tổ hợp

Chủ đề: Tổ hợp và đại số tổ hợp Lê Thị Ngọc Trâm ĐẠI SỐ TỔ HỢP A. QUY TẮC ĐẾM CƠ BẢN: I. Quy tắc cộng: Quy tắc cộng cho công việc với hai phương án được phát biểu như sau: Giả sử một công việc có thể được thực hiện theo phương án A hoặc phương án B. Có n cách thực hiện phương án A và có m cách thực hiện theo phương án B. Khi đó công việc có thể được thực hiện bởi n + m cách. Quy tắc cộng cho công việc với nhiều phương án được phát biểu như sau: Giả sử một công việc có thể được thực hiện theo một trong k phương án A 1 , A 2 , …, A k . Có n 1 cách thực hiện phương án A 1 , n 2 cách thực hiện phương án A 2 , … và n k cách thực hiện phương án A k . Khi đó công việc có thể được thực hiện bởi n 1 + n 2 + … + n k cách. Ví dụ: Giả sử đi từ tỉnh A đến tỉnh B có thể đi bằng các phương tiện: ô tô, tàu hỏa, tàu thủy hoặc máy bay. Mỗi ngày có 10 chuyến ô tô, 5 chuyến tàu hỏa, 3 chuyến tàu thủy và 2 chuyến máy bay. Hỏi có bao nhiêu cách đi từ tỉnh A đến tỉnh B trong một ngày? Giải: Người đi sẽ có bốn phương án chọn. Phương án thứ nhất là đi bằng ô tô, mà mỗi ngày có 10 chuyến ô tô nên phương án này có 10 cách chọn. Tương tự, phương án thứ hai là đi bằng tàu hỏa có 5 cách chọn, phương án thứ ba là đi bằng tàu thủy có 3 cách chọn, phương án thứ tư là đi bằng máy bay có 2 cách chọn. Vậy theo quy tắc cộng, ta có 10 + 5 + 3 + 2 = 20 cách chọn. * Lưu ý Quy tắc cộng thực chất là quy tắc đếm số phần tử của hợp hai tập hợp không giao nhau: Nếu tập hợp hữu hạn bất kỳ A và B không giao nhau. Khi đó thì số phần tử của A ∪ B bằng số phần tử của A cộng với số phần tử của B, tức là: | A ∪ B| = |A| + |B|. Tuy nhiên trong nhiều bài toán, chúng ta phải tính số phần tử của hai tập hợp A và B có giao khác rỗng. Nếu trong trường hợp này ta vẫn lấy số phần tử của tập A cộng với số phần tử của tập B thì khi đó số phần tử của A ∩ B sẽ được tính hai lần. Cho nên, đối với trường hợp này ở kết quả chúng ta phải trừ đi số phần tử của A ∩ B. Vậy: Nếu cho tập hợp hữu hạn bất kỳ A và B giao nhau khác rỗng. Khi đó thì số phần tử của A ∪ B bằng số phần tử của A cộng với số phần tử của B rồi trừ đi số phần tử của A ∩ B, tức là: | A ∪ B| = |A| + |B| - | A ∩ B|. Quy tắc trên gọi là quy tắc cộng mở rộng. II. Quy tắc nhân: Quy tắc nhân cho công việc với hai công đoạn được phát biểu như sau: Giả sử một công việc nào đó bao gồm hai công đoạn A và B. Công đoạn A có thể làm theo n cách. Với mỗi cách thực hiện công đoạn A thì công đoạn B có thể làm theo m cách. Khi đó công việc có thể thực hiện theo nm cách. Quy tắc nhân cho công việc với nhiều công đoạn được phát biểu như sau: Giả sử một công việc nào đó bao gồm k công đoạn A 1 , A 2 , …, A k. Công đoạn A 1 có thể làm theo n 1 cách, công đoạn A 2 có thể làm theo n 2 cách, …, công đoạn A k có thể làm theo n k cách. Khi đó công việc có thể thực hiện theo n 1 n 2 …n k cách. Ví dụ: Nam đến văn phòng phẩm mua quà tặng bạn. Trong cửa hàng có ba mặt hàng: bút, vở và thước, trong đó có 5 loại bút, 4 loại vở, 3 loại thước. Hỏi Nam có bao nhiêu cách chọn món quà gồm một bút, một vở và một thước? Giải Một món quà phải có một bút, một vở và một thước. Trang 1 Chủ đề: Tổ hợp và đại số tổ hợp Lê Thị Ngọc Trâm Một bút được chọn từ 5 loại bút nên có 5 cách chọn. Ứng với mỗi cách chọn một bút thì một vở được chọn từ 4 loại vở nên có 4 cách chọn. Ứng với mỗi cách chọn một bút và một vở thì một thước được chọn từ 3 loại thước nên có 3 cách chọn. Vậy theo quy tắc nhân ta có: 5.4.3 = 60 cách chọn mua quà.  CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI: 1. Sử dụng quy tắc cộng để giải bài toán đếm. Để sử dụng quy tắc cộng trong bài toán đếm, ta thực hiện theo các bước: Bước 1: Phân tách cách giải quyết một công việc thành k phương án độc lập với nhau: A 1, A 2, … ,A k . Bước 2: Nếu: A 1 có n 1 cách khác nhau. A 2 có n 2 cách khác nhau. ……. A k có n k cách khác nhau. Bước 3: Khi đó, ta có n 1 + n 2 + … + n k cách 2. Sử dụng quy tắc nhân để giải bài toán đếm. Để sử dụng quy tắc nhân trong bài toán đếm, ta thực hiện theo các bước: Bước 1: Phân tách một công việc thành k công việc nhỏ liên tiếp: A 1, A 2, … ,A k . Bước 2: Nếu: A 1 có n 1 cách khác nhau. Ứng với mỗi cách thực hiện A 1, A 2 có n 2 cách khác nhau. ……. Ứng với mỗi cách thực hiện A 1,…, A k-1 thì A k có n k cách khác nhau. Bước 3: Khi đó, ta có n 1 . n 2 . … n k cách. Chú ý: - Điều quan trọng ở đây là làm sao khi đọc đề bài, chúng ta biết được rằng bài đó phải dùng quy tắc cộng hay quy tắc nhân. Thông thường, nếu một bài toán mà công việc có thể giải quyết theo nhiều phương án hay có nhiều trường hợp xảy ra thì ta thường dùng quy tắc cộng, còn nếu bài toán mà công việc được thực hiện bằng những công việc nhỏ liên tiếp, nhiều công đoạn hay là trường hợp nhỏ này liên kết với trường hợp nhỏ kia thì ta thường dùng quy tắc nhân. - Trong nhiều trường hợp chúng ta cần kết hợp cả hai quy tắc để giải bài toán đếm B. HOÁN VỊ, CHỈNH HỢP, TỔ HỢP: I. Khái niệm giai thừa: 1) Định nghĩa: Với n∈ ¥ và 1n > Tích của n số tự nhiên liên tiếp từ 1 đến n được gọi là n giai thừa. Ký hiệu: n! Ta có: n! = 1.2…n Quy ước: 0!=1 và 1!=1 2) Một số công thức: ! ! * ! ( 1)!. * ( 1)( 2) . ( ) * ( 1)( 2) . ! ( )! n n n n n k k n n k n k n k n k n k = − = + + ≥ = − + − + − II. Hoán vị: Cho tập hợp A gồm n phần tử phân biệt ( 0)n ≥ . Mỗi cách sắp xếp n phần tử của A theo một thứ tự nào đó được gọi là một hoán vị của n phần tử. Số các hoán vị của n phần tử được kí hiệu là: P n ! 1.2 . n P n n= = Trang 2 Hoán vị * Nhóm có thứ tự * Đủ mặt n phần tử của A n phần tử Chủ đề: Tổ hợp và đại số tổ hợp Lê Thị Ngọc Trâm Ví dụ 1: Sắp xếp 5 người vào một băng ghế có 5 chỗ. Hỏi có bao nhiêu cách? Mỗi cách đổi chỗ 1 trong 5 người trên băng ghế là 1 hoán vị Vậy có 5 5! 120P = = cách sắp. Ví dụ 2: Một đoàn khách du lịch dự định đến tham quan 7 điểm du lịch A, B, C, D, E, G và H ở Hà Nội. Họ đi tham quan theo thứ tự nào đó, chẳng hạn A B C D E F G H → → → → → → → . Như vậy mỗi cách họ chọn thứ tự tham quan là một hoán vị của tập {A, B, C, D, E, G, H}. Do vậy đoàn khách có tất cả 7 7! 5040P = = cách chọn.  CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI: 1. Dạng 1: Hoán vị thẳng: Ví dụ: Trên đường thẳng (d) cho ba điểm A, B, C. Hỏi có bao nhiêu cách ghi các điểm A, B, C đã cho lên đoạn thẳng (d). Giải: Số cách ghi các điểm A, B, C lên đường thẳng (d) là số hoán vị của tập {A, B, C}. Ta có số hoán vị của {A, B, C} là: 3 3! 6P = = cách. Vậy có 6 cách ghi các điểm A, B, C lên đường thẳng (d). 2. Dạng 2: Hoán vị tròn: Mời n vị khách ngồi xung quanh 1 bàn tròn có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi? Ví dụ 1: Một hội nghị bàn tròn có phái đoàn các nước Đài Loan: có 3 người, Triều Tiên: có 2 người, Nhật: có 3 người, Singapo: có 3 người. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi cho mọi thành viên sao cho các thành viên cùng quốc tịch thì ngồi cạnh nhau? Giải: Chọn một phái đoàn ngồi trước 3 phái đoàn còn lại ngồi sau có 3! = 6 cách sắp xếp Trong đó đối với các phái đoàn: Đài Loan có 3! = 6 cách sắp xếp chỗ ngồi. Triều Tiên có 2! = 2 cách sắp xếp chỗ ngồi. Nhật có 3! = 6 cách sắp xếp chỗ ngồi. Singapo có 3! = 6 cách sắp xếp chỗ ngồi. Vậy có tất cả 6 . 6 . 2 . 6 . 6 = 25292 cách sắp xếp chỗ ngồi sao cho các thành viên cùng một quốc tịch sẽ ngồi gần nhau. Ví dụ 2: Trong buổi hợp mặt có 5 bạn nam và 5 bạn nữ. Có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi quanh bàn tròn sao cho các bạn nam, nữ ngồi xen kẽ nhau. Giải: Sắp chỗ ngồi cho một bạn nam đầu tiên có 10 cách sắp. Số cách sắp xếp 4 bạn nam còn lại là 4! cách Số cách sắp xếp 5 bạn nữ là: 5! cách Vậy số cách sắp xếp chỗ ngồi cho 10 bạn thoả yêu cầu bài toán là: 10 x 4! x 5! = 28 800 cách sắp xếp. 3. Dạng 3: Hoán vị có lặp lại Có n vật sắp xếp vào n vị trí trong số n vật này có Trang 3 Chủ đề: Tổ hợp và đại số tổ hợp Lê Thị Ngọc Trâm n 1 vật 1 giống nhau Có n 2 vật 2 giống nhau … Có n k vật k giống nhau Số cách sắp xếp n vật này là: n!/(n 1 ! .n k !) cách sắp xếp Ví dụ 1: Xếp 3 quyển sách toán giống nhau, 4 sách lý giống nhau, 2 sách hoá giống nhau vào một kệ sách hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp. Giải: Số cách sắp xếp các quyển sách vào kệ là số hoán vị của tập gồm có 9 phần tử. Số hoán vị của tập có 9 phần tử là: 9! cách sắp xếp Vì có 3 sách toán giống nhau, 4 sách lý giống nhau, 2 sách hoá giống nhau nên số cách sắp xếp các sách vào kệ là: 9! 1260 3!.4!.2! = cách. Ví dụ 2: Cho 5 chữ số 1, 2, 3, 4, 5. Hỏi ta có thể lập được bao nhiêu số có 8 chữ số trong đó chữ số 1 xuất hiện đúng 3 lần, chữ số 2 xuất hiện đúng 2 lần. Giải: Xét tập { } 1,1,1,2,2,3,4,5A = Các số có thể lập được là: 8!/(3!.2!) = 3360 số. III. Chỉnh hợp: 1. Định nghĩa: Cho tập hợp A gồm n phần tử phân biệt ( 1)n ≥ . Mỗi cách chọn ra k (1 )k n≤ ≤ phần tử của A và sắp xếp theo một thứ tự nào đó được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử. 2. Số các chỉnh hợp: Số các chỉnh hợp chập k của một tập hợp có n phần tử (1 )k n≤ ≤ được ký hiệu là k n A )!kn( !n )1kn) .(1n(nA k n − =+−−= Ví dụ: Trong trận chung kết bóng đá phải phân định thắng thua bằng đá luân lưu 11m. Huấn luyện viên của mỗi đội cần trình với trọng tài một danh sách sắp thứ tự 5 cầu thủ trong số 11 cầu thủ của đội để tham gia đá. Mỗi danh sách có xếp thứ tự 5 cầu thủ được gọi là một chỉnh hợp chập 5 của 11 cầu thủ Huấn luyện viên của mỗi đội có thể chọn một trong 11 cầu thủ để đá quả đầu tiên. Tiếp theo có 10 cách chọn cầu thủ đá quả thứ hai, rồi có 9 cách chọn cầu thủ đá quả thứ 3, rồi lại có 5 cách chọn cầu thủ đá quả thứ tư và cuối cùng có 7 cách chọn cầu thủ đá quả thứ năm. Theo quy tắc nhân, huấn luyện viên mỗi đội sẽ có 11.10.9.8.7 55440 = cách chọn.  Chú ý: a) Hai chỉnh hợp khác nhau khi và chỉ khi hoặc có ít nhất một phần tử của chỉnh hợp này không là phần tử của chỉnh hợp kia hoặc các phần tử của 2 chỉnh hợp giống nhau nhưng được sắp xếp theo thứ tự khác nhau. b) Với quy ước 0!=1 và 0 1 n A = khi đó ta có: Trang 4 Chỉnh hợp * Nhóm có thứ tự * Gồm k phần tử được lấy từ n phần tử của A n phần tử Chủ đề: Tổ hợp và đại số tổ hợp Lê Thị Ngọc Trâm ! 0 ( )! k n n A k n n k = ≤ ≤ − c) Mỗi hoán vị của n phần tử cũng chính là một chỉnh hợp chập n của n phần tử đó. Vì vậy : n n n P A = d) (1 ) n k n k n n n k A A A k n − − = ≤ ≤  CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI: 1. Dạng 1: Rút gọn biểu thức * Phương pháp : Để rút gọn biểu thức có chứa các toán tử chỉnh hợp, ta thường sử dụng công thức khai triển của nó. Ngoài ra, rút gọn biểu thức còn cho phép ta tính được giá trị của biểu thức đó. * Ví dụ minh hoạ: Ví dụ 1: Rút gọn biểu thức: 6 5 4 ( 6, ) n n n A A P n n A + = > ∈ ¥ Giải : Ta có : 6 5 4 2 ! ! ( 6)! ( 5)! ! ( 4)! ( 1)( 2)( 3)( 4)( 5) ( 10( 2)( 3)( 4) ( 1)( 2)( 3) ( 4)( 5) ( 4) ( 4)( 5 1) ( 4) n n n n n A A n n P n A n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n + + − − = = − − − − − − + − − − − = − − − = − − + − = − − + = − Vậy 2 ( 4)P n= − Ví dụ 2: Tính giá trị biểu thức: 12 11 10 9 49 49 17 17 10 8 49 17 A A A A M A A + + = − Giải: Ta có: 12 11 10 9 49 49 17 17 10 8 49 17 49! 49! 17! 17! (49 12)! (49 11)! (17 10)! (17 9)! 49! 17! (49 12)! (17 8)! 49! 49! 17! 17! 39! 39! 9! 9! 37! 38! 7! 8! 49! 17! 37! 38! 7! 8! 39! 9! (39.38 39) (9.8 9) 39.39 9.9 14 A A A A M A A + + + + − − − − = − = − − − + +   = − = + − +  ÷   = + − + = − = 40 2. Dạng 2: Chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức: * Phương pháp: Để chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức chứa các toán tử chỉnh hợp ta cũng thường sử dụng công thức khai triển của nó Trang 5 Chủ đề: Tổ hợp và đại số tổ hợp Lê Thị Ngọc Trâm * Ví dụ minh hoạ: Ví dụ 1: Chứng minh rằng: 2 1 2n n n n k n k n k A A k A + + + + + + = Giải: Ta có: 2 1 2 2 ( )! ( )! ( )! ( )! ( 2)! ( 1)! ( 2)! ( 1)! ( )! ( )! . ( )! ( 2)! 1 ( 1)! .( 1)! ( )! ! n n n k n k n n k n k n k n k n k A A n k n n k n k k n k k k n k k k n k k k k k k k n k k A k + + + + + + + + + + = + = + + − − + − − − − + + +   = = =  ÷ − − − −   + = = Vậy ta được điều phải chứng minh. Ví dụ 2: Chứng minh rằng: 2 2 1 . 2 n n n A P n P + + − = Giải: Ta có: 2 2 ( 2)! ( 2)! ! . . ! ( 2)! ( 2 2)! ! n n n n n A P n n n n + + + = = = + + − Khi đó 2 2 1 . ( 2)! 2 2 2 2 ( 1)! n n n A P n n n P n + + + − = − = + − = + Vậy 2 2 1 . 2 n n n A P n P + + − = Ví dụ 3: Chứng minh rằng: 1 1 1 . k k k n n n A A k A − − − = + Giải: Ta có: 1 1 1 ( 1)! ( 1)! ( 1)! ( 1)! . . ( 1 )! ( 1 1)! ( 1)! ( )! ( 1)! ( 1)! ! 1 . ( 1)! ( 1)! ( )! k k n n k n n n n k n A k A k n k n k n k n k n k n n n A n k n k n k n k n k − − − − − − − + = + = + − − − − + − − − − −   = + = = =  ÷ − − − − − − −   Vậy 1 1 1 . k k k n n n A A k A − − − = + 3. Dạng 3: Giải phương trình, bất phưong trình. * Phương pháp: Để giải phương trình, bất phương trình chứa các toán tử chỉnh hợp, ta có thể chọn một trong hai cách sau: Cách 1: Thực hiện việc đơn giản biểu thức để chuyển phương trình, bất phương trình về dạng đại số quen thuộc. Cách 2: Đánh giá vế thông qua các giá trị cận trên và cận dưới của nó. * Ví dụ minh hoạ: Ví dụ 1: Tìm n nguyên dương thoả điều kiện: 3 5 4 2 1 2 ) 20 ) 18. ) 3 n n n n n a A n b A A c A A − = = − = Giải: a) Điều kiện 3,n n ≥ ∈ ¥ . Ta có: Trang 6 Chủ đề: Tổ hợp và đại số tổ hợp Lê Thị Ngọc Trâm 3 2 ! 20 20 ( 1)( 2) 20 ( 1)( 2) 20 ( 3) ( 3)! 6 3 18 0 3 n n A n n n n n n n n do n n n n n n = ⇔ = ⇔ − − = ⇔ − − = ≥ − =  ⇔ − − = ⇔  = −  Kết hợp điều kiện ta nhận n = 6 Vậy n = 6 thoả yêu cầu bài toán. b) Điều kiện 2 4 6n n n n − ≥ ≥   ⇔   ∈ ∈   ¥ ¥ Ta có: 5 4 2 2 ! ( 2)! ( 2)!( 1) ( 2)! 18. 18. 18. ( 5)! ( 6)! ( 6)!( 5) ( 6)! 9 ( 1) 18( 5) 19 90 0 10 n n n n n n n n A A n n n n n n n n n n n n − − − − − = ⇔ = ⇔ = − − − − − =  ⇔ − = − ⇔ − + = ⇔  =  Kết hợp điều kiện ta nhận cả hai nghiệm trên. Vậy 9n = hoặc 10n = thoả yêu cầu bài toán. c) Điều kiện 2,n n≥ ∈ ¥ Ta có: 2 1 2 ! ! ( 2)!( 1) ( 1)! 3 3 3 ( 2)! ( 1)! ( 2)! ( 1)! 1 ( 1) 3 2 3 0 3 n n n n n n n n n A A n n n n n n n n n n n − − − − = ⇔ − = ⇔ − = − − − − =−  ⇔ − − = ⇔ − − = ⇔  =  Kết hợp điều kiện ta nhận 3n = Vậy 3n = thoả yêu cầu bài toán Ví dụ 2: Giải phương trình: 3 3 x x P A= Giải: Điều kiện: * 1 3x x ≤ ≤   ∈  ¥ Ta có: 3 3! 3 3. ! !(3 )! 2 (*) (3 )! x x P A x x x x = ⇔ = ⇔ − = − Với 1x = thì (*) 1!(3 1)! 2⇔ − = (đúng) Với 2x = thì (*) 2!(3 2)! 2⇔ − = (đúng) Với 3x = thì (*) 3!(3 3)! 2⇔ − = (sai) Kết luận: Nghiệm của phương trình là: 1x = hoặc 2x = Ví dụ 3: Giải bất phương trình: 4 4 15 ( 2)! ( 1)! n A n n + < + − Giải Trang 7 Chủ đề: Tổ hợp và đại số tổ hợp Lê Thị Ngọc Trâm Điều kiện: * 2n n ≥   ∈  ¥ 4 4 2 2 ( 4)! 15 15 ( 4)! 15 ! ( 2)! ( 1)! ( 2)! ( 1)! ( 2)! ! ( 1)! ( 2)!( 3)( 4) 15 ( 3)( 4) 15 ( 2)!( 1)! ( 1)! 7 12 15 8 12 0 2 6 n n A n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n + + + < ⇔ < ⇔ < + − + − + − + + + + + ⇔ < ⇔ < + − − ⇔ + + < ⇔ − + < ⇔ < < Kết hợp điều kiện ta được 3,4,5n = Vậy 3,4,5n = là nghiệm của bất phương trình đã cho. 4. Dạng 4: Thực hiện bài toán đếm: * Phương pháp: Sử dụng kết hợp các quy tắc nhân, quy tắc cộng, hoán vị chỉnh hợp để giải toán. * Ví dụ minh hoạ: Ví dụ 1: Có bao nhiêu cách để chọn 4 cầu thủ khác nhau trong 10 cầu thủ của đội bóng quần vợt để chơi 4 trận đấu đơn, biết rằng các trận đấu có thứ tự. Giải: Mỗi cách chọn có thứ tự 4 cầu thủ của đội bóng là một chỉnh hợp chập 4 của 10. Khi đó ta có 3 10 10! 7.8.9.10 5040 6! A = = = cách chọn Vậy có 5040 cách chọn. Ví dụ 2: Với 5 chữ số 1, 2, 3, 4, 5 ta có thể lập được bao nhiêu số gồm n chữ số khác nhau? ( ,2 5)n n∈ ≤ ≤¥ Giải: Mỗi số có n chữ số khác nhau sẽ ứng với một chỉnh hợp chập n của 5 phần tử đã cho. Với 2n = : số con số gồm 2 chữ số được lập từ 5 số trên là: 2 5 20A = số Với 3n = : số con số gồm 3 chữ số được lập từ 5 số trên là: 3 5 60A = số Với 4n = : số con số gồm 4 chữ số được lập từ 5 số trên là: 4 5 120A = số Với: 5n = : số con số gồm 5 chữ số được lập từ 5 số trên là: 5 5 120A = số Do đó, số có thể lập được là: 20 60 120 120 320 + + + = số. Ví dụ 3: Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số khác nhau được tạo nên từ các số 0, 1, 2, …, 8, 9 (chú ý rằng chữ số đầu tiên phải khác 0). Giải: Gọi số tự nhiên có 4 chữ số là abcd , với { } { } 1,2, .,8,9 ; , , 0,1, 2, .,8,9a b c d∈ ∈ Vì chữ số đầu tiên khác 0, nên có 9 cách chọn chữ số a Sau khi đã chọn chữ số đầu tiên thì 3 chữ số sau được lập từ 9 chữ số còn lại, nên nó là một chỉnh hợp chập 3 của 9. Suy ra có: 3 9 9! 9! 7.8.9 504 (9 3)! 6! A = = = = − cách viết 3 chữ số còn lại. Trang 8 Chủ đề: Tổ hợp và đại số tổ hợp Lê Thị Ngọc Trâm Vậy có 9.504 4536 = số tự nhiên gồm 4 chữ số khác nhau. IV.Tổ hợp: 1. Định nghĩa: Cho tập A có n phần tử và số nguyên k với (1 )k n≤ ≤ . Mỗi tập con của A có k phần tử được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử của A (gọi tắt là một tổ hợp chập k của A) Như vậy lập một tổ hợp chập k của A chính là lấy ra k phần tử của A (không quan tâm đến thứ tự).  Chú ý: Số k trong định nghĩa cần thoả mãn điều kiện (1 )k n≤ ≤ . Tuy vậy, tập hợp không có phần tử nào là tập hợp rỗng nên ta quy ước gọi tập rỗng là tổ hợp chập 0 của n phần tử. Ví dụ: Trên mặt phẳng, cho bốn điểm phân biệt A, B, C, D sao cho không có ba điểm nào thẳng hàng. Hỏi có thể tạo nên bao nhiêu tam giác mà các đỉnh thuộc tập bốn điểm đã cho? Giải: Mỗi tam giác ứng với một tập con gồm ba điểm từ tập bốn điểm đã cho. Vậy ta có bốn tam giác ABC, ABD, ACD, BCD. 2. Số các tổ hợp: Số các tổ hợp chập k của một tập hợp có n phần tử (1 )k n ≤ ≤ là kí hiệu là k n C hoặc ( ) k n ( ) 1 ( 2)( 3) .( 1) ! ! 1.2.3 !( )! k k n n n n n n n k A n k k k n k C − − − − + = = = −  Chú ý: Ta quy ước 0 1 n C = ( coi ∅ 1à tổ hợp chập 0 của tập hợp có n phần tử). Với quy ước này công thức trên cũng đúng với 0k = . Vậy công thức trên đúng với mọi số nguyên k thoả mãn 0 k n ≤ ≤ . 3. Tính chất: a) Tính chất 1: Cho số nguyên dương n và số nguyên k với 0 k n ≤ ≤ . Khi đó: k n k n n C C − = b) Tính chất 2: (hằng đẳng thức Pa-xcan) Cho các số nguyên n và k với 1 k n≤ ≤ . Khi đó: 1 1 k k k n n n C C C − + = +  CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI: 1. Dạng 1: Rút gọn biểu thức: Để thực hiện việc rút gọn biểu thức chứa các toán tử tổ hợp, ta sử dụng công thức khai triển. Ví dụ: Rút gọn biểu thức: 2 1 1 1 2 . n n n n n n n C C A C n C C − = + + + Giải: Ta lần lượt có: Trang 9 Tổ hợp * Nhóm không có thứ tự * Gồm k phần tử được lấy từ n phần tử của A n phần tử Tổ hợp * Nhóm không có thứ tự * Gồm k phần tử được lấy từ n phần tử của A n phần tử Chủ đề: Tổ hợp và đại số tổ hợp Lê Thị Ngọc Trâm 1 2 1 1 , ! 2!( 2)! 2. 2. 1 ! ( 1)! . 1 1 ! ( 1)!1! n n n n n n n C n n C n n n C n C n n C n − = − = = − − = = − Suy ra 2 1 1 1 ( 1) 2 . ( 1) . 1 2 n n n n n n n C C n n A C n n n C C − − = + + + = + − + + = 2. Dạng 2: Chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức: Để chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức chứa các toán tử tổ hợp ta thường sử dụng công thức khai triển. Có trường hợp chúng ta sử dụng tính đơn điệu của dãy số để chứng minh, cụ thể với dãy số { } n u để chứng minh 0k u u≤ ta chứng minh dãy { } n u đơn điệu giảm. * Ví dụ minh hoạ: Ví dụ 1: Chứng minh rằng với các số k, n nguyên không âm sao cho 0 k n≤ ≤ ta có: 1 1 k k n n nC C k − − = Giải: Ta có: 1 1 ( 1)! ! . ( 1)!( )! !( )! k k k n n n nC n n n C C k k k n k k n k − − − = = = = − − − (điều phải chứng minh). Ví dụ 2: Chứng minh rằng: 1 ( 1) n n n n + > + với mọi , 3n n + ∈ ≥¢ Giải: Ta có: 1 1 ( 1) 1 1 1 ( 1) 1 . 1 1 n n n n n n n n n n n n n n n + + + +     > + ⇔ < ⇔ < ⇔ + <  ÷  ÷     Ta lại có: 2 0 1 2 1 1 1 1 1 . ! 1 1 1 1 1 . 1 2!( 2)! n n n n n n n n C C C C n n n n n n n         + = + + + +  ÷  ÷  ÷  ÷         = + + + + < + + + − 1 4 2 43 Vậy 1 1 n n n   + <  ÷   với 3n ≥ Nên bất đẳng thức 1 ( 1) n n n n + > + đúng. 3. Dạng 3: Giải phương trình và bất phương trình Để giải phương trình, bất phương trình chứa các toán tử tổ hợp, chúng ta chọn một trong hai cách sau: Cách 1: Thực hiện việc đơn giản biểu thức để chuyển phương trình bất phương trình về dạng đại số quen thuộc. Cách 2: Đánh giá thông qua giá trị cận trên hoặc cận dưới. * Ví dụ minh hoạ: Ví dụ 1: Tìm k ∈ ¥ biết rằng: 2 1 14 14 14 2 k k k C C C + + + = Giải: Điều kiện: 12, (*)k k≤ ∈ ¥ Biến đổi phương trình về dạng: Trang 10 (n lần) [...]... của b luôn bằng số chập - Tổng số mũ của a và b trong cùng một số hạng luôn bằng n - Số hạng tổng quát của khai triển (số hạng thứ k+1) k Tk +1 = Cn a n − k b k (k = 0, n) Chú ý: a = b =1 ta có a = 1; b = −1 ta có 0 1 k n 2n = Cn + Cn + Cn2 + + Cn + Cnn −1 + Cn 1 0 = Cn0 − Cn + Cn2 + + (− 1) k Cnk + + ( −1) n Cnn II Tam giác Pa-xcan: Trang 12 Chủ đề: Tổ hợp và đại số tổ hợp Lê Thị Ngọc Trâm ( a +... bông)? Giải: Vì bảy bông hoa màu khác nhau và ba lọ cắm hoa khác nhau nên mỗi lần chọn ra ba bông hoa để cắm vào ba lọ, ta có một chỉnh hợp chập 3 của 7 phần tử Vậy số cách cắm hoa bằng số các chỉnh hợp chập 3 của 7 (bông hoa) Trang 17 Chủ đề: Tổ hợp và đại số tổ hợp 3 Dó đó, kết quả cần tìm là A7 = Lê Thị Ngọc Trâm 7! = 210 (cách) 4! Bài 4: Có bao nhiêu cách mắc nối tiếp 4 bóng đèn được chọn từ 6... 18  x 4 Ví dụ 6: Tìm số hạng độc lập với x trong khai triển nhị thức  + ÷ 2 x 12 3 12 12 Vậy số hạng thứ 13 của khai triển trên là: C15 3 (− x) = 27 x Trang 15 Chủ đề: Tổ hợp và đại số tổ hợp Lê Thị Ngọc Trâm Giải: Số hạng tổng quát trong khai triển nhị thức là: 18 − k x Tk +1 = C  ÷ 2 k 18 k 4 k k  ÷ = C18 2k −18.22 k x18−k x − k = C18 23k −18.x18− 2 k x  Số hạng độc lập với x trong... Dạng tìm số hạng thứ k: Số hạng thứ k trong khai triển (a + b) n là Tk = Cn a  Dạng tìm số hạng (hoặc hệ số của số hạng) chứa x m * Phương pháp: - Số hạng tổng quát (số hạng thứ k+1) của khai triển (a + b) n là: Trang 14 Chủ đề: Tổ hợp và đại số tổ hợp Lê Thị Ngọc Trâm k Tk +1 = Cn a n − k b k = M (k ).x f ( k ) (k = 0, n) - Giải phương trình f (k ) = m tìm được nghiệm k0 n−k Khi đó số hạng cần tìm... chỉnh hợp chập 3 của 5 Vậy số 3 cách cắm là A5 = 5.4.3 = 60 (cách) b) Nếu các bông hoa là như nhau thì mỗi cách cắm là một tổ hợp chập 3 của 5 (lọ) Vậy số cách cắm là: 3 C5 = 5.4.3 = 10 (cách) 3! Bài 6: Trong mặt phẳng cho sáu điểm phân biệt sao cho không có ba điểm nào thẳng hàng Hỏi có thể lập được bao nhiêu tam giác mà các đỉnh của nó thuộc tập điểm đã cho? Giải: 3 Số tam giác bằng số các tổ hợp chập... 2) 6 = a 6 − 6 2a 5 + 30a 4 − 40 2a 3 + 60a 2 − 24 2a + 8 13 13 1  k c)  x − ÷ = ∑ C13 ( −1) k x13− 2 k x  k =0 Trang 18 Chủ đề: Tổ hợp và đại số tổ hợp Lê Thị Ngọc Trâm 6   2 ÷ x2  Bài 2: Tìm hệ số của x 3 trong khai triển của biểu thức:  x + Giải: Số hạng tổng quát của khai triển là: k  2  Tk +1 = C x  2 ÷ k = 0, 6 x  k k = C6 x 6−k 2 k x −2 k = C6 2 k x 6−3k k 6 6 −k Số hạng chứa... đường từ A qua B Ứng với mỗi cách chọn từ A qua B thì có 2 cách chọn con đường từ B đến C Ứng với mỗi cách chọn con đường từ B đến C thì sẽ có 3 cách chọn con đường từ C đến D Trang 16 Chủ đề: Tổ hợp và đại số tổ hợp Lê Thị Ngọc Trâm Vậy theo quy tắc nhân, số cách đi từ A đến D mà qua B và C chỉ một lần là: 4 2 3 = 24 (cách) b) Tương tự, ta có số cách đi từ A đến D rồi trở về A là: 4 2 3 3 2 4... tam giác Pa-xcan đến dòng n tương ứng - Viết khai triển nhị thức * Ví dụ minh hoạ: Ví dụ: Dùng tam giác Pa-xcan để khai triển (3x − 2 y )5 Giải: Ta có tam giác Pa-xcan: Trang 13 1 5 1 Chủ đề: Tổ hợp và đại số tổ hợp n=0 n =1 n=2 n=3 n=4 n=5 1 1 1 1 1 1 1 2 1 3 3 1 4 6 4 1 5 10 10 5 Lê Thị Ngọc Trâm 1 Khi đó: (3x − 2 y )5 = (3 x)5 + 5(3 x) 4 ( −2 y ) + 10(3 x)3 ( −2 y ) 2 + 10(3 x) 2 ( −2 y) 3 + 5(3 x)(... tương ứng với một tập con gồm 3 điểm của P Vậy số tam giác có 3 đỉnh thuộc P chính bằng số các tổ hợp chập 3 của tập P, tức bằng: 3 C7 = 7! 7.6.5 = = 35 cách 3!(7 − 3)! 3.2.1 Trang 11 Chủ đề: Tổ hợp và đại số tổ hợp Lê Thị Ngọc Trâm Ví dụ 2: Trong một lớp có 20 học sinh nam và 15 học sinh nữ Thầy chủ nhiệm cần chọn 4 học sinh nam và 3 học sinh nữ đi tham gia chiến dịch “Mùa hè xanh” của Đoàn Thanh niên...Chủ đề: Tổ hợp và đại số tổ hợp Lê Thị Ngọc Trâm 14! 14! 2.14! + = k !(14 − k )! (k + 2)!(12 − k )! ( k + 1)!(13 − k )! 1 1 2 ⇔ + = (14 − k )(13 − k ) ( k + 2)(k + 1) (k + 1)(13 − k )  k = 4 thoả mãn điều kiện (*) ⇔ k . Chủ đề: Tổ hợp và đại số tổ hợp Lê Thị Ngọc Trâm ĐẠI SỐ TỔ HỢP A. QUY TẮC ĐẾM CƠ BẢN: I. Quy tắc cộng: Quy tắc. một chỉnh hợp chập 3 của 7 phần tử. Vậy số cách cắm hoa bằng số các chỉnh hợp chập 3 của 7 (bông hoa). Trang 17 Chủ đề: Tổ hợp và đại số tổ hợp Lê Thị