Nguyễn Đức Việt Max – Min ứng dụng GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ I Lý thuyết I.1 Định nghĩa: Cho hàm số y = f ( x) xác định tập D ( D ⊂ ℝ ) f ( x) ≤ M , ∀x ∈ D ∃x0 ∈ D : f ( x0 ) = M a) M = max f ( x) ⇔ D f ( x) ≥ m, ∀x ∈ D ∃x0 ∈ D : f ( x0 ) = m b) m = f ( x) ⇔ D I.2 Tính chất: Định lý: Mọi hàm số liên tục đoạn có giá trị lớn giá trị nhỏ đoạn Nhận xét: Nếu đạo hàm f '( x) giữ nguyên dấu đoạn [ a; b ] hàm số đồng biến nghịch biến đoạn Do f ( x) đạt giá trị lớn giá trị nhỏ đầu mút đoạn Nghĩa là: a) Nếu hàm số f ( x) đồng biến [ a; b ] max f ( x) = f (b), f ( x) = f (a ) [ a ;b ] [ a ;b ] b) Nếu hàm số f ( x) nghịch biến [ a; b ] max f ( x) = f (a ), f ( x) = f (b) [ a ;b ] [ a ;b ] II Các dạng toán liên qua đến GTLN, GTNN hàm số II.1.Dạng 1: Tìm GTLN, GTNN hàm số y = f ( x ) cách lập bảng biến thiên Phương pháp Cách 1: Thường dùng tìm GTLN, GTNN hàm số tập D • • • • Tính f '( x) Tìm xi f '( x) = f '( x) không xác định Lập bảng biến thiên Dựa vào bảng biến thiên để kết luận Chú ý 1: Trên BBT, y → +∞ khơng có GTLN; y → −∞ khơng có GTNN Nếu có y → +∞ y → −∞ hàm số khơng có GTLN GTNN Cách 2: Thường dùng tìm GTLN, GTNN hàm số liên tục đoạn [ a; b ] • • • • Tính f '( x) Tìm điểm x1, x2, …, xn (a; b) f '( x) = f '( x) khơng xác định Tính f(a), f(b), f(x1), f(x2), …, f(xn) So sánh giá trị vừa tính kết luận M = max f ( x) = GTLN { f (a ), f (b), f ( x1 ), f ( x2 ), , f ( xn )} [ a ;b ] m = f ( x) = GTNN { f (a ), f (b), f ( x1 ), f ( x2 ), , f ( xn )} [ a ;b ] Chú ý 2: • • • Nếu phải đặt ẩn phụ t = g ( x) cần tìm điều kiện (miền giá trị t ) đầy đủ cho t tập D Với hàm y = f ( x) GTLN (GTNN) đoạn [ a; b ] GTLN (GTNN) trị tuyệt đối giá trị cực đại, giá trị cực tiểu hai biên f (a ), f (b) Cần lưu ý f ( x) ≥ có xảy dấu khơng? Để kết luận xác Khi tìm GTLN, GTNN đề khơng nói tập nào, có nghĩa tìm tập xác định; từ TXĐ kiểm tra xem đoạn hay khoảng mà lựa chọn phương pháp phù hợp -1- Nguyễn Đức Việt Max – Min ứng dụng Bài tập vận dụng tự luận Bài Tìm GTLN, GTNN hàm số sau: b) y = x − x a) y = x + x + d) y = x + x − g) y = x + ( x > 0) x c) y = x + x − 2x2 + 4x + x2 + x + x2 + i) y = ( x > 0) x3 + x x −1 x − 2x + x2 − x + h) y = x + x +1 e) y = f) y = Bài Tìm GTLN, GTNN hàm số sau: a) y = x3 + 3x − 12 x + [–1; 5] c) y = x − x + [–3; 2] b) y = 3x − x3 [–2; 3] d) y = x − x + [–2; 2] 3x − [0; 2] x−3 4x2 + x + g) y = [0; 2] x+2 x −1 [0; 4] x +1 − x + x2 h) y = [0; 1] + x − x2 i) y = 100 − x [–6; 8] k) y = + x + − x l) y = x + − x m) y = x − x + [ −3;3] e) y = f) y = Bài Tìm GTLN, GTNN hàm số sau: π π a ) y = f ( x ) = sin x − x đoạn − ; ; 2 π b) y = f ( x ) = x + cos x đoạn 0; 2 c) y = f ( x ) = sin x − cos x + d) f ( x) = − cos x − sin x + π , với x ∈ 0; 2 Bài Tìm GTLN, GTNN hàm số sau: a) y = sin x − sin x + b) y = cos x + cos x + c) y = sin x − cos x + e) y = sin x + cos3 x d) y = cos x − sin x − f) y = x2 − x − x2 + g) y = x − x + + x − x + h) y = − x + x + x − x + 3 Bài tập vận dụng trắc nghiệm Bài Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị hình bên.Giá trị lớn hàm số đoạn [ −1; 2] bằng: A C y B D Không xác định -1 O -2 Bài Giá trị nhỏ hàm số y = A B − C −1 Bài Giá trị lớn hàm số y = x − x A B C Bài Giá trị nhỏ hàm số y = x3 − 3x [ −1;1] là: -2- -1 1− x [ 0; 2] là: 2x − x D D Nguyễn Đức Việt A B Bài Cho hàm số y = x + A Max – Min ứng dụng C D −2 Giá trị nhỏ hàm số (0; +∞) x D π π Bài Cho hàm số y = 3sin x − sin x Giá trị lớn hàm số khoảng − ; B C 2 2 A B C D -1 Bài Gọi M m giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y = sin x − cos x + Tích M n A B 25 C D 25 Bài Kết luận giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y = x − x ? A Có giá trị lớn có giá trị nhỏ B Có giá trị lớn khơng có giá trị nhỏ C Có giá trị nhỏ khơng có giá trị lớn D Khơng có giá trị lớn giá trị nhỏ Bài Cho hàm số y = − x + x Giá trị lớn hàm số A B C D Bài 10 Cho hàm số y = f ( x ) liên tục nửa khoảng [ −1; ) có bảng biến thiên hình bên Khẳng định sau sai? A Hàm số đồng biến khoảng ( 0;1) B Đồ thị hàm số không qua điểm M ( 2; ) C y = [ −1;2 ) D max y = [ −1;2 ) Bài 11 Tìm giá trị lớn hàm số y = cos x + sin x + ℝ 15 Bài 12 Tìm giá trị lớn hàm số y = − 3sin x + cos x ℝ A max y = B max y = C max y = A max y = B max y = ℝ C max y = ℝ ℝ ℝ ℝ ℝ x2 + Bài 13 Tìm giá trị nhỏ hàm số y = x A y = B y = C y = ℝ ℝ ℝ D max y = ℝ 17 D max y = ℝ D Không tồn y ℝ Bài 14 Hàm số sau khơng có giá trị lớn nhất? A y = − x + C y = sin x − sin x + 1 B y = − x + x + D y = x − x + Bài 15 Gọi M m giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y= x2 + x2 + x + tập số thực Hiệu M − m bằng: A B C D Bài 16 Cho x, y số thực không âm thỏa mãn điều kiện x + y = Tìm giá trị nhỏ biểu thức S = x y − xy A S = −3 B S = −4 C S = D S = Bài 17 Cho x, y số thực dương thỏa mãn điều kiện x + y = Đặt S = xy + định sau đúng? -3- Khẳng xy + Nguyễn Đức Việt Max – Min ứng dụng A Biểu thức S khơng có giá trị lớn C S = B Biểu thức S khơng có giá trị nhỏ D max S = x +1 Bài 18 Giá trị nhỏ giá trị lớn hàm số y = x2 + đoạn [ −1; 2] là: 5 D ; 5 Bài 19 Giá trị nhỏ giá trị lớn hàm số y = sin x + cos x A − 2; B 0; A B Bài 20 Cho hàm số y = x + x +1 C 0; C D Khẳng định sau đúng? A Giá trị nhỏ hàm số x = B Giá trị lớn hàm số x = C Hàm số không tồn giá trị nhỏ giá trị lớn D Hàm số không tồn giá trị nhỏ Bài 21 Cho x, y số thực không âm thỏa mãn điều kiện x + y = Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = x3 + x + y − x + 115 D P = 3 Bài 22 Cho hàm số y = f ( x ) xác định liên tục đoạn [ − 1; 2] có đồ thị hình vẽ Mệnh A P = −5 B P = C P = đề sau sai? A miny = y( −1) = [ −1;2] B maxy = y (2) = [ −1;2] C Điểm M (1; 3) điểm cực đại hàm số D Hàm số đồng biến khoảng ( −1;1) ( 2; ) II.2.Dạng 2: Tìm điều kiện tham số để hàm số y = f ( x; m) đạt GTLN ( M ), GTNN ( m ) tập D cho trước Bài Tìm tất giá trị thực m để hàm số f ( x ) = [1; 2] mx + có giá trị lớn đoạn x−m −2 Bài Tìm tất giá trị thực m để hàm số f ( x) = x3 − mx + 18 có giá trị nhỏ đoạn [1; 3] không lớn x+m thỏa mãn y = x −1 [2;4] x+m 16 Bài Tìm tham số thực m để hàm số y = thỏa mãn y + maxy = x +1 [1;2] [1;2] Bài Tìm tham số thực m để hàm số y = -4- Nguyễn Đức Việt Max – Min ứng dụng II.3.Dạng 3: GTLN – GTNN điều kiện tham số thỏa mãn điều kiện nghiệm phương trình, bất phương trình Phương pháp chung: Dùng bảng biến thiên, GTLN, GTNN để giải toán Điều kiện để PT, BPT có nghiệm Giả sử f ( x) hàm số liên tục miền D có f ( x); max f ( x) Khi đó: D D 1) Phương trình f ( x) = m có nghiệm tập D ⇔ f ( x) ≤ m ≤ max f ( x) D D 2) Bất phương trình m ≤ f ( x) có nghiệm tập D ⇔ m ≤ max f ( x) D 3) Bất phương trình m ≥ f ( x) có nghiệm tập D ⇔ m ≥ f ( x) D 4) Bất phương trình m ≤ f ( x) với x ∈ D ⇔ m ≤ f ( x) D 5) Bất phương trình m ≥ f ( x) với x ∈ D ⇔ m ≥ max f ( x) D Bài tập vận dụng tự luận Bài Tìm m để phương trình a) x − x + m = có nghiệm thuộc đoạn [ − 1; 6] b) x + 12 − x = m có nghiệm Bài Tìm m để phương trình sau có nghiệm: a) x + x + = m b) − x + + x − (2 − x )(2 + x ) = m d) − x + + x − (7 − x )(2 + x ) = m c) + x + − x − (3 + x )(6 − x ) = m Bài Tìm m để bất phương trình sau nghiệm với x ∈ ℝ : a) x + x + > m b) m x + < x + m c) mx − x + m ≥ Bài Cho bất phương trình: x − x + x − + m < a) Tìm m để bất phương trình có nghiệm thuộc [0; 2] b) Tìm m để bất phương trình thoả x thuộc [0; 2] Bài Tìm m để bất phương trình sau: b) (m + 2) x − m ≥ x + có nghiệm x ∈ [0; 2] a) mx − x − ≤ m + có nghiệm c) m( x − x + 1) ≤ x + x + nghiệm với x ∈ [0; 2] II.4 Dạng 4: Ứng dụng GTLN, GTNN vào toán thực tế, tối ưu Phương pháp: • Xác định tất biến, lựa chọn biến cho việc biểu diễn đại lượng (biểu thức tối ưu) đơn giản • Tìm điều kiện cho biến • Biểu diễn đại lượng tối ưu thơng qua biến (thiết lập hàm số) • Tìm GTLN (GTNN) hàm vừa thiết lập theo biến điều kiện tương ứng • Kết luận Bài tập vận dụng tự ln Bài Trong số hình chữ nhật có chu vi 16(cm) , tìm hình chữ nhật có diện tích lớn Bài Trong tất hình chữ nhật có diện tích 48(cm ) , xác định hình chữ nhật có chu vi nhỏ Bài Môt chất điểm chuyển động theo quy luật s(t ) = 6t − t Tính thời điểm t (giây) vận tốc v( m / s ) chuyển động đạt giá trị lớn Bài Cho số dương m Hãy phân tích số m thành tổng hai số dương cho tích chúng lớn Bài Tìm hai số có hiệu 13 cho tích chúng bé Bài Hãy tìm tam giác vng có diện tích lớn tổng cạnh góc vng cạnh huyền số a, (a > 0) -5- Nguyễn Đức Việt Max – Min ứng dụng Bài Cho tam giác ABC cạnh a (a > 0) Người ta dựng hình chữ nhật MNPQ có cạnh MN nằm cạnh BC , hai đỉnh P Q theo thứ tự nằm hai cạnh AC AB tam giác Xác định vị trí điểm M cho hình chữ nhật có diện tích lớn tìm giá trị lớn Bài Khi ni cá thí nghiệm hồ, nhà sinh vật học thấy rằng: Nếu đơn vị diện tích mặt hồ có n cá trung bình cá sau vụ cân nặng P (n) = 480 − 20n( gam) Hỏi phải thả cá đơn vị diện tích mặt hồ để sau vụ thu hoạch nhiều cá nhất? Bài Độ giảm huyết áp bệnh nhân cho công thức G ( x) = 0, 025 x (30 − x) x liều lượng thuốc tiêm cho bệnh nhân (x tính miligam) Tính liều lượng thuốc cần tiêm cho bệnh nhân để huyết áp giảm nhiều tính độ giảm Bài 10 Một cá hồi bơi ngược dịng để vượt khoảng cách 300 km Vận tốc dòng nước km/h Nếu vận tốc cá bơi nước đứng yên v (km/h) lượng tiêu hao cá t cho cơng thức E(v) = cv3 t c số, E tính jun Tìm vận tốc bơi cá nước đứng yên để lượng tiêu hao Bài 11 Cho parabol ( P) : y = x điểm A(−3; 0) Xác định điểm M thuộc (P) cho khoảng cách AM ngắn tìm khoảng cách ngắn Bài 12 Trong tam giác vng mà cạnh huyền có độ dài 10 cm, xác định tam giác có diện tích lớn III Bài tập tổng hợp Bài Gọi giá trị lớn nhỏ hàm số y = x + x − đoạn [ −1; 2] M m Khi đó, giá trị M m là: A –2 46 B 46 C –23 D Một số lớn Bài Hàm số y = x − x + + x − x đạt giá trị lớn x1 , x2 Tích x1 x2 A B C D −1 Bài Giá trị lớn hàm số y = cos x + − cos x bằng: A B C D Bài Cho hàm số y = 3cos x − 4sin x + với x ∈ [0; 2π ] Gọi M , m giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số Khi tổng M + m bao nhiêu? A B 16 C D 15 Bài Tìm tất giá trị m để giá trị nhỏ hàm số y = – x – 3x + m đoạn [ −1;1] A m = B m = C m = D m = x − m2 có giá trị nhỏ đoạn [ 0;1] -1 x +1 m = − m = −1 A B C m = −2 D m = m = m = π π Bài Tìm giá trị lớn hàm số y = 3sin x − 4sin x đoạn − ; bằng: 2 A −1 B C D Bài Hàm số y = 3x + x − có giá trị nhỏ [ 0; 2] bằng: Bài Hàm số y = A.0 B.1 C.3 mx + Bài Trên đoạn [ 2; 4] hàm số y = đạt giá trị lớn Khi : x−m -6- D.2 Nguyễn Đức Việt Max – Min ứng dụng A m = B.m = C.m = D.m= Bài 10 Hàm số y = x − x + + x − x đạt giá trị lớn hai giá trị x mà tích chúng là: A B C D.-1 x − m2 + m Giá trị sau tham số m cho giá trị nhỏ x +1 hàm số [ 0;1] −2 là: Bài 11 Cho hàm số y = A B.2 C D −2 2mx + 1 Bài 12 Giá trị lớn hàm số y = đoạn [ 2;3] − m nhận giá trị: m− x A B C −5 D −2 Bài 13 Cho hàm số y = f ( x ) xác định tập D Trong mệnh đề sau mệnh đề sai? A m = f ( x ) f ( x ) ≥ m với x thuộc D tồn x0 ∈ D cho D f ( x0 ) = m B m = f ( x ) f ( x ) > m với x thuộc D D C M = max f ( x ) f ( x ) ≤ M với x thuộc D tồn x0 ∈ D cho D f ( x0 ) = M D.Nếu M = max f ( x ) f ( x ) ≤ M với x thuộc D D Bài 14 Gọi M m giá trị lớn nhỏ hàm số y = giá trị M − m là: A −2 Bài 16 Cho hàm số f ( x ) = x+m C B m < C m > x +1 Khi D mx Bài 15 Tìm tất giá trị thực khác tham số m để hàm số y = đạt giá trị lớn x +1 x = đoạn [ −2; 2] ? A m = −2 B −1 − x − x2 D m = Tìm tất giá trị tham số thực m để hàm số đạt giá x2 + trị lớn điểm x = A m = B m = C m ∈ ∅ D m = −3 Bài 17 Cho hình chữ nhật có diện tích 100(cm ) Hỏi kích thước để chu vi nhỏ nhất? A 10cm × 10cm B 20cm × 5cm C 25cm × 4cm D.Đáp án khác Bài 18 Người ta muốn rào quanh khu đất với số vật liệu cho trước 180 mét thẳng hàng rào Ở người ta tận dụng bờ giậu có sẵn để làm cạnh hàng rào rào thành mảnh đất hình chữ nhật Hỏi mảnh đất hình chữ nhật rào có diện tích lớn bao nhiêu? A Smax = 3600m B Smax = 4000m C Smax = 8100m D Smax = 4050m Bài 19 Có gỗ hình vng cạnh 200 cm Cắt gỗ có hình tam giác vng, có tổng cạnh góc vng cạnh huyền số 120 cm từ gỗ cho gỗ hình tam giác vng có diện tích lớn Hỏi cạnh huyền gỗ bao nhiêu? A 40cm B 40 3cm C 80cm -7- D 40 2cm ... + 3 Bài tập vận dụng trắc nghiệm Bài Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị hình bên.Giá trị lớn hàm số đoạn [ −1; 2] bằng: A C y B D Không xác định -1 O -2 Bài Giá trị nhỏ hàm số y = A B − C −1 Bài. .. m = π π Bài Tìm giá trị lớn hàm số y = 3sin x − 4sin x đoạn − ; bằng: 2 A −1 B C D Bài Hàm số y = 3x + x − có giá trị nhỏ [ 0; 2] bằng: Bài Hàm số y = A.0 B.1 C.3 mx + Bài Trên đoạn... giá trị nhỏ x +1 hàm số [ 0;1] −2 là: Bài 11 Cho hàm số y = A B.2 C D −2 2mx + 1 Bài 12 Giá trị lớn hàm số y = đoạn [ 2;3] − m nhận giá trị: m− x A B C −5 D −2 Bài 13 Cho hàm số y = f ( x