PHÚ THỌ 13 14

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO PHÚ THỌ ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH NĂM HỌC 2013 – 2014 MƠN: TỐN - THCS Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề Câu (3,0 điểm) a) Giải phương trình tập số nguyên x  y  xy  x  y  12  b) Cho P  x   x3  3x  14 x  Tìm số số tự nhiên x nhỏ 100 mà P  x  chia hết cho 11 Câu (4,0 điểm) a  3a  a) Tính giá trị biểu thức P  , biết a  55  3024  55  3024 a  a  5a  b) Cho số thực x, y, z đôi khác thỏa mãn x  x  1, y  y  z  z  Chứng minh x  y  z  Câu (4,0 điểm) x 1  3x  4x 3x  y  xy  x  y   b) Giải hệ phương trình  2  x  y  x  y   Câu (7,0 điểm) Cho đường tròn (O; R) dây cung BC không qua tâm Gọi A điểm a) Giải phương trình 3x    quay quanh điểm A có số đo  khơng đổi cung nhỏ BC Góc nội tiếp EAF cho E, F khác phía với điểm A so với BC; AF AE cắt đường thẳng BC M N Lấy điểm D cho tứ giác MNED hình bình hành a) Chứng minh MNEF tứ giác nội tiếp b) Gọi I tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MDF Chứng minh góc nội tiếp  quay quanh điểm A I chuyển động đường thẳng cố định EAF c) Khi   600 BC  R , tính theo R độ dài nhỏ đoạn thẳng OI Câu (2,0 điểm) Cho số thực dương x, y, z thỏa mãn x  y  z  Chứng minh x2  y  z 2 y  z  x2 2z  x2  y    xyz  yz  zx  xy -Hết Họ tên thí sinh:……………………………………… Số báo danh:……………………… Thí sinh khơng sử dụng tài liệu Cán coi thi khơng giải thích thêm SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO PHÚ THỌ ĐỀ CHÍNH THỨC ĐÁP ÁN-THANG ĐIỂM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH NĂM HỌC 2013-2014 Mơn: TỐN - THCS (Đáp án - thang điểm gồm 05 trang) I Một số ý chấm  Đáp án chấm thi dựa vào lời giải sơ lược cách, chấm thi, giám khảo cần bám sát yêu cầu trình bày lời giải đầy đủ, chi tiết, hợp lơ-gic chia nhỏ đến 0,25 điểm  Thí sinh làm cách khác với Đáp án mà tổ chấm cần thống cho điểm tương ứng với thang điểm Đáp án  Điểm thi tổng điểm câu khơng làm trịn số II Đáp án-thang điểm Câu ( 3,0 điểm) a) Giải phương trình sau tập số nguyên x  y  xy  x  y  12  b) Cho P  x   x3  3x  14 x  Tìm số số tự nhiên x nhỏ 100 mà P  x  chia hết cho 11 Nội dung a) Phương trình tương đương với  x  y  xy    x  y    16  y   x  y  22  16  y ; mà x , y   nên  x  y    16, y  (1) x  y   0, y  16 (2) Ta có (1)  x  2, y  x  6, y  (2)  y  4, x  y  4, x  10 Điểm 0,5 0,5 0,5 Vậy phương trình cho có nghiệm  x; y    2;  ,  6;  ,  6;  ,  10;    b) Bổ đề: Cho x, y số tự nhiên số nguyên tố p có dạng p  3k  x  y  mod p   x  y  mod p  Thật vậy, x  y  mod p   x3  y  mod p  , Với x  y  mod p   x 3k  y 3k  mod p  Với x, y chia hết cho p hiển nhiên 0,5 Với  x, p   1,  y, p   ta có x p 1  y p 1  1 mod p   x3k 1  y 3k 1  mod p   x.x 3k  y y 3k  mod p   x  y  mod p  x 3k  y 3k  mod p  Áp dụng Bổ đề, ta có 3 P  x   P  y  mod 11   x  1  11 x  1  10   y  1  11 y  1  10  mod 11 3   x  1   y  1  mod 11  x   y  1 mod 11  x  y  mod 11 Do đó, P  x   P  y  mod 11  x  y  mod 11 0,5 Suy với n  , 11 giá trị P  n  , P  n  1 ,, P  n  10  , có giá trị chia hết cho 11 Do đó, số P 1 , P   , , P  99  có số chia hết cho 11, cịn P    2 khơng chia hết cho 11 Vậy có số thỏa mãn yêu cầu toán 0,5 Câu ( 4,0 điểm) a  3a  a) Tính giá trị biểu thức P  , biết a  55  3024  55  3024 a  4a  5a  b) Cho số thực x, y, z thỏa mãn x  x  1, y  y  1, z  z  Chứng minh x  y  z  Nội dung Điểm a) Ta có P  a  3a   a  1  a    a  ;  a  a  5a   a  12  a   a  mà a  110  3 552  3024  0,5  55  3024  55  3024 0,5  a3  110  3a  a3  3a  110  b) Ta có x  x  1(1), y  y  (2), z  z  (3)   a    a  5a  22    a  Suy P   x3  y   x  y   x  xy  y  (4)  3  Từ (1), (2) (3) suy  y  z   y  z    y  yz  z  (5)   2  z  zx  x  (6)  z  x  3 z  x  Từ (4) (5) suy x  z  xy  yz    x  y  x  y  z    x  y  z  , (vì x, y, z đôi phân biệt) Cộng (4), (5) (6) theo vế với vế ta có 2 x  y  z    x  y  z    x2  y  z   2 Câu ( 4,0 điểm) x 1 a) Giải phương trình 3x    3x  4x 3x  y  xy  x  y   b) Giải hệ phương trình  2  x  y  2x  y   Nội dung a) Điều kiện xác định: x   , x  Phương trình tương đương với 12 x   x  1  x x  Đặt a  x, b  x  ta có phương trình 3a  b2  2ab   b  a  b  3a    b  a b  3a Khi x   x x   6 x +) Với x   x , điều kiện x  , ta có x   x  x   x  x  x    x  x   (loại) +) Với x   6 x , điều kiện   x  , ta có 3  153  153 x   6 x  36 x  x   x  x  (loại) 72 72 1,0 1,0 1,0 Điểm 1,0 0,5 0,5  153 72 b) Nhân hai vế (2) với ta có hệ phương trình 3x  y  xy  x  y   (1)  2 (2) 2x  y  4x  y   Lấy (1) trừ (2) theo vế với vế ta có  x2  xy  y    x  y      x  y 2   x  y    Vậy phương trình có hai nghiệm x  1, x  1,0   x  y  1 x  y     x  y  x  y  +) Với x  y  , vào (2) rút gọn ta có y  y  3   y  y  3 Suy x  1, y  x  5, y  3 +) Với x  y  , vào (2) rút gọn ta có y  13 y    y  13  109 13  109 7  109 13  109 7  109 13  109 Suy x  ,y x  ,y 6 Vậy hệ có nghiệm x  1, y  ; x  5, y  3 ; y  x 1,0 7  109 13  109 7  109 13  109 ,y ; x ,y 6 Câu ( 7,0 điểm) Cho đường trịn (O; R) dây cung BC khơng qua tâm Gọi A điểm cung  quay quanh điểm A có số đo  khơng đổi cho E, F khác nhỏ BC Góc nội tiếp EAF phía với điểm A so với BC; AF AE cắt đường thẳng BC M N Lấy điểm D cho tứ giác MNED hình bình hành a) Chứng minh MNEF tứ giác nội tiếp  b) Gọi I tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MDF Chứng minh góc nội tiếp EAF quay quanh điểm A I chuyển động đường thẳng cố định c) Tìm độ dài nhỏ đoạn thẳng OI   600 BC  R A a) Ta có )=  = (sđ  MNE AC  sđ BFE ) = (sđ  AB  sđ BFE   AFE  sđ  AC  sđ CE   MFE   180o Suy ra: MNE Vậy tứ giác MNEF nội tiếp M B T H N C Q K 2,5 O I S F J G D E P b) Gọi P giao điểm khác A AO với đường tròn (O; R) Lấy G đối xứng với E qua AP  D  EG , G   O    NEG ,    MFG   180o Ta có MDG AEG   AFG  180o  MDG Suy tứ giác MDGF nội tiếp (1) 1,0 Gọi giao điểm AG BC H Chứng minh tương tự a) có tứ giác MHGF nội tiếp Từ (1) (2) suy điểm M, H, D, G, F nằm đường tròn Trung trực đoạn thẳng FG qua O cắt đường tròn (O) J;  nên  =sđ JG  sđ PG  =sđ PE I  OJ , sđ JF    hay I nằm đường thẳng cố JOP định Đó đường thẳng qua O tạo với AO góc  khơng đổi B (2) A 1,5 U M' M Q N MN    không đổi nên OI nhỏ IS nhỏ Tam giác vng OSI có IOS  MN nhỏ Ta chứng minh MN nhỏ tam giác AMN cân A C c) Hạ IT  BC T  BC   TH  TM Do QH  QN , suy IS  1,0  Thật vậy, BC lấy M’ N’ cho M ' AN '   Khơng tính tổng quát giả sử QM '  QN ' suy AM '  AN ' Trên đoạn AM ' lấy điểm U cho AU  AN '  AUM  ANN ' (c.g.c)  S AM ' M  S ANN '  MM '  NN '  M ' N '  MN   R R 2  , 1,0 2 R 3 R 2 R 3 MN    OI  Câu ( 2,0 điểm) Cho số thực dương x, y, z thỏa mãn x  y  z  Chứng minh rằng: Với   60 o ; BC  R suy AQ  R        x2  y  z 2 y  z  x2 z  x2  y    xyz  yz  zx  xy Nội dung Điểm Chứng minh được: x  y  z  x  y  z  Tương tự ta có y  z  x  y  z  x  , z  x  y  z  x  y  x  y  z  y  z  x z  x  y    xyz  yz  zx  xy yz zx xy Bất đẳng thức tương đương với      yz  yz   zx  zx   xy  xy Do ta chứng minh Ta có yz yz     yz  yz  yz  yz yz  yz       yz  yz  , dễ có 0,5 0,5    yz  yz     xy    nên 2  yz   yz  yz    yz yz zx  , tương tự có    yz  yz  yz   zx  zx  zx x y    xy  xy  xy yz zx xy 1 Do        yz  yz   zx  zx   xy  xy  xy  yz  zx Vậy nên Với a, b, c>0 có 1 a b b c c a  a  b  c                        nên a b c b a c b a c 1    (*) a b c a bc 1 Áp dụng (*) ta có     1;  xy  yz  zx  xy  yz  zx x y y z zx (Vì xy  yz  zx     x  y  z  ) 2 yz zx xy Vậy      yz  yz   zx  zx   xy  xy x2  y  z 2 y  z  x2 z  x  y Do ta có    xyz  yz  zx  xy Đẳng thức xảy x  y  z  HẾT 1,0 ...SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO PHÚ THỌ ĐỀ CHÍNH THỨC ĐÁP ÁN-THANG ĐIỂM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH NĂM HỌC 2013-2014 Mơn: