THUẬT TOÁN CỘNG BALAS LUẬN VĂN TOÁN HỌC

  -Thuật toán cộng Balas Chương BÀI TỐN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH VỚI BIẾN BOOLEAN Trong chương trình bày tốn quy hoạch rời rạc, tốn quy hoạch tuyến tính với biến Boolean số toán thực tế dẫn đến tốn ĐỊNH NGHĨA BÀI TỐN QUY HOẠCH RỜI RẠC Trong toán quy hoạch tuyến tính, biến số nhận giá trị thực không âm Tuy nhiên, thực tiễn thường gặp tốn mà biến số nhận số hữu hạn hay đếm giá trị, thường giá trị nguyên Chẳng hạn vô nghĩa đưa câu trả lời: cần sản xuất nửa bàn hay cần thuê 2,7 ô tô để vận chuyển hàng hoá Trong số toán, chẳng hạn toán vận tải với lượng hàng cung cầu số nguyên phương pháp đơn hình cho lời giải số ngun, song nhiều tốn khác khơng phải Vì luận văn đề cập đến nội dung phương pháp giải toán tối ưu lưới điểm nguyên hay tập rời rạc, gọi tắt toán quy hoạch rời rạc Bài toán quy hoạch rời rạc có dạng sau: Tìm cực đại hàm  f  ( x, y ) phụ thuộc hai nhóm biến  x  y với ràng buộc có dạng:  g i ( x,  y ) ≤ , i = 1,2, , m;  x ∈ D đó,  x = ( x1 , x2 , , x p ) ,  y = ( y1 , y , , y q ) ,  p > , q ≥ ,  D tập hữu cho trước trước của n biến số ( hạn véc tơ   p - chiều,  f , g i hàm cho n =  p + q )   -Thuật toán cộng Balas Nếu  f , g i hàm tuyến tính  D lưới điểm ngun ta có tốn quy hoạch ngun tuyến tính , cịn  D tập véc tơ có thành phần hay ta có tốn quy hoạch nguyên - Nếu q = , nghĩa có biến rời rạc  x1 , x2 , , x p tốn gọi tốn quy hoạch ngun hồn tồn Cịn q > toán gọi toán quy hoạch nguyên phận Chú ý Sở dĩ toán quy hoạch rời rạc cịn gọi tốn quy hoạch ngun tốn với biến số nhận số hữu hạn giá trị cho trước, quy tốn biến số nhận giá trị nguyên Ví dụ dụ Giả sử biến  x biểu thị quy mô công suất nhà máy điện cần xây dựng lấy giá trị cho trước a1 , a2 , , ak  (các quy mô công suất tiêu chuẩn) Khi cách đặt :  x = a1u1 + a2 u + + ak u k  , với u1 + u + + u k  = , u j ∈{0,1} ,  j = 1,2, , k  biến rời rạc  x thay số biến u j nhận giá trị hay 1, gọi tắt biến - hay biến Boolean Tương tự,  x ∈{0,1, , k } ta viết  x = u1 + u + + u k , u j ∈{0,1} ,  j = 1,2, , k  nghĩa toán với biến nguyên nguyên bị chặn tuỳ ý, quy  bài tốn với biến - Điều cho thấy toán quy hoạch nguyên - giữ vai trò quan trọng quy hoạch rời rạc MỘT SỐ BÀI TOÁ TOÁN N DẪN ĐẾN BÀI TOÁN TOÁN QUY HOẠCH HOẠCH TUYẾN TUYẾN TÍNH VỚI BIẾN BOOLEAN 2.1 Bài tốn túi   -Thuật tốn cộng Balas Có túi chứa nhiều trọng lượng vật cần mang, đồ vật   j nặng a , giá trị j c  j b, có n đồ Bài tốn đặt cho đồ vật vào túi để tổng giá trị lớn Ký hiệu  x  j số đồ   j vật đưa vào túi Dạng toán học toán là: n ∑c  j x  j →max   j =1 n ∑a  j x  j ≤b   j =1  x  j ≥ 0, x  j ∈ Z    Ví dụ Có túi chứa nhiều 62 kg, có 10 đồ vật cần mang 30 x1 +19 x2 +13 x3 + 38 x4 + 20 x5 + 6 x6 + 8 x7 +19 x8 +10 x9 +11 x10 →max 15 x1 +12 x2 + 9 x3 + 27 x4 +15 x5 + 5 x6 + 8 x7 + 20 x8 +12 x9 +15 x10 ≤ 62    x  j ∈{ 0,1},  j =1,2, ,10 Đáp số: trị tối ưu hàm mục tiêu 95, phương án tối ưu (1,1,0,1,0,0,1,0,0,0) 2.2 Bài tốn phân việc Có n đơn vị cần sản xuất n loại sản phẩm, cij chi phí cho đơn vị i   sản xuất sản phẩm  j Hãy phân công đơn vị sản xuất sản phẩm để tổng chi phí nhỏ Dạng toán họcn toán là: n ∑ ∑ cij xij → i =1  j =1 n ∑ xij = 1, i = 1,2, , n  j =1 n ∑ xij = 1,  j = 1,2, , n i =1  xij ∈ { 0;1} ; i = 1,2, , n ;  j = 1,2, , n   Thuật toán cộng Balas Ví dụ Có đơn vị sản xuất loại sản phẩm với ma trận chi phí sau:   10000 400000 20000 40000 30000 3500000 200000 500000 800000 550000 750000 500000 700000 400000 600000 450000 Đáp số  Trị tối ưu hàm mục tiêu 3200000 Phương án tối ưu là:  x[1,1] = x[ 2,4] = x[ 3,2 ] = x[ 4,3] = 2.3 Bài toán người du lịch Cho đồ thị G = (V , E ) , V  tập n đỉnh,  E  tập n cạnh Gọi độ dài cung nối từ đỉnh i đến đỉnh j, cij ≠ c  ji cii = ∞ cij với i Một chu trình Hamilton Hamilton chu trình sơ cấp mà tương đương với việc xuất phát từ đỉnh cho trước, qua đỉnh khác lần trở lại đỉnh xuất phát Tổng khoảng cách cạnh hành trình độ dài hành trình Mục tiêu tốn người du lịch tìm chu trình Hamilton có độ dài ngắn Đặt  xij =1 cung (i, j ) chọn trái lại Dạng toán học toán là: n n ∑∑cij xij →min i =1  j =1 n ∑ x   j =1 ij =1, i =1, 2, , n   10 -Thuật toán cộng Balas n  x ∑ = ij =1,   j =1, 2, , n i  xij ∈{0, 1}, i,   j =1, 2, , n u i − u  j + nx ij ≤ n − , ≤ i ≠  j ≤ n   ui nhận giá trị nguyên hay thực Hai tập ràng buộc đầu biểu thị thành phố thăm lần Ràng buộc cuối đưa vào để hành trình tốn chứa chu trình Bài tốn người du lịch toán quen thuộc tiếng tối ưu rời rạc Tuy số phương án toán hữu hạn (bằng n ! tốn có n thành phố) với n cỡ hàng ngàn trở lên số phương án lớn, cách duyệt tồn khơng thể thực được, có trợ giúp máy tính cực mạnh Little J.D, Murty K.G, Sweeney D.W Karel C 1963 người sử dụng thành công   phư phương ơng pháp pháp nhánh nhánh cận để giải toán toán ngườ ngườii du lịch lịch cho  phương pháp với nhiều cải tiến khác công cụ chủ yếu để giải toán đề 2.4 Bài tốn với chi phí cố định Xét tốn tối ưu có dạng sau: n    f  ( x ) = ∑ f   j ( x  j ) : x = ( x1 , x , ,  x n ) ∈ D   j −1    D ⊂ R n tập lồi đóng và: +  d  j + c  j x  j  f   j ( x  j ) =  0  x  j >  x  j = (  j = 1, 2, , n )   11 -Thuật toán cộng Balas Giả thiết d   j > với   j =1,2, , Các số n d   j thường hiểu chi  phí cố định cần thiết để đưa phương thức sản xuất   j vào hoạt động, khơng phụ thuộc vào cường độ sử dụng phương thức Giả sử biết  x  j   j cận biến  x , tức là:  p  j ≥ max  x  j : x ∈ D     j 1, 2, , n  p  j = Khi ta đưa tốn tốn tương đương với dạng: n ∑(c  j x  j + d i xi ) →min   j =1  x ∈ D, ≤ x  j ≤  p  j y  j ,  y  j ∈{0, 1},   j =1, 2, , n 2.5 Bài tốn xếp hàng vào cơng ten nơ rỗng loại Có n loại hàng hố cần xếp lên công ten nơ rỗng với tải trọng công ten nơ T  dung lượng  K  Hàng hoá loại   j   j có trọng lượng =1, 2, , n a  j , khối lượng b  j số lượng cần vận chuyển  s  j ( ) Hãy tìm cách xếp tất số hàng hố lên cơng ten nơ cho dùng công ten nơ nhất? Giả sử ta biết m số công ten nơ tối đa cần thiết để chở hết số hàng hoá Chẳng hạn, số m tìm theo cách: xếp dần đồ vật lên công ten nơ theo thứ tự tuỳ ý, tiếp kia, trọng lượng hay dung tích cơng ten nơ dùng hết Tiếp sử dụng cơng ten nơ tiếp theo… Gọi  xij số đồ vật   j chở công ten nơ  i , giá trị hay tuỳ theo có dùng cơng ten nơ  i hay khơng Dạng toán học toán là:  yi biến nhận   12 -Thuật toán cộng Balas m  y ∑ = i →min i n ∑a  x   j =1   j ij ≤Ty i , i =1, 2, , m n ∑b  x ≤ Ky , i =1, 2, , m  x = s ,   j =1, 2, , n ∑ =   j =1   j ij i m ij   j i ∈{0, 1, 2, ,  s  j } i =1, 2, ,  yi ∈{0, 1} i =1, 2, , m  xij m,   j =1, 2, , n Hai nhóm ràng buộc đầu biểu thị u cầu khơng chuyên chở tải trọng dung lượng công ten nơ sử dụng (  yi =1 ), cịn cơng ten nơ  khơng sử dụng ( y i = ) cần phải rỗng Nhóm ràng buộc thứ ba biểu thị đồ vật cần xếp vào cơng ten nơ 2.6 Bài tốn chọn địa điểm đặt nhà máy Đây toán đầu tư, phức tạp so với toán sản xuất - đầu tư Cái khó khơng phải chi phí đầu tư tính đến mà cịn có chi phí khác phụ thuộc vào địa điểm đặt nhà máy, cụ thể chi phí vận chuyển Cũng cịn khó khăn nữa, chi phí đầu tư trả lần, cịn chi phí vận chuyển xuất thường xun Để làm cho chi phí so sánh với phải xét thêm chi phí vận chuyển trongg thời kỳ khác nhau, tất nhiên tron nhiên quy đổi so với thời kỳ đầu Nói cách khác, cần thêm vào hệ số nhân thích hợp chi phí vận chuyển Ta ký hiệu:  P  số địa điểm thích hợp đặt nhà máy  N  số nhà máy khác xây dựng ( N  ≤ P ), địa điểm đặt nhiều nhà máy   13 -Thuật toán cộng Balas M  số vật phẩm khác sản xuất hay tiêu dùng ais ais < lượng vật phẩm i sản xuất (nếu 0) nhà máy  s ( i =1, 2, , M  ;  s =1, 2, , ais > N  0), hay tiêu dùng (nếu ) bi nhu cầu vật phẩm i nhà máy sản xuất (nếu nhà máy tiêu dùng (nếu bi < 0) bi > 0), hay   d  ps chi phí lắp đặt nhà máy  s địa điểm  p(  p =1, 2, , P ) c pq chi phí vận chuyển đơn vị hàng địa điểm  p q     f   st  lượng hàng cần vận chuyển (trong thời kỳ) từ nhà máy  s tới nhà máy t  λ  hệ số chuyển đổi làm cho chi phí vận chuyển so sánh với chi  phí đầu tư  x ps biến xác định vị trí, nhận giá trị hay tuỳ thuộc vvào nhà máy  s   có đặt vị trí  p hay khơng Bài tốn đặt cần xác định địa điểm đặt nhà máy cho tổng chi phí xây dựng vận chuyển hàng nhỏ Ta đến toán quy hoạch nguyên phi tuyến:  P   N   P   ps  ps  ps  ps ∑∑d   x ∑∑a  x  p =1  s =1  P   N  is  ps  ps  P   N   N   p  pq q  st   p  ps s qt  + λ  p∑ =1 ∑ q =1  s =1 t =1 ∑∑c   f    x  x →min ≥ bi , i =1, 2, , M   p =1  s =1  N  ∑ x  ps  ps ≤1,  p =1, 2, ,  P   s =1  x ps  ps ∈{0, 1},  p =1, 2, ,  N  2.7 Tìm tập ổn định đồ thị Cho đồ thị G, có n đỉnh,  E  tập cạnh đồ thị Tìm tập đỉnh có nhiều phần tử đồ thị cho khơng có hai đỉnh kề   14 -Thuật toán cộng Balas Ta thêm vào biến 0-1: =1 đỉnh  x  j   j chọn, trái lại Dạng toán học toán là: n ∑ x  j →max   j =1  xi + x  j ≤1 ∀(i,   j )∈ E   x  j ∈{0, 1},   j =1, 2, , n Nếu đỉnh   j có trọng số c  j >0 ta có tốn tìm tập ổn định có trọng số lớn nhất: n ∑c  j x  j →max   j =1  xi + x  j ≤1 ∀(i,   j )∈ E   x  j ∈{0, 1},   j =1, 2, , n 2.8 Bài to tốn tì tìm sắc tố tố Tìm số màu tối thiểu để tô đỉnh đồ thị cho hai đỉnh kề có màu khác Giả sử đồ thị G = (V , E ) , V  tập n đỉnh,  E  tập m   cạnh Cần tối đa n màu đồ thị có n đỉnh Đặt hai biến  yk  =1  x  jk  màu k  dùng, trái lại =1 đỉnh   j tô màu k  , trái lại Dạng toán học toán là: n ∑ y   k =1   k  → n ∑ x  jk  =1,   j =1, 2, , n k =1   + x  jk  ≤ y k  , ∀(i,   j )∈ E , k  =1, 2, ,  y k  ,  x  jk  ∈{0, 1}, k ,   j =1, 2, , n  xik  n đó, ràng buộc thứ biểu thị đỉnh tô màu, ràng buộc thứ hai biểu thị hai đỉnh kề không tô màu   15 -Thuật toán cộng Balas 2.9 Bài tốn tìm số màu Hãy tìm số màu tối thiểu để tô cạnh đồ thị kề không tô màu Giả sử đồ thị G G cho hai cạnh có n đỉnh, m cạnh,  E  tập cạnh đồ thị Tối đa cần dùng m màu để tô m cạnh Ký hiệu  yk  =1 màu k  dùng, trái lại  x  jk  aij =1 cạnh   j tô màu =1 đỉnh i k  , trái lại mút cuối cạnh   j trái lại Dạng toán học toán là: m ∑ y   k =1 k  → m  x ∑ = =1,   j =1, 2, , m   jk  k    m a  x ∑ = ij   jk  ≤  y k  , k  =1, 2, , m; i =1, 2, , n k   y k  ,  x  jk  ∈{0,1},   j , k  =1, 2, , m đó, ràng buộc thứ biểu thị cạnh tô màu, ràng buộc thứ hai biểu thị khơng tơ màu cạnh có chung đỉnh 2.10 Bài toán phủ đỉnh Cho đồ thị G = (V , E ) , V  tập n đỉnh,  E  tập m cạnh Tìm số đỉnh đồ thị G cho cạnh có đầu mút chọn Ứng dụng: tìm cách đặt trạm quan sát (hoặc cửa hàng, trạm điện thoại, trung tâm dịch vụ) ngã ba, ngã tư … cho quan sát tuyến đường khu phố với số trạm Ta đưa vào biến 0-1  x  j trái lại Dạng toán học toán: =1 đỉnh   j chọn,   55 -Thuật toán cộng Balas Vậy, S 1 = {3} 1a  y = (3, −3, 1) ≥ /0 1b T  = { 2, 5} 1c i = : ≥   j = : = ,   j = : −1 −1 = −2   Vậy, 1a 1d  y cx { } 2 S  = 3, ( x =( 0,1,1, 0, 0)) =(0, 3, 0) ≥0 ( S 2 ˆ ←(0,1,1, 0, 0) =17 < ∞,  z ←17 , x = (3, − 3, 1) ≥ /0 1a  y 1b T  = {5} 1c i = : −3 + < ( S 3 S  = { − 3} 1a  y =( −2, 0, −1) ≥ /0 1b T  = {1, 4} 1c i =1 : − +1 +1 =   duyệt xong)  _  S 3 = {3, − 2} duyệt xong) i =3 : −1