Tài liệu vận dụng cao Giải tích 12 MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA LŨY THỪA I LÃI SUẤT NGÂN HÀNG Một số khái niệm: • Lãi (lời): Thu vượt chi sau q trình bn bán, kinh doanh • Lãi suất: Tỉ lệ phần trăm lãi so với vốn • Kì hạn: Một khoảng thời gian cố định r • Trong tính tốn tốn lãi suất toán liên quan, ta nhớ r % 100 • Thơng thường Ngân hàng nhà nước Việt Nam quy định lãi suất tiền gởi tiền vay theo năm tài chính, nên giải tốn lãi suất ta phải quy lãi suất kì hạn để tính tốn Chẳng hạn: Nếu lãi suất ngân hàng 7% / năm lãi suất tháng 12 %, kì hạn tháng có lãi suất 1,75% 1.1 Lãi đơn 1.1.1 Định nghĩa Lãi đơn số tiền lãi tính số tiền gốc mà khơng tính số tiền lãi số tiền gốc sinh ra, tức tiền lãi kì hạn trước khơng tính vào vốn để tính lãi cho kì hạn kế tiếp, cho dù đến kì hạn người gửi khơng đến rút tiền 1.1.2 Cơng thức tính Bài tốn: Khách hàng gửi vào ngân hàng A đồng với lãi đơn r % kì hạn số tiền * khách hàng nhận vốn lẫn lãi sau n kì hạn (n ∈ ¥ ) bao nhiêu? Giải quyết: r r0 = 100 Đặt Sau kì hạn lần 1: S1 = A + Ar0 = A(1 + r0 ) Sau kì hạn lần 2: S = A(1 + r0 ) + Ar0 = A(1 + 2r0 ) Sau kì hạn lần 3: S3 = A(1 + 2r0 ) + Ar0 = A(1 + 3r0 ) Sau kì hạn lần n : Sn = A + nAr0 = A ( + nr0 ) 1.2 Lãi kép 1.2.1 Định nghĩa Lãi kép tiền lãi kì hạn trước người gửi khơng rút tính vào vốn để tính lãi cho kì hạn sau 1.2.2 Cơng thức tính Khách hàng gửi vào ngân hàng A đồng với lãi kép r % kì hạn số tiền khách * hàng nhận vốn lẫn lãi sau n kì hạn ( n ∈ ¥ ) bao nhiêu? Giải quyết: r r0 = 100 Đặt Tài liệu vận dụng cao Giải tích 12 Sau kì hạn lần 1: S1 = A + Ar0 = A(1 + r0 ) Sau kì hạn lần 2: S2 = A(1 + r0 ) + A(1 + r0 )r0 = A(1 + r0 ) 2 Sau kì hạn lần 3: S3 = A(1 + r0 ) + A(1 + r0 ) r0 = A(1 + r0 ) Sau kì hạn lần n : Sn = A ( + r0 ) n 1.2.3 Lãi kép liên tục Gửi vào ngân hàng với số vốn ban đầu A với lãi suất năm r theo thể thức lãi kép ( n ∈ ¥ * ) số tiền thu vốn lẫn lãi là: Sn = A ( + r ) sau n năm n r % Giả sử ta chia năm thành m kì hạn để tính lãi lãi suất kì hạn m số tiền m.n r Sn = A 1 + ÷ m thu sau n năm là: Khi tăng số kì hạn năm lên vô cực, tức m → +∞, gọi hình thức lãi kép liên tục người ta chứng minh số tiền nhận gốc lẫn lãi là:111Equation Chapter (Next) Section 1212Equation Chapter (Next) Section 132Equation Section (Next)413Equation Chapter Section 1513Equation Chapter Section 1614Equation Chapter (Next) Section 172Equation Section (Next) 813Equation Chapter Section S = Ae n.r (công thức tăng trưởng mũ) 1.3 Tiền gửi hàng tháng 1.3.1 Định nghĩa Tiền gửi hàng tháng tháng gửi số tiền vào thời gian cố định 1.3.2 Tiền gửi vào đầu tháng Đầu tháng khách hàng gửi vào ngân hàng số tiền A đồng với lãi kép r % tháng * số tiền khách hàng nhận vốn lẫn lãi sau n tháng (n ∈ ¥ ) (nhận tiền cuối tháng, ngân hàng tính lãi) bao nhiêu? Giải quyết: r r0 = 100 Đặt Sau tháng thứ 1: S1 = A + Ar0 = A(1 + r0 ) Sau tháng thứ 2: S = [ A(1 + r0 ) + A] + [ A(1 + r0 ) + A]r0 = A[(1 + r0 ) + 1](1 + r0 ) = A[(1 + ro ) + (1 + r0 ) ] 2 Sau tháng thứ 3: S3 = [ A(1 + r0 ) + (1 + r0 ) + A] + [ A(1 + r0 ) + (1 + r0 ) + A]r0 = { A[(1 + r0 ) + (1 + r0 ) ] + A}(1 + r0 ) = A[(1 + r0 ) + (1 + r0 ) + (1 + r0 ) ] (1 + r0 )3 − A = A (1 + r0 ) = [(1 + r0 ) − 1](1 + r0 ) (1 + r0 ) − r0 Tài liệu vận dụng cao Giải tích 12 Sau tháng thứ n : Sn = A n ( + r0 ) − 1 ( + r0 ) r0 1.3.3 Tiền gửi vào cuối tháng Cuối tháng khách hàng gửi vào ngân hàng số tiền A đồng với lãi kép r % tháng * số tiền khách hàng nhận vốn lẫn lãi sau n tháng (n ∈ ¥ ) (nhận tiền cuối tháng, ngân hàng tính lãi) bao nhiêu? Giải quyết: r r0 = 100 Đặt Sau tháng thứ 1: S1 = A Sau tháng S2 = A + Ar0 + A = A(1 + r0 ) + A = A[(1 + r0 ) + 1] = = Sau tháng thứ 3: S3 = thứ 2: A [(1 + r0 ) − 1] (1 + r0 ) − A [(1 + r0 )2 − 1] r0 A A [(1 + r0 ) − 1] + [(1 + r0 ) − 1]r0 + A r0 r0 = A A Ar [(1 + r0 ) − 1] + [(1 + r0 ) − 1]r0 + r0 r0 r0 = A A {(1 + r0 ) − + [(1 + r0 ) − 1]r0 + r0 } = (r0 + 3r0 + 3r0 ) r0 r0 = A [(r0 + 1)3 − 1] r0 Vậy sau tháng thứ n : Sn = A [(1 + r0 ) n − 1] r0 1.4 Gửi ngân hàng rút tiền gửi hàng tháng Gửi ngân hàng số tiền A đồng với lãi suất r % tháng Mỗi tháng vào ngày ngân hàng tính lãi, rút số tiền X đồng Tính số tiền lại sau n tháng bao nhiêu? Giải quyết: r r0 = 100 Đặt Sau tháng thứ số tiền lại là: S1 = A + Ar0 − X = A(1 + r0 ) − X Sau tháng thứ số tiền lại là: S = [ A(1 + r0 ) − X ] + [ A(1 + r0 ) − X ]r0 − X = [ A(1 + r0 ) − X ](1 + r0 ) − X = A(1 + r0 ) − X [(1 + r0 ) + 1] Tài liệu vận dụng cao Giải tích 12 X [(1 + r0 ) − 1] r0 X S3 = { A(1 + r0 )2 − [(1 + r0 )2 − 1]}(1 + r0 ) − X r0 Sau tháng thứ số tiền lại là: X X X = A(1 + r0 )3 − (1 + r0 )3 + (1 + r0 ) − r0 r0 r0 r0 X = A(1 + r0 )3 − [(1 + r0 )3 − 1] r0 X S n = A(1 + r0 ) n − [(1 + r0 )n − 1] r0 Sau tháng thứ n số tiền lại là: = A(1 + r0 ) − II VAY VỐN TRẢ GÓP 2.1 Định nghĩa Vay vốn trả góp vay ngân hàng số tiền A đồng với lãi suất r % /tháng Sau tháng kể từ ngày vay, bắt đầu hoàn nợ; hai lần hoàn nợ cách tháng, lần hoàn nợ số tiền X đồng trả hết tiền nợ sau n tháng 2.2 Cơng thức tính r r0 = 100 Đặt Cách tính số tiền cịn lại sau n tháng giống hồn tồn cơng thức tính gửi ngân hàng rút tiền hàng tháng nên ta có Sn = A ( + r0 ) n ( + r0 ) −X n −1 r0 Để sau n tháng trả hết nợ Sn = nên A ( + r0 ) n ( + r0 ) −X r0 n −1 =0 A ( + r0 ) r0 n X = Từ đó: ( + r0 ) n −1 III BÀI TOÁN TĂNG LƯƠNG 3.1 Định nghĩa Bài tốn tăng lương mơ tả sau: Một người lãnh lương khởi điểm A đồng/tháng Cứ sau t tháng (1 bậc) lương người tăng thêm r % /tháng Hỏi sau n bậc người lĩnh tất tiền? 3.2 Cơng thức tính Giải quyết: r r0 = 100 Đặt Trong t tháng bậc lương người lĩnh được: T1 = At (đồng) Tài liệu vận dụng cao Giải tích 12 Tổng số tiền người lĩnh sau bậc thứ là: T2 = T1 + ( A + Ar0 )t = At (2 + r0 ) Tổng số tiền người lĩnh sau bậc thứ là: T3 = T2 + [( A+ Ar0 ) + ( A+ Ar0 ).r0 ]t = At (2 + r0 ) + At ( r02 + 2r0 + 1) = At ( r02 + 3r0 + 3) (r0 + 1) + (1 + r0 ) + 1 [(1 + r0 ) − 1] = At (1 + r0 ) − Tổng số tiền người nhận sau thứ bậc n là: IV BÀI TOÁN TĂNG TRƯỞNG DÂN SỐ Tn = At [(1 + r0 )n − 1] r0 Cho dân số năm m X m , tỉ lệ tăng dân số từ năm m đến năm n r % năm Tính số dân năm n Giải quyết: r r0 = 100 Đặt Dân số sau tăng năm là: T1 = X m + X m r0 = X m (1 + r0 ) Dân số sau tăng năm là: T2 = X m (1 + r0 ) + X m (1 + r0 ).r0 = X m (1 + r0 ) T = X m (1 + r0 )n −m ( m, n ∈ ¢ + , m ≥ n) Dân số sau tăng n − m năm là: n