8 đa THUC CHEBYSHEV

Chuyên đề Lượng giác Ứng dụng CHƯƠNG 2: ĐA THỨC CHEBYSHEV I ĐỊNH NGHĨA VÀ TÍNH CHẤT ĐA THỨC CHEBYSHEV: Định nghĩa: *Các đa thức Tn ( x) , n ∈ N xác định sau: � T0  x   1, T1  x   x � � Tn 1  x   xTn  x   Tn 1  x  � Gọi đa thức Chebyshev loại I * Các đa thức Tn(x), n ∈ N xác định sau: � U  x   0, U1  x   � � U n 1  x   xU n  x   U n 1  x  , n �1 � Gọi đa thức Chebyshev loại II Các tính chất đa thức loại I: Đa thức Chebyshev có nhiều tính chất hay, sử dụng nhiều việc giải toán đa thức Sau xin nêu số tính chất quan trọng (việc chứng minh dễ dàng) -Tính chất 1: x � 1,1 ,ta có Tn  x   cos(n arccos x) -Tính chất 2: Tn  x  đa thức bậc n, n ��,hệ số cao 2n1 -Tính chất 3: Tn ( x) hàm chẵn x chẵn hàm lẻ x lẻ -Tính chất 4: Đa thức Tn ( x) có n nghiệm phân biệt  1,1 : xk  cos 2k   ,  k  1, 2, , n  1 2n -Tính chất 5: a) Tn  x  �1, x � 1,1 b) Tn  x   n+1 điểm khác  1,1 xk  cos Chú ý là:   k  k  1, 2, , n  n Tn xk   1 k Các điểm xk gọi điểm luân phiên Chebyshev -Tính chất 6: P  x  bậc n, hệ số cao 1, ta có max P  x  � n 1 Đẳng thức xảy � P  x   Tn *  x   Nhóm học sinh lớp 11A1 2n 1 121 Chương 2: Đa thức Chebyshev Các tính chất đa thức loại II: -Tính chất 1: x � 1,1 ta có Un  x  sin  n arccos x   x2 Tn '  x  n -Tính chất 2: U n  x   -Tính chất 3: a/ U n  x  đa thức hệ số nguyên, bậc n -1, hệ số cao 2n1 b/ U n  x  hàm chẵn x lẻ hàm lẻ x chẵn -Tính chất 4: U n  x  �n, x � 1,1 -Tính chất 5: Đa thức U n  x  có n-1 nghiệm phân biệt khác  1,1 Đặc biệt: Từ tính chất 4, ta có: Tn '  x  �n , x � 1,1 II MỘT SỐ BÀI TOÁN MINH HỌA: Bài 1: Chứng minh đa thức f  x  bậc n �1 biểu diễn dạng n f  x   �ai Ti  x  , an �0 i 0 Và cách biểu diễn Lời giải Ta có Tn  x  đa thức bậc n có hệ số cao 2n1 nên ta viết Tn  x   2n 1 x n    x  với   x  đa thức bậc nhỏ n n Suy x  1 T  x   n1   x  n 1 2 Bằng quy nạp ta chứng minh được: f  x   a0  a1T  x   a2T2  x    anTn  x  Bây ta chứng minh tính cách biểu diễn Giả sử f  x   a0  a1T  x   a2T2  x    anTn  x   a '0  a '1 T  x   a '2 T2  x    a 'n Tn  x  n Khi � a i 0 i  a 'i  Ti  x   0, x �� Vậy a0  a '0  a1  a '1   an  a 'n  Hay a0  a '0 , a1  a '1 , , an  a 'n Năm học 2006 – 2007 122 Chuyên đề Lượng giác Ứng dụng Một dấu hiệu để nhận biết tốn đa thức có sử dụng tính chất đa thức Chebyshev hay khơng miền giá trị đa thức Các toán miền  1,1 gợi cách giải phương pháp Ta xét thêm số ví dụ: f  x   ax  bx  cx  d ,   Biết x � 1,1 ta Bài 2: Cho đa thức hệ số thực có f  x  � Tìm max a , b , c , d Nhận xét: Ta lưu ý cách chọn điểm luân phiên đa thức Chebyshev Lời giải: �A  � � � �B  � � C Đặt � � �D  � �E  � � � f (1)  a  b  c  d � 1� a b c f�  �     d � 2� 2 4 � a   A B  C  D � 3 3 � 1 � b  A D E � �� 2 � 8 c  A B  C  D � 6 � � dE � �1 � a b c f � �    d �2 � f  1  a  b  c  d f  0  d a �4 b �2 Từ giả thiết: c �3 d �  g  x     2x Bằng cách xét: f  x    4x  3x   1 Thì ta có dấu đẳng thức xảy Vậy: max a  4 , max b  2 , max c  3 , max d   Chú ý: f(x),g(x) xét dự sở cos2x,cos3x Bài 3: Cho đa thức Pn1  x  bậc không vượt n  có hệ số bậc cao a0 , thỏa mãn điều kiện: Chứng minh 1 x Pn1  x  �1,x � 1,1 a0 �2n1 Nhoùm học sinh lớp 11A1 123 Chương 2: Đa thức Chebyshev Lời giải Ta viết đa thức cho dạng nội suy Lagrange theo nút nội suy x j  cos 2j   2n nghiệm đa thức Chebyshev T n  x  n Pn1  x   � 1 n j 1 a0  Suy j 1 x  xj 2n1 n j 1  1 1 x 2j P  x j  � n j 1 2n1 n a0 � � 1 x 2j P  x j n j 1 Vậy nên Bài 4: Giả thiết đa thức Pn1  x  Tn  x  1 x 2j Pn1  x j   2n1 � n  2n1 n thỏa mãn điều kiện Bài Chứng minh Pn1  x  �n,x � 1,1 Lời giải: Với x j chọn tốn hàm số y  cosx nghịch biến  0;  nên 1 x n  x n1   x  x1  Nếu x1  x  Tn  x  n n T  x Pn1  x  � � 1 x 2j Pn1  x j  � � n n j 1 n j 1  x  x j  x  xj (2) (do x  x j  vàT n  x  có dấu khơng đổi (x1;1] ) n n1 Mặt khác T n  x   � x  x j j 1  n Nên ta có Lại có T ' n  x  n1 T n'  x  n � x  x  T  x �  x  x  �x  x n j j 1 k 1 k n k 1  U n  x  �n Nên từ (2) (3) suy Pn1  x  �n,x �(x1;1] Hồn tồn tương tự ta có Pn1  x  �n,x �[1, xn ) Xét x n �x �x1 Khi ta có Năm học 2006 – 2007 124 n k (3) Chuyên đề Lượng giác ÖÙng duïng 1 x � 1 x12  sin arccosx1   sin sin x 1� � x  Do sin  2n   1 �   x � Suy ra: 2n 2n n n n Pn 1  x  �  n n Tóm lại ta chứng minh Pn1  x  �n,x � 1,1 Bài 5: Cho đa thức lượng giác P  t   a1 sin t  a2 sin 2t   an sin  nt  Thỏa mãn điều kiện P  t  �1, t ��\  , 2 ,  , 0,  , 2 ,  Chứng minh P t sin t �n, t ��\  , 2 ,  , 0,  , 2 ,  Lời giải: Nhận xét P t sin t  Pn 1  cos t  với Pn 1  x  đa thức dạng (1) Đặt cos t  x Khi x �1 P  t   sin Pn 1  cos t    x Pn 1  x  Ta thấy P  x  thỏa mãn điều kiện Bài nên Pn1  x  �n,x � 1,1 Do P t sin t �n, t ��\  , 2 ,  , 0,  , 2 ,  Bài 6: Cho đa thức lượng giác n P  x   � a j cos jx  b j sin jx  j 0 Thỏa mãn điều kiện P  x  �1, x �� Chứng minh P '  x  �n, x �� Lời giải: Nhóm học sinh lớp 11A1 125 Chương 2: Đa thức Chebyshev Cho x0 tuỳ ý Do cos  x0  x   cos  x0  x   2sin x0 sin x sin  x0  x   sin  x0  x   cos x0 sin x P  x0  x   P  x0  x  g  x  nên Suy n  �c j sin jx j 0 P '  x0  x   P '  x0  x  g ' x  Và g '    P '  x0  Ta chứng minh g '   �n Thật vậy, g  x  đa thức lượng giác chứa sin Bài g  x  P  x0  x   P  x0  x  Nên theo kết g  x sin x � P  x0  x   P  x0  x  �1 �n x ��\  , 2 ,  , 0,  , 2 ,  (4) Nhưng g    suy g  x   g  0 x0 Nên x � : x �n x ��\  , 2 ,  , 0,  , 2 ,  sin x g  x   g  0 x0 x �1 sin x � g '  0 Ta nhận g '   �n Từ ta có P '  x0  �n Nhưng x0 chọn tùy ý nên suy P '  x  �n x �� Bài (Định lý Berstein-Markov) Cho đa thức Pn  x   a0 x n  a1 x n 1   an Thỏa mãn điều kiện Pn  x  �1, x � 1;1 Chứng minh : P 'n  x  �n , x � 1;1 Lời giải: Đặt x  cos a Khi theo giả thiết Pn  cos a  �1 Do Pn  cos a  có dạng n Pn  cos a   � a j cos j  b j sin j  j 0 Nên ta áp dụng kết Bài Ta Năm học 2006 – 2007 126 (5) Chuyên đề Lượng giác Ứng dụng sin  P 'n  cos   �n �  x P 'n  x  Cũng theo Bài 4, ta có P 'n  x  n �1 �n Suy ra: P '  x  �n n Nhận xét : Dựa vào kết Định lý Berstein-Markov, sau áp dụng liên tiếp kết định lí này, ta thu kết sau:  k n  n  1  n    n  k  1 � Nếu Pn  x  �1, x � 1;1 P  x  �� � �, x � 1;1 Bài 8: Cho a1 , a2 , , an số thực không âm không đồng thời n n 1 a/ Chứng minh phương trình x  a1 x   an 1 x  an  (6) có nghiệm dương b/ Giả sử R nghiệm dương phương trình (6) n n j 1 j 1 A  �a j , B  �ja j Chứng minh A A �R B Lời giải: (6) �  a) Do x  nên Đặt f  x   a a1 a2    nn x x x a a1 a2    nn Nhận xét f  x  liên tục f  x  nghịch biến x x x khoảng  0, � nên tồn R  cho b) Đặt c j  aj A Suy c j �0 n teo BĐT Jensen �c j  ln j 1 n Suy � c j 1 j n �c j 1 j f  R    Do hàm số y = -lnx lõm khoảng  0, � nên �n �n a j A A � �  ln c   ln � � j j � �� j Rj �j 1 R � �j 1 R ln R j  c j ln A � �  ln f  R    ln1  �  n n j 1 j 1 Và  ln A �c j � ln R  �jc j Hay aj � � n n a ln A � ja j  ln R  � doc j  ; A  �   � � j A j 1 A j 1 A � � Vậy nên ln A A �ln R B � A A �R B     Nhoùm học sinh lớp 11A1 127 ...Chương 2: Đa thức Chebyshev Các tính chất đa thức loại II: -Tính chất 1: x � 1,1 ta có Un  x  sin  n arccos x   x2 Tn '  x  n -Tính chất 2: U n  x   -Tính chất 3: a/ U n  x  đa thức... Chuyên đề Lượng giác Ứng dụng Một dấu hiệu để nhận biết tốn đa thức có sử dụng tính chất đa thức Chebyshev hay khơng miền giá trị đa thức Các toán miền  1,1 gợi cách giải phương pháp Ta xét...  d ,   Biết x � 1,1 ta Bài 2: Cho đa thức hệ số thực có f  x  � Tìm max a , b , c , d Nhận xét: Ta lưu ý cách chọn điểm luân phiên đa thức Chebyshev Lời giải: �A  � � � �B  � � C