SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TÂY NINH KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 VÒNG TỈNH NĂM HỌC 2012 - 2013 Khóa thi ngày 06/11/2012 Môn: TOÁN Buổi thi thứ Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề) -ĐỀ THI CHÍNH THỨC (Đề thi gồm có 01 trang, thí sinh chép đề vào giấy thi) Bài 1: (5 điểm) Cho a, b, c số dương thỏa mãn điều kiện a + b + c = Chứng minh rằng: 27(ab + bc + ca − abc) ≤ 28 Baøi 2: (5 điểm) Kí hiệu ¢ + tập hợp số nguyên dương Xét hàm số f : ¢ + → ¢ + thỏa mãn điều kiện: ff (m) + f (n) = m+ n, với số nguyên dương m n Tính f(2012) Bài 3: (5 điểm) · Cho góc nhọn xAy cố định điểm B cố định miền nhọn · góc xAy Đường tròn (O) di động qua hai điểm A B, cắt tia Ax C (khác A) cắt tia Ay D (khác A) Tìm tập hợp trọng tâm G tam giác ACD Bài 4: (5 điểm) Cho S tập hợp tập hợp T = { 1; 2;3; ; 99;100} Giả sử S có 10 phần tử Chứng minh tồn tập khác rỗng X Y S cho X Y phần tử chung tổng phần tử X tổng phần tử Y - Hết - Biên tập: GV Huỳnh Quốc Hào SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TÂY NINH KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 VÒNG TỈNH NĂM HỌC 2012 - 2013 HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN BUỔI THI THỨ NHẤT Bài Hướng dẫn chấm Bài (5 ñieåm) a > 0, b > 0, c > Vì : nên số a, b, c tồn số a + b+ c = bé Giả sử a < Xeùt E = (1 - a)(1 - b)(1 - c) - a > 1/ Nếu E > - b - c dương (vì - b < - c < Điể m 1 − a + − b+ − c b+ c > Voâ lí), đó: E ≤ ÷ = 27 2/ Nếu E ≤ E ≤ 27 Trong hai trường hợp ta có E = (1 - a)(1 - b)(1 - c) ≤ 27 Suy ra: − (a + b + c) + ab + bc + ca − abc ≤ 27 ⇒ ab + bc + ca − abc ≤ +1 27 ⇒ 27(ab + bc + ca − abc) ≤ 28 (đfcm) Bài Từ giả thiết suy ra: f[2f(n)] =2n với n nguyên dương (5 f[2f(1)] = điểm) Ta có: f(1) = Thật vậy, giả sử f(1) = 1+ k với k số nguyên dương thì: f (k) + ff(1) = ff(2 (k)) + ff(2 (1)) 1 Dấu = xảy a = b = c = = f (2k + 2) = f [2(k + 1)] = ff[2 (1)] = ⇒ f (k) + ff(1) = ⇒ (k) = − k Vôlý Giả sử f(n) = n Khi đó: f(n+1) = f[f(n)+f(1)] = n + 1 1 Theo nguyên lý quy nạp, suy ra: f(n) = n, ∀n∈ ¢ + Vậy f(2012) = 2012 Biên tập: GV Huỳnh Quốc Hào Bài (5 điểm) · Đặt xAy = α Do A, B, C, D thuộc đường tròn (O) A, · B đối diện nên CBD = 1800 − α Mặt khác: · · · · BCD = BAD ; BDC = BAC Vậy tam giác BCD có số đo ba góc không đổi, tam giác BCD đồng dạng · · Gọi M trung điểm CD góc BMC có số đo ; BMD không đổi Đường tròn ngoại tiếp tam giác BMC cắt lại tia Ax K, đường tròn ngoại tiếp tam giác BMD cắt lại tia Ay L Ta · · có: BKA không đổi, suy K cố định Tương tự, = 1800 − BMC · · không đổi, suy L cố định BLA = 1800 − BMD 1 · · · · · · · Vì KML = KMB + BML = (1800 − BCA ) + (1800 − BDL ) = 1800 − BCA + BCA = 1800 Neân K, M, L thẳng hàng · Do B thuộc miền góc xAy nên tập hợp (l ) điểm M đoạn KL trừ hai điểm K, L Suy tập hợp trọng tâm G tam giác ACD ảnh (l ) qua phép vị tự tâm A, tỉ số Bài Ta xét trường hợp S có 10 phần tử (còn S có (5 10 phần tử, khảo sát tập S' có 10 phần tử điểm) S sau bỏ số phần tử S) Khi số tập khác rỗng S 210 − = 1023 Mỗi tập S có tổng phần tử không vượt tổng 10 phần tử lớn tập hợp T, tức bé 1000, suy có 1000 tổng khác Trong đó, S có 1023 tập khác rỗng Theo nguyên lý Dirichlet, phải tồn hai tập X, Y có tổng Giả sử tập hợp X, Y nói có phần tử chung, đó, ta xóa phần tử chung tập hợp Hai tập hợp tạo thành có hai tổng phần tử không tập rỗng sau xóa X, Y hai tập hợp khác khác rỗng - Hết Biên tập: GV Huỳnh Quốc Hào 1 1 ...SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TÂY NINH KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 VÒNG TỈNH NĂM HỌC 2 012 - 2013 HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN BUỔI THI THỨ NHẤT Bài Hướng dẫn chấm Bài (5 điểm) a >... f(n+1) = f[f(n)+f(1)] = n + 1 1 Theo nguyên lý quy nạp, suy ra: f(n) = n, ∀n∈ ¢ + Vậy f(2 012) = 2 012 Biên tập: GV Huỳnh Quốc Hào Bài (5 điểm) · Đặt xAy = α Do A, B, C, D thuộc đường tròn (O)... bc + ca − abc ≤ 27 ⇒ ab + bc + ca − abc ≤ +1 27 ⇒ 27(ab + bc + ca − abc) ≤ 28 (đfcm) Bài Từ giả thi? ??t suy ra: f[2f(n)] =2n với n nguyên dương (5 f[2f(1)] = điểm) Ta có: f(1) = Thật vậy, giả sử