Nghiên cứu vật chất tối trong một số mô hình Vật lý mới : Luận văn ThS. Khoa học vật chất: 84401

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGUYỄN TUẤN DUY NGHIÊN CỨU VẬT CHẤT TỐI TRONG MỘT SỐ MƠ HÌNH VẬT LÝ MỚI LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà nội, 2018 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGUYỄN TUẤN DUY NGHIÊN CỨU VẬT CHẤT TỐI TRONG MỘT SỐ MƠ HÌNH VẬT LÝ MỚI Chun ngành: Vật lý lý thuyết vật lý toán Mã : 8440130.01 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS.TSKH NGUYỄN XUÂN HÃN PGS.TS ĐỖ THỊ HƯƠNG Hà nội, 2018 Lời cảm ơn Đầu tiên, xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới GS.TSKH.Nguyễn Xuân Hãn PGS.TS Đỗ Thị Hương tận tình hướng dẫn học tập, nghiên cứu, chia sẻ kinh nghiệm quý báu suốt thời gian học tập hồn thành luận văn Tơi chân thành cảm ơn PGS.TS Phùng Văn Đồng, chị Nguyễn Thị Nhuần anh Lê Đức Thiện giúp đỡ bảo ân cần tận tình cho tơi Thầy anh chị giúp trang bị kiến thức chuyên môn quan trọng, bảo điều cần thiết cho người nghiên cứu Những điều mà học từ thầy cô anh chị hành trang vô quan trọng đường học tập nghiên cứu sau Xin cảm ơn quí thầy, cô hội đồng bảo vệ luận văn thạc sĩ nhận xét, đóng góp nội dung, hình thức luận văn Chân thành cảm ơn anh,chị bạn bè lớp Cao học Vật lí lý thuyết vật lí tốn khố QH.2016.T.CH, trường đại học khoa học tự nhiên trao đổi kiến thức học vấn đề khác sống Cuối xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè ln ủng hộ động viên để hoàn thành luận văn Hà Nội, ngày tháng năm 2018 NGUYỄN TUẤN DUY Mục lục MỞ ĐẦU Chương 1: TỔNG QUAN 1.1 Các chức thực nghiệm cho vật chất tối 1.2 Điều kiện cho vật chất tối 10 1.3 Các ứng viên cho vật chất tối 12 1.4 1.3.1 Axion 12 1.3.2 Neutrino trơ 13 1.3.3 Sneutrino 13 1.3.4 WIMP 13 Tìm kiếm vật chất tối 14 1.4.1 Tìm kiếm trực tiếp 14 1.4.2 Tìm kiếm gián tiếp 15 1.4.3 Tìm kiếm máy gia tốc LHC 16 Chương 2: VẬT CHẤT TỐI TRONG MƠ HÌNH LƯỠNG TUYẾN HIGGS TRƠ 18 2.1 2.2 Tổng quan mơ hình 18 2.1.1 Phổ hạt thành phần Higgs 19 2.1.2 Điều kiện cực tiểu 19 2.1.3 Phổ khối lượng đồng vật chất tối 21 Mật độ tàn dư tìm kiếm vật chất tối 22 2.2.1 Mật độ tàn dư vật chất tối H 22 2.2.2 Tìm kiếm vật chất tối 25 Chương 3: VẬT CHẤT TỐI TRONG MƠ HÌNH 3-3-3-1 28 3.1 Tổng quan mơ hình 28 3.1.1 Phổ hạt trường Higgs 29 3.1.2 Tương tác Yukawa ma trận trộn khối lượng fermion 31 3.1.3 Phổ khối lượng hạt HIggs 3.1.4 Khối lượng gauge boson 37 3.1.5 Tương tác fermion gauge boson 32 41 3.2 Đồng vật chất tối 42 3.3 Mật độ tàn dư vật chất tối tím kiếm chúng 44 3.3.1 Vật chất tối fermion 44 3.3.2 Vật chất tối vô hướng 45 3.3.3 Vật chất tối hạt vector 47 3.3.4 Tìm kiếm vật chất tối 48 KẾT LUẬN 51 TÀI LIỆU THAM KHẢO PHỤ LỤC A B 53 58 Các ma trận trộn khối lượng Higgs 58 Chéo hoá ma trận trộn khối lượng gauge boson phương pháp gần seesaw 60 Danh sách thuật ngữ viết tắt b c CERN CMB DM d e νe GR GWS IDM LHC µ νµ QCD SM SUSY s u t τ ντ V-A VEV WMIP WMAP bottom charm European Organization for Nuclear Research Cosmological Microwave Background Dark Matter down electron electron neutrino General Relativity Glashow-Weinberg-Salam Inert Doublet Model Large Hadron Collider muon muon neutrino Quantum ChromoDynamics Standard Model Supersymmetry strange up top tau tau neutrino Vector-Axial Vacuum Expectation Value Weakly Interacting Massive Particle Wilkinson Microwave Anisotropy Probe Danh sách bảng 2.1 2.2 Bảng hệ số đỉnh tương tác bậc hạt trơ với Higgs 22 Bảng hệ số đỉnh tương tác bậc DM với Higgs boson chuẩn 23 Danh sách hình vẽ 1.1 1.2 1.3 1.4 Đồ thị vận tốc quay khoảng cách đến tâm thiên hà số thiên hà xoắn ốc Ta thấy thiên hà có xu hướng chung vận tốc tiến tới giá trị không đổi khoảng cách đến tâm thiên xa [49] Đồ thị so sánh phụ thuộc vận tốc quay khoảng cách đến tâm thiên hà vật chất tối, vành, đĩa khí cụm thiên hà NGC 6503 [21] Ba dạng tín hiệu detector thu nhận thí nghiệm tìm kiếm trực tiếp vật chất tối với vài tên thí nghiệm tương ứng [38] Minh hoạ ba phương pháp cho tìm kiếm vật chất tối: từ trái sang phải tìm kiếm trực tiếp, gián tiếp tìm kiếm collider [11] 15 16 2.2 2.3 Giản đồ Feynman cho đóng góp vào kênh huỷ H0 thành hạt mơ hình chuẩn qua cổng Higgs (Higgs portal) 23 Mật đồ tàn dư hàm khối lượng vật chất tối H0 24 Đồ thị mối liên hệ số kiện thu ngày với kg Xe 2.4 hạt vật chất tối H tán xạ hạt nhân Xenon detector với khối lượng mH thí nghiệm tìm kiếm trực tiếp 25 Đồ thị mối liên hệ tiết diện tán xạ độc lập spin vật chất tối 2.1 H với hạt nhân Xe detector vào khối lượng mH tìm 2.5 3.1 kiếm trực tiếp 26 Đồ thị mối liên hệ tiết diện huỷ σv hai hạt vật chất tối H với khối lượng mH tìm kiếm gián tiếp 26 Giản đồ Feynman cho trình huỷ hai hạt N, N c hạt mơ hình chuẩn 45 Danh sách hình vẽ 3.2 3.3 3.4 3.5 Đồ thị thể vùng không gian tham số cho mật độ tàn dư Các giản đồ cho đóng góp vào kênh huỷ X1 Đồ thị thể kết phân tích từ LHC cho thấy khả vật chất tối majorana fermion bị loại trừ [5] Vùng khối lượng mZ − mDM mà thí nghiệm tìm kiếm trực tiếp khảo sát được: từ trái sang phải thí nghiệm XENON1T-34d [7] , XENON1T-2y [8] LZ [39] 45 48 49 50 MỞ ĐẦU Từ buổi bình minh văn minh nhân loại, nhu cầu tìm hiểm giới tự nhiên xuất Trải qua hàng nghìn năm lịch sử, nhân loại lĩnh hội quy luật thiên nhiên quy luật ngày đêm, chuyển động mặt trăng, mặt trời xuất phát ban đầu từ quan sát lý luận thơ sơ cịn mang nặng quan điểm tơn giáo, triết học tâm hình thức luận chặt chẽ, khoa học xác vật Mặc dù trả lời phần câu hỏi đó, hiểu biết nguồn gốc, chất, quy luật chi phối hoạt động vũ trụ vấn đề khó khăn mà nhân loại đường tìm lời giải đáp Bằng phép tính xác chứng thực nghiệm ngày [17], vật chất vũ trụ cấu tạo ba thành phần: vật chất thông thường (ordinary matter) quan sát chiếm 5%, gần 70% lượng tối (dark energy) , thứ mà coi nguyên nhân cho tượng giãn nở gia tốc vụ trụ, phần lại vật chất tối (dark matter) Vật chất tối lượng tối không quan sát Điều thật lạ theo thứ trải nghiệm phần nhỏ thực tế Nhưng tệ khơng có manh mối vật chất tối hay lượng tối, hay chúng hoạt động sao, biết chúng thật tồn Lý vật chất gọi "tối" chúng trung hồ điện, khơng hấp thụ hay xạ điện từ, "tàng hình" dụng cu quan trắc thiên văn Chúng đổ đầy thiên hà mở rộng vỏ ngồi thiên hà khoảng cách vơ lớn Chúng ta nhận biết tồn chúng cách gián tiếp qua hiệu ứng thiên văn phân bố vận tốc không đổi quanh tâm thiên hà, tượng lăng kính hấp dẫn, xạ phơng vũ trụ (CMB) Các phân tích q trình phát triển vũ trụ rằng, từ thời điểm đầu lúc Kết luận nặng ứng viên H mơ hình trước, cỡ vài TeV cho mật độ tàn dư thoả mãn giới hạn thực nghiệm Các kết cung cấp thêm buộc tham số cho thí nghiệm tìm kiếm trực tiếp vật chất tối 52 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Nguyễn Mâụ Chung, (2015), "Vật lý hạt bản", NXB Đại học quốc gia Hà nội [2] Hoàng Ngọc Long, (2000) " Cơ sở vật lý hạt bản", NXB Thống kê [3] Hồng Ngọc Long, (2003) " Nhập mơn lý thuyết trường mơ hình thống tương tác điện yếu", NXB khoa học kỹ thuật [4] Đặng Văn Soa , (2005), " Đối xứng chuẩn mơ hình thống điện yếu", NXB đại học sư phạm Tiếng Anh [5] Alves.A, Arcadi.G, Dong.V.P, Duarte.L, Queiroz.F.S and Valle.J.W.F (2017), "Matter-parity as a residual gauge symmetry: Probing a theory of cosmological dark matter", Phys Lett B, pp.772 [6] Abdoetal.A.A (The FermiLAT Collaboration) (2009),”Measurement of the Cosmic Ray spectrum from 20 GeV to TeV with the Fermi Large Area Telescope”, Phys Rev Lett, 181101, pp.102 [7] Aprile.E, et al (2017), XENON, J Cosmol Astropart Phys, 1604 [8] Aprile.E, et al (2017), XENON , J Cosmol Astropart Phys, 1604 ,pp.027 [9] Aalseth.C.E et al (The CoGeNT Collaboration) (2018), ”Results from a Search for Light- Mass Dark Matter with a P-type Point Contact Germanium Detector” 53 Tài liệu tham khảo [10] Adriani.0 et al (The PAMELA Collaboration) (2009), ”Observation of an anomalous positron abundance in the cosmic radiation”, Nature, 458, pp.607-609 [11] Arcadi.G, Dutra.M, Ghosh.P, Lindner.M, Mambrini.Y, Pierre.M, Profumo.S, Queiroz.F.S (2018), "The waning of the WIMP ? A review of models, searches, and constraints" [12] Belanger.G, Boudjema.F, Pukhov.A and Semenov.A, "micrOMEGAs3.1 : a program for calculating dark matter oservables” [13] Belanger.G, Boudjema.F, Pukhov.A and Semenov.A, "micrOMEGAs : a tool for dark matter studies” [14] Belanger.G, Boudjema.F, Pukhov.A and Semenov.A, "Dark matter direct detection rate in a generic model with micrOMEGAs2.1” [15] Belanger.G, Boudjema.F, Pukhov.A and Semenov.A (2007), "micrOMEGAs2.0: A program to calculate the relic density of dark matter in a generic model”, Comput Phys.Commu, 176 ,pp.367 [16] Bertone.G, Hooper.D, and Silk.J (2005), Phys Rep,405, pp.279 [17] Bertone.G, Hooper.D, Silk.J (2005) , " Particle dark matter: evidence, candidates and constraints", Phys.Rept, 405 ,pp.279-390 [18] Belanger.G, Boudjema.F, Pukhov.A, Semenov.A (2009), " Dark matter direct detection rate in a generic model with micrOMEGAs-2.2", Comput.Phys.Commun, 180, pp.747 [19] Beringer.J et al, (2012), "Particle Data Group Collaboration", Phys Rev D, 010001, pp.86 [20] Barbieri, Riccardo and Hall, Lawrence J and Rychkov, Vyacheslav.S N(2006), "Improved naturalness with a heavy Higgs: An Alternative road to LHC physics", Phys.Rev.D , 015007, pp.74 [21] Begeman.K.G, Broeils.A.H and Sanders.R.H (1991), MNRAS, pp.249-523 [22] Bernabei.R et al (The DAMA Collaboration) (2008), ”First results from DAMA/LIBRA and the combined results with DAMA/NaI”, Eur Phys J C, 56, pp.333-355 54 Tài liệu tham khảo [23] Cheung.K, Tsai.Y.L.S, Tseng.P.Y (2012), " Global Study of the Simmplest Scalar phantom Dark Matter Model",JCAP, 1210, pp.042 [24] Cheng.T.P and Li.L.F (1984), " Gauge theory of elementary particle physics", Oxford, Uk: Clarendon , Clarendon Press -Oxford, pp.536 [25] Chang.J et al (2008), ”An excess of cosmic ray electrons at energies of 300–800 GeV”, Nature, 456, pp.362-365 [26] Cogollo.D, Gonzalez-Morales.A.X, Queiroz.F.S and Teles.P.R (2014), "Excluding the Light Dark Matter Window of a 331 Model Using LHC and Direct Dark Matter Detection Data", JCAP, 002, pp.11 [27] D T Huong, P V Dong, N T Duy, N T Nhuan and L D Thien (2018), "Investigation of dark matter in the 3-2-3-1 model", Phys.Rev.D, 055033, pp.98 [28] Falk.T, Olive.K.A and Srednicki.M (1994), "Phys Lett B", 339, pp.248 [29] Jungman.G, Kamionkowski.M, and Griest.K (1996), Phys Reports, 267, pp.195 [30] Hati.C, Patra.S, Reig.M, Valle.J.W.F and Vaquera-Araujo.C.A (2017), "Towards gauge coupling unification in left-right symmetric SU (3)C ⊗ SU (3)L ⊗ SU (3)R ⊗ U (1)X theories", Phys Rev D , 015004 ,pp.96 [31] Hooper.D and Profumo.S (2007), Phys.Rept, 453, pp.29 [32] Honorez.L, Emmanuel (2007), " The inert Doublet Model: an Archetype for Dark Matter", JCAP, 0702, pp.028 [33] Lahav.O and Liddle.A.R (2017), "Cosmological parameters" [34] LUX, LZ collaborations, Szydagis.M (2016), "The Present and Future of Searching for Dark Matter with LUX and LZ", PoS(ICHEP), pp.220 [35] Milgrom.M (1983), ApJ, 270, pp365–370 [36] Milgrom.M (2015), Can J Phys, 93, pp.107 [37] Mohapatra.R.N and Pati.J.C (1975), "Left-Right Gauge Symmetry and an Isoconjugate Model of CP-violation", Phys Rev D, p.11 55 Tài liệu tham khảo [38] Mijakowski.P (2011), "Direcr and Indirect Search for Dark Matter ", PhD Thesis, Andrzej Soltan Institute for Nuclear Studies [39] McKinsey.D.N, LZ (2015), " Proceedings, 14th International Conference on Topics in Astroparticle and Underground Physics", TAUP, Torino, Italy, September , pp.7–11 [40] Oort.J.H (1932), BAIN.,6 ,pp 249 [41] Peskin.M.E and Schroeder.D.V (1982), " An Introduction to Quantum Field Theory",Reading, USA: Addison-Wesley, Addison-Wesley Publishing, pp.842 [42] P.V Dong, T D Tham, H T Hung (2013), "3-3-1-1 modek for dark matter", Phys.Rev.D, 115003, pp.87 [43] P.V Dong, D.T Huong, Queiroz.F.S, Valle.J.W.F and Vaquera-Araujo.C.A, "The dark side of flipped trinification", Journal of high energy physics, 04, pp.143 [44] P.V.Dong, T.Phong Nguyen, D.V.Soa (2013), "3-3-1 model with inert scalar triplet" Phys.Rev D,095014, pp.88 [45] P.V.Dong, N.T.K.Ngan, D.V.Soa (2014), "Simple 3-3-1 model and implication for dark matter", Phys.Rev D, 075019, pp.90 [46] P.V.Dong, C.S.Kim, N.T.Thuy, D.V.Soa (2015), "Investigation of dark matter in the minimal 3-3-1 models", Phys.Rev D, 115019, pp.91 [47] Raine.D,Thomas.T (2001), "An Introduction to the Science of Cosmology", IOP Publishing pp 30 ISBN 978-0-7503-0405-4 OCLC 864166846 [48] Reig.M, Valle.J.W.F and Vaquera-Araujo.C.A (2017), "Unifying left-right symmetry and 331 electroweak theories", Phys Lett B, 766, pp.35 [49] Rubin.V.C, Thonnard.N, Ford.W.K (1978), Jr ApJ, 225 , pp.L107–L111 [50] Ryder.L.H, (1998)." Quantum field theory", Cambridge University Press, 2nd edition [51] Weiberg.S (1995), "The quantum theory of fields", Cambridge, UK: Univ Pr , Cambridge University Press, pp.609 56 Tài liệu tham khảo [52] Weiss.A (2006), "Big Bang Nucleosynthesis: Cooking up the first light elements" , Einstein Online Vol 2, p.1017 [53] Zwicky.F (1937), ApJ, 86, pp.217 57 Phụ lục PHỤ LỤC A Các ma trận trộn khối lượng Higgs Thành phần VA bao gồm năm trường giả vô hướng trộn lẫn A1 , A2 , A3 , A4 , A5 qua ma trận × sau: S Vmass = MA2 :   0   0  0  MA2 A1 A2 A3 S4 S5 T , A1 A2 A3 A4 A5 0 w2 u (2λ2 (w2 −u )+ζ6 w ) 2u2 (u −w2 ) w u (2λ2 (w2 −u )+ζ6 w ) 2u(u −w2 ) wu (2λ2 (w2 −u )+ζ6 w ) 2u(u −w2 ) w2 u (2λ2 (w2 −u )+ζ6 w ) 2u(u −w2 ) w (2λ2 (w2 −u )+ζ6 w ) 2(u −w2 ) wu (2λ2 (w2 −u )+ζ6 w ) 2(u −w2 ) wu (2λ2 (w2 −u )+ζ6 w ) 2u(u −w2 ) wu (2λ2 (w2 −u )+ζ6 w ) 2(u −w2 ) u (2λ2 (w2 −u )+ζ6 w ) 4(u −w2 ) 0 0 (A.1)     (A.2)     Thành phần VS bao gồm năm trường giả vô hướng trộn lẫn S2 , S3 , S1 , S4 , S5 qua ma trận × sau: S Vmass = S2 S2 S1 S4 S5 MS2          m211 m212 m213 m314 MS2 T S2 S3 S1 S4 S5 ζ w2 m213 m14 ζ2 u Λ m224 ζ2 u Λ 2(κ1 + κ2 )Λ2 ζ2 wΛ m224 ζ2 wΛ m244 ζ1 u w ζ4 w Λ (ζ1 + ζ6 )ww m211 = ζ1 uw   ζ1 u w   (A.4) ζ4 w Λ   (ζ1 + ζ6 )ww  2λw 2(u − w2 )[2(λ1 + λ2 u4 − λ2 u w2 )] + ζ6 u w2 w , 2u2 (u − w2 ) 58 (A.3)  u [4λ1 u2 +w2 (2λ2 + w26−u )] 2u m222 ζ1 uw , (A.5) Phụ lục m214 = w[4λ1 u2 + u (2λ2 + ζ6 w w2 −u )] wu 4λ1 + 2λ2 + m222 = λ1 u2 + λ2 (u − w2 /2) − ζ6 w2 w , 4(w2 − u ) 2u , m224 = m244 = λ1 w2 + λ2 (−u /2 + w2 ) − m213 = ζ6 w w2 − u (A.6) ζ6 u w 4(w2 − u ) (u − u2 )[2λ2 (u2 − w2 )(u − w2 ) + ζ6 w2 w ] u(u − w2 )Λ (A.7) Thành phần Vq+1 : q+1 = Vmass φq+1 φq+1 χq+1 23 32 −(q+1) Mq+1 φ23 −(q+1) φ32 T −(q+1) , χ2 (A.8) với   Mq+1 =   ζ6 u ww 2(u −w2 ) ζ6 w w 2(u −w2 ) ζ6 ww ζ6 u w 2(u −w2 ) ζ6 u ww w(u −w2 ) ζ6 u w ζ6 u w ζ6 ww ζ6 (u −w2 )     (A.9) Thành phần Vq : q Vmass = q χq1 φq13 φq31 σ13 Mq2 −q −q −q φ−q 13 φ31 σ13 χ1 T , (A.10) với Mq2 :       ζ6 u w 2(u −w2 ) ζ6 u ww 2u(u −w2 ) λ2 (u2 − u ) + λ2 w(u2 −u ) u + λ2 w(u2 −u ) u λ2 w2 (u2 −u ) u2 + + ζ6 u ww 2u(u −w2 ) ζ6 u w w 2u2 (u −w2 ) m2q13 m2q23 m2q13 m2q23 m2q33 ζ6 uw ζ6 ww ζ5 w √Λ 2 ζ6 uw ζ6 ww ζ5 w √Λ 2 ζ6 (u2 −w2 )+ζ5 Λ2     (A.11)   m2q13 = (u − u2 )(2λ2 (u2 − w2 )(u − w2 ) + ζ6 w2 w ) √ 2u(u − w2 )Λ 59 (A.12) Phụ lục m2q33 = m2q33 = (u − u2 )w(2λ2 (u2 − w2 )(u − w2 ) + ζ6 w2 w ) √ 2u2 (u − w2 )Λ (A.13) (u2 − u )(u2 − w2 )[2λ2 (u2 − w2 )(u − w2 ) + ζ6 w2 w + ζ5 (u − w2 )u2 w w2 ] (A.14) 4u2 Λ2 (u − w2 ) ± : Thành phần Vmass ± Vmass = M±2  2    (u −u ) [2λ2 (u −w2 )2 +ζ6 u w ] 4u2 (u −w2 )Λ2 2 (u −u )[2λ2 (u2 −w2 )(u −w2 )+ζ6 u w ] √ 2u(u −w2 )Λ u u m12 với m223 = B λ2 u (u2 −w2 ) u2 M±2 + + σ12 φ+ 12 φ21 + − − σ12 φ− 12 φ21 T , (u2 −u )[2λ2 (u2 −w2 )(u −w2 )+ζ6 u w ] √ 2u(u −w2 )Λ ζ6 w2 w λ2 (u2 − w2 ) + 2(u −w ) m223 (A.15) u u m12 m223 m233    (A.16)  ζ6 u w2 w 2u2 (u −w2 ) Chéo hoá ma trận trộn khối lượng gauge boson phương pháp gần seesaw Năm trường A3L , A3R , A8L , A8R , B trộn lẫn qua ma trận × sau  2 2 u2 + u   −t u2 + u  R   u2√ −u   t u 23−u2 ) R(  √  u√ −u tR (u −u2 ) √ −tR u2 + u t2R u2 + u + 4Λ2 tR (u −u2 ) √ t2R (u −u +4Λ √ ) m33 tR (u −u ) √ 2 tR (u −u +4Λ2 ) √ tR (u +u +4w2 ) − − 13 tR u2 + u + 4w2 m44 m45 m25       m45   m25  m55 với m25 4tR tX (3 + =− m55 √ 3β)Λ2 , m45 √ 4tR tX (w β + ( + β)Λ2 ) = , √ 4t2X (β w + ( + β)2 Λ2 ) = 60  (B.1) (B.2) Phụ lục m33 = u2 + u + 4w2 u2 + u + 4(w2 + w + Λ2 ) , m44 = 3 (B.3) Ma trận có định thức 0, tức có trị riêng 0, hay khối lượng photon mγ = Vector riêng photon : Aµ = tX tR A3Lµ + t2X (1 + β ) + t2R (1 + t2X (1 + β )) A3Rµ βA8Rµ Bµ + βA8L + + (B.4) , tR tR tX Từ đó, đồng với mơ hình chuẩn, ta xác định góc trộn Weinberg (θW ) : sW = tX tR t2X (1 + β ) + t2R (1 + t2X (1 + β )) , (B.5) Trường photon viết lại sau : A = sW A3L + cW tW tW tW A3R + βtW A8L + β A8R + B tR tR tX , (B.6) Do tính chất vector riêng trực giao chuẩn hố lẫn đơi một, ta dễ dàng tính vector riêng trường ZL = cW A3L − sW tW tW tW A3R + βtW A8L + β A8R + B tR tR tX , (B.7) Tương tự cho ba trường lại, ta thu : ZL = ς1 tX tW βA3R − tW A8L + ς1 tX tW β A8R + ς1 tR tW βB, ς1 tX tR ς1 ZR = − A3R + ςς1 t2X βA8R + ςς1 tX tR B, ς ZR = ς(tR A8R − tX βB), (B.8) Tiếp theo, ta chuyển sang sở mà ma trận trộn khối lượng có dạng đường chéo Aµ , ZLµ , ZLµ , ZRµ , ZRµ , phép chuyển sở sau 61 Phụ lục (A3Lµ A3Rµ A8Lµ A8Rµ Bµ )T = U (Aµ Zµ ZLµ ZRµ ZRµ )T , với ma trận U :  sW cW 0  s  W √ tW 2tX β − sWtRtW  tR √tR +tX (1+β )   s β −s t β − √ t2R +t2X (1+β )  W W W t2R +t2X (1+β )+t2R t2X β   βsW βsW tW √ 2tW t2X β − tR  tR tR +tX (1+β )  sW tX − sWtXtW √2 2 t +t β −√ R2 X 0      (B.9)      tR +tX (1+β ) βt2X (t2R +β t2X )[t2R +(1+β )t2X ] √ 2 tX t2R (tR +β tX )[tR +(1+β )t2X ] √ tR √ tR +tX β − √ 2tX β2 tR +tX β √ tW2tR β tR +tX (1+β )  Ma trận trộn ban đầu sở có dạng sau : M02 = U T M02 U = 0 M (B.10) Ta thấy có trường photonlà vật lý, trường cịn lại (ZLµ , ZLµ , ZRµ , ZRµ ) trộn qua ma trận × M : √   2 [(u −u2 )t2 βζ + 3(u2 +u )]ζ t2 (u −u2 )       u +u c2W M12 √ R√2 3cW tR +β t2X M12 M22 M23 M24 M23 M33 M34 M24 M34 M44 t2R (u −u2 ) √ 2 3cW t2R +β √ tX2 2 2 [(u −u )tX βζ + 3(u +u )]ζ1 √ − 3cW ζ √ 62 − X √ 3cW ζ    ,   Phụ lục ta ký hiệu : M14 M22 M24 , M34 M44 M33 (u2 − u )tR tX (u2 + u )tR tX sW , t2R + t2X (1 + β ) c2W t2R + t2X (1 + β ) √ tR [(u − u2 )t2X βζ + 3(u2 + u )]ζ1 √ = 3cW ζ 2 2 (1 + ς12 t2R t2X β )tW tR ςw2 (1 + ς1 tR tX β ) t2W w2 , M 23 3 ς1 tX ς12 t2R t2X M12 = − √ − 3sW 4(1 + ς12 t2R t2X β )tW tX ςβw2 √ √ tR ς1 t2X β(3 + 3β)Λ2 (1 + t2X ς ) + t2R (−t2W w2 β ς + 3Λ2 (1 + t2X ς )) 4t2 ς12 t4X w2 β ς + 3(1 + t2X ς )2 Λ2 = R 3ς √ 2 4ς tR w + (tR + β t2X )2 w + (t2R + β( + β))2 Λ2 = (B.11) Với điều kiện sau, u, u w, w , Λ, phần tử ma trận hàng cột ma trận M bé nhiều so với phần tử ma trận cịn lại Do đó, ta chéo hố ma trận M việc dụng phương pháp seasaw Chúng ta chuyển sang sở (ZLµ , ZLµ ZRµ , ZRµ ) cho tách boson nhẹ Zµ khỏi ba boson nặng ZLµ ZRµ , ZRµ Cơ sở liên hệ với sở trước qua phép biến đổi unitary (ZLµ ZLµ ZRµ ZRµ )T = U(ZLµ ZLµ ZRµ ZRµ )T Ma trận M , sở là: M = U T M 2U = m2ZL 0 M23×3 (B.12) với  U   −  −  − 1 ,   0 63    (B.13) Phụ lục ta thu √ u2 + u 2sW [3βt2X t2R (u2 + u )ζ12 + 3(1 + β t2X t2R ζ12 )(u2 − u )] + c2W 3c2W tR tX ζ1 √ 2tR (u2 − u )ζ 2tR (−3(t2R + β t2X )(u2 + u ) + 3βtX (u2 − u ))ζζ1 √ + 3cW 3cW g2 = L m2ZL +  gL2    M23×3 4(1+ς12 t2R t2X β )2 t2W w2 3ς12 t2R t2X 4(1+ς12 t2R t2X β )tW tR w2 ς 3ς12 tX 4(1+ς12 t2R t2X β )tW tX βw2 ς 2 Trong m2ZL gL (u4c2+u W mơ hình chuẩn M223 1,2,3   ,  khối lượng boson ZL đồng với boson Z √ 4ς t4R w2 + [w + (1 + β 3t2X ς )2 Λ2 ], 3ς (B.14) định ngĩa (u2 + u ) − w2 + (u2 + u ) Λ2 ) 4(1+ς12 t2R t2X β )tW tX βw2 ς M223 2 4tR (3Λ +t4X β ς w2 )ς12 3ς √ √ √ 4tR ς ς1 [ 3t4R Λ2 + t4X (3 + 3β)(β + β )Λ2 + t2R t2X (−w2 β + β(3 + 3β)Λ2 )] =− , M222 = 4(1+ς12 t2R t2X β )tW tR w2 ς 3ς12 tX M222 M223 [t2R + t2X β(β + √ √ 3))ζζ13 [β(β + 3)t2X (1 + t2R ) + t2R ] 4tR cW (1 + t2R t2X β ζ12 ) (c2W + s2W t2X β ζ )ζ13 4c3W tR ζ (u2 + u )) w2 √ [β(β + 3)t2X (1 + t2R ) + t2R ]ζζ12 4cW (1 + t2R t2X β ζ12 ) (B.15) (B.16) √ 3sW (u − u2 ) 3s3W (u + u2 ) (u2 + u )sW tX β(c2W + s2W t2X ζ β)ζ13 − − 4c2W tR tX ζ1 w2 4cW tR tX ζ1 w2 4c4W tR ζ Λ2 √ (u2 + u ) − β( + β)2 t4X [ζ β t2X + t2R (1 − 2t2R t2X β ζ ζ12 )] w2 √ √ √ + t2R t4X ζ [(β + 3)2 (1 + 2t2R t2X β ζ12 ) + β(β + 3)(1 + 3t2R t2X βζ12 )] √ √ √ + 3β(β + 3)t2R t2X [1 + t2X t2R β ζ12 + t4R ζ ] + t4R t2X ζ (β + 3) (B.17) 64 Phụ lục hay O 1,2,3 u2 ,u Λ2 ,w ,w2 Ở M23×3 ma trận trộn khối lượng ba boson nặng ZLµ ZRµ , ZRµ Tiếp tục dùng phương pháp gần seasaw với điều kiện phân bậc Λ w, w : M T =U M U = m2Z 0 M2×2 (B.18)  U M 2×2 2×2 có dạng sau:  4ς gL2  − 1 , − Boson Z có khối lượng m2Z trận M  (1+ς12 t2R t2X β )2 t2W w2 gL , ς12 t2R t2X √ + βt2X ( + β))2 Λ2 + wς √ 4t (t2 +t2 β( 3+β))Λ2 ς − R R x√3ς (t2R  (B.19)  1,2 ∼O w2 ,w Λ2 √ 4tR (t2R +t2x β( 3+β))Λ2 ς √ − 3ς1 4t2R Λ2 ς ς12 Ma  , Ma trận trộn lẫn hai trạng thái ZR ZR Chéo hoá ma trận cho ta vector riêng sau : ZR gL2 m2ZR t2ξ3 sξ3 ZR + cξ3 ZR , 3w + tX (1 + β )]2 √ , ς1−2 [4 + (3 + 3β + β )(t2X /t2R )] [t2 R √ gL2 4t2R + t2X (3 + 3β + β ) Λ2 , m2Z R Góc trộn ZR -ZR , cξ3 ZR − sξ3 ZR , ZR (B.20) (B.21) (B.22) là: √ 3t2R + β(3 + 3β)t2X t2R + t2X (1 + β ) √ √ = 2t4R + t2R t2X (3 − 3β + β ) − β (3 + 3β + β )t4X 2tR √ (B.23) Tóm lại, boson chuẩn vật lý liên hệ với trạng thái boson không vật lý ma trận chuyển sở V = U UU U U sau (A3L A3R A8L A8R B)T = V (A ZL ZL ZR ZR )T 65 (B.24) Phụ lục  sW cW 0  sW s c  tR − tRsWcW tW tX βς1 − ς13 − ς13  βs2W V = − tRttWX ς1 0 βs − W  cW  sW β sW β 2  tR − cW tR tW tX β ς(tR c + tX βs ς1 ) ς(−tR s + t2X βc ς1 ) sW tX U − tXsWcW góc tR βς1 1,2 ςtX (tR s ς1 − βc )     (B.25) ,   tX ς(tR c ς1 + βs ) 1,   0 0  0  U = 0  0 0 0       s3  c 0 −s 66 c (B.26)