Thông tin tài liệu
Bài số : CÁC PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM CÁC PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUN HÀM * Để tìm họ nguyên hàm hàm số y=f(x) , có nghĩa ta tính tích f ( x)dx Ta có ba phương pháp : phân bất định : I � - Phương pháp phân tích - Phương pháp đổi biến số - Phương pháp tích phân phần Do điều quan trọng f(x) có dạng để ta ngiên cứu phân tích chúng cho sử dụng bảng nguyên hàm để tìm nguyên hàm chúng Hoặc sử dụng hai phương pháp lại - Sau số gợi ý giúp em nhận biết dạng f(x) mà có phương pháp phân tích cụ thể , từ tìm ngun hàm chúng PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUN HÀM BẰNG CÁCH PHÂN TÍCH I.TRƯỜNG HỢP : f(x) LÀ MỘT HÀM ĐA THỨC � f ( x) an x n an 1 x n 1 a0 A.CÁCH TÌM Sử dụng cơng thức tìm nguyên hàm hàm số : f(x)= x � F ( x) x 1 C 1 an n 1 an 1 n x x a0 x C n 1 n B MỘT SỐ VÍ DỤ MINH HỌA Do nguyên hàm f(x) : � F x Ví dụ Tìm ngun hàm hàm số sau 4m � � 3 dx � � x 4x x x � � me � � x � � mx 3x x 7m � dx � � x 2x � � �2 2a x log3 x 2sin x 3cos x dx � x dx � � t anx+3x-2 � �x � GIẢI 1 � � 3 dx x x x x x C � � x 4x x x � 20 � � 4m m 4m � � mx 3x x 7m � dx x x3 x 1 mx C � � x 2x 2.x 2.x � � x x x x 2a me a log x 2sin x 3cos x dx me � x ln x x cos2x+ sin x C ln a ln x 3 �2 � x dx x ln cosx x x C � � t anx+3x-2 � ln �x � Trang Bài số : CÁC PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM P ( x) II TRƯỜNG HỢP f(x)LÀ PHÂN THỨC HỮU TỶ : fx)= Q( x) * Trường hợp : Bậc P(x) cao bậc Q(x) , phép chia đa thức ta lấy P(x) chia cho Q(x) đa thức A(x) số dư R(x) mà bậc R(x) thấp bậc Q(x) Như tích phân A(x) ta tính ( trình bày trên) Do ta ngiên cứu cách tìm nguyên hàm f(x) trường hợp bậc tử thấp R( x) bậc mẫu , nghĩa f(x) có dạng : f ( x) Q( x) Trước hết ta ngiên cứu cách tìm nguyên hàm f(x) có số dạng đặc biệt dx ax bx c Hàm số f(x) có dạng : I � a �0 � � b � � * Ta phân tích : ax bx c a � �x � �, mà ta biết lớp 10 � 2a � 4a � � * Xét ba trường hợp Ta có ba dạng f(x) ta có ba cách tìm nguyên hàm gợi ý sau : � b � u x ;k � b � �� 2a 2a - Nếu : � 0ax bx c a � �x � � � � 2a � 4a � � 2 � a u k � � b � � b � � � u x � - Nếu : � a � �x � � au � 2a � � 2a � a � � � � � b b � � b � � x ; x � � - Nếu : � a � �x � � a x x1 x x2 � 2a 2a � � 2a � a � � � � Do tích phân giải sau : 1 dx �2 du ax bx c a u k2 - Trường hợp : , I � * Nếu đặt : � u tan t � du dt tan t dt 1 � cos t � I �2 du � a u k a.k 2 2 2 2 � u k k tan t k k tan t � tan t dt � tan t 2 t dt C ( với : u tan t � t arctanu ) � a.k ak 1 1 I �2 dx �2 du C ax bx c u u � b � - Trường hợp : =0 : �x � � 2a � 1 1 I �2 dx � dx C ax bx c a � b � � b � Hay : a �x � �x � � 2a � � 2a � Trang Bài số : CÁC PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM - Trường hợp : : � 1 1 1 � I �2 dx � dx dx � � ax bx c a x x1 x x2 a x2 x1 � x x x x � � 1 x x2 ln x x1 ln x x2 ln C a x2 x1 a x2 x1 x x1 Ví dụ Hãy tính tích phân sau : a dx � x x 1 b dx � x 2x GIẢI 1 dx � dx 2 � � 1� x x � � x � tan t � dx tan t dt a � 1� Đặt : � �x � � � � 4� � � �2 � 1 3 � �2 dx � tan t dt � dt t C 3 x x 1 4 tan t 4 �2 � � 1� Với : �x � tan t � t arctan � �4x-1 � � � 4� � � 1 dx � dx 2 � x tan t � dx tan t dt b x x Đặt : x 1 1 1 � �2 dx � tan t dt � dt t C x 2x 2 tan t 1 Với : x tan t � tan t x 1 �x � � t arctan � � � � Ví dụ Tìm nguyên hàm hàm số sau a dx � x 4x b � 9x dx 12 x GIẢI 1 dx � dx C a � x 4x x2 x 2 � b x 1 1 1 dx � dx � dx C 2 12 x � 2� � � 9x � 2� �x � �x � �x � � 3� � 3� � 3� Trang Bài số : CÁC PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUN HÀM Ví dụ Tìm nguyên hàm hàm số sau dx x 3x a �2 b � 4x dx 3x GIẢI 1 1 x2 dx dx � dx � dx ln x ln x ln C a � x2 3x 2 1 � x2 x 1 x 1 x 1 x � � � 1 1 1� 1 dx dx � dx � dx � b � � � x 3x � 1�� 1� � x 1 � x � �x � x 1 � � � � 4�� 4� 1� 1� x 1 x 1 ln x ln x � ln C ln C � 3� � x 4x 1 Hàm số f(x) có dạng : f ( x) Ax+B ax bx c * Ta có hai cách tìm -Cách : Biến đổi tử số thành dạng : Ax+B=d(ax bx c) D 2ax b dx D d ax bx c 2ax b dx ln ax bx c C Ax+B +) Nếu D=0 : � dx � �2 ax bx c ax bx c ax bx c d ax bx c 2ax b dx D +)Nếu D �0 : � 2Ax+B dx � �2 dx � ax bx c ax bx c ax bx c ax bx c ln ax bx c D � dx C ax bx c dx , biết cách tìm ý Trong : � ax bx c -Cách hai :( Chỉ áp dụng cho trường hợp mẫu số có hai nghiện thực x1 x2 ) +) Ta biến đổi : Ax+B Ax+B 1�M N � � � * ax bx c a x-x1 x x2 a �x x1 x x2 � +) Sau quy đồng mẫu số vế phải thành : �M x x2 N x x1 � a� � x x1 x x2 � M N x Mx2 Nx1 � � a x x1 x x2 � �M N A +) Đồng hệ số hai tử số , ta có hệ : � Mx Nx C Từ suy M,N � 1 +) Thay M,N vào (*) ta tính tích phân : � ax Trang � M Ax+B 1� M N N dx � dx � dx � ln x x1 ln x x2 C � bx c a � x x1 x x2 � a a Bài số : CÁC PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUN HÀM * Chú ý : Ta tìm M,N cách khác thay hai nghiệm mấu số vào hai tử số , ta hai phương trình Từ hai phương trình ta suy M,N Các bước lại làm CÁC VÍ DỤ ÁP DỤNG Ví dụ Tìm nguyên hàm hàm số sau a 2( x 1) dx � x 2x b 2 x dx � x 4x GIẢI d x x 3 2( x 1) 2x dx � dx � ln x x C � x 2x x 2x x 2x d x x 3 x dx x 4dx b � � � ln x x C x 4x x 4x x 4x a 2 2 2 2 Ví dụ Tìm ngun hàm hàm số sau a 3x dx � x 2x b 2x dx � x 4x GIẢI a.Cách E x D 2E D E 3x Đồng hệ số hai tử số ta có hệ phương x 2x x2 x x 2x 3 � 2x 2 2E E � x � trình : � �� � 22 x x x x x x �D E � �D 1 3x d x x 3 Vậy : �2 dx � �2 dx ln x x J 1 x 2x x 2x x 2x 1� 1 x 1 � dx �� dx � dx � ln x ln x ln C Tính :J= �2 x 2x � x 1 x3 � 4 x3 3x x 1 dx ln x x ln C Do : �2 x 2x x3 Ta có : -Cách Ta có : 3x 3x A B +) x x x x x x A x 3 B x 1 A B x 3A B * x 1 x 3 x 1 x Trang Bài số : CÁC PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM � A � �A B � �� Đồng hệ số hai tử số ta có hệ : � 3A B � � B � 3x Suy : x x x 1 x 3 3x 7 dx � dx � dx ln x ln x C Vậy : �2 x 2x x 1 x3 4 +) Phân tích f(x) đễn (*) Sau thay hai nghiệm x=1 x=3 vào hai tử số để tìm � A � 3.1 A(1 3) � � �� A,B , cụ thể ta có hệ hai phương trình sau : � 3(3) B(3 1) � �B � Các bước giống E x D Ex D E 2x Đồng hệ số hai tử số : x 4x x2 4x x 4x 2E � �E �� Ta có hệ � � �D E 3 �D 7 2x 2x Suy : x 4x x 4x x 4x 2x 2x dx �2 dx � dx ln x x C 2 Vậy : � x 4x x 4x x2 x 2 b Ta có : TỔNG QUÁT : a Trường hợp mẫu số khơng có nghiệm thực có nghiệm thực (Tức mẫu số vô nghiệm) * Ta phân tích ví dụ 5- cách b Trường hợp mẫu số có nhiều nghiệm thực đơn * Ta phân tích giống ví dụ 5a- cách c Trường hợp mẫu số có trường hợp khơng có nghiệm thực trường hợp có nhiều nghiệm thực đơn * Ta sử dụng hai phương pháp CÁC VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ Tìm nguyên hàm hàm số sau 3x 3x 12 a �x x x dx x2 x b �x x x dx GIẢI x x 12 A B C a.Ta phân tích f(x)= x x x x x x Trang Ax x+2 Bx x 1 C x 1 x x 1 x x Bài số : CÁC PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM Bằng cách thay nghiệm thực mẫu số vào hai tử số ta có hệ : �x � 18 A � A 6 � �x 2 � 18 B � B � f ( x) x 1 x x �x � 12 2C � C 6 � x 3x 12 6� �6 � dx 6ln x 3ln x ln x C Vậy : �x x x dx � � �x x x � b Ta phân tích A x x B x 1 x C x 1 x x2 2x A B C f(x)= x x x x x x x 1 x x Bằng cách thay nghiệm mẫu số vào hai tử số ta có hệ : �x � A � x 3 � �x � 14 2 B � x 7 � f ( x) x 1 x x �x � 30 6C � C � x2 x � �3 dx 3ln x ln x 5ln x C Vậy �x x x dx � � � �x x x � Ví dụ Tìm nguyên hàm hàm số sau x2 x 1 a �x x dx b x2 dx � x 1 x 3 GIẢI a Trong trường hợp ,mẫu số chứa biểu thức có nghiệm thực khơng có nghiệm thực Các em ý đến cách phân tích sau x2 x A Bx C A x 1 x 1 Bx C 1 Ta có f(x)= x 1 x 1 x x x 1 x 1 Thay x=1 vào hai tử ta dược : 2= 2A, A=1 Do (1) trở thành : 1 x 1 x 1 Bx C x 1 x 1 B 1 x C B x C x 1 x 1 �B �B � � Đồng hệ số hai tử số , ta có hệ : �C B � �C � f ( x) x 1 x � C 1 � � �A x2 x 1 dx 2�2 dx ln x J C Vậy : �x x dx � x 1 x 1 Trang Bài số : CÁC PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUN HÀM * Tính J = �2 dx Đặt : x 1 Cho nên : � �x tan t � dx tan t dt � x tan t � dx � tan t dt � dt t ; : x tan t � t arctanx � x 1 tan t 2 x2 x 1 Do , thay tích phân J vào (2) ta có : �x x dx ln x arctanx+C b.Ta phân tích f(x)= x2 A B C D x 1 x x 1 x 3 x 1 x 1 A x 3 B x 1 x 3 C x 1 x 3 D x 1 x 1 x 3 3 � x � 4A � A � � Thay x=1 x=-3 vào hai tử số ta : � �x 3 � 10 64 D � D � 32 Thay hai giá trị A D vào (*) đồng hệ số hai tử số ta có hệ hai phương trình � C D � C D � 5 � 32 � f ( x) � 3 32 x 1 32 x 3 x 1 x 1 � A 3B 3C D � B � � � x 1 5 dx � dx � � Vậy : � �2 x 1 x 1 32 x 1 32 x 3 � x 1 x 3 � � 5 x 1 ln x ln x C ln C 2 x 1 32 32 x 1 32 x x 1 x 1 III NGUYÊN HÀM CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Để xác định nguyên hàm hàm số lượng giác ta cần linh hoạt lựa chọn phương pháp sau : Sử dụng dạng nguyên hàm Sử dụng phương pháp biến đổi lượng giác đưa nguyên hàm Phương pháp đổi biến Phương pháp tích phân phần A SỬ DỤNG CÁC DẠNG NGUYÊN HÀM CƠ BẢN Trang Bài số : CÁC PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUN HÀM BÀI TỐN Xác định nguyên hàm hàm số lượng giác việc sử dụng nguyên hàm dx Dạng 1.: Tính tích phân bất định : I � sin x a sin x b Ta thực theo bước sau : Bước 1: Sử dụng đồng thức : 1= x a x b � sin a b sin � � � sin a b a b Bước 2: Ta : sin � x a x b � dx � �dx I � � sin x a sin x b sin a b sin x a sin x b sin x a cos x-b sin x b cos x-a dx sin a b � sin x+a sin x b � cos x+b cos x+a � 1 � dx dx � ln sin x b ln sin x a � � � � sin a b �sin x b sin x+a � sin a b � sin x b ln C sin a b sin x a * Chú ý Phương pháp áp dụng cho dạng tích phân sau : , sử dụng đồng thức : I � cos x+a cos x+b sin a b sin a b dx dx , � sin x a cos x+b sử dụng đồng thức : Ví dụ Tìm họ ngun hàm hàm số : f ( x) 1 cos a-b cos a-b � � cosx.cos �x+ � � 4� Giải � � � cos � �x+ � x � � � � � � � 4� � � Cách Sử dụng đồng thức : 2cos � �x+ � x � � 4� � � cos cos 4 cos Trang Bài số : CÁC PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM � � � � � � � � cos � cos �x+ � cosx+sin �x+ � s inx �x+ � x � 4� 4� � � � � � � dx � dx Ta có : F ( x) � � � � � s inx.cos �x+ � s inxcos �x+ � � 4� � 4� � � � � sin �x+ � � � cosx � s inx 4� � �� dx � � dx � � ln s inx ln cos � x+ �� ln C = 2� � �� � �� � � � � s inx � cos �x+ � cos �x+ � � � 4� � � 4� � � Cách : Dựa đặc thù hàm số f(x) Ta có : 1 1 F ( x) � dx � dx � dx � dx s inx sinx-cosx s in x cotx-1 � � � cosx � s inxcos �x+ � s in x � 1� � 4� � sinx � d cot x d cot x 1 2� 2� ln cot x C cot x cot x dx Dạng 2: Tính tích phân bất định : I � s inx+sin Ta thực theo bước sau : Bước Biến đổi I dạng : Bước 2: Áp dụng toán để giải (1) * Chú ý : Phương pháp áp dụng cho dạng tích phân sau : dx ; m �1 s inx+m dx dx �I � ; I � cosx+m cosx+cos I � m �1 Ví dụ 2: Tìm họ ngun hàm hàm số : f ( x) 2sin x Giải Biến đổi f(x) dạng : f ( x) 1 1 1 x 6x 1� � sin cos 2� s inx+ � sinx+sin 12 12 2� � Sử dụng đồng thức : 6x+ 6x- � �6x+ cos � cos � � � 12 � � 12 � 12 1 3 cos cos Trang 10 � �6x- � �6x+ � �6x- cos � sin � � � sin � � � �12 � � 12 � �12 �6x+ � �6x- � sin � cos � � � � 12 � �12 � � � � Bài số : CÁC PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ Phương pháp đổi biến số sử dụng phổ biến việc tính tích phân bất định Phương pháp đổi biến số để xác định nguyên hàm có hai dạng dựa định lý sau : f ( x) F ( x) C với u= (x) hàm số có đạo hàm : � f (u )du F (u ) C a/ Nếu : � b/ Nếu hàm số f(x) liên tục đặt x= t Trong t với đạo hàm ( ' t f ( x)dx � f� t� ' t dt � g (t )dt G (t ) C hàm số liên tục ) ta : � � � Từ ta trình bày hai toán phương pháp đổi biến số sau : Bài toán 1: f ( x)dx Sử dụng phương pháp đổi biến số dạng tính tích phân bất định : I � PHƯƠNG PHÁP CHUNG Ta thực theo bước sau : Bước 1: chọn x= t , t hàm số mà ta chọn thích hợp Bước 2: lấy vi phân hai vế : dx ' t dt t � ' t dt g t dt Bước : Biến đổi : f ( x)dx f � � � Bước 4: Khi tính : f ( x)dx � g (t )dt G (t ) C � * Lưu ý : Các dấu hiệu dẫn tới việc lựa chọn ẩn phụ kiểu thông thường : Dấu hiệu Cách chọn a2 x2 � x a sin t � �t � � 2 � x a cost � �t � � � a � � x � t �� ; � � sin t 2� � � � a � � x � t � 0; \ � � � �2 � cost x2 a2 a2 x2 � � � x a tan t � t �� ; � � � 2� � � x a cot t � t � 0; � ax ax � ax ax x=a.cos2t x a b x Trang 20 x=a+ b a sin t Bài số : CÁC PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUN HÀM Ví dụ Tính tích phân bất định dx a/ � 1 x b/ �x dx 2x Giải � � a/ Đặt : x=sint ; t �� ; �� dx costdt 2 � dx Suy : 1 x Khi : � 1 x dx � costdt 1-sin t costdt dt d tan t cos t cos 2t � d tan t tan t C sin t sin t x x2 C b/ Vì : x x x 1 , nên 2 dt � � Đặt : x tan t; t �� ; �� dx 2 ; tan t cos t �2 2� dx Suy : x 2x dx x 1 2 x 1 dt tan t 1 cos t 2 dt costdt 2cost 1-sin t �costdt costdt � � � 2 �sint-1 sint+1 � dx �costdt costdt � sin t ln C (*) Khi : � � � � 2 �sint-1 sint+1 � 2 sin t x 2x x 1 � sin t x 1 sin t � tan t Ta tìm sint , thay 2 sin t x 2x 2 Từ : tan t vào (*) ta tính I x dx Ví dụ 2: Tính tích phân bất định : I � x 1 Giải Vì điều kiện : x , nên ta xét hai trường hợp : Với x>1 Đặt x cos 2tdt �� ; t �� 0; �� dx sin 2t sin 2t � 4� x dx Do : x2 1 sin 2t 1 sin 2t sin t cos 2t dt 2dt � 2cos 2tdt � � � 8sin t cos3 t � sin 2t � sin 2t Trang 21 Bài số : CÁC PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM 1� 1 � � dt = �cot t tan t � sin t cos t tan t cos 2t � Vậy : � � 1� � cot t.d (cot t ) tan t.d (tan t ) d (tan t ) � � cot t tan t 2ln tan t � C � � � tan t � 4� � 1 x x ln x x C 2 I I Với x0 cos 2t � � � 2� cost;sint=tant.cost= x x2 Phương pháp áp dụng để giải toán tổng quát : � a dx x 2 k 1 k �Z f ( x)dx Bài toán 2: Sử dụng phương pháp đổi biến số dạng để tính tích phân : I � Trang 22 Bài số : CÁC PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM PHƯƠNG PHÁP CHUNG Ta thực theo bước sau : Bước 1: Chọn t= x Trong x hàm số mà ta chọn thích hợp Bước 2: Tính vi phân hai vế : dt ' t dt t � ' t dt g (t )dt Bước 3: Biểu thị : f ( x)dx f � � � f ( x)dx � g (t )dt G (t ) C Bước 4: Khi : I � * Chú ý : Ta có số dấu hiệu để đổi biến thường gặp : Dấu hiệu Hàm số mẫu số có Hàm số : f x; x Hàm f x Cách chọn a.s inx+b.cosx c.s inx+d.cosx+e t mẫu số t= x x � x � t tan ; � cos �0 � � � Với : x+a>0 x+b>0 : Đặt : Hàm f x x a x b t xa xb Với x+a
Ngày đăng: 15/12/2020, 21:09
Xem thêm:
