ΕΞΕΡΧΙΣΕ 1−1 1−1 ΦΥΝΧΤΙΟΝΣ ΑΝD ΓΡΑΠΗΣ ΕΞΕΡΧΙΣΕ 1−1 10 Τηε ταβλε σπεχιφιεσ α φυνχτιον, σινχε φορ εαχη δοmαιν ϖαλυε τηερε χορρεσπονδσ ονε ανδ ονλψ ονε ρανγε ϖαλυε 12 Τηε ταβλε δοεσ νοτ σπεχιφψ α φυνχτιον, σινχε mορε τηαν ονε ρανγε ϖαλυε χορρεσπονδσ το α γιϖεν δοmαιν ϖαλυε (Ρανγε ϖαλυεσ 1, χορρεσπονδ το δοmαιν ϖαλυε 9.) 14 Τηισ ισ α φυνχτιον 16 Τηε γραπη σπεχιφιεσ α φυνχτιον; εαχη ϖερτιχαλ λινε ιν τηε πλανε ιντερσεχτσ τηε γραπη ιν ατ mοστ ονε ποιντ 18 Τηε γραπη δοεσ νοτ σπεχιφψ α φυνχτιον Τηερε αρε ϖερτιχαλ λινεσ ωηιχη ιντερσεχτ τηε γραπη ιν mορε τηαν ονε ποιντ Φορ εξαmπλε, τηε ψ−αξισ ιντερσεχτσ τηε γραπη ιν τωο ποιντσ 20 Τηε γραπη δοεσ νοτ σπεχιφψ α φυνχτιον 22 ψ 10 ξ ισ λινεαρ 26 ψ 2 ξ 2 ξ ξ ξ 3 3 3 ωηιχη ισ χονσταντ 24 ξ ψ ισ νειτηερ λινεαρ νορ χονσταντ 28 ξ ψ ισ λινεαρ Χοπψριγητ ♥ 2015 Πεαρσον Εδυχατιον, Ινχ 1−2 ΧΗΑΠΤΕΡ ΦΥΝΧΤΙΟΝΣ ΑΝD ΓΡΑΠΗΣ 30 32 34 36 38 φ(ξ) = 3ξ Σινχε τηε δενοmινατορ ισ βιγγερ τηαν 1, ωε νοτε τηατ τηε ϖαλυεσ οφ φ αρε βετωεεν ανδ ξ2 Φυρτηερmορε, τηε φυνχτιον φ ηασ τηε προπερτψ τηατ φ(–ξ) = φ(ξ) Σο, αδδινγ ποιντσ ξ = 3, ξ = 4, ξ = 5, ωε ηαϖε: ξ Φ(ξ) –5 –4 –3 –2 –1 2.78 2.67 2.45 1 2.45 2.67 2.78 Τηε σκετχη ισ: 40 ψ = φ(4) = 42 ψ = φ(–2) = 44 φ(ξ) = 3, ξ < ατ ξ = –4, –2 46 φ(ξ) = ατ ξ = 48 Dοmαιν: αλλ ρεαλ νυmβερσ 50 Dοmαιν: αλλ ρεαλ νυmβερσ εξχεπτ ξ = 52 Dοmαιν: ξ 5 ορ [ 5, ) 54 Γιϖεν ξ ψ 21 Σολϖινγ φορ ψ ωε ηαϖε: 7 ψ 21 ξ ανδ ψ ξ Τηισ εθυατιον σπεχιφιεσ α φυνχτιον Τηε δοmαιν ισ Ρ, τηε σετ οφ ρεαλ νυmβερσ Χοπψριγητ ♥ 2015 Πεαρσον Εδυχατιον, Ινχ ΕΞΕΡΧΙΣΕ 1−1 56 Γιϖεν ξ ( ξ ψ ) Σολϖινγ φορ ψ ωε ηαϖε: ξψ ξ ανδ ψ 4ξ 1−3 ξ Τηισ εθυατιον σπεχιφιεσ α φυνχτιον Τηε δοmαιν ισ αλλ ρεαλ νυmβερσ εξχεπτ 58 Γιϖεν ξ ψ Σολϖινγ φορ ψ ωε ηαϖε: ψ ξ 2 2 ανδ ψ ξ Τηισ εθυατιον δοεσ νοτ δεφινε ψ ασ α φυνχτιον οφ ξ Φορ εξαmπλε, ωηεν ξ = 0, ψ = 60 Γιϖεν ξ ψ Σολϖινγ φορ ψ ωε ηαϖε: ψ ξ ανδ ψ ξ1/6 Τηισ εθυατιον σπεχιφιεσ α φυνχτιον Τηε δοmαιν ισ αλλ νοννεγατιϖε ρεαλ νυmβερσ, ι.ε., ξ 62 φ ( 5) ( 5) 25 21 64 φ ( ξ 2) ( ξ 2) ξ ξ ξ ξ 66 φ (10 ξ ) (10 ξ ) 100 ξ 68 φ ( ξ ) 70 φ ( 3) φ ( η ) ( 3)2 η η η 72 φ ( η ) ( 3 η ) η η η η 74 φ ( 3 η ) φ ( 3) ( 3 η )2 ( 3)2 (9 6η η 4) (9 4) 6η η 76 78 (Α) φ ( ξ η) 3( ξ η) 3 ξ 3η (Β) φ ( ξ η) φ ( ξ) 3 ξ 3η 9 3 ξ 9 3η (Χ) φ ( ξ η) φ ( ξ) 3η 3 η η (Α) φ ( ξ η) 3( ξ η) 5( ξ η) ξ 4 ξ4 3( ξ ξη η ) ξ 5η 3ξ ξη 3η ξ 5η (Β) φ ( ξ η) φ ( ξ) ξ ξη 3η ξ 5η ξ ξ ξη 3η 5η (Χ) 80 (Α) (Β) (Χ) φ ( ξ η) φ ( ξ) ξη 3η 5η ξ 3η η η φ(ξ + η) = ξ2 + 2ξη + η2 + 40ξ + 40η φ(ξ + η) – φ(ξ) = 2ξη + η2 + 40η φ ( ξ η) φ ( ξ ) = 2ξ + η + 40 η Χοπψριγητ ♥ 2015 Πεαρσον Εδυχατιον, Ινχ ΧΗΑΠΤΕΡ ΦΥΝΧΤΙΟΝΣ ΑΝD ΓΡΑΠΗΣ 1−4 82 Γιϖεν Α = ω = 81 81 162 81 Τηυσ, ω = Νοω Π = + 2ω = + = + Τηε δοmαιν ισ > 84 Γιϖεν Π = + 2ω = 160 ορ + ω = 80 ανδ = 80 – ω Νοω Α = ω = (80 – ω)ω ανδ Α = 80ω – ω2 Τηε δοmαιν ισ ≤ ω ≤ 80 [Νοτε: ω ≤ 80 σινχε ω > 80 ιmπλιεσ 0.] 86 88 (Β) π(11) = 1,340 δολλαρσ περ χοmπυτερ π(18) = 920 δολλαρσ περ χοmπυτερ (Α) (Α) Ρ(ξ) = ξπ(ξ) = ξ(2,000 – 60ξ) τηουσανδσ οφ δολλαρσ Dοmαιν: ≤ ξ ≤ 25 (Χ) (Β) Ταβλε 11 Ρεϖενυε ξ(τηουσανδσ) 10 15 20 25 90 Ρ(ξ)(τηουσανδσ) ∃1,940 8,500 14,000 16,500 16,000 12,500 (Α) Π(ξ) = Ρ(ξ) – Χ(ξ) = ξ(2,000 – 60ξ) – (4,000 + 500ξ) τηουσανδ δολλαρσ = 1,500ξ – 60ξ2 – 4,000 Dοmαιν: ≤ ξ ≤ 25 Χοπψριγητ ♥ 2015 Πεαρσον Εδυχατιον, Ινχ ΕΞΕΡΧΙΣΕ 1−2 (Χ) (Β) Ταβλε 13 Προφιτ ξ (τηουσανδσ) 10 15 20 25 92 Π(ξ) (τηουσανδσ) –∃2,560 2,000 5,000 5,000 2,000 –4,000 (Χ) ξ = 1.23 το τωο δεχιmαλ πλαχεσ (Α) 1.2 ινχηεσ (Β) Εϖαλυατε τηε ϖολυmε φυνχτιον φορ ξ = 1.21, 1.22, …, ανδ χηοοσε τηε ϖαλυε οφ ξ ωηοσε ϖολυmε ισ χλοσεστ το 65 94 (Α) ς(ξ) = ξ2 (108 ξ) (D) (Β) ≤ ξ ≤ 27 (Χ) Ταβλε 16 ςολυmε 96 (Α) (Β) ξ ς(ξ) 2,200 10 6,800 15 10,800 20 11,200 25 5,000 Γιϖεν 5ϖ – 2σ = 1.4 Σολϖινγ φορ ϖ, ωε ηαϖε: ϖ = 0.4σ + 0.28 Ιφ σ = 0.51, τηεν ϖ = 0.4(0.51) + 0.28 = 0.484 ορ 48.4% Σολϖινγ τηε εθυατιον φορ σ, ωε ηαϖε: σ = 2.5ϖ – 0.7 Ιφ ϖ = 0.51, τηεν σ = 2.5(0.51) – 0.7 = 0.575 ορ 57.5% ΕΞΕΡΧΙΣΕ 1−2 φ ( ξ ) 4 ξ 12 Dοmαιν: αλλ ρεαλ νυmβερσ; ρανγε: αλλ ρεαλ νυmβερσ φ ( ξ ) ξ Dοmαιν: [0, ) ; ρανγε: [3, ) Χοπψριγητ ♥ 2015 Πεαρσον Εδυχατιον, Ινχ 1−5 1−6 ΧΗΑΠΤΕΡ ΦΥΝΧΤΙΟΝΣ ΑΝD ΓΡΑΠΗΣ φ ( ξ ) 5 ξ Dοmαιν: αλλ ρεαλ νυmβερσ; ρανγε: ( , 2] φ ( ξ ) 20 10 ξ Dοmαιν: αλλ ρεαλ νυmβερσ; ρανγε: αλλ ρεαλ νυmβερσ 10 12 14 16 18 20 22 24 26 Τηε γραπη οφ η(ξ) = –|ξ – 5| ισ τηε γραπη οφ ψ = |ξ| ρεφλεχτεδ ιν τηε ξ αξισ ανδ σηιφτεδ υνιτσ το τηε ριγητ 28 Τηε γραπη οφ m(ξ) = (ξ + 3)2 + ισ τηε γραπη οφ ψ = ξ2 σηιφτεδ υνιτσ το τηε λεφτ ανδ υνιτσ υπ Χοπψριγητ ♥ 2015 Πεαρσον Εδυχατιον, Ινχ ΕΞΕΡΧΙΣΕ 1−2 30 Τηε γραπη οφ γ(ξ) = –6 + ξ ισ τηε γραπη οφ ψ = ξ σηιφτεδ υνιτσ δοων 32 Τηε γραπη οφ m(ξ) = –0.4ξ2 ισ τηε γραπη οφ ψ = ξ2 ρεφλεχτεδ ιν τηε ξ αξισ ανδ ϖερτιχαλλψ χοντραχτεδ βψ α φαχτορ οφ 0.4 34 Τηε γραπη οφ τηε βασιχ φυνχτιον ψ = |ξ| ισ σηιφτεδ υνιτσ το τηε ριγητ ανδ υνιτσ υπ ψ = |ξ – 3| + 36 Τηε γραπη οφ τηε βασιχ φυνχτιον ψ = |ξ| ισ ρεφλεχτεδ ιν τηε ξ αξισ, σηιφτεδ υνιτσ το τηε λεφτ ανδ υνιτσ υπ Εθυατιον: ψ = – |ξ + 2| 38 Τηε γραπη οφ τηε βασιχ φυνχτιον ξ ισ ρεφλεχτεδ ιν τηε ξ αξισ ανδ σηιφτεδ υπ υνιτσ Εθυατιον: ψ = – ξ 40 Τηε γραπη οφ τηε βασιχ φυνχτιον ψ = ξ3 ισ ρεφλεχτεδ ιν τηε ξ αξισ, σηιφτεδ το τηε ριγητ υνιτσ ανδ υπ υνιτ Εθυατιον: ψ = – (ξ – 3)3 ξ3 + 42 γ(ξ) = 48 ξ ιφ ξ 1 γ(ξ) = 2 ξ ιφ ξ 1 44 1−7 γ(ξ) = –|ξ – 1| 50 46 γ(ξ) = – (ξ + 2)2 10 ξ ιφ η(ξ) = 40 0.5 ξ ιφ Χοπψριγητ ♥ 2015 Πεαρσον Εδυχατιον, Ινχ ξ 20 ξ 20 1−8 52 ΧΗΑΠΤΕΡ ΦΥΝΧΤΙΟΝΣ ΑΝD ΓΡΑΠΗΣ ξ 20 ιφ η(ξ) = ξ 60 ιφ ξ 360 ιφ ξ 20 20 ξ 100 ξ 100 54 Τηε γραπη οφ τηε βασιχ φυνχτιον ψ = ξ ισ ρεφλεχτεδ ιν τηε ξ αξισ ανδ ϖερτιχαλλψ εξπανδεδ βψ α φαχτορ οφ Εθυατιον: ψ = –2ξ 56 Τηε γραπη οφ τηε βασιχ φυνχτιον ψ = |ξ| ισ ϖερτιχαλλψ εξπανδεδ βψ α φαχτορ οφ Εθυατιον: ψ = 4|ξ| 58 Τηε γραπη οφ τηε βασιχ φυνχτιον ψ = ξ3 ισ ϖερτιχαλλψ χοντραχτεδ βψ α φαχτορ οφ 0.25 Εθυατιον: ψ = 0.25ξ3 60 ςερτιχαλ σηιφτ, ρεφλεχτιον ιν ψ αξισ Ρεϖερσινγ τηε ορδερ δοεσ νοτ χηανγε τηε ρεσυλτ Χονσιδερ α ποιντ (α, β) ιν τηε πλανε Α ϖερτιχαλ σηιφτ οφ κ υνιτσ φολλοωεδ βψ α ρεφλεχτιον ιν ψ αξισ mοϖεσ (α, β) το (α, β + κ) ανδ τηεν το (–α, β + κ) Ιν τηε ρεϖερσε ορδερ, α ρεφλεχτιον ιν ψ αξισ φολλοωεδ βψ α ϖερτιχαλ σηιφτ οφ κ υνιτσ mοϖεσ (α, β) το (–α, β) ανδ τηεν το (–α, β + κ) Τηε ρεσυλτσ αρε τηε σαmε 62 ςερτιχαλ σηιφτ, ϖερτιχαλ εξπανσιον Ρεϖερσινγ τηε ορδερ χαν χηανγε τηε ρεσυλτ Φορ εξαmπλε, λετ (α, β) βε α ποιντ ιν τηε πλανε Α ϖερτιχαλ σηιφτ οφ κ υνιτσ φολλοωεδ βψ α ϖερτιχαλ εξπανσιον οφ η (η > 1) mοϖεσ (α, β) το (α, β + κ) ανδ τηεν το (α, βη + κη) Ιν τηε ρεϖερσε ορδερ, α ϖερτιχαλ εξπανσιον οφ η φολλοωεδ βψ α ϖερτιχαλ σηιφτ οφ κ υνιτσ mοϖεσ (α, β) το (α, βη) ανδ τηεν το (α, βη + κ); (α, βη + κη) ≠ (α, βη + κ) 64 Ηοριζονταλ σηιφτ, ϖερτιχαλ χοντραχτιον Ρεϖερσινγ τηε ορδερ δοεσ νοτ χηανγε τηε ρεσυλτ Χονσιδερ α ποιντ (α, β) ιν τηε πλανε Α ηοριζονταλ σηιφτ οφ κ υνιτσ φολλοωεδ βψ α ϖερτιχαλ χοντραχτιον οφ η (0 < η < 1) mοϖεσ (α, β) το (α + κ, β) ανδ τηεν το (α + κ, βη) Ιν τηε ρεϖερσε ορδερ, α ϖερτιχαλ χοντραχτιον οφ η φολλοωεδ βψ α ηοριζονταλ σηιφτ οφ κ υνιτσ mοϖεσ (α, β) το (α, βη) ανδ τηεν το (α + κ, βη) Τηε ρεσυλτσ αρε τηε σαmε 66 (Α) (Β) Τηε γραπη οφ τηε βασιχ φυνχτιον ψ = ισ ϖερτιχαλλψ εξπανδεδ βψ α φαχτορ οφ ξ 68 (Α) Τηε γραπη οφ τηε βασιχ φυνχτιον ψ = ξ2 ισ ρεφλεχτεδ ιν τηε ξ αξισ, ϖερτιχαλλψ χοντραχτεδ βψ α φαχτορ οφ 0.013, ανδ σηιφτεδ 10 υνιτσ το τηε ριγητ ανδ 190 υνιτσ υπ (Β) Χοπψριγητ ♥ 2015 Πεαρσον Εδυχατιον, Ινχ ΕΞΕΡΧΙΣΕ 1−2 70 (Α) Λετ ξ = νυmβερ οφ κωη υσεδ ιν α ωιντερ mοντη Φορ ≤ ξ ≤ 700, τηε χηαργε ισ 8.5 + 065ξ Ατ ξ = 700, τηε χηαργε ισ ∃54 Φορ ξ > 700, τηε χηαργε ισ 54 + 053(ξ – 700) = 16.9 + 0.053ξ Τηυσ, 8.5 065 ξ ιφ ξ 700 W(ξ) = 16.9 0.053ξ ιφ ξ 700 72 (Α) Λετ ξ = ταξαβλε ινχοmε Ιφ ≤ ξ ≤ 15,000, τηε ταξ δυε ισ ∃.035ξ Ατ ξ = 15,000, τηε ταξ δυε ισ ∃525 Φορ 15,000 < ξ ≤ 30,000, τηε ταξ δυε ισ 525 + 0625(ξ – 15,000) = 0625ξ – 412.5 Φορ ξ > 30,000, τηε ταξ δυε ισ 1,462.5 + 0645(ξ – 30,000) = 0645ξ – 472.5 1−9 (Β) (Β) Τηυσ, 0.035 ξ ιφ ξ 15, 000 Τ(ξ) = 0.0625 ξ 412.5 ιφ 15, 000 ξ 30, 000 0.0645 ξ 472.5 ιφ ξ 30, 000 (Χ) 74 Τ(20,000) = ∃837.50 Τ(35,000) = ∃1,785 (Α) Τηε γραπη οφ τηε βασιχ φυνχτιον ψ = ξ3 ισ ϖερτιχαλλψ εξπανδεδ βψ α φαχτορ οφ 463 (Β) 76 (Α) Τηε γραπη οφ τηε βασιχ φυνχτιον ψ = ξ ισ ρεφλεχτεδ ιν τηε ξ αξισ ανδ σηιφτεδ υπ 10 υνιτσ (Β) Χοπψριγητ ♥ 2015 Πεαρσον Εδυχατιον, Ινχ 1−10 ΧΗΑΠΤΕΡ ΦΥΝΧΤΙΟΝΣ ΑΝD ΓΡΑΠΗΣ ΕΞΕΡΧΙΣΕ 1−3 ψ= ξ ξ +1 ψ 8ξ – 3ψ = 24 ξ ψ 8 Σλοπε: m ψ− ιντερχεπτ: β = 10 ψ− ιντερχεπτ: β = Σλοπε: m 10 m = 1, β = σο ψ ξ 12 m 14 ξ− ιντερχεπτ: 1; ψ− ιντερχεπτ: 3; ψ 3 ξ 16 18 (Α) γ (Β) m (Χ) ν (D) φ 20 (Α) ξ−ιντερχεπτσ: – 5, – 1; ψ− ιντερχεπτ: – (Χ) Μαξιmυm: 22 ξ− ιντερχεπτ: 2, ψ− ιντερχεπτ: – 1; ψ (Β) ςερτεξ: ( – 3, 4) (D) Ρανγε: ψ ≤ ορ ( – ∞, 4] (Α) ξ− ιντερχεπτσ: 1, 5; ψ− ιντερχεπτ: (Χ) Μινιmυm: – 24 9 , β ; ψ ξ 7 (Β) ςερτεξ: (3, – 4) (D) Ρανγε: ψ ≥ – ορ [ – 4, ∞) γ(ξ) = – (ξ + 2)2 + (Α) ξ− ιντερχεπτσ: – (ξ + 2)2 + = (ξ + 2)2 = ξ+2=± ξ= –2 – (Β) 26 3, –2+ ψ− ιντερχεπτ: – ςερτεξ: ( – 2, 3) (Χ) Μαξιmυm: (D) Ρανγε: ψ ≤ ορ ( – ∞, 3] ν(ξ) = (ξ – 4)2 – (Α) ξ− ιντερχεπτσ: (ξ – 4)2 – = (ξ – 4)2 = ξ–4=± ξ=4 – 3,4+ ψ− ιντερχεπτ: 13 (Β) ςερτεξ: (4, – 3) (Χ) Μινιmυm: – (D) Ρανγε: ψ ≥ – ορ [ – 3, ∞) Χοπψριγητ ♥ 2015 Πεαρσον Εδυχατιον, Ινχ ξ 1