Đang tải... (xem toàn văn)
2. Việc chú ý đến các góc nội tiếp chắn nửa đường tròn kết hợp với tam giác AEB, FAB vuông do Ax là tiếp tuyến gợi ý ngay đến hệ thức lượng trong tam giác vuông quen thuộc. Tuy nhiên vẫn[r]
(1)x
Hình 01 O
K H
M E
D C
B A
CÁC BÀI TỐN HÌNH ƠN THI VÀO LỚP 10
(Dành tặng cho em học sinh lớp chuẩn bị ôn thi vào lớp 10 không chuyên)
Bài Cho hình thang cân ABCD (AB > CD, AB // CD) nội tiếp đường
tròn (O) Kẻ tiếp tuyến với đường tròn (O) A D chúng cắt E Gọi M giao điểm hai đường chéo AC BD
1 Chứng minh tứ giác AEDM nội tiếp đường tròn Chứng minh AB // EM
3 Đường thẳng EM cắt cạnh bên AD BC hình thang H K Chứng minh M trung điểm HK
4 Chứng minh 1
HK AB CD
BÀI GIẢI CHI TIẾT(hình 01)
1 Chứng minh tứ giác AEDM nội tiếp
Ta có :
2
EAC sđ AC (góc tạo tia tiếp tuyến AE
và dây AC đường tròn (O)) Tương tự:
2
xDB sđ DB (Dx tia đối tia tiếp tuyến DE)
Mà AC = BD (do ABCD hình thang cân) nên AC BD Do đó EAC xDB .
Vậy tứ giác AEDM nội tiếp đường tròn Chứng minh AB // EM
Tứ giác AEDM nội tiếp nên EAD EMD (cùng chắn cung ED) Mà
EAD ABD (góc tạo tia tiếp tuyến dây cung với góc nội tiếp chắn cung
AD)
Suy ra: EMD ABD Do EM // AB.
3 Chứng minh M trung điểm HK
DAB
có HM // AB HM DH
AB DA
CAB có MK // AB MK CK
AB CB
Mà
DH CK
DA CB (định lí Ta let cho hình thang ABCD) Nên
HM MK
AB AB Do MH =
MK Vậy M trung điểm HK
4 Chứng minh 1
HK AB CD
Áp dụng hệ định lí Ta let cho tam giác ADB có HM // AB ta được:
HM DM
AB DB (1) Áp dụng hệ định lí Ta let cho tam giác BCD có KM //
CD ta được: KM BM
(2)// =
O M
H K D
C
B A
1
HM KM DM BM DM BM BD
AB CD DB BD BD BD
Suy ra: 2HM 2KM
AB CD , mà MH = MK
nên 2HM = 2KM = HK Do đó: HK HK
AB CD Suy ra:
2 1
HK AB CD (đpcm)
Lời bàn:
1 Do AC = BD ADC BCD nên để chứng minh tứ giác AEDM nội tiếp ta
sử dụng phương pháp: Nếu tứ giác có góc ngồi đỉnh góc đối đỉnh đỉnh tứ giác nội tiếp Với cách suy nghĩ cần vẽ tia Dx tia đối tia tiếp tuyến DE tốn giải dễ dàng Có thể chứng minh tứ giác AEDM nội tiếp cách chứng minh khác không? (phần dành cho em suy nghĩ nhé)
2 Câu có cịn cách chứng minh khác khơng? Có Thử chứng minh tam giác AHM tam giác BKM từ suy đpcm
3 Câu toán quen thuộc lớp phải khơng em? Do học toán em cần ý tập quen thuộc Tuy câu cách giải Em thử nghĩ xem?
Bài Cho nửa đường trịn (O) đường kính AB= 2R, dây cung AC Gọi M là
điểm cung AC Đường thẳng kẻ từ C song song với BM cắt tia AM K cắt tia OM D OD cắt AC H
1 Chứng minh tứ giác CKMH nội tiếp Chứng minh CD = MB DM = CB
3 Xác định vị trí điểm C nửa đường trịn (O) để AD tiếp tuyến nửa đường tròn
4 Trong trường hợp AD tiếp tuyến cửa nửa đường tròn (O), tính diện tích phần tam giác ADC ngồi đường tròn (O) theo R
BÀI GIẢI CHI TIẾT
1 Chứng minh tứ giác CKMH nội tiếp
900
AMB (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn đường kính AB) AM MB
Mà CD // BM (gt) nên AM CD Vậy MKC 900
AM CM (gt) OM AC MHC900
Tứ giác CKMH có MKC MHC 1800nên nội tiếp đường tròn
2 Chứng minh CD = MB DM = CB
Ta có: ACB 900(góc nội tiếp chắn nửa đường trịn) Hình 2 Do đó: DM // CB, mà CD // MB(gt) nên tứ giác CDMB hình bình hành Suy ra: CD = MB DM = CB
3 Xác định vị trí điểm C nửa đường tròn (O) để AD tiếp tuyến nửa đường tròn
(3)Vậy AD AB CM // AB AM BC
Mà AM MC nên AM BC AM MC BC = 600.
4 Tính diện tích phần tam giác ADC (O) theo R: Gọi S diện tích phần tam giác ADC ngồi
đường trịn (O) S1là diện tích tứ giác AOCD
S2là diện tích hình quạt góc tâm AOC
Ta có: S = S1– S2 hình
Tính S1:
AD tiếp tuyến đường trịn (O) AM MC BC 600AOD600 Do đó: AD = AO tg 600= R 3 SADO = . 1 3.
2 2
R
AD AO R R
AOD COD
(c.g.c) SAOD = SCOD SAOCD = SADO =
2 3
2
R = R2 3
Tính S2: AC 1200 Squạt AOC =
2
0
.120 360
R
=
3
R
.
Tính S: S = S1 – S2= R2 –
2
3
R
= 3 3
3
R R = 2
3 3
R (đvdt)
Lời bàn:
1 Rõ ràng câu 1, hình vẽ gợi ý cho ta cách chứng minh góc H K góc vng, để có góc K vng ta cần MB AM CD//
MB Điều suy từ hệ góc nội tiếp giả thiết CD // MB Góc H vng suy từ kết số 14 trang 72 SGK toán tập Các em lưu ý tập vận dụng vào việc giải tập khác
2 Không cần phải bàn, kết luận gợi liền cách chứng minh phải không em? Rõ ràng câu hỏi khó số em, kể hiểu giải , có nhiều em may mắn vẽ ngẫu nhiên lại rơi vào hình từ nghĩ vị trí điểm C nửa đường trịn Khi gặp loại tốn địi hỏi phải tư cao Thơng thường nghĩ có kết tốn xảy điều ? Kết hợp với giả thiết kết từ câu ta tìm lời giải toán Với tập phát M trực tâm tam giác khơng phải khó, nhiên cần kết hợp với tập 13 trang 72 sách Toán 9T2và giả thiết M điểm cung AC ta tìm vị trí C
Với cách trình bày mệnh đề “khi khi” kết hợp với suy luận cho ta lời giải chặt chẽ Em viết lời giải cách khác cách đưa nhận định trước chứng minh với nhận định có kết , nhiên phải trình bày phần đảo: Điểm C nằm nửa đường trịn mà BC 600thì AD tiếp tuyến Chứng minh nhận định xong ta lại trình bày phần đảo: AD tiếp tuyến
600
(4)4 Phát diện tích phần tam giác ADC ngồi đường trịn (O) hiệu diện tích tứ giác AOCD diện tích hình quạt AOC tốn dễ tính so với cách tính tam giác ADC trừ cho diện tích viên phân cung AC
Bài Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB = a Gọi Ax, By tia
vng góc với AB ( Ax, By thuộc nửa mặt phẳng bờ AB) Qua điểm M thuộc nửa đường tròn (O) (M khác A B) kẻ tiếp tuyến với nửa đường trịn (O); cắt Ax, By E F
1 Chứng minh: EOF 90
2 Chứng minh tứ giác AEMO nội tiếp; hai tam giác MAB OEF đồng dạng Gọi K giao điểm AF BE, chứng minh MK AB
4 Khi MB = 3.MA, tính diện tích tam giác KAB theo a
BÀI GIẢI CHI TIẾT
1 Chứng minh: EOF 90
EA, EM hai tiếp tuyến đường tròn (O) cắt E nên OE phân giác AOM .
Tương tự: OF phân giác BOM.
Mà AOM và BOM kề bù nên: EOF 900(đpcm) hình 4
2 Chứng minh: Tứ giác AEMO nội tiếp; hai tam giác MAB OEF đồng dạng
Ta có: EAO EMO 900(tính chất tiếp tuyến)
Tứ giác AEMO có EAO EMO 1800nên nội tiếp đường tròn
Tam giác AMB tam giác EOF có: AMB EOF 90 , MAB MEO (cùng chắn cung MO đường tròn ngoại tiếp tứ giác AEMO Vậy Tam giác AMB tam giác EOF đồng dạng (g.g)
3 Gọi K giao điểm AF BE, chứng minh MK AB
Tam giác AEK có AE // FB nên: AK AE
KF BF Mà : AE = ME BF = MF
(t/chất hai tiếp tuyến cắt nhau) Nên AK ME
KF MF Do MK // AE (định lí đảo
định lí Ta- let) Lại có: AE AB (gt) nên MK AB
4 Khi MB = 3.MA, tính diện tích tam giác KAB theo a.
Gọi N giao điểm MK AB, suy MN AB FEA có MK//AE nên MK FK
AE FA (1) BEA có NK//AE nên
NK BK
AE BE (2)
Mà FK BK
KA KE (do BF // AE) nên
FK BK
KA FK BK KE hay
FK BK
FA BE (3)
Từ (1), (2) (3) suy MK KN
(5)x
H Q
I N
M
O C
B A
K x
H Q
I N
M
O C
B A
Tam giác AKB tam giác AMB có chung đáy AB nên:
2 AKB
AMB
S KN
S MN
Do
2 AKB AMB
S S
Tam giác AMB vuông M nên tg A = MB
MA
0
60
MAB
Vậy AM =
2
a và MB =
2
a 1 .
2 2
AKB a a
S
= 3
16a (đvdt)
Lời bàn:
(Đây đề thi tuyển sinh vào lớp 10 năm học 2009-2010 tỉnh Hà Nam)
Từ câu đến câu q trình ơn thi vào lớp 10 chắn thầy ơn tập, em ôn thi nghiêm túc chắn giải ngay, khỏi phải bàn, em thi năm qua tỉnh Hà Nam xem trúng tủ Bài tốn có nhiều câu khó, câu khó mà người đề khai thác từ câu: MK cắt AB N Chứng minh: K trung điểm MN
Nếu ý MK đường thẳng chứa đường cao tam giác AMB câu tam giác AKB AMB có chung đáy AB em nghĩ đến định lí: Nếu hai tam giác có chung đáy tỉ số diện tích hai tam giác tỉ số hai đường cao tương ứng, tốn qui tính diện tích tam giác AMB khơng phải khó phải khơng em?
Bài Cho nửa đường trịn tâm O đường kính AB Từ điểm M tiếp tuyến
Ax nửa đường tròn vẽ tiếp tuyến thứ hai MC (C tiếp điểm) Hạ CH vng góc với AB, đường thẳng MB cắt nửa đường tròn (O) Q cắt CH N Gọi giao điểm MO AC I Chứng minh rằng:
a) Tứ giác AMQI nội tiếp b) AQI ACO c) CN = NH.
(Trích đề thi tuyển sinh vào lớp 10 năm học 2009-2010 sở GD&ĐT Tỉnh Bắc Ninh)
BÀI GIẢI CHI TIẾT
a) Chứng minh tứ giác AMQI nội tiếp:
Ta có: MA = MC (tính chất hai tếp tuyến cắt nhau) OA = OC (bán kính đường trịn (O))
Do đó: MO AC MIA900
900
AQB (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O))
900
MQA
Hai đỉnh I Q nhìn AM Hình
một góc vng nên tứ giác AMQI nội tiếp đường tròn
b) Chứng minh: AQI ACO .
Tứ giác AMQI nội tiếp nên AQI AMI Hình 6
(6)//
=
x F
E
O
D C
B A
AOC
có OA = OC nên cân O CAO ACO (3) Từ (1), (2) (3) suy
AQI ACO
c) Chứng minh CN = NH
Gọi K giao điểm BC tia Ax Ta có: ACB 900(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn(O)) AC BK , AC OM OM // BK Tam giác ABK có: OA =
OB, OM // BK MA = MK
Áp dụng hệ định lí Ta let cho ABM có NH // AM (cùng AB) ta được:
NH BN
AM BM (4) Áp dụng hệ định lí Ta let cho BKM có CN // KM
(cùng AB) ta được: CN BN
KM BM (5) Từ (4) (5) suy ra:
NH CN
AM KM Mà KM =
AM nên CN = NH (đpcm)
Lời bàn
1 Câu hình vẽ gợi cho ta suy nghĩ: Cần chứng minh hai đỉnh Q I nhìn AM góc vng Góc AQM vng có kề bù với ACB vng, góc MIA vng suy từ tính chất hai tiếp tuyến cắt
2 Câu suy từ câu 1, dễ dàng thấy AQI AMI , ACO CAO , vấn
đề lại cần IMA CAO, điều khơng khó phải khơng em?
3 Do CH // MA , mà đề toán yêu cầu chứng minh CN = NH ta nghĩ việc kéo dài BC cắt Ax K toán trở toán quen thuộc: Cho tam giác ABC, M trung điểm BC Kẻ đường thẳng d // BC cắt AB, AC AM E, D I Chứng minh IE = ID Nhớ tốn có liên quan đến phần thi ta qui tốn giải đề thi cách dễ dàng
Bài Cho đường trịn tâm O đường kính AB có bán kính R, tiếp tuyến Ax.
Trên tiếp tuyến Ax lấy điểm F cho BF cắt đường tròn C, tia phân giác góc ABF cắt Ax E cắt đường tròn D
a) Chứng minh OD // BC
b) Chứng minh hệ thức: BD.BE = BC.BF c) Chứng minh tứ giác CDEF nội tiếp
d) Xác định số đo góc ABC để tứ giác AOCD hình thoi Tính diện tích hình thoi AOCD theo R
BÀI GIẢI CHI TIẾT
a) Chứng minh OD // BC Hình
BOD
cân O (vì OD = OB = R) OBD ODB
Mà OBD CBD (gt) nên ODB CBD Do đó: OD // BC.
b) Chứng minh hệ thức: BD.BE = BC.BF
900
ADB (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O) AD BE
900
ACB (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn (O) AC BF
EAB
(7)
CDB CAB CAB CFA
AB2 = BD.BE (1).
FAB
vuông A (do Ax tiếp tuyến), có AC BF nên AB2= BC.BF (2)
Từ (1) (2) suy ra: BD.BE = BC.BF c) Chứng minh tứ giác CDEF nội tiếp: Ta có:
(hai góc nội tiếp chắn cung BC)
( phụ FAC) CDB CFA
Do tứ giác CDEF nội tiếp
Cách khác
DBC FBE có: B chung BD BC
BF BE (suy từ BD.BE = BC.BF) nên
chúng đồng dạng (c.g.c) Suy ra: CDB EFB Vậy tứ giác CDEF tứ giác nội tiếp.
d) Xác định số đo góc ABC để tứ giác AOCD hình thoi: Ta có: ABD CBD (do BD phân giác ABC) AD CD .
Tứ giác AOCD hình thoi OA = AD = DC = OC
AD = DC = R AD DC 600 AC1200 ABC600
Vậy ABC 600thì tứ giác AOCD hình thoi
Tính diện tích hình thoi AOCD theo R:
1200 3
AC AC R
Sthoi AOCD=
2
1 . 1 3
2 2
R
OD AC R R (đvdt) Hình
Lời bàn
1 Với câu 1, từ gt BD phân giác góc ABC kết hợp với tam giác cân ta nghĩ đến cần chứng minh hai góc so le ODBvà OBD bằng nhau.
2 Việc ý đến góc nội tiếp chắn nửa đường trịn kết hợp với tam giác AEB, FAB vuông Ax tiếp tuyến gợi ý đến hệ thức lượng tam giác vng quen thuộc Tuy nhiên chứng minh hai tam giác BDC BFE đồng dạng trước suy BD.BE = BC.BF Với cách thực có ưu việc giải ln câu Các em thử thực xem sao?
3 Khi giải câu câu sử dụng câu , chứng minh giải
4 Câu với đề yêu cầu xác định số đo góc ABC để tứ giác AOCD trở thành hình thoi khơng phải khó Từ việc suy luận AD = CD = R nghĩ đến cung AC 1200 từ suy số đo góc ABC 600 Tính diện tích hình thoi
chỉ cần nhớ công thức, nhớ kiến thức đặc biệt mà q trình ơn tập thầy cô giáo bổ sung AC1200AC R 3, em tính dễ dàng
Bài Cho tam giác ABC có ba góc nhọn Đường trịn đường kính BC cắt
(8)H
N
F E
C B
A
a) Chứng minh tứ giác HFCN nội tiếp b) Chứng minh FB phân giác EFN.
c) Giả sử AH = BC Tính số đo góc BAC của ABC.
BÀI GIẢI CHI TIẾT
a) Chứng minh tứ giác HFCN nội tiếp: Ta có : BFC BEC 900
(góc nội tiếp chắn nửa đường trịn đường kính BC)
Tứ giác HFCN có HFC HNC 1800nên nội tiếp đường trịn đường kính HC) (đpcm)
b) Chứng minh FB tia phân giác góc EFN:
Ta có EFB ECB (hai góc nội tiếp chắn BE của đường trịn đường kính
BC)
ECB BFN (hai góc nội tiếp chắn HN đường trịn đường kính HC)
Suy ra: EFB BFN Vậy FB tia phân giác góc EFN (đpcm)
c) Giả sử AH = BC Tính số đo góc BAC tam giác ABC:
FAH FBC có: AFH BFC900, AH = BC (gt), FAH FBC (cùng phụ
ACB) Vậy FAH = FBC (cạnh huyền- góc nhọn) Suy ra: FA = FB AFB vuông F; FA = FB nên vuông cân Do BAC 450
Bài (Các em tự giải)
Cho tam giác ABC nhọn, đường cao BD CE cát H a) Chứng minh tứ giác BCDE nội tiếp
b) Chứng minh AD AC = AE AB
c) Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Chứng minh OA DE
d) Cho biết OA = R , BAC 600 Tính BH BD + CH CE theo R
Bài Cho đường trịn (O) đường kính AB Trên tia AB lấy điểm D nằm ngoài
đoạn AB kẻ tiếp tuyến DC với đường tròn (O) (C tiếp điểm) Gọi E chân đường vng góc hạ từ A xuống đường thẳng CD F chân đường vng góc hạ từ D xuống đường thẳng AC
Chứng minh:
a) Tứ giác EFDA nội tiếp b) AF phân giác EAD.
c) Tam giác EFA tam giác BDC đồng dạng d) Các tam giác ACD ABF có diện tích
(9)O P K M
H
A
C
B
BÀI GIẢI
a) Chứng minh tứ giác EFDA nội tiếp:
Ta có: AED AFD 90 0(gt) Hai đỉnh E F nhìn AD góc 900 nên
tứ giác EFDA nội tiếp đường tròn b) Chứng minh AF phân giác góc EAD: Ta có:
//
AE CD
AE OC OC CD
Vậy EAC CAD ( so le trong)
Tam giác AOC cân O (vì OA = OC = R) nên CAO OCA Do đó:
EAC CAD Vậy AF phân giác góc EAD (đpcm)
c) Chứng minh tam giác EFA tam giác BDC đồng dạng:
EFA BDC có:
EFA CDB (hai góc nội tiếp chắn AE đường tròn ngoại tiếp tứ giác
EFDA)
EAC CAB
EAF BCD CAB DCB
Vậy EFA BDC đồng dạng (góc- góc)
d) Chứng minh tam giác ACD ABF có diện tích: SACD =
2DF AC SABF =
1 .AF 2BC (1)
BC // DF (cùng AF) nên
AF
BC AC
DF hay DF AC = BC.AF (2)
Từ (1) (2) suy : SACD = SABF (đpcm) (Lưu ý: giải cách khác
nữa)
Bài Cho tam giác ABC ( BAC 450 ) nội tiếp nửa đường trịn tâm O đường kính AB Dựng tiếp tuyến với đường tròn (O) C gọi H chân đường vng góc kẻ từ A đến tiếp tuyến AH cắt đường trịn (O) M (M A) Đường vng góc với AC kẻ từ M cắt AC K AB P
a) Chứng minh tứ giác MKCH nội tiếp b) Chứng minh MAP cân
c) Tìm điều kiện ABC để ba điểm M, K, O thẳng hàng
BÀI GIẢI
a) Chứng minh tứ giác MKCH nội tiếp: Ta có : MHC 900(gt), MKC 900(gt) Tứ giác MKCH có tổng hai góc đối
bằng 1800nên nội tiếp đường tròn.
b) Chứng minh tam giác MAP cân:
(10)/ / // //
H Q
P I
O N
M
C B
A
AOC cân O (vì OA = OC = R) nên ACO CAO Do đó: MAC CAO Vậy
AC phân giác MAB Tam giác MAP có AK đường cao (do AC MP),
đồng thời đường phân giác nên tam giác MAP cân A (đpcm)
Cách Tứ giác MKCH nội tiếp nên AMP HCK (cùng bù HMK). HCA CBA
(cùng
2sđAC), CBA MPA (hai góc đồng vị MP// CB)
Suy ra: AMP APM Vậy tam giác AMP cân A.
c) Tìm điều kiện cho tam giác ABC để ba điểm M; K; O thẳng hàng:
Ta có M; K; P thẳng hàng Do M; K; O thẳng hàng P O hay AP =
PM Kết hợp với câu b tam giác MAP cân A suy tam giác MAP Do CAB 300 Đảo lại: CAB 300ta chứng minh P O:
Khi CAB 300 MAB 600 (do AC phân giác MAB ) Tam giác MAO
cân O có MAO 600 nên MAO Do đó: AO = AM Mà AM = AP (do
MAP cân A) nên AO = AP Vậy P O
Trả lời: Tam giác ABC cho trước có CAB 300thì ba điểm M; K O thẳng hàng
Bài 10 Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Đường tròn tâm O
đường kính AH cắt cạnh AB, AC M N ( A M&N) Gọi I, P Q trung điểm đoạn thẳng OH, BH, CH Chứng minh:
a) AHN ACB
b) Tứ giác BMNC nội tiếp
c) Điểm I trực tâm tam giác APQ
BÀI GIẢI
a) Chứng minh AHN ACB :
900
ANH (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn (O))
Nên Tam giác ANH vng N AHC 900(do AH đường cao ABC) nên tam giác AHC vng H Do AHN ACB (cùng phụ HAC).
b) Chứng minh tứ giác BMNC nội tiếp:
Ta có : AMN AHN (hai góc nội tiếp chắn cung AN).
AHN ACB (câu a)
Vậy: AMN ACB Do tứ giác BMNC tứ giác nội tiếp.
c) Chứng minh I trực tâm tam giác APQ:
OA = OH QH = QC (gt) nên QO đường trung bình tam giác AHC Suy ra: OQ//AC, mà AC AB nên QO AB
Tam giác ABQ có AH BQ QO AB nên O trực tâm tam giác
Vậy BO AQ Mặt khác PI đường trung bình tam giác BHO nên PI // BO
Kết hợp với BO AQ ta PI AQ Tam giác APQ có AH PQ PI
(11)H
/ /
= =
P
O K I
N M
C
B
A
Bài 11 Cho đường trịn (O;R) đường kính AB.Gọi C điểm thuộc
đường trịn (C A&B) M, N điểm cung nhỏ AC BC Các đường thẳng BN AC cắt I, dây cung AN BC cắt P Chứng minh:
a) Tứ giác ICPN nội tiếp Xác định tâm K đường trịn ngoại tiếp tứ giác
b) KN tiếp tuyến đường tròn (O; R)
c) Chứng minh C di động đường trịn (O;R) đường thẳng MN ln tiếp xúc với đường tròn cố định
BÀI GIẢI
a) Chứng minh tứ giác ICPN nội tiếp Xác định tâm K đường trịn ngoại tiếp tứ giác đó:
Ta có ACB ANB 900(góc nội tiếp chắn nửa đường trịn (O)) Do đó: ICP INP 900
Tứ giác ICPN có ICP INP 1800nên nội tiếp đường tròn Tâm K đường tròn ngoại tiếp tứ giác ICPN trung điểm đoạn thẳng IP
b) Chứng minh KN tiếp tuyến đường trịn (O) Tam giác INP vng N, K trung điểm IP nên
1
KN KI IP Vậy tam giác IKN cân K Do KIN KNI (1)
Mặt khác NKP NCP (hai góc nội tiếp chắn cung PN đường tròn (K)) (2)
N trung điểm cung CB nên CN BN CN NB Vậy NCB cân N.
Do : NCB NBC (3) Từ (1), (2) (3) suy ra INK IBC , hai góc vị
trí đồng vị nên KN // BC
Mặt khác ON BC nên KN ON Vậy KN tiếp tuyến đường trịn (O)
Chú ý: * Có thể chứng minh KNI ONB 900KNO900 * chứng minh KNA ANO 900KNO900
c) Chứng minh C di động đường trịn (O) đường thẳng MN ln tiếp xúc với đường trịn cố định:
Ta có AM MC (gt) nên AOM MOC Vậy OM phân giác của AOC.
Tương tự ON phân giác COB, mà AOC và COB kề bù nên MON 900 Vậy tam giác MON vuông cân O
Kẻ OH MN, ta có OH = OM.sinM = R 2 =
2
R không đổi.
Vậy C di động đường trịn (O) đường thẳng MN ln tiếp xúc với đường trịn cố định (O;
2
(12)/ /
//
//
H O K
E D
C B
A
_ =
= /
/ O
K H
E D
C B
A
Bài 12 Từ điểm A ngồi đường trịn (O), kẻ hai tiếp tuyến AB, AC tới
đường tròn ( B, C tiếp điểm) Đường thẳng qua A cắt đường tròn (O) D E (D nằm A E , dây DE không qua tâm O) Gọi H trung điểm DE, AE cắt BC K
a) Chứng minh tứ giác ABOC nội tiếp đường tròn b) Chứng minh HA tia phân giác BHC
c) Chứng minh : 1
AK AD AE
BÀI GIẢI
a) Chứng minh tứ giác ABOC nội tiếp:
900
ABO ACO (tính chất tiếp tuyến)
Tứ giác ABOC có ABO ACO 1800nên nội tiếp đường tròn b) Chứng minh HA tia phân giác góc BHC:
AB = AC (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) Suy AB AC Do đó
AHB AHC Vậy HA tia phân giác góc BHC
c) Chứng minh 1
AK AD AE :
ABD AEB có:
BAE chung, ABD AEB (cùng
2sđ BD)
Suy : ABD ~ AEB
Do đó: AB AD AB2 AD AE.
AE AB (1)
ABK AHB có:
BAH chung, ABK AHB (do AB AC ) nên chúng đồng dạng
Suy ra: AK AB AB2 AK AH.
AB AH (2)
Từ (1) (2) suy ra: AE.AD = AK AH
1
AH
AK AE AD
2
AH
AK AE AD
=2
AD DH AE AD
=2
AD DH
AE AD
AD AD ED AE AD
=
AE AD AE AD
= 1
AD AE (do AD + DE = AE DE = 2DH)
Vậy: 1
AK AD AE (đpcm).
Bài 13 Cho đường tròn (O;R) có đường kính AB Trên đường trịn (O;R) lấy
điểm M cho MAB 600 Vẽ đường tròn (B; BM) cắt đường tròn (O; R) điểm thứ hai N
(13)b) Kẻ đường kính MOI đường trịn (O; R) MBJ đường tròn (B; BM) Chứng minh N, I J thẳng hàng JI JN = 6R2
c) Tính phần diện tích hình trịn (B; BM) nằm bên ngồi đường trịn (O; R) theo R
BÀI GIẢI
a) Chứng minh AM AN tiếp tuyến đường trịn (B; BM) Ta có AMB ANB 900
(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn(O)) Điểm M N thuộc (B;BM); AM MB
và AN NB Nên AM; AN tiếp tuyến (B; BM)
b) Chứng minh N; I; J thẳng hàng JI JN = 6R2.
900
MNI MNJ (các góc nội tiếp chắn nửa đường tròn tâm O tâm B) Nên
IN MN JN MN Vậy ba điểm N; I J thẳng hàng
Tam giác MJI có BO đường trung bình nên IJ = 2BO = 2R Tam giác AMO cân O (vì OM = OA), MAO 600nên tam giác MAO
AB MN H (tính chất dây chung hai đường tròn (O) (B) cắt nhau)
Nên OH = 1
2OA2R Vậy HB = HO + OB =
3
2
R R R 2.3 3
2
R
NJ R
Vậy JI JN = 2R 3R = 6R2
c) Tính diện tích phần hình trịn (B; BM) nằm ngồi đường tròn (O; R) theo R: Gọi S diện tích phần hình trịn nằm (B; BM) nằm bên ngồi hình trịn (O; R) S1 diện tích hình trịn tâm (B; BM) S2 diện tích hình quạt MBN S3 ; S4
diện tích hai viên phân cung MB NB đường tròn (O; R) Ta có : S = S1– (S2+ S3+ S4)
Tính S1: MAB600MB1200 MB R Vậy: S1= R 3R2
Tính S2: MBN 600 S2=
2 0
0
3 60 360
R
=
2
R
Tính S3: S3 = Squạt MOB– SMOB MOB 1200 Squạt MOB=
2
0
.120
360
R R
OA = OB SMOB=
2SAMB=
1 1 . .
2 AM MB=1 34R R =
2 3
4
R
Vậy S3=
2
3
R
3
4
R
= S4(do tính chất đối xứng) Từ S = S1- (S2+ 2S3)
= 3 R – 2 2
2
R R R
=
2
11 3
6
R R
(đvdt).
Bài 14 Cho đường tròn (O; R) , đường kính AB Trên tiếp tuyến kẻ từ A của
(14)a) Chứng minh ACDO tứ giác nội tiếp
b) Gọi H giao điểm AD OC Tính theo R độ dài đoạn thẳng AH; AD
c) Đường thẳng BC cắt đường tròn (O; R) điểm thứ hai M Chứng minh
450
MHD
d) Đường tròn (I) ngoại tiếp tam giác MHB Tính diện tích phần hình trịn nằm ngồi đường trịn (O; R)
BÀI GIẢI
a) Chứng minh tứ giác ACDO nội tiếp:
900
CAO CDO (tính chất tiếp tuyến)
Tứ giác ACDO có CAO CDO 1800nên nội tiếp đường tròn
b) Tính theo R độ dài đoạn thẳng AH; AD: CA = CD (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau); OA = OD =R OC AD AH = HD
Tam giác ACO vuông A, AH OC
nên 2 2 12
AH AO AC = 2
1
2
R R =
5
4R Vậy AH =
2
5
R và AD = 2AH =
5
R .
c) Chứng minh MHD 450:
900
AMB (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) CMA 900 Hai đỉnh H M
cùng nhìn AC góc 900nên ACMH tứ giác nội tiếp Suy ra: ACM MHD .
Tam giác ACB vuông A, AC = AB(gt) nên vng cân Vậy ACB 450 Do : MHD 450
d) Tính diện tích hình trịn (I) nằm ngồi đường trịn (O) theo R:
Từ CHD 900và MHD 450 CHM450mà CBA 450(do CAB vuông cân
B)
Nên CHM CBA Tứ giác HMBO nội tiếp Do đó MHB MOB 900 Vậy
tâm I đường tròn ngoại tiếp tam giác MHB trung điểm MB Gọi S diện tích phần hình trịn (I) ngồi đường trịn (O)
S1là diện tích nửa hình trịn đường kính MB S2là diện tích viên phân MDB
Ta có S = S1– S2 Tính S1:
900 2
MB MB R Vậy S1=
2 2
1.
2
R R
Tính S2: S2= SquạtMOB – SMOB =
2
0
.90
360
R R
= 2
4
R R
.
S =
4
R
( 2
4
R R
) =
2
(15)E I K
H O
N M
D C
B A
Bài 15 Cho đường tròn (O) đường kính AB 6cm Gọi H làđiểm nằm
giữa A B cho AH = 1cm Qua H vẽ đường thẳng vng góc với AB , đường thẳng cắt đường tròn (O) C D Hai đường thẳng BC DA cắt M Từ M hạ đường vng góc MN với đường thẳng AB ( N thuộc thẳng AB)
a) Chứng minh MNAC tứ giác nội tiếp b) Tính độ dài đoạn thẳng CH tính tgABC.
c) Chứng minh NC tiếp tuyến đường tròn (O)
d) Tiếp tuyến A đường tròn (O) cắt NC E Chứng minh đường thẳng EB qua trung điểm đoạn thẳng CH
BÀI GIẢI
a) Chứng minh tứ giác MNAC nội tiếp:
900
ACB (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
Suy MCA 900 Tứ giác MNAC có N C 1800 nên nội tiếp đường trịn
b) Tính CH tg ABC
AB = (cm) ; AH = (cm) HB = (cm)
Tam giác ACB vuông C, CH AB
CH2 = AH BH = = 5 CH 5 (cm) Do tg ABC =
5
CH
BH
c) Chứng minh NC tiếp tuyến đường tròn (O):
Ta có NCA NMA (hai góc nội tiếp chắn cung AN đường tròn ngoại
tiếp tứ giác MNAC) NMA ADC (so le MN // CD) và ADC ABC (cùng
chắn AC ) Nên NCA ABC Do
ABC sđ AC
2
NCA
sđ AC Suy CN
tiếp tuyến đường tròn (O) (xem lại tập 30 trang 79 SGK toán tập 2) d) Chứng minh EB qua trung điểm CH:
Gọi K giao điểm AE BC; I giao điểm CH EB KE//CD (cùng với AB) AKB DCB (đồng vị) DAB DCB (cùng chắn cung BD)
DAB MAN (đối đỉnh) MAN MCN (cùng chắn MN)
Suy ra: EKC ECK KEC cân E Do EK = EC Mà EC = EA (tính chất
hai tiếp tuyến cắt nhau) nên EK = EA
KBE
có CI // KE CI BI
KE BE ABEcó IH // AE IH
BI
AE BE
Vậy CI IH
KE AE mà KE = AE nên IC = IH (đpcm).
Bài 16 Cho đường trịn tâm O, đường kính AC Vẽ dây BD vng góc với
AC K (K nằm A O) Lấy điểm E cung nhỏ CD (E không trùng C D), AE cắt BD H
(16)/ / ?
_
K
E H
M
O
D
C B
A
c) Cho BD = 24cm; BC = 20cm Tính chu vi hình tròn (O)
d) Cho BCD Trên nửa mặt phẳng bờ BC không chứa điểm A, vẽ tam
giác MBC cân M Tính góc MBC theo để M thuộc đường tròn (O)
Hướng dẫn
c) Tính BK = 12 cm, CK = 16 cm, dùng hệ thức lượng tính CA = 25 cm R = 12,5 cm
Từ tính C = 25
d) M (O) ta cần có tứ giác ABMC nội tiếp ABM ACM 1800 90 20 1800
2
MBC
Từ tính 1800
MBC
Bài 17 Cho nửa đường trịn (O) đường kính AB Trên nửa mặt phẳng bờ AB
chứa nửa đường tròn kẻ tiếp tuyến Ax dây AC Tia phân giác góc xAC cắt nửa đường trịn D, tia AD BC cắt E
a) Chứng minh ABE cân
b) Đường thẳng BD cắt AC K, cắt tia Ax F Chứng minh tứ giác ABEF nội tiếp
c) Cho CAB 300 Chứng minh AK = 2CK
Bài 18 Từ điểm A ngồi đường trịn (O) vẽ hai tiếp tuyến AB; AC cát
tuyến AMN không qua tâm O Gọi I trung điểm MN a) Chứng minh AB2= AM AN
b) Chứng minh tứ giác ABIO nội tiếp
c) Gọi D giao điểm BC AI Chứng minh IB DB
IC DC
Bài 19 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) Phân giác của
BAC cắt BC D cắt đường trịn M Phân giác ngồi Acắt đường thẳng
BC E cắt đường tròn N Gọi K trung điểm DE Chứng minh: a) MN vng góc với BC trung điểm BC
b) ABN EAK
c) AK tiếp tuyến đường tròn (O)
Bài 20 Cho ba điểm A, B,C nằm đường thẳng xy theo thứ tự Vẽ
đường trịn (O) qua B C Từ A vẽ hai tiếp tuyến AM AN Gọi E F trung điểm BC MN
a) Chứng minh AM2= AN2= AB AC
b) Đường thẳng ME cắt đường tròn (O) I Chứng minh IN // AB
c) Chứng minh tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OEF nằm đường thẳng cố định đường tròn (O) thay đổi
Bài 21 Cho đường trịn (O) đường kính AB = 2R Điểm C nằm (O) mà
(17)tại E Tiếp tuyến C đường tròn (O) cắt AE M OM cắt AC I MB cắt CD K
a) Chứng minh M trung điểm AE b) Chứng minh IK // AB
c) Cho OM = AB Tính diện tích tam giác MIK theo R
Bài 22 Trên cung nhỏ BC đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC lấy
một điểm P tuỳ ý Gọi giao điểm AP BC a) Chứng minh BC2= AP AQ
b) Trên AP lấy điểm M cho PM = PB Chứng minh BP+PC= AP
c) Chứng minh 1
PQ PB PC
Bài 23 Cho nửa đường trịn (O) đường kính AB = 2R điểm C nằm ngồi
nửa đường trịn CA cắt nửa đường tròn M, CB cắt nửa đường tròn N Gọi H giao điểm AN BM
a) Chứng minh CH AB
b) Gọi I trung điểm CH Chứng minh MI tiếp tuyến nửa đường tròn (O)
c) Giả sử CH =2R Tính số đo cung MN .
Bài 24 Cho nửa đường trịn đường kính AB = 2R dây MN có độ dài bằng
bán kính (M thuộc cung AN) Các tia AM BN cắt I Các dây AN BM cắt K
a) Tính MIN và AKB.
b) Tìm quỹ tích điểm I quỹ tích điểm K dây MN thay đổi vị trí c) Chứng minh I trực tâm tam giác KAB
d) AB IK cắt H Chứng minh HA.HB = HI.HK
e) Với vị trí dây MN tam giác IAB có diện tích lớn nhất? Tính giá trị diện tích lớn theo R
Bài 25 Trên đường tròn (O) lấy ba điểm A, B C Gọi M, N P theo thứ tự
là điểm cung AB, BC AC BP cắt AN I, NM cắt AB E Gọi D giao điểm AN BC Chứng minh rằng:
a) BNI cân b) AE.BN = EB.AN c) EI BC d) AN AB
BN BD
Bài 26 Cho hai đường tròn (O) (O1) Đường nối tâm OO1 cắt
các đường tròn (O) (O1) điểm A, B, C, D theo thứ tự đường thẳng
Kẻ tiếp tuyến tuyến chung EF (E (O), F (O1)) Gọi M giao điểm
AE DF, N giao điểm EB FC Chứng minh rằng: a) Tứ giác MENF hình chữ nhật
b) MN AD
c) ME MA = MF MD