LỜI GIẢI xác SUẤT

Tư mở trắc nghiệm toán lý Sưu tầm tổng hợp 160 CÂU VD TỔ HỢP XÁC SUẤT Môn: Tốn (Đề thi có 61 trang) Thời gian làm phút (160 câu trắc nghiệm) Họ tên thí sinh: Mã đề thi 142 Câu Cho chữ số 1, 2, 3, 4, Lập số tự nhiên có chữ số đôi khác từ chữ số cho Tính tổng tất số lập A 12312 B 21321 C 21312 D 12321 Lời giải Xét tập X = {1, 2, 3, 4, 6} Số số tự nhiên có ba chữ số đơi khác lấy từ tập X × × = 60 Do vai trò chữ số nhau, nên số lần xuất chữ số tập X hàng 60 = 12 trăm, hàng chục, hàng đơn vị Tống số lập S = (1 + + + + 6) × 12 × 111 = 21312 Chọn đáp án C Câu Cho tập hợp A = {1; 2; 3; 4; ; 100} Gọi S tập hợp gồm tất tập A, tập gồm phần tử A có tổng 91 Chọn ngẫu nhiên phần tử S Xác suất chọn phần tử có ba số lập thành cấp số nhân B C D A 645 645 645 645 Lời giải Trước tiên, ta đếm số phần tử S Mỗi tập thuộc S có dạng {a, b, c}, < a < b < c < 100, a + b + c = 91 Khi ta có 91 ≥ a + (a + 1) + (a + 2) nên a ≤ 29 90 − a Với ≤ a ≤ 29, ta có b + c = 91 − a, mà c ≥ b + nên 2b ≤ 90 − a ⇒ b ≤ 90 − a − a cách chọn b b ≥ a + nên có 29 90 − a Suy số tập A thuộc S − a = 645 a=1 Hay số phần tử không gian mẫu n(Ω) = 645 Tiếp theo, ta đếm số cấp số nhân S Vì số hạng cấp số nhân số nguyên dương m nên công bội số hữu tỷ dương, giả sử số bé cấp số nhân a công bội , với n a, m, n ∈ Z+ , a ≤ 30; m > n, ƯCLN(m, n) = m m2 Khi ta có a + + = 91 ⇔ a (m2 + mn + n2 ) = 91n2 n n Vì ƯCLN(m, n) = nên ƯCLN (m2 + mn + n2 , n2 ) = nên suy a n2 Mà a ≤ 30 nên n2 ≤ 30 ⇒ n ≤ • Với n = 1, ta có a (m2 + m + 1) = 91 Phương trình có nghiệm nguyên dương (a; m) ∈ {(1; 9), (7; 3), (13; 2)}, nên có cấp số nhân (1; 9; 81), (7; 21; 63), (13; 26; 52) • Với n = 2, ta có a (m2 + 2m + 4) = 364, khơng có nghiệm ngun dương • Với n = 3, ta có a (m2 + 3m + 9) = 819, khơng có nghiệm ngun dương • Với n = 4, ta có a (m2 + 4m + 16) = 1456, khơng có nghiệm ngun dương • Với n = 5, ta có a (m2 + 5m + 25) = 2275 Phương trình có nghiệm ngun dương (a; m) = (25; 6), ta nhận cấp số nhân (25; 30; 36) Trang 1/61 − Mã đề 142 Vậy có cấp số nhân S Gọi A biến cố “chọn phần tử có ba số lập thành cấp số nhân” n(A) = 4 n(A) = Suy ra: P(A) = n(Ω) 645 Chọn đáp án B Câu Từ hai chữ số lập số tự nhiên có chữ số cho khơng có hai chữ số đứng cạnh nhau? A 55 B 108 C 54 D 110 Lời giải • Trường hợp Có chữ số Trường hợp có số • Trường hợp Có chữ số 1, chữ số Có cách xếp chữ số nên có số • Trường hợp Có chữ số 1, chữ số Xếp số ta có cách Từ số ta có có chỗ trống để xếp số Cho nên ta có C27 = 21 số • Trường hợp Có chữ số 1, chữ số Tương tự trường hợp 3, từ chữ số ta có chỗ trống để xếp chữ số Cho nên ta có C36 = 20 số • Trường hợp Có chữ số 1, chữ số Từ chữ số ta có chỗ trống để xếp chữ số Cho nên ta có C45 = Vậy có + + 21 + 20 + = 55 số Chọn đáp án A Câu Một túi đựng 10 thẻ đánh số từ đến 10 Rút ngẫu nhiên ba thẻ từ túi Xác suất để tổng số ghi ba thẻ rút số chia hết cho 2C33 + C34 + C13 C13 C14 2C13 C13 C14 A B C310 C310 2C33 + C34 D C C310 Lời giải Số cách rút ngẫu nhiên ba thẻ từ túi có 10 thẻ là: C310 cách Trong số từ đến 10 có ba số chia hết cho 3, bốn số chia cho dư 1, ba số chia cho dư Để tổng số ghi ba thẻ rút số chia hết cho ba thẻ phải có số ghi thỏa mãn: • Ba số chia hết cho • Ba số chia cho dư • Ba số chia cho dư • Một số chia hết cho 3, số chia cho dư 1, số chia cho dư Do số cách rút để tổng số ghi ba thẻ rút số chia hết cho C33 + C34 + C33 + C13 C14 C13 cách 2C33 + C34 + C13 C13 C14 Vậy xác suất cần tìm C310 Chọn đáp án A Trang 2/61 − Mã đề 142 Câu Có 12 người xếp thành hàng dọc (vị trí người hàng cố định) Chọn ngẫu nhiên người hàng Tính xác suất để người chọn khơng có hai người đứng cạnh 21 55 B C D A 110 55 126 11 Lời giải Khơng gian mẫu Ω có n(Ω) = C312 = 220 Giả sử chọn người có số thứ tự hàng a, b, c Theo giả thiết ta có a < b < c b − a > 1, c − b > nên a < b − b < c − Suy ≤ a < b − < c − ≤ 10 Đặt a = a, b = b − 1, c = c − 2, ta có ≤ a < b < c = c − ≤ 10 Gọi A biến cố chọn ngẫu nhiên người hàng Việc chọn ngẫu nhiên người hàng tương ứng với việc chọn số a , b , c tập hợp {1; 2; 3; ; 10} nên có n(A) = C310 = 120 120 n(A) = = Vậy P (A) = n(Ω) 220 11 Chọn đáp án D Câu Một tổ học sinh có nam nữ yêu cầu xếp thành hàng ngang Số cách xếp cho khơng có bạn nữ đứng cạnh A 9! B 25200 C 151200 D 86400 Lời giải Coi ghế xếp hàng ngang đánh theo số thứ tứ từ đến minh họa Số cách chọn có bạn nữ đứng cạnh 3! · 7! Xét trường hợp có bạn nữ đứng cạnh • Chọn hai bạn nữ ba bạn nữ để xếp cạnh có C23 cách • Nếu xếp hai bạn nữ vào vị trí ghế (1; 2) (8; 9) bạn nữ cịn lại chọn vị trị ghế để không cạnh hai bạn nữ vừa xếp Do số cách xếp để có hai bạn nữ cạnh · 2! · · 6! = 17280 cách • Nếu xếp hai bạn nữ vào vị trí (2; 3) (3; 4) (4; 5) (5; 6) (6; 7) (7; 8) bạn nữ cịn lại chọn vị trị ghế để không cạnh hai bạn nữ vừa xếp Do số cách xếp để có hai bạn nữ cạnh · 2! · · 6! = 43200 cách Vậy số cách xếp để khơng có hai bạn nữ đứng cạnh 9! − 3! · 7! − C23 · (17280 + 43200) = 151200 Chọn đáp án C Câu Một xưởng sản xuất thực phẩm gồm kỹ sư chế biến thực phẩm, kỹ thuật viên 13 công nhân Để đảm bảo sản xuất thực phẩm chống dịch Covid-19, xưởng cần chia thành ca sản xuất theo thời gian liên tiếp cho ca có người và2 ca cịn lại ca có7 người Tính xác suất cho ca có kĩ thuật viên, kĩ sư chế biến thực phẩm 440 41 441 401 A B C D 3320 230 3230 3320 Lời giải Gọi biến cố cần tính xác suất biến cố A: “Mỗi ca có kĩ thuật viên, kĩ sư chế biến thực phẩm” Trang 3/61 − Mã đề 142 • TH1: Ca có kĩ sư Số cách chọn người ca C13 · C24 · C313 = 5148 Số cách chọn người ca C12 · C12 · C510 = 1008 Số cách chọn người ca cách Suy số cách chọn 5148.1008 • TH2: Ca có kĩ sư Số cách chọn người ca C13 · C14 · C413 = 8580 Số cách chọn người ca C12 · C12 · C49 = 756 Số cách chọn người ca cách Suy số cách chọn 8580 · 756 • TH3: Ca có kĩ sư cách chọn tương tự TH2 nên ta có số cách chọn 8580 · 756 Vậy xác suất cần tìm P (A) = 5148 · 1008 + · (8580 · 756) 441 = 7 C20 · C14 · C7 3230 Chọn đáp án C Câu Kết (b; c) việc gieo súc sắc cân đối đồng chất hai lần (trong b số chấm xuất lần gieo đầu, c số chấm xuất lần gieo thứ hai) thay vào x2 + bx + c phương trình = (∗) Xác suất để phương trình (∗) vơ nghiệm x+1 17 19 A B C D 36 36 Lời giải Để phương trình (∗) vơ nghiệm phương trình x2 + bx + c = 0(∗∗) có trường hợp xảy ra: TH1: PT (∗∗) có nghiệm kép x = −1 Suy ∆ = b2 − 4c = ⇔ 1−b+c=0 b2 = 4c ⇔ b2 = 4b − ⇔ b = ⇒ c = c=b−1 ⇒ b=2 c = √ TH2: PT (∗∗) vô nghiệm ⇔ ∆ = b2 − 4ac < ⇔ b2 < 4c ⇔ b√ ⇒ c ∈ {1; 2; 3; 4; 5; 6} ⇒ có cách chọn c • Với b = 2, ta có: c > ⇒ c ∈ {2; 3; 4; 5; 6} ⇒ có cách chọn c • Với b = 3, ta có: c > ⇒ c ∈ {3; 4; 5; 6} ⇒ có cách chọn c • Với b = 4, ta có: c > ⇒ c ∈ {5; 6} ⇒ có cách chọn c Do có + + + = 17 cách chọn {b; c} để phương trình (∗∗) vơ nghiệm Gieo súc sắc lần nên số phần tử không gia mẫu n(Ω) = · = 36 + 17 Vậy xác suất để phương trình (∗∗) vơ nghiệm = 36 Chọn đáp án D Câu Tập S gồm số tự nhiên có chữ số khác thành lập từ chữ số 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; Chọn ngẫu nhiên số từ tập S Xác suất để số chọn khơng có hai chữ số chẵn đứng cạnh 13 11 29 97 A B C D 80 70 140 560 Trang 4/61 − Mã đề 142 Lời giải Số cách lập số tự nhiên có chữ số khác thỏa đề A69 − A58 = 53760 Ta có khơng gian mẫu n(Ω) = 53760 Gọi biến cố A: “Số tự nhiên có chữ số khác khơng có hai chữ số chẵn đứng cạnh nhau.” TH Số có chữ số khác có chữ số lẻ, chữ số chẵn chữ số chẵn không đứng cạnh Số cách chọn chữ số lẻ để xếp: A34 Số cách chọn chữ số chẵn để xếp • có chứa chữ số 0: C24 • khơng chứa chữ số 0: C34 Như có A34 · C24 (C34 · 3! − C23 · 2!) + A34 · C34 · C34 · 3! = 2592 + 2304 = 4896 cách lập TH Số có chữ số khác có chữ số lẻ, chữ số chẵn chữ số chẵn không đứng cạnh Số cách chọn chữ số lẻ để xếp A44 Số cách chọn chữ số chẵn để xếp • có chứa chữ số 0: C14 • khơng chứa chữ số 0: C24 Như có A44 · C14 (C25 · 2! − C14 ) + A44 · C34 · C25 · 2! = 1536 + 2880 = 4416 cách lập Ta có n(A) = 9312 n(A) 9312 97 Ta có P(A) = = = n(Ω) 53760 560 Chọn đáp án D Câu 10 Một quân vua đặt ô bàn cờ Mỗi bước di chuyển, quân vua chuyển sang ô khác chung cạnh đỉnh với ô đứng (xem hình minh họa) Bạn An di chuyển quân vua ngẫu nhiên bước Tính xác suất sau cho bước quân vua trở ô xuất phát 3 B C D A 32 16 64 32 Lời giải Bước di chuyển quân vua có cách, bước di chuyển thứ hai quân vua có cách bước di chuyển thứ ba quân vua có cách Vậy số phần tử không gian mẫu n (Ω) = 83 Gọi A biến cố: “Sau ba bước quân vua trở ô xuất phát” Xét hai trường hợp sau: • Trường hợp Trước tiên di chuyển qn vua sang đen liền kề có cách, di chuyển quân vua sang ô trắng có chung cạnh đen có chung đỉnh cạnh xuất phát qn vua có cách, cuối di chuyển quân vua vị trí cũ có cách Do có · · = 16 cách • Trường hợp Trước tiên di chuyển qn vua sang trắng đánh có chung đỉnhvới cạnh qn vua đứng có cách, di chuyển quân vua sang ô đen cạnh qn vua xuất phát có cách, cuối di chuyển qn vua vị trí cũ có cách Do có · · = cách Trang 5/61 − Mã đề 142 Suy số kết thuận lợi biến cố A n(A) = 16 + = 24 cách n(A) 24 = = Vậy xác xuất cần tính P(A) = n (Ω) 64 Chọn đáp án C Câu 11 Chọn ngẫu nhiên số tự nhiên có năm chữ số Tính xác suất để số chọn có dạng abcde ≤ a ≤ b ≤ c ≤ d ≤ e ≤ 143 138 11 B C D A 200 10000 1420 Lời giải • Gọi Ω không gian mẫu phép thử Ta có n (Ω) = · 104 • Gọi A biến cố: “ Lấy số dạng abcde ≤ a ≤ b ≤ c ≤ d ≤ e ≤ 9” Ta có ≤ a < b + < c + < d + < e + ≤ 13 Suy n(A) = C513 n(A) C513 143 Vậy P (A) = = = n(Ω) · 10 10000 Chọn đáp án B Câu 12 Gọi S tập hợp số tự nhiên có ba chữ số (khơng thiết khác nhau) lập từ chữ số 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; Chọn ngẫu nhiên số abc từ S Tính xác suất để số chọn thỏa mãn a ≤ b ≤ c 13 11 A B C D 60 60 Lời giải Số phần tử không gian mẫu n(Ω) = · 109 = 900 Gọi biến cố A:“Chọn số thỏa mãn a ≤ b ≤ c ” Vì a ≤ b ≤ c mà a = nên chữ số khơng có số Trường hợp 1: Số chọn có chữ số giống có số Trường hợp 2: Số chọn tạo hai chữ số khác Số cách chọn chữ số khác từ chữ số C29 Mỗi chữ số chọn tạo số thỏa mãn yêu cầu Vậy có · C29 số thảo mãn Trường hợp 3: Số chọn tạo ba chữ số khác Số cách chọn chữ số khác từ chữ số C39 Mỗi chữ số chọn tạo số thỏa mãn yêu cầu Vậy có C39 số thỏa mãn Vậy n(A) = + · C29 + C39 = 165 165 11 n(A) = = Xác suất biến cố A P(A) = n(Ω) 900 60 Chọn đáp án C Câu 13 Chọn ngẫu nhiên số từ tập số tự nhiên có năm chữ số đôi khác Xác suất để số chọn có mặt chữ số 2, 23 1 A B C D 378 648 Lời giải Ta có không gian mẫu n(Ω) = 9A49 = 27216 Gọi biến cố A: “Số chọn có mặt chữ số 2, 4” Vì số cần tìm phải có mặt đủ chữ số 2; 3; nên ta chia trường hợp sau: Trường hợp 1: a = Các chữ số 3; có A24 = 12 cách chọn vị trí Hai chữ số cịn lại có A27 = 42 cách chọn Vậy có 12 · 42 = 504 số Trường hợp 2: a = 3.Tương tự trường hợp ta có 504 số Trang 6/61 − Mã đề 142 Trường hợp 3: a = Tương tự trường hợp ta có 504 số Trường hợp 4: a = {2; 3; 4; 0} có cách chọn a Các chữ số 2; 3; có A34 = 24 cách chọn vị trí Một chữ số cịn lại có cách chọn Vậy có · 24 = 144 số Do n(A) = 504 · + 144 = 1656 Xác suất để số chọn có mặt chữ số 2, P(A) = n(A) 1656 23 = = n(Ω) 27216 378 Chọn đáp án A Câu 14 Cho tập hợp A = {1; 2; 3; ; 2018} số a, b, c thuộc A Hỏi có số tự nhiên có dạng abc cho a < b < c a + b + c = 2016 A 2026086 B 2027080 C 337681 D 338184 Lời giải Xét phương trình a + b + c = 2016 Phương trình có C22015 nghiệm (a; b; c) Ta tìm nghiệm mà có cặp số trùng • Trường hợp a = b = c ⇒ a = b = c = 2016 = 672, trường hợp có nghiệm • Trường hợp Chỉ có số trùng Nếu a = b 2a + c = 2016, suy số c nhận giá trị chẳn 2; 4; ; 2014 nên có 1007 nghiệm, trừ nghiệm (672; 672; 672) ta 1006 nghiệm Xét tương tự b = c, c = a, trường hợp có × 1006 = 3018 nghiệm Suy ra, phương trình a + b + c = 2016 có C22015 − − 3018 = 2026086 nghiệm (a; b; c) 2026086 = 337681 nghiệm ba số a, b, c đôi khác Trong số 2026086 nghiệm trên, có 3! thỏa mãn a < b < c Vậy có tất 337681 số tự nhiên abc thỏa đề Chọn đáp án C Câu 15 Đề thi trắc nghiệm mơn Tốn gồm 50 câu hỏi, câu có phương án trả lời có phương án trả lời Mỗi câu trả lời 0, điểm Một học sinh không học nên câu trả lời chọn ngẫu nhiên phương án Xác suất để học sinh điểm 25 25 25 3 25 25 · C50 · 4 4 A B 50 50 4 25 25 25 25 3 25 C · D C50 · 4 4 Lời giải Học sinh làm điểm làm 25 câu số 50 câu, 25 câu lại làm sai Xác suất để học sinh câu , làm sai câu Do xác suất để học 4 25 sinh làm 25 câu số 50 câu C25 50 · 25 Xác suất để hoạc sinh làm sai 25 câu lại 25 25 Vậy xác suất để học sinh làm điểm : C25 · 50 4 Chọn đáp án D Câu 16 Trò chơi quay bánh xe số chương trình truyền hình "Hãy chọn giá đúng" kênh VTV3 Đài truyền hình Việt Nam, bánh xe số có 20 nấc điểm: 5, 10, 15, , 100 với vạch chia Trang 7/61 − Mã đề 142 giả sử khả chuyển từ nấc điểm có tới nấc điểm cịn lại Trong lượt chơi có người tham gia, người quyền chọn quay lần, điểm số người chơi tính sau: + Nếu người chơi chọn quay lần điểm người chơi điểm quay + Nếu người chơi chọn quay lần tổng điểm quay khơng lớn 100 điểm người chơi tổng điểm quay + Nếu người chơi chọn quay lần tổng điểm quay lớn 100 điểm người chơi tổng điểm quay trừ 100 Luật chơi quy định, lượt chơi người có điểm số cao thắng cuộc, hòa chơi lại lượt khác An Bình tham gia lượt chơi, An chơi trước có điểm số 75 Tính xác suất để Bình thắng lượt chơi 19 B P = C P = D P = A P = 16 16 40 Lời giải Bình có khả thắng cuộc: +) Thắng sau lần quay thứ Nếu Bình quay vào nấc: 80, 85, 90, 95, 100 = thắng nên xác suất thắng Bình trường hợp P1 = 20 +) Thắng sau lần quay Nếu Bình quay lần vào 15 nấc: 5, 10, , 75 phải quay thêm lần thứ Ứng với nấc quay lần thứ nhất, Bình có nấc để thắng 15 × lần quay thứ 2, xác suất thắng Bình trường hợp P2 = = 20 × 20 16 Từ đó, xác suất thắng Bình P = P1 + P2 = 16 Chọn đáp án B Câu 17 Có học sinh lớp A, học sinh lớp B học sinh lớp C xếp thành hàng ngang cho hai học sinh lớp A khơng có học sinh lớp B Hỏi có cách xếp hàng vậy? A 80640 B 108864 C 217728 D 145152 Lời giải Xét trường hợp sau: • Hai học sinh lớp A đứng cạnh có 2! · 8! cách • Giữa hai học sinh lớp A có học sinh lớp C có 2! · A14 · 7! cách • Giữa hai học sinh lớp A có hai học sinh lớp C có 2! · A24 · 6! cách • Giữa hai học sinh lớp A có ba học sinh lớp C có 2! · A34 · 5! cách • Giữa hai học sinh lớp A có bốn học sinh lớp C có 2! · A44 · 4! cách Vậy theo quy tắc cộng có 2!(8! + A14 7! + A24 6! + A34 5! + A44 4!) = 145152 cách Chọn đáp án D Câu 18 Xếp chữ số 1, 2, 3, 1, theo hàng ngang Tính xác suất để xảy biến cố: “2 chữ số giống khơng xếp cạnh nhau.” 11 A B C D 15 15 15 15 Lời giải 6! Số phần tử không gian mẫu n(Ω) = = 180 Gọi A biến cố: “2 chữ số giống 2!2! 5! 5! khơng xếp cạnh nhau.” Khi đó, n(A) = + − 4! = 96 2! 2! 96 Vậy, xác suất biến cố A P (A) = − P (A) = − = 180 15 Chọn đáp án A Trang 8/61 − Mã đề 142 Câu 19 Cho chữ số 1, 2, 3, 4, Lập số tự nhiên có chữ số đơi khác từ chữ số cho Tính tổng tất số lập A 12321 B 21312 C 12312 D 21321 Lời giải Xét tập X = {1, 2, 3, 4, 6} Số số tự nhiên có ba chữ số đôi khác lấy từ tập X × × = 60 Do vai trò chữ số nhau, nên số lần xuất chữ số tập X hàng 60 = 12 trăm, hàng chục, hàng đơn vị Tống số lập S = (1 + + + + 6) × 12 × 111 = 21312 Chọn đáp án B Câu 20 Cho tập hợp S = {m ∈ Z| − 10 ≤ m ≤ 100} Có tập hợp S có số phần tử lớn phần tử tạo thành cấp số cộng có tổng 0? A 34 B 32 C 30 D 36 Lời giải Giả sử {u1 ; u2 ; ; un } ⊂ S, n > tập hợp thỏa mãn u cầu tốn Khơng tính tổng quát giả sử u1 < u2 < < un theo thứ tự lập thành cấp số cộng cơng sai d > Ta có Sn = ⇔ u1 + un = 0, lại có u1 + (n − 1)d = un nên suy (n − 1)d = 2un , điều chứng tỏ d ước nguyên dương 2un d = 2un n > Như số tập hợp thỏa YCBT tổng số số ước thực 2un với un ∈ {1; 2; ; 10} Bằng cách liệt kê ta có tất 34 ước 2un với un ∈ {1; 2; ; 10} Chọn đáp án A Câu 21 Cho A tập số tự nhiên có chữ số Lấy ngẫu nhiên số thuộc tập A Tính xác suất lấy số lẻ chia hết cho 1 625 1250 A B C D 18 1710 1710 Lời giải Số phần tử không gian mẫu n(Ω) = · 108 Gọi B biến cố thỏa mãn yêu cầu tốn Ta có số lẻ có chữ số chia hết cho 100000017, 100000035, 100000053, , 999999999 lập thành cấp số cộng với u1 = 100000017 công sai d = 18 999999999 − 100000017 + = 50000000 Nên số phần tử dãy 18 n(B) · 107 Vậy n(B) = · 107 Xác suất P(B) = = = n(Ω) · 10 18 Chọn đáp án B Câu 22 Trong lễ tổng kết năm học 2017 − 2018, lớp 12T nhận 20 sách gồm sách Toán, sách Vật lí, 8cuốn sách Hố học, sách mơn học giống Số sách chia cho 10 học sinh lớp, học sinh nhận hai sách khác mơn học Bình Bảo số 10 học sinh Tính xác suất để sách mà Bình nhận giống sách Bảo 12 14 17 A B C D 45 45 90 Lời giải Vì học sinh nhận hai sách khác môn học nên từ 20 sách ta chia 10 phần quà Trong phần quà gồm sách Tốn sách Vật lí (loại 1), gồm sách Toán sách Hoá (loại 2), gồm sách Vật lí sách Hố (loại 3) Gọi x, y, z số phần quà loại 1, loại loại Trang 9/61 − Mã đề 142   x + y =   x =  Ta có x + z = ⇔ y =     z = y+z =8 Số cách chia phần quà cho Bình Bảo: • Cùng nhận loại 1: có C22 = cách • Cùng nhận loại 2: có C23 = cách • Cùng nhận loại 3: có C25 = 10 cách Gọi biến cố A: “ sách mà Bình Bảo nhận giống ” Ta có n(Ω) = C210 = 45 Ta có n(A) = 14 n(A) 14 Vậy P(A) = = n(Ω) 45 Chọn đáp án C Câu 23 Cho tập hợp S = {1; 2; 3; 4; ; 17} gồm 17 số Chọn ngẫu nhiên tập có ba phần tử tập S Tính xác suất để tập hợp chọn có tổng phần tử chia hết cho 23 27 9 B C D A 34 68 34 12 Lời giải Tập hợp số từ tập S chia hết cho {3; 6; 9; 12; 15} Tập hợp số từ tập S chia cho dư {1; 4; 7; 10; 13; 16} Tập hợp số từ tập S chia cho dư {2; 5; 8; 11; 14; 17} • TH1: Ba số lấy từ tập S chia hết cho 3: Có C35 cách chọn • TH2: Ba số lấy từ tập S chia dư 1: Có C36 cách chọn • TH3: Ba số lấy từ tập S chia dư 2: Có C36 cách chọn • TH4: Một số chia hết cho 3, số chia dư 1, số chia dư 2: Có C15 · C16 · C16 cách chọn Vậy số phần tử biến cố A: “Chọn ba số có tổng chia hết cho 3” là: n(A) = C35 + C36 + C36 + C15 · C16 · C16 = 230 Số phần tử không gian mẫu n (Ω) = C317 230 23 Xác suất biến cố A P(A) = = C17 68 Chọn đáp án B Câu 24 Cho tập hợp A = {1; 2; ; 100} Chọn ngẫu nhiên phần tử A Xác suất để phần tử chọn lập thành cấp số cộng 1 1 A B C D 11 132 33 66 Lời giải Chọn ngẫu nhiên phần tử từ tập A ⇒ Không gian mẫu |Ω| = C3100 Gọi biến cố A: “Ba phần tử chọn lập thành cấp số cộng” Cách Giả sử phần tử x; x + d; x + 2d với x, d ∈ N∗ • Với x = ta có x + 2d ≤ 100 ⇔ d ≤ 99 ⇒ d ∈ {1; 2; ; 49} ⇒ có 49 ba số thỏa mãn • Với x = ta có x + 2d ≤ 100 ⇔ d ≤ 98 ⇒ d ∈ {1; 2; ; 49} ⇒ có 49 ba số thỏa mãn Trang 10/61 − Mã đề 142 Với cách chọn chữ số từ tập ta có cách xếp chúng theo thứ tự giảm dần Do số số lập trường hợp là: C310 Vậy số số cần tìm C39 + C310 = 204 số Chọn đáp án C Câu 125 Có 50 học sinh cháu ngoan Bác Hồ, có cặp anh em sinh đơi (khơng có anh chị em sinh ba trở lên) Cần chọn học sinh 50 học sinh Có cách chọn mà nhóm em chọn khơng có cặp anh em sinh đôi nào? A 2049300 B 2049852 C 850668 D 2049576 Lời giải Số cách chọn học sinh 50 học sinh C550 Gọi A số cách chọn học sinh mà có hai cặp sinh đơi ta tính A: - Chọn cặp sinh đơi cặp có C24 cách - Chọn học sinh 46 học sinh lại có C146 cách Vậy A = C24 · C146 Gọi B số cách chọn học sinh có cặp sinh đơi.Ta tính B - Chọn cặp sinh đơi cặp có C14 cách - Gọi B số cách chọn học sinh 48 học sinh cịn lại cho khơng có cặp sinh đơi Khi B = C14 B Ta tính B + Chọn học sinh 48 học sinh có C348 cách + Chọn học sinh 48 học sinh cho có cặp sinh đơi có C13 · C146 Suy B = C348 − C13 · C146 Vậy B = C14 (C348 − C13 · C146 ) Vậy số cách chọn thỏa mãn yêu cầu toán C550 − A − B = C550 − C24 · C146 − C14 (C348 − C13 · C146 ) = 2049852 Chọn đáp án B Câu 126 Khai triển P (x) = (1 + 3x)n thành đa thức P (x) = a0 + a1 x + a2 x2 + · · · + an xn , (n ∈ N∗ ) Gọi M số lớn số a0 , a1 , a2 , , an Tính a0 + a1 + a2 + · · · + an − M biết a0 + a1 + a2 + · · · + an = 65536 A 59866 B 58975 C 45124 D 48040 Lời giải Ta có a0 + a1 + a2 + · · · + an = 65536 ⇔ P (1) = 65536 ⇔ 4n = 65536 ⇔ n = log4 65536 = 8 C8k 3k xk Như ak = C8k 3k , k = 0, 1, 2, , Do P (x) = (1 + 3x) = k=0 Giả sử ak ≤ ak+1 Khi đó, 8! 8! ≤3· k!(8 − k)! (k + 1)!(7 − k)! 23 ⇔ k + ≤ 3(8 − k) ⇔ k ≤ = 5.75 ⇔ k ∈ {0; 1; 2; 3; 4; 5} C8k 3k ≤ C8k+1 3k+1 ⇔ Suy ra, a0 ≤ a1 ≤ a2 ≤ a3 ≤ a4 ≤ a5 ≤ a6 a6 ≥ a7 ≥ a8 Như thế, M = a6 = C86 36 = 20412 số lớn số a0 , a1 , a2 , , a8 Vậy a0 + a1 + a2 + · · · + an − M = 65536 − 20412 = 45124 Chọn đáp án C Trang 48/61 − Mã đề 142 Câu 127 Lấy ngẫu nhiên số tự nhiên có chữ số Xác suất để chọn số tự nhiên có dạng a1 a2 a3 a4 a5 mà a1 ≤ a2 + ≤ a3 − < a4 ≤ a5 + 1001 77 1001 A B C D 45000 5000 1500 30000 Lời giải Số số tự nhiên có chữ số 99999 − 10000 + = 90000 (số) Suy n(Ω) = 90000 Gọi A biến cố: “số chọn có dạng a1 a2 a3 a4 a5 mà a1 ≤ a2 + ≤ a3 − < a4 ≤ a5 + 2” Theo giả thiết tốn, ta có ≤ a1 ≤ a2 + ≤ a3 − < a4 ≤ a5 + ⇔ ≤ a1 < a2 + < a3 − < a4 + < a5 + ≤ 14 Suy số cách chọn (a1 , a2 , , a5 ) số cách chọn phần tử phân biệt 14 phần tử {1; 2; 3; ; 14} Từ n(A) = C514 = 2002 n(A) 2002 1001 Vậy xác suất cần tìm P(A) = = = n(Ω) 90000 45000 Chọn đáp án A Câu 128 Một hộp đựng 26 thẻ đánh số từ đến 26 Bạn Hải rút ngẫu nhiên lúc ba thẻ Hỏi có cách rút cho hai ba thẻ lấy có hai số tương ứng ghi hai thẻ ln đơn vị? A 1350 B 2024 C 1768 D 1771 Lời giải Số kết không gian mẫu n(Ω) = C326 = 2600 Số cách rút ba thẻ, cho ba thẻ ln có hai thẻ mà số ghi hai thẻ hai số tự nhiên liên tiếp, ta có trường hợp • Rút hai thẻ liên tiếp có cặp số 1; 2, thẻ thứ ta có 24 cách rút • Rút hai thẻ liên tiếp có cặp số 2; 3, thẻ thứ khơng thể thẻ có số 1, suy có 23 cách rút thẻ thứ • Rút hai thẻ liên tiếp có cặp số 3; 4, thẻ thứ khơng thể thẻ có số 2, suy có 23 cách rút thẻ thứ • ··· • Rút hai thẻ liên tiếp có cặp số 24; 25, thẻ thứ khơng thể thẻ có số 23, suy có 23 cách rút thẻ thứ • Rút hai thẻ liên tiếp có cặp số 25; 26, thẻ thứ khơng thể thẻ có số 24, suy có 23 cách rút thẻ thứ Từ suy ra, có 24 + 23 · 24 = 576 cách rút ba thẻ cho ba thẻ ln có hai thẻ mà số ghi hai thẻ hai số tự nhiên liên tiếp Vậy số cách rút ba thẻ mà hai thẻ lấy có hai số tương ứng ln hai đơn vị n(Ω) − 576 = 2024 Chọn đáp án B Câu 129 Có học sinh thầy giáo A, B, C Hỏi có cách xếp chỗ người ngồi hàng ngang có chỗ cho thầy giáo ngồi hai học sinh A 43200 B 90 C 4320 D 720 Lời giải Sắp học sinh thành hàng ngang, học sinh có khoảng trống, ta chọn khoảng trống đưa giáo viên vào cách thỏa yêu cầu tốn Vậy tất có 6! · A35 = 43200 cách Chọn đáp án A Trang 49/61 − Mã đề 142 Câu 130 Chọn ngẫu nhiên số từ tập số tự nhiên có sáu chữ số đơi khác Xác suất để số chọn có mặt chữ số 41 10 25 25 B C D A 1944 81 27 81 Lời giải ˚59 = 136080 Ta có khơng gian mẫu n(Ω) = 9A Gọi biến cố A: “Số chọn có mặt chữ số 1” Số cần tìm có dạng abcdef với a = Trường hớp 1: a = Khi số có 5cách chọn vị trí Các chữ số cịn lại có A48 cách chọn Vậy có 5A48 = 8400 số Trường hợp 2: a = Khi số có cách chọn vị trí Số 0có cách chọn vị trí Các chữ số cịn lại có A48 cách chọn Vậy có · · A48 = 33600 Do n(A) = 8400 + 33600 = 42000 42000 25 n(A) = = Xác suất để số chọn có mặt chữ số P(A) = n(Ω) 136080 81 Chọn đáp án D Câu 131 Cho số thực x > Tìm hệ số số hạng không chứa x khai triển nhị thức n 2018Ck−1 n+1 k−1 k Newton biểu thức 2x + biết Ck−2 + 2C + C = với k, n số n n n x k nguyên dương thỏa mãn k n 1008 1009 1007 A C1008 B C1008 C C1007 D C1008 2016 · 2016 · 2014 · 2016 Lời giải Ta có 2018Ck−1 n+1 + + = k k−1 2018C n+1 k−1 ⇔ Cn+1 + Ckn+1 = k k−1 2018C n+1 ⇔ Ckn+2 = k ⇔ n = 2016 Ck−2 n 2x + x 2Cnk−1 Ckn 2016 2016 1008 Ck2016 22016−k x2016−2k , suy hệ số số hạng không chứa x C1008 2016 · = k=0 Chọn đáp án A Câu 132 Chọn ngẫu nhiên hai số khác từ 27 số nguyên dương Xác suất để chọn hai số có tổng số chẵn 365 13 14 B C D A 729 27 27 Lời giải Gọi A tập tất số nguyên dương đầu tiên, A = {1; 2; 3; ; 26; 27} Chọn hai số khác từ A có n (Ω) = C227 = 351 Tổng hai số số chẵn hai số chẵn lẻ Do • Chọn hai số chẵn khác từ tập A có: C213 = 78 • Chọn hai số lẻ khác từ tập A có: C214 = 91 Trang 50/61 − Mã đề 142 Số cách chọn 78 + 91 = 169 13 169 = Xác suất cần tìm P = 351 27 Chọn đáp án C Câu 133 Cho đa giác P gồm 16 đỉnh Chọn ngẫu nhiên tam giác có ba đỉnh đỉnh P Tính xác suất để tam giác chọn tam giác vuông A B C D 14 Lời giải Ta có số phần tử khơng gian mẫu n(Ω) = C316 = 560 Gọi A biến cố: “Tam giác chọn tam giác vng” n(A) = 16 · (2.16 − 2) = 480 480 n(A) = = Vậy xác suất cần tìm là: P (A) = n(Ω) 560 Chọn đáp án A Câu 134 Cho (H) đa giác 2n đỉnh nội tiếp đường tròn tâm O (n ∈ N, n ≥ 2) Gọi S tập hợp tam giác có đỉnh đỉnh đa giác (H) Chọn ngẫu nhiên tam giác thuộc tập S, biết xác suất chọn tam giác vuông tập S Tìm n? 29 A 12 B 15 C 10 D 20 Lời giải Số phần tử không gian mẫu S số cách chọn 2n đỉnh đa giác H nên C32n Đa giác H có n đường chéo đường kính đường trịn ngoại tiếp (H) Để chọn tam giác vuông Đầu tiên ta chọn cạnh huyền n đường kính, nên có n cách chọn Tiếp theo chọn điểm 2n − điểm cịn lại làm đỉnh góc vng tam giác, nên có 2n − cách chọn Số cách chọn tam giác vuông n · (2n − 2) cách Xác suất để chọn tam giác vuông P = Theo giả thiết P = 6n(2n − 2) n · (2n − 2) = = C2n (2n)(2n − 1)(2n − 2) 2n − , suy 2n − = 29 hay n = 15 29 Chọn đáp án B 2017 2017 2018 2018 2 2 ) + ) + + Câu 135 Tính tổng S = (C2018 (C2018 (C2018 ) + (C2018 ) 2018 2017 1 2018 2018 2018 1009 2018 2018 A S = C4036 B S = C4036 C S = C4036 D S = C 2018 2018 2019 2019 2018 Lời giải 2019 2017 2017 2018 2018 k 2 k S= (C2018 ) + (C2018 ) + .+ (C2018 ) + (C2018 ) = C2018 2018 2017 2018 + − k k=0 k k n! n! Xét số hạng: Cnk = · ·Cnk = ·C k = Cnk−1 ·Cnk n+1−k n − k + k! (n − k)! (n − k + 1)! (k − 1)! n k Vậy Cnk = Cnk−1 Cnk n+1−k Suy 2018 2018 2018 2018 k−1 k 2019−k k 2019 S= C C2018 · C2018 = C2018 · C2018 = C4036 = 2019 4036 k=1 k=1 Chọn đáp án C Câu 136 Trong không gian cho 2n điểm phân biệt (n > 4, n ∈ N), khơng có ba điểm thẳng hàng 2n điểm có n điểm nằm mặt phẳng khơng có Trang 51/61 − Mã đề 142 điểm điểm n điểm đồng phẳng Tìm n cho từ 2n điểm cho tạo 201 mặt phẳng phân biệt A 12 B C D Lời giải Cách Số cách chọn điểm 2n điểm phân biệt cho C32n Số cách chọn điểm n điểm nằm mặt phẳng C3n Số mặt phẳng tạo từ 2n điểm cho C32n − C3n + Theo giả thiết, ta có ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ C32n − C3n + = 201 2n(2n − 1)(2n − 2) n(n − 1)(n − 2) − = 200 6 2n(2n − 1)(2n − 2) n(n − 1)(n − 2) − = 200 6 7n3 − 9n2 + 2n − 1200 = (n − 6)(7n2 + 33n + 200) = n = Vậy n = giá trị cần tìm Cách Có trường hợp sau: • n điểm đồng phẳng tạo mặt phẳng • n điểm khơng đồng phẳng tạo C3n mặt phẳng • điểm n điểm đồng phẳng kết hợp với điểm n điểm không đồng phẳng tạo C2n C1n = n · C2n mặt phẳng • điểm n điểm đồng phẳng kết hợp với điểm n điểm không đồng phẳng tạo C1n C2n = n · C2n mặt phẳng Vậy có + C3n + 2nC2n = 201 Giải phương trình ta tìm n = Chọn đáp án B Câu 137 Gọi S tập hợp tất số tự nhiên có chữ số lập từ tập hợp X = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Chọn ngẫu nhiên số từ S Tính xác suất để số chọn số chia hết cho 1 B C D 6 Lời giải Số số có số tự nhiên có chữ số lập từ tập hợp X = {1, 2, 3, 4, 5, 6} 65 số Số phần tử không gian mẫu n(Ω) = 65 A biến cố: “Số chọn chia hết cho ” Gọi x = abcde số chia hết cho Ta có e ∈ {2; 4; 6} (a + b + c + d + e) e có cách chọn d có cách chọn c có cách chọn b có 6cách chọn Ứng với cách chọn d, b, c, e ta xét trường hợp sau: Trường hợp 1: (b + c + d + e) ⇒ a ⇒ có cách chọn a A Trường hợp 2: (b + c + d + e) chia dư ⇒ a chia dư ⇒ có cách chọn a Trường hợp 3: (b + c + d + e) chia dư ⇒ a chia dư ⇒ có cách chọn a Như tình có chung kết ứng với ứng với cách chọn d, b, c, e Trang 52/61 − Mã đề 142 cho ta cách chọn a Ta có n(A) = · · · · = 1296 1296 Vậy P(A) = = 6 Chọn đáp án C Câu 138 Chọn ngẫu nhiên số từ tập số tự nhiên có ba chữ số đơi khác Xác suất để số chọn có tổng chữ số số lẻ 41 16 40 41 B C D A 648 81 81 81 Lời giải Số phần tử không gian mẫu n(Ω) = · · = 648 A: “Số chọn có tổng chữ số số lẻ” Trường hợp 1: Số chọn có chữ số lẻ Số cách chọn xếp ba chữ số lẻ A35 Trường hợp 2: Số chọn gồm có chữ số chẵn chữ số lẻ Số cách chọn xếp chữ số số chẵn chữ số số lẻ C25 · C15 · 3! Số cách chọn xếp chữ số số chẵn chữ số lẻ có số đứng đầu C14 · C15 · 2! Vậy nên số số thỏa biến cố A là: C25 · C15 · 3! − C14 · C15 · 2! = 260 Số kết thuận lợi cho biến cố A n(A) = 60 + 260 = 320 n(A) 320 40 Vậy P(A) = = = n(Ω) 648 81 Chọn đáp án D Câu 139 Cho đa giác có 18 đỉnh nội tiếp đường tròn tâm O Gọi X tập tam giác có đỉnh đỉnh của đai giác Tính xác suất để chọn tam giác từ tập X tam giác cân tam giác 14 21 B C D A 816 136 136 17 Lời giải Qua ba đỉnh đa giác tạo thành tam giác nên số tam giác có ba đỉnh ba đỉnh đa giác n (Ω) = C318 Có 18 cách chọn đỉnh đa giác đỉnh có cách chọn đỉnh cịn lại để tam giác cân khơng Số tam giác cân không 18.7 = 126 Xác suất cần tìm 128 21 P (A) = = C18 136 Chọn đáp án C Câu 140 Trên mặt phẳng Oxy, ta xét hình chữ nhật ABCD với điểm A(−2; 0), B(−2; 2), C(4; 2), D(4; 0) (hình vẽ) Một châu chấu nhảy hình chữ nhật tính cạnh hình chữ nhật cho chân ln đáp xuống mặt phẳng điểm có tọa độ nguyên (tức điểm có hồnh độ tung độ ngun) Tính xác suất để đáp xuống điểm M (x; y) mà x + y < A B C D 21 y B A C E O I D x Lời giải Trang 53/61 − Mã đề 142 Số điểm có tọa độ nguyên thuộc hình chữ nhật · = 21 điểm x ∈ {−2; −1; 0; 1; 2; 3; 4} y ∈ {0; 1; 2} Để châu chấu đáp xuống điểm M (x, y) có x + y < châu chấu nhảy khu x ∈ {−2; −1; 0; 1; 2} Nếu x ∈ {−2; −1} vực hình thang BEIA Để M (x, y) có tọa độ ngun y ∈ {0; 1; 2} y ∈ {0; 1; 2} ⇒ có · = điểm Nếu x = y ∈ {0; 1} ⇒ có điểm Nếu x = ⇒ y = ⇒ có điểm Suy có tất + + = điểm thỏa mãn Vậy xác suất cần tính P = = 21 Chọn đáp án B Câu 141 Từ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, lập số có chữ số khác Số số mà tổng chữ số số lẻ A 15120 B 7920 C 66 D 120 Lời giải • Trường hợp 1: Số cần lập có chữ số chẵn chữ số lẻ, có: C54 4!.C51 = 600 (số) • Trường hợp 2: Số cần lập có chữ số chẵn chữ số lẻ, có: C52 A42 A53 = 7200 (số) • Trường hợp 3: Số cần lập có chữ số lẻ, có: 5! = 120 (số) Vậy theo quy tắc cộng, có: 600 + 7200 + 120 = 7920 (số) Chọn đáp án B Câu 142 Tìm số nguyên dương n thỏa mãn C12n+1 + C32n+1 + · · · + C2n+1 2n+1 = 1024 A n = 10 B n = 11 C n = D n = Lời giải 2n 2n+1 (1 + x)2n+1 = C02n+1 x0 + C12n+1 x1 + C22n+1 x2 + C32n+1 x3 + · · · + C2n + C2n+1 2n+1 x 2n+1 x Ta có 2n 2n+1 2n+1 (1 − x)2n+1 = C02n+1 x0 − C12n+1 x1 + C22n+1 x2 − C32n+1 x3 + · · · + C2n − C2n+1 x 2n+1 x 2n+1 2n+1 2n+1 2n+1 1 Suy (1 + x) − (1 − x) = 2(C2n+1 x + C2n+1 x + · · · + C2n+1 x ) 2n+1 2n+1 n Cho x = ta − = 2(C2n+1 + C2n+1 + · · · + C2n+1 ) ⇔ = ⇔ n = Chọn đáp án C Câu 143 Cho tập hợp A = {1; 2; 3; 4; ; 100} Gọi S tập hợp gồm tất tập A, tập gồm phần tử A có tổng 91 Chọn ngẫu nhiên phần tử S Xác suất chọn phần tử có ba số lập thành cấp số nhân A B C D 645 1395 930 645 Lời giải Trước tiên, ta đếm số phần tử S Mỗi tập thuộc S có dạng {a, b, c}, < a < b < c < 100, a + b + c = 91 Khi ta có 91 ≥ a + (a + 1) + (a + 2) nên a ≤ 29 90 − a Với ≤ a ≤ 29, ta có b + c = 91 − a, mà c ≥ b + nên 2b ≤ 90 − a ⇒ b ≤ 90 − a b ≥ a + nên có − a cách chọn b 29 90 − a Suy số tập A thuộc S − a = 645 a=1 Trang 54/61 − Mã đề 142 Hay số phần tử không gian mẫu n(Ω) = 645 Tiếp theo, ta đếm số cấp số nhân S Vì số hạng cấp số nhân số nguyên dương m nên công bội số hữu tỷ dương, giả sử số bé cấp số nhân a công bội , với n a, m, n ∈ Z+ , a ≤ 30; m > n, ƯCLN(m, n) = m m2 Khi ta có a + + = 91 ⇔ a (m2 + mn + n2 ) = 91n2 n n Vì ƯCLN(m, n) = nên ƯCLN (m2 + mn + n2 , n2 ) = nên suy a n2 Mà a ≤ 30 nên n2 ≤ 30 ⇒ n ≤ • Với n = 1, ta có a (m2 + m + 1) = 91 Phương trình có nghiệm nguyên dương (a; m) ∈ {(1; 9), (7; 3), (13; 2)}, nên có cấp số nhân (1; 9; 81), (7; 21; 63), (13; 26; 52) • Với n = 2, ta có a (m2 + 2m + 4) = 364, khơng có nghiệm ngun dương • Với n = 3, ta có a (m2 + 3m + 9) = 819, khơng có nghiệm ngun dương • Với n = 4, ta có a (m2 + 4m + 16) = 1456, khơng có nghiệm ngun dương • Với n = 5, ta có a (m2 + 5m + 25) = 2275 Phương trình có nghiệm ngun dương (a; m) = (25; 6), ta nhận cấp số nhân (25; 30; 36) Vậy có cấp số nhân S Gọi A biến cố “chọn phần tử có ba số lập thành cấp số nhân” n(A) = 4 n(A) = Suy ra: P(A) = n(Ω) 645 Chọn đáp án A Câu 144 Trong lớp có n hoc sinh gồm bạn Chuyên, Hà, Tĩnh n − học sinh khác Khi xếp tùy ý học sinh vào dãy ghế đánh số từ đến n, học sinh ngồi ghế xác suất để số ghế Hà trung bình cộng số ghế Chuyên số ghế Tĩnh 13 Khi n thỏa mãn 675 A n ∈ [25; 29] B n ∈ [40; 45] C n ∈ [30; 34] D n ∈ [35; 39] Lời giải Số cách xếp tùy ý n học sinh vào n chỗ n!(cách xếp) Giả sử số ghế bạn Chuyên, Hà, Tĩnh a, b, c a+c Khi ta có b = hay 2b = a + c Do a, c phải tính chẵn lẻ TH Nếu n = 2m (n số chẵn) Nếu a, c chẵn lẻ Chuyên Tĩnh có A2n cách xếp, Hà có cách xếp có (n − 3)! cách xếp học sinh lại 2(n − 3)!A2n 13 701 Do ta có = ⇔m= (loại) n! 675 52 TH n = 2m + (n số lẻ) • Nếu a, c chẵn Chun Tĩnh có A2m cách xếp, Hà có cách xếp có (2m − 2)! cách xếp học sinh lại • Nếu a, c lẻ Chun Tĩnh có A2m+1 cách xếp, Hà có cách xếp có (2m − 2)! cách xếp học sinh lại Khi (2m − 2)! A2m + A2m+1 13 m(m − 1) + m(m + 1) = ⇔ ⇔ m = 13 ⇔ n = 27 (2m + 1)! 675 (2m + 1)2m(2m − 1) Trang 55/61 − Mã đề 142 Chọn đáp án A Câu 145 Có tất số tự nhiên có ba chữ số abc cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác cân? A 81 B 165 C 45 D 216 Lời giải Nếu a, b, c ba cạnh tam giác, tất phải khác a, b, c ∈ {1; 2; ; 9} • Nếu tam giác tạo thành tam giác đều, có số có tính chất • Nếu tam giác tạo thành cân khơng Trong số có chữ số khác chữ số Gọi chúng a b Số cặp (a, b) · C29 Nhưng số lớn (chẳng hạn a) độ dài cạnh đáy a phải thỏa mãn điều kiện b < a < 2b để đảm bảo bất đẳng thức tam giác Tất cặp không thỏa mãn điều kiện liệt kê bảng sau (có 20 cặp) a b 4, 3, 2, 4, 3, 2, 3, 2, 3, 2, 2, 2, 1 Mặt khác, có C23 số lập từ cặp (a, b) cho trước Suy có C23 (2 · C29 − 20) = 156 số Vậy số số thỏa mãn + 156 = 165 Chọn đáp án C Câu 146 Có 60 thẻ đánh số từ đến 50 Rút ngẫu nhiên thẻ Tính xác suất để tổng số ghi thẻ chia hết cho 11 409 A B C D 171 89 1225 12 Lời giải Số phần tử không gian mẫu: |Ω| = C350 = 19600 Gọi A tập thẻ đánh số a cho ≤ a ≤ 50 a chia hết cho A = {3; 6; ; 48} ⇒ |A| = 16 Gọi B tập thẻ đánh số b cho ≤ b ≤ 50 b chia dư B = {1; 4; ; 49} ⇒ |B| = 17 Gọi C tập thẻ đánh số c cho ≤ c ≤ 50 c chia dư C = {2; 5; ; 59} ⇒ |C| = 17 Với D biến cố: “Rút ngẫu nhiên thẻ đánh số từ đến 50 cho tổng số ghi thẻ chia hết cho ” Ta có trường hợp xảy ra: Trường hợp 1: Rút thẻ từ A: Có C316 (cách) Trường hợp 2: Rút thẻ từ B: Có C317 (cách) Trường hợp 3: Rút thẻ từ C: Có C317 (cách) Trường hợp 4: Rút tập thẻ: Có 16 · 17 · 17 = 4624 (cách) Suy |D| = · C317 + C316 + 4624 = 6544 6544 409 |D| = = Vậy xác suất cần tìm P = |Ω| 19600 1225 Chọn đáp án C Câu 147 Cho tập hợp A = {1; 2; ; 20} Hỏi có cách lấy số từ tập hợp A cho khơng có hai số hai số tự nhiên liên tiếp? A C517 B C516 C C518 D C515 Lời giải Gọi số chọn a, b, c, d, e thỏa a < b < c < d < e Vì khơng có số tự nhiên liên tiếp nên a < b − < c − < d − < e − Do đó, số cách chọn cần tìm số cách chọn số (a, b − 1, c − 2, d − 3, e − 4) 16 số Vậy có C516 cách chọn Chọn đáp án B Trang 56/61 − Mã đề 142 Câu 148 Chia ngẫu nhiên viên bi gồm viên màu đỏ viên màu xanh có kích thước thành ba phần, phần viên Xác xuất để khơng có phần gồm viên màu A B C D 7 14 14 Lời giải Ta có nhận xét: Xác suất khơng thay đổi ta coi ba phần có xếp thứ tự 1, 2, Chia ngẫu nhiên viên bi gồm viên màu đỏ viên màu xanh có kích thước thành ba phần, phần viên sau: • Chọn viên cho phần 1: có C39 cách • Chọn viên cho phần 2: có C36 cách • Chọn viên lại cho phần 3: có cách Do số phần tử không gian mẫu là: n (Ω) = C39 · C36 = 1680 Gọi A biến cố khơng có phần gồm viên màu, ta chia viên bi thành sau: • Bộ 1: đỏ - xanh: có C24 C15 cách chọn • Bộ 2: đỏ - xanh: có C12 C24 cách chọn • Bộ 3: gồm viên bi cịn lại (1 đỏ - xanh) Vì có viên bi giống để khơng phân biệt hai nên có 3! xếp vào 2! phần Do n(A) = 3! 1 C C C C = 1080 2! Vậy xác xuất để khơng có phần gồm viên màu P(A) = n(A) 1080 = = n (Ω) 1680 14 Chọn đáp án D 10 + x thành đa thức a0 + a1 x + a2 x2 + · · · + a9 x9 + a10 x10 , 3 tìm hệ số ak lớn (0 ≤ k ≤ 10) 29 28 25 26 B a9 = 10 10 C a8 = 45 10 D a5 = 252 10 A a6 = 210 10 3 3 Lời giải 10 10−k k 10 10 2k 2x Ta có + x = Ck10 · = Ck10 · 10 xk 3 3 k=0 k=0 k Suy ak = Ck10 · 10 > 0, ∀k ∈ {1; 2; ; 10} 19 Xét ak < ak+1 ⇔ Ck10 < 2Ck+1 < ⇔k< 10 ⇔ 10 − k k+1 Vì k ∈ N nên k = 0; 1; 2; 3; 4; 5; ⇒ a0 < a1 < a2 < a3 < a4 < a5 < a6 < a7 19 Tương tự ak > ak+1 ⇔ k > ⇒ k = 7; 8; ⇒ a7 > a8 > a9 Chọn đáp án A Câu 149 Trong khai triển Câu 150 Tìm hệ số x6 khai triển x(1 − 2x)7 + x2 (1 + 3x)10 A 16338 B 17682 C −672 Lời giải Ta có 7 x(1 − 2x) + x (1 + 3x) 10 10 Ck7 (−2x)k + x2 =x k=0 10 Cl10 (3x)l l=0 D 153538 Ck7 (−2)k · xk+1 + = k=0 Cl10 3l · xl+2 l=0 Trang 57/61 − Mã đề 142 Ck7 (−2)k · xk+1 C57 (−2)5 Hệ số x6 k=0 10 Cl10 3l · xl+2 C410 34 Hệ số x6 l=0 Vậy hệ số x khai triển x(1 − 2x)7 + x2 (1 + 3x)10 C57 (−2)5 + C410 34 = 16338 Chọn đáp án A Câu 151 Gọi S tập hợp số tự nhiên có bốn chữ số lập từ chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, Lấy ngẫu nhiên số từ S Tính xác suất cho số lấy chia hết cho 15 A B C D 112 27 Lời giải Số số có số tự nhiên có chữ số lập từ chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 94 số Lực lượng không gian mẫu n(Ω) = 94 Gọi A biến cố “Số chọn chia hết cho 15” Gọi số có chữ số chia hết cho 15 có dạng abcd Vì abcd 15 nên d = a + b + c + d chia hết cho Suy a + b + c chia cho dư Các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9chia thành nhóm: • A = {1, 4, 7} • B = {2, 5, 8} • C = {3, 6, 9} Ta có a có cách chọn, cách chọn a có cách chọn b, cách chọn , ab có cách chọn c (thuộc A = {1, 4, 7} thuộc B = {2, 5, 8} thuộc C = {3, 6, 9}) để a + b + c chia dư Vậy số số chia hết cho 15 · · = 243 số, suy n(A) = 243 243 Vì P(A) = = 27 Chọn đáp án D Câu 152 Chọn ngẫu nhiên ba số a, b, c tập hợp S = {1; 2; 3; · · · ; 20} Biết xác suất để ba m số tìm thoả mãn a2 + b2 + c2 chia hết cho , với m, n số nguyên dương n m tối giản Biểu thức S = m + n phân số n A 58 B 239 C 85 D 127 Lời giải Vì số phương chia dư nên a2 + b2 + c2 chia hết cho có khả xảy sau: Trường hợp 1: Cả số a, b, c chia hết cho Trường hợp 2: số a, b, c không chia hết cho Trong tập S gồm có số chia hết cho 14 số không chia hết cho C3 + C3 32 Xác suất để tìm số thoả mãn yêu cầu toán 14 = C20 95 Từ ta có S = m + n = 32 + 95 = 127 Chọn đáp án D Câu 153 Cho A tập số tự nhiên có chữ số Lấy số tập hợp A Tính xác suất để lấy số lẻ chia hết cho 625 1250 A B C D 1701 18 1701 Lời giải Trang 58/61 − Mã đề 142 Xét số có dạng a = a1 a2 a3 a7 với a1 = 0, a1 , a2 , , a7 ∈ {0; 1; 2; ; 9} Ta đếm số số dạng thỏa mãn a lẻ chia hết cho Trước hết a7 có cách chọn Ta chọn số a2 , a3 , , a6 cách bất kì, có 105 cách chọn Chú ý a chia hết cho S = a1 + a2 + · · · + a7 chia hết cho Mặt khác tổng số dư tổng a2 + a3 + · · · + a7 chia cho thuộc vào tập {0; 1; 2; ; 8}, với trường hợp ta có cách chọn a1 ∈ {1; 2; 3; ; 9} cho tổng S chia hết cho Do số cách số a lẻ chia hết cho · 105 · 105 = Mà có · 10 số tự nhiên có chữ số nên xác suất cần tìm · 10 18 Chọn đáp án B Câu 154 Một túi đựng 10 thẻ đánh số từ đến 10 Rút ngẫu nhiên ba thẻ từ túi Xác suất để tổng số ghi ba thẻ rút số chia hết cho 2C13 C13 C14 2C33 + C34 + C13 C13 C14 A B C310 C310 2C33 + C34 C D C10 Lời giải Gọi A0 = {3; 6; 9}, A1 = {1; 4; 7; 10}, A2 = {2; 5; 8} Để ba số nhận có tổng chia hết cho 3, ta có trường hợp i) Lấy ba phần tử từ A0 lấy ba phần tử từ A1 lấy ba phần tử từ A2 , trường hợp có 2C33 + C34 cách ii) Chọn từ tập A0 , A1 , A2 phần tử, trường hợp có C13 C13 C14 cách 2C33 + C34 + C13 C13 C14 Vậy xác suất để tổng số ghi ba thẻ rút số chia hết cho C310 Chọn đáp án B Câu 155 Gọi S tập hợp tất số tự nhiên có bốn chữ số phân biệt lập từ chữ số 0; 1; 2; 3; 4; 5; Lấy số ngẫu nhiên thuộc S Tính xác suất để lấy số chẵn số có tổng hai chữ số hàng chục hàng trăm 11 16 A B C D 10 70 45 105 Lời giải Gọi số có bốn chữ số có dạng a1 a2 a3 a4 Số phần tử không gian mẫu |Ω| = · A36 = 720 Gọi A biến cố: “lấy số chẵn có tổng hai chữ số hàng chục hàng trăm 5” • Nếu a1 Chọn cặp số (a2 ; a3 ) có tổng có cách (1; 4), (0; 5), (2; 3) Hốn vị a2 ; a3 có cách Mỗi cách chọn cặp (a2 ; a3 ) giảm chữ số chẵn, số cách chọn a4 Số cách chọn a1 cách Do ta có số cách chọn · · · = 72 cách • Nếu a1 = Chọn cặp số (a2 ; a3 ) có cách (2; 3), (1; 4) Hốn vị a2 , a3 có cách Mỗi cách chọn cặp (a2 , a3 ) làm giảm chữ số chẵn, có cách chọn a4 Số chữ số trường hợp a1 = · · = cách Do số chữ số thỏa mãn yêu cầu toán n(A) = 72 − = 64 64 n(A) Vậy P(A) = = = n(Ω) 720 45 Chọn đáp án C Trang 59/61 − Mã đề 142 Câu 156 Trên mặt phẳng Oxy ta xét hình chữ nhật ABCD với điểm A(−2; 0), B(−2; 2), C(4; 2), D(4; 0) Một châu chấu nhảy hình chữ nhật tính cạnh hình chữ nhật cho chân ln đáp xuống mặt phẳng điểm có tọa độ nguyên (tức điểm có hồnh độ tung độ ngun) Tính xác suất để đáp xuống điểm M (x; y) mà x + y < B C D A 7 21 Lời giải y Số điểm có tọa độ nguyên hình chữ nhật là: n(Ω) = · = 21 Số điểm M (x; y) có tọa độ nguyên nằm hình chữ nhật ABCD thỏa mãn x + y < n(A) = 9 −2 −1 x = Vậy xác suất cần tìm P (A) = 21 Chọn đáp án C Câu 157 Trong kỳ tuyển sinh năm 2017 trường THPT A có học sinh bao gồm nữ, nam đỗ vào khoa B trường đại học Số sinh viên đỗ vào khoa B chia ngẫu nhiên vào lớp Tính xác suất để có lớp có nữ nam trương THPT A 3 27 27 A B C D 512 512 128 Lời giải Mỗi cách xếp ngẫu nhiên bạn (trường THPT A) vào lớp khoa B kết khơng gian mẫu Ω Vậy khơng gian mẫu có n(Ω) = 45 = 1024 (phần tử) Gọi X : "có lớp có nữ nam trương THPT A" Chọn nữ, nam trường THPT A có × = (cách) (Cịn bạn) Chọn lớp khoa B để xếp bạn vừa chọn có C14 = (cách) (Còn lớp) bạn lại xếp ngẫu nhiện vào lớp có 32 = (cách) Theo quy tắc nhân ta có × × = 216 (cách) Mỗi cách chọn phần tử X ⇒ n(X) = 216 (phần tử) 216 27 n(X) = = ⇒ P (X) = n(Ω) 1024 128 Chọn đáp án D Câu 158 Gọi S tập hợp tất số tự nhiên gồm chữ số đôi khác lập từ chữ số 5, 6, 7, 8, Tính tổng tất số thuộc tập S A 46666200 B 9333420 C 46666240 D 9333240 Lời giải Số phần tử S 5! = 120 số Trong số thuộc S • Số xuất hàng đơn vị 4! = 24 lần (số số có dạng abcd5) • Tương tự chữ số 5; 6; 7; 8; xuất 24 lần hàng Do đó, tổng số thuộc tập S 24 · (5 + + + + 9) · (1 + 10 + 100 + 1000 + 10000) = 9333240 Chọn đáp án D Câu 159 Một hộp có viên bi xanh, viên bi đỏ viên bi vàng Chọn ngẫu nhiên viên bi cho có đủ ba màu Số cách chọn A 3003 B 2163 C 2170 D 3843 Lời giải Số cách chọn viên bi hộp C515 Khi chọn bao gồm trường hợp sau: Chỉ có màu Chỉ có hai màu Có đủ màu Trang 60/61 − Mã đề 142 Xanh Đỏ C56 cách C55 cách Xanh - Đỏ Đỏ - Vàng Xanh - Vàng C511 − C56 − C55 cách C59 − C55 cách C510 − C56 cách Suy số cách chọn thỏa mãn u cầu tốn (có đủ ba màu) C515 − (C56 + C55 ) − (C511 − C56 − C55 ) + (C59 − C55 ) + (C510 − C56 ) = 2170 Chọn đáp án C Câu 160 Chọn ngẫu nhiên số từ tập số tự nhiên có ba chữ số đơi khác Xác suất để số chọn chia hết cho 16 20 B C D A 81 81 Lời giải Ta có khơng gian mẫu n(Ω) = · · = 648 số Gọi biến cố A: “ Số chọn chia hết cho 3” Ta có trường hợp xảy ra: Trường hợp 1: Chọn phần tử thuộc S1 {0} có số Trường hợp 2: Chọn phần tử thuộc S2 , phần tử thuộc S3 {0} có · · 2! · = 36 số Trường hợp 3: Chọn phần tử thuộc S2 , phần tử thuộc S2 phần tử thuộc S3 có 2·3·3·3! = 108 số Trường hợp 4: Chọn phần tử thuộc S2 có 3! = số Trường hợp 5: Chọn phần tử thuộc S3 có 3! = số Do n(A) = + 36 + 108 + + = 160 số 160 20 n(A) = = Xác suất để số chọn chia hết cho ba P(A) = n(Ω) 648 81 Chọn đáp án D HẾT Trang 61/61 − Mã đề 142 ĐÁP ÁN MÃ ĐỀ 142 C 18 A 35 D 52 B 69 B 86 D 103 C 120 B 137 C 154 B B 19 B 36 C 53 C 70 D 87 B 104 D 121 D 138 D 155 C A 20 A 37 A 54 C 71 A 88 D 105 A 122 B 139 C 156 C A 21 B 38 C 55 C 72 D 89 D 106 B 123 C 140 B 157 D D 22 C 39 C 56 C 73 B 90 C 107 D 124 C 141 B 158 D C 23 B 40 D 57 D 74 B 91 B 108 C 125 B 142 C C 24 D 41 A 58 D 75 D 92 C 109 C 126 C 143 A D 25 D 42 C 59 D 76 C 93 C 110 D 127 A 144 A D 26 B 43 C 60 B 77 C 94 A 111 C 128 B 145 C 10 C 27 D 44 B 61 A 78 C 95 D 112 A 129 A 146 C 11 B 28 D 45 A 62 C 79 B 96 D 113 C 130 D 147 B 12 C 29 D 46 D 63 B 80 A 97 A 114 D 131 A 148 D 13 A 30 C 47 B 64 D 81 D 98 C 115 D 132 C 149 A 14 C 31 B 48 D 65 B 82 D 99 A 116 D 133 A 150 A 15 D 32 A 49 B 66 D 83 B 100 A 117 D 134 B 151 D 16 B 33 D 50 C 67 C 84 C 101 C 118 D 135 C 152 D 17 D 34 B 51 D 68 A 85 B 102 C 119 C 136 B 153 B 159 C 160 D Trang 1/1 − Đáp án mã đề 142 ... định sai? A Xác suất vào nhóm 1,2,3 Trang 27/61 − Mã đề 142 B Mỗi thành viên chia vào bốn nhóm với luật C Nếu gọi a xác suất vào nhóm − 3a xác suất vào nhóm D Xác suất vào nhóm cao Lời giải Khơng... đền 11m, người sút lần với xác suất ghi bàn tương ứng x, y 0,6 (với x > y) Biết xác suất để ba cầu thủ ghi bàn 0,976 xác suất để ba cầu thủ ghi bàn 0,336 Tính xác suất để có hai cầu thủ ghi bàn... P = 0,4525 D P = 0,435 Lời giải Xác suất để ba cầu thủ ghi bàn 0,976 ⇒ xác suất không cầu thủ ghi bàn (1 − x)(1 − y)(1 − 0,6) = − 0,976 ⇒ (1 − x)(1 − y) = 0,06 (1) xác suất để ba cầu thủ ghi