PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN ČM’GAR ĐỀ CHỌN ĐỘI TUYỂN DỰ THI CẤP TỈNH NĂM HỌC 2017 – 2018 MƠN: TỐN- THCS Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề) Bài số Bài (2,0 điểm) xy + x x +1 + + 1÷: 1 − Cho biểu thức P = ÷ xy + 1 − xy a) Rút gọn biểu thức P b) Cho xy + x xy − − x +1 ÷ xy + ÷ + =8 Tìm giá trị lớn P x y Bài (2,0 điểm) a) Cho A = n6 − n4 + 2n3 + 2n2 (với n∈ N, n > 1) Chứng minh A khơng phải số phương b) Cho hai số thực a, b không âm thỏa mãn 18a + 4b ≥ 2013 Chứng minh phương trình sau ln có nghiệm: 18ax + 4bx + 671 − 9a = Bài (2,0 điểm) Tìm tất số phương gồm chữ số biết ta thêm đơn vị vào chữ số hàng nghìn , thêm đơn vị vào chữ số hàng trăm, thêm đơn vị vào chữ số hàng chục, thêm đơn vị vào chữ số hàng đơn vị , ta số phương Bài (1,5 điểm) µ =D µ = 900 ), có DC = 2AB Kẻ DH vng góc với Cho hình thang vng ABCD ( A AC (H∈ AC) , gọi N trung điểm CH Chứng minh BN vng góc với DN Bài (2,5 điểm) Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC < BC) nội tiếp đường tròn (O) Gọi H giao điểm hai đường cao BD CE tam giác ABC (D ∈ AC, E ∈ AB) a) Gọi I điểm đối xứng với A qua O J trung điểm BC Chứng minh ba điểm H, J, I thẳng hàng b) Gọi K, M giao điểm AI với ED BD Chứng minh 1 = + 2 DK DA DM hết HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ BIỂU ĐIỂM câu Bài a Gợi ý lời giải Điều kiện: 0,25 ) ( xy + 1) + ( xy + 1) ( − xy ) : ( xy + 1) ( − xy ) ( xy + 1) ( − xy ) + ( xy + x ) ( xy + 1) − ( x + 1) ( − xy ) = ( xy + 1) ( − xy ) ( x + 1) ( − xy ) + ( xy + x ) ( xy + 1) + ( xy + 1) ( − xy ) = = ( xy + 1) ( − xy ) + ( xy + x ) ( xy + 1) − ( x + 1) ( − xy ) P= = b ( xy ≠ Điểm ( ) ( x + 1) − xy + xy + x 0,25 0,25 0,25 1+ x = x y + xy xy 0,25 + ≥2 Theo Cơsi, ta có: = x y ⇒ ≤ 16 xy xy 0,25 1 Dấu xảy ⇔ x = y ⇔ x = y = 16 Vậy: maxP = 9, đạt : x = y = a 0,25 16 0,25 n − n + 2n + 2n = n (n + 1) (n − 2n + 2) 2 với n∈ N , n > n − 2n + = (n − 1) + > (n − 1) 2 2 2 n − 2n + = n − 2(n − 1) < n 0,25 0,25 2 Vậy (n − 1) < n − 2n + 2< n ⇒ n − 2n + không số 0, 25 phương ⇒ đpcm Cho hai số thực a, b thỏa mãn 18a + 4b ≥ 2013 (1) b 2,0 0, 25 Chứng minh phương trình 18ax + 4bx + 671− 9a = (2) TH1 : Với a = (2) ⇔ 4bx + 671= sau có nghiệm: 671 4b TH2 : Với a ≠ 0, ta có : ∆ ' = 4b − 18a(671− 9a) = 4b2 − 6a.2013+ 162a2 Từ (1) ⇒ b ≠ Vậy (2) ln có nghiệm x = − 0,25 0,25 ≥ 4b2 − 6a(18a + 4b) + 162a2 = 4b2 − 24ab + 54a2 = (2b − 6a)2 + 16a2 ≥ 0, ∀a, b0,25 Vậy pt ln có nghiệm 0,25 2,0 Gọi abcd số phải tìm a, b, c, d ∈ N, ≤ a , b, c, d ≤ 9, a ≠ 0,25 Ta có: abcd = k với k, m ∈ N, (a + 1)(b + 3)(c + 5)(d + 3) = m 31 < k < m < 100 ⇔ ⇔ abcd = k abcd + 1353 = m Do đó: m2–k2 = 1353 ⇒ (m+k)(m–k) = 123.11= 41 33 ( k+m < 200 ) m+k = 123 m+k = 41 ⇒ m–k = 11 m–k = 33 m = 67 m = 37 ⇔ k = 56 k = ( loại) Kết luận abcd = 3136 Gọi M trung điểm DH Chứng minh tứ giác ABNM hình bình hành ⇒ AM // BN (1) Chứng minh MN ⊥ AD Suy M trực tâm ∆ADN ⇒ AM ⊥ DN (2) Từ (1) (2) ⇒ BN ⊥ DN 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 2,0 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5 1,5 a b Ta có IB ⊥ AB; CE ⊥ AB (CH ⊥ AB) Suy IB // CH IC ⊥ AC; BD ⊥ AC (BH ⊥ AC) Suy BH // IC Như tứ giác BHCI hình bình hành J trung điểm BC ⇒ J trung điểm IH Vậy H, J, I thẳng hàng » · · = AIB = sdAB Ta có ACB ·ACB = DEA · · bù với góc DEB tứ giác nội tiếp BCDE · · BAI + AIB = 90 ∆ABI vng B · · · · Suy BAI + AED = 900 , hay EAK + AEK = 900 Suy ∆AEK vuông K Xét ∆ADM vuông M (suy từ giả thiết) DK ⊥ AM (suy từ chứng minh trên) 1 = + Như 2 DK DA DM Tổng Lưu ý: - Hs có cách giải khác cho điểm tối đa theo thang điểm - Điểm thi tổng điểm thành phần Khơng làm trịn 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 2,5 10