Thiết kế mặt đáp ứng 3-mức với tính chất hiệu ứng bậc hai trực giao

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Phạm Đình Tùng THIẾT KẾ MẶT ĐÁP ỨNG 3-MỨC VỚI TÍNH CHẤT HIỆU ỨNG BẬC HAI TRỰC GIAO LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - 2016 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Phạm Đình Tùng THIẾT KẾ MẶT ĐÁP ỨNG 3-MỨC VỚI TÍNH CHẤT HIỆU ỨNG BẬC HAI TRỰC GIAO Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất Thống kê Toán học Mã số: 62 46 01 06 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS NGUYỄN KỲ NAM GS.TS NGUYỄN HỮU DƯ Hà Nội - 2016 Lời cam đoan Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng tơi Các số liệu, kết trình bày luận án trung thực chưa công bố cơng trình khác Nghiên cứu sinh Phạm Đình Tùng Lời cảm ơn Luận án thực hoàn thành hướng dẫn khoa học TS Nguyễn Kỳ Nam GS.TS Nguyễn Hữu Dư, hai người thầy vơ mẫu mực, tận tình giúp đỡ đường khoa học Hai thầy dìu dắt tơi đường tốn học, đưa tơi bước vào lĩnh vực tốn học đầy thú vị, tạo thử thách giúp tự học hỏi, tìm tịi sáng tạo, tơi may mắn tiếp nhận từ hai người thầy đáng kính Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến hai thầy Trong trình học tập nghiên cứu để hồn thành luận án, tơi nhận nhiều giúp đỡ quý báu thầy cô Bộ môn Xác suất Thống kê Khoa Toán-Cơ-Tin học, Trường Đại học Khoa học Tự Nhiên-ĐHQG Hà Nội Tôi xin trân trọng giúp đỡ thầy cô Tôi muốn bày tỏ cảm ơn chân thành đến Ban Giám hiệu, Ban Chủ nhiệm Khoa Tốn-Cơ-Tin học, Phịng sau đại học phòng ban chức Trường Đại học Khoa học Tự Nhiên-ĐHQG Hà Nội tạo điều kiện thuận lợi cho học tập nghiên cứu Tôi xin bày tỏ lịng biết ơn đến gia đình tồn thể bạn bè ln khuyến khích, động viên để tơi vững bước đường tốn học chọn Mục lục Trang Lời cam đoan Lời cảm ơn Thuật ngữ Anh Việt Danh mục ký hiệu chữ viết tắt Danh mục bảng 10 Danh mục hình vẽ 11 Mở đầu 12 Chương Giới thiệu phương pháp bề mặt đáp ứng 17 1.1 Thiết kế thí nghiệm 17 1.2 Phương pháp bề mặt đáp ứng 19 1.2.1 Mơ hình bề mặt đáp ứng 20 1.2.2 Tối ưu bề mặt đáp ứng 22 1.2.3 Thiết kế thí nghiệm phù hợp mơ hình bề mặt đáp ứng 23 1.3 Thí nghiệm sinh tổng hợp enzym Lipase 26 Chương Thiết kế Box-Behnken nhỏ với nhóm trực giao 32 2.1 Thiết kế Box-Behnken 32 2.2 Thiết kế nhóm khơng đầy đủ với cỡ nhóm khác 34 2.3 Phương pháp xây dựng thiết kế Box-Behnken nhỏ 36 2.4 Thiết kế Box-Behnken nhỏ với nhóm trực giao 38 2.5 Chia nhóm trực giao thiết kế bậc hai dựa IBD 40 2.6 Kết luận chương 41 Chương Thiết kế ước lượng tương đương SPLIT-PLOT 42 3.1 Thiết kế SPLIT-PLOT 43 3.2 Mơ hình bề mặt đáp ứng cho thiết kế SPLIT-PLOT tổng quát 45 3.3 Cấu trúc mong muốn ma trận thông tin SPD 46 3.4 Thuật toán SPLIT 47 3.5 Kết đánh giá 50 3.5.1 Các ví dụ minh chứng 51 3.5.2 Kết tính tốn 54 3.6 Kết luận chương 57 Kết luận 60 Danh mục cơng trình khoa học tác giả liên quan đến luận án 62 Tài liệu tham khảo 63 Phụ lục 73 Thuật ngữ anh việt Augmented-Pair Design Thiết kế tăng cặp Balanced Incomplete Block Design Thiết kế nhóm khơng đầy đủ cân Block Nhóm Block Effect Hiệu ứng nhóm Blocking Factor Nhân tố chia nhóm Box-Behnken Design Thiết kế Box-Behnken Box-Plot Đồ thị hộp ria mèo Balanced Lattice Lưới cân Center Point/Run Điểm tâm Central Composite Design Thiết kế tổng hợp trung tâm Concurrence Matrix Ma trận lặp lại Coordinate-exchange Algorithm Thuật tốn đổi tọa độ Contour Plot Đồ thị đường vịng Cyclic Tuần hoàn Design Matrix Ma trận thiết kế D-optimal D-tối ưu D-efficient D-hiệu Easy-to-Change Factor Nhân tố dễ thay đổi mức giá trị Effect Hiệu ứng Equivalent-Estimation Split- Plot Design Thiết kế ước lượng tương đương SPLIT-PLOT Expanded Design Matrix Ma trận thiết kế mở rộng Experimental Region Miền thí nghiệm Factor Nhân tố Factorial Design Thiết kế nhân tố Fractional Factorial Design Thiết kế phần nhân tố First-order Model Mơ hình đa thức bậc First-order Orthogonal Design Thiết kế bậc trực giao Generalized Least Square Method Phương pháp bình phương tối thiểu tổng quát Hard-to-Change Factor Nhân tố khó thay đổi mức giá trị Incomplete Block Design Thiết kế nhóm khơng đầy đủ Interaction Effect Hiệu ứng tương tác Interchange Algorithm Thuật toán hốn đổi Intrablock Trong nhóm Main/First-order Effect Hiệu ứng hiệu ứng bậc Least Square Method Phương pháp bình phương tối thiểu Level Mức giá trị Orthogonal Quadratic Effect Property Tính chất hiệu ứng bậc hai trực giao Orthogonal Block Nhóm trực giao Partial Balanced Incomplete Block Design Thiết kế nhóm khơng đầy đủ bán cân Placket-Burman Design Thiết kế Placket-Burman Point-exchange Algorithm Thuật toán hoán đổi điểm Quadratic Effect Hiệu ứng bậc hai Qualitative Định tính Quantitative Định lượng Randomization Ngẫu nhiên hóa Regression Technique Kỹ thuật hồi quy Regular Graph Design Thiết kế đồ thị quy Replicate Set Nhóm lặp lại Replication Lặp lại phép thử Resolvable Tách Response Biến đáp ứng Response Function Hàm đáp ứng Resovable Incomplete Block Design Thiết kế nhóm khơng đầy đủ tách Response Surface Design Thiết kế bề mặt đáp ứng Response Surface Model Mơ hình bề mặt đáp ứng Response Surface Methodology Phương pháp bề mặt đáp ứng Rotatability Tính xoay quanh Robust Tính vững Run Phép thử thí nghiệm Runs Số phép thử thí nghiệm Screening Design Thiết kế sàng lọc Second-order Design Thiết kế bậc hai Second-order Split-Plot Design Thiết kế SPLIT-PLOT bậc hai Second-order Model Mơ hình đa thức bậc hai Small Composite Design Thiết kế tổng hợp nhỏ Stationary Point Điểm dừng Surface Plot Đồ thị bề mặt Subset Design Thiết kế tập Supplementary Set Design Thiết kế tập phần phụ Split-Plot Design Thiết kế SPLIT-PLOT Sub-Plot Ô nhỏ Try Lần thử Trial and Error Thử sai Whole-Plot Ô lớn White Noise Nhiễu trắng Danh mục ký hiệu chữ viết tắt APD Thiết kế tăng cặp BBD Thiết kế Box-Behnken BIBD Thiết kế nhóm khơng đầy đủ cân CCD Thiết kế tổng hợp trung tâm EE-SPD Thiết kế ước lượng tương đương SPLIT-PLOT ETC Dễ thay đổi mức giá trị FD Thiết kế nhân tố đầy đủ FFD Thiết kế phần nhân tố đầy đủ GLS Bình phương tối thiểu tổng quát HTC Khó thay đổi mức giá trị IBD Thiết kế nhóm khơng đầy đủ OLS Bình phương tối thiểu thông thường PBD Thiết kế Placket-Burman PBIBD Thiết kế nhóm khơng đầy đủ bán cân RGD Thiết kế đồ thị quy RSD Thiết kế bề mặt đáp ứng RSM Phương pháp bề mặt đáp ứng SCD Thiết kế trung tâm nhỏ SBBD Thiết kế Box-Behnken nhỏ SPD Thiết kế SPLIT-PLOT phần mềm tốt Nội dung chương đưa thuật toán SPLIT nhanh đơn giản xây dựng EE-SPD 3-mức hầu hết trường hợp Sự khác biệt EE-SPD JG SPLIT với SPLIT việc thiết lập mức giá trị cho nhân tố WP phân bố mức giá trị nhân tố SP WP thực người làm thí nghiệm Các EE-SPD tạo SPLIT thường D-hiệu có ma trận thơng tin dạng đơn giản gần với phương trình (3.7) Điều cho ta giải thích đơn giản kết tính tốn Thuật tốn SPLIT thực ngơn ngữ lập trình Java Program sử dụng SPLIT ma trận thiết kế đầu vào đầu trường hợp trình bày chương sẵn có từ nghiên cứu sinh thầy hướng dẫn 59 Kết luận Luận án đề xuất số thiết kế bề mặt đáp ứng bậc hai cho nhân tố 3-mức giá trị có tính chất hiệu ứng bậc hai trực giao bao gồm thiết kế BoxBehnken nhỏ thiết kế ước lượng tương đương SPLIT-PLOT Các thiết kế Box-Behnken xây dựng từ thiết kế nhóm khơng đầy đủ Chúng có số phép thử thí nghiệm nhỏ thiết kế Box-Behnken cổ điển nên gọi thiết kế Box-Behnken nhỏ Ngoài ra, thiết kế chia nhóm trực giao Đối với lớp thiết kế SPLIT-PLOT gồm nhân tố khó thay đổi mức giá trị dễ thay đổi mức giá trị, xây dựng thuật toán SPLIT để tạo thiết kế ước lượng tương đương SPLIT-PLOT Các thiết kế SPLITPLOT cải tiến 25 trường hợp tác giả Jones & Goos [25] Marchia & Goos [31] theo số Deff mức giá trị thiết kế số nguyên Các thiết kế có ma trận thơng tin dạng đơn giản chúng có tính chất hiệu ứng bậc hai trực giao gần với dạng đơn giản nên dễ giải thích kết mơ hình Các kết mà luận án thu bao gồm: (i) Các thiết kế Box-Behnken với số phép thử thí nghiệm chia nhóm trực giao (ii) Đóng góp vào danh sách thiết kế SPLIT-PLOT với tính chất ước lượng tương đương cải thiện số kết tác giả trước (iii) Xây dựng lớp thiết kế thí nghiệm với tính chất hiệu ứng bậc hai trực giao Các kết luận án dừng lại mức độ xây dựng lý thuyết thiết kế tốt người làm thí nghiệm có thêm nhiều lựa chọn để thực 60 Luận án mở số vấn đề tiếp tục nghiên cứu: (i) Ứng dụng số thiết kế thí nghiệm vào toán thực tế (ii) Cải tiến thiết kế APD với tính chất hiệu ứng bậc hai trực giao (ii) Nghiên cứu tiếp toán xây dựng thiết kế thí nghiệm sàng lọc có tính chất hiệu ứng bậc hai trực giao Các kết nhận đăng tạp chí [41] Các kết luận án báo cáo tại: • Xêmina mơn Xác suất Thống kê - Khoa Toán Cơ Tin học - Trường ĐH KHTN, ĐHQG Hà Nội • The International Conference Statistics and its Interactions with Other Dis- ciplines, Ton Duc Thang University, Ho Chi Minh City, 5-7/6/2013 • Hội nghị Tốn học Việt Nam lần thứ 8, Nha Trang 10-14/8/2013 61 Danh mục cơng trình khoa học tác giả liên quan đến luận án [1 ] Tung-Dinh Pham & Nam-Ky Nguyen (2014), "Small Box-Behnken Designs With Orthogonal Blocks", Statistics and Probability Letters (SCIE), 85, pp.84–90 [2 ] Nam-Ky Nguyen & Tung-Dinh Pham (2015), "Searching for D-efficient Equivalent-Estimation Second-Order Split-Plot Designs", Journal of Quality Technology(SCI), 47, pp.54-65 62 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Bùi Hồng Quân & Nguyễn Đức Lượng (2009), "Tối ưu hóa sinh tổng hợp Lipase từ Pichia anomala VTCC Y0787 sử dụng ma trận Placket-Burman phương pháp đáp ứng bề mặt - Phương án cấu trúc có tâm", Tạp chí cơng nghệ sinh học, 7, pp.493-500 [2] Huỳnh Thị Thanh Hiền, Trịnh Thị Bích Huyền & Bùi Hồng Quân (2010), "Sử dụng ma trận Placket-Burman phương pháp đáp ứng bề mặt - thiết kế cấu trúc có tâm nhằm tối ưu hóa sinh tổng hợp Lipase từ Bacillus Licheniformis GBDTY1", Tạp chí cơng nghệ sinh học, 8, pp.811-818 [3] Lê Thị Thanh Hương, Lê Viết Tấn, Phan Minh Tân, Trần Thị Việt Hoa (2009), "Tối ưu hóa chuyển hóa este mỡ cá tra với xúc tác KOH/γ − Al203 sử dụng phương pháp bề mặt đáp ứng", Tạp chí Khoa học Cơng Nghệ, 12, pp.69-75 Tiếng Anh [4] Arnouts, H & Goos, P (2010), "Update formulas for split-plot and block designs", Computational Statistics & Data Analysis, 54, pp.3381-3391 63 [5] Box, G.E.P., & Behnken, D.W (1958), Some new three level second-order designs for surface fitting, In: Statistical Technical Research Group Technical Report No.26.Princeton University, New Jersey [6] Box, G.E.P & Behnken, D.W (1960), "Some new three level designs for the study of quantitative variables", Technometrics 2, pp.455-477 [7] Box, G.E.P & Draper,N.R (1987), Emperical Model-Building and Response Surfaces, John Wiley & Sons New York [8] Box,G.E.P & Hunter,J.S (1957), "Multifactor experimental designs for exploring response surfaces", The Annals of Mathematical Statistics, 28, pp.195–241 [9] Box, G.E.P & Wilson, K.B (1951), "On the experimental attainment of optimum conditions", Journal of the Royal Statistical Society, B 13, pp.1-45 [10] Cornell, J.A (1990), How to Apply Response Surface Methodology, ASQC Quality Press, Chicago [11] Cornell, J.A (2011), Experiments with Mixtures: Designs, Models, and the Analysis of Mixture Data, John Wiley & Sons New York [12] Crosier, R.B (1991), Some New Three-level Response Surface Designs, Technical report CRDEC-TR-308 U.S Army Chemical Research, Development & Engineering Center, Washington [13] Dey, A (2009), "Orthogonally blocked three-level second order designs", Journal of Statistical Planning and Inference, 139, pp.398-3705 [14] Dey, A.& Kole, B.(2013), "Small three-level second-order designs with orthogonal blocks", Journal of Statistics Theory & Practice 7, pp.745–752 [15] Draper, N.R & Lin,D.K.J (1990), "Small Response- Surface Designs", Technometrics 32, pp.187-194 [16] Draper, N.R & Lin, D.K.J (1996), Response Surface Designs, In Handbook of Statistics, Vol 13, Ghosh,S and Rao, C.R., (Editors), Elsevier Science, pp.343-375 64 [17] Draper, N.R & Pukelsheim, F (1990), "Another Look at Rotatability", Technometrics 32, pp.195-202 [18] Gilmour, S.G & Trinica, L.A.(2003), "Row-column response surface designs", Journal of Quality Technology 2, pp.184-193 [19] Goos, P (2006), "Optimal versus orthogonal and equivalent-estimation design of blocked and split-plot experiments", Statistica Neerlandica, 60, pp.361-378 [20] Goos, P & Vandebroek, M (2001), "Optimal split-plot designs", Journal of Quality Technology, 33, pp.436-450 [21] Goos, P & Vandebroek, M (2003), "D-optimal split-plot designs with given numbers and sizes of whole plots", Technometrics, 45, pp.235-245 [22] Goos, P & Vandebroek, M (2004), "Outperforming completely randomized designs", Journal of Quality Technology, 36, pp.12-26 [23] Großmann, H & Gilmour, S G (2013), Partially orthogonal blocked three-level response surface designs Unpublished manuscript [24] Jones, B & Goos, P (2007), "A Candidate-set-free algorithm for generating D-optimal split-plot designs", Journal of the Royal Statistical Society, Series C, 56, pp.347-364 [25] Jones, B & Goos, P (2012), "An algorithm for finding D-efficient equivalent-estimation second-order split-plot designs", Journal of Quality Technology, 44, pp.363-374 [26] Jones, B & Nachtsheim, C J (2009), "Split-plot designs: what, why and how", Journal of Quality Technology, 41, pp.340-361 [27] Jones, B & Nachtsheim, C.J (2011), "A class of three levels designs for definitive screening in the presence of second order effects", Journal of Quality Technology, 43, pp.1-15 [28] Khuri, A.I.& Cornell, J A (1996), Response Surfaces, 2nd edition Marcel Dekker New York 65 [29] Kowalski, S M., Parker, P A & Vining, G G (2007), "Tutorial: Industrial split-plot experiments", Quality Engineering, 19, pp.1-15 [30] Morris, M.D (2000), "A Class of Three -Level Experimental Designs for Response Surface Modeling", Technometrics 42, pp.111-121 [31] Macharia, H & Goos, P (2010), "D-optimal and D-efficient equivalentestimation second-order split-plot designs", Journal of Quality Technology, 42, pp.358-372 [32] Myers, R.H & Montgomery,D.C (2002), Response Surface Methodology Process and Product Optimization Using Designed Experiments- 2nd ed, John Wiley and Sons, New York [33] Meyer, R K & Nachtsheim, C J (1995), "The co-ordinate exchange algorithm for constructing exact optimal experimental designs", Technometrics, 37, pp.60–69 [34] Mylona, K., Macharia, H & Goos, P.(2013), "Three-level equivalentestimation split-plot designs based on subset and supplementary difference set designs", IIE Transaction, 45, pp.1153-1165 [35] Nguyen, N-K & Dey, A (2014), "A Catalog of Orthogonally Blocked 3Level Second-Order Designs with Run Sizes ≤ 100", Journal of Statistics Theory & Practice, 9, pp.537-543 [36] Nguyen, N.K & Borkowski, J.J (2008), "New 3-level response surface designs constructed from incomplete block designs", Journal of Statistical Planning and Inference, 138, pp.294-305 [37] Nguyen, N.K & Lin, D.K.J (2011), "A note on small composite designs for sequential experimentation", Journal of Statistics Theory & Practice, 5, pp.109-117 [38] Nguyen, N.K (1996), "An algorithmic approach to constructing supersaturated designs", Technometrics, 38, pp.69-73 [39] Nguyen, N-K (2001), "Cutting experimental designs into blocks", Australian & New Zealand Journal of Statistics 43, pp.367–374 66 [40] Nguyen, N-K & Stylianoub, S (2013), "Constructing Definitive Screening Designs Using Cyclic Generators", Journal of Statistics Theory & Practice, 7, pp.713-724 [41] Nam-Ky Nguyen & Tung-Dinh Pham (2016), "Small Mixed-Level Screening Designs with Orthogonal Quadratic Effects", Journal of Quality Technology, acccepted [42] Plackett, R.L., & Burman, J.P (1946), "The Design of optimum Multifactorial Experiments", Biometrika, 33, pp.305-325 [43] Parker, P A., Kowalski, S M & Vining, G G (2006), "Classes of splitplot response surface designs for equivalent-estimation", Quality and Reliability Engineering International, 22, pp.291-305 [44] Parker, P A., Kowalski, S M & Vining, G G (2007), "Construction of balanced equivalent-estimation second-order split-plot designs", Technometrics, 49, pp.56-65 [45] Raghavarao, D (1962), "Symmetrical Unequal Block Arrangements with two Unequal Block Sizes", The Annals of Mathematical Statistics, 33, pp.620633 [46] Stylianou, S (2011) Three-level screening designs applicable to models with second order terms, In the International Conference on Design of Experiments (ICODOE-2011) May 10-13, Department of Mathematical Sciences, University of Memphis, Memphis, USA [47] Trinca, L A., & Gilmour S G (2000), "An algorithm for arranging response surface designs in small blocks", Computational Statistics & Data Analysis, 33, pp.25-43 [48] Trinca, L A., & Gilmour S G (2002), "Erratum to algorithm for arranging response surface designs in small blocks [Computational of Statististic and Data Analysis 33 (2000) 25-43]" Computational Statistics & Data Analysis, 40, pp.475 67 [49] Vining, G G., Kowalski, S M & Montgomery, D C (2005), "Response surface designs within a split-plot structure", Journal of Quality Technology, 37, pp.115-129 [50] Wong, W.K (1994), "Comparing robust properties of A, D, E and Goptimal designs", Computational Statistics & Data Analysis, 18, pp.441-448 [51] Xiao, L L., Lin, D K J & Bai, F S (2012), "Constructing Definitive Screening Designs Using Conference Matrices" Journal of Quality Technology, 44, pp.2-8 [52] Zang, T.F, Yang,J.F & Lin, D.K.J (2011), "Small Box-Behnken design", Statistics and Probability Letters, 81, pp.1027-1033 68 Phụ lục Ma trận thiết kế cho SBBDs với m = 6, · · · , 16 Ma trận cho SBBDs với m = 6, 8, 12 15 nhận cách xóa bỏ cột cuối ma trận với m + Các dòng đánh dấu † sử dụng nửa thiết kế nhân tố 24 Các hàng đánh dấu ‡ sử dụng hai lần m=7                  ±1 ±1 ±1 0 ±1 ±1 ±1 0 ±1 ±1 ±1 0 ±1 ±1 ±1 0 ±1 ±1 ±1 0 ±1 ±1 ±1 0 0          ±1    ±1      ±1 m=9                                 ±1 0 ±1 0 ±1 0 ±1 0 ±1 0 ±1 0 ±1 0 ±1 0 ±1 ±1 ±1 0 0 0 0 ±1 ±1 ±1 0 0 0 0 ±1 ±1 ±1 0 ±1 0 0 ±1 ±1 0 ±1 ±1 0 ±1 ±1 ±1 0 0 ±1 ±1 ±1 ±1 0 0 0 ±1 ±1 ±1 69       ±1          ±1    ±1             ±1   m = 10                                    ±1 0 ±1 0 ±1 0 ±1 0 ±1 0 ±1 0 ±1 0 ±1 0 ±1 ±1 ±1 0 0 0 0 ±1 ±1 ±1 0 0 0 0 ±1 ±1 ±1 0 ±1 0 0 ±1 ±1 0 ±1 ±1 0 ±1 ±1 ±1 0 0 ±1 ±1 ±1 0 0 ±1 ±1 ±1 ±1 0 0 0 ±1 ±1 ±1 0       ±1    0    0    ±1    ±1    0    0    0    ±1†    ±1 ±1   ±1 0 m = 11                                          ±1 0 ±1 0 ±1 0 0 ±1 0 ±1 0 ±1 0 0 ±1 0 ±1 0 ±1 0 ±1 ±1 ±1 0 0 0 0 0 ±1 ±1 ±1 0 0 0 0 0 ±1 ±1 ±1 0 ±1 0 ±1 0 ±1 0 ±1 0 ±1 0 ±1 ±1 0† 0 ±1 ±1 0 ±1 ±1 0 ±1 0 ±1 ±1 0 ±1 ±1 0 0 ±1 ±1 0 ±1 0 0 ±1 ±1 0 ±1† ±1 ±1 0 0 ±1 ±1 0 ±1 ±1 ±1 0 ±1 0 0 0 0 ±1 ±1‡ 70                                          m = 13                                    ±1 0 ±1 ±1 0 0 0 ±1 ±1 ±1 0 ±1 ±1 0 0 0 ±1 ±1 0 ±1 ±1 0 0 0 ±1 ±1 0 ±1 ±1 0 0 0 ±1 ±1 0 ±1 ±1 0 0 0 ±1 ±1 0 ±1 ±1 0 0 0 ±1 ±1 0 ±1 ±1 0 0 0 ±1 ±1 0 ±1 ±1 0 0 0 ±1 ±1 0 ±1 ±1 0 0 0 ±1 ±1 0 ±1 ±1 0 0 0 ±1 ±1 0 ±1 ±1 0 0 0 ±1 ±1 0 ±1 ±1 0 0 0 ±1                      ±1       ±1         ±1 m = 16                                                         ±1 ±1 ±1 ±1 0 0 0 0 0 0 0 ±1 ±1 ±1 ±1 0 0 0 0 0 0 0 ±1 ±1 ±1 ±1 0 0 0 0 0 0 0 ±1 ±1 ±1 ±1 0 ±1 0 ±1 0 ±1 0 ±1 0 ±1 0 ±1 0 ±1 0 ±1 0 ±1 0 ±1 0 ±1 0 ±1 0 ±1 0 ±1 0 ±1 0 0 ±1 0 0 ±1 0 0 ±1 0 ±1 0 0 0 ±1 0 ±1 0 ±1 0 0 ±1 ±1 0 0 ±1 0 0 ±1 0 ±1 0 ±1 0 ±1 0 ±1 0 0 ±1 0 0 ±1 ±1 0 ±1 0 0 ±1 0 ±1 ±1 0 0 ±1 ±1 0 0 ±1 0 0 0 0 ±1 ±1 0 ±1 0 0 ±1 ±1 0 0 0 ±1 ±1 0 0 ±1 ±1 0 0 ±1 ±1 0 0 0 0 ±1 0 ±1 0 0 ±1 ±1 0 0 ±1 ±1 0 0 ±1 0 ±1 71          ±1             ±1    ±1                   ±1          ±1      Điều kiện tương đương ước lượng bình phương tối thiểu tổng qt thơng thường Như trình bày mục 3.2, EE-SPD SPD có ước lượng bình phương tổi thiểu thơng thường tổng quát giống nhau, nghĩa βˆ OLS = βˆ GLS βˆ OLS = (X X)−1 X Y βˆ GLS = (X V−1 X)−1 X V−1 Y Khi βˆ OLS = βˆ GLS , ước lượng βˆ OLS βˆ GLS tương đương Định lý 3.1 Với σγ2 = σε2 = 1, ước lượng βˆ OLS βˆ GLS tương đương trace(C C) = với C C = kB − B(X X)−1 B, B = X Jb X Chứng minh: Với giả thiết σγ2 = σε2 = 1, ma trận hiệp phương sai mơ hình V = In + Jb có nghịch đảo V−1 = In − k+1 Jb với n số phép thử thí nghiệm SPD, b số lớn SPD k = n/b cỡ ô lớn Đặt P = X(X X)−1 X , ước lượng bình phương tối thiểu tổng qt khai triển dạng sau: βˆ GLS = (X V−1 X)−1 X V−1 (PY + (In − P)Y) = (X X)−1 X Y + (X V−1 X)−1 X V−1 (In − P)Y = βˆ OLS + (X V−1 X)−1 X V−1 (In − P)Y (3.12) Khi đó, tính chất ước lượng tương đương xảy (X V−1 X)−1 X V−1 (In − P)Y = O, ∀ Y ⇔ X V−1 (In − P) = O (3.13) Thay ma trận V−1 , P (3.13) làm đơn giản, ta (In − X(X X)−1 X )Jb X = O (3.14) Việc kiểm tra phần tử ma trận C = (In − X(X X)−1 X )Jb X tương đương với tổng bình phương phần tử C hay trace(C C) = Mặt khác, sử dụng tính chất lũy linh ma trận A = In − X(X X)−1 X (nghĩa 72 A2 = A ) dùng ma trận B thay cho X Jb X, ta có C C = X Jb AAJb X = X Jb AJb X = X Jb (In − X(X X)−1 X )Jb X = kX Jb X − X Jb X(X X)−1 X Jb X = kB − B(X X)−1 B 73 (3.15)