Phương trình trên nhóm abel hữu hạn

Phương trình trên nhóm abel hữu hạn

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN*********HÀ DUY NGHĨAPHƯƠNG TRÌNHTRÊN NHÓM ABEL HỮU HẠNLUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌCQuy Nhơn - 2011 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN*********HÀ DUY NGHĨAPHƯƠNG TRÌNHTRÊN NHÓM ABEL HỮU HẠNChuyên ngành: Đại số và lý thuyết sốMã số: 60 46 05LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌCNgười hướng dẫn khoa họcTS. NGUYỄN AN KHƯƠNGQuy Nhơn - 2011 iMỤC LỤCMục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iLời mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1Chương 1 đặc trưng của nhóm abel hữu hạn 31.1 Khái niệm và các tính chất cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2 Hệ thức trực giao của các đặc trưng . . . . . . . . . . . . . . . 61.3 Thặng dư bậc hai, kí hiệu Legendre . . . . . . . . . . . . . . . 81.4 Đặc trưng trên trường hữu hạn Fq, tổng Gauss . . . . . . . . . 101.5 Đặc trưng môđun k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14Chương 2 phương trình trên nhóm abel hữu hạn 162.1 Biến đổi Fourier trên nhóm Abel hữu hạn . . . . . . . . . . . 162.1.1 Khái niệm và các tính chất cơ bản . . . . . . . . . . . 162.1.2 Luật thuận nghịch bậc hai . . . . . . . . . . . . . . . 192.1.3 Biến đổi Fourier của hàm đặc trưng . . . . . . . . . . . 242.2 Phương trình x1  x2  ☎ ☎ ☎   xk✏ a . . . . . . . . . . . . . . . 27Chương 3 phương trình đồng dư bậc cao 323.1 Tổng Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323.1.1 Khái niệm và các tính chất cơ bản . . . . . . . . . . . 323.1.2 Một số dạng mở rộng của tổng Jacobi . . . . . . . . . 363.2 Phương trình α1xk11  ☎ ☎ ☎   αnxknn✏ α . . . . . . . . . . . . . . 433.3 Phương trình đồng dư A1xm11  A2xm22✑ A ♣mod pq . . . . . . 463.3.1 Số nghiệm của phương trình A1x31  A2x32✑ A ♣mod pq 463.3.2 Số nghiệm của phương trình A1x41  A2x42✑ A ♣mod pq 53 ii3.3.3 Điều kiện đủ để phương trình A1xm11  A2xm22✑ A ♣mod pqcó nghiệm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 1LỜI MỞ ĐẦUMột trong những bài toán trung tâm của lý thuyết số là tìm nghiệm vàxét tính chất nghiệm hữu tỉ của phương trình. Nghiệm của một phương trìnhtrên các nhóm Abel hữu hạn (đặc biệt là trên các trường hữu hạn) có quanhệ mật thiết với nghiệm hữu tỉ cũng như nghiệm phức của phương trình đó.Phương trình trên nhóm Abel hữu hạn là một đối tượng đã được các nhàtoán học nghiên cứu từ lâu và đến nay vẫn còn được quan tâm rộng rãi.Một trong các khía cạnh nghiên cứu của vấn đề này là bài toán xác định sốnghiệm của phương trình trên nhóm Abel hữu hạn. Luận văn Phương trìnhtrên nhóm Abel hữu hạn nhằm tìm hiểu về nghiệm của phương trình trênnhóm Abel hữu hạn và nghiệm của các phương trình đồng dư trên vành cácsố nguyên.Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận văn được chiathành ba chương, trong đó nội dung chính của luận văn được trình bày ởChương 2 và Chương 3.Trong phần đầu của Chương 1 chúng tôi trình bày khái niệm các đặc trưngcủa nhóm hữu hạn và các khái niệm cần thiết cho các phần sau. Tiếp theochúng tôi trình bày chi tiết về nhóm các đặc trưng và hệ thức trực giao củacác đặc trưng. Ngoài ra, chúng tôi còn trình bày một số đặc trưng cụ thể trêntrường hữu hạn Fqcũng như ý nghĩa của nó qua tổng Gauss trên trường hữuhạn (các Mệnh đề 1.4.9, 1.4.11).Trong Chương 2 chúng tôi trình bày về phép biến đổi Fourier trên nhómAbel hữu hạn và một số ứng dụng. Chúng tôi bắt đầu từ việc xây dựng cácđịnh nghĩa, ví dụ cũng như những tính chất cơ bản của phép biến đổi Fouriertrên nhóm Abel hữu hạn (Đẳng thức Parseval, các Mệnh đề 2.1.10, 2.1.12).Sau đó chúng tôi đã sử dụng các tính chất của biến đổi Fourier để chứng 2minh Luật thuận nghịch bậc hai và giải bài toán tìm số nghiệm của phươngtrình trên nhóm Abel hữu hạn. Phần cuối của chương là chứng minh Định lýFermat trên trường hữu hạn.Trong Chương 3 chúng tôi trình bày về tổng Jacobi và ứng dụng của nó.Phần đầu chúng tôi giới thiệu khái niệm và các tính chất cơ sở của tổng Jacobi.Từ đó chúng tôi làm rõ được với mỗi số nguyên tố p có dạng p ✏ 4f   1 đềulà tổng của bình phương của hai số nguyên. Phần sau chúng tôi sử dụng tổngJacobi để tìm số nghiệm của phương α1xk11  ☎ ☎ ☎   αnxknn✏ α trên trường Fp.Đồng thời giải một số bài toán về số nghiệm của phương trình đồng dư dạngA1xm11  A2xm22✑ A ♣mod pq trên vành các số nguyên. Ngoài ra, chúng tôicòn sử dụng phần mềm Maple để kiểm tra lại các kết quả tính toán từ cácví dụ minh họa.Cuối cùng, cho phép tôi được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy TS.Nguyễn An Khương, người đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tôi thực hiện luậnvăn này. Nhân đây, tôi xin chân thành cảm ơn đến Ban Giám Hiệu, PhòngSau Đại học, Khoa Toán Trường Đại học Quy Nhơn; Trường THPT PhanĐình Phùng -ĐăkLăk đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi hoàn thành khóa học.Tôi xin trân trọng cảm ơn quý thầy cô Khoa Toán đã giảng dạy và giúp đỡtôi trong quá trình học tập, nghiên cứu khoa học cũng như thực hiện đề tài.Tôi xin cảm ơn gia đình, bạn bè đồng nghiệp đã cùng chia sẻ, động viên vàgiúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và thực hiện luận văn.Mặc dù bản thân đã rất cố gắng và được sự hướng dẫn nhiệt tình củathầy giáo hướng dẫn, nhưng do năng lực của bản thân và thời gian còn hạnchế nên luận văn khó tránh khỏi những thiếu sót. Chúng tôi rất mong nhậnđược sự góp ý của quý thầy cô và các bạn để luận văn được hoàn thiện hơn. 3Chương 1ĐẶC TRƯNG CỦA NHÓM ABEL HỮU HẠNCho G là một nhóm Abel hữu hạn cấp n. Trong chương này chúng tôitrình bày các khái niệm, tính chất cơ bản về đặc trưng của G. Bên cạnh đó,chúng tôi cũng giới thiệu một đặc trưng môđun k của vành các số nguyên Zvà các đặc trưng của trường hữu hạn Fq. Kiến thức trong chương này đượcchúng tôi trình bày dựa trên các tài liệu [4], [5], [9], [10].1.1 Khái niệm và các tính chất cơ bảnĐịnh nghĩa 1.1.1. Cho G là một nhóm Abel hữu hạn cấp n viết theo lốicộng. Một đặc trưng của nhóm G là một đồng cấu từ G vào nhóm nhân C✝các số phức khác không. Nói cách khác, một đặc trưng của nhóm G là mộthàm χ : G ÝÑ C✝thỏa mãn χ♣a   bq ✏ χ♣aqχ♣bq với mọi a, b  G.Kí hiệu là χ0là đặc trưng tầm thường, tức là χ0♣aq ✏ 1 với mọi a  G.Chú ý 1.1.2. Từ định nghĩa ta có χ♣aqn✏ χ♣naq ✏ χ♣0q ✏ 1 với a  G. Dođó χ♣aq chính là căn bậc n của đơn vị và χ♣✁aq ✏ χ♣aq✁1✏ χ♣aq.Định nghĩa 1.1.3. Giả sử χ và χ✶là hai đặc trưng của nhóm G. Tích củahai đặc trưng χ và χ✶là ánh xạ được xác định bởiχχ✶: G ÝÑ C✝a ÞÝÑ χχ✶♣aq :✏ χ♣aqχ✶♣aq.Rõ ràng ánh xạ này cũng là một đặc trưng của G. Hơn nữa, tập hợp tấtcả các đặc trưng của G lập thành một nhóm giao hoán với phép toán nhânnhư trên. Cụ thể, ta có định lý sau. 4Định lý 1.1.4. Tập các đặc trưng của nhóm G lập thành một nhóm giaohoán, kí hiệu là♣G, với phép toán nhân được xác định như trên.Chứng minh. Dễ dàng chứng minh được♣G là một nhóm giao hoán với đơnvị là χ0.Định nghĩa 1.1.5. Nhóm♣G được gọi là nhóm đối ngẫu của nhóm G.Ví dụ 1.1.6 (Đặc trưng của nhóm Zn). Gọi ω ✏ e2πinlà căn bậc n của đơn vị,các ánh xạ χj: ZnÝÑ C✝xác định bởi χj♣aq ✏ ωja, j  Z là các đặc trưngcủa Zn. Thật vậy, ta có χj♣aq  C✝và χj♣a  bq ✏ ωj♣a bq✏ χj♣aqχj♣bq, j  Z.Nên χjlà đặc trưng của Zn. Ngoài ra ta có các sự kiện sau.♣iq χj✏ χknếu và chỉ nếu j ✑ k ♣mod nq. Thật vậy, vì χj✏ χknên χj♣1q ✏ χk♣1q. Do đó ωj✏ ωkhay j ✑ k ♣mod nq. Ngược lại, nếuj ✑ k ♣mod nq thì ωJ✏ ωk tn✏ ωk. Hay χj✏ χk.♣iiq χj✏ χj1. Thật vậy, với mọi a  Znta cóχj♣aq ✏ ωja✏ ♣ωaqj✏ ♣χ1♣aqqj.Do đó ta có χj✏ χj1.♣iiiq①Zn✏ tχ0, ., χn✁1✉. Thật vậy, ta chỉ cần chứng minh①Znlà nhómxyclic cấp n. Ta có χ1là phần tử sinh của nhóm①Znvà χn✏ e2πi✏ 1 ✏ χ0.Ngoài ra, giả sử tồn tại 0 ➔ n✶➔ n sao cho χn✶✏ χ0. Khi đó n⑤n✶. Điều nàyvô lý. Vậy①Znlà nhóm xyclic cấp n, hay①Zn✏ tχ0, ., χn✁1✉.♣ivq①Zn✕ Zn. Từ ♣iiiq ta có đẳng cấu trong ♣ivq.Mệnh đề 1.1.7. Cho h : G1ÝÑ G2là một đồng cấu nhóm và χ là một đặctrưng của nhóm G2. Đồng cấu nối của χ bởi h được kí hiệu là h✍χ xác địnhbởi h✍✏ χ ✆ h (hợp thành của χ và h) là một đặc trưng của nhóm G1.Chứng minh. Suy ra trực tiếp từ quy tắc hợp thành của hai đồng cấu. 5Mệnh đề 1.1.8. Nếu G1, G2là hai nhóm Abel hữu hạn và đẳng cấu với nhauthì hai nhóm đối ngẫu①G1,①G2tương ứng của chúng cũng đẳng cấu với nhau.Chứng minh. Giả sử h : G1ÝÑ G2là một đẳng cấu và χ2là đặc trưng củanhóm G2, xét sơ đồG1h//χ1!!CCCCCCCCG2χ2C✝Theo Mệnh đề 1.1.7, ta có đồng cấu nối χ2✆ h là đặc trưng của nhóm G1,nên mỗi đặc trưng χ1của nhóm G1là đồng cấu nối nào đó giữa χ2và h. Khiđó ánh xạh✍:①G2Ñ①G1χ2ÞÝÑ h✍♣χ2q :✏ χ2✆ hlà toàn ánh.Bây giờ ta cần chứng h✍là một đồng cấu và đơn ánh. Thật vậy, theo địnhnghĩa của đặc trưng h✍ta có h✍♣χ2χ✶2q ✏ h✍♣χ2qh✍♣χ✶2q nên suy ra h✍là mộtđồng cấu. Hơn nữa với mỗi j ✏ t1, 2✉ gọi χ0jlà đặc trưng tầm thường củaGj, khi đó nếu h✍χ2✏ χ01thì χ2✆ h♣aq ✏ 1 với mỗi a  G1, vì h song ánhnên suy ra χ2✏ χ02. Do đó Ker ♣h✍q ✏ Id①G2là ánh xạ đồng nhất .Vậy h✍là một đẳng cấu.Mệnh đề 1.1.9. Gọi G ✏ G1✂ G2là tích trực tiếp của hai nhóm G1và G2.Khi đó các nhóm đối ngẫu tương ứng♣G,①G1,①G2thỏa mãn♣G ✏①G1✂①G2.Chứng minh. Ta có G ✏ t♣x1, x2q; x1 G1, x2 G2✉. Khi đó với χ1①G1,χ2①G2xét tương ứngχ : G ÝÑ C✝♣x1, x2q ÞÝÑ χ♣x1, x2q :✏ χ1♣x1qχ2♣x2q. 6Dễ thấy χ là một ánh xạ. Ta sẽ chứng minh χ là một đặc trưng của G. Thậtvậy, với mọi ♣x1, x2q, ♣y1, y2q  G ta cóχ♣♣x1, x2q   ♣y1, y2qq ✏ χ♣x1  y1; x2  y2q ✏ χ1♣x1  y1qχ2♣x2  y2q✏ χ1♣x1qχ2♣x2qχ1♣y1qχ2♣y2q ✏ χ♣x1; x2qχ♣y1; y2q.Vậy χ là một đặc trưng của nhóm G.Tiếp theo ta chứng minh ánh xạΦ :①G1✂①G2ÝÑ♣G♣χ1, χ2q ÞÝÑ Φ♣χ1, χ2q :✏ χlà một đẳng cấu. Trước hết ta thấy rằng Φ là một toàn cấu. Thật vậy, vớimọi χ ♣G ta có χ♣x1, x2q ✏ χ♣x1, 0qχ♣0, x2q ✏ χ1♣x1qχ2♣x2q, do đó luôn tồntại ♣χ1, χ2q ①G1✂①G2sao cho Φ♣χ1, χ2q ✏ χ. Hay Φ là một toàn cấu. Hơnnữa, với ♣χ1, χ2q, ♣χ✶1, χ✶2q ①G1✂①G2, giả sử ♣χ1, χ2q ✏ ♣χ✶1, χ✶2q ta cóχ♣x1, x2q ✏ χ1♣x1qχ2♣x2q ✏ χ✶1♣x1qχ✶2♣x2q ✏ χ✶♣x1, 0qχ✶♣0, x2q ✏ χ✶♣x1, x2q.Do đó χ ✏ χ✶, hay Φ là đơn cấu. Từ đó suy ra được Φ là một đẳng cấu.Hệ quả 1.1.10. G ✕♣G.Chứng minh. Vì G là một nhóm hữu hạn nên G ✕ Zn1✂ ☎ ☎ ☎ ✂ Znkvà theoMệnh đề 1.1.9 ta có nhóm đối ngẫu♣G ✕②Zn1✂ ☎ ☎☎ ✂②Znk. Do đó G ✕♣G.1.2 Hệ thức trực giao của các đặc trưngMệnh đề 1.2.1 ([4, Proposition 1.1]). Với mọi đặc trưng không tầm thườngχ của G ta luôn có➳aGχ♣aq ✏ 0. [...]... pZ{kZq Vớ d 1.5.6 c trng paq  Ă â a p l m t c trng mụun p 16 Chng 2 PHNG TRèNH TRấN NHểM ABEL H U H N N i dung chớnh c chỳng tụi trỡnh by trong chng ny l s d ng tớnh ch t c a bi n i Fourier trờn nhúm Abel h u h n ch ng minh Lu t thu n ngh ch b c hai, gi i bi toỏn v s nghi m c a phng trỡnh trờn nhúm Abel h u h n cng nh ch ng minh nh lý Fermat cu i cựng trờn tr ng h u h n Ki n th c trong chng... nh ch ng minh nh lý Fermat cu i cựng trờn tr ng h u h n Ki n th c trong chng ny c chỳng tụi trỡnh by d a trờn cỏc ti li u [4], [14] 2.1 2.1.1 Bi n i Fourier trờn nhúm Abel h u h n Khỏi ni m v cỏc tớnh ch t c b n Cho G l m t nhúm Abel h u h n c p n G i CG  tf | f : G íẹ Cu l t p t t c cỏc hm t G vo C D th y r ng CG l m t khụng gian vect n chi u Trong khụng gian ny ta nh ngha tớch vụ h ng 1 xf, gy... Ă p mod pq p 1 2 Do ú, theo nh lý Wilson ta cú 1.4 Ă1  a Ă p mod pq p 1 2 c trng trờn tr ng h u h n Fq , t ng Gauss Cho Fq l tr ng h u h n v i q l ly th a c a m t s nguyờn t Ngoi c trng c a nhúm Abel pFq , q v c trng trờn nhúm giao hoỏn pFƯ , q q ó c c p, trong ph n ny ta s xột c trng trờn tr ng Fq C th ta cú cỏc nh ngha sau nh ngha 1.4.1 M t c trng c ng tớnh c a tr ng Fq l c trng c a... Ta s ch ng minh S b G sao cho pbq $ 1, v i m i $ 0 Khi ú ta cú pbqS  á aG paqpbq  á aG á pa bq  abG  0 Th t v y, ch n pa bq  S T ú suy ra S ppbq Ă 1q  0 hay S  0 H qu 1.2.2 Cho G l m t nhúm Abel h u h n c p n Khi ú (i) N u l m t c trng c a G thỡ (ii) N u x G thỡ p G pxq  Ch ng minh piq N u xG pxq  6 9 8n, n u  0 , 9 70, n u $ 0 n u x  0, 9 70, 6 9 8n, n u x $ 0  0 thỡ xG thỡ... pxq  1, 70, n u pxq $ 1 9 6 9 8n, 9 n u pxq  0 pxq, n u pxq $ 0 pxq 70, 6 9 8n, n u x  0, 70, n u x $ 0 9 T ú suy ra i u ph i ch ng minh H qu 1.2.3 (H th c tr c giao t ng quỏt) Cho G l m t nhúm Abel h u h n c p n Khi ú 8 (i) N u , p G thỡ (ii) N u a, b G thỡ aG p G paq paq  6 9 8n, n u  , 9 70, n u $ 6 9 8n, n u a  b, 9 70, paqpbq  n u a $ b Ch ng minh piq N u  thỡ paqpaq  paqĂ1... Ă  Ă1 p vỡ p  4f Ă 1q, nờn suy ra phng 1 p  Ă4m2 p mod pq vụ nghi m i u ny mõu thu phng trỡnh (2.6) vụ nghi m n v i gi thi t V y 24 2.1.3 Bi n i Fourier c a hm c trng nh ngha 2.1.22 Cho G l nhúm Abel h u h n c p n v A l m t t p CG xỏc nh b con c a G Hm fA fA paq  i 6 9 81, n u a A, 9 70, n uaA c g i l hm c trng c a t p A M nh 2.1.23 Cho A v B l hai t p con c a nhúm G Khi ú ta cú 1 xfA,... á t A Fq u a ptq Đ 5Đ Đá Đ Đ Đ max Đ t Đ , Đ t A Đ pq p $ 0, Fq C Ngoi ra, theo ph n piiiq c a M nh 2.1.26 ta suy ra i u ph i ch ng minh 27 2.2 Phng trỡnh x1 x2 Ô Ô Ô xk a Cho G l m t nhúm Abel h u h n c p n G i A1 , A2 , , Ak l nh ng t p con c a G v a l m t ph n t c nh c a G Ta s xỏc nh s nghi m c a phng trỡnh x1 x2 Ô Ô Ô xk  a, pxi Ai, i  1, 2, , kq (2.7) Tr c h t ta th y r ng . sốnghiệm của phương trình trên nhóm Abel hữu hạn. Luận văn Phương trìnhtrên nhóm Abel hữu hạn nhằm tìm hiểu về nghiệm của phương trình trênnhóm Abel hữu hạn và. nghiệm hữu tỉ của phương trình. Nghiệm của một phương trìnhtrên các nhóm Abel hữu hạn (đặc biệt là trên các trường hữu hạn) có quanhệ mật thiết với nghiệm hữu