CHUYÊN ĐỀ DÃY SỐ NGUYÊN VÀ PHƯƠNG TRÌNH DIOPHANT Nguyễn Quang Tân THPT Chuyên Lào Cai Tóm tắt nội dung Đặc trưng phương trình kiểu Pell số phương trình quy phương trình kiểu Pell có tập nghiệm biểu diễn thông qua dãy số Vì từ phương trình Diophant ta tạo toán dãy số nguyên, tìm cách giải cho tốn Ví dụ đề thi học sinh giỏi Quốc Gia mơn tốn năm 1999 năm 2012 có hai toán dãy số, hai toán gắn với phương trình Diophant u2 − 5v2 = −4 x2 − 4xy + y2 + = mà quy phương trình kiểu Pell u2 − 3v2 = −2 Với cách tiếp cận viết nêu cách tạo số toán dãy số nguyên từ phương trình Diophant Xét phương trình u2 − Dv2 = (1) Nếu (u,v) nghiệm phương trình ±(u, v) nghiệm phương trình Vì viết ta quan tâm đến nghiệm nguyên dương Giả sử (u1 , v1 ) (u2 , v2 ) nghiệm nguyên dương phương trình (1) v1 < v2 u1 < u2 nên ta thứ tự tất nghiệm nguyên dương phương trình (1) theo v Ta gọi nghiệm nhỏ theo thứ tự nghiệm sở phương trình (1) Định lý (Phương trình Pell) Nếu D số nguyên dương số phương u2 − Dv2 = có vô hạn nghiệm nguyên dương nghiệm tổng quát cho (un , ) với n ≥ 1, un+1 = aun + Dbvn , vn+1 = bun + avn , (2) (u1 , v1 ) = ( a, b) nghiệm sở nghĩa nghiệm mà b > nhỏ Công thức truy hồi sinh đẳng thức Brahmagupta a2 + nb2 c2 + nd2 = ( ac − nbd)2 + n( ad + bc)2 = ( ac + nbd)2 + n( ad − bc)2 , (3) THPT CHUYÊN LÀO CAI Dãy số nguyên phương trình Diophant Ta viết ngắn dãy (un ) (vn ) xác định √ √ un + D = ( a + b D )n Từ ta có cơng thức (un ) (vn ) là: √ √ ( a + b D )n + ( a − b D )n un = ; √ √ ( a + b D )n − ( a − b D )n √ = D (4) Bạn đọc xem chứng minh định lý mục Solving Pell’s Equation tài liệu [1] Bây áp dụng định lý để tạo số toán dãy số Ví dụ Trước hết ta bắt đầu với phương trình đơn giản: u2 − 3v2 = (5) Phương trình có nghiệm sở ( a, b) = (2, 1) nên nghiệm tổng quát phương trình (un ; ) xác định bởi: u1 = 2;un+1 = 2un + 3vn v1 = 1;vn+1 = un + 2vn (6) Ta tìm công thức truy hồi cho dãy (vn ) từ (4) sử dụng (6) sau: vn+2 = un+1 + 2vn+1 = 2un + 2vn+1 + 3vn Thay un = vn+1 − 2vn vào đẳng thức ta vn+2 = 4vn+1 − Vậy dãy (vn ) xác định bởi: v1 = 1; v2 = 4; vn+2 = 4vn+1 − với n ≥ Tương tự dãy (un ) xác định cách độc lập u1 = 2, u2 = 7, un+2 = 4un+1 − 4un với n ≥ √ √ mà < √ < nên = un − un + un + √ √ √ √ nên un = 3vn Tương tự un − 3vn = un + √ Ta có un − = Từ kết ta phát biểu vài toán sau: (7) THPT CHUYÊN LÀO CAI Dãy số nguyên phương trình Diophant Bài toán Cho dãy số (vn ) xác định v1 = 1; v2 = vn+2 = 4vn+1 − với n ≥ Chứng minh 3v2n + ln số phương với n ≥ Bài toán Cho dãy số xác định u1 = 2, u2 = 7, un+2 = 4un+1 − 4un với n ≥ Chứng minh √ √ √ √ un = (2 + 3)n − (2 − 3)n Bây ta xét phương trình mà đưa phương trình (5) x2 − 4xy + y2 = (8) Phương trình biến đổi thành ( x − 2y)2 − 3y2 = Bằng cách đặt u = | x − 2y| v = y ta có u2 − 3v2 = Từ y = | x − 2y| = un un , xác định công thức (6) Xảy trường hợp: Nếu x − 2y = un x = un + 2vn = vn+1 Nếu x − 2y = −un x = −un + 2vn = vn−1 Vậy tất nghiệm nguyên dương phương trình (8) {vn , vn+1 } với n ≥ Từ ta phát biểu số toán sau Bài toán Cho dãy số (vn ) xác định v1 = 1; v2 = vn+2 = 4vn+1 − với n ≥ Hai số nguyên dương a, b thỏa mãn a2 − 4ab + b2 = Chứng minh tồn số nguyên dương k để { a, b} = {vk , vk+1 } Bài toán Cho dãy số (vn ) xác định v1 = 1; v2 = vn+2 = 4vn+1 − Chứng minh 4vn vn+1 + tổng hai bình phương Định lý (Phương trình kiểu Pell) Cho số ngun dương D khơng phải số phương N số nguyên khác Giả sử S0 tập hợp tất nghiệm phương trình x2 − Dy2 = N thỏa mãn điều kiện y2 ≤ max Nb2 , − Na2 D (9) , ( a, b) nghiệm nguyên sở phương trình u2 − Dv2 = Khi tất nghiệm phương trình (9) ( xn , yn ) xác định x1 = α, y1 = β, xn+1 = axn + Dbyn , yn+1 = bxn + ayn với n ≥ (α, β) ∈ S0 THPT CHUYÊN LÀO CAI Dãy số nguyên phương trình Diophant Bạn đọc tham khảo chứng minh định lý tài liệu [3] Ta gọi nghiệm thuộc tập S0 định lý nghiệm sở nghiệm sở xác định dãy ( xn , yn ) nghiệm phương trình (9) Ví dụ Bây ta xét phương trình x2 − 4xy + y2 = −2 (10) Ta viết lại phương trình: ( x − 2y)2 − 3y2 = −2 Bằng cách đặt u = | x − 2y|, v = y ta thu phương trình u2 − 3v2 = −2 (11) Nghiệm sở phương trình Pell tương ứng u2 − 3v2 = ( a, b) = (2, 1) Áp dụng định lý ta thấy phương trình (11) có nghiệm sở (u1 , v1 ) = (1, 1) Suy tất nghiệm nguyên dương phương trình (11) (un , ) xác định u1 = 1,un+1 = 2un + 3vn (12) v1 = 1,vn+1 = un + 2vn Kết chứng minh mà khơng cần sử dụng định lý (2) Thật quy nạp ta dễ dàng chứng minh u2n − 3v2n = −2 Bây ta sử nguyên lý cực hạn để chứng minh phương trình (11) khơng có nghiệm khác ngồi nghiệm ( u v , v n ) Giả sử tồn nghiệm ngun dương phương trình (10) mà khơng có dạng (un , ), gọi ( a, b) nghiệm nhỏ nghiệm Do đẳng thức Brahmagupta (3) nên (2a − 3b, 2b − a) thỏa mãn phương b 2 trình (11) Ta có b ≥ 4b > a = 3b − = b + − > b2 Do 4 b < a < 2b Suy (2a − 3b, 2b − a) nghiệm nguyên dương phương trình (11) 2b − a < b Do tính nhỏ ( a, b) nên tồn k để (2a − 3b, 2b − a) = (uk , vk ) Dẫn tới ( a, b) = (2uk + 3vk , uk + 2vk ) = (uk+1 , vk+1 ) Mâu thuẫn với cách chọn ( a, b) Từ ta có y = x = un + 2vn = vn+1 x = −un + 2vn = vn−1 Vậy tất nghiệm phương trình (10) {vn , vn+1 } với n ≥ Từ (12) ta xây dựng dãy (vn ) độc lập xác định v1 = 1, v2 = 3, vn+2 = 4vn+1 − với n ≥ (13) Từ kết ta đưa tốn sau: Bài toán Cho dãy (vn ) xác định v1 = 1, v2 = 3, vn+2 = 4vn+1 − a, b số nguyên dương thỏa mãn a2 + b2 + = 4ab Chứng minh tồn số nguyên dương k để a, b = (uk , vk ) THPT CHUYÊN LÀO CAI Dãy số nguyên phương trình Diophant Ta thấy tốn tốn: Bài tốn (VMO 2012) Xét số tự nhiên lẻ a, b mà a ước số b2 + b ước số a2 + Chứng minh a b số hạng dãy số tự nhiên (vn ) xác định v1 = v2 = = 4vn−1 − vn−2 với n ≥ Ta thấy dãy (vn ) xác định (7) thỏa mãn v2n+1 − 4vn vn+1 + v2n = dãy (vn ) xác định (13) thỏa mãn v2n+1 − 4vn vn+1 + v2n = −2 Như từ đẳng thức mà dãy số thỏa mãn ta xây dựng phương trình mà dãy nghiệm Xét dãy số Fibonacci cho F1 = 1, F2 = 1, Fn+2 = Fn+1 + Fn với n ≥ Dãy số thỏa mãn đẳng thức Fn2 − Fn Fn−1 − Fn2−1 = (−1)n+1 Hay chi tiết ta có: 2 F2n − F2n F2n−1 − F2n −1 = − 2 F2n +1 − F2n+1 F2n − F2n =1 Từ ta dự đốn kết sau: Bài tốn Tất nghiệm nguyên dương phương trình x2 − xy − y2 = −1 (14) ( F2n , F2n−1 ) với n ≥ Tất nghiệm nguyên dương phương trình x2 − xy − y2 = (15) ( F2n+1 , F2n ) với n ≥ Lời giải Ta thấy nghiệm nguyên dương phương trình (14) thỏa mãn x= 5y2 − y+ nên y tăng x tăng, nghiệm nguyên dương phương trình (14) thứ tự theo y Tương tự nghiệm nguyên dương phương trình (15) thứ tự theo y THPT CHUYÊN LÀO CAI Dãy số nguyên phương trình Diophant Giả sử phương trình (14) có nghiệm ngun dương khơng có dạng ( F2n , F2n−1 ), nghiệm gọi ( a, b) nghiệm nhỏ Dễ thấy a > b > (b, a − b) nghiệm phương trình (15), nghiệm khơng có dạng ( F2n+1 , F2n ) Vì tồn k để (b, a − b) = ( F2k+1 , F2k ) ( a, b) = ( F2k+1 + F2k , F2k+1 ) = ( F2k+2 , F2k+1 ) Điều mâu thuẫn với cách chọn ( a, b) Gọi (m, n) nghiệm nguyên dương nhỏ phương trình (15) khơng có dạng ( F2n+1 , F2n ) Ta có m > n > (n, m − n) nghiệm nguyên dương phương trình (14), lập luận tương tự ta thấy (n, m − n) khơng phải nghiệm có dạng ( F2n , F2n−1 ) Do cách chọn ( a, b) (m, n) ta có m − n ≥ b ≥ m Mâu thuẫn, tốn chứng minh Xét phương trình u2 − 5v2 = −4 (16) Nếu (u, v) nghiệm phương trình (16) u, v có tính chẵn lẻ Bằng u+v cách x = y = v ta phương trình (14) u+v , v = ( F2n , F2n−1 ) nên (u, v) = (2F2n − F2n−1 , F2n−1 ) Nên Ta đặt un = 2F2n − F2n−1 = F2n + F2n−2 = F2n−1 Do tính chất dãy ( Fn ) ta có: F2n+3 = 3F2n+1 − F2n−1 , F2n+4 = 3F2n+2 − F2n Suy dãy (un ), (vn ) xác định u1 = 1, u2 = 4, un+2 = 3un+1 − un v1 = 1, v2 = 2, vn+2 = 3vn+1 − Hai dãy số thỏa mãn hệ thức: un+1 = 3un + 5vn ; vn+1 = un + 3vn (17) Từ ta có tốn Bài toán (VMO 1999) Cho hai dãy số (un ) (vn ) với n ≥ xác định sau: u0 = 1, u1 = 4, un+2 = 3un+1 − un v0 = 1, v1 = 2, vn+2 = 3vn+1 − THPT CHUYÊN LÀO CAI Dãy số nguyên phương trình Diophant a) Chứng minh u2n − 5v2n + = 0; b) Giả sử tồn số nguyên dương a, b thỏa mãn a2 − 5b2 + = 0, chứng minh tồn số tự nhiên k cho uk = a, vk = b Bài toán Cho n số tự nhiên Chứng minh phương trình x2 + xy − y2 = n có nghiệm ngun có vơ số nghiệm ngun Trong báo The Method of Vieta Jumping [2] có tốn sau: Bài toán 10 Cho x, y số nguyên dương mà ab chia hết x2 + y2 + Chứng minh x2 + y2 + = xy (Bạn đọc xem lời giải tài liệu [2]) Từ toán đặt toán sau: Bài tốn 11 Giải phương trình: x2 + y2 + = 3xy (18) Lời giải Nhân vào vế phương trình ta 4x2 + 4y2 − 12xy = −4 từ ta có: (2x − 3y)2 − 5y2 = −4 Từ ta thu y = |2x − 3y| = un un + 3vn = vn+1 −un + 3vn Nếu 2x − 3y = −un x = = vn−1 Vậy tất nghiệm nguyên dương phương trình (18) { x, y} = {vn , vn+1 } Nếu 2x − 3y = un x = Như từ hai kết ta phát biểu tốn giống kiểu toán VMO 2012 sau: Bài toán 12 Cho a, b hai số nguyên dương thỏa mãn a chia hết b2 + b chia hết a2 + Chứng minh a, b hai số hạng dãy số (vn ) xác định bởi: v0 = 1, v1 = 2, vn+2 = 3vn+1 − Tài liệu [1] Titu Andreescu, Dorin Andrica, Ion Cucurezeanu, An Introduction to Diophantine Equations: A Problem-Based Approach, Springer, 2010 [2] Yimin Ge, The Method of Vieta Jumping, Mathematical Reflections 5, 2007 [3] Phan Huy Khải, Chuyên đề 5: Phương trình nghiệm nguyên, NXBGD, 2006