BÀI tập NHÓM 3 CHU kì bán rã TOÁN kỹ sư CHƯƠNG 2

BÀI TẬP NHĨM CHƯƠNG MƠN : TỐN CAO CẤP DÀNH CHO KỸ SƯ GIẢNG VIÊN HƯỚNG DẪN : CƠ PHAN PHƯƠNG DUNG NHĨM – CHỦ ĐỀ : CHU KÌ BÁN RÃ Thành viên thực Bài Phạm Văn Nghĩa Huỳnh Lê Ánh Sáng Nguyễn Hoàng Phú Hứa Văn Nhất Nguyễn Tiến Quân Châu Sanh Quang Võ Minh Vương Lê Quang Trường LÝ THUYẾT : Chu kỳ bán rã : vật lý, chu kì bán rã thước đo ổn định chất phóng xạ Chu kì bán rã khoảng thời gian để nửa lượng nguyên tử chất phóng xạ ban đầu 𝐴0 phân rã biến đổi thành nguyên tử khác Chu kì bán rã dài ổn định chất cao Ví dụ chu kì bán rã chất phóng xạ radium Ra-226 khoảng 1700 năm Tức 1700 năm đó, nửa số nguyên tử lượng ban đầu phân rã thành radon Rn-222 Trong dạng tốn mơ hình chu kì phân rã ta sử dụng toán giá trị đầu để giải chúng Bài toán giá trị đầu : ⅆ𝑥 ⅆ𝑡 = 𝑘𝑥 , x(𝑡0 ) = 𝑥0 (*) Hằng số tỉ lệ k ( k số phân rã có giá trị ln âm) (*) xác định thơng qua giá trị ban đầu giá trị đo thời điểm t > 𝑡0 Trong vật lý hóa học, (*) xem phản ứng cấp một, tức phản ứng mà vận tốc ⅆ𝑥 ⅆ𝑡 tỉ lệ với nồng độ x chất phản ứng thời điểm t Sự phân rã Uranium-238 phóng xạ thành Thorium-234 phản ứng cấp VÍ DỤ : lò phản ứng hạt nhân biến đổi uranium-238 tương đối ổn định thành đồng vị plutonium-239 Sau 15 năm người ta đo 0.043% lượng ban đầu 𝐴0 plutonium phân rã Tìm chu kì bán rã đồng vị tốc độ phân rã tỉ lệ với lượng đồng vị bị phân rã Giải : Đặt A(t) lượng plutonium lại thời điểm t Như ví dụ toán Tăng trưởng suy giảm , ta sử dụng toán giá trị đầu để giải Ta có : ⅆ𝐴 ⅆ𝑡 = 𝑘𝐴 , A(0) = 𝐴0 A(t) = 𝐴0 𝑒 𝑘𝑡 • Tìm số phân rã k Sau 15 năm 0.043% lượng ban đầu 𝐴0 phân rã, ta : => A(15) = 0.99957*𝐴0 = 𝐴0 𝑒 𝑘∗15 => k = ln(0.99957) = -2.867*10−5 15 Do : A(t) = 𝐴0 𝑒 −2.867∗10 −5 𝑡 • Chu kì bán rã đồng vị plutonium : A(T) = 𝐴0 Mà A(T) = 𝐴0 𝑒 −2.867∗10 => 𝐴0 = 𝐴0 𝑒 −2.867∗10 => = 𝑒 −2.867∗10 −5 𝑇 −5 𝑇 −5 𝑇 => T = −2.867∗10−5 ln( ) = 24177 ( năm ) Vậy chu kì bán rã đồng vị plutonium-239 24177 năm BÀI TẬP : – Bài : Silic 31 14𝑆𝑖 chất phóng xạ, phát hạt 𝛽 biến thành hạt nhân X Một mẫu phóng xạ 31 14𝑆𝑖 bắt đầu thời gian phút có 190 nguyên tử bị phân rã Nhưng sau 3h thời gian phút có 85 nguyên tử bị phân rã Hãy xác định chu kì bán rã chất phóng xạ Giải : Đặt 𝐴(𝑡) lượng 31 14𝑆𝑖 lại sau phân rã thời điểm t ⅆ𝐴 ⅆ𝑡 = 𝑘 𝐴, 𝐴(0) = 𝐴0 ; 𝐴(𝑡) = 𝐴0 𝑒 𝑘.𝑡 Ta có: phút = 12 ℎ Ban đầu thời gian phút: 𝐴 ( ) = 𝐴0 𝑒 12 37 𝐴 ( ) = 𝐴0 𝑒 Sau 3h: 12 37 38 𝑘 12 = 𝐴0 − 190 37 𝑘 12 37 𝐴 ( ) = 𝐴0 𝑒 12.𝑘 𝑒 12 = 𝐴0 𝑒 12.𝑘 − 85 phút sau: 12 37 37  (𝐴0 − 190) 𝑒 12.𝑘 = 𝐴0 𝑒 12.𝑘 − 85  190 𝑒 37 37 𝑘 12  𝑒 12.𝑘 = 𝑘 = = 85 85 190 85 ln190 37 12 = −0,2608776699 Chu kì bán rã: 𝐴(𝑇) = 𝐴0  𝐴0 𝑒 −0,2608776699.𝑇 = 𝐴0 𝑇= ln2 −0,2608776699 = 2,657 (ℎ) Bài : Cho gam chất phóng xạ tinh khiết, có chu kỳ bán rã 5,33 năm Hỏi sau 15 năm khối lượng chất phóng xạ cịn lại bao nhiêu? Giải : Ta có: dA dt = k.A A(0) = Ao, A(t) = Ao.ek.t Với T = 5,33 A(5,33) = Ao = Ao.ek.5,33  =ek.5,33  k= 5,33 ln( )=-0,130046375 Với t = 15 A(15)=Ao.ek.t = 2.e−0,130046375.15 = 0,284(gam) Vậy sau 15 năm khối lượng chất phóng xạ cịn lại 0,284 gam Bài : Chất phóng xạ 222Rn ban đầu có khối lượng 1mg Sau 15,2 ngày khối lượng giảm 93,75% Chu kỳ bán rã 222Rn bao nhiêu? Giải : Gọi A(t) số lượng 222Rn lại thởi điểm Đặ𝑡 ⅆ𝐴 ⅆ𝑡 = kA , A(0)= 𝐴0 A(t)= 𝐴0 𝑒 𝑘𝑡 Ta có 93,75% khối lượng 𝐴0 giảm 15,2 ngày nên ta sử dụng 6,25% chất cịn lại để tìm số phân rã k: Ta có: A(t) = 𝐴0 𝑒 𝑘𝑡 = 0, 0625 Ao => 𝑒 𝑘∗15.2 = 0.0625 => k = 𝑙𝑛(0.0625) 15.2 => k = −0.182407 Do đó: A(t)= 𝐴0 𝑒 −0.182407∗𝑡 Chu kỳ bán rã tương ứng là: A(T) = 𝐴0 = 𝐴0 𝑒 −0.182407∗𝑡 => T= 𝑙𝑛( 2) −0.182407 => T = 3,8 ( Ngày) – Bài : Silic 31 14Si chất phóng xạ, phát hạt β biến thành hạt nhân X Một mẫu phóng xạ 31 14Si bắt đầu thời gian phút có 196 nguyên tử bị phân rã Nhưng sau 5,2h thời gian phút có 49 nguyên tử bị phân rã Hãy xác định chu kì bán rã chất phóng xạ Giải : Đặt 𝐴(𝑡) lượng 31 14𝑆𝑖 lại sau phân rã thời điểm t ⅆ𝐴 ⅆ𝑡 = 𝑘 𝐴, 𝐴(0) = 𝐴0 𝐴(𝑡) = 𝐴0 𝑒 𝑘.𝑡 Ta có: phút = 12 ℎ Ban đầu thời gian phút: 𝐴 ( ) = 𝐴0 𝑒 12 Sau 5,2h: 26 + 12 = 317 𝐴( 60 phút sau: 𝐴( 161 30 ) = 𝐴0 𝑒 60 𝑘 ) = 𝐴0 𝑒 317 𝑘 60  (𝐴0 − 190) 𝑒  196 𝑒 𝑒 317 𝑘 60 𝑘 = 317 𝑘 60 = = −0,2623900999  𝐴0 𝑒 −0,2623900999.𝑇 = 𝐴0 = 2,6417 (ℎ) 317 𝑘 60 − 49 317 𝑘 60 − 49 = 𝐴0 𝑒 196 49 ln196 317 60 −0,2623900999 317 𝑘 60 = 𝐴0 𝑒 49 𝑇= 𝑒 12 = 49 Chu kì bán rã: 𝐴(𝑇) = 𝐴0 ln2 = 𝐴0 − 196 317 317 60 𝑘 12 Bài ( giáo trình trang 78 ) : đồng vị phóng xạ chì pb - 209 phân rã tỉ lệ thuận với lượng đồng vị lại thời điểm t có chu kì bán rã 3.3h Nếu ban đầu có gram đồng vị sau để 90% lượng chì phân rã Giải : Đặt : • ⅆ𝐴 ⅆ𝑡 = kA , A(0)=𝐴0 A(t)= 𝐴0 𝑒 𝑘𝑡 * Xét chất phóng xạ Pb 209: Ta có chu kỳ bán rã chất phóng xạ A : T = 3.3h => A(T)=0,5𝐴0 = 𝐴0 𝑒 𝑘∗3.3 => = ek.3,3 => k = ln( ) 3,3 = -0.21 = > A(t) = 𝐴0 𝑒 −0.21∗𝑡 Sau t , gram Pb 209 10% Ta : A(t) = 𝐴0 𝑒 −0.21∗𝑡 = 0.1𝐴0 => -0.21*t = ln ( 0.1 ) => t=11h Vậy sau 11h lượng chì phân rã hết 90% Bài ( giáo trình trang 78 ) : ban đầu có 100mg chất phóng xạ sau 6h khối lượng giảm 3% Nếu tốc độ phân rã tỉ lệ với lượng chất có mặt thời điểm t sau 24h lượng chất phóng xạ cịn lại ? ⅆ𝐴 Giải : ⅆ𝑡 = kA , A(0)= 𝐴0 A(t)= 𝐴0 𝑒 𝑘𝑡 Xét thời điểm 6h : A(6)=𝐴𝑜 𝑒 𝑘6 =0.97𝐴𝑜 ↔ ln ( ↔k= 97 100 = 𝑒 𝑘6 97 ) 100 Xét thời điểm 24h: Ta có : 88,53(𝑚𝑔) A(24)= 𝐴𝑜 𝑒 𝑘24 =100× 𝑒 𝑘24 = 100 × 𝑒 Vậy sau 24h chất phóng xạ cịn lại 88.53 mg 97 ln (100) ∗24 ≈ Bài ( giáo trình trang 78 ) : ban đầu có 100mg chất phóng xạ sau 6h khối lượng chất giảm 3% Nếu tốc độ phân rã tỉ lệ với lượng chất có mặt thời điểm t chu kỳ bán rã chất ? Giải : ta có: dA = CA dT , A(0)=A0, A(t)=A0ect Với t=6 A(t)=97%A0 =A0eCt => => 0.97 = eCt c = ln(0.97) =-0.00507 Gọi T chu kỳ bán rã Với A0=100 c=-0.00507 ta có : A(T) = 𝐴0 =>A(T) = 50 => A(T)=A0ecT =>100.e-0.00507*T=50 =>T=136.7 h Vậy chu kì bán rã chất phóng xạ 136.7h Bài ( giáo trình trang 79 ) : a ) Xem xét vấn đề giá trị đầu ⅆ𝐴 ⅆ𝑡 = 𝑘𝐴 , A(0) = 𝐴0 mơ hình cho phân rã chất phóng xạ Chứng minh chu kì bán rã t chất phóng xạ T = -ln(2)/k b) Từ câu a tìm cách viết lại A(t) = 𝐴0 2−𝑡/𝑇 c) Nếu chất phóng xạ có chu kỳ bán rã T cho câu a để lượng 𝐴0 phân rã thành 𝐴0 Giải : a) Ta có : lượng chất phóng xạ cịn lại thời điểm t A(t) = 𝐴0 𝑒 𝑘𝑡 chu kì phân rã A(T) = 𝐴0 => = 𝑒 k𝑇 => T = -ln(2)/k b) Từ câu (a), ta có : T = -ln(2)/k => k = −𝑙𝑛2 𝑇 Mà A(t) = 𝐴0 𝑒 𝑘𝑡 => A(t) = 𝐴0 𝑒 −𝑙𝑛2 𝑇 => A(t) = 𝐴0 𝑒 => A(t) = 𝐴0 −𝑙𝑛2 𝑇 𝑡 𝑡 −𝑡 𝑇 c) Ta có : A(t) = 𝐴0 𝑒 𝑘𝑡 Từ câu a ta có : k = −𝑙𝑛2 𝑇 => A(t) = 𝐴0 𝑒 −𝑙𝑛2 𝑡 𝑇 Thời gian để lượng 𝐴0 phân rã thành 𝐴0 : A(t) = 𝐴0 𝑒 −𝑙𝑛2 𝑡 𝑇 = 𝐴0 => −𝑙𝑛2 𝑇 𝑡 = ln => t = 3T Vậy sau thời gian 3T lượng 𝐴0 phân rã thành 𝐴0 ... =