Dãy số (Đề chọn đội tuyển ĐHSP HN) Cho dãy xác định a) Tìm giới hạn dãy b) Chứng minh Giải : x − 1) Ta có : an +1 = f ( an ) , với f ( x ) = ( 2− x Nhận xét : an + − an2 Kết hợp với a0 ∈ ( 0,1) Suy an ∈ ( 0,1) , ∀n ∈ N − an ( 1− x) ( − x) < * f '( x) = − dung Cauchy cho (3-x)(1-x) ta có : f ' ( x ) ≥ − ,với ( − x) * an +1 − = x ∈ ( 0,1) ⇒| f '( x) |≤ , ∀x ∈ ( 0,1) Xét ptr : f ( x0 ) = x0 , x0 ∈ ( 0,1) ⇒ x0 = − Ta có : xn −1 − x0 a1 − x0 → ⇒ lim an = x0 = − n →∞ an − x0 = f ( an −1 ) − f ( x0 ) = f ' ( ξ n ) xn −1 − x0 ≤ n −1 1 an − x0 ≤ ÷ 4 • Bình luận : 2,9 có chung dàng dung định lý Lagrange (Trường THPT chuyên Phan Chu Trinh, Đà Nẵng) Cho dãy số nguyên dương thỏa mãn: , với Tính giá trị Ý tưởng : sử dụng tính số nguyên để tìm x1 , x2 , x3 , x4 , x5 • x4 = x3 ( x2 + x1 ) • x5 = x4 ( x3 + x2 ) •144 = x6 = x5 ( x4 + x3 ) = x32 ( x3 + x2 ) ( x2 + x1 ) ( x2 + x1 + 1) (*) Ta thấy ( x2 + x1 ) , ( x2 + x1 + 1) hai ước liên tiếp 144 = 122 nên: x2 + x1 = (1) x + x + = x + x = (2) x2 + x1 + = TH1: suy x2 = x1 = , kết hợp với (*) ta có : x3 ( x3 + 1) = 72 2 TH2: kết hợp với (*) ta có : x3 ( x3 + x2 ) = 12 Ta thấy x3 ước phương 12 ⇒ x3 = ⇒ x3 + x2 = = + x2 ⇒ x2 = Nên • x4 = • x5 = 18 •144 = x7 = x6 ( x5 + x4 ) = 144(18 + 6) = (Trường THPT chuyên Bến Tre) Tìm cơng thức tổng qt dãy số sau: Đặt : = 3un ⇒ v1 = 3, +1 = + 3vn Nếu đặt = an − Do : 1 ⇒ +1 = an3 − an an ∀n ∈ N , = an − ( n−1) ⇒ = a13 − m 1 ⇒ + m = an3 − 3m , ∀n, m ∈ N an an n−1 3( ) a Trong a1 số thực cho : a1 − + 13 Khi , có ⇒ un = ÷ ÷ = v1 = Chọn a = + 13 a1 ( n −1) −3( n −1) + 13 − ÷ ÷ * Bình luận : Ý tưởng gần với việc giải ptr dạng x3 + 3x = m,| m |> (Đề chọn đội tuyển tỉnh Hưng Yên) Cho phương trình: với n ngun dương CMR phương trình cho có nghiệm thực với n nguyên dương cho trước Gọi nghiệm Tìm Lim n +1 Khảo sát hàm số : f n ( x) = x − x − f n '( x) = ( 2n + 1) x n − f n '( x) = ⇔ x = ± n ( 2n + 1) Kết hợp BBT nhận xét : * i ) f n '( x) < ⇔ − n