Solution manual for differential equations and boundary value problems 5th edition by edwards

ΧΗΑΠΤΕΡ ΦΙΡΣΤ−ΟΡDΕΡ DΙΦΦΕΡΕΝΤΙΑΛ ΕΘΥΑΤΙΟΝΣ ΣΕΧΤΙΟΝ 1.1 DΙΦΦΕΡΕΝΤΙΑΛ ΕΘΥΑΤΙΟΝΣ ΑΝD ΜΑΤΗΕΜΑΤΙΧΑΛ ΜΟDΕΛΣ Τηε mαιν πυρποσε οφ Σεχτιον 1.1 ισ σιmπλψ το ιντροδυχε τηε βασιχ νοτατιον ανδ τερmινολογψ οφ διφ− φερεντιαλ εθυατιονσ, ανδ το σηοω τηε στυδεντ ωηατ ισ mεαντ βψ α σολυτιον οφ α διφφερεντιαλ εθυατιον Αλσο, τηε υσε οφ διφφερεντιαλ εθυατιονσ ιν τηε mατηεmατιχαλ mοδελινγ οφ ρεαλ−ωορλδ πηενοmενα ισ ουτλινεδ Προβλεmσ 1−12 αρε ρουτινε ϖεριφιχατιονσ βψ διρεχτ συβστιτυτιον οφ τηε συγγεστεδ σολυτιονσ ιντο τηε γιϖεν διφφερεντιαλ εθυατιονσ Wε ινχλυδε ηερε ϕυστ σοmε τψπιχαλ εξαmπλεσ οφ συχη ϖεριφιχατιονσ Ιφ ψ1  χοσ ξ ανδ ψ2  σιν ξ , τηεν ψ1   2σιν ξ ψ2  χοσ ξ , σο ψ1  4 χοσ ξ  4 ψ1 ανδ ψ2  4σιν ξ  4 ψ2 Τηυσ ψ1  ψ1  ανδ ψ2  ψ2  Ιφ ψ1  ε3 ξ ανδ ψ2  ε 3 ξ , τηεν ψ1  ε3 ξ ανδ ψ2   ε 3 ξ , σο ψ1  9ε3 ξ  ψ1 ανδ ψ2  9ε 3 ξ  ψ2 Ιφ ψ  ε ξ  ε  ξ , τηεν ψ  ε ξ  ε  ξ , σο ψ   ψ   ε ξ  ε  ξ    ε ξ  ε  ξ   ε  ξ Τηυσ ψ  ψ  ε  ξ Ιφ ψ1  ε 2 ξ ανδ ψ2  ξ ε 2 ξ , τηεν ψ1   ε 2 ξ , ψ1  ε 2 ξ , ψ2  ε 2 ξ  ξ ε 2 ξ , ανδ ψ2   ε 2 ξ  ξ ε 2 ξ Ηενχε ψ1  ψ1  ψ1   ε 2 ξ    2 ε 2 ξ    ε 2 ξ   ανδ ψ2  ψ2  ψ2    4ε 2 ξ  ξ ε 2 ξ    ε 2 ξ  ξ ε 2 ξ    ξ ε 2 ξ   Ιφ ψ1  χοσ ξ  χοσ ξ ανδ ψ2  σιν ξ  χοσ ξ , τηεν ψ1   σιν ξ  2σιν ξ, ψ1   χοσ ξ  χοσ ξ, ψ2  χοσ ξ  2σιν ξ , ανδ ψ2   σιν ξ  χοσ ξ Ηενχε ψ1  ψ1    χοσ ξ  χοσ ξ    χοσ ξ  χοσ ξ   3χοσ ξ ανδ ψ2  ψ2    σιν ξ  χοσ ξ    σιν ξ  χοσ ξ   3χοσ ξ Χοπψριγητ ♥ 2015 Πεαρσον Εδυχατιον, Ινχ 11 DΙΦΦΕΡΕΝΤΙΑΛ ΕΘΥΑΤΙΟΝΣ ΑΝD ΜΑΤΗΕΜΑΤΙΧΑΛ ΜΟDΕΛΣ Ιφ ψ  ψ1  ξ 2 , τηεν ψ   ξ 3 ανδ ψ  ξ 4 , σο ξ ψ   ξ ψ  ψ  ξ  ξ 4   ξ  2 ξ 3    ξ 2   Ιφ ψ  ψ2  ξ 2 λν ξ , τηεν ψ  ξ 3  ξ 3 λν ξ ανδ ψ   ξ 4  ξ 4 λν ξ , σο ξ ψ  ξ ψ  ψ  ξ  5 ξ 4  ξ 4 λν ξ   ξ  ξ 3  ξ 3 λν ξ    ξ 2 λν ξ    5 ξ 2  ξ 2    ξ 2  10 ξ 2  ξ 2  λν ξ  13 Συβστιτυτιον οφ ψ  ερξ ιντο ψ   ψ γιϖεσ τηε εθυατιον 3ρ ε ρξ  ε ρξ , ωηιχη σιmπλιφιεσ το ρ  Τηυσ ρ  / 14 Συβστιτυτιον οφ ψ  ερξ ιντο ψ  ψ γιϖεσ τηε εθυατιον 4ρ ε ρξ  ε ρξ , ωηιχη σιmπλιφιεσ το ρ  Τηυσ ρ   / 15 Συβστιτυτιον οφ ψ  ερξ ιντο ψ   ψ   ψ  γιϖεσ τηε εθυατιον ρ ε ρξ  ρ ε ρξ  ε ρξ  , ωηιχη σιmπλιφιεσ το ρ  ρ   (ρ  2)(ρ  1)  Τηυσ ρ  2 ορ ρ  16 Συβστιτυτιον οφ ψ  ερξ ιντο ψ   ψ   ψ  γιϖεσ τηε εθυατιον 3ρ ε ρξ  3ρ ε ρξ  ε ρξ  , ωηιχη σιmπλιφιεσ το 3ρ  3ρ   Τηε θυαδρατιχ φορmυλα τηεν γιϖεσ τηε σολυτιονσ  ρ  3  57  Τηε ϖεριφιχατιονσ οφ τηε συγγεστεδ σολυτιονσ ιν Προβλεmσ 17−26 αρε σιmιλαρ το τηοσε ιν Προβλεmσ 1−12 Wε ιλλυστρατε τηε δετερmινατιον οφ τηε ϖαλυε οφ Χ ονλψ ιν σοmε τψπιχαλ χασεσ Ηοωεϖερ, ωε ιλλυστρατε τψπιχαλ σολυτιον χυρϖεσ φορ εαχη οφ τηεσε προβλεmσ 17 Χ2 18 Χ 3 Χοπψριγητ ♥ 2015 Πεαρσον Εδυχατιον, Ινχ Σεχτιον 1.1 Problem 17 Problem 18 (0, 3) (0, 2) y y −4 −4 0 −5 −5 x 19 Ιφ ψ  ξ   Χε ξ  , τηεν ψ    γιϖεσ Χ   , σο Χ  20 Ιφ ψ  ξ   Χ ε ξ  ξ  , τηεν ψ    10 γιϖεσ Χ   10 , ορ Χ  11 Problem 19 Problem 20 10 20 y x (0, 5) (0, 10) y 0 −5 −10 −5 −20 −10 −5 x x 21 Χ  22 Ιφ ψ ( ξ)  λν  ξ  Χ  , τηεν ψ    γιϖεσ λν Χ  , σο Χ  Χοπψριγητ ♥ 2015 Πεαρσον Εδυχατιον, Ινχ 10 DΙΦΦΕΡΕΝΤΙΑΛ ΕΘΥΑΤΙΟΝΣ ΑΝD ΜΑΤΗΕΜΑΤΙΧΑΛ ΜΟDΕΛΣ Problem 21 Problem 22 10 (0, 7) y y 0 (0, 0) −5 −10 −2 −1 −5 −20 −10 x 23 Ιφ ψ ( ξ )  14 ξ  Χ ξ 2 , τηεν ψ    γιϖεσ 14  32  Χ  18  , ορ Χ  56 24 Χ  17 Problem 23 30 20 20 10 10 y −10 −20 −20 (1, 17) −10 −30 −30 0.5 1.5 2.5 3.5 4.5 x 25 20 Problem 24 30 (2, 1) y 10 x x Ιφ ψ  ταν  ξ  Χ  , τηεν ψ    γιϖεσ τηε εθυατιον ταν Χ  Ηενχε ονε ϖαλυε οφ Χ ισ Χ   / , ασ ισ τηισ ϖαλυε πλυσ ανψ ιντεγραλ mυλτιπλε οφ  Χοπψριγητ ♥ 2015 Πεαρσον Εδυχατιον, Ινχ Σεχτιον 1.1 Problem 25 Problem 26 10 y (0, 1) (, 0) y 0 −2 −4 −2 −5 −1 −10 x 26 10 x Συβστιτυτιον οφ ξ   ανδ ψ  ιντο ψ   ξ  Χ  χοσ ξ ψιελδσ    Χ  1 , σο Χ   27 ψ  ξ  ψ 28 Τηε σλοπε οφ τηε λινε τηρουγη  ξ, ψ  ανδ  ξ 2,  ισ ψ  τιαλ εθυατιον ισ ξψ  ψ 29 ψ0  ψ ξ , σο τηε διφφερεν− ξξ/2 Ιφ m  ψ ισ τηε σλοπε οφ τηε τανγεντ λινε ανδ m ισ τηε σλοπε οφ τηε νορmαλ λινε ατ ( ξ, ψ ), τηεν τηε ρελατιον m m   ψιελδσ m  1 ψ    ψ  1  ξ   Σολϖινγ φορ ψ τηεν γιϖεσ τηε διφφερεντιαλ εθυατιον 1  ψ  ψ  ξ 30 31 Ηερε m  ψ ανδ m  Dξ ( ξ  κ )  ξ , σο τηε ορτηογοναλιτψ ρελατιον m m   γιϖεσ τηε διφφερεντιαλ εθυατιον ξψ    Τηε σλοπε οφ τηε λινε τηρουγη  ξ, ψ  ανδ (  ψ , ξ ) ισ ψ   ξ  ψ    ψ  ξ  , σο τηε διφφερεν− τιαλ εθυατιον ισ ( ξ  ψ ) ψ   ψ  ξ Ιν Προβλεmσ 32−36 ωε γετ τηε δεσιρεδ διφφερεντιαλ εθυατιον ωηεν ωε ρεπλαχε τηε “τιmε ρατε οφ χηανγε” οφ τηε δεπενδεντ ϖαριαβλε ωιτη ιτσ δεριϖατιϖε ωιτη ρεσπεχτ το τιmε τ, τηε ωορδ “ισ” ωιτη τηε = σιγν, τηε πηρασε “προπορτιοναλ το” ωιτη κ, ανδ φιναλλψ τρανσλατε τηε ρεmαινδερ οφ τηε γιϖεν σεντενχε ιντο σψmβολσ 32 δΠ δτ  κ Π 33 δϖ δτ  κϖ Χοπψριγητ ♥ 2015 Πεαρσον Εδυχατιον, Ινχ DΙΦΦΕΡΕΝΤΙΑΛ ΕΘΥΑΤΙΟΝΣ ΑΝD ΜΑΤΗΕΜΑΤΙΧΑΛ ΜΟDΕΛΣ 34 δϖ δτ  κ  250  ϖ  36 δΝ δτ  κΝ  Π  Ν  35 δΝ δτ  κ  Π  Ν  37 Τηε σεχονδ δεριϖατιϖε οφ ανψ λινεαρ φυνχτιον ισ ζερο, σο ωε σποτ τηε τωο σολυτιονσ ψ  ξ   ανδ ψ ( ξ)  ξ οφ τηε διφφερεντιαλ εθυατιον ψ   38 Α φυνχτιον ωηοσε δεριϖατιϖε εθυαλσ ιτσελφ, ανδ ισ ηενχε α σολυτιον οφ τηε διφφερεντιαλ εθυα− τιον ψ   ψ , ισ ψ ( ξ )  ε ξ 39 Wε ρεασον τηατ ιφ ψ  κξ , τηεν εαχη τερm ιν τηε διφφερεντιαλ εθυατιον ισ α mυλτιπλε οφ ξ Τηε χηοιχε κ  βαλανχεσ τηε εθυατιον ανδ προϖιδεσ τηε σολυτιον ψ ( ξ)  ξ 40 Ιφ ψ ισ α χονσταντ, τηεν ψ  , σο τηε διφφερεντιαλ εθυατιον ρεδυχεσ το ψ  Τηισ γιϖεσ τηε τωο χονσταντ−ϖαλυεδ σολυτιονσ ψ ( ξ )  ανδ ψ ( ξ)  1 41 Wε ρεασον τηατ ιφ ψ  κε ξ , τηεν εαχη τερm ιν τηε διφφερεντιαλ εθυατιον ισ α mυλτιπλε οφ ε ξ Τηε χηοιχε κ  12 βαλανχεσ τηε εθυατιον ανδ προϖιδεσ τηε σολυτιον ψ ( ξ )  12 ε ξ 42 Τωο φυνχτιονσ, εαχη εθυαλινγ τηε νεγατιϖε οφ ιτσ οων σεχονδ δεριϖατιϖε, αρε τηε τωο σολυ− τιονσ ψ  ξ   χοσ ξ ανδ ψ ( ξ )  σιν ξ οφ τηε διφφερεντιαλ εθυατιον ψ    ψ 43 (α) Wε νεεδ ονλψ συβστιτυτε ξ(τ )   Χ  κτ  ιν βοτη σιδεσ οφ τηε διφφερεντιαλ εθυατιον ξ  κξ φορ α ρουτινε ϖεριφιχατιον (β) Τηε ζερο−ϖαλυεδ φυνχτιον ξ (τ )  οβϖιουσλψ σατισφιεσ τηε ινιτιαλ ϖαλυε προβλεm ξ  κξ , ξ(0)  44 (α) Τηε φιγυρε σηοωσ τψπιχαλ γραπησ οφ σολυτιονσ οφ τηε διφφερεντιαλ εθυατιον ξ  12 ξ (β) Τηε φιγυρε σηοωσ τψπιχαλ γραπησ οφ σολυτιονσ οφ τηε διφφερεντιαλ εθυατιον ξ   12 ξ Wε σεε τηατ—ωηερεασ τηε γραπησ ωιτη κ  12 αππεαρ το “διϖεργε το ινφινιτψ”—εαχη σολυ− τιον ωιτη κ   12 αππεαρσ το αππροαχη ασ τ   Ινδεεδ, ωε σεε φροm τηε Προβλεm 43(α) σολυτιον ξ(τ )   Χ  12 τ  τηατ ξ(τ )   ασ τ  2Χ Ηοωεϖερ, ωιτη κ   12 ιτ ισ χλεαρ φροm τηε ρεσυλτινγ σολυτιον ξ(τ )   Χ  12 τ  τηατ ξ(τ ) ρεmαινσ βουνδεδ ον ανψ βουνδεδ ιντερϖαλ, βυτ ξ(τ )  ασ τ   Χοπψριγητ ♥ 2015 Πεαρσον Εδυχατιον, Ινχ Σεχτιον 1.1 Problem 44a Problem 44b 4 x x 2 1 t 45 t , σο Συβστιτυτιον οφ Π  ανδ Π  10 ιντο τηε διφφερεντιαλ εθυατιον Π  κΠ γιϖεσ κ  100 τ  Τηε ινιτιαλ χονδιτιον Προβλεm 43(α) ψιελδσ α σολυτιον οφ τηε φορm Π(τ )   Χ  100 Π (0)  νοω ψιελδσ Χ  12 , σο ωε γετ τηε σολυτιον Π (τ )   100 50  τ τ  100 Wε νοω φινδ ρεαδιλψ τηατ Π  100 ωηεν τ  49 ανδ τηατ Π  1000 ωηεν τ  49.9 Ιτ απ− πεαρσ τηατ Π γροωσ ωιτηουτ βουνδ (ανδ τηυσ “εξπλοδεσ”) ασ τ αππροαχηεσ 50 46 Συβστιτυτιον οφ ϖ  1 ανδ ϖ  ιντο τηε διφφερεντιαλ εθυατιον ϖ  κϖ γιϖεσ κ   251 , σο Προβλεm 43(α) ψιελδσ α σολυτιον οφ τηε φορm ϖ(τ )   Χ  τ 25 Τηε ινιτιαλ χονδιτιον ϖ(0)  10 νοω ψιελδσ Χ  101 , σο ωε γετ τηε σολυτιον ϖ(τ )   50  2τ τ  10 25 Wε νοω φινδ ρεαδιλψ τηατ ϖ  ωηεν τ  22.5 ανδ τηατ ϖ  0.1 ωηεν τ  247.5 Ιτ απ− πεαρσ τηατ ϖ αππροαχηεσ ασ τ ινχρεασεσ ωιτηουτ βουνδ Τηυσ τηε βοατ γραδυαλλψ σλοωσ, βυτ νεϖερ χοmεσ το α “φυλλ στοπ” ιν α φινιτε περιοδ οφ τιmε 47 (α) ψ (10)  10 ψιελδσ 10   Χ  10  , σο Χ  101 10 (β) Τηερε ισ νο συχη ϖαλυε οφ Χ, βυτ τηε χονσταντ φυνχτιον ψ ( ξ)  σατισφιεσ τηε χονδι− τιονσ ψ  ψ ανδ ψ (0)  Χοπψριγητ ♥ 2015 Πεαρσον Εδυχατιον, Ινχ DΙΦΦΕΡΕΝΤΙΑΛ ΕΘΥΑΤΙΟΝΣ ΑΝD ΜΑΤΗΕΜΑΤΙΧΑΛ ΜΟDΕΛΣ (χ) Ιτ ισ οβϖιουσ ϖισυαλλψ (ιν Φιγ 1.1.8 οφ τηε τεξτ) τηατ ονε ανδ ονλψ ονε σολυτιον χυρϖε πασσεσ τηρουγη εαχη ποιντ (α, β) οφ τηε ξψ−πλανε, σο ιτ φολλοωσ τηατ τηερε εξιστσ α υνιθυε σολυτιον το τηε ινιτιαλ ϖαλυε προβλεm ψ  ψ , ψ (α )  β 48 (β) Οβϖιουσλψ τηε φυνχτιονσ υ ( ξ)   ξ ανδ ϖ ( ξ)   ξ βοτη σατισφψ τηε διφφερεντιαλ εθυα− τιον ξψ  ψ Βυτ τηειρ δεριϖατιϖεσ υ ( ξ)  4 ξ ανδ ϖ( ξ)  4 ξ3 mατχη ατ ξ  , ωηερε βοτη αρε ζερο Ηενχε τηε γιϖεν πιεχεωισε−δεφινεδ φυνχτιον ψ  ξ  ισ διφφερεντιαβλε, ανδ τηερεφορε σατισφιεσ τηε διφφερεντιαλ εθυατιον βεχαυσε υ  ξ  ανδ ϖ  ξ  δο σο (φορ ξ  ανδ ξ  , ρεσπεχτιϖελψ) (χ) Ιφ α  (φορ ινστανχε), τηεν χηοοσε Χ φιξεδ σο τηατ Χ α  β Τηεν τηε φυνχτιον Χ ξ ιφ ξ  ψ  ξ   Χ ξ ιφ ξ  σατισφιεσ τηε γιϖεν διφφερεντιαλ εθυατιον φορ εϖερψ ρεαλ νυmβερ ϖαλυε οφ Χ ΣΕΧΤΙΟΝ 1.2 ΙΝΤΕΓΡΑΛΣ ΑΣ ΓΕΝΕΡΑΛ ΑΝD ΠΑΡΤΙΧΥΛΑΡ ΣΟΛΥΤΙΟΝΣ Τηισ σεχτιον ιντροδυχεσ γενεραλ σολυτιονσ ανδ παρτιχυλαρ σολυτιονσ ιν τηε ϖερψ σιmπλεστ σιτυατιον — α διφφερεντιαλ εθυατιον οφ τηε φορm ψ  φ  ξ  — ωηερε ονλψ διρεχτ ιντεγρατιον ανδ εϖαλυατιον οφ τηε χονσταντ οφ ιντεγρατιον αρε ινϖολϖεδ Στυδεντσ σηουλδ ρεϖιεω χαρεφυλλψ τηε ελεmενταρψ χον− χεπτσ οφ ϖελοχιτψ ανδ αχχελερατιον, ασ ωελλ ασ τηε φπσ ανδ mκσ υνιτ σψστεmσ Ιντεγρατιον οφ ψ  ξ  ψιελδσ ψ ( ξ)    ξ  1 δξ  ξ  ξ  Χ Τηεν συβστιτυτιον οφ ξ  , ψ  γιϖεσ    Χ  Χ , σο ψ  ξ   ξ  ξ  Ιντεγρατιον οφ ψ   ξ   ψιελδσ ψ  ξ     ξ   δξ  13  ξ    Χ Τηεν συβστιτυτιον 2 οφ ξ  , ψ  γιϖεσ   Χ  Χ , σο ψ  ξ   13  ξ    3 Ιντεγρατιον οφ ψ   ξ ψιελδσ ψ  ξ    ψ  γιϖεσ  163  Χ , σο ψ  ξ   ξ 3/2 ξ δξ  23 ξ 3/2  Χ Τηεν συβστιτυτιον οφ ξ  ,  8 Ιντεγρατιον οφ ψ  ξ 2 ψιελδσ ψ  ξ    ξ 2 δξ  1 ξ  Χ Τηεν συβστιτυτιον οφ ξ  , ψ  γιϖεσ  1  Χ , σο ψ  ξ   1 ξ  Χοπψριγητ ♥ 2015 Πεαρσον Εδυχατιον, Ινχ Σεχτιον 1.2 Ιντεγρατιον οφ ψ   ξ   1 ψιελδσ ψ  ξ     ξ   1 δξ  ξ   Χ Τηεν συβστιτυ− τιον οφ ξ  , ψ  1 γιϖεσ 1    Χ , σο ψ  ξ   ξ   Ιντεγρατιον οφ ψ  ξ  ξ   12 ψιελδσ ψ  ξ    ξ  ξ   δξ  13  ξ   12 συβστιτυτιον οφ ξ  4 , ψ  γιϖεσ  13 (5)3  Χ , σο ψ  ξ   13  ξ    32 3/2  Χ Τηεν  125  10 10 ψιελδσ ψ  ξ    δξ  10 ταν 1 ξ  Χ Τηεν συβστιτυτιον οφ ξ 1 ξ 1 ξ  , ψ  γιϖεσ  10   Χ , σο ψ  ξ   10 ταν 1 ξ Ιντεγρατιον οφ ψ  Ιντεγρατιον οφ ψ  χοσ ξ ψιελδσ ψ  ξ    χοσ ξ δξ  12 σιν ξ  Χ Τηεν συβστιτυτιον οφ ξ  , ψ  γιϖεσ   Χ , σο ψ  ξ   12 σιν ξ  ψιελδσ ψ ( ξ)   Ιντεγρατιον οφ ψ  10 Ιντεγρατιον οφ ψ  ξε  ξ ψιελδσ 1 ξ 1 ξ 1 ξ  , ψ  γιϖεσ   Χ , σο ψ  ξ   σιν ξ 2 δξ  σιν 1 ξ  Χ Τηεν συβστιτυτιον οφ ψ  ξ    ξε ξ δξ   υευ δυ   υ  1 ευ    ξ  1 ε  ξ  Χ , υσινγ τηε συβστιτυτιον υ   ξ τογετηερ ωιτη Φορmυλα #46 ινσιδε τηε βαχκ χοϖερ οφ τηε τεξτβοοκ Τηεν συβστιτυτινγ ξ  , ψ  γιϖεσ    Χ , σο ψ ( ξ)   ( ξ  1) ε ξ  11 Ιφ α  τ   50 , τηεν ϖ  τ    50δτ  50τ  ϖ0  50τ  10 Ηενχε ξ  τ     50τ  10  δτ  25τ  10τ  ξ0  25τ  10τ  20 12 Ιφ α  τ   20 , τηεν ϖ  τ     20  δτ  20τ  ϖ0  20τ  15 Ηενχε ξ  τ     20τ  15  δτ  10τ  15τ  ξ0  10τ  15τ  13 Ιφ α  τ   3τ , τηεν ϖ  τ    3τ δτ  32 τ  ϖ0  32 τ  Ηενχε ξ τ    14  τ   δτ  12 τ  5τ  ξ0  12 τ  5τ 2 Ιφ α  τ   2τ  , τηεν ϖ  τ     2τ  1 δτ  τ  τ  ϖ0  τ  τ  Ηενχε ξ  τ     τ  τ   δτ  13 τ  12 τ  7τ  ξ0  13 τ  12 τ  7τ  Χοπψριγητ ♥ 2015 Πεαρσον Εδυχατιον, Ινχ 10 15 ΙΝΤΕΓΡΑΛΣ ΑΣ ΓΕΝΕΡΑΛ ΑΝD ΠΑΡΤΙΧΥΛΑΡ ΣΟΛΥΤΙΟΝΣ Ιφ α  τ    τ  3 , τηεν ϖ  τ     τ  3 δτ  2  τ  3 Χ   τ  3 3  37 (τακινγ Χ  37 σο τηατ ϖ    1 ) Ηενχε ξ τ    16  τ  3  37 δτ  13  τ  3  37τ  Χ  13  τ  3  37τ  26 , τηεν ϖ  τ    τ4 τηατ ϖ    1 ) Ηενχε Ιφ α  τ    δτ  τ   Χ  τ   (τακινγ Χ  5 σο τ4  ξ  τ    τ   δτ  τ  4 3/2  5τ  Χ  τ  4 3/2  5τ  293 (τακινγ Χ   29 σο τηατ ξ    ) 17 Ιφ α  τ    τ  1 , τηεν ϖ  τ     τ  1 δτ   12  τ  1  Χ   12  τ  1  12 (τακινγ 3 3 Χ 2 2 σο τηατ ϖ    ) Ηενχε 2 1 1 ξ  τ     12  τ  1  12 δτ  12  τ  1  12 τ  Χ  12  τ  1  τ  1   (τακινγ Χ   12 σο τηατ ξ    ) 18 Ιφ α  τ   50σιν 5τ , τηεν ϖ  τ    50 σιν 5τ δτ  10 χοσ 5τ  Χ  10 χοσ 5τ (τακινγ Χ  σο τηατ ϖ    10 ) Ηενχε ξ  τ     10 χοσ 5τ δτ  2 σιν 5τ  Χ  2 σιν 5τ  10 (τακινγ Χ  10 σο τηατ ξ    ) Στυδεντσ σηουλδ υνδερστανδ τηατ Προβλεmσ 19−22, τηουγη διφφερεντ ατ φιρστ γλανχε, αρε σολϖεδ ιν τηε σαmε ωαψ ασ τηε πρεχεδινγ ονεσ, τηατ ισ, βψ mεανσ οφ τηε φυνδαmενταλ τηεορεm οφ χαλχυλυσ ιν τηε φορm ξ  τ   ξ  τ0    ϖ  σ  δσ χιτεδ ιν τηε τεξτ Αχτυαλλψ ιν τηεσε προβλεmσ ξ  τ    ϖ  σ  δσ τ τ τ0 , σινχε τ0 ανδ ξ  τ0  αρε εαχη γιϖεν το βε ζερο 19 ιφ  τ  5 Τηε γραπη οφ ϖ  τ  σηοωσ τηατ ϖ  τ    , σο τηατ 10  τ ιφ  τ  10 ιφ  τ  5τ  Χ1 ξ τ    Νοω Χ1  βεχαυσε ξ    , ανδ χοντινυιτψ οφ 10τ  τ  Χ2 ιφ  τ  10 ξ  τ  ρεθυιρεσ τηατ ξ  τ   5τ ανδ ξ  τ   10τ  12 τ  Χ2 αγρεε ωηεν τ  Τηισ ιmπλιεσ τηατ Χ2   252 , λεαδινγ το τηε γραπη οφ ξ  τ  σηοων Χοπψριγητ ♥ 2015 Πεαρσον Εδυχατιον, Ινχ