4 số PHỨC có MOĐUN MIN, MAX

Số Phức Nâng Cao DẠNG 4: SỐ PHỨC CÓ MOĐUN NHỎ NHẤT, LỚN NHẤT Câu 1: Cho số phức z thỏa mãn z + + 2i = Giá trị nhỏ z A B C 5 D Câu 2: Cho số phức z thỏa mãn (1 + i ) z + − 7i = Tìm giá trị lớn z A max z = B max z = C max D max z = Câu 3: Cho số phức z thỏa mãn z + − 2i = Giá trị lớn giá trị nhỏ z A 2 + 1; 2 − B + 1; − C 2;1 D + 1; − Câu 4: Cho số phức z thỏa mãn z − + 2i = Tìm mơđun lớn số phức z − 2i A 26 + 17 B 26 − 17 C 26 + 17 D 26 − 17 Câu 5: Cho số phức z thỏa mãn z − + 2i = Tìm mơđun lớn số phức z A + B 11 + C 6+4 D 5+6 Câu 6: Cho số phức z thỏa mãn (1 − i ) z − − 2i = 10 Tìm môđun lớn số phức z A B C D + Câu 7: Cho số phức z thoã mãn z − + 4i = Gọi A B giá trị lớn nhỏ z Tính giá trị biểu thức P = A2 − B A P = 43 B P = 80 C P = D P = 48 Câu 8: Trong số phức thỏa mãn điều kiện z − − 4i = z − 2i Tìm mơđun nhỏ số phức z + 2i A B C D + Câu 9: Cho số phức z thỏa mãn z − + 2i = Tìm mơđun nhỏ số phức z − + i A B 2 C D Câu 10: Trong số phức z thỏa mãn: z − + 4i = z số phức z có modul nhỏ A z = 11 +i B z = − 2i C z = −5 − i D z = −3 + i Câu 11: Trong số phức z thỏa mãn: z − − 4i = z − 2i số phức z có modul nhỏ A z = −2 + 2i B z = −2 − 2i Câu 12: Cho số phức z thoả mãn điều kiện A 13 − B C z = − 2i D z = + 2i z − + 3i = Tìm giá trị nhỏ z C 13 − D Câu 13: Cho số phức z thỏa mãn: z − − 2i = Số phức z − i có mơđun nhỏ là: 71 Số Phức Nâng Cao −1 A +1 B −2 C +2 D Câu 14: Trong số phức z thỏa z + + 4i = , gọi z0 số phức có mơ đun nhỏ Khi A Khơng tồn số phức z0 B z0 = C z0 = D z0 = Câu 15: Trong số phức thỏa mãn điều kiện z + 3i = z + − i Tìm số phức có môđun nhỏ nhất? A z = − 2i Câu 16: Cho số phức z thảo mãn B z = − + i 5 z − 4i − = Tìm giá trị nhỏ B A 1 C z = − i 5 D z = −1 + 2i z C D Câu 17: Trong sô phức thỏa điều kiện z − 4i − = 2i − z , mô đun nhỏ số phức z bằng: A 2 B D C Câu 18: Số phức z có mơ đun lớn thỏa mãn điều kiện z (1 + i ) − + 2i = A z = + 3i B z = + i 2 C z = − i 2 13 là: D z = 15 + i 4 Câu 19: Trong số phức z thỏa: z − + 4i = z , biết số phức z = a + bi, ( a, b ∈ ℝ ) có modul nhỏ Khi đó, giá trị P = a − b A P = B P = C P = − D P = − Câu 20: Trong số phức z thỏa mãn: z + − 5i = z + − i , biết số phức z = a + bi, ( a, b ∈ ℝ ) có modul nhỏ Khi đó, tỉ số A B a b C D P = − Câu 21: Trong mặt phẳng phức Oxy, số phức z thỏa z − 5i ≤ Nếu số phức z có mơđun nhỏ phần ảo bao nhiêu? A B C D Câu 22: Trong mặt phẳng phức Oxy, số phức z thỏa z + − i ≤ Nếu số phức z có mơđun lớn số phức z có phần thực bao nhiêu? A − −2 B −2 C 2− D 2+ 2 Câu 23: Trong mặt phẳng phức Oxy , số phức z thỏa z + − i ≤ Nếu số phức z có mơđun lớn số phức z có phần thực bao nhiêu? 72 Số Phức Nâng Cao A 73 − −2 B −2 C 2− D 2+ Số Phức Nâng Cao HƯỚNG DẪN GIẢI DẠNG 4: SỐ PHỨC CÓ MOĐUN NHỎ NHẤT, LỚN NHẤT Câu 1: Cho số phức z thỏa mãn z + + 2i = Giá trị nhỏ z A B C 5 D Hướng dẫn giải: Ta có = z + + 2i ≤ z + + 2i = z + ⇒ z ≥ Chọn B Câu 2: Cho số phức z thỏa mãn (1 + i ) z + − 7i = Tìm giá trị lớn z A max z = B max z = C max D max z = Hướng dẫn giải: Đặt w = (1 + i ) z + − 7i ⇒ z = w − (1 − 7i ) 1+ i Ta có: w = Tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường tròn tâm I điểm biểu diễn số phức − (1 − 7i ) =1 = + 4i , tức I (3; 4) Bán kính r = 1+ i 1+ i Vậy max z = OI + r = Câu 3: Cho số phức z thỏa mãn z + − 2i = Giá trị lớn giá trị nhỏ z A 2 + 1; 2 − B + 1; − C 2;1 D + 1; − Hướng dẫn giải: Ta có z + − 2i + − z ≥ z + − 2i − z = 2 ⇒ z ≥ 2 − Lại có z + − 2i + 2i − ≥ z + − 2i + 2i − = z ⇒ z ≤ + 2 Chọn A Câu 4: Cho số phức z thỏa mãn z − + 2i = Tìm môđun lớn số phức z − 2i A 26 + 17 B 26 − 17 C 26 + 17 Hướng dẫn giải: Gọi z = x + yi; ( x ∈ ℝ; y ∈ ℝ ) ⇒ z − 2i = x + ( y − ) i Ta có: z − + 2i = ⇔ ( x − 1) + ( y + ) = 2 Đặt x = + 3sin t; y = −2 + 3cos t; t ∈ [ 0; 2π ] 74 D 26 − 17 Số Phức Nâng Cao ⇒ z − 2i = (1 + 3sin t ) + ( −4 + 3cos t ) = 26 + ( sin t − cos t ) = 26 + 17 sin ( t + α ) ; (α ∈ ℝ ) 2 ⇒ 26 − 17 ≤ z − 2i ≤ 26 + 17 ⇒ z − 2i max = 26 + 17 Chọn A Câu 5: Cho số phức z thỏa mãn z − + 2i = Tìm mơđun lớn số phức z + A B 11 + C 6+4 D 5+6 Hướng dẫn giải: Gọi z = x + yi; ( x ∈ ℝ; y ∈ ℝ ) Ta có: z − + 2i = ⇔ ( x − 1) + ( y + ) = 2 Đặt x = + 2sin t; y = −2 + 2cos t ; t ∈ [ 0; 2π ] Lúc đó: z = (1 + 2sin t ) + ( −2 + 2cos t ) = + ( 4sin t − 8cos t ) = + 42 + 82 sin ( t + α ) ; (α ∈ ℝ ) 2 2 ⇒ z = + sin ( t + α ) ⇒ z ∈  − + ; +    ⇒ zmax = + đạt z = + −10 + i + 5 Chọn A Câu 6: Cho số phức z thỏa mãn (1 − i ) z − − 2i = 10 Tìm mơđun lớn số phức z A B D + C Hướng dẫn giải: Gọi z = x + yi; ( x ∈ ℝ; y ∈ ℝ ) Ta có: (1 − i ) z − − 2i = 10 ⇔ (1 − i ) z + −6 − 2i = 10 ⇔ z − − 4i 1− i = ⇔ ( x − ) + ( y − ) = 2 Đặt x = + sin t ; y = + cos t ; t ∈ [ 0; 2π ] Lúc đó: ( ) + ( + cos t ) = 25 + ( ( ) + (8 ) sin ( t + α ) ; (α ∈ ℝ ) z = + sin t = 25 + 2 sin t + cos t ) 2 ⇒ z = 25 + 20sin ( t + α ) ⇒ z ∈  5;3  ⇒ zmax = đạt z = + 6i Chọn B Câu 7: Cho số phức z thoã mãn z − + 4i = Gọi A B giá trị lớn nhỏ z Tính giá trị biểu thức P = A2 − B 75 Số Phức Nâng Cao A P = 43 B P = 80 C P = D P = 48 Hướng dẫn giải: Tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường tròn tâm I ( 3; −4 ) bán kính R = Khi A = z max = OI + R = + = ; B = z = OI − R = Suy P = 43 Chọn A Câu 8: Trong số phức thỏa mãn điều kiện z − − 4i = z − 2i Tìm mơđun nhỏ số phức z + 2i A B D + C Hướng dẫn giải: Gọi z = x + yi; ( x ∈ ℝ; y ∈ ℝ ) Ta có: z − − 4i = z − 2i ⇔ ( x − 2) + ( y − 4) 2 = x + ( y − ) ⇔ x + y − = ⇔ y = − x Ta có: z + 2i = x + ( y + ) = x + ( − x ) = x − 12 x + 36 = ( x − 3) + 18 ≥ 18 2 2 ⇒ z + 2i = 18 = z = + i Chọn C Câu 9: Cho số phức z thỏa mãn z − + 2i = Tìm mơđun nhỏ số phức z − + i A B 2 C D Hướng dẫn giải: Gọi z = x + yi; ( x ∈ ℝ; y ∈ ℝ ) ⇒ z − + i = ( x − 1) + ( y + 1) i Ta có: z − + 2i = ⇔ ( x − 1) + ( y + ) = 2 Đặt x = + 3sin t; y = −2 + 3cos t; t ∈ [ 0;2π ] ⇒ z − + i = ( 3sin t ) + ( −1 + 3cos t ) = 10 − cos t ⇒ ≤ z − 2i ≤ ⇒ z − + i = , 2 z = + i Chọn C Câu 10: Trong số phức z thỏa mãn: z − + 4i = z số phức z có modul nhỏ A z = 11 +i B z = − 2i C z = −5 − i D z = −3 + i Hướng dẫn giải: Ta có a + bi − + 4i = a + bi ⇒ ( a − 3) + ( b + ) = a + b ⇔ 25 − 6a + 8b = ⇔ a = 2 2 8b + 25 25 100 625  10  25 25  8b + 25  ⇒ z = = b+  + ≥ ⇒ b = −2 ⇒ a = b+  +b = b + 9 36  3 4   Chọn B 76 Số Phức Nâng Cao Câu 11: Trong số phức z thỏa mãn: z − − 4i = z − 2i số phức z có modul nhỏ A z = −2 + 2i B z = −2 − 2i C z = − 2i D z = + 2i Hướng dẫn giải: Ta có a + bi − − 4i = a + bi − 2i ⇒ ( a − ) + ( b − ) = a + ( b − ) 2 ⇔ 20 − 4a − 8b = − 4b ⇔ 4a + 4b = 16 ⇔ b = − a ⇒ z = a + ( − a ) = 2a − 8a + 16 = ( a − ) + ⇒ a = ⇒ b = 2 2 Chọn D Câu 12: Cho số phức z thoả mãn điều kiện A 13 − z − + 3i = Tìm giá trị nhỏ z B C 13 − D Hướng dẫn giải: Các điểm M biểu diễn số phức z thoả mãn z − + 3i = nằm đường trịn (C) tâm I(2; −3) bán kính R = y x (Ý nghĩa hình học z : độ dài OM) O z Ta có |z| đạt giá trị nhỏ ⇔ điểm M∈(C) OM nhỏ M C (Bài tốn hình học giải tích quen thuộc) I Ta có: OM ≥ OI – IM = OI – R = 13 − Dấu « = » xảy M giao điểm (C) đoạn thẳng OI Vậy GTNN z là: 13 − Chọn A Câu 13: Cho số phức z thỏa mãn: z − − 2i = Số phức z − i có mơđun nhỏ là: A −1 B +1 C −2 D +2 Hướng dẫn giải: Chọn A Gọi z = x + yi , x, y ∈ ℝ y Ta có: z − − 2i = ⇔ ( x − 2) + ( y − 2)i = ⇔ ( x − 2) + ( y − 2) = 1 I M O Tập hợp điểm mặt phẳng Oxy biểu diễn số phức z đường tròn (C ) tâm I (2; 2) bán kính R = 77 x Số Phức Nâng Cao z − i = x + ( y − 1) = IM , với I ( 2; ) tâm đường tròn, M điểm chạy đường tròn Khoảng cách ngắn M giao điểm đường thẳng nối hai điểm N ( 0;1) ∈ Oy, I ( 2; ) với đường tròn (C) IM = IN − R = − Câu 14: Trong số phức z thỏa z + + 4i = , gọi z0 số phức có mơ đun nhỏ Khi A Không tồn số phức z0 B z0 = C z0 = D z0 = Hướng dẫn giải: Chọn D Cách 1: Đặt z = a + bi ( a , b ∈ ℝ ) Khi z + + 4i = ⇔ (a + 3) + (b + 4)2 = Suy biểu diễn hình học số phức z đường tròn ( C ) tâm I ( −3; −4 ) bán kính R = Gọi M ( z ) điểm biểu diễn số phức z Ta có: M ( z ) ∈ (C ) z = OM ≥ OI − R = Vậy z bé M ( z ) = ( C ) ∩ IM Cách 2:  a + = cos ϕ  a = −3 + cos ϕ Đặt  ⇔ b + = sin ϕ b = −4 + sin ϕ ⇒ z = a + b2 = (2cos ϕ − 3) + (2sin ϕ − 4)2 = 29 − 12 cos ϕ − 16sin ϕ 3  = 29 − 20  cos ϕ + sin ϕ  = 29 − 20 cos(α − ϕ ) ≥ 5  ⇒ z0 = A Cho số phức z thỏa mãn điều kiện: z − + 2i = w = z + + i có mơđun lớn Số phức z có mơđun bằng: A B C Hướng dẫn giải: Chọn B Gọi z = x + yi 78 ( x, y ∈ ℝ ) ⇒ z − + 2i = ( x − 1) + ( y + ) i D Số Phức Nâng Cao ( x − 1) + ( y + ) Ta có: z − + 2i = ⇔ = ⇔ ( x − 1) + ( y + ) = 2 Suy tập hợp điểm M ( x; y ) biểu diễn số phức z thuộc đường tròn ( C ) tâm I (1; −2 ) bán kính R = hình vẽ: Dễ thấy O ∈ ( C ) , N ( −1; −1) ∈ ( C ) Theo đề ta có: M ( x; y ) ∈ ( C ) điểm biểu diễn cho số phức z thỏa mãn: w = z + + i = x + yi + + i = ( x + 1) + ( y + 1) i ⇒ z + + i = ( x + 1) + ( y + 1) 2 = MN Suy z + + i đạt giá trị lớn ⇔ MN lớn Mà M , N ∈ ( C ) nên MN lớn MN đường kính đường tròn ( C ) ⇔ I trung điểm MN ⇒ M ( 3; −3) ⇒ z = − 3i ⇒ z = 32 + ( −3) = 2 Câu 15: Trong số phức thỏa mãn điều kiện z + 3i = z + − i Tìm số phức có mơđun nhỏ nhất? B z = − + i 5 A z = − 2i C z = − i 5 D z = −1 + 2i Hướng dẫn giải: Chọn C Phương pháp tự luận Giả sử z = x + yi ( x, y ∈ ℝ ) z + 3i = z + − i ⇔ x + ( y + 3) i = ( x + ) + ( y − 1) i ⇔ x + ( y + 3) = ( x + ) + ( y − 1) 2 ⇔ y + = 4x + − y + ⇔ 4x − y − = ⇔ x − y −1 = ⇔ x = y + 2  z = x + y = ( y + 1) + y = y + y + =  y +  + ≥ 5 5  Suy z = Vậy z = 2 2 y = − ⇒ x = 5 − i 5 Phương pháp trắc nghiệm Giả sử z = x + yi ( x, y ∈ ℝ ) z + 3i = z + − i ⇔ x + ( y + 3) i = ( x + ) + ( y − 1) i ⇔ x + ( y + 3) = ( x + ) + ( y − 1) 2 ⇔ y + = 4x + − y +1 ⇔ 4x − y − = ⇔ x − y −1 = Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa điều kiện z + 3i = z + − i đường thẳng d : x − y −1 = 79 Số Phức Nâng Cao Phương án A: z = − 2i có điểm biểu diễn (1; − ) ∉ d nên loại A Phương án B: z = − + i có điểm biểu diễn 5  2  − ;  ∉ d nên loại B  5 Phương án D: z = −1 + 2i có điểm biểu diễn ( −1; ) ∉ d nên loại B 1 2 Phương án C: z = − i có điểm biểu diễn  ; −  ∈ d 5 5 5 z − 4i − = Câu 16: Cho số phức z thảo mãn Tìm giá trị nhỏ B A z C D Hướng dẫn giải: Giả sử z = a + bi, ta có: a + bi − + 4i = ⇒ ( a − 3) + ( b + ) = 16 2  a − = sin ϕ  a = + sin ϕ ⇒ Đặt  b + = cos ϕ b = cos ϕ − ⇒ z = a + b = + 16sin ϕ + 24sin ϕ + 16 − 32 cos ϕ 3  = 41 + 24sin ϕ − 32 cos ϕ = 41 + 40  sin ϕ − cosϕ  5  Đặt cosϕ = ,sin ϕ = ⇒ z = a + b = 41 + 40sin (ϕ − α ) ≥ 5 Dấu " = " xảy ϕ − α = − π + k 2π ⇒ ϕ = − π + α + k 2π Vậy z = Chọn A Câu 17: Trong sô phức thỏa điều kiện z − 4i − = 2i − z , mô đun nhỏ số phức z bằng: A 2 B D C Hướng dẫn giải: Giả sử số phức z = x + yi Theo đề z − 4i − = 2i − z ⇔ ( x − 2) + ( y − 4) 2 = x + ( y − ) ⇔ x + y − = ⇔ y = − x (1) Mà z = x + y = x + ( − x ) (thay (1) vào) = ( x − ) + ≥ 2 Chọn A Câu 18: Số phức z có mơ đun lớn thỏa mãn điều kiện z (1 + i ) − + 2i = 80 13 là: Số Phức Nâng Cao A z = + 3i B z = + i 2 C z = − i 2 D z = 15 + i 4 Hướng dẫn giải: + Gọi z = x + yi Từ giả thiết ta có: ( x + y − 3) + ( x − y + ) = 2 13 + Đồng thời z = x + y lớn Kiểm tra đáp án so sánh Chọn D Câu 19: Trong số phức z thỏa: z − + 4i = z , biết số phức z = a + bi, ( a, b ∈ ℝ ) có modul nhỏ Khi đó, giá trị P = a − b A P = B P = C P = − D P = − Hướng dẫn giải: Ta có a − bi − + 4i = a + bi ⇒ ( a − 3) + ( b − ) = a + b ⇔ 25 − 6a − 8b = ⇔ b = 2 25 − 6a 25 75 625  15  25  25 − 6a  a − a+ ⇒ z = a + = a−  + ⇒ a = ⇒ b =  = 16 64  8   16 2 Chọn A Câu 20: Trong số phức z thỏa mãn: z + − 5i = z + − i , biết số phức z = a + bi, ( a, b ∈ ℝ ) có modul nhỏ Khi đó, tỉ số A B a b C D P = − Hướng dẫn giải: Ta có a + bi + − 5i = a − bi + − i ⇒ ( a + 1) + ( b − ) = ( a + 3) + ( b + 1) 2 2 ⇔ 26 + 2a − 10b = 10 + 6a + 2b ⇔ 4a + 12b = 16 ⇔ a = − 3b 12   2 ⇒ z = ( − 3b ) + b = 10b − 24b + 16 =  b 10 −  + ⇒ b = ⇒ a = 10   Chọn B Câu 21: Trong mặt phẳng phức Oxy, số phức z thỏa z − 5i ≤ Nếu số phức z có mơđun nhỏ phần ảo bao nhiêu? A B C D Hướng dẫn giải: Giả sử M điểm biểu diễn số phức z Xét điểm A ( 0;5 ) ⇒ AM ≤ Tập hợp điểm M điểm khơng nằm ngồi đường trịn tâm A bán kính R = 81 Số Phức Nâng Cao ⇒ OM ≥ AO − AM = − = Chọn C Câu 22: Trong mặt phẳng phức Oxy, số phức z thỏa z + − i ≤ Nếu số phức z có mơđun lớn số phức z có phần thực bao nhiêu? A − −2 B −2 C 2− D 2+ 2 Hướng dẫn giải: Giả sử M điểm biểu diễn số phức z Xét điểm A ( −1;1) ⇒ AM ≤ Tập hợp điểm M điểm khơng nằm ngồi đường trịn ( C ) tâm A bán kính R = ⇒ OM ≤ AO + AM = + Dấu M giao điểm ( C ) OA : y = − x  xM = − yM −2 ± −2 − (chọn điểm xa O hơn) ⇒ ⇔ xM = ⇔ xM = 2 2 ( xM + 1) + ( yM − 1) = Chọn A Câu 23: Trong mặt phẳng phức Oxy , số phức z thỏa z + − i ≤ Nếu số phức z có mơđun lớn số phức z có phần thực bao nhiêu? A − −2 B −2 C 2− D 2+ Hướng dẫn giải: Gọi M ( x, y ) điểm biểu diễn số phức z = x + yi ( x, y ∈ R ) Gọi A điểm biểu diễn số phức −1 + i Ta có: z + − i ≤ ⇔ MA ≤ Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức hình trịn tâm A ( −1,1) , R = hình vẽ Để max z ⇔ max ( OM ) 2 −2 2+2  x + 1) + ( y − 1) ≤ ⇒ M thỏa hệ: ( ⇒x= ,x = − 2 y = −x  Câu 24: Cho số phức z thỏa mãn z − z + = ( z − + 2i )( z + 3i − 1) số phức w thỏa w = z − + 2i Tìm giá trị nhỏ w Hướng dẫn giải: Ta có: z − z + = ( z − + 2i )( z + 3i − 1)  ( z − + 2i ) = ⇔ ( z − + 2i )( z − − 2i ) = ( z − + 2i )( z + 3i − 1) ⇔   ( z − − 2i ) = ( z + 3i − 1) 82 Số Phức Nâng Cao Trường hợp 1: ( z − + 2i ) = ⇔ z = − 2i ⇒ w = Trường hợp 2: ( z − − 2i ) = ( z + 3i − 1) ⇔ b = −   ⇒ w =  a − i  − + 2i = ( a − ) + i ⇒ w =   với z = a + bi ( a, b ∈ ℝ ) ( a − 2) + ≥ z = a + bi ( a, b ∈ ℝ; a, b ≥ ) f ( x ) = ax + bx − f ( −1) ≤ 0, Câu 25: Cho số phức Đặt đa thức Biết z 1 f   ≤ − Tính giá trị lớn 4 Hướng dẫn giải: Ta có: f ( −1) ≤ ⇔ a − b − ≤ ⇔ b ≥ a − a b a 1 f   ≤ − ⇒ + − ≤ − ⇔ b ≤ 3− 16 4 4 Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z mặt phẳng Oxy miền kín giới hạn đường thẳng sau: x x = 0; y = 0; y = x − 2; y = − + Gọi M điểm biễu diễn số phức z ⇒ max z = max OM ⇒ M định sau A ( 0;0 ) , B ( 2;0 ) , C ( 2; ) , D ( 0;3) ⇒ max Om = OC = 83 ... phức z có mơđun lớn số phức z có phần thực bao nhiêu? 72 Số Phức Nâng Cao A 73 − −2 B −2 C 2− D 2+ Số Phức Nâng Cao HƯỚNG DẪN GIẢI DẠNG 4: SỐ PHỨC CÓ MOĐUN NHỎ NHẤT, LỚN NHẤT Câu 1: Cho số. .. phẳng phức Oxy, số phức z thỏa z + − i ≤ Nếu số phức z có mơđun lớn số phức z có phần thực bao nhiêu? A − −2 B −2 C 2− D 2+ 2 Câu 23: Trong mặt phẳng phức Oxy , số phức z thỏa z + − i ≤ Nếu số. . .Số Phức Nâng Cao −1 A +1 B −2 C +2 D Câu 14: Trong số phức z thỏa z + + 4i = , gọi z0 số phức có mơ đun nhỏ Khi A Khơng tồn số phức z0 B z0 = C z0 = D z0 = Câu 15: Trong số phức thỏa