ĐỀ THI VÀO 10 TRƯỜNG CHU VĂN AN VÀ AMSTERDAM – HÀ NỘI NĂM 2005 – 2006 Ngày thứ – Lớp khoa học tự nhiên Câu (2 điểm) P = x x- Cho biểu thức: x- x - x x +1 x+ x + x +1 x a Rút gọn P b Tìm x để P = Câu (2 điểm) Cho bất phương trình: 3( m - 1) x + > 2m + x ( m tham số) a Giải bất phương trình với m = 1- 2 b Tìm m để bất phương trình nhận giá trị x > nghiệm Câu (2 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng ( P ) : y = ax ( d) : 2x - y - a2 = parabol (a tham số dương) ( d) cắt ( P ) hai điểm phân biệt A, B Chứng minh A, B nằm Tìm a để bên phải trục tung Gọi u, v theo thứ tự hồnh độ A, B Tìm giá trị nhỏ biểu thức: T = + u + v uv Câu (3 điểm) Đường tròn tâm O có dây cung AB cố định I điểm cung lớn AB Lấy điểm M cung lớn AB , dựng tia Ax vng góc với đường thẳng MI H cắt tia BM C a Chứng minh tam giác AIB AMC tam giác cân b Khi điểm M di động cung lớn AB chứng minh điểm C di chuyển cung tròn cố định Fermat Education – Số 6A1, TK Ngọc Khánh, Ngọc Khánh, Ba Đình, Hà Nội Hotline: 0984.208.495 Email: contact@fermat.edu.vn Website: www.fermat.edu.vn Fb: Fermat Education c Xác định vị trí điểm M để chu vi tam giác AMC đạt giá trị lớn Câu (1 điểm) � � Cho tam giác ABC vng A có AB < AC trung tuyến AM , ACB = a, AMB = b , chứng minh rằng: ( sin a + cosa ) = + sin b Ngày thứ hai – Lớp chuyên Toán Tin 05 – 06 Câu (2 điểm) P = ( a + b) ( b + c) ( c + a) - abc Cho với a,b,c số nguyên Chứng minh a + b + c chia hết cho P chia hết cho Câu (2 điểm) Cho hệ phương trình: � � (�x + y) + 13 = 6x2y2 + m � � xy x2 + y2 = m � � ( ) a Giải hệ phương trình với m = - 10 b Chứng minh không tồn giá trị m để hệ có nghiệm Câu (2 điểm) Ba số dương x, y, z thỏa mãn hệ thức: + + =6 x y z Xét hệ thức P = x + y + z a Chứng minh P �x + 2y + 3z - b Tìm giá trị nhỏ P Câu (3 điểm) Cho tam giác ABC , lấy ba điểm D, E , F theo thứ tự cạnh BC ,CA, AB cho AEDF tứ giác nội tiếp Trên tia AD lấy điểm P ( D nằm A P ) cho DA.DP = DB.DC a Chứng minh tứ giác ABPC nội tiếp, hai tam giác DEF , PCB đồng dạng với S b Gọi S diện tích hai tam giác ABC DEF Chứng minh Fermat Education – Số 6A1, TK Ngọc Khánh, Ngọc Khánh, Ba Đình, Hà Nội Hotline: 0984.208.495 Email: contact@fermat.edu.vn Website: www.fermat.edu.vn Fb: Fermat Education � S � EF � � �� � � S1 � 2AD � � � Câu 10 (1 điểm) Cho hình vng ABCD 2005 đường thẳng đồng thời thỏa mãn hai điều kiện: a Mỗi đường thẳng cắt hai cạnh đối hình vng b Mỗi đường thẳng chia hình vng thành hai phần có tỉ số diện tích 0,5 Chứng minh 2005 đường thẳng có 502 đường đồng quy Fermat Education – Số 6A1, TK Ngọc Khánh, Ngọc Khánh, Ba Đình, Hà Nội Hotline: 0984.208.495 Email: contact@fermat.edu.vn Website: www.fermat.edu.vn Fb: Fermat Education LỜI GIẢI ĐỀ THI VÀO LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHU VĂN AN VÀ THPT HÀ NỘI – AMSTERDAM NĂM HỌC 2005 – 2006 (Đề thi đăng THTT số 344, tháng năm 2006) NGÀY THỨ NHẤT Bài 1 ĐK để P có nghĩa x �1 x > Ta có: P = ( )( x( )- ( )( x + 1) + x + x x - 1) x ( x + 1) x + 1- x + x - + x + ( x + 1) = x - x + x +1 x +1 x - = x+ P = x x � 2x - x + = x= PT có hai nghiệm x = Bài Với m = 1- 2 , BPT cho có dạng ( ) - + x > 1- � x < 2- + BPT cho viết dạng ( 3m - 4) x + ( 1Xét hàm số ( 1) f ( x) = ( 3m - 4) x + ( 1- 2m) 2m) > ( 1) Đồ thị hàm số đường thẳng nên để BPT với x > thì: � 3m - > � ۳ m � � f = m - �0 � �( ) Bài PT hoành độ giao điểm đường thẳng ( d) parabol ax2 - 2x + a2 = Đường thẳng ( d) cắt (P ) (P ) có dạng: ( 1) hai điểm phân biệt A, B khi: Fermat Education – Số 6A1, TK Ngọc Khánh, Ngọc Khánh, Ba Đình, Hà Nội Hotline: 0984.208.495 Email: contact@fermat.edu.vn Website: www.fermat.edu.vn Fb: Fermat Education � a>0 � � 0 � � a � � uv = a > � � suy A, B nằm bên phải trục tung (đpcm) � 3� � � - �; � � � � 2� � Có nghiệm � Từ kết 1) ta có: T = 2a + �� 1� � �2 ( 2a) � � � � a a� �� , hay T �2 Do giá trị nhỏ T 2 đạt a= 2 Bài Hình 1 (h.1) Do I điểm cung lớn AB nên IA = IB hay D AIB cân I � � ( 1) Nếu M thuộc cung I A (khơng chứa B ) CMH = I MB (đối đỉnh) Fermat Education – Số 6A1, TK Ngọc Khánh, Ngọc Khánh, Ba Đình, Hà Nội Hotline: 0984.208.495 Email: contact@fermat.edu.vn Website: www.fermat.edu.vn Fb: Fermat Education 1� � � � � � � � s� AMH = � s� AM + s� MI = s� I A = s� I B = s� I� MB � � � � 2 Mặt khác: Từ ( 1) , ( 2) ( 2) suy tam giác AMC cân M Nếu M thuộc cung I B (không chứa A ) lập luận tương tự có D AMC cân M Từ kết câu 1) suy IA = IC , mà I A không đổi nên C nằm đường tròn tâm I bán C �C C kính I A Khi M �A C �A , M �B (trong giao điểm đường thẳng qua A vng góc với I B với đường tròn tâm I , bán kính I A ) Do M � � AC (đpcm) chuyển động cung lớn AB điểm C chuyển động cung Giả sử C0 M giao điểm AI với đường tròn tâm I , bán kính I A , điểm đối M xứng A qua O Nhận xét rằng, tia Ax trùng với tia AI M trùng , lúc B, M 0,C thẳng hàng Từ mối liên hệ độ dài dây cung độ dài đường kính ta có AM �AM Vậy PT ( 2) AC �AC có nghiệm Kí hiệu p( H ) x =- p( AMC ) �p( AM 0C ) chu vi hình H Kết luận: Giá trị lớn p( AMC ) p( AM 0C ) đạt M điểm xuyên tâm đối (O ) A đường tròn Bài (Bạn đọc tự vẽ hình) Dựng AH ^ BC , AB < AC nên H thuộc đoạn BM AH = AM sin b = BC sin b Ta có Mặt khác ( 1) AH = AC sin a = BC sin a.cosa ( 1) , ( 2) Từ ( 2) + sin b = ( sin a + cosa ) suy sin b = 2sin a.cosa , dẫn đến (đpcm) NGÀY THỨ HAI Bài Đặt T = a + b + c , lúc Fermat Education – Số 6A1, TK Ngọc Khánh, Ngọc Khánh, Ba Đình, Hà Nội Hotline: 0984.208.495 Email: contact@fermat.edu.vn Website: www.fermat.edu.vn Fb: Fermat Education P = (T - a) (T - b) (T - c) - abc = ( ab + bc + ca) T - 2abc ( 1) ( 1) suy P chia hết cho Vì T chia hết ba số a,b,c có số chẵn Từ (đpcm) Bài Đặt u = ( x + y) , v = xy , với m = - 10 hệ có dạng: � u2 - 6v2 + 23 = � � � uv - 2v2 = - 10 � � v2 = ( 2) ( 3) 2v2 - 10 ( 2) 2v4 + 17v2 - 100 = 0, suy v2 = � v = - v , thay vào Từ ( 3) có (từ ( 3) ta thấy v < ) Với v = - u = 1, dẫn đến x + y = x + y = - � x +y = � � � xy = - � Giải hệ � , nghiệm ( x, y) � x +y = - � � � xy = - � � , ta đến kết luận hệ cho ứng với m = - 10 có ( - 1,2) ,( 2,- 1) ,( 1,- 2) ,( - 2,1) ( - x,- y) nghiệm hệ Do hệ có nghiệm nghiệm hệ thì x = y = Thay x = y = vào hệ ta gặp điều mâu thuẫn Vậy khơng có giá trị m để hệ có nghiệm Nếu ( x,y) Bài ( ) ( ) P + = x + y2 + + z3 + 1+ �x + 2y + 3z Ta có P �x + 2y + 3z - (đpcm) (theo bất đẳng thức Cauchy) suy Áp dụng kết bất đẳng thức Bunhiacovski ta có � 3� � � - �; � � � � � 2� � có nghiệm � 3� � 6( P + 3) �( x + 2y + 3z) � + + � � � � � x � y z� Fermat Education – Số 6A1, TK Ngọc Khánh, Ngọc Khánh, Ba Đình, Hà Nội Hotline: 0984.208.495 Email: contact@fermat.edu.vn Website: www.fermat.edu.vn Fb: Fermat Education � � 3� � � � ��x + 2y + 3z � = 36 � y z� � x � � hay P �3 Tóm lại, P = 3, đạt x = y = z = Bài (h.2) Hình DP DC = � = ADC � DA , kết hợp với BDP Từ DA.DP = DB.DC suy DB � = DCA � D BDP ∽D ADC , dẫn đến DPB suy tứ giác ABPC nội tiếp ta có � � � � � � Vì tứ giác AEDF ABPC nội tiếp nên DEF = DAF = BCP ;DFE = DAE = CBP Từ suy D DEF ∽D PCB (đpcm) � � EF � � S� =� SPCB � 2� � � � BC � � Do D DEF ∽D PCB nên Mặt khác Vậy từ SPCB = ( 1) ta có ( 1) DP S DA S �= EF DP S BC DA ( 2) Fermat Education – Số 6A1, TK Ngọc Khánh, Ngọc Khánh, Ba Đình, Hà Nội Hotline: 0984.208.495 Email: contact@fermat.edu.vn Website: www.fermat.edu.vn Fb: Fermat Education Ta lại có 1 1 = � = 2 BC ( BD + DC ) 4.BD.DC 4.DA.DP ( 3) �EF � EF DP � � � S� � S = � S � � � 2) ( 3) 4.DA.DP DA 2.DA � ( � Từ , ta nhận (đpcm) Bài 10 Xem báo “Một lớp toán đường thẳng đồng quy”, THTT số 341, tháng 11 năm 2005 ( 2) Vậy PT có nghiệm x =- Fermat Education – Số 6A1, TK Ngọc Khánh, Ngọc Khánh, Ba Đình, Hà Nội Hotline: 0984.208.495 Email: contact@fermat.edu.vn Website: www.fermat.edu.vn Fb: Fermat Education ... www.fermat.edu.vn Fb: Fermat Education LỜI GIẢI ĐỀ THI VÀO LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHU VĂN AN VÀ THPT HÀ NỘI – AMSTERDAM NĂM HỌC 2005 – 2006 (Đề thi đăng THTT số 344, tháng năm 2006) NGÀY THỨ NHẤT Bài 1 ĐK để P... Education – Số 6A1, TK Ngọc Khánh, Ngọc Khánh, Ba Đình, Hà Nội Hotline: 0984.208.495 Email: contact@fermat.edu.vn Website: www.fermat.edu.vn Fb: Fermat Education LỜI GIẢI ĐỀ THI VÀO LỚP 10 TRƯỜNG... x + y) , v = xy , với m = - 10 hệ có dạng: � u2 - 6v2 + 23 = � � � uv - 2v2 = - 10 � � v2 = ( 2) ( 3) 2v2 - 10 ( 2) 2v4 + 17v2 - 100 = 0, suy v2 = � v = - v , thay vào Từ ( 3) có (từ ( 3) ta thấy