Phân tích động lực học kết cấu tấm sử dụng phần tử tương thích LCCT12

Bài viết phân tích động lực học tấm sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn với phần tử tương thích LCCT12; các lời giải về tần số dao động riêng của một số dạng bài toán tấm minh họa hiệu quả sử dụng của dạng phần tử này.

PHÂN TÍCH ĐỘNG LỰC HỌC KẾT CẤU TẤM SỬ  DỤNG PHẦN TỬ TƯƠNG THÍCH LCCT12 Lê Kiều a; Nguyễn Quang Tuyến b ; Chu Quốc Thắng c ; Lê Hoài Long b; a  Trường đại học Kiến trúc Hà Nội b  Trường đại học Bách Khoa TPHCM, c  Trường đại học Quốc Tế, Bài báonàytrìnhbàymộtcáchphântích độnglực học tấmsửdụngphương pháp phần tử hữu hạn với phần tử tương thích LCCT12 (Linear   Curvature   Compatible Triangle) Cách tiếpcậncủaphầntử LCCT12 với toánđộng lực học ứng dụng lý thuyết tấmmỏng Kirchhoff trình bày Các lời giải số tầnsố dao độngriêngcủamộtsố dạng toántấm minhhoạ hiệuquảsửdụngcủadạngphầntử 1.  Giới thiệu Nghiên cứu toán tấmluôn có ý nghóa lớn lao cho việc ứng dụng vào kết cấu hữu dụng hữu xung quanh chúng ta: sàn nhà, vách, nắphoặcđáybunker,hồnước… Cáctính toángiải tích truyềnthốngđa phần dựa trênlý thuyếttấmmỏngcủaKirchhoff với giảthuyếtvềmặttrungbình khôngbiếndạng pháttriểndù tốt với lời giải Ritz, Reyleigh, Lévy, Navier… dạng chuỗi chỉgiới hạn với số điềukiệnbiênnhấtđịnh phầnlớn chỉlà dùngđểgiải tìm nội lực mà Đối với phântích độnglực học toántấmthì nghiêncứu giải tích dựa trênđịnh luậtNewton, phươngtrình côngảo… hạn chếhơn nữavì khó khăntoánhọc Một số phươngphápxấpxỉnhư phương pháp biến phân, Galerkin… phát triển để giải khó khăncủa phươngpháptruyềnthốngtuy nhiêncũng gặpphải khó khăntương tự Một số kết có thểtìm [5,11,13] Cùng với phát triển công nghệmáy tính nay, tiếp cận sử dụng phương phápsố phầntử hữu hạn, phầntử biên, phương phápkhông phầntử (meshless)… nghiêncứu áp dụng cho kếtquảrấttốt Các khó khăn khối lượng tính toán nhiều máy tính với tốc độ khả năngxử lý cao giải quyết.Trong tấtcảcácphươngphápsốthì phươngpháp phầntử hữuhạn có thểđược xemnhư mộtcôngcụ rấtmạnhđểgiải hầuhết tất toán đặc biệt toán Trong phươngphápnày lại tiếptục chia làm nhiềucác môhình khác môhình cânbằng,môhình tươngthích… môhình đềucó cácưu khuyếtđiểmkhácnhau Trong phạm vi báo muốn giới thiệu ứng dụng phầntử tươngthích vào nghiêncứộnglực học toántấmđó phần tử LCCT12 tuân theo giả thiết tấmmỏng Kirchhoff Phần tử T.Q.Hùng [9,10] N.N.Dương [8] nghiên cứu áp dụng tính toánnội lực vàmộtsốđánhgiásai sốlời giải cho toántấmvàvỏ Chúngtôi giới thiệucáchtiếpcậncủaphầntửLCCT12 vàmộtsốcác ví dụ tính toán, so sánhvới số kết có để đánh giáhiệuquảcủaphầntửnàytrongtính toánđộnglực học 2.  Phần tử LCCT12 w3 w n w4 y4 w n w n i w n x4 j x1 m w n (3 ) w1 ) y3 k (2 x3 w2 x2 y2 (1 ) y1 Hình 1: PhầntửtươngthíchLCCT12 với 16 bậctự PhầntửLCCT12 ‘Linear Curvature Compatible Triangle’ banđầucó16 bậctự biên (hình 1), với giả thuyết biến đổi phần tử ‘LCCT-12’ sẽgiảmxuốngcòn12 bậctự trênbiên: Hàmchuyểnvị củatừngphầntử có thểđược biểudiễnquacácbậctự củanútvàhàmdạng: w =N.q (1) Trongđó: N : matrậnhàmdạng q : vectorchuyểnvị nút Trong phần tử chuyển vị góc wi có góc xoay góc phần tử w với i = 1, 2, 3, (2) xi 1w i y i w (3) 2w i x i Khoâng có góc xoay nút cạnh 5, 6, 7, w với i = 5, 6, 7, (4) i nw i n i Chuyển vị nút phần tử biểu diễn qua phần tử w(k)(x,y) = N(k)(x,y).q(k) (5) Chuyển vị nút phần tử q (1) w x y  w x y    w x y T (6) yi q(1) vector bao gồm 10 thành phần chuyển vị, ta sử dụng hàm đa thức nội suy bậc ba 10 thành phần Lagrange [11] cho phần tử biểu diễn hệ tọa độ tự nhiên L L1 , L , L nhö sau: (7) w P Trong ñoù: P [ L31   L32   L33   L21 L   L21 L   L22 L   L22 L1   L23 L1   L23 L   L1 L L ] T                   10 Đối với phần tử k = hàm dạng biểu diễn N(L) Từ công thức (6) ta suy vector chuyển vị toàn nút q là: T q w x1 y1  w x y  w x y  w x y   | w x y qTR | qTE 2.1 Ma trận độ cứng phần tử k em B T D B dV Ve m B T H B dA (8) A em Trongđó: m sốphầntử m =1, 2, 3, H Et 12(1 ) 1 0 0 ; [B] ( )[ N] 2.2 Ma trận khối lượng phần tử m em I0 N T N I1 A em Ni N j x x Ni N j y y (9) Trongđó: m : Sốphầntử m =1, 2, 3, I 0, I1 : Là mômen quán tính khối lượng t2 I0 t2 dz t ; I1 t2 t2 z2dz t3 12 : Là khối lượng riêng vật liệu 2.3 Ghép nối và loại bỏ nút giữa của phần tử Ta có w (1) w ( 2) w ( 3) w ( 4) N (e1) N (e2 ) N (e3) N (01) N (02 ) q R N (03) q E N (e4 ) N (04 ) (10) Chúngta thiếtlậpcácmatrậntheonhữngđiềukiệntươngthích trênnúti, j, k, m nhưsau: B (i1) Bi( )  |  B i(10) B i(02) B (j2) B (j3)  |  B (j02) B (j30) qR B (k3) B (k4 )  |  B (k30) B (k40) qE B (m4) B (m1)  |  B (m40) B (m1)0 (11) Suy B (i1) Bi( ) Bi(10) B i(02 ) B (j2) B (j3) B (j02 ) B (j30) B (k3) B (k4 ) B (k30) B (k40) B (m4) B (m1) B (m40) B (m1)0 qR qE (12) Trongđó [B]4 x16 Đặt: Vì B i(1) B i( ) B i(10) B i(02 ) B (j2 ) B (j3) B (j02 ) B (j30) B (k3) B (k4) B (k30) B (k40) B (m4 ) B (m1) B (m40) B (m1)0 ,  [B ]4 x (13) [BB] 3x3 = [B0]T3x4 [B0]4x3 T qE BB 3 B B 16 q R C q R (14) Bằng cách thay (14) vào (10), Ta có hàm chuyển vị sau: N (e1) N (01) C w (1) N (e2 ) N (02) C w ( 2) qR (15) N (e3) N (03) C w ( 3) N (e4 ) N (04) C w ( 4) Ma trận độ cứng phần tử có cách “lấy tổng” độ cứng phần tử Tiếp theo sử dụng cô đặc tónh (static condensation) để giảm bậc tự bên phần tử Và sử dụng điều kiện lượng toàn phần dừng để tìm ma trận độ cứng phần tử Các thủ tục tìm [8] Ma trận khối lượng m phần tử thiết lập trình tự sau: m m (i ) (16) i m m RR m ER m RE m EE Trong số R E ma trậnlần lượt dùngđểquy định cho cácthànhphầncủaphầntử tamgiáctươngứngvới cácbậctự củacác nút 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, bậc tự bêntrong nút mà giảnlược Với mộtphầntử, độngnăngTe tính sau:  Te w  e dV Te w (17) Ve Mà ta biết chuyển vị hàm thời gian, điểm phần tử chuyển động với vận tốc đạo hàm bậc chuyển vị theo thời gian t:  e N q e w Ở đây: q e vectorvậntốccácđiểmnútcủaphầntử Suy ra: q Te T q R m RR m ER q TE T e N Trongđó: N dV q Ve m RE m EE q R q E T q R m RR     T T q R C T m ER e T q m q e q TR C T m RR m ER e m RE m EE q R Cq R m RE C C T m EE C q R (18)  m e m RR C T m ER m RE C C T m EE C Thực tếthấyrằngphântích cácnútgiữacạnh 5, 6, 7, phứctạp Tuy nhiên, độ dốc pháp tuyếnthay đổi tuyếntính dọc theo cạnh nút cạnh bỏ coi góc xoay nút trung bình cộng gócxoaytại núti vànútj: k xk cos ij yk sin xi ij xj cos yi ij yj sin ij (19) Với : k =5, 6, 7, vàαij góc cạnh ij =12, 23, 34, 41 Lúc nàối với phầntử LCCT chỉcònlại 12 bậctự (thayvì 16) hoàntoàntươngthích với ràngbuộcvềnhữngđộdốcpháptuyếntuyến tính khácdọc theocáccạnhbiên(hình2) w n w n w n w n Hình 2: phầntửLCCT12 saukhi đãgiảnlược 3. Các ví dụ tính toán Bản vuông làm vật liệu đẳng hướng có thôngsốnhư sau: kích thướccủabản:a =b =4 m Chiềudày bản: h = 0.1 m Môđun đàn hồi: E = 2.5311 10 Kg/m2 Hệ số Poisson: = 0.2 Khối lượng riêng: = 244.8 kg/m3 3.1 Tấm bốn cạnh tựa đơn a x a y Hình 3: Tấmbốncạnhtựa đơn Ở ví dụ nàychúngta sẽxemxétcácgiátrị tầnsốvòngcủatấmtrong mode Chúng ta so sánh kết phần tử LCCT12 với phầnmềmSAP 2000sửdụngphầntử tấmlà thin-plate.Ngoài cònso sánh với kết từ mộtnghiêncứu trước [14] Ở lưới chia 10x10 sử dụng Các kết qủathu từ loại phầntử khácnhausẽ so sánhvới lời giải giải tích (chính xác) trong[5] hình trình bày bảng1 Hai phầntử khácsửdụnglý thuyếtMindlin (tấmdày) cũngđược trìnhbàểthamkhảo 9,000 8,000 7,000 Sai số 6,000 Hù ng[ ] - LT Mindlin 5,000 Hù ng[ ] - LT Kirchhoff SAP2000 - Thin-plate 4,000 SAP2000 - Thick-plate 3,000 Phầ n tử'LCCT-12' 2,000 1,000 0,000 w11 w12 w13 w14 w22 Loại tần số Hình 4: Sai số% củacácloại phầntử so với lời giải chínhxác[5] Bảng1: Sai số(%) tầnsốcủacácphầntử trong5 modedaộngđầutiênso với [5] ST T Các loại phần tử Hùng[14] - LT Mindlin Huøng[14] - LT Kirchhoff SAP2000 - Thin-plate SAP2000 - Thickplate Phần tử 'LCCT-12' w11 w12=w 21 w13=w31 w14=w 41 w22 0,496 2,707 8,944 7,292 2,291 0,539 0,736 0,880 1,188 1,034 1,372 1,106 1,591 2,036 2,930 1,608 0,359 1,995 0,527 2,341 0,505 2,842 0,442 4,182 1,433 Có thể thấy rằng, phần tử LCCT12 cho kết tốt so với hai phầ tử tuân theo lý thuyết Kirchhoff phần tử số Phần tử số sử dụng lý thuyết Mindlin cho kết đồng dạng với ba phần tử trươ sai khác chúng không lớn Phần tử số cho kết không o định,cần ý sử dụng phần tử Chúng ta xem xét mức độ hội tụ phần tử LCCT12 việc tha đổi lưới chia phần tử 2x2; 4x4; 8x8; 16x16 so sánh với phần t thin-plate sử dụng SAP2000 Ở xem xét kết cu mode dao động w giải xác [5] cho mode 11 Lời 116.87 rad/sec Các kết tính toán trình bày hình liệt kê bảng Hình 5: Khảo sát độ hội tụ phần tử LCCT12 – cạnh tựa Bảng 2: Tần số dao động mode với lưới chia phần tử Loại phần tử SAP2000 - Thin-plate SAP2000 - Thick-plate Phần tử 'LCCT-12' 2x2 96,356 107,983 127,019 4x4 111,444 112,804 119,794 8x8 115,517 114,562 117,568 16x16 116,537 115,765 117,006 Ta thấy phần tử LCCT12 hội tụ nhanh so với Sap thinplate Độ hội tụ đến lời giải xác độ mịn lưới tăng lên LCCT12 tốt hẳn so với SAP thin-plate Độ hội tụ phần tử Sap thick-plate nhanh Khi hội tụ, kết hai loại phần tử dày mỏng không khác Một đặc biệt LCCT12 tìm đến lời giải xác cận Sap thin-plate cận 3.2 Tấm bốn cạnh ngàm Ở ví dụ chúngta xem xét toándưới nhữngđiềukiện biên khác.Cũnggiốngví dụ trên,đầutiênchúngta cũngsửdụnglưới chia 10x10 phầntử để so sánhcác loại phầntử modedao độngđầutiên Các kếtqủathu từ loại phầntử khácnhaucũngsẽ so sánhvới lời giải chínhxáctrong[5] nhưhình7 vàtrìnhbàû bảng3 a x a y Hình 6: Tấmbốncạnhngàm 14,000 12,000 Sai số 10,000 Hù ng[ ] - LT Mindlin Hù ng[ ] - LT Kirchhoff 8,000 SAP2000 - Thin-plate 6,000 SAP2000 - Thick-plate Phầ n tử'LCCT-12' 4,000 2,000 0,000 w11 w12 w13 w14 w22 Loại tần số Hình 7: Sai sốcủacácloại phầntử so với lời giải chínhxác[5] Bảng3: Sai số(%) tầnsốcủacácphầntử trong5 modedaộngđầutiênso với [5] ST T Các loại phần tử Hùng[14] - LT Mindlin Hùng[14] - LT Kirchhoff SAP2000 - Thin-plate SAP2000 - Thick-plate Phần tử 'LCCT-12' w11 w12=w 21 w13=w3 w14=w 41 1,995 5,906 13,335 5,600 w22 10,65 0,948 1,352 1,746 0,821 1,309 1,841 2,158 0,978 1,833 2,452 2,533 0,434 2,842 4,177 4,360 2,302 3,537 5,374 5,309 2,714 Kết tương tự ví dụ trước LCCT12 cho kết tốt so với phần tử số Phần tử số cho kết không ổn định nên sử dụng phần tử không hiệu Và xem xét mức độ hội tụ phần tử LCCT12 với độ mịn lưới chia phần tử thay đổi: 2x2; 4x4; 8x8; 16x16 so sánh với phần tử sử dụng SAP2000 Ở xem xét kết mode dao động w11 Lời giải xác [5] cho mode 213.04 rad/sec Các kết tính toán trình bày hình liệt kê bảng Hình 8: Khảo sát độ hội tụ phần tử LCCT12 – bốn cạnh ngàm Bảng 4: Tần số dao động mode với lưới chia phần tử Loại phần tử SAP2000 - Tấm mỏng SAP2000 - Tấm dày 2x2 149,78 687,59 4x4 197,05 216,33 8x8 208,59 208,29 16x16 211,90 210,86 10 Phần tử 'LCCT-12' 224,68 221,22 215,79 213,65 Ở LCCT12 hội tụ nhanh đạt độ mịn lưới cần thiết kết gần đạt xác Các kết luận  Sử dụng phầntử LCCT12 cho kếtquảtốt, lời giải số gầnnhư sát với lời giải chínhxác.Đặcbiệtkhi so sánhvới phầntử sử dụngtrongphần mềmrấtthôngdụng hiệnnay Việt Nam Sap2000khi phântích độnglực học toántấmmỏnglại cho kếtquảtốthơnhẳn.LCCT12 đãcho kếtquả hội tụ rấtnhanh,số bậctự củanó cũngít, nếusử dụng phầntử nàểphântích sẽkhôngcầnchia lưới mịnvà có thểrútngắnđược thời gianphântích toán Tuy nhiêntrongphạmvi báonàymới chỉphântích toándaộng riêngkhôngxétđếnhệsố nhớt.Các vấnđềdao độngkháccủabài toán tấmhi vọng trình bày nghiêncứu Phân tích dao động toán vỏ mỏng phát triển mà tác giả thực Một hướngpháttriểntươnglai nữó vậndụng lý thuyếttấmdày củaMindlin vàoloại phầntử nàycũnglà nhữngnghiêncứukháthúvị Tài liệu tham khảo   [1] A J M Ferreira, C M C Roque et all – "Analysis of Thin Isotropic Rectagular and Circular Plates with Multiquadrics", Strength of Materials, Vol 37, No 2, 2005 11 [2] Ansel C Ugural  – “ Stresses in Plates and Shell (Second Edition)”. New Jersey Institute of Texhnology – McGraw-Hill Inc – 1999 [3] Chu Quốc Thắng  –  “ Phương Pháp Phần Tử Hữu Hạn” NXB KHKT – 1997 [4] Clough, R.W and C.A Felippa – “ A Refined Quadrilateral Element for the Analysis of Plate Bending Pro Of the Second Conf on Matrix Methods in Structural Mechanics” Wright Patterson Air Force Base, Ohio, 10/1968 [5] Eduard Ventsel and Theodor Krauthammer - " Thin Plates and Shells : Theory, Analysis, and Applications", Marcel Dekker, 2001 [6] Hutton – “ Fundamental of Finite Element Analysis” McGram-Hill, 2004 [7] J H Argyris – “ Energy Theorems of Structural Analysis” Aircraft Engineering, Vol 26, 1954, pp 347-356 and 383-387 [8] Nguyễn Ngọc Dương – “ Conforming Model And Error Estimation FEM for Plate Bending and Thin Shell Structures” Master thesis of EMMC 9, 10/2005 [9] Nguyễn Xuân Hùng – “ Ladevèze-type compatibily error assessment for plate bending” Master thesis of EU-EMMC, Đại Học Bách Khoa TPHCM 2/2003 [10] Nguyễn Xuân Hùng– “ The equilibrium element finite model and error estimation for plate bending” Int Congress Engineering Mechanics Today, Ho Chi Minh City, 08/2004 [11] O.C.Zienkiewicz, CBE, FRS, FREng and R.T Taylor – “ The Finite Element Method”, MPG Books Ltd, 2000 [12] R L.Taylor, S Govindjee – “ Solution of clamped rectangular plate problem” UCB/SEMM 09/2002 [13] S Timoshenko and S Woinowsky-Krieger – “ Theory of Plates and Shells” Mcgraw-Hill, New York, 1959 [14] Trần Quốc Hùng – " Khảo sát ảnh hưởng điều kiện biên, độ dày, tỉ lệ cạnh đến đặc trưng động lực học chữ nhật", Luận văn thạc só Trường ĐHBK-TpHCM, 2001 12 ... 2,714 Kết tương tự ví dụ trước LCCT12 cho kết tốt so với phần tử số Phần tử số cho kết không ổn định nên sử dụng phần tử không hiệu Và xem xét mức độ hội tụ phần tử LCCT12 với độ mịn lưới chia phần. .. sánhvới phầntử sử dụngtrongphần mềmrấtthôngdụng hiệnnay Việt Nam Sap2000khi phântích độnglực học toántấmmỏnglại cho kếtquảtốthơnhẳn .LCCT12 đãcho kếtquả hội tụ rấtnhanh,số bậctự củanó cũngít, nếusử dụng. .. rằng, phần tử LCCT12 cho kết tốt so với hai phầ tử tuân theo lý thuyết Kirchhoff phần tử số Phần tử số sử dụng lý thuyết Mindlin cho kết đồng dạng với ba phần tử trươ sai khác chúng không lớn Phần