PT-HPT VÔ TỈ

PHƯƠNG TRÌNH ,BẤT PHƯƠNG TRÌNH HỆ PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ    TRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ KHOA SƯ PHẠM BM_ TOÁN BÁO CÁO GIẢI TOÁN PHỔ THÔNG Sinh viên thực hiện_nhóm 1: 1.Trần Thị Điệp 1090039 2.Huỳnh Vĩnh Sang 1090058 3.Nguyễn Hữu Tài 1090059 4.Nguyễn Minh Sơn 1090024 Giáo viên hướng dẫn: Bùi Phương Uyên ĐH CẦN THƠ 9/2010 (Phương trình_bất phương trình_hệ phương trình vô tỉ) PHƯƠNG TRÌNH i hệ phương trình vô tỉ' title='giải hệ phương trình vô tỉ'>Phương trình_bất phương trình_hệ phương trình vô tỉ) PHƯƠNG TRÌNH ương trình vô tỉ khó' title='hệ phương trình vô tỉ khó'>Phương trình_bất phương trình_hệ phương trình vô tỉ) PHƯƠNG TRÌNHt='chuyên đề hệ phương trình vô tỉ' title='chuyên đề hệ phương trình vô tỉ'>Phương trình_bất phương trình_hệ phương trình vô tỉ) PHƯƠNG TRÌNH='cách giải hệ phương trình vô tỉ' title='cách giải hệ phương trình vô tỉ'>Phương trình_bất phương trình_hệ phương trình vô tỉ) PHƯƠNG TRÌNH ,BẤT PHƯƠNG TRÌNH HỆ PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ A.PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ: Lược đồ để giải các phương trình vô tỉ: Bước 1: Đặt điều kiện có nghĩa cho phương trình Bước 2: Lựa chọn phương pháp thực hiện: • Phương pháp 1: Biến đổi tương đương • Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ ,có 4 dạng đặt ẩn phụ a.Sử dụng 1 ẩn phụ để chuyển phương trình ban đầu thành một phương trình với một ẩn phụ b.Sử dụng một ẩn phụ chuyển một phương trình ban đầu thành một phương trình với một ẩn phụ nhưng các hệ số vẫn còn chứa x c.Sử dụng k ẩn phụ để chuyển phương trình ban đầu thành hệ phương trình với k ẩn phụ • Phương pháp 3: Hàm số bao gồm: a.Sử dụng tính liên tục của hàm số b.Sử dụng tính đơn điệu của hàm số Chú ý: 1.Trong trường hợp sử dụng phương pháp biến đổi tương đương ,chúng ta có thể bỏ qua bước 1 để giảm thiểu độ phức tạp 2.Nếu lựa chọn phương pháp đặt ẩn phụ thì: a.Với phương trình không chứa tham số có thể chỉ cần thiết lập điều kiện kẹp cho ẩn phụ b.Với phương chứa tham số phải đi tìm điều kiện đúng cho ẩn phụ Ví dụ: Nếu đặt 2 2 5t x x= − + thì: a.Với phương trình không chứa tham số có thể chỉ cần điều kiện 0t ≥ b.Với phương trình chứa tham số phải cần điều kiện 2t ≥ I.SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG: 1.Phương pháp: Với các dạng cơ bản: Dạng 1: Phương trình: ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 0 (*) ( , ) ( , ) f x m g x m x D f x m g x m f x m g x m = ∈  ⇔ = ≥ ⇔  =  Điều kiện (*) được lựa chọn tùy theo độ phức tạp của ( , ) 0 & ( , ) 0f x m g x m≥ ≥ Dạng 2: Phương trình: ( , ) ( , )f x m g x m= Trang 1 { Dạng 3:Phương trình: ( , ) ( , ) ( , )f x m g x m h x m+ = { 2.Ví dụ: Ví dụ 1:Tìm m để phương trình sau có nghiệm: 2 2 3 2 2x x m x x− + − = + − Giải: Phương trình được biến đổi tương đương về dạng: 2 2 3 2 2 0x x m x x− + − = + − ≥ 2 1 2 3 2 0 1 1 x x x x m x m ≤ ≤  − + − ≥  ⇔ ⇔   = + = +   Do đó để phương trình có nghiệm, điều kiện là: 1 1 2 0 1m m≤ + ≤ ⇔ ≤ ≤ Ví dụ 2: Cho phương trình: 2 1x x m− − = (1) a.Giải phương trình với m=1 b.Giải và biện luận phương trình Giải: Phương trình được viết lại: 2 1x x m− = + 2 2 2 0 ( ) 1 ( ) 2 1 x m x m I x x m mx m + ≥ ≥ −   ⇔ ⇔   − = + = − −   a.Với m=1 ,hệ (I) được chuyển về dạng: 1 1 2 2 x x x ≥ −  ⇔ = −  = −  Vậy với m=1 phương trình có nghiệm x = -1 b.Ta xét các trường hợp:  Với m = 0 ,khi đó (2) vô nghiệm. Do đó (1) vô nghiệm  Với m ≠ 0 Khi đó (I) có nghiệm ⇔ (2) có nghiệm thỏa mãn x m≥ − 2 2 1 1 0 2 2 m m m m m + − ⇔ − ≥ − ⇔ ≥ ⇔ [ Trang 2 f(x,m) có nghĩa và f(x,m) ≥ 0 g(x,m) có nghĩa và g(x,m) ≥ 0 ( , ) ( , ) 2 ( , ) ( , ) ( , )f x m g x m f x m g x m h x m+ + = g(x,m) có nghĩa & g(x,m) ≥ 0 f(x,m) = g 2 (x,m) m ≥ 1 -1 ≤ m<0 Kết luận: • Với m ≥ 1 hoặc 1 m − ≤ <0 ,phương trình có nghiệm: 2 1 2 m x m + = − • Với m<-1 hoặc 0 m≤ <1 ,phương trình vô nghiệm Ví dụ 3: Giải phương trình: 3 4 2 1 3x x x+ − + = + Giải: Viết lại phương trình: 3 4 2 1 3x x x+ − + = + 3 4 0 3 0 3 4 3 2 (1 )(1 2 ) 2 1 x x x x x x x  + ≥  ⇔ + ≥   + + + + − − = +  (2) (2) vô nghiệm vì – (x+3)<0, 4 3 x∀ ≥ − Do đó phương trình đã cho vô nghiệm II.SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ_DẠNG 1: 1.Phương pháp: Ta chuyển phương trình ban đầu thành một phương trình với một ẩn phụ Các ẩn phụ thường gặp sau: • Nếu bài toán chứa ( )f x & f(x) có thể: Đặt t = ( )f x ,điều kiện tối thiểu 0t ≥ , khi đó f(x)=t 2 • Nếu bài toán chứa ( ), ( ) & ( ) ( )f x g x f x g x k= ( k=const ) có thể đặt t = ( )f x ,điều kiện tối thiểu 0t ≥ ,khi đó ( ) k g x t = • Nếu bài toán chứa ( ) ( ), ( ) ( )f x g x f x g x+ & f(x) + g(x) = k ( k=const) có thể: Đặt ( ) ( )t f x g x= ± ,khi đó 2 ( ) ( ) 2 t k f x g x − = • Nếu bài toán chứa 2 2 a x− có thể: Trang 3 4 4 3 3 3 (1 )(1 2 ) ( 3) (1 )(1 2 ) 3 x x x x x x x x x  ≥ −   ≥ −   ⇔ ≥ − ⇔     − − = − + − − = − −    Đặt sint a t= ,với 2 2 t π π − ≤ ≤ hoặc cosx a t= ,với 0 t π ≤ ≤ • Nếu bài toán chứa 2 2 x a− có thể: Đặt sin a x t = với { } , \ 0 2 2 t π π   ∈ −     hoặc cos a x t = với [ ] 0, \ 2 t π π   ∈     • Nếu bài toán chứa 2 2 a x+ ,có thể: Đặt tanx a t= với ( , ) 2 2 t π π ∈ − hoặc cotx a t= với (0, )t π ∈ • Nếu bài toán chứa a x a x + − hoặc a x a x − + có thể đặt x = acos2t • Nếu bài toán chứa ( )( )x a b x− − có thể đặt x = a+(b-a)sin 2 t 2.Các ví dụ: Ví dụ 1: Giải phương trình: 2 2 11 31x x+ + = Giải: Đặt 2 11t x= + ,t > 0 ⇒ t 2 - 11 = x 2 ,Phương trình trở thành: t 2 + t -42 = 0 1 169 2 t − + ⇔ = (vì t >0) 2 1 169 63 169 11 2 2 x x − + − ⇒ + = ⇒ = Ví dụ 2: Giải phương trình: 2 2 3 3 3 6 3x x x x− + + − + = Giải: Đặt t = x 2 -3x + 3 ,ta có: 2 3 3 3 ( ) 2 4 4 t x= − + ≥ Khi đó phương trình trở thành: 3 3 3 2 ( 3) 9t t t t t t+ + = = + + + + = 2 3 0 3 ( 3) 3 1 1 ( 2) (3 ) t t t t t t t t t t − ≥ ≤   ⇔ + = − ⇔ ⇔ ⇔ =   = + = −   2 1 3 3 1 2 x x x x =  ⇔ − + = ⇔  =  Vậy phương trình có hai nghiệm x = 1 ,x = 2 Ví dụ 3: Tìm m để phương trình sau có nghiệm : 1x x m+ − = (1) Giải: Trang 4 Điều kiện: 0 0 1 1 0 x x x ≥  ⇔ ≤ ≤  − ≥  Thấy: 2 2 ( ) ( 1 ) 1x x+ − = Ta đặt: cos 1 sin x t x t  =   − =   ,với 0, 2 t π   ∈     Khi đó phương trình trở thành dạng: cost + sint = m os( ) 4 2 m c t π ⇔ − = Điều kiện để phương trình có nghiệm là: 1 1 2 2 2 m m− ≤ ≤ ⇔ − ≤ ≤ Với điều kiện đó ta đặt : [ ] os , 0, 2 m c α α π = ∈ Ta được: 2 2 os( ) os 2 4 2 os ( 2 ) 4 4 os ( ) 4 c t c t k t k x c k x c π α α π π π α π α π π α − = ⇔ − = ± + ⇔ = ± + ⇔ = ± + ⇔ = ± Ví dụ 4: Giải phương trình: 2 2 1 1 (1 2 1 )x x x+ − = + − Giải: Điều kiện: 2 1 0 1 1x x− ≥ ⇔ − ≤ ≤ Đặt x = sint với [ ] 0,t π ∈ Khi đó phương trình trở thành: 2 2 1 1 sin sin (1 2 1 sin )t t t+ − = + − Trang 5 os 0 1 2 6 2 3 2 1 sin 2 2 2 t c t x t x t π π   = =    =   ⇔ ⇔ ⇔     = = =      Vậy nghiệm của phương trình là : x=1/2 hoặc x=1 III.PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ _DẠNG 2: 1 cos sin (1 2cos ) 2 os sin sin 2 2 3 2 os 2sin os 2 2 2 3 2 cos (1 2 sin ) 0 2 2 t t t t c t t t t t c c t t ⇔ + = + ⇔ = + ⇔ = ⇔ − = 1.Phương pháp: • Sử dụng một ẩn phụ chuyển phương trình ban đầu thành một phương trình với một ẩn phụ nhưng các hệ số vẫn còn chứa x • Phương pháp này thường được sử dụng đối với những phương trình khi lựa chọn ẩn phụ cho một biểu thức thì các biểu thức còn lại không biểu diễn triệt để qua ẩn phụ đó hoặc nếu biểu diễn được thì công thức biểu diễn quá phức tạp • Khi đó ta được một phương trình bậc hai theo ẩn phụ ( hoặc vẫn theo ẩn x ) có biệt số ∆ là một số chính phương 2.Ví dụ: Giải phương trình: 2 2 1 2 2x x x x− = + Giải: Đặt 2 2t x x= + ,với 2 2 0 2t t x x≥ ⇒ = + Khi đó phương trình trở thành: 2 2 2 1 2 2 2 1 0 t x xt t xt x − − = ⇔ − − − = Ta có: 2 2 2 1 ( 1)x x x ′ ∆ = + + = + Do đó phương trình có nghiệm: 2 2 2 2 2 2 ( 1) 3 1 0 2 (3 1) 3 1 1 1 0 2 ( 1) 1 3 8 4 1 0 1 1 4 t x x x x x x t x t x x x x x x x x x x = ± +  + ≥    + = + = +    ⇔ ⇔   = − − ≥      + = −     ≥ −      + + =   ⇔  ≥      =     Vậy phương trình đã cho vô nghiệm Trang 6 IV.PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ_DẠNG 3: 1.Phương pháp: • Sử dụng k ẩn phụ chuyển phương trình ban đầu thành một hệ phương trình với k ẩn phụ • Trong hệ mới thì k-1 phương trình nhận được từ các mối liên hệ giữa các đại lượng tương ứng .Chẳng hạn đối với phương trình: ( ) ( ) m m a f x b f x c− + + = ⇔ vô nghiệm Ta có thể đặt: ( ) ( ) m m u a f x v b f x  = −   = +   Suy ra m m u v a b+ = + Khi đó ta thu được hệ phương trình: m m u v a b u v c  + = +  + =  2.Ví dụ: 3 2 1 1x x− = − − Giải: Điều kiện: 1 0 1x x− ≥ ⇔ ≥ Đặt 3 2 , 0 1 u x v v x  = −  ≥  = −   Suy ra 3 2 1u v+ = Khi đó phương trình được chuyển thành hệ: 3 2 3 2 3 2 3 3 3 1 (1 ) 1 2 0 1 2 0 2 1 2 1 1 2 10 2 2 u v u u u u u u v x u o x u x x u x x  + = ⇒ + − = ⇔ + − =  + =   − = = =      ⇔ = ⇔ − = ⇔ =       = − = − = −     Vậy phương trình có 3 nghiệm x = 2 ,x = 1 ,x = 10 V.SỬ DỤNG TÍNH CHẤT LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ: 1.Phương pháp: Cho phương trình f(x)=0 ,để chứng minh phương trình có k nghiệm phân biệt trong [ ] ,a b ,ta thực hiện theo các bước sau: Bước 1: Chọn các số a < T 1 < T 2 < … < T k-1 < b chia đoạn [ ] ,a b thành k khoảng thỏa mãn: { Trang 7 Bước 2: Kết luận 2. Ví dụ: Cho phương trình : 3 2 6 1 3x x+ − = CMR: phương trình có 3 nghiệm phân biệt thuộc (-7,9) Giải: Đặt 3 1t x= − Khi đó phương trình có dạng: 2t 3 - 6t + 1 = 0 Xét hàm số f(t) = 2t 3 - 6t + 1 = 0 liên tục trên R f(a)f(T 1 )<0 ………. f(T k-1 )f(b)<0 Ta có: f(-2) = -11 ,f(0) = 1 ,f(1) = -3 ,f(2) = 13 Suy ra: • f(-2)f(0) =-11<0 ,phương trình có ít nhất 1 nghiệm 1 ( 2,0)t ∈ − khi đó 3 3 1 1 1 1 1 1 1 & (1,9)t x x t x= − ⇒ = − ∈ • f(0)f(1) = -3 <0 ,phương trình có ít nhất 1 nghiệm 2 (0,1)t ∈ khi đó 3 3 2 2 2 2 2 1 1 & (0,1)t x x t x= − ⇒ = − ∈ • f(1)f(2) = -39 <0 ,phương trình có ít nhất 1 nghiệm 3 (1, 2)t ∈ khi đó 3 3 3 3 3 3 3 1 1 & ( 7,0)t x x t x= − ⇒ = − ∈ − Vậy phương trình có 3 nghiệm trên khoảng (-7,9) VI.SỬ DỤNG TÍNH CHẤT ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ: 1.Phương pháp: Ta có 3 hướng áp dụng sau: Hướng 1: Thực hiện theo các bước: Bước 1: Chuyển phương trình về dạng: f(x) = k (1) Bước 2: Xét hàm số y = f(x) Dùng lập luận khẳng định hàm số đơn điệu (giả sử đồng biến) Bước 3: Nhận xét • Với 0 0 ( ) ( )x x f x f x k= ⇔ = = ,do đó x = x 0 là nghiệm • Với 0 0 ( ) ( )x x f x f x k> ⇔ > = ,do đó phương trình vô nghiệm • Với 0 0 ( ) ( )x x f x f x k< ⇔ < = ,do đó phương trình vô nghiệm Hướng 2: Thực hiện theo các bước: Bước 1: Chuyển phương trình về dạng: f(x) = g(x) (2) Bước 2: Xét hàm số y = f(x) & y = g(x) Dùng lập luận khẳng định hàm số y = f(x) là đồng biến còn hàm số y = g(x) là hàm hằng hoặc nghịch biến Xác định x 0 sao cho f(x 0 ) = g(x 0 ) Bước 3: Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = x 0 Hướng 3: Thực hiện theo các bước: Bước 1: Chuyển phương trình về dạng: f(u) = f(v) (3) Trang 8 Bước 2: Xét hàm số y = f(u) Dùng lập luận khẳng định hàm số đơn điệu (giả sử đồng biến) Bước 3: Khi đó (3) 1 ( , )u v u v D⇔ = ∀ ∈ 2.Ví dụ: Giải phương trình: 2 1 3x x x− = + − Giải: Điều kiện : 1x ≥ Xét hàm số ( ) 1f x x= − ,là hàm đồng biến trên [ ) 1,D = +∞ Xét hàm số g(x) = 3 + x - x 2 MXĐ: [ ) 1,D = +∞ Đạo hàm: 2 ( ) 1 0,g x x x D ′ = − < ∀ ∈ .Suy ra : hàm số nghịch biến trên D Do đó phương trình đã cho có dạng: f(t) = g(t) Nếu có nghiệm thì đó là nghiệm duy nhất Thấy x = 2 thỏa mãn phương trình Vậy phương trình có nghiệm x = 2 B.BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ Lược đồ để giải các bài toán bất phương trình vô tỉ: Ä Đặt điều kiện có nghĩa cho bpt Ä Lựa chọn phương pháp thực hiện 1. Biến đổi tương đương. 2. Đặt ẩn phụ, bao gồm: a) Sử dụng một ẩn phụ để chuyển bất phương trình ban đầu thành một bất phương trình với một ẩn phụ. b) Sử dụng một ẩn phụ để chuyển bất phương trình ban đầu thành một bất phương trình với một ẩn phụ nhưng các hệ số vẫn còn chứa c) Sử dụng ẩn phụ chuyển bất phương trình ban đầu thành một bất phương trình hoặc một hệ bất phương trình với ẩn phụ. o Hàm số: Sử dụng tính đơn điệu của hàm số Chú ý: tương tự như chú ý ở phần A I.CÁC PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG: 1. Phương pháp: Ä Dạng 1: Bất phương trình Trang 9 < Ä Dạng 2: Bất phương trình [...]... kiện: (*) Viết lại bất phương trình dưới dạng: (2) Xét hàm số: Thấy ngay hàm số đồng biến trên Khi đó (2) được biến đổi như sau: Vậy nghiệm của bất phương trình là: C.HỆ PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ Các bước giải các hệ phương trinh vô tỉ: Bước 1: Đặt điều kiện có nghĩa cho hệ phương trình Bước 2: Lựa chọn phương pháp thực hiện: Phương pháp 1 : Biến đổi tương đương Phương pháp 2 : Đặt ẩn phụ Phương pháp 3 : Hàm... 1.Phương pháp 2.ví dụ B.Bất phương trình vô tỉ I.Các phương pháp biến đổi tương đương 1.Phương pháp 2.ví dụ II.Các phương pháp đặt ẩn phụ_dạng 1 1.Phương pháp 2.ví dụ III.Các phương pháp đặt ẩn phụ_dạng 2 1.Phương pháp 2.ví dụ IV.Các phương pháp đặt ẩn phụ_dạng 3 1.Phương pháp 2.ví dụ V Sử dụng các tính chất đơn điệu của hàm số 1.Phương pháp 2.ví dụ C.Hệ phương trình vô tỉ I Phương pháp biến đổi tương đương... − < 0, ∀x ≥ 0 2 x Do vậy x=1 là nghiệm duy nhất của phương trình này Khi đó hệ ( II ) trở thành: x = y ⇔ x = y =1  x =1 Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất : x = y = 1 Trang 21 MỤC LỤC A Phương trình vô tỉ Trang I.sử dụng phương pháp biến đổi tương đương1 1.Phương pháp 2.Ví dụ II.Sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ_dạng 1 1.Phương pháp 1 2 3 3 2.ví dụ III.Sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ_dạng2 1.Phương pháp... ta hoàn toàn có thể sử dụng phép biến đổi tương đương để thực hiện ví dụ trên, cụ thể như sau: III.CÁC PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ_DẠNG 2: 1 Phương pháp: Ý tưởng của phương pháp cũng giống như phương trình vô tỉ 2 Ví dụ : Trang 12 Giải phương trình: Giải: Đặt , điều kiện: Bất phương trình có dạng: Coi vế trái của bất phương trình là một tam thức bậc hai theo , ta có: Khi đó có các nghiệm Tức là (1) được biến . trình_hệ phương trình vô tỉ) PHƯƠNG TRÌNH ,BẤT PHƯƠNG TRÌNH HỆ PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ A.PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ: Lược đồ để giải các phương trình vô tỉ: Bước 1: Đặt. phương trình có nghiệm x = 2 B.BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ Lược đồ để giải các bài toán bất phương trình vô tỉ: Ä Đặt điều kiện có nghĩa cho bpt Ä Lựa chọn