SỞ GD & ĐT GIA LAI KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 12 THPT ĐỀ CHÍNH THỨC Năm học: 2008 – 2009 Mơn thi: TỐN Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề) ĐỀ BÀI: Câu 1: (3 điểm) Giải phương trình: x2 3x log x2 x 2x 2x Câu 2: (3 điểm) Chứng minh với số nguyên a , b , ln tìm số ngun dương n cho số f n n an bn 2009 khơng phải số phương Câu 3: (4 điểm) Cho dãy số xn ; n 0,1,2, ; thoả mãn x0 ; xn1 xn , n 0,1,2, xn xn a) Tìm lim n �� b) Chứng minh rằng: x1 x2 x2008 2009 Câu 4: (4 điểm) Tìm tất đa thức P x thoả mãn điều kiện: P x y P x P y ; x, y �R 2 Câu 5: (6 điểm) http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Cho tam giác ABC (BC = a , CA = b , AB = c ) nội tiếp đường trịn tâm O, bán kính R ngoại tiếp đường trịn tâm I, bán kính r a) Đặt d = OI Chứng minh rằng: d R Rr (Hệ thức Euler) Chứng minh rằng: AI � b) Giả sử AIO=90 ab bc ca .HẾT http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 12 THPT Năm học: 2008 – 2009 ĐÁP ÁN ĐỀ CHÍNH THỨC - MƠN TỐN Câu 1: (3 điểm) Đặt: u x x ; v x x u 0; v 0.5 đ Suy ra: v u x x (1) Phương trình cho tương đương với: log u v u � log u log3 v v u v � log u u log v v f t log t t 0,5 đ Xét hàm số: Ta có: (2) 0,5 đ f ' t ; t t.ln Suy hàm số đồng biến t 0,5 đ Do đó, từ (2) ta có f u f v , suy u v 0,5 đ Thay vào (1), ta có: x x Vậy phương trình có nghiệm: x ; x 0,5 đ Câu 2: (3 điểm) Ta cần chứng minh mệnh đề sau: a; b �Z , n �N * : f n khơng phải số phương http://dethithpt.com – Website chun đề thi – tài liệu file word Nhận xét rằng, số phương �0 mod �1 mod 0,5 đ Giả sử mệnh đề sai, tức là: a; b �Z , n �N * : f n số phương 0,5 đ Đặc biệt, từ ta có: f 1 a b 2010 số phương (1) f 4a 2b 2017 số phương (2) f 3 9a 3b 2036 số phương (3) f 16a 4b 2073 số phương (4) .0,5 đ Từ (2) (4), ta có: f f 12a 2b 56 �2b mod Mà theo nhận xét trên, ta có; f f �0 mod , �1 mod , �3 mod Vì 2b số chẵn nên: 2b �0 mod (5) .0,5 đ Từ (1) (3), ta có: f 3 f 1 8a 2b 26 � 2b mod Tương tự, 2b số chẵn nên: 2b �0 mod (6) 0,5 đ Từ (5) (6) suy �0 mod , vơ lý Ta có điều phải chứng minh 0,5 đ Câu 3: (4 điểm) Dễ thấy xn ; n 0,1,2, Nhận xét rằng: http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word xn1 xn x 1 1 n ; xn xn xn1 xn 1 xn 1 xn xn Từ ta có cơng thức truy hồi: xn1 1 xn ; n 0,1,2, ……………………… 0,5 đ xn1 xn Do đó, với n 0,1,2, , thì: xn1 1 xn 1 x0 1 1 n 1 n2 = = n1 xn1 xn x0 Suy ra: xn1 1 n2 , xn1 hay: xn 1 n1 ; n 0,1,2, ……………………………………0,5 đ xn Do đó: 3n1 xn n 1 n 1 0,5 đ 1 1 xn 0,5 đ a) Vậy: lim n �� b) Ngoài ra, với n �1 ta có: xn n 1 2 1 1 n n 1 n 1 n n 1 1 1 1 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word 1 1 n ……… đ n Do đó: x1 x2 x2008 2008 2008 1 2008 2 2 2008 2008 2009 Ta có điều phải chứng minh .1 đ Câu 4: (4 điểm) Với điều kiện đề P x y P x P y ; x, y �R , 2 (1) ta xét trường hợp sau: a) Với P(x) đa thức hằng: Giả sử P x �c Thay vào (1), ta thu được: c 2c � c c 2 Vậy ta hai đa thức hằng: P x �0 P x � .1 đ n b) Với P(x) khác đa thức hằng: Giả sử P x an x a1 x a0 ; an �0 ; n �1 Khi bậc P x n - Từ (1), thay x t y t , ta nhận được: P 2t 2. P t � � an 2t a0 2. ant n a0 n 2n.an t n a0 2.an t n 2.a0 (2) http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word So sánh hệ số bậc cao hệ số tự (2), ta có: � an 2.an � � a0 2.a0 � n - � an 2n1 � � � a0 0; a0 � � (3) 0,5 đ Từ (1), thay x t y , ta nhận được: P t P t P 0 2 � an t a0 ant n a0 a0 n � an t n a0 an t n 2.a0 (4) So sánh hệ số bậc cao hệ số tự (2), ta có: an an � an (5) 0,5 đ Từ (3) (5), suy ra: n 1; an � � � .0,5 đ a0 0; a0 � � Vậy, đa thức thoả mãn điều kiện đề là: P x x P x x .0,5 đ + Dễ thấy đa thức P x x thoả mãn điều kiện đề .0,5 đ + Thay P x x vào (1), ta được: 1 � x y ; x, y �R x2 y x y 2 Điều không thoả mãn, chẳng hạn với x y x2 y2 Vậy đa thức P x x không thoả mãn điều kiện đề Kết luận: Có đa thức thoả mãn điều kiện đề là: P x �0 , P x � P x x 0,5 đ http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Câu 5: (6 điểm) N A F B' O I E C B M a) (3 điểm) Kéo dài AI cắt (O) M Kẻ đường kính MN đường tròn (O) Kéo dài OI cắt (O) E F Dễ thấy: IE.IF = IA.IM � R OI R OI = IA.IM � R d = IA.IM Ta có: (1) 0,5 đ � � � � � � � MCI=MCB+BCI=MAB+BCI= BAC+BCA � � � � � MIC=IAC+ICA= BAC+BCA (2) (3) 0,5 đ � � Từ (2) (3) suy ra: MIC=MCI � MC = IM 0,5 đ Hạ IB’ AC Dễ thấy tam giác AB’I đồng dạng với tam giác NCM (g-g) 0,5 đ http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Suy ra: IA MN IA MN � = = IB' MC IB' IM � IA.IM = MN.IB’ � IA.IM = 2Rr (4) 0,5 đ Từ (1) (4), suy ra: R d = 2Rr hay d R Rr (đpcm) 0,5 đ b) (3 điểm) Giám khảo lưu ý: Nếu thí sinh khơng giải câu a, mà áp dụng Hệ thức Euler giải câu b, điểm tối đa câu b , suy ra: � Từ giả thiết AIO=90 OI OA AI � d R AI2 � AI R d Do đó, kết câu a), suy ra: AI 2Rr (5) 0,5 đ Hơn nữa, ta có: S ABC abc a b c r 4R Suy ra: abc abc Rr (6) 0,5 đ Từ (5) (6), ta thu được: 1 1 0,5 đ ab bc ca AI Mà ta biết bất đẳng thức quen thuộc: 1 � 0,5 đ ab bc ca ab bc ca Do đó: � , AI ab bc ca http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word hay: AI � ab bc ca 0,5 đ Đẳng thức xảy khi: a b c � ABC tam giác � O trùng với I � Điều không xảy ra, giả thiết AIO=90 Vậy: AI ab bc ca (đpcm) 0,5 đ Giám khảo lưu ý: Các cách giải khác, đúng, đạt điểm tối da HẾT http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word