

A Nếu ( ) ( )P // Q , a⊥( )P a⊥( )Q B Nếu ( ) ( )P ⊥ Q , a // ( )P a⊥( )Q

C Nếu ( ) ( )P ⊥ Q , a⊥( )P a // ( )Q D Nếu ( )P //a, ( )Q //a ( ) ( )P // Q

Câu 164 Cho đường thẳng a có hình chiếu mặt phẳng ( )P đường thẳng a′ , đường thẳng b nằm trong ( )P Trong mệnh đề sau đây, mệnh đề sai?

A Nếu a⊥ ab ′ ⊥ b B Nếu a′ ⊥ ab ⊥ b

C Nếu //a b a′//b a′ ≡b D Nếu a′ // b a // b

Câu 165 Cho tứ diện ABCD có AB, AC , AD đơi vng góc Trong mệnh đề sau đây, mệnh đề sai?

A Hai cạnh đối tứ diện vng góc

B Ba mặt phẳng (ABC), (ABD), (ACD) đôi vng góc

C Hình chiếu A lên mặt phẳng (BCD) trực tâm tam giác BCD

D Tam giác BCD vuông

Câu 166 Cho đoạn thẳng AB ( )P mặt phẳng trung trực Mệnh đề sau sai?

A Nếu M∈( )P MA MB= B Nếu MN ⊂( )P MN ⊥AB

C Nếu MA MB= M∈( )P D Nếu MN⊥AB MN ⊂( )P

Câu 167 Cho hai mặt phẳng ( )P ( )Q cắt theo giao tuyến c Mệnh đề sau đúng?

(81)

GV TR GV TR GV TR

B Góc ( )P ( )Q góc hai đường thẳng nằm ( )P , ( )Q đi qua điểm

C Góc ( )P ( )Q góc hai đường thẳng nằm ( )P , ( )Q vng góc với c

D Góc ( )P ( )Q góc đường thẳng a nằm ( )P hình chiếu a ( )Q

Câu 168 Cho tứ diện ABCD có AB, AC , AD đơi vng góc Góc hai mặt phẳng (ABC)

(DBC) góc:

A DBA B DMA ( M trung điểm BC )

C DCA D DHA ( H chân đường cao ABC∆ kẻ từ A)

Câu 169 Hai mặt phẳng vng góc với khi:

A Mọi đường thẳng mặt phẳng vng góc với mặt phẳng

B Hai mặt phẳng chứa hai đường thẳng vng góc với

C Mặt phẳng chứa đường thẳng vng góc với mặt phẳng

D Mỗi đường thẳng mặt phẳng vng góc với đường thẳng nằm mặt phẳng

Câu 170 Qua đường thẳng a//( )P cho trước, có mặt phẳng vng góc với ( )P ?

Câu 171 Cho hai mặt phẳng ( )P ( )Q vng góc với theo giao tuyến c Mệnh đề sau đúng?

A Đường thẳng a nằm ( )P vng góc với ( )Q

B Đường thẳng a vng góc với ( )Q nằm ( )P

C Đường thẳng a vuông góc với c vng góc với ( )Q

D Đường thẳng a qua điểm A thuộc ( )P vng góc với c a nằm ( )P

Câu 172 Hình hộp chữ nhật có ba kích thước 3, 4, 4 độ dài đường chéo là:

A 5 B 41 C 2 D 5

Câu 173 Hình chóp tam giác có cạnh đáy 3, cạnh bên 2 đường cao bao nhiêu?

A 1 B 2 C 2 D

2

Câu 174 Hình chóp tứ giác có cạnh đáy 2, cạnh bên 5 đường cao bao nhiêu?

A 3 B 23 C 3 D 5

Câu 175 Cho tứ diện ABCD Gọi M N trung điểm AB CD , O trung điểm của MN Gọi I giao điểm đường thẳng AO mặt phẳng (BCD) Khi

A I trùng với trực tâm tam giác BCD

B I trùng với trọng tâm tam giác BCD

C I trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD

D I trùng với tâm đường tròn nội tiếp tam giác BCD

Câu 176 Một hình chóp tam giác hình chóp

A đường cao hình chóp qua trọng tâm đáy

(82)

C các cạnh bên tạo với mặt đáy góc

D đáy tam giác cạnh bên có độ dài

Câu 177 Cho ba đường thẳng a , b, c đôi chéo Trong khẳng định sau, khẳng định đúng?

A Không tồn đường thẳng cắt ba đường thẳng a , b, c

B Tồn vô số đường thẳng cắt ba đường thẳng a , b, c

C Tồn hai đường thẳng phân biệt cắt ba đường thẳng a , b, c

D Tồn đường thẳng cắt ba đường thẳng a , b, c

Câu 178 Hình hộp chữ nhật có đáy hình vng Trong khẳng định sau, khẳng định sai?

A Hình hộp cho hình lăng trụ đứng B Hình hộp cho hình lăng trụ

C Tất mặt hình vng D Các mặt bên hình chữ nhật

A Hình hộp có ba cạnh chung đỉnh đơi vng góc hình hộp chữ nhật

B Hình lăng trụ đứng có đáy hình chữ nhật hình hộp chữ nhật

C Hình lăng trụ có đáy tứ giác hình hộp chữ nhật

D Hình hộp đứng có tất cạnh hình hộp chữ nhật

A Hình hộp có sáu mặt hình vng hình lập phương

B Hình hộp chữ nhật có sáu mặt có diện tích hình lập phương

C Hình lăng trụ có tất cạnh hình lập phương

D Hình lăng trụ tứ giác có tất cạnh hình lập phương

Câu 181 Hình hình sau khơng có đủ sáu mặt hình chữ nhật?

A Hình lập phương B Hình lăng trụ tứ giác

C Hình hộp đứng D Hình hộp chữ nhật

Câu 182 Hình hình sau có tất cạnh nhau?

A Hình hộp chữ nhật B Hình hộp

C Hình lăng trụ D Hình lập phương

Câu 183 Hình lập phương có cạnh đường chéo có độ dài là:

A 6 B 3 C 6 D 2

Câu 184 Hình hình sau khơng có mặt hình bình hành?

A Hình lăng trụ ngũ giáC B Hình chóp cụt tứ giác

B Hình lập phương D Hình chóp cụt ngũ giác

Câu 185 Cho tứ diện ABCD cóAB, AC , AD đơi vng góc Khi đó:

A SBCD.cosDCA S= ABC B SBCD.cosDBA S= ABC

C SBCD.cosDHA S= ABC (H chân đường cao ABC∆ kẻ từ A)

D SBCD.cosDMA S= ABC (M là trung điểm BC )

Câu 186 Trong mệnh đề sau, mệnh đề sai?

A Khoảng cách hai đường thẳng chéo độ dài đoạn vng góc chung hai đường thẳng

(83)

GV TR GV TR GV TR

C Khoảng cách hai đường thẳng chéo khoảng cách hai đường thẳng mặt phẳng song song với chứa đường thẳng lại

D Khoảng cách hai đường thẳng chéo khoảng cách hai đường thẳng song song cắt hai đường thẳng

Câu 187 Tìm mệnh đề sai mệnh đề sau:

A Đoạn vng góc chung hai đường thẳng chéo đoạn thẳng ngắn nối hai điểm thuộc hai đường thẳng

B Đoạn vng góc chung hai đường thẳng chéo đường thẳng vng góc với hai đường thẳng

C Đoạn vng góc chung hai đường thẳng chéo cắt hai đường thẳng

D Đoạn vng góc chung hai đường thẳng chéo vng góc với mặt phẳng song song với hai đường thẳng

Câu 188 Cho tứ diện OABC có OA⊥OB, OB⊥OC, OC⊥OA Gọi α, β, γ theo thứ tự góc tạo bởi mặt phẳng (OAB), (OBC), (OAC) với (ABC) Khi đó, giá trị biểu thức

2 2

sin α+sin β+sin γ

A 2 B 3

2 C

1

2 D

3

Câu 189 Cho tứ diện OABC có OA⊥OB, OB⊥OC, OC⊥OA Đặt OA= , a OB b= , OC c= Khi khoảng cách từ O đến mặt phẳng (ABC)

A

2 2 2

a b b c c a h

abc

+ +

= B

3 a b c h= + +

C

2 2 2 abc

h

a b b c c a =

+ +

D h 1 1 1

a b c = + +

Câu 190 Đường cao tứ diện cạnh a

A

3 a

B 3

2 a

C a 2 D 2a 3

Câu 191 Cho đường thẳng a song song với mặt phẳng ( )P Mệnh đề sau sai?

A Khoảng cách a ( )P khoảng cách đường thẳng a đường thẳng

( )

a′ ⊂ P song song với a

B Khoảng cách a ( )P khoảng cách a hình chiếu lên ( )P

C Khoảng cách a ( )P khoảng cách a đường thẳng b nằm ( )P vng góc với a

D Khoảng cách a ( )P khoảng cách a đường thẳng b nằm ( )P không song song với a

Câu 192 Cho hình hộp đứng ABCD A B C D. ′ ′ ′ ′ Trong mệnh đề sau, mệnh đề đúng?

A d AC B D( , ′ ′)= AA′ B d AC B D( , ′ ′)=AD′

C d AC B D( , ′ ′)=AB′ D d AC B D( , ′ ′)=CB′

Câu 193 Cho hình lập phương ABCD A B C D. ′ ′ ′ ′ Trong mệnh đề sau, mệnh đề sai?

A d BB AC( ′, ′)=d BB( ′,(ACC A′ ′)) B d BB AC( ′, ′)=d B AC( , ′)

(84)

Câu 194 Cho hình lập phương ABCD A B C D. ′ ′ ′ ′ Trong mệnh đề sau, mệnh đề sai?

A AD⊥(BDD B′ ′) B BD⊥(ACC A′ ′)

C (BDD B′ ′) (⊥ ACC A′ ′) D BC//(ADC B′ ′)

Câu 195 Trong không gian cho hai đường thẳng a , b chéo đường thẳng c song song với a Khi

A b c song song B b c cắt C b c chéo D Cả sai

Câu 196 Cho tứ diện ABCD, gọi α góc hai mặt tứ diện ABCD Khi đó,

A cos 1 3

ϕ= B cos

2

ϕ= C cos 1

2

ϕ = D cos

2 ϕ=

Câu 197 Cho tứ diện SABC , gọi α góc SA mặt (ABC) Khi đó,

A cos

ϕ = B cos 1

2

ϕ= C cos 1 2

ϕ = D cos 1 3 ϕ=

Câu 198 Cho hình lập phương ABCD A B C D. ′ ′ ′ ′ cạnh a Khoảng cách từ đỉnh C′ đến mặt phẳng

(BDD B′ ′)

A

3 a

B

2 a

C

2 a

D

2 a

Câu 199 Cho hình chóp tứ giác S ABCD , góc hai mặt phẳng . (SAC) (SBD)

A 30° B 45° C 60° D 90°

Câu 200 Cho hình chóp tứ giác S ABCD có đáy hình chữ nhật, AB a. = , AD=2a, cạnh bên SA vuong góc với đáy Khoảng cách hai đường thẳng AB SC

A

2 a

B

2 a

C 2

5 a

D

3 a

Tài liệu tham khảo

[1] Trần Văn Hạo – Đại số Giải tích 11 - Nhà xuất Giáo Dục Việt Nam

[2] Trần Văn Hạo – Bài tập Đại số Giải tích 11 - Nhà xuất Giáo Dục Việt Nam

[3] Trần Văn Hạo – Hình học 11 - Nhà xuất Giáo Dục Việt Nam

[4] Trần Văn Hạo – Bài tập Hình học11 - Nhà xuất Giáo Dục Việt Nam

[5] Trần Văn Hạo – Bài tập Đại số Giải tích 11 - Nhà xuất Giáo Dục Việt Nam

[6] Lê Hồng Đức – Bài giảng trọng tâm TOÁN 11 - Nhà xuất ĐHQGHN

[7] Lê Hoành Phò – Phương pháp giải CÁC CHỦ ĐỀ CĂN BẢN ĐẠI SỐ 11 - NXB ĐHQGHN

[8] Lê Hồnh Phị – Phương pháp giải CÁC CHỦ ĐỀ CĂN BẢN HÌNH HỌC 11 - NXB ĐHQGHN

[9] Nguyễn Duy Hiếu – Kỹ thuật giải nhanh tốn hay & khó Giải tích 11 - NXB ĐHQGHN

[10] Nguyễn Duy Hiếu – Kỹ thuật giải nhanh tốn hay & khó Hình học 11 - NXB ĐHQGHN

[11] http://mathvn.com

[12] http://www.vnmath.com/

[13] http://k2pi.net.vn/

[14] http://forum.mathscope.org/index.php

[15] Và số tài liệu Internet mà không rõ tác giả

(85)

GV TR GV TR GV TR

ĐÁP ÁN TRẮC NGHIỆM

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 D B A A C C D A C D C A D A D B A D C D

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 B B A C C A D D C D B B C D B C D C C B

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 B A B B C D C A C C D B A D B B D A D D

61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 C B B D B A A A D C C D A C C C A C B B

81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 D C A D B D B C B C A D C D C B B A B A

101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 D C B B B A C D A A B A C A D A B A D C

121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 B C B D C A D C C C C D C C C C C C D B

141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 A C B D C C C D B C D B C B C A D B C D

161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 C B A D D D C D C B D B A B B D B C D C

(86)

PHỤ LỤC

A A A

A –––– KIKIKIKIẾN THỨC CƠ BẢNẾN THỨC CƠ BẢNẾN THỨC CƠ BẢNẾN THỨC CƠ BẢN

1 Chứngminhđườngthẳngdsongsongmp((((αααα))))((((d⊄⊄⊄⊄((((αααα))))))))

Cách Chứng minh d d ′// d′ ⊂( )α

Cách Chứng minh d⊂( )β ( ) ( )β // α

Cách C/m d ( )α vng góc với đường thẳng vng góc với mặt phẳng 2 Chứngminhmp((((αααα))))songsongvớimp((((ββββ))))

Cách Chứng minh mp( )α chứa hai đường thẳng cắt song song với ( )β (Nghĩa đường thẳng cắt mặt song song với đường thẳng mặt phẳng kia)

Cách Chứng minh ( )α ( )β song song với mặt phẳng vng góc với đường thẳng

3 Chứngminhhaiđườngthẳngsongsong:

Cách Hai mặt phẳng ( )α , ( )β có điểm chung S chứa hai đường thẳng song song a b thì ( ) ( )α ∩ β =Sx//a b//

Cách ( )α // a, a⊂( )β ( ) ( )α ∩ β =b//a

Cách Hai mặt phẳng cắt song song với đường thẳng giao tuyến chúng song

song với đường thẳng

Cách Một mặt phẳng cắt hai mặt phẳng song song cho giao tuyến song song

Cách Một mặt phẳng song song với giao tuyến mặt phẳng cắt nhau, ta giao tuyến song

song

Cách Hai đường thẳng song song với đường thẳng thứ vng góc với mặt

phẳng song song với

Cách Sử dụng phương pháp hình học phẳng: đường trung bình, định lí Thales đảo, cạnh đối tứ giác

đặc biệt, …

4 Chứngminhđườngthẳngdvnggócvớimặtphẳng((((αααα))))

Cách Chứng minh đường thẳng d vng góc với hai đường thẳng cắt nằm ( )α

Cách Chứng minh d nằm trong hai mặt phẳng vuông góc d vng góc với giao tuyến  dvng góc với mp cịn lại

Cách Chứng minh dlà giao tuyến hai mặt phẳng vng góc với mặt thứ

Cách Chứng minh đường thẳng dsong song với a mà a⊥( )α

Cách Đường thẳng vuông góc với hai mặt phẳng song song vng góc với

mặt phẳng cịn lại

Cách Chứng minh d trục tam giác ABC nằm ( )α 5 Chứngminhhaiđườngthẳngdvàd′vnggóc:

Cách Chứng minh d ⊥( )α d′ ⊂( )α

Cách Sử dụng định lí đường vng góc Cách Chứng tỏ góc d, d′ 90° 6 Chứngminhhaimặtphẳng((((αααα))))và((((ββββ))))vnggóc:

Cách Chứng minh ( )α ⊃d d ⊥( )β

Cách Chứng tỏ góc hai mặt phẳng ( )α ( )β 90°

Cách Chứng minh a//( )α mà ( )β ⊥a

(87)

GV TR GV TR GV TR

B B B

B –––– CÔNG THCÔNG THCÔNG THỨC CƠ BẢNCÔNG THỨC CƠ BẢNỨC CƠ BẢNỨC CƠ BẢN

1 Tamgiác

a. Tam giác thường:

① ① ①

① 1 . 1 . .sin

2 2 4

ABC

abc

S BC AH AB AC A pr

R

∆ = = = = = p p a p b p c( − )( − )( − )

② ② ②

② 1

2 ABM ACM ABC S∆ =S∆ = S∆ ③

③ ③

③ 2

3

AG= AM (G trọng tâm)

④ ④ ④

④ Độ dài trung tuyến: 2 2

2

AB AC BC

AM = + −

⑤ ⑤ ⑤

⑤ Định lí hàm số cosin: 2

2 . .cos BC = AB +AC − AB AC A ⑥

⑥ ⑥

⑥ Định lí hàm số sin: 2

sin sin sin

a b c

R A= B = C =

b. Tam giác ABC cạnh a:

① ① ① ① ( ) 2 3 3 4 4 ABC canh a

S∆ = = ②②②② 3

2

canh a

AH = × = ③③③ ③

3

a AG= AH =

c. Tam giác ABC vuông a:

① ① ①

① 1 . 1 .

2 2

ABC

S∆ = AB AC= AH BC ②

② ②

② BC2 AB2 AC2

= +

③ ③ ③ ③

.

BA =BH BC ④④ ④④

.

CA =CH CB ⑤⑤⑤⑤ . HA =HB HC ⑤

⑤ ⑤

⑤ HA2 =HB HC. ⑥⑥ ⑥⑥

AH BC=AB AC

⑦ ⑦ ⑦

⑦ 2

1 1 1

AH = AB +AC ⑧⑧ ⑧⑧

2

HB AB

HC = AC ⑨⑨⑨⑨

1 2 AM = BC ⑩

⑩ ⑩

⑩ sinB AC BC

= ⑪⑪ cos⑪⑪ B AB BC

= ⑫⑫⑫⑫ tanB AC AB

= ⑬⑬ cot⑬⑬ B AB AC =

d. Tam giác ABC vuông cân A

① ① ①

① BC=AB 2 =AC 2 ②② ②②

2 BC AB= AC=

2 Tứgiác

a. Hình bình hành:

Diện tích: SABCD =BC AH. = AB AD. .sinA

b. Hình thoi:

• Diện tích: 1 . . .sin

2 ABCD

S = AC BD=AB AD A

• Đặc biệt: 60ABC = ° BAC = 120° tam giác ABC, ACD

c. Hình chữ nhật:

. ABCD

S =AB AD

d. Hình vng:

• Diện tích:

ABCD

S =AB

• Đường chéo: AC=AB 2

e. Hình thang: ( ).

2 ABCD

AD BC AH

S = +

A

B H C

G

M

a A

B H C

A

B H C

(88)

C CC

C –––– MMMMỘT SỐ ỘT SỐ ỘT SỐ ỘT SỐ HÌNH THHÌNH THHÌNH THƯHÌNH THƯƯỜNG GẶPƯỜNG GẶPỜNG GẶPỜNG GẶP

HÌNH Hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD hình chữ nhật (hoặc hình vng) SA vng góc với đáy

H1.1-Đáy,đườngcao,cạnhđáy,cạnhbên,mặtbêncủahìnhchóp 1 Đáy: là hình vng hình chữ nhật

2 Đường cao: SA

3 Cạnh bên: SA, SB, SC, SD 4 Cạnh đáy: AB, BC, CD, DA

5 Mặt bên: ∆SAB vuông A ∆SBC vuông B SCD

∆ vuông D ∆SAD vng A H1.2-Gócgiữacạnhbênvàđáy

1. Góc cạnh bên SB mặt đáy ((((ABCD)))) αααα : Ta có: SA⊥(ABCD) (gt)

 Hình chiếu SB lên (ABCD) AB

 () ()

, ( ) ,

SB ABCD = SB AB =SBA=α

2. Góc cạnh bên SD mặt đáy ((((ABCD)))) αααα : Ta có: SA⊥(ABCD) (gt)

 Hình chiếu SD lên (ABCD)là AD

 () ()

, ( ) ,

SD ABCD = SD AD =SDA=α

3. Góc cạnh bên SC mặt đáy ((((ABCD)))) αααα : Ta có: SA⊥(ABCD) (gt)

 Hình chiếu SC lên (ABCD) AC

 () ()

, ( ) ,

SC ABCD = SC AC =SCA=α H1.3- Gócgiữacạnhbênvàmặtbên:

1. Góc cạnh bên SB mặt bên ((((SAD)))) αααα : Ta có: AB⊥(SAD)  Hình chiếu SB lên (SAD) SA  (SB SAD, ( ))=(SB SA, )=BSA=α

2. Góc cạnh bên SD mặt bên ((((SAB)))) αααα : Ta có: AD⊥(SAB)

 Hình chiếu SD lên (SAB) SA

 () ()

, ( ) ,

SD SAB = SD SA =DSA=α

3. Góc cạnh bên SC mặt bên ((((SAB)))) αααα : Ta có: BC⊥(SAB)

 Hình chiếu SC lên (SAB) SB

 () ()

, ( ) ,

SC SAB = SC SB =BSC=α

4. Góc cạnh bên SC mặt bên ((((SAD)))) αα : αα

Ta có: DC⊥(SAD)  Hình chiếu SC lên (SAD) SD  (SC SAD, ( ))=(SC SD, )=DSC=α

B

A

C D S

B A

C D S

α

B A

C D S

α

B A

C D S

α

B A

C D S

α

B A

C D S

α

B A

C D S

α

B A

C D S

(89)

GV TR GV TR GV TR

H1.4-Gócgiữamặtbênvàmặtđáy:

1. Góc mặt bên ((((SBC)))) mặt đáy ((((ABCD)))) αααα : Ta có: BC⊥ AB B (?), BC⊥SB B (?)

(SBC) (∩ ABCD)=BC

 () ()

(SBC), (ABCD) = AB SB, =SBA=α

2. Góc mặt bên ((((SCD)))) mặt đáy ((((ABCD)))) αααα : Ta có: CD⊥AD D (?), CD⊥SD D (?)

(SCD) (∩ ABCD)=CD

 () ()

(SCD), (ABCD) = AD SD, =SDA=α

3. Góc mặt phẳng ((((SBD)))) mặt đáy ((((ABCD)))) αα : αα  Đáy ABCD hình chữ nhật:

Trong (ABCD), vẽ AH ⊥BD H  BD⊥SH (?)  ((SBD), (ABCD)) =(AH SH, )=SHA=α

  

 Chú ý: Nếu AB<AD điểm H gần B Nếu AB> AD điểm H gần D  Đáy ABCD hình vng:

Gọi O= AC∩BD  AO⊥BD (?)  BD⊥SO (?)

 ((SBD), (ABCD))=(SO AO, )=SOA=α

H1.5–Khoảngcách“điểm–mặt”

1. Khoảng cách từ A đến mặt phẳng ((((SCD))))

Trong mp SAD( ), vẽ AH ⊥SD H  AH ⊥(SCD) (?)

 d A SCD( ,( ))= AH

2. Khoảng cách từ B đến mặt phẳng ((((SCD))))

Vì AB//(SCD) (?) nên d B SCD( ,( ))=d A SCD( ,( )) (xem dạng 1)

3. Khoảng cách từ A đến mặt phẳng ((((SBC))))

Trong mp SAB( ), vẽ AH ⊥SB H  AH ⊥(SBC) (?)

 d A SBC( ,( ))= AH

4. Khoảng cách từ D đến mặt phẳng ((((SBC))))

Vì AD // (SBC) (?) nên d D SBC( ,( ))=d A SBC( ,( )) (xem dạng 3)

B A

C D S

α

B A

C D S

α

B A

C D S

α

H

B A

C D S

α

O

B A

C D S

H

B A

C D S

(90)

5. Khoảng cách từ A đến mặt phẳng ((((SBD))))

 Đáy ABCD hình chữ nhật:

• Trong (ABCD), vẽ AI ⊥BD I  BD⊥(SAI) (?)

• Trong (SAI), vẽ AH ⊥SI H  AH ⊥(SBD) (?)

 d A( , (SBD))= AH 



 Chú ý: Nếu AB< AD điểm I gần B Nếu AB>AD điểm I gần D  Đáy ABCD hình vng:

• Gọi O= AC∩BD

 AO⊥BD (?)  BD⊥(SAO) (?) • Trong (SAO), vẽ AH ⊥SO H

 AH ⊥(SBD) (?)  d A( , (SBD))= AH

6. Khoảng cách từ C đến mặt phẳng ((((SBD))))

Vì O trung điểm AC nên d C SBD( ,( ))=d A SBD( ,( ))

HÌNH Hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD hình thang vng tại A B SA vng góc với đáy

H2.1-Đáy,đườngcao,cạnhđáy,cạnhbên,mặtbêncủahìnhchóp 1 Đáy: Hình thang ABCD vng A B

2 Đường cao: SA

3 Cạnh bên: SA, SB, SC, SD 4 Cạnh đáy: AB, BC, CD, DA 5 Mặt bên: ∆SAB vuông A

SBC

∆ vuông B SAD

∆ vuông A 

 

 Chú ý: Nếu AB BC= AD=2BC AC⊥CD  CD⊥(SAC)  ∆SCD vng C

H2.2-GócgiữacạnhbênSBvàđáy

1. Góc cạnh bên SB mặt đáy ((((ABCD)))):

Ta có : SA⊥ABCD (gt)

 Hình chiếu SBlên (ABCD) AB  (SB ABCD, ( ))=(SB AB, )=SBA

2. Góc cạnh bên SD mặt đáy ((((ABCD)))):

Ta có: SA⊥ABCD (gt)

 Hình chiếu SD lên (ABCD) AD (SD ABCD, ( ))=(SD AD, )=SDA

3. Góc cạnh bên SC mặt đáy ((((ABCD)))):

Ta có: SA⊥ABCD (gt)

 Hình chiếu SC lên (ABCD) AC  (SC ABCD, ( ))=(SC AC, )=SCA B

A

C D S

I H

B A

C D S

O H

B A

C D S

B A

C D S

B A

C

(91)

GV TR GV TR GV TR

H2.3-Gócgiữamặtbênvàmặtđáy:

1. Góc mặt bên ((((SBC)))) mặt đáy ((((ABCD)))):

Ta có: BC⊥ AB B (?) BC⊥SB B (?)

(SBC) (∩ ABCD)=BC  ((SBC), (ABCD))=(AB SB, )=SBA

2. Góc mặt bên ((((SCD)))) mặt đáy ((((ABCD)))):

Trong (ABCD), vẽ AM ⊥CD M  SM ⊥CD M (?)

Mà (SCD) (∩ ABCD)=CD

 ((SCD), (ABCD))=(AM SM, )=SMA =α 



 Chú ý: Nếu AB BC= AD=2BC thìAC⊥CD Do M ≡C

Trong mp SAB( ), vẽ AH ⊥SB H  AH ⊥(SBC) (?)

 d A SBC( ,( ))= AH

2. Khoảng cách từ D đến mặt phẳng ((((SBC))))

Vì AD // (SBC) (?) nên d D SBC( ,( ))=d A SBC( ,( )) (xem dạng 3)

• Trong (ABCD), vẽ AM ⊥CD M  CD⊥(SAM) (?)

• Trong (SAM), vẽ AH ⊥SM H  AH ⊥(SCD) (?)

 d A SCD( ,( ))= AH 



 Chú ý: Nếu AB BC= AD=2BC thìAC⊥CD Do M ≡C

HÌNH Hình chóp tứ giác S.ABCD H3.1-Đáy,đườngcao,cạnhđáy,cạnhbên,mặtbêncủahìnhchóp

1 Đáy: ABCD hình vng 2 Đường cao: SO

3 Cạnh bên: SA SB SC= = =SD 4 Cạnh đáy: AB BC CD DA= = =

5 Mặt bên: ∆SAB, ∆SBC, ∆SCD, ∆SAD

là tam giác cân S

Gọi O tâm hình vng ABCD SO⊥(ABCD) B A

C D S

B A

C D S

M

B A

C D S

H

B A

C D S

M H

B

A

C

D S

(92)

H3.2-Gócgiữacạnhbênvàđáy

1. Góc cạnh bên SA mặt đáy ((((ABCD)))):

Ta có: SO⊥(ABCD) (?)

 Hình chiếu SA lên (ABCD) AO  (SA ABCD, ( ))=(SA AO, )=SAO

Tương tự (SB ABCD, ( )) =(SB BO, )=SBO

3. Góc cạnh bên SC mặt đáy (ABCD):

Tương tự (SC ABCD, ( ))=(SC CO, )=SCO

Tương tự (SD ABCD, ( ))=(SD DO, )=SDO 

 

 Chú ý: SAO SBO SCO SDO= = = → “Góc cạnh bên với mặt đáy nhau” H3.3-Gócgiữamặtbênvàmặtđáy:

1. Góc mặt bên ((((SAB)))) mặt đáy ((((ABCD)))):

Ta có: OM ⊥AB M (?)  AB⊥SM M (?) Mà (SAB) (∩ ABCD)=AB

 ((SAB), (ABCD))=(OM SM, )=SMO

Ta có: ON ⊥BC N (?)  BC⊥SN N (?) Mà (SBC) (⊥ ABCD)=BC

 ((SBC), (ABCD))=(ON SN, )=SNO

Ta có: OP⊥CD P (?)  CD⊥SP P (?) Mà (SCD) (∩ ABCD)=CD

 ((SCD), (ABCD))=(OP SP, )=SPO

4. Góc mặt bên ((((SAD)))) mặt đáy ((((ABCD)))):

Ta có: OQ⊥ AD Q (?)  AD⊥SQ Q (?) Mà (SAD) (∩ ABCD)= AD

 ((SAD), (ABCD))=(OQ SQ, )=SQO

  

 Chú ý: SMO SNO SPO SQO= = =

→ “Góc mặt bên với mặt đáy nhau”

B A

C

D S

O

B

A

C

D S

O M

B

A

C

D S

O N

B

A

C

D S

O P

B

A

C

D S

(93)

GV TR GV TR GV TR

1. Khoảng cách từ O đến mặt phẳng ((((SCD))))

Trong (ABCD), vẽ OM ⊥CD M  CD⊥(SOM) (?)

Trong (SOM), vẽ OH ⊥SM H  d O SCD( ,( ))=OH

Vì O trung điểm AC nên d A SCD( ,( ))=2d O SCD( ,( ))

3. Khoảng cách từ B đến mặt phẳng ((((SCD))))

Vì O trung điểm BD nên d B SCD( ,( ))=2d O SCD( ,( ))

HÌNH Hình chóp S.ABC, SA vng góc với đáy H4.1-Đáy,đườngcao,cạnhđáy,cạnhbên,mặtbêncủahìnhchóp

1 Đáy: tam giác ABC 2 Đường cao: SA

3 Cạnh bên: SA, SB, SC 4 Cạnh đáy: AB, BC, CA

5 Mặt bên: ∆SAB tam giác vuông A SAC

∆ tam giác vuông A

Chú ý: Nếu ∆ABC vng B ∆SBC vng B Nếu ∆ABCvng C ∆SBC vng C H4.2-Gócgiữacạnhbênvàđáy

1. Góc cạnh bên SB mặt đáy ((((ABC)))):

Ta có: SA⊥(ABC) (gt)

 Hình chiếu SB lên (ABC) AB

 () ()

, ( ) ,

SB ABC = SB AB =SBA

2. Góc cạnh bên SC mặt đáy ((((ABC)))):

Ta có: SA⊥(ABC) (gt)

 Hình chiếu SC lên (ABC) AC

 () ()

, ( ) ,

SC ABC = SC AC =SCA

H4.3-Gócgiữamặtbên(SBC)vàmặtđáy(ABC):

1. Tam giác ABC vng B

Ta có: BC⊥ AB B (?) BC⊥SB B (?)

(SBC) (∩ ABC)=BC  ((SBC), (ABC))=(AB SB, )=SBA

2. Tam giác ABC vng C

Ta có: BC⊥ AC C (?) BC⊥SC C (?)

(SBC) (∩ ABC)=BC  ((SBC), (ABC))=(AC SC, )=SCA B

A

C

D S

O M

H

A

B C S

A

B C S

A

B C S

A

(94)

3. Tam giác ABC vuông A

Trong (ABC), vẽ AM ⊥BC M (?)  BC⊥SM M (?)

(SBC) (∩ ABC)=BC  ((SBC), (ABC))=(AM SM, )=SMA 

 

 Chú ý:  M không trung điểm BC

 Nếu ABC>ACB M đoạn BC gần B  Nếu ABC<ACB M đoạn BC gần C  Nếu AB> AC M đoạn BC gần C  Nếu AB< AC M đoạn BC gần B

4. Tam giác ABC cân A (hoặc đều)

Gọi M trung điểm BC  BC⊥AM M (?)  BC⊥SM M (?)

Mà (SBC) (∩ ABC)=SM  ((SBC), (ABC))=(AM SM, )=SMA

5. Tam giác ABC có ABC >>>>900

(SBC) (∩ ABC)=BC

 ((SBC), (ABC))=(AM SM, )=SMA 

 

 Chú ý: M nằm đoạn BC phía B

6. Tam giác ABC có ACB>>>>900

(SBC) (∩ ABC)=BC

 () ()

(SBC), (ABC) = AM SM, =SMA

  

 Chú ý: M nằm đoạn BC phía C H4.4–Khoảngcách“điểm–mặt”

1. Khoảng cách từ B đến mặt phẳng ((((SAC))))

Trong (ABC), vẽ BH ⊥AC H

 BH ⊥(SAC) (?)  d B SAC( ,( ))=BH 

 

 Chú ý:

 Nếu ∆ABC vng A H ≡ A AB d B SAC= ( ,( ))  Nếu ∆ABC vng C H ≡C BC d B SAC= ( ,( ))

2. Khoảng cách từ C đến mặt phẳng ((((SAB))))

Trong (ABC), vẽ CH ⊥AB H

 CH ⊥(SAB) (?)  d C SAB( ,( ))=CH

A

B C S

M

A

B C S

M

A

B C S

M

A

B M S

C

A

B C S

H

A

B C S

(95)

GV TR GV TR GV TR

 

 Chú ý:

 Nếu ∆ABC vng ∆ABC H ≡A CA d C SAB= ( ,( ))  Nếu ∆ABC vng B H ≡C CB d B SAB= ( ,( ))

• Trong (ABC), vẽ AM ⊥BCtại M (?)  BC⊥SM M (?) • Trong (SAM), vẽ AH ⊥SM H d A SBC( ,( ))=AH 



 Chú ý: Tùy đặc điểm ∆ABC để định vị trí điểm M đường thẳng BC HÌNH Hình chóp tam giác S.ABC

H5.1-Đáy,đườngcao,cạnhđáy,cạnhbên,mặtbêncủahìnhchóp 1 Đáy: Tam giác ABC

2 Đường cao: SO

3 Cạnh bên: SA SB SC= = 4 Cạnh đáy: AB=BC CA= 5 Mặt bên: ∆SAB, ∆SBC, ∆SCA

là tam giác cân S

Gọi O trọng tâm tam giác ABC SO⊥(ABC)

 

 Chú ý: Tứ diện S ABC hình chóp có đáy mặt bên tam giác H5.2-Gócgiữacạnhbênvàđáy

1. Góc cạnh bên SA mặt đáy ((((ABC)))):

Ta có: SO⊥(ABC) (?)

 Hình chiếu SA lên (ABC) AO

 () ()

, ( ) ,

SA ABC = SA AO =SAO

Tương tự (SB ABC, ( )) =(SB BO, )=SBO

Tương tự (SC ABC, ( ))=(SC CO, )=SCO 



 Chú ý: SAO SBO SCO= = → “Góc cạnh bên với mặt đáy nhau” H5.3-Gócgiữamặtbênvàmặtđáy:

1. Góc mặt bên ((((SAB)))) mặt đáy ((((ABC)))):

Ta có: OM ⊥ AB M (?)  AB⊥SM M (?)

Mà (SAB) (∩ ABC)=AB  ((SAB), (ABC))=(OM SM, )=SMO

2. Góc mặt bên ((((SBC)))) mặt đáy ((((ABC)))):

Ta có: ON ⊥BC N (?)  BC⊥SN N (?)

Mà (SBC) (∩ ABC)=BC ((SBC), (ABCD))=(ON SN, )=SNO A

B C S

M H

B

A C

S

O

B

A C

S

O

N

B

A C

S

O M

(96)

3. Góc mặt bên ((((SAC)))) mặt đáy ((((ABC)))):

Ta có: OP⊥ AC P (?)  AC⊥SP P (?)

Mà (SAC) (∩ ABC)= AC  ((SAC), (ABC))=(OP SP, )=SPO 

 

 Chú ý: SMO SNO SPO== → “Góc mặt bên với mặt đáy nhau” H5.4–Khoảngcách“điểm–mặt”

1. Khoảng cách từ O đến mặt phẳng ((((SAB))))

• Trong (ABC), vẽ OM ⊥AB M  AB⊥(SOM) (?) • Trong (SOM), vẽ OH ⊥SM H  d O SAB( ,( ))=OH

2. Khoảng cách từ C đến mặt phẳng ((((SAB))))

Vì O trọng tâm ∆ABC nên MC 3 MO=

 d C SAB( ,( )) MC d O( ,( )) 3 ( ,( ))

MO⋅ SAB d O SAB

= =

HÌNH 6a Hình chóp S.ABC

có mặt bên (SAB) vng góc với đáy (ABCD) “LnlnvẽSHvnggócvớigiaotuyến” H6a.1-Gócgiữacạnhbênvàmặtđáy

• Vẽ SH ⊥ AB H

Vì (SAB) (⊥ ABC) nên SH ⊥(ABC) 

 

 Chú ý: Tùy đặc điểm tam giác SAB để xác định vị trí điểm H đường thẳngAB

1. Góc cạnh bên SA mặt đáy ((((ABC)))):

Ta có: SH ⊥(ABC) (?)

 Hình chiếu SA lên (ABC) AH  (SA ABC, ( ))=(SA AH, )=SAH

 Hình chiếu SB lên (ABC) BH  (SB ABC, ( )) =(SB BH, )=SBH

 Hình chiếu SC lên (ABC) CH

() ()

, ( ) ,

SC ABC = SC CH =SCH

B

A C

S

O M

H

B

A C

S

H

B

A C

S

H

B

A C

S

(97)

GV TR GV TR GV TR

H6a.2-Gócgiữamặtbênvàmặtđáy: • Vẽ SH ⊥AB H

• Vì (SAB) (⊥ ABC) nên SH ⊥(ABC) 



 Chú ý: Tùy đặc điểm tam giác SAB để xác định vị trí điểm H đường thẳng AB

1. Góc mặt bên (SAB) mặt đáy ((((ABC)))):

Vì (SAB) (⊥ ABC) nên () (SAB), (ABC =) 90

2. Góc mặt bên ((((SAC)))) mặt đáy ((((ABC)))):

Vẽ HM ⊥AC M Ta có: HM AC

SH AC

⊥ 



⊥ AC⊥(SHM), mà SM ⊂(SHM)SM ⊥ AC  ((SBC), (ABC))=(HM SM, )=SMH

3. Góc mặt bên ((((SBC)))) mặt đáy ((((ABC)))):

Vẽ HN ⊥BC N Ta có: HN BC

SH BC

⊥ 



⊥  BC⊥(SHN),

mà SN ⊂(SHN)SN ⊥ AB  ((SBC), (ABC))=(HN SN, )=SNH

HÌNH 6b Hình chóp S.ABCD có mặt bên (SAB) vng góc với đáy (ABCD) ABCD hình chữ nhật hình vng

“LnlnvẽSHvnggócvớigiaotuyến” H6b.1-Gócgiữacạnhbênvàmặtđáy

• Vẽ SH ⊥ AB H

• Vì (SAB) (⊥ ABCD)) nên SH ⊥(ABCD) 



 Chú ý: Tùy đặc điểm tam giác SAB để xác định vị trí điểm H đường thẳng AB

1. Góc cạnh bên SA mặt đáy ((((ABCD)))):

Ta có: SH ⊥(ABCD) (?)

 Hình chiếu SA lên (ABCD) AH  (SA ABCD, ( ))=(SA AH, )=SAH

Tương tự (SB ABCD, ( )) =(SB BH, )=SBH

3. Góc cạnh bên SC mặt đáy ((((ABCD)))):

Tương tự (SC ABCD, ( ))=(SC CH, )=SCH

Tương tự (SC ABCD, ( ))=(SD DH, )=SDH

S

B C

D A

H

S

B C

D A

H

B

A C

S

H

M

B

A C

S

H

(98)

TÀI LIỆỆU HỆỆU HU HỌU HỌỌC TỌC TC TC TẬẬP TOÁN 11ẬẬP TOÁN 11P TOÁN 11P TỐN 11 –––– HK2HK2HK2HK2 98989898

H6b.2-Gócgiữamặtbênvàmặtđáy:

1. Góc mặt bên ((((SAD)))) mặt đáy ((((ABCD)))):

Ta có: HA⊥AD (?)

SH ⊥ AD (?)  AD⊥(SHA)  AD⊥SA

Mà (SAD) (∩ ABCD)=AD  ((SAD), (ABCD))=(SA AH, )=SAH

Ta có: BA⊥BC (?) SH ⊥BC (?)

 BC⊥(SHB)  BC ⊥SB

Mà (SBC) (∩ ABCD)=BC  ((SBC), (ABCD))=(SB AH, )=SBH

Trong (ABCD), vẽ HM ⊥CD M Ta có: HM CD

SH CD

⊥ 



⊥  CD⊥(SHM)  CD⊥SM

Mà (SCD) (∩ ABCD)=CD  ((SCD), (ABCD))=(HM SM, )=SMH HÌNH Hình lăng trụ

① ①①

① Lăng trụ có:

• Hai đáy song song đa giác • Các cạnh bên song song • Các mặt bên hình bình hành ②

②②

② Lăng trụ đứng lăng trụ có cạnh bên vng góc với đáy ③

③③

③ Lăng trụ tam giá lăng trụ đứng, có đáy tam giác ④

④④

④ Lăng trụ có đáy tam giác lăng trụ xiên, có đáy tam giác ⑤

⑤⑤

⑤ Lăng trụ tứ giác lăng trụ đứng, có đáy hình vng ⑥

⑥⑥

⑥ Lăng trụ có đáy tứ giác lăng trụ xiên, có đáy hình vng ⑦

⑦⑦

⑦ Hình hộp hình lăng trụ xiên, có đáy hình bình hành ⑧

⑧⑧

⑧ Hình hộp đứng lăng trụ đứng, có đáy hình bình hành ⑨

⑨⑨

⑨ Hình hộp chữ nhật lăng trụ đứng, có đáy hình chữ nhật ⑩

⑩⑩

⑩ Hình lập phương lăng trụ đứng, có đáy mặt bên hình vng ⑪

⑪⑪

⑪ Lăng trụ đứng ABC A′′′′B′′′′C′′′′ • Góc (A BC′ ) (ABC):

Vẽ AM ⊥BC M

 A M′ ⊥BC (?)  ((A BC′ ), (ABC))= AMA′

• Chú ý: Tùy đặc điểm tam giác ABC để xác định vị trí điểm M đường thẳng BC

⑫ ⑫⑫

⑫ Hình hộp chữ nhật ABCD A′′′′B′′′′C′′′′D′′′′ • Góc (A B CD′ ′ ) (ABCD):

Ta có: BC⊥CD  CD⊥B C′ (?)  ((A B CD′ ′ ), (ABCD))=BCB′

S

B C

D A

H

S

B C

D A

H

S

B C

D A

H M

Lăng trụ xiên

Lăng trụ đứng

Lăng trụ

Cạnh bên vng góc đáy

Đáy đa giác

B

A

C D A '

B ' C '

D ' A

B

C A '

B '

C '

(99)

GV TR GV TR GV TR

MỤC LỤC

VÉCTƠ TRONG KHƠNG GIAN QUAN HỆ VNG GĨC

Vấn đề VÉCTƠ TRONG KHÔNG GIAN

Dạng Tính tốn véctơ

Dạng Chứng minh đẳng thức véctơ

Dạng Quan hệ đồng phẳng

Dạng Cùng phương song song

BÀI TẬP CƠ BẢN NÂNG CAO VẤN ĐỀ 11

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM 12

Vấn đề HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GĨC 14

Dạng Chứng minh vng góc 15

Dạng Góc hai đường thẳng 16

Vấn đề ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC MẶT PHẲNG 22

Dạng Chứng minh đường thẳng vng góc với mặt phẳng 24

Dạng Góc đường thẳng mặt phẳng 28

Dạng Thiết diện qua điểm cho trước vuông góc với trước 31

Dạng Điểm cố định - Tìm tập hợp điểm 34

Vấn đề HAI MẶT PHẲNG VNG GĨC 40

Dạng Góc hai mặt phẳng 42

Dạng Chứng minh hai mặt phẳng vng góc 46

Dạng Thiết diện chứa đường thẳng a vng góc với (α) 49

Dạng Hình lăng trụ– Hình lập phương – Hình hộp 51

Vấn đề KHOẢNG CÁCH 57

Dạng Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng, mặt phẳng 58

Dạng Khoảng cách hai đường thẳng chéo 61

BÀI TẬP TỔNG HỢP CHỦ ĐỀ 69

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM TỔNG HỢP CHỦ ĐỀ 3 75

Tài liệu tham khảo 84

ĐÁP ÁN TRẮC NGHIỆM 85

PHỤ LỤC 86