SKKN sử dụng biệt thức delta vào giải toán

BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN Lời giới thiệu: Sử dụng biệt thức Delta để giải phương trình bậc hai nội dung c b ản, quan trọng chương trình đại số Tuy nhiên sử dụng triệt để biệt thức Delta để giải số dạng toán khác nào? Điều nhiều nhà nghiên cứu giáo dục đề cập Tuy nhiên q trình giảng dạy Tốn nh bồi d ưỡng h ọc sinh giỏi tốn nhiều năm tơi chưa thấy có tài liệu đề cập m ột cách đầy đủ, sâu rộng ứng dụng biệt thức Delta gi ải tốn Đ ặc biệt chương trình tốn THCS, xuất nhiều toán liên quan đến tam thức bậc hai có dạng: - Chứng minh bất đẳng thức cực trị đại số - Cực trị hình học - Các tốn có nội dung số học toán rời rạc - Phương pháp miền giá trị hàm số - Giải phương trình hệ phương trình có nhiều ẩn số, ph ương trình hệ phương trình nghiệm ngun Đây nội dung khó chương trình tốn Th ường xu ất hi ện đề thi vào lớp 10 THPT chuyên, đề thi học sinh gi ỏi c ấp Khi giải tập dạng học sinh gặp nhiều khó khăn, v ướng m ắc d ẫn đ ến không hứng thú, em chưa tìm ph ương pháp thích h ợp Mặt khác cơng cụ giải tốn nhiều h ạn ch ế Khơng th ế mà giáo viên xem nhẹ dạng toán mà giáo viên cần phải bắt đ ầu t đâu, dẫn dắt để em không lúng túng gặp dạng tốn Trong q trình giảng dạy tơi tìm ứng d ụng c bi ệt th ức Delta Nó chiếm vị trí quan trọng giải tập dạng V ận d ụng bi ệt thức Delta, ta tìm kết tốn nhanh chóng Mặt khác giúp h ọc sinh có hứng thú giải tốn Chính tơi vi ết chuyên đ ề “Sử dụng biệt thức Delta vào giải toán ” Qua giảng dạy bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 9, thấy chuyên đề thiết thực, em có th ể gi ải số dạng tốn khó việc sử dụng biệt th ức Delta Đ ưa dạng tốn dạng quen thuộc đơn giản h ơn Bằng s ự c ố gắng thân kinh nghiệm giảng dạy đội ển tơi hồn thành chun đề Xong với hạn chế thân điều kiện nghiên cứu chun đề khơng tránh khỏi thiếu sót Rất mong đ ược bạn đ ọc tham khảo, đóng góp ý kiến để chuyên đề hoàn thiện h ơn Tên sáng kiến: Sử dụng biệt thức Delta vào giải toán Tác giả sáng kiến: - Họ tên: Nguyễn Thị Thanh Thủy - Địa tác giả sáng kiên: Trường THCS Hợp Thịnh - Số điện thoại: 0973295907 E_mail: thanhthuythanhmai@gmail.com Chủ đầu tư tạo sáng kiến : Nguyễn Thị Thanh Thủy Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: - Lĩnh vực áp dụng : Giáo dục - Vấn đề mà sáng kiến giải quyết: Sử dụng biệt thức Delta vào giải số dạng tốn khó trường phổ thơng Ngày sáng kiến áp dụng lần đầu áp dụng th ử: 9/2017 Mô tả chất sáng kiến: - Về nội dung sáng kiến: A Lý thuyết bản: Cho phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = (a ≠ 0) (1) Phương trình (1) có nghiệm khi: ∆ = b2 – 4ac ≥ ( ∆’ = b’2 - ac ≥ ) Dấu tam thức bậc hai: 2.1 Cho tam thức bậc hai: f(x) = ax2 + bx + c (a ≠ 0) Û Nếu ∆ < > Þ f(x) ln dấu với a Nếu ∆ = = Nếu ∆ > = (x – x1)(x – x2) Giả sử x1 < x2 ≥ Þ f(x) ln dấu với a (trừ x = ) Þ f(x) trái dấu với a x1 < x < x2 f(x) dấu a x < x1 x > x2 2.2 Cho tam thức bậc hai f(x) = ax2 + bx + c (a >0) + f(x) ≥ với "x Î R Û ∆ = b2 – 4ac ≤ B Các dạng tập: Dạng 1: CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC – CỰC TRỊ ĐẠI SỐ Bài 1: Cho số thực x, y, z ≠ thỏa mãn điều kiện: Chứng minh rằng: x2 ≥ Giải: Ta có: Û Vậy số y, z nghiệm phương trình: t2 - (x3 - x)t + x2 = (*) Do tồn x, y, z thỏa mãn u cầu tốn nên ph ương trình (*) có nghiệm ∆ = (x3 - x)2 – 4x2 ≥ Û (1 – x2)2 ≥ (do x ≠ 0) Û Bài 2: Cho a, b, c số thực thỏa mãn : 9a2 + 8ab + 7b2 ≤ Tìm GTLN biểu thức: P = 7a + 5b + 12ab Giải: Xét hàm số: f(a,b) = 9a2 – (4b+7)a + 7b2 + Ta có: Da = -59(2b – 1)2 ≤ Theo định lí dấu tam thức bậc hai ta có: f(a,b) ≥ 7a + 5b + 12ab – ≤ 9a2 + 8ab + 7b2 – ≤ – = 7a + 5b + 12ab ≤ Vậy Pmax = dấu xảy a=b= Bài 3: Cho a, b hai số thỏa mãn a2 + 4b2 = Chứng minh rằng: Giải: Đặt a – b = x => a = x + b Thay a = x + b vào a + 4b2 = ta được: (x + b)2 + 4b2 = Û x2 + 2bx + b2 + 4b2 = Û 5b2 + 2bx + x2 – = (*) Xem (*) phương trình bậc hai ẩn b Phương trình (*) có nghiệm Û ∆’ ≥ Û - 4x2 + ≥ Û x2 ≤ Vậy Dạng 2: CỰC TRỊ HÌNH HỌC Bài 1: Cho tam giác ABC, đoạn thẳng BC, CA AB l ần l ượt lấy điểm I, J, K cho K không trùng với A, K không trùng v ới B Chứng minh: Giải: Ta có: JKB = BAC + Mà: JKB = JKI + AJK ( góc ngồi tam giác AJK) IKB Mặt khác: Suy AJK = BAC = JKI = 600 BKI Vậy D BKI đồng dạng với DAJK Suy Đặt AK = x, BK = y (x, y > 0) Ta có : x + y = AB = a (không đổi) Và: AK BK = m (m > 0) Do x, y nghiệm phương trình X2 – aX + m = Phương trình phải có nghiệm nên : D = a2 – 4m ≥ m Vậy BI.AJ = AK.BK Dấu xảy x = y = AB tức K trung điểm đoạn Dạng 3: PHƯƠNG PHÁP MIỀN GIÁ TRỊ CỦA HÀM SỐ Bài 1: Tìm GTLN biểu thức Giải: Đặt a = 2016, a > 0, ta có tốn tổng qt: Tìm GTLN biểu thức ĐKXĐ: x ≠ - a, ta có: P(x + a)2 = x Px2 + (2aP – 1)x + a2P = (*) Do tồn P nên tồn giá trị tương ứng x, nghĩa (*) có nghi ệm D = (2aP – 1)2 – 4a2P2 ≥ – 4aP ≥ P≤ Ta có: Vậy maxP = , thay a = 2016, ta được: max P = Bài 2: Tìm miền giá trị hàm số: Giải: (do a > 0) Biến đổi biểu thức dạng phương trình bậc hai ẩn x, xem B nh tham số Û (x2 + 1)B = x Û Bx2 – x + B = (1) - Nếu B = Û x = - Nếu B ≠ ta có : ∆ = – 4B2 Do tồn x để xác định giá trị B Û∆≥0 Û – 4B2 ≥ Û B2 ≤ Vậy maxB = Û Ûx=1 * Vậy miền giá trị B là: Bài 2: Tìm GTLN GTNN biểu thức: Giải: ĐKXĐ: x Ỵ R Ta có: P(x2 + 1) = x2 + x+3 (P – 1)x2 - x + P – = (*) Do tồn P nên tồn giá trị tương ứng x, nghĩa (*) có nghi ệm  Nếu P = 1, (*) - 4x – = x =  Nếu P ≠ 1, (*) có nghiệm: D = -P2 + 4P + ≥ (P – )(1 + P) ≤ -1 ≤ P ≤ Khi P = - D = 0, phương trình có nghiệm kép x = - Khi P = D = , phương trình có nghiệm kép x = Vậy max P = P = -1 Bài 3: Tìm GTNN GTLN biểu thức: Giải: Chuyển yêu cầu việc xét điều kiện có nghiệm phương trình : Trong x ẩn số, y tham số, z tham số có ều ki ện Xét trường hợp: + Khi z = x + 2y + = + Khi z ≠ phương trình (1) có nghiệm ch ỉ D≥0 (2) – 4z(zy2 – 2y + 7z -1) ≥ -4z2y2 + 8yz – 28z2 + 4z + ≥ Xem (2) bất phương trình ẩn y, bất phương trình nghiệm với giá trị y khi: 16z2 + 4z2(-28z2 + 4z + 1) ≥ -28z2 + 4z + ≥ ≤z≤ Khi z nhận giá trị đẳng th ức (1) (2) xảy Lúc x = Vậy maxA = x = 1; y = minA = x= ;y= Dạng 4: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH NHIỀU ẨN, PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN Bài 1: Trong cặp số (x; y) thỏa mãn: x2 – yx2 + 2xy – y + = Tìm cặp số (x; y) mà y có giá trị nhỏ Giải: Ta có x2 – yx2 + 2xy – y + = (1 – y) x2 + 2yx – y + = (*)  Với y = 1, từ (*) ta có: 2a – + = x = -  Với y ≠ 1, xem (*) phương trình ẩn x (*) có nghiệm ymin = D' ≥ x=-7 y2 – (1 – y)(-y + 7) ≥ 8y ≥ y≥ Vậy (x; y ) = (-7; ) Bài 2: Tìm nghiệm nguyên phương trình: x2 + 2x – 4y2 + = (1) Giải: Để phương trình (1) có nghiệm thì: ∆’= + 4y – = 4(y2 - 2) ≥0 Þ y2 ≥ 2Þ để phương trình có nghiệm ngun ngồi điều kiện ∆’ ≥ ta cần thêm điều kiện ∆’ số phương Đặt 4y2 – = k2 ( k ẻN) ị 4y2 k2 = ( 2y – k )(2y + k) = Vì 2y – k + 2y + k = 4y số chẵn nên 2y – k 2y + k tính ch ẵn, l ẻ Và ( 2y – k )(2y + k) = ( chẵn ) nên 2y – k 2y + k ch ẵn Þ (loại) Hoặc nguyên Bài 3: Giải hệ phương trình (loại) Vậy phương trình khơng có nghiệm Giải: Từ (2) x2 + y2 + xy – 3x – 4y + = x2 + (y – 3)x + (y – 2)2 = Để phương trình có nghiệm với ẩn x, ta phải có: D = (y – 3)2 – 4(y – 2)2 ≥ Mặt khác (2) (y – 1)(3y – 7) ≤ 0≤y≤ (3) y2 + (x – 4) y – 3x + + x2 = Để phương trình có nghiệm với ẩn y, ta phải có: D = (x – 4)2 – 4(x2 – 3x + 4) ≥ x(3x – 4) ≤ Từ (3) (4) ta có 0≤x≤ (4) , khơng thỏa mãn (1) Vậy hệ phương trình cho vơ nghiệm Bài 4: Tìm cặp (x ; y) thỏa mãn: 10x2 + 5y2 – 2xy – 38x – 6y + 41 = (1) Giải: (1) 10x2 – 2(y + 19)x + 5y2 – 6y + 41 = (2) Phương trình (2) có nghiệm khi: D' ≥ (y+19)2 – 10(5y2 – 6y + 41 ) ≥ - 49y2 + 98y – 49 ≥ Với y = suy x = Vậy (x; y) = (2; 1) -49(y – 1)2 ≥ y=1 Bài 5: Giải hệ phương trình Giải: Từ (1) suy ra: x2 + (y – 3) x + – y = (*) Coi phương trình bậc hai ẩn x, ta có D = (y – 3)2 – 4(2 – y) = (y – 1)2 Nên (*) có hai nghiệm x = x = – y + Với x = thay vào (2) ta y = -1 y = + Với x = – y thay vào (2) ta y = suy x = Vậy hệ phương trình có hai nghiệm (x;y) = (1; 1) (x; y) = (1; -1) Bài 6: Giải hệ phương trình: Giải: Hệ phương trình Đặt a = x + y, b = x – y hệ có d ạng Hệ (I) có nghiệm phương trình (1) có nghiệm a, ph ương trình (2) có nghiệm b suy + Với z = thay vào hệ (I) ta có a = b = suy x = 1; y = + Với z = -2 thay vào hệ (I) ta có a = b = -1 suy x = -1; y = Vậy hệ phương trình có hai nghiệm (x; y; z) = (1; 0; 2) (x; y; z) = (-1; 0; -2) C Bài tập tự luyện Bài 1: Cho ba số nguyên a, b, c thỏa mãn a + b + c c s ố lẻ Ch ứng minh phương trình: ax2 + bx + c = khơng có nghiệm ngun Bài 2: Chứng minh bất đẳng thức: 5y2 – 6xy + 2x2 + 2x – 2y + > với (x,y) Bài : Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác Chứng minh rằng: 2a2 + b2 + c2 -2a(b + c) ≥ Dấu “=” xảy nào? Khi tam giác ABC có đặc điểm gì? Bài 4: Cho đẳng thức: x2 – x + y2 – y = xy (1) Chứng minh rằng: (y - 1)2 ≤ ; (x - 1)2 ≤ Bài 5: (Đề thi THPT chuyên KHTN 2013) Tìm x, y nguyên thỏa mãn phương trình: 2x2 + 3xy + y2 – 4x – 3y + = (x + y)(x + 2y) = + x Bài 6: Cho hệ phương trình: giả sử hệ có nghiệm, chứng minh rằng: Bài 7: Cho x2 + y2 + xy = Tìm GTLN, GTNN A = x2 – xy + 2y2 Bài 8: (Đề thi vào lớp 10 năm 2009 ĐH KHTN – ĐHQG Hà N ội) Giải hệ phương trình: Bài 9: Cho số thực x, y thỏa mãn 9x2 + y2 = Tìm giá trị lớn biểu thức Bài 10: Tìm GTLN, GTNN biểu thức sau: - Về khả áp dụng sáng kiến: * Sáng kiến áp dụng vào: + Báo cáo chuyên đề Cụm phòng GD&ĐT Tam Dương tổ ch ức tác giả báo cáo + Sáng kiến áp dụng vào bồi dưỡng học sinh khá, gi ỏi l ớp c trường THCS Hợp Thịnh thi vào lớp 10 THPT chuyên KHTN, chuyên ĐHSP thuộc ĐHQG Hà Nội, THPT chuyên Vĩnh phúc trường THPT cơng lập có uy tín tỉnh Vĩnh Phúc + Sáng kiến áp dụng vào bồi dưỡng đội ển học sinh gi ỏi toán lớp trường THCS Hợp Thịnh thi học sinh giỏi cấp thi gi ải toán mạng Violympic + Sáng kiến áp dụng vào bồi dưỡng đội ển h ọc sinh gi ỏi giải toán máy tính cầm tay trường THCS Hợp Th ịnh Những thơng tin cần bảo mật (nếu có): không Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến: Học sinh giỏi toán lớp 10 Đánh giá lợi ích thu dự kiến thu áp dụng sáng kiến theo ý kiến tác giả theo ý kiến tổ chức, cá nhân tham gia áp dụng sáng kiến lần đầu, kể áp dụng thử (nếu có) theo nội dung sau: 10.1 Đánh giá lợi ích thu dự kiến thu áp dụng sáng kiến theo ý kiến tác giả: Khi chưa áp dụng sáng kiến: Học sinh gặp dạng toán như: Ch ứng minh bất đẳng thưc, toán số học, giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất, mi ền giá trị hàm số, giải phương trình hệ phương trình có nhi ều ẩn s ố, giải phương trình, hệ phương trình nghiệm nguyên đề thi thường em gặp nhiều khó khăn, lúng túng, vướng mắc d ẫn đ ến không hứng thú, em chưa tìm phương pháp thích h ợp M ặt khác cơng cụ giải tốn nhiều hạn chế thường nh ững câu học sinh để điểm học sinh làm Do kết kỳ thi học sinh giỏi giải Toán chưa cao ổn định Khi áp dụng đề tài vào giảng dạy đội ển HSG gi ải Toán, h ọc sinh tiếp thu kiến thức dễ dàng, có công cụ hỗ trợ biệt th ức Delta từ em dễ dàng tìm phương pháp giải toán v ới h ọc sinh khá, đa số em có kỹ trình bày lời giải ch ặt chẽ đ ầy đ ủ T học sinh hứng thú hăng say h ọc tập K ết qu ả kỳ thi h ọc sinh giỏi giải Toán cấp nâng lên số lượng chất l ượng 10.2 Đánh giá lợi ích thu dự kiến có th ể thu áp dụng sáng kiến theo ý kiến tổ chức, cá nhân: - Khi sáng kiến báo cáo chuyên đề cụm phòng GD&ĐT Tam Dương tổ chức, thầy dạy toán trường c ụm đánh giá cao chuyên đề tính thiết thực khả áp dụng chun đ ề, phù hợp với đội tuyển học sinh giỏi tr ường đ ại trà, thầy cô coi tài liệu hay, ph ương pháp m ới đ ể áp d ụng giảng dạy đội tuyển Nhiều thầy khơng nghĩ s dụng biệt thức Delta giải tốn khó chứng minh bất đẳng thức, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số - Các thầy, cô giảng dạy đội tuyển học sinh giỏi trường THCS Hợp Thịnh áp dụng chuyên đề vào bồi dưỡng đội tuyển, thấy chuyên đề thiết thực phù hợp, đặc biệt giải tốn máy tính cầm tay giải tốn mạng Violympic em áp dụng tìm đáp số nhanh chóng nhiều toán Kết đội tuyển Toán trường THCS Hợp Thịnh cụ thể sau: Kết thi HSG Năm học 2018-2019 cấp huyện Kết thi HSG Ghi cấp Tỉnh 01Ba 1KK Áp dụng CĐ 11 Danh sách tổ chức/cá nhân tham gia áp dụng th ho ặc áp dụng sáng kiến lần đầu (nếu có): Số Tên tổ TT chức/cá Địa Phạm vi/Lĩnh vực áp dụng sáng kiến nhân Lê Thị Thu Trường THCS Hợp Hiền Thịnh Đội tuyển toán lớp trường THCS Hợp Thịnh Phùng Xuân Trường THCS Hợp Hoan Thịnh Đội tuyển toán lớp trường THCS Hợp Thịnh Hợp Thịnh, ngày 05 tháng Hợp Thịnh, ngày 02 tháng năm năm2019 2019 Thủ trưởng đơn vị/ Tác giả sáng kiến Chính quyền địa phương (Ký tên, đóng dấu) Nguyễn Thị Thanh Thủy ... vực áp dụng sáng kiến: - Lĩnh vực áp dụng : Giáo dục - Vấn đề mà sáng kiến giải quyết: Sử dụng biệt thức Delta vào giải số dạng tốn khó trường phổ thông Ngày sáng kiến áp dụng lần đầu áp dụng th... thú giải tốn Chính tơi vi ết chun đ ề Sử dụng biệt thức Delta vào giải toán ” Qua giảng dạy bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 9, thấy chuyên đề thiết thực, em có th ể gi ải số dạng tốn khó việc sử dụng. .. giỏi giải Toán chưa cao ổn định Khi áp dụng đề tài vào giảng dạy đội ển HSG gi ải Toán, h ọc sinh tiếp thu kiến thức dễ dàng, có cơng cụ hỗ trợ biệt th ức Delta từ em dễ dàng tìm phương pháp giải