Quá trình markov trên time scale

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Trịnh Thị Bích Hiên Q trình Markov Time scale Tóm tắt luận văn thạc sỹ khoa học Hà Nội - 2011 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Trịnh Thị Bích Hiên Quá trình Markov Time scale Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất thống kê toán học Mã số: 60 46 15 Tóm tắt luận văn thạc sỹ khoa học Người hướng dẫn khoa học: GS.TS Nguyễn Hữu Dư Hà Nội - 2011 Möc löc Ki‚n thøc chu'n bà 1.1 Mt s nh nghắa 1.1.1 1.1.2 1.1.3 ToĂn tò cüc vi Ki‚n thøc cì b£n vã Kin thức vã quan h QuĂ trnh ngÔu nh Chuy”n ºng Brown Thíi gian àa ph÷ìn Qu¡ tr…nh Feller Cổng thức Dynkin ToĂn tò c trững Tnh thu“n nghàc 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 1.10 1.11 Chuy”n ºng Brown tr¶n mºt thang thíi gian 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 Sỹ tỗn ti T‰nh nh§t T‰nh thu“n nghàc Thíi i”m ch⁄m ƒu ti ph‰a Thíi i”m ch⁄m tr¶n m Mºt sŁ tnh chĐt ca chuyn ng Brown trản thang thới gian ríi r⁄c Tq Giỵi thi»u qu¡ tr…nh 3.1 i 3.2 Ph¥n phŁi thíi i”m ch⁄m 3.3 Gi£i thøc cıa qu¡ tr…nh K‚t lu“n T i li»u tham kh£o ii Líi nõi u Lỵ thuyt vã thang thới gian (time scale), ln u tiản ữổc trnh b y bi Stefan Hilger lu“n ¡n ti‚n sÿ khoa håc cıa æng v o nôm 1988 (vợi sỹ hữợng dÔn ca Bernd Aulbach) nh‹m thŁng nh§t vi»c tr…nh b y c¡c b i toĂn trữớng hổp liản tửc v rới rc Cho ‚n ¢ câ h ng chưc quy”n s¡ch v h ng ng n b i b¡o vi‚t v• thang thíi gian C¡c y‚u tŁ gi£i t‰ch tr¶n thang thíi gian  ữổc cĂc tĂc giÊ nghiản cứu mt cĂch sƠu rng v tữỡng i y V t õ nhiãu kt quÊ quen thuc trữớng hổp liản tửc v rới rc  ữổc "chuyn dch" sang thới gian Chflng hn vã hằ ng lỹc trản thang thới gian,  cõ nhng kt quÊ rĐt sƠu sc vã sỹ Œn ành, t‰nh dao ºng, b i to¡n gi¡ trà biản, Nu nhữ lỵ thuyt tĐt nh trản thang thới gian  nhn ữổc rĐt nhiãu sỹ ỵ thới gian gn Ơy v gn nhữ to n b lỵ thuyt giÊi tch trản ữớng thflng thỹc  ÷ỉc ph¡t tri”n tr¶n thang thíi gian th… nhœng nghi¶n cứu vã giÊi tch ngÔu nhiản trản thang thới gian li rĐt hn ch v ch mợi t ữổc nhng k‚t qu£ ban ƒu Ngay c£ vi»c x¥y düng c¡c quĂ trnh ngÔu nhiản cõ cĂc c tnh tữỡng tỹ nhữ cĂc quĂ trnh quen thuc trản R vÔn cặn gp nhiãu khõ khôn Mửc ch ca lun vôn n y l xƠy dỹng quĂ trnh chuyn ng Brown vợi khỉng gian tr⁄ng th¡i l mºt thang thíi gian Chóng tổi cụng nghiản cứu v i tnh chĐt ca quĂ tr…nh chuy”n ºng Brown tr¶n mºt thang thíi gian cư th T q Nhớ nh lỵ ni ting ca Levy bit rng chuyn ng Brown trản R ữổc c trững bi cĂc tnh chĐt sau: mt quĂ trnh ngÔu nhiản ( t)t2R+ nhn giĂ tr trản R l chuy”n ºng Brown v ch¿ khi: (I.) (II.) câ qu o mÔu liản tửc, l mt martingale, iii (III.) ( t t)t2R+ l mºt martingale Łi vỵi qu¡ trnh vợi thới gian liản tửc nhn giĂ tr trản Z, n‚u chóng ta thay i•u ki»n (I) b‹ng gi£ thit tữỡng tỹ l tĐt cÊ nhng bữợc nhÊy ca quĂ trnh ch cõ kch thữợc th s nhn ữổc c trững ca quĂ trnh Poisson ( nh lỵ Wantanabe (1972)) Chú ỵ rng vợi cÊ hai trữớng hổp qu¡ tr…nh nh“n gi¡ trà tr¶n R hay Z th… t‰nh Markov cıa l mºt h» qu£ hi”n nhi¶n tł c¡c gi£ thi‚t Trong lu“n v«n n y chóng tổi ch mun thng nhĐt cĂch nhn nh lỵ Levy v nh lỵ Wantanabe bng cĂch ch rng, trản mt thang thới gian T tuý ỵ khổng b chn trản v dữợi, luổn tỗn ti nhĐt (theo phƠn phi) mt quĂ trnh thoÊ mÂn iãu kiằn (II) v (III) cng vợi mt giÊ thit tữỡng tỹ ca (I) hoc tnh chĐt "trữổt tỹ do" ca bữợc nhÊy ngÔu nhiản Cử th (I.) Vợi x < y < z tr¶n T v v t c¡c thíi i”m r < t < n‚u r = x t = x th… = z ho°c r = z v r < s < s = y vỵi s n o â tho£ m¢n t Hìn nœa chóng tỉi chøng minh r‹ng qu¡ tr…nh n y l mºt qu¡ tr… nh Markov Feller - Dynkin thun-nghch vợi toĂn tò cỹc vi ữổc tnh toĂn hin chứng minh sỹ tỗn ti, ta x¥y düng hi”n mºt ph†p chuy”n Œi thíi gian cho chuy”n ºng Brown chu'n t›c Sau â, düa tr¶n kt quÊ nõi rng nu mt quĂ trnh ngÔu nhiản câ ph¥n phŁi thíi i”m ch⁄m cıa mºt qu¡ tr…nh Markov m⁄nh th… nâ l mºt chuy”n Œi thíi gian cıa qu¡ tr…nh Markov â (k‚t qu£ cıa Chacon v Jamison v ÷ỉc mð rºng bði Walsh, xem [5]) Cịng vợi viằc thit lp sỹ tỗn ti v tnh nhĐt ca chuyn ng Brown trản T chữỡng 2, ta ữa toĂn tò sinh ca nõ ToĂn tò sinh n y l mºt phi¶n b£n tü nhi¶n cıa to¡n tß sinh cıa chuy”n ºng Brown " chu'n tc f ! 2f Chú ỵ rng t (II) v (III) ta câ h» qu£ ìn gi£n l câ x cĐu trúc covariance nhữ chuyn ng Brown trản R, ngh¾a l E [ x x E [ s]E [ t] = s ^ t vỵi måi x T s t] Viằc nghiản cứu nhng tnh chĐt xa hìn cıa chuy”n ºng Brown tr¶n T l mºt y¶u cu tỹ nhiản Trong lun vôn, chúng tổi nghiản cứu vĐn ã k n y cho trữớng hổp c biằt T = Tq := f( q) : k Zg [ f0g vợi q > Trong trữớng hổp n y, qu¡ tr…nh b›t ƒu t⁄i x câ còng phƠn b k nhữ quĂ trnh (q k q2kt)t2R+ ữổc bt u ti q x vợi k Z Tnh chĐt "chia thang" nhữ chuyn ng Brown n y cho ph†p ta t‰nh to¡n iv hi”n nhœng bi‚n Œi Laplace cıa thíi i”m ch⁄m v gi£i thøc cıa dữợi dng cĂc s hng ca cĂc liản phƠn s Ta cõ th Ănh giĂ nhng liản phƠn s n y dữợi dng cĂc h m siảu bi cỡ bÊn Ni dung ca khõa lun gỗm ba chữỡng: Chữỡng 1: Ki‚n thøc chu'n bà Trong ch÷ìng n y chóng tỉi liằt kả cĂc khĂi niằm cỡ bÊn vã quĂ trnh ngÔu nhiản; nh nghắa v mt s t nh chĐt ca chuyn ng Brown; nh nghắa vã time scale; cĂc tnh chĐt cỡ bÊn nhĐt vã - o h m, tch phƠn trản time scale; khĂi niằm toĂn tò cỹc vi cıa qu¡ tr…nh Markov; kh¡i ni»m to¡n tß °c trững; khĂi niằm vã thới gian a phữỡng; quĂ trnh Feller-Dynkin; cỉng thøc Dynkin; c¡c ki‚n thøc cì b£n v• h m siảu bi; kin thức vã cĂc quan hằ truy hỗi v cĂc liản phƠn s Chữỡng 2: Nghiản cứu sỹ tỗn ti v nhĐt ca chuyn ng Brown trản mt thang thới gian cho trữợc chứng minh sỹ tỗn ti, chúng tổi Ăp dửng mt php chuy”n Œi thíi gian th‰ch hỉp v o chuy”n ºng Brown trản ữớng thflng thỹc xƠy dỹng ữổc mt quĂ trnh Markov FellerDynkin thoÊ mÂn nhng c trững Levy cıa chuy”n ºng Brown tr¶n thang thíi gian T‰nh nhĐt suy t viằc so sĂnh phƠn phi ca thíi i”m ch⁄m v düa v o mºt k‚t qu£ r‹ng n‚u mºt qu¡ tr…nh câ cịng ph¥n phŁi thíi i”m ch⁄m vỵi mºt qu¡ tr…nh Markov m⁄nh, qu¡ tr…nh â s‡ l £nh cıa qu¡ tr…nh Markov qua mºt php chuyn i thới gian Chữỡng 3: Nghiản cứu mt s tnh chĐt ca chuyn ng Brown trản thang thới gian rới rc Tq Bng viằc ữợc lữổng nhng liản phƠn s dữợi dng cĂc h m siảu hnh hồc, chóng tỉi ÷a cỉng thøc hi”n cho bi‚n Œi Laplace cıa thíi i”m ch⁄m cơng nh÷ gi£i cıa chuy”n ng Brown trản Tq Ngo i ra, sò dửng tnh thu“n nghàch cıa qu¡ tr…nh Łi vỵi º o tü nhi¶n tr¶n khỉng gian tr⁄ng th¡i, chóng tỉi t…m "ph¥n phŁi cıa thíi i”m ch⁄m" cıa º o Itỉ t÷ìng øng v sŁ mơ Laplace cıa nghàch £o cıa thới gian a phữỡng V thới gian v khÊ nông cõ hn vợi t i liằu tham khÊo rĐt h⁄n ch‚ n¶n khỉng tr¡nh khäi nhœng thi‚u sât v tnh chữa ho n thiằn ca vĐn ã t ra, mc dũ bÊn thƠn tổi  c gng rĐt nhiãu qu¡ tr…nh thüc hi»n lu“n v«n Tỉi xin ti‚p thu mồi ỵ kin nhn xt ca cĂc thy cổ, c¡c nh to¡n håc v c¡c nghi¶n cøu sinh v c¡c håc vi¶n cao håc CuŁi cịng tỉi xin b y tọ lặng bit ỡn sƠu sc tợi thy giĂo hữợng dÔn, GS TS Nguyn Hu Dữ, ngữới  cho tổi ã t i, hữợng dÔn v tn tnh v ch¿ b£o tæi suŁt qu¡ tr…nh tæi ho n th nh lun vôn NhƠn Ơy tổi cụng xin cÊm ìn c¡c thƒy cæ v b⁄n b– Khoa To¡n - Cì - Tin håc tr÷íng ⁄i håc Khoa håc Tỹ nhiản  trang b cho tổi nhng kin thức b ch nhng nôm va qua, cụng nhữ cĂc thƒy ph£n bi»n ¢ d nh thíi gian åc v õng gõp nhiãu ỵ kin quỵ bĂu cho tổi quĂ trnh hồc cụng nhữ nghiản cứu H Ni, nôm 2011 Hồc viản Trnh Th Bch Hiản vi Chữỡng Ki‚n thøc chu'n bà 1.1 Mºt sŁ ành ngh¾a v tnh chĐt cỡ bÊn vã thang thới gian 1.1.1 C¡c ành ngh¾a cì b£n Thang thíi gian l mºt õng tuý ỵ khĂc rỉng ca cĂc s thỹc R Thữớng ta kỵ hiằu l T Ta trang bà cho thang thíi gian T tỉpỉ c£m sinh t tổpổ thổng thữớng trản cĂc s thỹc R C¡c th‰ dư v• thang thíi gian l (a) R; Z; [0; 1] [ [2; 3]; t“p Cantor l nhœng thang thíi gian (b) Q; RnQ khỉng ph£i l thang thíi gian v… nâ khỉng ph£i l t“p âng ành nghắa 1.1.1 Cho T l mt thang thới gian Vợi mỉi t T, ta nh nghắa toĂn tò bữợc nhÊy tin (forward jump) v toĂn tò bữợc nhÊy lũi (backward jump) nhữ sau: (i) ToĂn tò bữợc nhÊy tin: :T!T (t) := inf fs T; s > tg ; (ii) ToĂn tò bữợc nhÊy lũi: :T!T (t) := sup fs T; s < tg : Ngo i ra: - N‚u (t) > t th… ta nâi t l i”m cæ l“p ph£i (right-scattered) - N‚u (t) < t th… ta nâi t l i”m cæ l“p tr¡i (left-scattered) - i”m t T m nâ vła l cæ l“p ph£i, vła l cæ l“p tr¡i gåi l i”m cæ l“p (isolated) - N‚u t < sup T v dense) - N‚u t > inf T v (t) = t th… ta nâi t l i”m trò m“t ph£i (right- (t) = t th… ta nâi t l i”m trò m“t tr¡i (left-dense) - i”m vła l trò m“t ph£i vła l trò m“t tr¡i gåi l i”m trò m“t (dense) - H m h⁄t graininess: : T ! [0; +1); (t) := (t) t: - Ta kỵ hiằu: k T := cho ỡn giÊn, ngoi tr nhng trữớng cn nhĐn mnh, t Ơy tr i ta kỵ hiằu cĂc on trản thang thới gian l (a; b]; [a; b); [a; b] thay cho c¡ch vi‚t (a; b]T; [a; b)T; [a; b]T Quy ữợc: inf ; = sup T (ngh¾a l , n‚u t = max T th… (t) = t): sup ; = inf T (ngh¾a l , n‚u t = T th… (t) = t): 1.1.2 Php tnh vi phƠn nh nghắa 1.1.2 X†t h m sŁ f : T ! R - ⁄o h m (cỈn gåi l ⁄o h m Hilger) cıa f t⁄i t T l mºt sŁ (n‚u nõ tỗn ti), kỵ hiằu f (t), nu vợi mồi " > cho trữợc tỗn ti lƠn cn U cıa t cho f( (t)) [ f( -k ÷ỉc gåi l vỵi måi t T H» qu£ 3.2.2 Bi‚n Œi Laplace cıa nhœng thíi i”m ch⁄m kh¡c cho Xb ÷ỉc ÷a bði: H n;n H n; ( ) =1 1(0; v Hn;n+m( ) = Chøng minh K‚t qu£ nh§t cƒn chøng minh l nhi¶n, (1.2), ta câ lim n!1 1 Chóng ta cõ th Ăp dửng cĂc ỗng nhĐt thức  bi‚t ” câ ÷ỉc nhœng d⁄ng kh¡c bi”u thøc cho bin i Laplace nh lỵ 3.2.1 v hằ quÊ 3.2.2 V‰ dư, ph÷ìng tr…nh (13) [12] ÷a ra: " H ( )=1 T÷ìng tü, ph÷ìng tr…nh (17) [12] ÷a ra: # H0 ( ) = MŁi quan h» (!; q)11 1(0; !; q; c) = (c; q)11 1(0; c; q; !) 49 suy tł (III.1) [14] cho b ! 0; °t a = T÷ìng tỹ, php truy hỗi 1(0; = ( ỗng nhĐt thức ãu cõ th sò dửng thu ữổc cổng thøc thay th‚ cho # " H0 v H0 Chóng ta câ th” £o ng÷ỉc bi‚n Œi Laplace H0; hằ quÊ 3.2.2 thu ữổc phƠn phi ca thới im n u t q Trữợc tiản þ r‹ng: T÷ìng tü, 1 (0; q2 1 n+1 = X ; q 2; q2n+2 1) ( q2n+2 ( ) q2 n+1 2 ; q )k(q ; q )k )kqk(k k=0 Do â, dữợi P qn 2n thới gian cht i q ( â Ti l t l» ºc l“p mô v cõ phƠn b nhữ bin ngÔu nhiản ( q ( qk ph¥n bŁ Poisson [15], cư th”, 50 Ta suy rng dữợi P qn phƠn phi ca q2n+2N Mºt ph¥n sŁ mð rºng cıa bi‚n Œi Laplace ch¿ r‹ng t‰ch ch“p cıa ph¥n phŁi mơ, sŁ thø i câ t l» i, câ m“t º: X t 7! ie i t i Do â P 2j q Tj câ m“t º ) q 2(k j) (3.8) = eq ( q q2(m+n)+1f(tq2(n+m)+1); t > Ta câ k‚t qu£ sau M»nh ã 3.2.3 Dữợi P 1 eq ( qn X q , thíi i”m ch⁄m cıa X câ h m m“t º: qm 2 ) m=0 (q ; q )m â f(t) ÷ỉc x¡c ành (3.8) Nhỵ l⁄i r‹ng vỵi chuy”n câ m“t º Œn ành ºng Brown b›t ƒu t⁄i 1, thíi i”m ch⁄m Ta suy tł m»nh • 3.1.1 r‹ng ph¥n bŁ cıa cqq 2N P 2i q Ti hi tử tợi i=0 phƠn b n nh n y q # Tł lu“t sŁ lỵn cıa Lai vã cĂc s lợn cho 51 tng Abel (xem [24]) chóng ta câ: Xi lim q#1 =0 2N v v… v“y cq(1 q ) q còng hºi tử vợi phƠn phi n nh LĐy logarithms thu ữổc kt quÊ sau Ơy Mằnh ã 3.2.4 Khi q ! 1, phƠn phi ca bin ngÔu nhiản 2(log q)N + log(q 1) hi tử tợi phƠn phi vỵi h m m“t º p2 exp 3.3 Gi£i thøc cıa qu¡ tr…nh ti¶u vong tr¶n Tq \ (0; 1) K‰ hi»u Rb l gi£i thøc cıa qu¡ tr…nh Xb tr¶n T q \ (0; +1) ti¶u vong t⁄i n n1 2n+1 n n+1 0: Nhỵ l⁄i r‹ng Xb i tł q ‚n q vỵi tŁc º q v tł q ‚n q vỵi tŁc º q 2n n Do â thíi gian tho¡t khäi q l ph¥n bŁ mơ vỵi t¿ l» q 2n+1 + q 2n, xĂc suĐt ca sỹ chuyn tợi qn l q+1q v xĂc suĐt ca sỹ chuyn tợi qn+1 l Hìn E qn T 1 q+1 nœa, Eqn [e Tn ] = Hn" 1( ) v # [e n ] = Hn +1( ) Tł t‰nh ch§t Markov m⁄nh chóng ta nh“n n n Rb (q ; fq g) ÷ỉc: = +q q + q 2n+1 + q 2n cho: n n Rb (q ; fq g) (1 q 2n+1 + q = + (q 52 " # Th‚ b§t ký mºt cỉng thøc hi”n cho Hn v Hn +1 phƒn (3.2) s‡ ÷ỉc mºt bi”u thức cho cĂc s hng trản ữớng cho ca giÊi thức dữợi dng cĂc s hng ca cĂc h m siảu bi thu ữổc cĂc s hng ngo i ÷íng ch†o, sß dưng quan s¡t: m n Rb (q ; fq g) = E qm [e Tqn ]Rb (qn; fqng) = Hm;n( )Rb (qn; fqng) V sau â thay th‚ cæng thøc hi”n cho Hm;n( ) tł phƒn (3.2) thu ÷ỉc bi”u thøc c¡c sŁ h⁄ng cıa cĂc h m siảu hnh hồc ỡn giÊn Lỵ tững nhĐt, ngữới ta mun Êo ngữổc bin i Laplace 'n x gi£i thøc thu ÷ỉc c¡c bi”u thøc cho x¡c su§t chuy”n P fXbt = yg Chóng tỉi vÔn chữa th l m ữổc iãu n y 53 Kt lun Lun vôn  xƠy dỹng v chứng minh sỹ tỗn ti, nhĐt ca chuyn ng Brown vợi khỉng gian tr⁄ng th¡i l mºt thang thíi gian Lu“n vôn  xƠy dỹng ữổc toĂn tò sinh ca chuyn ng Brown v nghiản cứu mt s t nh chĐt quan trồng ca nõ, nhữ tnh Êo ngữổc, phƠn phi ca thới im chm Nhng tnh chĐt n y ữổc nghiản cứu kắ hỡn mt thang thới gian c bi»t: Tq Chuy”n ºng Brown nâi ri¶ng v qu¡ tr…nh Markov âng mºt vai trỈ quan trång gi£i t‰ch ngÔu nhiản Do õ, chúng tổi hy vồng nhng kt quÊ lun vôn l mt bữợc quan trồng viằc nghiản cứu giÊi t ch ngÔu nhiản trản thang thíi gian Trong t÷ìng lai, chóng tỉi cơng hi vång tip tửc nghiản cứu nhng tnh chĐt sƠu sc hỡn cıa chuy”n ºng Brown v qu¡ tr…nh Markov tŒng qu¡t tr¶n thang thíi gian 54 T i li»u tham kh£o [1] Lisa Lorentzen and Haakon Waadeland, Continued fractions with applications, Studies in Computational Mathematics, vol 3, North-Holland Publishing Co., Amsterdam, 1992 [2] Martin Bohner and Allan Peterson, Dynamic Equations on Time Scales, Birkhauser Boston Inc., Boston, MA, 2001, An introduction with application [3] L C G Rogers and Divid Williams Diffusions, Markov Processes,and Martingales Vol Cambridge Mathematical Library, Cambridge University Press, Cambridge, 2000, Foundation, Reprint of the second (1994) edition [4] L C G Rogers and Divid Williams Diffusions, Markov Processes,and Martingales Vol Cambridge Mathematical Library, Cambridge University Press, Cambridge, 2000, Itæ calculus, Reprint of the second (1994) edition [5] John B Walsh, On the Chacon-Jamison theorem Z Wahrsch Verw Gebiete, 68 (1984), no 1, 9-28 [6] R V Chacon and B Jamison, A fundamental property of Markov processes with an application to equivalence under time changes Is-rael J Math 33 (1979), no.3-4, 241-269 (1980), A collection of in-vited papers on ergodic theory [7] Hans Volkmer, Eigenvalue problems of Atkinson, Feller and Krein, and their mutual relationship Electron J Differential Equations (2005), No 48, 15pp (electronic) 55 [8] Philippe Flajolet and Fabrice Guillemin, The formal theory of birth-and-death processes, lattice path combinatorics and continued frac-tions Adv in Appl Probab 32(2000), no 3, 750778 [9] Fabrice Guillemin and Didier Pinchon, Excursions of birth and death processes, orthogonal polynomials, and continued fractions J Appl Probab 36.(1999), no 3, 752-770 [10] Uwe Kuchler and Paavo Salminen, On spectral measures of strings and excursions of quasi diffusions, S†minaire de Probabilit†s, XXIII, Lecture Notes in Math., vol 1372, Springer, Berlin, 1989, pp 490-502 [11] Richard Durrett, Probability: theory and examples, second ed., Duxbury Press, Belmont, CA, 1996 [12] S Bhargava and Chandrashekar Adiga, On some continued frac-tion identities of Srinivasa Ramanujan, Proc Amer Math Soc 92 (1984), no 1,13-18 [13] D P Gupta, M E H Ismail, and D R Masson, Contiguous re-lations, basic hypergeometric functions, and orthogonal polynomi-als III Associated contintous dual q-Hahn polynomials, J.Comput Appl Math 68 (1996), no 1-2, 115-149 [14] George Gasper and Mizan Rahman, Basic hypergeometric series, seconded., Encyclopedia of Mathematics and its Applications, vol 96, Cambridge University Press, Cambridge, 2004, With a foreword by Richard Askey [15] Adrienne W Kemp, Heine-Euler extensions of the Poisson distribu-tion,Comm Statist Theory Methods 21 (1992), no 3, 571588 [16] Samuel Karlin and James McGregor, The classiffcation of birth and death processes,Trans Amer Math Soc 86 (1957), 360-400 [17] Samuel Karlin and James McGregor,Linear growth birth and death processes,J Math Mech (1958), 643-662 [18] Samuel Karlin and James McGregor,Many server queueing processes with Poisson input and exponential service times,Pacific J Math (1958), 87-118 56 [19] Erik A van Doorn, Birth-death processes and associated polynomi-als, J Comput Appl Math 153 (2003), no 1-2, 497-506 [20] T H Koornwinder, q-special functions, a tutorial, Representations of Lie groups and quantum groups Proceedings of the European School of Group Theory and the Congress on Advances in Represen-tation Theory of Lie Groups and Quantum Groups held in Trento, July 19-30, 1993 [21] George E Andrews, Richard Askey, and Ranjan Roy, Special func-tions,Encyclopedia of Mathematics and its Applications, vol 71, Cambridge University Press, Cambridge, 1999 [22] M.Bohner and G.Sh.Guseinov, Riemann anh Lebesgue Integrations, preprint [23] A.Canada and D.R.Vivero,Expression of the Lebesgue -integral on time scales as a usual Lebesgue integral; application to the caculus of -antiderrivatives, Math Comput Modelling 43, 2006, 194-207 [24] Tze Leung Lai, Summability methods for independent identically dis-tributed random variables, Proc Amer Math Soc 45 (1974), 253-261 [25] H Dym and H P McKean, Gaussian processes, function theory, and the inverse spectral problem, Academic Press [Harcourt Brace Jovanovich Pubisshers], New York, 1976, Probability and Methe-matical Statistics, Vol 31 [26] I S Kats, The spectral theory of a string, Ukrain Mat Zh 46 (1994), no 3, 155-176 57 ... HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Trịnh Thị Bích Hiên Quá trình Markov Time scale Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất thống kê toán học Mã số: 60 46 15 Tóm tắt luận... nh chĐt ca chuyn ng Brown; nh nghắa vã time scale; cĂc tnh chĐt cỡ bÊn nhĐt vã - o h m, tch phƠn trản time scale; khĂi niằm toĂn tò cüc vi cıa qu¡ tr…nh Markov; kh¡i ni»m to¡n tß c trững; khĂi... nu mt quĂ trnh ngÔu nhiản cõ phƠn phi thới im chm ca mt quĂ tr…nh Markov m⁄nh th… nâ l mºt chuy”n Œi thíi gian cıa qu¡ tr…nh Markov â (k‚t qu£ cıa Chacon v Jamison v ÷ỉc mð rºng bði Walsh, xem