Tiêu chuẩn đối ngẫu trong phương pháp tuyến tính hóa tương đương cho hệ phi tuyến nhiều bậc tự do chịu kích động ngẫu nhiên : Luận án TS. Khoa học vật chất: 624401

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Nguyễn Như Hiếu TIÊU CHUẨN ĐỐI NGẪU TRONG PHƯƠNG PHÁP TUYẾN TÍNH HĨA TƯƠNG ĐƯƠNG CHO HỆ PHI TUYẾN NHIỀU BẬC TỰ DO CHỊU KÍCH ĐỘNG NGẪU NHIÊN LUẬN ÁN TIẾN SĨ CƠ HỌC Hà Nội - 2018 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Nguyễn Như Hiếu TIÊU CHUẨN ĐỐI NGẪU TRONG PHƯƠNG PHÁP TUYẾN TÍNH HĨA TƯƠNG ĐƯƠNG CHO HỆ PHI TUYẾN NHIỀU BẬC TỰ DO CHỊU KÍCH ĐỘNG NGẪU NHIÊN Chuyên ngành: Cơ học vật rắn Mã số: 62440107 LUẬN ÁN TIẾN SĨ CƠ HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC GS.TSKH Nguyễn Đông Anh PGS.TS Ninh Quang Hải Hà Nội - 2018 LỜI CAM ĐOAN Tôi cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng hướng dẫn trực tiếp GS.TSKH Nguyễn Đông Anh PGS.TS Ninh Quang Hải Các số liệu, kết trình bày luận án trung thực chưa cơng bố cơng trình khác Tác giả luận án Nguyễn Như Hiếu LỜI CÁM ƠN Tác giả bày tỏ lòng cảm ơn chân thành tới GS.TSKH Nguyễn Đông Anh PGS.TS Ninh Quang Hải, thầy tận tình hướng dẫn tác giả suốt trình thực luận án Tác giả gửi lời cảm ơn chân thành đến GS Isaac Elishakoff kiến thức tác giả học trình học tập thực luận án Tác giả gửi lời cảm ơn sâu sắc đến Khoa Toán-Cơ-Tin học Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc Gia Hà Nội, nơi giúp đỡ NCS trưởng thành trình đào tạo thực luận án Tác giả xin cảm ơn giúp đỡ tạo điều kiện Phịng Cơ học Cơng trình, Viện Cơ học trình tác giả làm việc thực nghiên cứu luận án Tác giả xin cảm ơn tới hỗ trợ mặt vật chất tham gia đề tài NAFOSTED Nghiên cứu GS.TSKH Nguyễn Đông Anh làm chủ nhiệm giai đoạn tác giả làm Nghiên cứu sinh Cuối cùng, tác giả xin bày tỏ lòng cảm ơn tới bố mẹ, người thân, bạn bè đồng nghiệp động viên mặt tinh thần suốt quãng thời gian tác giả học tập thực luận án Tác giả luận án Nguyễn Như Hiếu MỤC LỤC DANH SÁCH BẢNG .6 DANH SÁCH HÌNH DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU THƯỜNG DÙNG .9 MỞ ĐẦU .11 Chương TỔNG QUAN VỀ PHƯƠNG PHÁP TUYẾN TÍNH HÓA TƯƠNG ĐƯƠNG 14 1.1 Giới thiệu phương pháp tuyến tính hóa tương đương .14 1.2 Một số khái niệm 20 1.2.1 Khái niệm hàm đặc trưng 20 1.2.2 Phân bố ngẫu nhiên Gaussian .21 1.2.3 Quá trình ngẫu nhiên 22 1.2.4 Quá trình ngẫu nhiên Gaussian .22 1.2.5 Quá trình Markov 24 1.2.6 Quá trình Wiener 25 1.2.7 Ồn trắng ồn màu .26 1.2.8 Khái niệm hệ phi tuyến yếu phi tuyến mạnh 27 1.3 Phương pháp tuyến tính hóa tương đương thơng thường .28 1.3.1 Phương trình chuyển động hệ phi tuyến 29 1.3.2 Hệ tuyến tính hóa tương đương .30 1.3.3 Tiêu chuẩn sai số bình phương trung bình .30 1.4 Phương pháp tuyến tính hóa tương đương theo tiêu chuẩn lượng.34 1.4.1 Cách tiếp cận theo khái niệm lượng 34 1.4.2 Tiêu chuẩn bình phương trung bình cho hệ .35 1.4.3 Tiêu chuẩn lượng dựa hàm hao tán lượng 35 1.5 Phương pháp phương trình Fokker-Planck tìm nghiệm xác .36 Kết luận Chương 40 Chương PHƯƠNG PHÁP TUYẾN TÍNH HÓA TƯƠNG ĐƯƠNG THEO TIÊU CHUẨN ĐỐI NGẪU 42 2.1 Tuyến tính hóa thơng thường 42 2.2 Tiêu chuẩn đối ngẫu 45 2.2.1 Ma trận hệ số tuyến tính hóa theo tiêu chuẩn đối ngẫu 46 2.2.2 Đáp ứng hệ tuyến tính hóa sử dụng ma trận mật độ phổ kích động đầu vào 47 2.2.3 Hệ đóng phương trình ma trận hệ số tuyến tính hóa 49 2.2.4 Hệ có độ cứng phi tuyến 52 2.2.5 Hệ có cản phi tuyến 55 2.3 Khảo sát số hệ phi tuyến nhiều bậc tự chịu kích động ngẫu nhiên 55 2.3.1 Hệ hai bậc tự có độ cứng phi tuyến bậc ba .55 2.3.2 Đáp ứng hệ hai bậc tự có độ cứng phi tuyến bậc năm 64 2.3.3 Mơ hình hệ hai bậc tự có cản độ cứng phi tuyến 68 Kết luận Chương 75 Chương PHÂN TÍCH ĐÁP ỨNG CỦA DẦM CHỊU TẢI TRỌNG NGẪU NHIÊN 76 3.1 Phương trình chuyển động dầm 76 3.2 Tiêu chuẩn đối ngẫu cho phương trình biên độ mode dầm .79 3.3 Đáp ứng dao động dầm tựa giản đơn 84 3.3.1 Hệ số tuyến tính hóa tương đương 84 3.2.2 Đáp ứng hệ tuyến tính hóa 87 3.2.3 Nghiệm xác cho tính tốn đáp ứng .88 3.2.4 Nghiệm xác nghiệm xấp xỉ trường hợp đơn mode 90 3.2.5 Nghiệm xác nghiệm xấp xỉ trường hợp hai mode 91 3.4 Mở rộng tiêu chuẩn đối ngẫu cho toán dao động dầm mang khối lượng tập trung 93 3.4.1 Phương trình dao động dầm mang khối lượng tập trung 93 3.4.2 Tiêu chuẩn đối ngẫu 97 3.4.3 Nghiệm xấp xỉ đáp ứng bình phương trung bình 97 Kết luận Chương 99 Chương TÍNH TỐN VÀ MƠ PHỎNG SỐ ĐÁNH GIÁ ĐỘ CHÍNH XÁC CỦA PHƯƠNG PHÁP 101 4.1 Đặc trưng đáp ứng xấp xỉ hệ tuyến tính hóa so với nghiệm xác 101 4.1.1 Hệ hai bậc tự có độ cứng phi tuyến bậc ba 101 4.1.2 Hệ hai bậc tự có độ cứng phi tuyến bậc năm 104 4.2 Đặc trưng đáp ứng xấp xỉ hệ tuyến tính hóa so với nghiệm mô số Monte-Carlo 107 4.2.1 Mô trình đầu vào 108 4.2.2 Giá trị ước lượng đáp ứng 109 4.2.3 Kết mơ cho mơ hình hệ hai bậc tự với cản độ cứng phi tuyến 110 4.3 Nghiệm số cho toán dao động ngẫu nhiên dầm 114 4.3.1 Nghiệm số trường hợp đơn mode 114 4.3.2 Nghiệm số trường hợp hai mode 117 4.3.3 Đánh giá đáp ứng bình phương trung bình đáp ứng trường hợp nhiều mode 118 4.4 Đáp ứng dao động dầm mang khối lượng tập trung 119 4.4.1 Tỉ số đáp ứng bình phương trung bình phụ thuộc độ mảnh dầm 121 4.4.2 Ảnh hưởng tỉ số khối lượng tập trung đến tỉ số đáp ứng bình phương trung bình 123 4.4.3 Ảnh hưởng vị trí khối lượng tập trung đến tỉ số đáp ứng bình phương trung bình 124 4.5 Tham số điều chỉnh  tiêu chuẩn đối ngẫu 125 Kết luận Chương 127 KẾT LUẬN CHUNG 130 DANH SÁCH CÁC CƠNG TRÌNH ĐÃ CƠNG BỐ LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN 132 TÀI LIỆU THAM KHẢO 133 Tiếng Việt 133 Tiếng Anh 133 DANH SÁCH BẢNG Bảng 4.1 Đáp ứng bình phương trung bình E  x12  với giá trị khác tham số  (     0.2 ) 102 Bảng 4.2 Đáp ứng bình phương trung bình E  x22  với giá trị khác tham số  (     0.2 ) 103 Bảng 4.3 Đáp ứng bình phương trung bình E  x12  x1 104 Bảng 4.4 Sai số đáp ứng bình phương trung bình E  x12  hệ 1 thay đổi (   0.05 ) 111 Bảng 4.5 Sai số đáp ứng bình phương trung bình E  x22  hệ 1 thay đổi (   0.05 ) 112 Bảng 4.6 Sai số đáp ứng bình phương trung bình E  x12  hệ 1 thay đổi (   2.0 ) 112 Bảng 4.7 Sai số đáp ứng bình phương trung bình E  x22  hệ 1 thay đổi (   2.0 ) 113 Bảng 4.8 Đáp ứng bình phương trung bình (đơn vị: m2) w1 dầm tựa giản đơn trường hợp đơn mode với tham số 0  ,   ,   0.1 ,  A  , S0  giá trị khác 1/ R (Ký hiệu: CX-Chính xác, TT-Thơng thường, NL-Năng lượng, DN-Đối ngẫu) 114 Bảng 4.9 Đáp ứng bình phương trung bình (đơn vị: m2) w1 trường hợp đơn mode với tham số 0  ,   0.1 ,  A  , S0  , R  1/ 200 giá trị khác tham số đàn hồi  116 Bảng 4.10 Đáp ứng bình phương trung bình w1 theo thay đổi tham số 1/R trường hợp hai mode ( 0  ,   ,   0.1 ,  A  , S0  ) 118 Bảng 4.11 Tỉ số đáp ứng bình phương trung bình biên độ mode dao động mốt thứ so với mốt thứ hai, thứ ba, thứ tư thứ năm trường hợp năm mode ( M  ) sử dụng tiêu chuẩn đối ngẫu với thay đổi 1/R 119 Bảng 4.12 Tỉ số đáp ứng bình phương trung bình T theo phương pháp tuyến tính hóa kinh điển tuyến tính hóa sử dụng tiêu chuẩn đối ngẫu 121 Bảng 4.13 Sai số đáp ứng bình phương trung bình x1 sử dụng tiêu chuẩn đối ngẫu với giá trị khác tham số điều chỉnh  thay đổi 126 Bảng 4.14 Sai số đáp ứng bình phương trung bình x2 với giá trị khác tham số điều chỉnh  thay đổi 127 DANH SÁCH HÌNH Hình 1.1 Sơ đồ tuyến tính hóa hệ phi tuyến 14 Hình 2.1 Sơ đồ khối tìm ma trận hệ số tuyến tính hóa 51 Hình 2.2 Một mơ hình hệ hai bậc tự với cản độ cứng phi tuyến 69 Hình 4.1 Hàm mật độ xác suất đáp ứng x1 a4  0.2 105 Hình 4.2 Hàm mật độ xác suất đáp ứng x1 a4  2.0 105 Hình 4.3 Hàm mật độ xác suất đáp ứng x2 a4  0.2 106 Hình 4.4 Đồ thị đáp ứng bình phương trung bình E  w12  (đơn vị: m2) thay đổi theo 1/R trường hợp đơn mode với phương pháp khác 115 Hình 4.5 Đáp ứng bình phương trung bình E  w12  (đơn vị: m2) thay đổi theo tham số độ cứng  trường hợp đơn mode với phương pháp khác 116 Hình 4.6 Tỉ số đáp ứng bình phương trung bình biên độ mode thứ với mode từ hai đến năm theo thay đổi 1/R 119 Hình 4.7 Tỉ số đáp ứng bình phương trung bình ba phương pháp so với đáp ứng bình phương trung bình hệ tuyến tính với giá trị khác độ mảnh L / h (tỉ số khối lượng M / m0  ) 122 Hình 4.8 Tỉ số đáp ứng bình phương trung bình ba phương pháp so với đáp ứng bình phương trung bình hệ tuyến tính với giá trị khác tỉ số khối lượng M / m0 (độ mảnh L/h=200) 123 Hình 4.9 Tỉ số đáp ứng bình phương trung bình ba phương pháp so với đáp ứng bình phương trung bình hệ tuyến tính với giá trị khác vị trí khối lượng tập trung d / L (độ mảnh L/h=200, tỉ số khối lượng M / m0  ) 124 3) Mơ hình hai bậc tự có cản độ cứng phi tuyến [xem: Hệ (2.3.49), phần 2.3.3; phần 4.2.3] 4) Mơ hình phi tuyến dầm Euler-Bernoulli chịu kích động ngẫu nhiên [xem: Hệ (3.1.14), phần 3.1; Hệ (3.3.3), phần 3.3.1; phần 4.3] 5) Mơ hình dầm mang khối lượng tập trung chịu kích động ngẫu nhiên [xem: Hệ (3.4.1), phần 3.4.1; phần 4.4] - Trong năm hệ kể trên, hai hệ thu nghiệm xác tình đặc biệt lực kích động đầu vào Nghiệm xác tham chiếu để kiểm chứng kết thu từ tiêu chuẩn đối ngẫu Kết thu tiêu chuẩn đối ngẫu cho kết sai số cải thiện so với cách tiếp cận khác phương pháp tuyến tính hóa thơng thường, phương pháp tuyến tính hóa dựa lượng - Hệ thứ ba cho ta mơ hình hệ hai bậc tự có cản độ cứng phi tuyến Đối với hệ này, ta khó tìm nghiệm xác, ta phải giải phương pháp mô số Monte-Carlo với số lần mô lớn Kết đáp ứng bình phương trung bình thu từ phương pháp tuyến tính hóa thơng thường tiêu chuẩn đối ngẫu so sánh với nghiệm số Monte-Carlo Phương pháp tuyến tính hóa theo tiêu chuẩn đối ngẫu nói chung cho kết sai số nhỏ so với phương pháp tuyến tính hóa thơng thường trường hợp tính phi tuyến hệ mạnh - Hệ thứ tư dao động phi tuyến dầm Euler-Bernoulli tính tốn hai trường hợp đơn mode hai mode Trong toán này, ta tìm nghiệm xác cách biểu diễn lực kích động ngồi Kết rằng, tiêu chuẩn đối ngẫu cho ta dự báo tốt mặt đáp ứng Sai số thu khoảng 5% so với nghiệm xác cải thiện so với tuyến tính hóa thơng thường trường hợp phi tuyến mạnh Kết tiêu chuẩn đối ngẫu cho thấy độ xác nhỏ so với tiêu chuẩn lượng toán dao động dầm - Cuối cùng, ta xét mơ hình dầm mang khối lượng tập trung nghiên cứu độ xác tiêu chuẩn đối ngẫu trường hợp đơn mode dao động Kết cho thấy sai số tiêu chuẩn đối ngẫu khoảng vài phần trăm so với nghiệm xác nhỏ phương pháp tuyến tính hóa 128 thơng thường tính phi tuyến hệ tăng lên Trong tốn này, tính phi tuyến thể thơng qua tỉ số độ mảnh dầm Các khảo sát ảnh hưởng tham số độ mảnh, tham số tỉ số khối lượng vị trí khối lượng tập trung trình bày chi tiết kèm theo đánh giá phương pháp tuyến tính hóa theo tiêu chuẩn đối ngẫu - Trong Chương này, khảo sát ảnh hưởng việc lựa chọn tham số điều chỉnh tiêu chuẩn đối ngẫu trình bày minh họa cho hệ hai bậc tự có độ cứng phi tuyến mà ta tìm nghiệm xác Nếu lấy hệ số điều chỉnh nhỏ, ta thu kết tính tốn gần với kết thu từ phương pháp tuyến tính hóa thơng thường Lúc vai trị bước thay thứ hai cách tiếp cận đối ngẫu rõ Tuy nhiên lấy tham số điều chỉnh gần với ta nói chung thu kết phân tích cho dự báo tốt mặt đáp ứng hệ, đặc biệt trường hợp hệ có tính phi tuyến mạnh - Chương trình bày chủ yếu kết số cho tất hệ đề cập tính tốn giải tích chương trước đó, cho tranh đánh giá độ xác tiêu chuẩn đối ngẫu cho nhiều loại hệ phi tuyến khác Điểm nhấn mức độ cải thiện sai số phương pháp tiêu chuẩn đối ngẫu so với phương pháp tuyến tính hóa thơng thường trường hợp hệ có tính phi tuyến mạnh Việc đánh giá so sánh cách tiếp cận khác cho toán phi tuyến để thấy ưu nhược điểm cách tiếp cận, để từ đưa đề xuất cải tiến phù hợp, tăng độ xác tính hiệu phương pháp tuyến tính hóa tương đương Các kết chương công bố 06 báo liệt kê phần "Danh sách công trình cơng bố liên quan đến luận án" 129 KẾT LUẬN CHUNG Phương pháp tuyến tính hóa tương đương phương pháp hiệu nghiên cứu đáp ứng hệ động lực ngẫu nhiên phi tuyến Trong luận án trình bày phiên cải tiến phù hợp tính tốn chi tiết cho số hệ động lực ngẫu nhiên để kiểm tra mức độ xác tính hiệu tiêu chuẩn đối ngẫu phương pháp tuyến tính hóa tương đương Những đóng góp luận án: - Đã phát triển mở rộng tiêu chuẩn đối ngẫu từ hệ bậc tự sang hệ nhiều bậc tự chịu kích động ngẫu nhiên Trong tiêu chuẩn đối ngẫu, tác giả đưa vào hàm mục tiêu thành phần sai số nữa, sai số hệ tuyến tính hóa hệ phi tuyến bước thay thứ hai; sau thực cực tiểu hóa hàm mục tiêu theo biến ma trận hệ số tuyến tính hóa ma trận thay trở lại - Đã thiết lập hệ đóng kín cho hệ số tuyến tính hóa tương đương phương pháp lặp giải hệ đóng kín - Đã áp dụng mở rộng tiêu chuẩn đối ngẫu nghiên cứu đáp ứng hệ liên tục minh họa cho hai toán dao động dầm Bài toán thứ dầm Euler-Bernoulli với tính phi tuyến hình học chịu kích động ngẫu nhiên; tốn thứ hai mơ hình dầm mang khối lượng tập trung chịu tải trọng ngẫu nhiên phân bố dọc theo chiều dài dầm - Kết khảo sát số cho thấy tiêu chuẩn tuyến tính hóa đối ngẫu phát triển luận án tốt tiêu chuẩn tuyến tính hóa thơng thường cho số hệ có tính phi tuyến mạnh Từ kết thu được, ta phác họa ưu điểm phương pháp tuyến tính hóa tương đương sau: (i) phương pháp tuyến tính hóa thơng thường tuyến tính hóa theo tiêu chuẩn đối ngẫu dễ dàng áp dụng mở rộng cho hệ nhiều bậc tự do; (ii) so với phương pháp tuyến tính hóa thơng thường tiêu chuẩn đối ngẫu cho kết sai số cải thiện tính phi tuyến hệ tăng lên; (iii) tiêu chuẩn đối ngẫu cho dự báo đáp ứng tương đối tốt hệ có thành phần phi tuyến liên quan đến hệ Tuy nhiên nhận thấy hệ nhiều bậc tự 130 do, phương pháp theo tiêu chuẩn đối ngẫu phức tạp đòi hỏi nhiều tính tốn so với phương pháp tuyến tính hóa thơng thường xuất thêm thành phần thay đối ngẫu hệ xuất mô men bậc cao biểu thức hệ số tuyến tính hóa tương đương Phương pháp tuyến tính hóa áp dụng phù hợp với tốn mà hệ phi tuyến có điểm cân bằng, cịn với hệ có nhiều điểm cân toán mở cho nghiên cứu sau Một số hướng phát triển luận án: - Phát triển mở rộng tiêu chuẩn đối ngẫu cho nhiều lớp toán khác hệ động lực ngẫu nhiên nhiều bậc tự do, chẳng hạn hệ có hàm phi tuyến khơng liên tục, hệ chịu kích động tham số, hệ có tải ngồi phức tạp - Mở rộng tiêu chuẩn đối ngẫu sang hệ liên tục khác kết cấu tấm, vỏ chịu kích động ngẫu nhiên - Nghiên cứu tốn chọn tham số điều chỉnh tiêu chuẩn đối ngẫu phương pháp tuyến tính hóa tương đương cho hệ nhiều bậc tự nhằm cải thiện độ xác tính hiệu phương pháp 131 DANH SÁCH CÁC CƠNG TRÌNH ĐÃ CƠNG BỐ LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN Anh N.D., Zakovorotny V.L., Hieu N.N., Diep D.V (2012), "A dual criterion of stochastic linearization method for multi-degree-of-freedom systems subjected to random excitation", Acta Mechanica, 223, pp 26672684 (Tạp chí SCI) Anh N.D., Elishakoff I., Hieu N.N (2014), "Extension of the regulated stochastic linearization to beam vibrations", Probabilistic Engneering Mechanics, 36, pp 2-10 (Tạp chí SCI) Hieu N.N., Anh N.D., Hai N.Q (2016), "Vibration analysis of beams subjected to random excitation by the dual criterion of equivalent linearization", Vietnam Journal of Mechanics, VAST, 38, pp 49-62 (Tạp chí Quốc gia) Anh N.D., Hieu N.N (2012), "The probability density functions of responses of a two-degree-of-freedom system under random excitation using the dual criterion of stochastic linearization method", Proceedings of the 9th National Conference on Mechanics, Hanoi, Dec 8-9, 2012, pp 1-11 Anh N.D., Hai N.Q., Hieu N.N (2012), "Responses of a two-degree-offreedom system under random excitation by the dual criterion of stochastic linearization method", The 2nd International Conference on Engineering Mechanics and Automation (ICEMA2), Hanoi, August 16-17, pp 71-78 Hieu N.N., Anh N.D., Hai N.Q (2015), "Phân tích dao động ngẫu nhiên phi tuyến dầm mang khối lượng tập trung sử dụng phương pháp tuyến tính hóa tương đương theo tiêu chuẩn đối ngẫu", Hội nghị Khoa học toàn quốc Cơ học Vật rắn biến dạng lần thứ XII, Đại học Duy Tân, Tp Đà Nẵng, 7/8/2015, tr 543-550 132 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt Ninh Quang Hải (2000), Phân tích dao động phi tuyến ngẫu nhiên số phương pháp gần học phi tuyến, Luận án Tiến sĩ Cơ học, Viện Cơ học Lưu Xuân Hùng (2002), Nghiên cứu ảnh hưởng kích động ngẫu nhiên lên hệ học phương pháp tuyến tính hóa tương đương, Luận án Tiến sĩ Cơ học, Viện Cơ học Đặng Văn Hiếu (2010), Khảo sát dao động phi tuyến ngẫu nhiên phương pháp tuyến tính hóa tương đương, Luận văn Thạc sĩ Cơ học, Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc Gia Hà Nội Nguyễn Như Hiếu (2011), Nghiên cứu dao động ngẫu nhiên phi tuyến phương pháp tuyến tính hóa tương đương, Luận văn Thạc sĩ Cơ học, Đại học Công nghệ, Đại học Quốc Gia Hà Nội Nguyễn Ngọc Linh (2015), Phân tích dao động ngẫu nhiên phi tuyến phương pháp tuyến tính hóa tương đương ngẫu nhiên, Luận án Tiến sĩ kỹ thuật Viện Cơ học, Viện Hàn lâm Khoa học Công nghệ Việt Nam Dương Ngọc Hảo (2015), Phân tích dao động phi tuyến hệ chịu kích động ngẫu nhiên tuần hoàn, Luận án Tiến sĩ kỹ thuật, Viện Cơ học, Viện Hàn lâm Khoa học Công nghệ Việt Nam Nguyễn Đông Anh Lã Đức Việt (2007), Giảm dao động thiết bị tiêu tán lượng, NXB Khoa học Tự nhiên Công nghệ Tiếng Anh Andronov A., Pontryagin A., Witt A (1933), "On the statistical investigation of dynamical systems", Zhurnal E' ksperimental ́noj i Teoreticheskoj Fiziki, 3, pp 165-180 Anh N.D (2010), "Duality in the analysis of response to nonlinear systems", Vietnam Journal of Mechanics, 32, pp 263-266 Anh N.D., Di Paola M (1995), "Some extensions of Gaussian equivalent linearization" In: Proceedings of the international conference on nonlinear stochastic dynamics Vietnam, Hanoi, pp 5–16 Anh N.D., Hung L.X (2003), "An improved criterion of Gaussian equivalent linearization for analysis of nonlinear stochastic systems", Journal of Sound and Vibration, 268, pp.177-200 133 10 11 12 13 14 15 16 17 Anh N.D., Hieu N.N., Linh N.N (2012a), "A dual criterion of equivalent linearization method for nonlinear systems subjected to random excitation", Acta Mechanica, 223, pp 645-654 Anh N.D., Zakovorotny V.L., Hieu N.N., Diep D.V (2012b), "A dual criterion of stochastic linearization method for multi-degree-of-freedom systems subjected to random excitation", Acta Mechanica, 223, pp 2667–2684 Anh N.D., Hieu N.N (2012c), "Probability density functions of responses of a two-degree-of-freedom system under random excitation using the dual criterion of stochastic linearization method", National Conference IX, Hanoi, 2012 Anh N.D., Hai N.Q., Hieu N.N (2012d), "Responses of a two-degree-offreedom system under random excitation by the dual criterion of stochastic linearization method", The Second International Conference on Engineering Mechanics and Automation (ICEMA) Hanoi, August, 16-17 Anh N.D., Elishakoff I., Hieu N.N (2014), "Extension of the regulated stochastic linearization to beam vibrations", Probabilistic Engineering Mechanics, 36, pp 2-10 Anh N.D., Elishakoff I., Hieu N.N (2016), "Generalization of Seide’s problem by the regulated stochastic linearization technique", Meccanica, 52, pp 10031016 Ariarantam S.T (1960), "Random vibrations of nonlinear suspensions", Journal of Mechanical Engineering Science, 2, pp 195-201 Ariaratnam S.T (1962), "Response of a loaded nonlinear string to random excitation", ASME Journal of Applied Mechanics, 29, pp 483-485 Atalik T., Utku S (1976), "Stochastic linearization of multi-degree-of-freedom nonlinear system", Earthquake Engineering and Structural Dynamics, 4, pp 411-420 Atkinson J.D (1970), "A variational method for randomly excited systems", Charles Kolling Research Laboratory TN D-l, Department of Mechanical Engineerhzg, University of Sydney Babitsky I.V.I., Krupenin V.L (2001), Vibration of Strongly Nonlinear Dicontinuous Systems, Springer-Verlag Berlin Heidelberg Bishop R.E.D., Johnson D.C (1979), The Mechanics of Vibration, Cambride University Press Booton R.C (1954), "The analysis of nonlinear control systems with random inputs", IRE Transactions on Circuit Theory, 1, pp 32-34 134 18 Broccardo M., Armen D.K (2015), "Multicomponent nonlinear stochastic dynamic analysis by tail-Equivalent linearization", ASCE Journal of Engineering Mechanics, DOI:10.1061/(ASCE)EM.1943-7889.0001026 19 Bruckner A., Lin Y.K (1987), "Generalization of the equivalent linearization method for the nonlinear random vibration problems", International Journal of Nonlinear Mechanics, 22, pp 227-235 20 Cai G.Q., Lin Y.K (1988), "On exact stationary solutions of equivalent nonlinear stochastic systems", International Journal of Non-Linear Mechanics, 23, pp 315-325 21 Canor T., Blaise N., Denoël V (2014), "An asymptotic expansion-based method for a spectral approach in equivalent statistical linearization", Probabilistic Engineering Mechanics, 38, pp.1-12 22 Carrillo, J.A., María G., Gualdani M.P., Schonbek M.E (2013), "Classical solutions for a nonlinear Fokker-Planck equation arising in computational neuroscience", Communications in Partial Differential Equations, 38, pp 385-409 23 Casciati F., Faravelli L (1993), "A new philosophy for stochastic equivalent linearization", Probabilistic Engineering Mechanics, 8, pp 179-185 24 Caughey T.K (1956), "Response of Van der Pol's oscillator to random excitations", ASME Journal of Applied Mechanics, 26, pp 345-348 25 Caughey T.K., Dienes J.K (1961), "Analysis of a nonlinear rirst‐order system 26 27 28 29 with a white noise input ", Journal of Applied Physics, 32, pp 2476-2479 Caughey T.K (1963), "Equivalent linearization techniques", Journal of the Acoustic Society of American, 35:1906-1711 (Reference is made to presentations of the procedure in lectures delivered in 1953 at the California Institute of Technology) Caughey T.K (1963), "Derivation and application of the Fokker – Planck equation to discrete nonlinear dynamic systems subjected to white noise excitation", Journal of the Acoustic Society of American, 35, pp 1683-1692 Caughey T.K (1971), "Nonlinear Theory of Random Vibration", Advances in Applied Mechanics, 11, pp 209-253 Chen R.P., Mei C., Wolfe, H F (1996), "Comparison of finite element nonlinear beam random response with experimental results", Journal of Sound and Vibration, 195, pp 719–737 135 30 Chen, C.C.T., Yang H.T.Y (1993), "Flexible thin shell elements under nonwhite and nonzero mean loads", Journal of Engineering Mechanics, 119, pp 1680–1697 31 Chonan S (1977), "Random vibrations of a non-linear beam carrying a concentrated mass", Journal of Sound and Vibration, 55, pp 138-145 32 Clough R., Penzien J (1972), Dynamics of Structures IV Random Vibrations McGraw-Hill, New York pp 356-358 33 Cohen H (2007) Complex Analysis with Applications in Science and Engineering, Springer Science & Business 34 Colajanni P., Elishakoff I (1998), "A new look at the stochastic linearization technique for hyperbolic tangent oscillator", Chaos, Solitons and Fracture, 9, pp 1611-1623 35 Colangelo F (2017), "Interaction of axial force and bending moment by using Bouc-Wen hysteresis and stochastic linearization", Structural Safety, 67, pp 39-53 36 Crandall S.H (1962), "Random vibrations of a nonlinear system with a set-up spring", ASME Journal of Applied Mechanics, 29, 417-482, pp 306-314 37 Crandall S.H (1963), "Perturbation technique for random vibration of nonlinear systems", Journal of the Acoustical Society of America, 35(11), pp 1700-1705 38 Crandall S.H (1964a), "The envelope of random vibration of a lightly damped nonlinear oscillator", Zagadnienia Drgan Nielinowych, 5, pp 120-130 39 Crandall S.H (1964b), "The spectrum of random vibration of a nonlinear oscillator", Proc Znt Congr Appl Mech., Ilth, 1964, No 1, pp 239-244 40 Crandall S.H (2006), "A half-century of stochastic equivalent linearization", Structural Control and Health Monitoring, 13, pp 27–40 41 Crandall S.H., Yildiz A (1962), "Random vibration of beams", ASME Journal of Applied Mechanics, 29, pp 267-275 42 Dogan V., Vaicaitis R (1999), "Nonlinear response of cylindrical shells to random excitation", Nonlinear Dynamics, 20, pp 33–53 43 Einstein A (1905), "Uber dievan der molekular-Kineteschen Theorii der Warme gefordert Bewegung von in ruhenden Flussigkeiten", Ann Phys (Leipzig) 17, pp 549 44 Elishakoff I., Zhang R (1992), "Comparison of the new energy-based version of the stochastic linearization method", In: N Bellomo and F Casciati (eds.), Nonlinear Stochastic Mechanics, Springer, Berlin pp 201-2012 136 45 Elishakoff I., Colombi P (1993), "Successful combination of the stochastic linearization and Monte-Carlo methods", Journal of Sound and Vibration, 160, pp 554-558 46 Elishakoff I., Fang J., Caimi R (1995), "Random vibration of nonlinearly deformed beam by a new stochastic linearization technique", International Journal of Solids and Structures, 32, pp 1571–84 47 Elishakoff I., Andriamasy L., Dolley M (2009), "Application and extension of the stochastic linearization by Anh and Di Paola", Acta Mechanica, 204, pp 89-98 48 Elishakoff I., Crandall S.H (2017), "Sixty years of stochastic linearization technique", Meccanica, 52, pp 299-305 49 Emam H.H., Pradlwarter H.J., Schuëller G.I (1999), "On the computational implementation of EQL in FE analysis", Stochastic Structural Dynamics, B F Spencer and E A Johnson, eds., Balkema, Rotterdam, pp 85– 91 50 Emam H.H., Pradlwarter H.J., Schuëller G.I (2000), "A computational procedure for implementation of equivalent linearization in finite element analysis", Earthquake Engineering Structural Dynamics, 29, pp 1–17 51 Er G.K (2000), "The probabilistic solutions to nonlinear random vibrations of multi-degree-of-freedom systems", ASME Journal of Applied Mechanics, 67, pp 355-359 52 Falsone G., Elishakoff I (1994), "Modified stochastic linearization technique for colored noise excitation of Duffing oscillator", International Journal of Non-Linear Mechanics, 29, pp 65-69 53 Fang J.J., Elishakoff I., Caimi R (1995), "Nonlinear response of a beam under stationary random excitation by improved stochastic linearization method", Applied Mathematical Modeling, 19, pp 106–11 54 Feller W (1954), "Diffusion processes in one dimension", Transactions of the American Mathematical Society, 77, pp 1-31 55 Fokker A.P (1914), "Die mittlere Energie rotierender electricher Dipole im Strahlungs feld", Annalen der Physik, (Leipzig) 42, pp 810 56 Foster E (1968), "Semi-linear random vibrations in discrete systems", ASME Journal of Applied Mechanics, 35, pp 560-564 57 Fujimura K., Kiureghian A.D (2007), "Tail-equivalent linearization method for nonlinear random vibration", Probabilistic Engineering Mechanics, 22, pp 63-76 137 58 Gard T (1988), Introduction to Stochastic Differential Equations, Marcel Dekker, New York pp 59, 79 59 Günay M.S., Sucuoğlu H (2009), "Predicting the seismic response of capacitydesigned structures by equivalent linearization", Journal of Earthquake Engineering, 13, pp 623-649 60 He T.X (2001), Dimensionality Reducing Expansion of Multivariate Integration, Springer Science & Business 61 Herbert R.E (1964), "Random vibrations of a nonlinear elastic beam", The Journal of Acoustical Society of America, 36, pp 2090-2094 62 Herbert R.E (1965), "On the stresses in a nonlinear beam subject to random excitation", International Journal of Solids and Structures, 1, pp 235-242 63 Herbert R.E (1965), "Random vibrations of plates with large amplitudes", ASME Journal of Applied Mechanics, 32, pp 547-552 64 Hurtado J.E., Barbat A.H (2000), "Equivalent linearization of the Bouc-Wen hysteretic model", Engineering Structures, 22, pp 1121-1132 65 Iwan W.D., Yang I (1972), "Application of statistical linearization techniques to nonlinear multi-degree-of-freedom systems", ASME Journal of Applied Mechanics, 39, pp 545-550 66 Iyengar R.N., Roy D (1996), "Conditional linearization in nonlinear random vibration", ASCE Journal of Engineering Mechanics, 122, pp 197-200 67 Jara M., Jara J.M., Olmos B.A., Casas J.R (2012), "Improved procedure for equivalent linearization of bridges supported on hysteretic isolators", Engineering Structures, 35, pp 99-106 68 Kazakov I.E (1954), "An approximate method for the statistical investigation for nonlinear systems", Trudy VVIA im Prof N E Zhukovskogo 394, pp 1-52 (1954) (in Russian) 69 Klein G.H (1964), "Random excitation of a nonlinear system with tangent elasticity characteristics", The Journal of the Acoustical Society of America, 36, No 11, 2095-2105 70 Kolmogorov A (1931), "Uber die Analytischen Methoden in Wahrsheinlichkeits rechnung", Math Ann 104, pp 5-458 71 Kopp A., Büsching I., Strauss R.D., Potgieter M.S (2012), "A stochastic differential equation code for multidimensional Fokker-Planck type problems", Computer Physics Communications, 183, pp 530-542 72 Krylov N., Bogoliubov N (1943) Introduction to Nonlinear Mechanics, (trans: Kiev) Princeton University Press, Princeton 138 73 Krylov N., Bogoliubov N (1943) Introduction to nonlinear mechanics, Kiev, translation by Princeton University Press Princeton, New York 74 Kumar P., Narayanan S., Adhikari S., Friswell M.I (2014), "Fokker-Planck equation analysis of randomly excited nonlinear energy harvester", Journal of Sound and Vibration, 333, pp 2040-2053 75 Liu Y., Bergdahl L (1997), "Influence of current and seabed friction on mooring cable response: comparison between time-domain and frequencydomain analysis", Engineering Structures, 19, pp 945–953 76 Liu T., Zordan T., Briseghella B., Zhang Q (2014), "Evaluation of equivalent linearization analysis methods for seismically isolated buildings characterized by SDOF systems", Engineering Structures, 59, pp 619-634 77 Locke J.E (1994), "Finite element nonlinear random response of beams", Journal of Sound and Vibration, 178, pp 201–210 78 Luca G., Kiureghian A.D (2010), "Tail-equivalent linearization method in frequency domain and application to marine structures", Marine Structures, 23, pp 322-338 79 Lyon R (1960a), "On the vibration statistics of a randomly excited hard-spring oscillator", The Journal of the Acoustical Society of America, 32, pp 716719 80 Lyon R (1960b), "Response of a nonlinear string to random excitation", The Journal of the Acoustical Society of America, 32, No 8, pp 953-960 81 Middleton D (1960), An introduction to statistical communication theory, McGraw-Hill, New York pp 343 82 Payne H.J (1967), "The response of nonlinear systems to stochastic excitation", Ph.D Thesis, California Institute of Technology 83 Pinelis I., Victor H de la Peña, Rustam Ibragimov, Adam Osȩkowski, Irina Shevtsova (2017), Inequalities and Extremal Problems in Probability and Statistics: Selected Topics, Academic Press 84 Pradlwarter, H.J., Li W (1991), "On the computations of the stochastic response of highly nonlinear large MDOF-Systems modeled by finite elements", Probab Eng Mech 6, pp 109–116 85 Pradlwarter H.J (2001), "Non-linear stochastic response distributions by local statistical linearization", International Journal of Non-Linear Mechanics, 36, pp 1135-1151 86 Park J.H., Min KW., Chung L., Lee S.K., Kim H.S., Moon B.W (2007), "Equivalent linearization of a friction damper–brace system based on the 139 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 probability distribution of the extremal displacement", Engineering Structures, 29, pp 1226-1237 Proppe C., Pradlwarter H.J., Schueller G.I (2003), "Equivalent linearization and Monte-Carlo simulation in stochastic dynamics", Probabilistic Engineering Mechanics, 18, pp 1-15 Reza R., Mohsen G.A (2014), "Nonlinear random vibration using updated tail equivalent linearization method", International Journal of Advanced Structural Engineering (IJASE), 6, pp 45-280 Reza R., Mohsen G.A (2016), "Nonlinear biaxial structural vibration under bidirectional random excitation with incident angle θ by Tail-equivalent linearization method", Journal of Engineering Mechanics, DOI: 10.1061/(ASCE)EM.1943-7889.0001103 Roberts J.B (1981), "Response of nonlinear mechanical systems to random excitation Part 2: Equivalent linearization and other methods", The Shock and Vibration Digest, 13, pp 15-29 Roberts J.B., Spanos P.D (1990), Random vibration and statistical linearization, Wiley, New York Rubinstein R.Y (1981), Simulation and Monte-Carlo Method, Wiley, New York Schuëller G.I., Pandey, M., Pradlwarter H J (1994), "Equivalent linearization in engineering practice for aseismic design", Probabilistic Engineering Mechanics, 9, pp 95–102 Seide P (1976), "Nonlinear stresses and deflections of beams subjected to random time dependent uniform pressure", ASME Journal of Manufacturing Science and Engineering, 98, pp 1014-1020 Shinozuka M (1972), "Monte-Carlo solution of structural dynamics", Computers and Structures, 2, pp 855-874 Shinozuka M., Jan C (1972), "Digital simulation of random processes and its applications", Journal of Sound and Vibration, 25, pp 111-128 Silva F.L., Ruiz S.E (2000), "Calibration of the equivalent linearization Gaussian approach applied to simple hysteretic systems subjected to narrow band seismic motions", Structural Safety, 22, pp 211-231 Smyth A.W., Masri S.F (2002), "Nonstationary response of nonlinear systems using equivalent linearization with a compact analytical form of the excitation process", Probabilistic Engineering Mechanics, 17, pp 97-108 140 99 Smoluchowski M.V (1916), "Three discourses on diffusion, Brownian movements, and the coagulation of colloid particles", Phys Z Sowjet 17, pp.557-571 100 Socha L (2002), "Probability density statistical and equivalent linearization techniques", International Journal of Systems Science, 33, pp 107-127 101 Socha L (2008), Linearization methods for stochastic dynamic system, Lecture Notes in Physics Springer, Berlin 102 Soong T.T (1973), Random differential equations in science and engineering, Academic Press 103 Spanos P.D (1981), "Stochastic linearization in structural dynamics", Applied Mechanics Review, 34, pp 1-8 104 Spanos P.D (1992), "A generalization to stochastic averaging in random vibration", International Journal of Non-Linear Mechanics, 27, pp 85-101 105 Spanos, P D., Agathoklis G (2013), "Third-order statistical linearizationbased approach to derive equivalent linear properties of bilinear hysteretic systems for seismic response spectrum analysis", Structural Safety, 44, pp 5969 106 Spencer B.F., Bergman L.A (1993), "On the numerical solution of the FokkerPlanck equation for nonlinear stochastic systems", Nonlinear Dynamics 4, pp 357-372 107 Stratonovich R.L (1963), Topics in the Theory of Random Noise Volume 1: General Theory of Random Processes, Nonlinear Transformations of Signals and Noise Gordon and Breach, New York – London 108 Sun J.Q., Bao W., Miles R N (1998), "Fatique life prediction of nonlinear plates under random excitations", ASME Journal of Vibration and Acoustics, 120, pp 353–360 109 Uhlenbeck G.E., Wang M.C (1945), "On the theory of Brownian motion II", Reviews of Modern Physics, 17, pp 323-342 110 Wang Ziqi, Armen D.K (2016), "Tail-equivalent linearization of inelastic multisupport structures subjected to spatially varying stochastic ground motion", Journal of Engineering Mechanics, DOI:10.1061/(asce)em.19437889.0001106 111 Wang Z., Song J (2016), "Equivalent linearization method using Gaussian mixture (GM-ELM) for nonlinear random vibration analysis", Structural Safety, DOI:10.1016/j.strusafe.2016.08.005 141 112 Wax N (1954), Selected papers on noise and stochastic processes, Dover Publications 113 Wen-Yao Jia, Tong Fang (1992), "Error estimation of Gaussian closure for quasi-linear system", Acta Mechanica Solida Sinica, 5, pp 27-33 114 Wiener N (1950), Extrapolation, interpolation, and smoothing of stationary time series Wiley, New York 115 Wolfram J (1999), "On alternative approaches to linearization and morison’s equation for wave forces", Proceedings Mathematical Physical & Engineering Sciences, A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences, 455, pp 2957– 2974 116 Wong E (1964), "The construction of a class of Markov processes", Roc Symp Appl Math 16, 264-276 117 Xu Y.L., Kwok K.C.S., Samali B (1992), "The effect of tuned mass dampers and liquid dampers on corrs-wind response of tall slender structures", Journal of Wind Engineering and Industrial Aerodynamics, 40, pp 33–54 118 Xu Y.L., Samali B., Kwok K.C.S (1992), "Control of along-wind response of structures by mass and liquid dampers", Journal of Engineering Mechanics, 118, pp 20–39 119 Zhang J.J., Knothe K (1996), "Statistical linearization of wheel rail contact nonlinearities for investigation of curving behaviour with random track irregularities", Vehicle System Dynamics, 25, pp 731–745 120 Zhang X.T., Elishakoff I., Zhang R.C (1990), "A stochastic linearization technique based on minimum mean-square deviation of potential energies", Stochastic Structural Dynamics Y.K Lin and I Elishakoff Springer-Verlag, Berlin pp 327-338 121 Zhang X.T., Zhang R.C., Xu Y.L (1993), "Analysis on control of flowinduced vibration by tuned liquid damper with crossed tube-kike containers", Journal of Wind Engineering and Industrial Aerodynamics, 50, pp 351–360 122 Zheng M., Liu F., Turner I., Anh V (2015), "A novel high order space-time spectral method for the time fractional Fokker-Planck equation", SIAM Journal on Scientific Computing, 37, pp A701- A724 142