File - 108938

vào giҧi bài toán xác ÿӏnh CTTQ cӫa mӝt sӕ dҥng dãy sӕ có dҥng truy hӗi ÿһc biӋt. 2) Hӑc sinh giӓi có thӇ vұn dөng các kӃt quҧ trong chuyên ÿӅ ÿӇ tham khҧo phөc vө trong nhӳng kì thi hӑc[r]

MӜT SӔ PHѬѪNG PHÁP XÁC ĈӎNH CÔNG THӬC TӘNG QUÁT CӪA DÃY SӔ

I SӰ DӨNG CSC – CSN Ĉӆ XÂY DӴNG CÁCH TÌM CTTQ CӪA MӜT SӔ DҤNG DÃY SӔ CĨ CƠNG THӬC TRUY HӖI ĈҺC BIӊT.

Trong mөc xây dӵng phѭѫng pháp xác ÿӏnh CTTQ cӫa mӝt sӕ dҥng dãy

sӕ có cơng thӭc truy hӗi dҥng ÿһc biӋt Phѭѫng pháp ÿѭӧc xây dӵng dӵa

các kӃt quҧ ÿã biӃt vӅ CSN – CSC , kӃt hӧp vӟi phѭѫng pháp chӑn thích hӧp Trѭӟc hӃt

chúng ta nhҳc lҥi mӝt sӕ kӃt quҧ ÿã biӃt vӅ CSN – CSC

1 Sӕ hҥng tәng quát cӫa cҩp sӕ cӝng cҩp sӕ nhân

1.1: Sӕ hҥng tәng quát cӫa cҩp sӕ cӝng

Ĉ͓nh nghƭa: Dãy sӕ  U có tính chҩt N UN =UN− +D ∀ ≥ , D sӕ thӵc không ÿәiN 

gӑi cҩp sӕ cӝng

D : gӑi công sai cӫa CSC; U : gӑi sӕ hҥng ÿҫu,  U gӑi sӕ hҥng tәng quát cӫa cҩp sӕN Ĉ͓nh lí 1: Cho CSC  U Ta có : N UN = U +N − D (1)

Ĉ͓nh lí 2: Gӑi 3N tәng n sӕ hҥng ÿҫu cӫa CSC U có cơng sai d Ta có: N



3 ;   =



N

N

U N D

= + − (2)

1 2: Sӕ hҥng tәng quát cӫa cҩp sӕ nhân

Ĉ͓nh nghƭa: Dãy sӕ  U có tính chҩt N UN+ =Q U ÅÅÅN ∀ ∈ ` gӑi cҩp sӕ nhân côngN bӝi Q

Ĉ͓nh lí 3: Cho CSN  U có cơng bӝi Q Ta có: N UN = U Q N− (3)

Ĉ͓nh lí 4: Gӑi 3N tәng n sӕ hҥng ÿҫu cӫa CSN U có cơng bӝi Q Ta có: N



 

N N

Q

3 U

Q

2 Áp dөng CSC – CSN ÿӇ xác ÿӏnh CTTQ cӫa mӝt sӕ dҥng dãy sӕ ÿһc biӋt

Ví dͭ 1.1: Xác ÿӏnh sӕ hҥng tәng quát cӫa dãy sӕ UN ÿѭӧc xác ÿӏnh bӣi:

  Å N N  ÅÅÅÅÅÅÅ 

U = U = U − − ∀ ≥ N

Giҧi:

Ta thҩy dãy U mӝt CSC có cơng sai N D = − Áp dөng kӃt quҧ (1) ta có: 

    

N

U = − N − = − N +

Ví dͭ 1.2: Xác ÿӏnh sӕ hҥng tәng quát cӫa dãy sӕ UN ÿѭӧc xác ÿӏnh bӣi:

  Å N  N ÅÅÅÅÅÅÅ 

U = U = U − ∀ ≥ N

Giҧi:

Ta thҩy dãy U mӝt CSN có cơng bӝi N Q = Ta có: UN = N− Ví dͭ 1.3: Xác ÿӏnh sӕ hҥng tәng quát cӫa dãy UN ÿѭӧc xác ÿӏnh bӣi:

  ÅÅ N  N  ÅÅÅÅÅÅÅ 

U = − U = U − − ∀ ≥ N

Giҧi:

Trong tốn gһp khó khăn dãy U không phҧi CSC hay CSN! Ta N thҩy dãy U khơng phҧi CSN xuҩt hiӋn hҵng sӕ N − ӣ VT Ta tìm cách làm mҩt



− ÿi chuyӇn dãy sӕ vӅ CSN

Ta có:   

 

− = − + nên ta viӃt công thӭc truy hӗi cӫa dãy nhѭ sau:

 

  

 

  

N N N

U − = U − − = U − − (1)

Ĉһt   

 

N N

V =U − Ÿ V = − VN = VN−ÅÅ∀ ≥ Dãy  N  V CSN công bӝi N Q = 

 





 



N N

N

V V Q − −

Ÿ = = − Vұy   

  

N N N

U = V + = − + ∀ =N    

Nh̵n xét: Mүu chӕt ӣ cách làm ta phân tích   

 

− = − + ÿӇ chuyӇn công thӭc

truy hӗi cӫa dãy vӅ (1), tӯ ÿó ta ÿһt dãy phө ÿӇ chuyӇn vӅ dãy V mӝt CSN Tuy N nhiên viӋc làm có vҿ khơng tӵ nhiên lҳm! Làm thӃ ta biӃt phân tích

 



 

Ta phân tích    

K K K

− = − Ÿ =

Vӟi cách làm ta xác ÿӏnh ÿѭӧc CTTQ cӫa dãy  



 

ÅÅÅ 

N

N N

U X

U

U AU − B N

­ =

°

® = + ∀ ≥

°¯

Thұt vұy:

* NӃu A = dãy   U CSC có cơng sai DN = nên B UN =U +N − B

* NӃu A ≠ , ta viӃt 

 

AB B

B

A A

= −

− − Khi ÿó cơng thӭc truy hӗi cӫa dãy ÿѭӧc viӃt nhѭ

sau:  

 

N N

B B

U A U

A − A

+ = +

− − , tӯ ÿây ta có ÿѭӧc:

 



 

N N

B B

U U A

A A

−

+ = +

− −

Hay

 



 

N N

N

A

U U A B

A

−

− −

= +

−

Vұy ta có kӃt quҧ sau:

Dҥng 1: Dãy sӕ  UN U = X ÅUN =AUN− + ∀ ≥ ( BÅ N  A B ≠ hҵng sӕ) có CTTQ là:



 



  ÅÅÅÅÅKHIÅÅÅÅ  ÅÅÅ 

 ÅÅKHIÅA 



N N N

U N B A

U A

U A B

A

− −

­ + − =

°

= ® −

+ ≠

°

¯ −

Ví dͭ 1.4: Xác ÿӏnh CTTQ cӫa dãy U ÿѭӧc xác ÿӏnh : N U =  ÅUN = UN− +N − 

Giҧi: ĈӇ tìm CTTQ cӫa dãy sӕ ta tìm cách làm mҩt N − ÿӇ chuyӇn vӅ dãy sӕ mӝt  CSN Muӕn làm vұy ta viӃt :

N − =  N +  êơ N + º¼ (2). Khi ÿó cơng thӭc truy hӗi cӫa dãy ÿѭӧc viӃt nhѭ sau:

     

N N

U + N + = êơU + N + ẳ

t VN =UN + N + , ta có:  V = VN = VN−Å∀ ≥ ŸN  VN = VN− = N−

Vұy CTTQ cӫa dãy UN UN =VN −N − = N −N −ÅÅ∀ =N   

N

N N N

U U

U

U U − U − N

­ = =

°

® − + = ∀ =

°¯

Giҧi:

Phѭѫng trình ÿһc trѭng X −X + = có nghiӋm kép   X = nên  UN =KN L+ N−

Vì U =U = nên ta có hӋ:     

L

K L

K L

­ = °

⇔ = =

® + =

°¯

Vұy UN =N +  N−

Ví dͭ 1.12: Cho dãy   

 

 

 

     ÅÅÅ 

N

N N N

U U

U

U U − U − N N N

­ = − =

° ®

− + = + + ∀ ≥

°¯ Xác ÿӏnh

  

KN LN T  ªK N  L N  Tº  ªK N  L N  Tº

= + + ơ + + ẳ + ơ − + − + ¼ (5)

Ӣ (5) cho N = N =N = ta có hӋ: 

    

    

   

K L T K

K L T L

K L T T

­ − + = ­ =

° °

− + = ⇔ =

® ®

°− − + = ° =

¯ ¯

Ĉһt VN =UN −N −N − ŸV = −V = −  VN −VN− +VN− = 

N N

N

V α β

Ÿ = + Ta có hӋ:  

   

α β α

α β β

­ + = − ­ =

° °

⇔

® + = − ® = −

° °

¯ ¯



N N N N  

N N

V U N N

Ÿ = − Ÿ = − + + +

Chú ý : ĈӇ xác ÿӏnh CTTQ cӫa dãy sӕ:  

 

  

   ÅÅ 

N

N N N

U U U

U + A U B U − F N N

­°

® + + = ∀ ≥

°¯ ,

( ÿó  F N ÿa thӭc bұc K theo N A − B ≥ ) ta làm nhѭ sau:  Å

• Ta phân tích  F N = G N +AG N − + BG N − (6) rӗi ta ÿһt  VN = UN −G N

Ta có ÿѭӧc dãy sӕ    

 

  

 

Å 

N

N N N

V U G V U G

V

V AV − BV − N

­ = − = −

°

® + + = ∀ ≥

°¯ Ĉây dãy sӕ mà ta ÿã xét

trong dҥng Do ÿó ta sӁ xác ÿӏnh ÿѭӧc CTTQ cӫa VN Ÿ UN Å

• Vҩn ÿӅ lҥi ta xác ÿӏnh  G N nhѭ thӃ ÿӇ có (6) ?

Vì  F N ÿa thӭc bұc K nên ta phҧi chӑn  G N cho  G N +AG N − + BG N − là mӝt ÿa thӭc bұc K theo N Khi ÿó ta chӍ cҫn thay K + giá trӏ bҩt kì cӫa N vào (6) ta sӁ xác ÿӏnh ÿѭӧc  G N

Giҧ sӱ G N =A NM M +AM−NM− + + A N A +  AM ≠ ) ÿa thӭc bұc M Khi ÿó hӋ sӕ cӫa X M XM− VP là: AM+ + vA B ơê +A  B M AM + + + A B A M−º¼ Do ÿó :

I NӃu PT: X +AX + = (1) có nghiӋm hai nghiӋm phân biӋt khác  B  + + ≠ nên VP(6) mӝt ÿa thӭc bұc M A B 

II NӃu PT (1) có hai nghiӋm phân biӋt ÿó có mӝt nghiӋm X =  Ÿ + + = A B  − +A  B M AM + + + A B A M− = − +A   B M AM ≠ nên VP(6) mӝt ÿa thӭc bұc



M −

III NӃu PT (1) có nghiӋm kép X = Ÿ = −A B = nên VP(6) mӝt ÿa thӭc bұc  

M −

™ ™™

™ NӃu (1) có hai nghiӋm phân biӋt,  G N mӝt ÿa thӭc bұc vӟi  F N

™ ™™

™ NӃu (1) có hai nghiӋm phân biӋt, ÿó mӝt nghiӋm bҵng  ta chӑn   

G N = N H N ÿó  H N ÿa thӭc bұc vӟi  F N

™ ™™

™ NӃu (1) có nghiӋm kép X = ta chӑn  G N = N H N  ÿó  H N ÿa thӭc bұc vӟi  F N

Dҥng 6: ĈӇ tìm CTTQ cӫa dãy  

 

  

   ÅÅ 

N

N N N

U U U

U A U − B U − F N N

­°

® + + = ∀ ≥

°¯ ,

( ÿó  F N ÿa thӭc theo N bұc K B − AC ≥ ) ta làm nhѭ sau:  Xét  G N mӝt ÿa thӭc bұc K : G N =A NK K + + A K A + 

Å

• NӃu phѭѫng trình : X +AX B+ = Å có hai nghiӋm phân biӋt, ta phân tích

     

F N = G N +AG N − +BG N − rӗi ÿһt VN =UN −G N Å

• NӃu (1) có hai nghiӋm phân biӋt ÿó mӝt nghiӋm X = , ta phân tích

          

F N = N G N +A N − G N − +B N − G N − rӗi ÿһt VN = UN −N G N  Å

• NӃu (1) có nghiӋm kép X = , ta phân tích

  

            

F N = N G N +A N − G N − +B N − G N − rӗi ÿһt VN = UN −N G N 

Ví dͭ 1.13: Xác ÿӏnh CTTQ cӫa dãy  

 

 

 

   Å 

N

N N N

U U

U

U U − U − N N

­ = =

°

® − + = + ∀ ≥

°¯

Giҧi:

Vì phѭѫng trình X −X + = có hai nghiӋm   X =X = nên ta phân tích 

N + = N KN L + N  ơêK N + + Lẳ N  ơêK N + Lẳ , cho N = N = ta

có hӋ:    

 

K L

K L

K L

­ − =

°

⇔ = − = −

® − =

°¯

Ĉһt VN =UN +N N +  Ÿ V =V =  VN − VN− +VN− = 

N N

N

V α β

Ÿ = + vӟi    

 

α β

α β ­ + =°® α β+ = ⇔α = β = − °¯

 

N  N  ÅÅ    

N N

V U + N N N

Ví dͭ 1.14: Tìm CTTQ cӫa dãy sӕ  

 

 

 

   ÅÅN 

N

N N N

U U

U

U U − U − N

­ = − =

° ®

− + = ∀ ≥

°¯

Giҧi: Ta phân tích N =AN −  A N− +  A N− Cho N = ta có:   = A − A + A ⇔ = −A 

Ĉһt VN =UN +N Ÿ V =V =  VN − VN− + VN− = 

Vì phѭѫng trình X −X + = có hai nghiӋm   X =  X = nên  VN =αN + βN

Vӟi      

 

N N

V

α β

α β ®­ + =° α β+ = ⇔α = β = Ÿ = +

°¯

Vұy UN = N+ −N+ +ÅÅ∀ =N   

Chú ý : Vӟi ý tѭӣng cách giҧi trên, ta tìm CTTQ cӫa dãy sӕ UN ÿѭӧc xác ÿӏnh bӣi:

 

 



   NÅÅ 

N N N

U U

U A U − B U − Cα N

­° ®

+ + = ∀ ≥

°¯ (vӟi

  

A − B ≥ ) nhѭ sau:

Ta phân tích αN =KαN +A K αN− +B K αN− (7) Cho N = (7) trӣ thành:  Kα +Aα +B =α

Tӯ ÿây, ta tìm ÿѭӧc

 

K

A B

α

α α

=

+ + α khơng nghiӋm cӫa phѭѫng trình :

 

X +AX + = (8) B

Khi ÿó, ta ÿһt VN =UN −KCαN, ta có dãy    

 

  

 ÅÅ 

N

N N N

V U KC V U KC

V

V A V BV N

α

− −

­ = − = −

°

® + + = ∀ ≥

°¯

   

 N  ÅÅ N

N

V P X Q X X X

Ÿ = + hai nghiӋm cӫa (8))

 

 N  N  N

N

U P X Q X KCα

Ÿ = + +

Vұy nӃu X = mӝt nghiӋm cӫa (8), tӭc là: α α +Aα + = ta sӁ xӱ lí thӃ ? B  Nhìn lҥi cách giҧi ӣ dҥng 3, ta phân tích :

 

     

N KN N A K N N BK N N

α = α + − α − + − α − (9)

Cho N = ta có:     ÅÅ

 

A

K A K A K

A

α

α α α α α α

α

+ = ⇔ + = ⇔ = ≠ −

+



Cuӕi ta xét trѭӡng hӧp



A

X =α = − nghiӋm kép cӫa (8) Vӟi tѭ tѭӣng nhѭ trên,

ta sӁ phân tích: αN =KNαN +A K N  − αN− +BK N − αN− (10)

Cho N = ta có:        

 

K AK K

A

α

α α α

α

⇔ = + Ÿ = =

+

Khi ÿó:      



N N N

N

U P X Q X CN α

Ÿ = + +

Vұy ta có kӃt quҧ sau:

Dҥng 7: Cho dãy sӕ U xác ÿӏnh bӣi: N  

 



   NÅ 

N N N

U U

U A U − B U − Cα N

­° ®

+ + = ∀ ≥

°¯

ĈӇ xác ÿӏnh CTTQ cӫa dãy  U ta làm nhѭ sau: N

Xét phѭѫng trình : X +AX B+ = Å Å

• NӃu phѭѫng trình (11) có hai nghiӋm phân biӋt khác α

 

 N  N  N

N

U = P X +Q X +KCα vӟi

 

K

A B

α

α α

=

+ +

Å

• NӃu phѭѫng trình (11) có nghiӋm ÿѫn X = thìα

 

 N  N  N

N

U = P X +Q X +KCNα vӟi 

K

A

α α

=

+ Å

• NӃu X = nghiӋm kép cӫa (11) : α     

N N

U = P QN+ + CN α

Ví dͭ 1.15: Xác ÿӏnh CTTQ cӫa dãy  

 

 

 

   ÅN 

N

N N N

U U

U

U U − U − N

­ = − =

° ®

− + = ∀ ≥

°¯

Giҧi:

Phѭѫng trình X −X + = có hai nghiӋm   X = X = , ÿó  N N  N

N

Vӟi





  

   

   

K

A

P Q K P Q

P Q K

α α

­

= = = −

° + −

°

+ = − ⇔ = − = − =

®

° + + =

° ¯

Vұy UN = −N +N − N N = N −N+N + ∀ =N   

Ví dͭ 1.16: Tìm CTTQ cӫa dãy

− −

­ = =

° ®

− + =

°¯

 

 

 

 

  N

N

N N N

U U

U

U U U

Giҧi:

Phѭѫng trình X −X + = có nghiӋm kép   X = nên      

N N

U = P QN+ + N

Dӵa vào U U ta có hӋ:      

P

P Q

P Q

­ = °

⇔ = = −

® + =

°¯

Vұy UN =N −N + N−Å∀ =N   

Vӟi cách xây dӵng tѭѫng tӵ ta cNJng có ÿѭӧc kӃt quҧ sau:

Dҥng 8: Cho dãy (un) :   

  

...

 

Ta phân tích    

K K K

− = − Ÿ =

Vӟi... 

N − = AN B+  ơêA N +... +

( ÿó G N =AN +BN)

Cho N = N = ta có hӋ: