chuyen de 3 giai bai toan bang cach lap hpt

CHỦ ĐỀ: GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH A LÝ THUYẾT Phương pháp Các bước thực Bước 1: Lập hệ phương trình • Chọn ẩn đặt điều kiện, chọn đơn vị cho ẩn (chọn ẩn đại lượng cần tìm) • Biểu thị đại lượng chưa biết theo ẩn đại lượng biết • Lập hệ phương trình biểu thị mối quan hệ đại lượng Bước 2: Giải hệ phương trình vừa lập Bước 3: Kểm tra xem nghiệm phương trình có thỏa mãn điều kiện đặt trả lời B CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI Dạng TÌM CÁC CHỮ SỐ TỰ NHIÊN Phương pháp: • ab = 10.a + b (a, b ∈ N, < a ≤ 9, ≤ b ≤ 9) • abc = 100.a + 10.b + c (a, b, c ∈ N, < a ≤ 9, ≤ b, c ≤ 9) a • Tỉ số hai số a b (b = 0) b • Tổng hai số x y x + y • Tổng bình phương hai số x y x2 + y 1 • Tổng nghịc đảo hai số x y + x y Ví dụ 1: Tìm số tự nhiên có hai chữ số, biết hiệu chữ số hàng chục hàng đơn vị 7, lấy số cho chia cho số viết theo th tự ngược lại ta thương số dư Gọi chữ số cần tìm có dạng: ab điều kiện: Hướng dẫn  ∗    a, b ∈ Z a = 1, ,    b = 1, , Vì hiệu chữ số hàng chục hàng đơn vị nên: a − b = (1) Vì lấy số cho chia cho số viết theo th tự ngược lại ta thương số dư nên: ab = 3ba + ⇔ 7a − 29b = (2)    a−b=7 a = Từ (1) (2) ta có hệ phương trình sau: ⇔ 7a − 29b = b = Ví dụ 2: Tìm có hai chữ số, biết tổng chữ số số viết chữ số theo thứu tự ngược lại số số ban đầu Hướng dẫn  ∗    a, b ∈ Z Gọi chữ số cần tìm có dạng: ab điều kiện: a = 1, ,    b = 1, , Vì tổng chữ số số nên: a + b = (1) Vì viết chữ số theo thứu tự ngược lại số số ban đầu nên: 11 88 ba = ab ⇔ a − b = (2) 9   a =  a+b=9 ⇔ Từ (1) (2) ta có hệ phương trình sau: 11 b =  a − 88 b = 9 Dạng TÍNH TUỔI Ví dụ 1: Hai năm trước tuổi anh gấp đơi tuổi em, tám năm trước đây, tuổi anh gấp lần tuổi em Hỏi anh em tuổi Hướng dẫn Gọi tuổi anh x tuổi em y điều kiện: x, y ∈ N, x, y > Vì Hai năm trước tuổi anh gấp đôi tuổi em nên: x − = 2.(y − 1) ⇔ x − 2y = −2 (1) Vì tám năm trước đây, tuổi anh gấp lần tuổi em nên: x − = 5.(y − 8) ⇔ x − 5y = −32 (2)   x − 2y = −2 x = 18 ⇔ Từ (1) (2) ta có hệ phương trình sau:  x − 5y = 32 y = 10 Vậy tuổi anh 18 tuổi em 10 Ví dụ 2: Bảy năm trước, tuổi mẹ lần tuổi cộng thêm 4, năm tuổi mẹ vừa lần tuổi Hỏi năm người tuổi Hướng dẫn Gọi tuổi mẹ x tuổi y điều kiện: x, y ∈ N, x > y > Vì Bảy năm trước, tuổi mẹ lần tuổi cộng thêm nên: x − = 5.(y − 7) + ⇔ x − 5y = −38 (1) Vì năm tuổi mẹ vừa lầntuổi nên: x − 8= 5.(y − 8) ⇔ x = 3y (2) x − 5y = −38 x = 24 Từ (1) (2) ta có hệ phương trình sau: ⇔  x = 3y y=8 Vậy tuổi mẹ 24 tuổi Dạng HÌNH HỌC Phương pháp: • Định lí Py-ta-go: ∆ABC vuông A ⇔ AB + AC = BC • Chu vi diện tích hình chữ nhật Cchu vi = 2(a + b), S = a.b với a, b chiều dai chiều rộng • Diện tích hình thang S = (a + b).h S = m.h với a, b độ dài hai đáy, h đường cao, m độ dài đường trung bình Ví dụ 1: Một mảnh đất hình chữ nhật có chiều dài lớn chiều rộng 5m Nếu giảm chiều rộng 4m giảm chiều dài 5m diện tích mảnh đất giảm 180m2 Tính chiều dài chiều rộng mảnh đất Hướng dẫn Gọi chiều dài mảnh đất x (mét) x > Gọi chiều rộng mảnh đất y (mét) y > Vì chiều dài lớn chiều rộng 5m nên: x − y = (1) Nếu giảm chiều rộng 4m giảm chiều dài 5m thì: x.y − (x − 5)(y − 4)180 ⇔ x + 5y = 200 (2)  x−y =5 x = 25 Từ (1) (2) ta có hệ phương trình sau: ⇔ x + 5y = 200 y = 20 Vậy chiều dài mảnh đất 25m chiều rộng mảnh đất 20m Ví dụ 2: Một hình thang có diện tích 140cm2 , chiều cao 8cm Tính độ dài đáy hình thang, biết chúng 15cm Hướng dẫn Gọi đáy lớn hình thang x đáy nhỏ hình thang y điều kiện: x, y ∈ N, x > y > (x + y).8 = 140 ⇔ 8x + 8y = 280 (1) Vì hình thang có diện tích 140cm2 , chiều cao 8cm nên: Vì độ dài đáy hình than kémnhau 15cm nên: x − y = 15 (2) 8x + 8y = 280 x = 30 Từ (1) (2) ta có hệ phương trình sau: ⇔  x − y = 15 y=5 Vậy độ dài đáy lớn 30cm độ dài đáy nhỏ 5cm Dạng TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN TỈ SỐ PHẦN TRĂM Phương pháp: • Khối lượng công việc = Năng suất Thời gian • Năng suất = Khối lượng cơng việc : Thời gian • Thời gian = Khối lượng cơng việc : Năng suất Ví dụ 1: Hai tổ sản xuất giao làm 800 sản phẩm thời gian quy định Nhờ tăng suất lao động, tổ I vượt mức 10 phần trăm, tổ II vượt mức 20 phần trăm nên hai tổ làm 910 sản phẩm Tính số phản phẩm phải làm theo kế hoạch Hướng dẫn Gọi số sản phẩm tổ I tổ II làm theo kế hoạch x, y (x, y ∈ N∗ , x, y < 800) Cả hai tổ theo kế hoạch 800 sản phẩm ta có: x + y = 800 (1) 10 Nhờ tăng suất, tổ I làm vượt mức 10 phần trăm x, tổ II vượt mức 20 phần trăm 100 20 y Cả hai tổ làm 910 sản phẩm ta có: 100 10 20 10 20 x y x+ x + y+ y = 910 ⇔ x+ y = 910 − 800 ⇔ + = 110 ⇔ x + 2y = 1100 100 100 100 100 10 (2)    x + y = 800 x = 500 (thỏa mãn) Từ (1) (2) ta có hệ phương trình sau: ⇔ x + 2y = 1100 y = 300 (thỏa mãn) Vậy số sản phẩm tổ I 500 tổ II 300 Ví dụ 2: Hai trường A B có 420 em học sinh đỗ vào lớp 10 đạt tỷ lệ 84 phần trăm, Riêng trường A tỷ lệ 80 phần trăm, riêng trường B tỷ lệ đỗ 90 phần trăm Tính số học sinh dự thi trường Hướng dẫn Gọi số học sinh dự thi trường A B x, y (x, y ∈ N∗ , x, y < 800) 100 ta có: x + y = 420 (1) 84 10 x, tổ II vượt mức 20 phần trăm Nhờ tăng suất, tổ I làm vượt mức 10 phần trăm 100 20 y Cả hai tổ làm 910 sản phẩm ta có: 100 80 90 x+ y = 420 (2) 100 100     x + y = 420 100 x = 500 (thỏa mãn) 84 Từ (1) (2) ta có hệ phương trình sau: ⇔ 80 90  y = 300 (thỏa mãn)  x+ y = 420 100 100 Vậy số sản phẩm tổ I 500 tổ II 300 Ví dụ 3: Tháng thứ hai tổ sản xuất 900 chi tiết máy Tháng thứ hai tổ I vượt mức 15 phần trăm tổ II vượt mức 10 phần trăm so với tháng thứ Vì hai tổ sản xuất 1010 chi tiết máy Hỏi tháng thứ tổ sản xuất chi tiết máy Hướng dẫn   x = 400 (thỏa mãn)  x + y = 900 ⇔ Gợi ý hệ phương trình biểu diễn đại lượng 115 110 y = 500 (thỏa mãn)  x+ y = 1010 100 100 Ví dụ 4: Theo kế hoạch hai tổ sản xuất 600 sản phẩm thời gian định Do áp dụng kĩ thuật nên tổ I vượt mức 18 phần trăm tổ II vượt mức 21 phần trăm Vì thời gian quy định họ hoàn thành vượt mức 120 sản phẩm Hỏi số sản phẩm giao tổ theo kế hoạch Hướng dẫn    x = 200 (thỏa mãn) x + y = 600 Gợi ý hệ phương trình biểu diễn đại lượng ⇔  18 x + 21 y = 120 y = 400 (thỏa mãn) 100 100 Dạng TOÁN LÀM CHUNG CƠNG VIỆC Phương pháp: • Coi tồn cơng việc • Năng suất = : Thời gian • Tổng suất riêng = Năng suất chung Ví dụ 1: Hai người làm chung cơng việc sau xong Nếu người thứ làm giờ, sau người thứ hai làm hai người làm công việc Hỏi người làm sau xong công việc? Hướng dẫn Gọi thời gian người thứ người thứ hai làm xong công việc x, y (giờ, x, y > 6) +) Trong Người thứ làm (công việc) x Người thứ hai làm (công việc) y Cả hai người làm (công việc) 1 ⇒ + = (1) x y Trong người thứ làm (công việc) x Trong người thứ hai làm (công việc) y Cả hai người làm (công việc) ⇒ + = (2) x y   1    + = y ⇔ x = 10 (thỏa mãn) Từ (1) (2) ta có hệ phương trình sau: x y = 15 (thỏa mãn)   + = x y Vậy người thứ làm xong cơng việc 10 người thứ hai làm xong cơng việc 15 Ví dụ 2: Hai người làm chung cơng việc hồn thành sau 12 phút Nếu người thứ làm giờ, người thứ hai làm hai người hồn thành công việc Hỏi người làm hồn thành cơng việc sau bao lâu? Hướng dẫn Gọi thời gian người thứ người thứ hai làm xong cơng việc x, y (giờ, x, 36 y> ) +) Trong Người thứ làm (công việc) x Người thứ hai làm (công việc) y 36 1 1 (1) Cả hai người làm + (công việc) Đổi 7h12 = h ⇒ + = 36 = x y 36 x y 5 Trong người thứ làm (công việc) x Trong người thứ hai làm (công việc) y Cả hai người làm (công việc) ⇒ + = (2) x y   1   + = x = (thỏa mãn) x y 36 Từ (1) (2) ta có hệ phương trình sau: ⇔  y = (thỏa mãn)  + = x y Vậy người thứ làm xong cơng việc người thứ hai làm xong cơng việc / Ví dụ 3: Hai vòi nước chảy vào bể cạn sau 20 phút bể đầy Nếu mở vòi I 10 phút vòi II 12 phút bể Hỏi vòi chảy 15 sau đầy bể? Hướng dẫn 1 Đổi 1h20 = h 10 = h, 12 = h Gọi thời gian vòi I vòi II chảy đầy bể x, y (giờ, x, y > 0) 1 +) Trong giờ: Vòi I chảy (bể), vòi II chảy (bể) x y 1 Cả hai vòi chảy + = (bể) (1) x y 1 1 (bể), 12 = h vòi II chảy (bể) +) Trong 10 = h vòi I chảy 6x 5y 1 Cả hai vòi chảy + = (bể) (2) 6x 5y 15   1    + = x y ⇔ x = (thỏa mãn) Từ (1) (2) ta có hệ phương trình sau: 1  y = (thỏa mãn)  + = 6x 5y 15 Vậy vòi thứ I chảy đầy bể giờ, vòi thứ II chảy đầy bể Ví dụ 4: Hai vòi nước chảy vào bể khơng có nước sau 55 phút bể đầy Nếu chảy vòi I chảy nhanh vòi II Hỏi thời gian vòi chảy đầy bể? Hướng dẫn 1 Đổi 1h20 = h 10 = h, 12 = h Gọi thời gian vòi I vòi II chảy đầy bể x, y (giờ, x, y > 0) 1 +) Trong giờ: Vòi I chảy (bể), vòi II chảy (bể) x y 1 Cả hai vòi chảy + = (bể) (1) x y 1 1 (bể), 12 = h vòi II chảy (bể) +) Trong 10 = h vòi I chảy 6x 5y 1 Cả hai vòi chảy + = (bể) (2) 6x 5y 15   1    + = x y ⇔ x = (thỏa mãn) Từ (1) (2) ta có hệ phương trình sau: 1  y = (thỏa mãn)  + = 6x 5y 15 Vậy vòi thứ I chảy đầy bể giờ, vòi thứ II chảy đầy bể Ví dụ 5: Cho ba vòi A, B, C chảy vào bể Vòi A vòi B chảy đầy bể 71 phút Vòi A vòi C chảy đầy bể 63 phút Vòi C vòi B chảy đầy bể 56 phút a) Hỏi vòi chảy sau đầy bể? Cả ba vòi mở lúc sau đầy bể b) Biết vòi C chảy 10 lít phút so với vời A vời C Tính sức chứa bề sức chảy mồi vòi Hướng dẫn Gọi thời gian vòi A chảy đầy bể x (mỗi phút chảy đầy bể ) x Thời gian vòi B chảy đầy bể y (mỗi phút chảy đầy bể ) y Thời gian vòi C chảy đầy bể z (mỗi phút chảy đầy bể ) z 1 +) Trong phút: Vòi A chảy (bể), vòi B chảy (bể) x y 1 Cả hai vòi chảy + = (bể) (1) x y 72 1 +) Trong phút vòi A chảy (bể), vòi C chảy (bể) x z 1 Cả hai vòi chảy + = (bể) (2) x z 63 1 +) Trong phút vòi C chảy (bể), vòi B chảy (bể) z y 1 Cả hai vòi chảy + = (bể) (3) z y 56 1   + =   x = 168 (thỏa mãn)     72 x y  1 Từ (1), (2) (3) ta có hệ phương trình sau: ⇔ y = 126 (thỏa mãn) + =   x z 63     1  z = 504 (thỏa mãn)  + = z y 56 Vậy thời gian vòi A chảy đầy bể 168 Thời gian vòi B chảy đầy bể 126 phút 504 Thời gian vòi C chảy đầy bể phút 5+4+3 12 Nếu ba vòi mở lúc phút đầy bể = 504 504 504 Vậy ba vòi chảy đầy bể sau phút 12 b)Gọi dung tích bể t phút phút vòi C chảy t lít, vòi A B chảy 504 + t lít Theo đề ta có phương trình: t + 10 = + t ⇒ t = 2520 (lít) 504 504 504 3.2520 Sức chảy vòi A là: = 15 (lít/p) 504 4.2520 Sức chảy vòi B là: = 20 (lít/p) 504 5.2520 Sức chảy vòi C là: = 25 (lít/p) 504 Ví dụ 6: Hai cơng nhân làm cơng việc 18h xong Nếu người thứ 6h người thứ hai làm 12h hồn thành 50 phần trăm cơng việc Hỏi làm riêng người hồn thành cơng việc Hướng dẫn   1   + = x = 36 (thỏa mãn) x y 18 Gợi ý hệ phương trình biểu diễn đại lượng 12 50 ⇔   y = 36 (thỏa mãn)  + = x y 100 Ví dụ 7: Hai vòi nước chảy vào bể khơng có nước sau 1h 30 phút đầy bể Nếu mở vòi I chảy 15 phút khóa lại mở vòi thứ II chảy 20 phút bể Hỏi vòi chảy riêng đầy bể Hướng dẫn   1    + = x = 15 (thỏa mãn) x y ⇔ Gợi ý hệ phương trình biểu diễn đại lượng 1    +  y = (thỏa mãn) = 4x 3y Ví dụ 8: Hai người thợ làm cơng việc 16 xong Nếu người thứ 15 người thứ hai làm tiếp hồn thành 75 phần trăm công việc Hỏi người làm cơng việc hồn thành Hướng dẫn   1   + = x = 24 (thỏa mãn) x y 16 Gợi ý hệ phương trình biểu diễn đại lượng 15 75 ⇔   y = 48 (thỏa mãn)  + = x y 100 Ví dụ 9: Để hồn thành cơng việc, hai tổ phải làm chung Sau làm chung tổ hai điều làm việc khác, tổ hồn thành cơng việc lại 10 Hỏi tổ làm riêng sau làm xong cơng việc Hướng dẫn   1  + =  x = 15 (thỏa mãn) x y Gợi ý hệ phương trình biểu diễn đại lượng ⇔ 1 10  y = 10 (thỏa mãn) 2 + + =1 x y x Ví dụ 10: Hai người thợ làm chung công việc 12 phút xong Nếu người thứ làm người thứ hai làm hai làm cơng việc Hỏi người làm thời gian hồn thành cơng việc Hướng dẫn   1   + = x = 12 (thỏa mãn) Gợi ý hệ phương trình biểu diễn đại lượng x5 y6 36 ⇔  y = 18 (thỏa mãn)  + = x y Ví dụ 11: Hai vòi nước chày 5h50 phút đầy bể Nếu để hai vòi chảy khóa vòi thứ lại vòi thứ hai phải chảy đầy bể Tính xem để vòi chảy đầy bể Hướng dẫn   1  + =  x = 10 (thỏa mãn) x y 35 Gợi ý hệ phương trình biểu diễn đại lượng ⇔ 1   y = 14 (thỏa mãn) 5 + + =1 x y y Dạng BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN SỰ THAY ĐỔI CỦA TÍCH Ví dụ 1: Trong ngơi trường có số ghế băng, ghế băng quy định số người Nếu bớt hai ghế băng ghế băng thêm người thêm chỗ Nếu thêm ghế băng ghế băng ngồi rút người giảm chỗ Tính số ghế băng hội trường số người theo quy định ngồi ghế Hướng dẫn Gọi số ghế băng hội trường x (cái, x > 0) Số người quy định ngồi ghế băng y (người y > 0) Số chỗ ngồi quy định hội trường x.y (chỗ) +) Nếu bớt hai ghế băng ghế băng thêm người thêm chỗ (x − 2)(y + 1) = xy + ⇔ x − 2y = 10 (1) +) Nếu thêm ghế băng ghế băng ngồi rút người giảm chỗ (x + 3)(y − 1) = xy + ⇔ x − 3y = (2)  x − 2y = 10  x = (thỏa mãn) Từ (1) (2) ta có hệ phương trình sau: ⇔  x − 3y = y = 20 (thỏa mãn) Vậy số ghế băng 20 cái, ghế quy định ngồi người Ví dụ 2: Một ô tô quãng đường AB với vận tốc 50 km/h, tiếp quãng đường BC với vận tốc 45 km/h Biết quãng đường tổng cộng dài 165 km thời gian ô tô hết quãng đường AB thời gian quãng đường BC 30 phút Hướng dẫn Gọi số ghế băng hội trường x (cái, x > 0) Số người quy định ngồi ghế băng y (người y > 0) Số chỗ ngồi quy định hội trường x.y (chỗ) +) Nếu bớt hai ghế băng ghế băng thêm người thêm chỗ (x − 2)(y + 1) = xy + ⇔ x − 2y = 10 (1) +) Nếu thêm ghế băng ghế băng ngồi rút người giảm chỗ (x + 3)(y − 1) = xy + ⇔ x − 3y = (2)  x − 2y = 10 x = 20 (thỏa mãn) Từ (1) (2) ta có hệ phương trình sau: ⇔  x − 3y =  y = (thỏa mãn) Vậy số ghế băng 20 cái, ghế quy định ngồi người Dạng TOÁN CHUYỂN ĐỘNG Phương pháp: S = v.t Trong đó: +) S quãng đường (m, km) +) v vận tốc (m/s, km/h) +) t thời gian (s, phút, h) • Nếu chuyển động dòng chảy thì: +) Vxi = Vriêng + Vdòng nước +) Vxi = Vriêng − Vdòng nước Ví dụ 1: Một tơ qng đường AB với vận tốc 50km/giờ, tiếp quãng đường BC với vận tốc 45km/giờ Biết quãng đường tổng cộng dài 165km thời gian ô tô quãng đường AB thời gian quãng đường BC 30 phút Tính thời gian tơ quãng đường Hướng dẫn Gọi thời gian ô tô quãng đường AB x (giờ, x > 0) Gọi thời gian ô tô quãng đường BC y (giờ, y > 0) Độ dài quãng đường AB 50x (km) Độ dài quãng đường BC 45y (km) Vì quãng đường tổng cộng dài 165km nên ta có phương trình: 50x + 45y = 165 ⇔ 10x + 9y = 33 (1) Thời gian ô tơ qng đường AB thời gian quãng đường BC 30 phút nên ta có phương trình: x + = y (2)   10x + 9y = 33 x = (thỏa mãn) Từ (1) (2) ta có hệ phương trình sau: ⇔  y =x+  y = (thỏa mãn) Vậy thời gian ô tô quãng đường AB (giờ), thời gian ô tô quãng đường BC 2 (giờ) Ví dụ 2: Quãng đường AB dài 650km Hai ô tô khởi hành từ A đến B ngược chiều Nếu khởi hành sau 10 chúng gặp xe từ B khởi hành trước xe 20 phút hai xe gặp sau xe từ A khởi hành Tính vận tốc xe Hướng dẫn Gọi vận tốc ô tô quãng đường từ A đến B x (km, x > 0) Gọi vận tốc ô tô quãng đường từ B đến A y (km, y > 0) Độ dài quãng đường AB 50x (km) Độ dài quãng đường BC 45y (km) Vì quãng đường tổng cộng dài 165km nên ta có phương trình: 50x + 45y = 165 ⇔ 10x + 9y = 33 (1) Thời gian tơ qng đường AB thời gian quãng đường BC 30 phút nên ta có phương trình: x + = y (2)   10x + 9y = 33 x = (thỏa mãn) Từ (1) (2) ta có hệ phương trình sau: ⇔  y =x+  y = (thỏa mãn) Vậy thời gian ô tô quãng đường AB (giờ), thời gian ô tô quãng đường BC 2 (giờ) Ví dụ 3: Một ca nơ chạy xi dòng khúc sơng dài 60km, sau chạy ngược dòng 48km khúc sơng hết 6h Nếu ca nơ chạy xi dòng 40km ngược dòng 80km khúc sơng hết Tính vận tốc riêng ca nơ dòng nước 10 Hướng dẫn Gọi vận tốc riêng ca nô x (km/giờ, x > 0) Gọi vận tốc riêng dòng nước y (km/giờ, y > 0) Vận tốc ca nơ chạy xi dòng x + y (km/giờ) Vận tốc ca nơ chạy ngược dòng x − y (km/giờ) 60 h Thời gian ca nô chạy xi dòng 60km x+y 48 Thời gian ca nơ chạy ngược dòng 48km h x−y 48 10 60 + =6⇔ + = (1) Ta có phương trình: x+y x−y x+y x−y 40 80 + = (2) Tương tự ta có phương trình: x + y x −y  10  x = 18 (thỏa mãn)  + =1 +y x−y Từ (1) (2) ta có hệ phương trình sau: x 40 ⇔ 80   y = (thỏa mãn)  + =7 x+y x−y Vậy vận tốc riêng ca nô 18 (km/h), vận tốc riêng dòng nước (km/h) Ví dụ 4: Một thuyền xi, ngược khúc sông dài 40km hết 30 phút Cho thời gian thuyền xi dòng 5km thời gian thuyền ngược dòng 4km Tính vận tốc dòng nước Ví dụ 5: Tìm vận tốc chiều dài đoàn tàu hỏa biết đoàn tàu chạy ngang qua văn phòng ga từ đầu máy đến hết toa cuối giây Cho biết sân ga dài 378m thời gian kể từ đầu máy bắt đầu vào sân ga toa cuối rời khỏi sân ga 25 giây Hướng dẫn Gọi vận tốc tàu vào sân ga x (m/s, x > 0) Gọi chiều dài đoàn tàu y (m, y > 0) Tàu chạy ngang văn phòng ga giây nên y = 7x (1) Khi đầu máy bắt đầu sân ga dài 378m, toa cuối rời khỏi sân ga 25 giây ta có phương trình: y + 378 = 25x (2)     x = 21 (thỏa mãn) y = 7x Từ (1) (2) ta có hệ phương trình sau: ⇔ y + 378 = 25x y = 147 (thỏa mãn) Vậy vận tốc đoàn tàu 21 (m/s), chiều dài đồn tàu 147 (m) Ví dụ 6: Một thuyền xi, ngược dòng khúc sơng dài 40km hết 30 phút Biết thời gian thuyền xuôi dòng 5km thời gian thuyền ngược dòng 4km Tính vận tốc dòng nước Hướng dẫn 11 Gọi vận tốc riêng thuyền lúc nước yên lặng x (km/giờ, x > 0) Gọi vận tốc riêng dòng nước y (km/giờ, y > 0) Vận tốc thuyền chạy xi dòng x + y (km/giờ) Vận tốc thuyền chạy ngược dòng x − y (km/giờ) 40 h Thời gian thuyền chạy xi dòng 40km x+y 40 h Thời gian thuyền chạy ngược dòng 40km x−y 40 40 + = (1) Ta có phương trình: x+y x−y = (2) Tương tự ta có phương trình: x+y x −y  40 40   x = 18 (thỏa mãn) + = x + y x − y Từ (1) (2) ta có hệ phương trình sau: ⇔   y = (thỏa mãn)  = x+y x−y Vậy vận tốc riêng thuyền 18 (km/h), vận tốc riêng dòng nước (km/h) Ví dụ 7: Trên đường tròn chu vi 1, 2m, ta lấy điểm A cố định Hai điểm M , N chạy đường tròn, khởi hành từ A với vận tốc không đổi Nếu chúng di chuyển trái chiều chúng gặp sau 15 giây Nếu di chuyển chiều điểm M vượt điểm N vòng sau 60 giây Tìm vận tốc điểm M , N ? Hướng dẫn Gọi vận tốc điểm M x (m/s, x > 0) Gọi vận tốc điểm N y (m/s, y > 0) Khi chúng di chuyển trái chiều chúng gặp sau 15 giây Ta có phương trình: 15x + 15y = 1, (1) Khi chúng di chuyền chiều điểm M vượt điểm N vòng sau 60 giây ta có phương trình: 60x − 60y = 1, (2)   15x + 15y = 1, x = 0, 05 (thỏa mãn) Từ (1) (2) ta có hệ phương trình sau: ⇔ 60x − 60y = 1, y = 0, 03 (thỏa mãn) Vậy vận tốc điểm M 0, 05 (m/s), vận tốc điểm N 0, 03 (m/s) Ví dụ 8: Một xe máy ô tô từ A đến B với vận tốc khác Vận tốc xe máy 62km/giờ, vận tộc tơ 55km/giờ Để hai xe đến đích lúc người ta cho tơ chạy trước thời gian Nhưng lí đặc biệt nên chạy quãng đường ô tô buộc phải chạy với vận tốc 27, 5km/giờ Vì cách B 124km xe máy đuổi kịp tơ Tính qng đường từ A đến B Hướng dẫn Gọi khoảng cách AB x (km, x > 0) Gọi thời gian dự định ô tô trước xe máy y (h, y > 0) 12 x x  +y =  x = 514 (thỏa mãn) 62 55 x Ta có hệ phương trình sau: x ⇔ − 124  y = 94 (thỏa mãn) x − 124  3 + =y+ 1705 65 27, 62 94 Vậy khoảng cách AB 514 (km), thời gian dự định ô tô trước xe máy (h) 1705 Ví dụ 9: Hai tơ khởi hành lúc quãng đường từ A đến B dài 120km     Mỗi ô tô thứ chạy nhanh ô tô thứ hai 10km nên đến B trước ô tô thứ hai 0, Tính vận tốc tơ Hướng dẫn Gọi khoảng cách AB x (km, x > 0) xe máy y (h, y > 0) x x  +y =  x = 514 (thỏa mãn) 62 55 x ⇔ − 124 y = 94 (thỏa mãn) x − 124 =y+ 1705 27, 62 94 (h) Vậy khoảng cách AB 514 (km), thời gian dự định ô tô trước xe máy 1705 Ví dụ 10: Một ca nơ từ A đến B với vận tốc thời gian dự định Nếu ca nô tăng Gọi thời gian dự định ô tô trước     Ta có hệ phương trình sau: x  3 +  65 vận tốc thêm 3km/h thời gian rút ngắn Nếu ca nô giảm vận tốc 3km/h thời gian tăng gờ Tính vận tốc thời gian dự định ca nô Hướng dẫn Gọi vận tốc dự định ca nô x (km/h; x > 3) Gọi thời gian dự định canô y (giờ; y > 0)  (x + 3)(y − 2) = xy x = 15 (thỏa mãn) Ta có hệ phương trình sau: ⇔  (x − 3)(y + 3) = xy y = 12 (thỏa mãn) Vậy vận tốc dự định ca nô 15km/h Thời gian dự định ca nô 12 Ví dụ 11: Một ca nơ chạy sơng xi dòng 81km ngược dòng 105km Một lần khác, ca nô chạy sông xi dòng 54km ngược dòng 42km Tính vận tốc riêng ca nơ vận tốc dòng nước (Biết vận tốc riêng ca nơ, vận tốc dòng nước không đổi) Hướng dẫn Gọi vận tốc riêng ca nô x (km/h; x > 0) Vận tốc dòng nước y (km/h;  x > y > 0)  81 105  x = 24 (thỏa mãn)  + = y x−y ⇔ Ta có hệ phương trình sau: x + 42 54  y = (thỏa mãn)   + =4 x+y x−y 13 Vậy vận tốc dự định ca nô 24km/h vận tốc dòng nước 3km/h Ví dụ 12: Một xe máy từ A đến B thời gian định Nếu với vận tốc 45km/h tới B chậm nửa Nếu với vận tốc 60km/h tới B sớm 45 phút Tính quãng đường AB thời gian dự định Hướng dẫn Gọi quãng đường AB x (km; x > 0) Thời gian dự định từ AếnB y (h; y > 0)    x = 45 y + x = 225 (thỏa mãn) ⇔ Ta có hệ phương trình sau:   y = 4, (thỏa mãn)   x = 60 y − Vậy quãng đường AB 225 (km) Thời gian dự định từ A đến B hết 4, Ví dụ 13: Một ca nơ xi dòng 81km ngược dòng 42km Một lần khác, ca nơ xi dòng 9km ngược dòng 7km 40 phút Tính vận tốc riêng ca nơ vận tốc dòng nước (Biết vận tốc riêng ca nơ, vận tốc dòng nước khơng đổi) Hướng dẫn Gọi vận tốc riêng ca nô x (km/h; x > 0) Vận tốc dòng nước y (km/h;  x > y > 0)  81 42   x = 24 (thỏa mãn) + = x + y x − y Ta có hệ phương trình sau: ⇔  y = (thỏa mãn)  + = x+y x−y Vậy vận tốc dự định ca nô 24km/h vận tốc dòng nước 3km/h Ví dụ 14: Một tơ từ Hà Nội dự định đến Huế lúc 20h 30 phút Nếu xe với vận tốc 45km/h đến Huế chậm so với dự định Nếu xe chạy với vận tốc 60km/h đến Huế sớm so với dự định Tính độ dài quãng đường Hà Nội - Huế thời gian xe xuất phát từ Hà Nội Hướng dẫn Gọi quãng đường Hà Nội - Huế x (km; x > 0) Thời gian ô tô dự định lày (giờ; y > 0)  x = 60.(y − 2) x = 720 (thỏa mãn) Ta có hệ phương trình sau: ⇔  x = 45.(y + 2)  y = 14 (thỏa mãn) 14 Vậy quãng đường Hà Nội - Huế 720km Thời gian xe xuất phát từ Hà Nội 20h30 phút − 14h = 6h30 phút Ví dụ 15: Hai địa điểm A B cách 36km Cùng lúc xe tải khởi hành từ A chạy B xe chạy từ B A Sau gặp xe tải chạy tiếp đến B xe chạy tiếp 12 phút tới A Tính vận tốc xe Hướng dẫn Gọi vận tốc xe tải x (km/h; x > 0) vận tốc xe x (km/h; y> 0) 16    = 360 5x +  x = 40 (thỏa mãn)  5y 16 ⇔ Ta có hệ phương trình sau: y y = 50 (thỏa mãn)  5x    = x y Vậy vận tốc xe tải 40 (km/h) vận tốc xe 50 (km/h) Ví dụ 16: Một bè nứa trôi tự (với vận tốc vận tốc dòng nước) ca nơ dời bến A để xi dòng Ca nơ xi dòng 144km quay trở bến A ngay, lẫn hết 21 Trên đường ca nô trở bến A cách bến A 36km gặp bè nứa nói Tìm vận tốc riêng ca nơ vận tốc dòng nước Hướng dẫn Gọi vận tốc riêng ca nô x (km/h; x > 3) Vận tốc dòng nước y (km/h;  x > y > 0)  144 144   x = 14 (thỏa mãn) + = 21 x + y x − y Ta có hệ phương trình sau: 144 − 36 36 ⇔  144  y = (thỏa mãn)  + = x+y x−y y Vậy vận tốc dự định ca nô 14km/h vận tốc dòng nước 2km/h 15 MỘT SỐ ĐỀ THI CHÍNH THỨC Ví dụ : (TS 10 - THPT Hà Nội, năm học 2011 - 2012) Một đội xe theo kế hoạch chở hết 140 hàng số ngày quy định Do ngày đội chở vượt mức nên đội hoàn thành kế hoạch sớm thời gian quy định ngày chở thêm 10 Hỏi theo kế hoạch đội xe chở hàng hết ngày? Ví dụ : (TS 10 - THPT Hà Nội, năm học 2012 - 2013) 12 xong Nếu người làm Hai người làm chung cơng việc 15 thời gian để người thứ hồn thành cơng việc người thứ hai Hỏi làm người phải làm để xong cơng việc? Ví dụ : (TS 10 - THPT Hà Nội, năm học 2013 - 2014) Quãng đường từ A đến B dài 90 km Một người xe máy từ A đến B Khi đến B, người nghỉ 30 phút quay trở A với vận tốc lớn vận tốc lúc km/h Thời gian kể từ lúc bắt đầu từ A đến lúc trở đến A Tính vận tốc xe máy lúc từ A đến B Ví dụ: (TS 10 - THPT Hà Nội, năm học 2014 - 2015) Một phân xưởng theo kế hoạch cần phải sản xuất 1100 sản phẩm số ngày quy định Do ngày phân xưởng sản xuất vượt mức sản phẩm nên phân xưởng hoàn thành kế hoạch sớm thời gian quy định ngày Hỏi theo kế hoạch, ngày phân xưởng phải sản xuất sản phẩm? Ví dụ: (TS 10 - THPT Hà Nội, năm học 2015 - 2016) Một tàu tuần tra chạy ngược dòng 60km, sau chạy xi dòng 48km dòng sơng có vận tốc dòng nước 2km/giờ Tính vận tốc tàu tuần tra nước yên lặng, biết thời gian xi dòng thời gian ngược dòng Ví dụ : (THI THỬ 10 - THPT Hà Nội, năm học 2015 - 2016) Hai khối trường THCS có 420 học sinh có học lực trung bình đạt tỉ lệ 84% Khối đạt tỉ lệ 80% học sinh trung bình, khối đạt 90% Tính số học sinh khối Ví dụ: (TS 10 - THPT Hà Nội, năm học 2016 - 2017) Một mảnh vườn hình chữ nhật có diện tích 720m2 Nếu tăng chiều dài thêm 10m giảm chiều rộng 6m diện tích mảnh vườn khơng đổi Tính chiều dài chiều rộng mảnh vườn Ví dụ: (TS 10 - THPT Hà Nội, năm học 2017 - 2018) Một xe ô tô xe máy khởi hành từ A để đến B với vận tốc xe khơng đổi tồn qng đường AB dài 120km Do vận tốc xe ô tô lớn vận tốc xe máy 10km/h nên xe ô tô đến B sớm xe máy 36 phút Tính vận tốc xe Ví dụ: (TS 10 - THPT Hà Nội, năm học 2018 - 2019) Một mảnh đất hình chữ nhật có chu vi 28 mét độ dài đường chéo 10 mét Tính chiều dài chiều rộng mảnh đất theo đơn vị mét 16 ... trình: 50x + 45y = 165 ⇔ 10x + 9y = 33 (1) Thời gian ô tô quãng đường AB thời gian quãng đường BC 30 phút nên ta có phương trình: x + = y (2)   10x + 9y = 33 x = (thỏa mãn) Từ (1) (2) ta có... trình: 50x + 45y = 165 ⇔ 10x + 9y = 33 (1) Thời gian ô tô quãng đường AB thời gian quãng đường BC 30 phút nên ta có phương trình: x + = y (2)   10x + 9y = 33 x = (thỏa mãn) Từ (1) (2) ta có... = 5.(y − 7) + ⇔ x − 5y = 38 (1) Vì năm tuổi mẹ vừa lầntuổi nên: x − 8= 5.(y − 8) ⇔ x = 3y (2) x − 5y = 38 x = 24 Từ (1) (2) ta có hệ phương trình sau: ⇔  x = 3y y=8 Vậy tuổi mẹ 24 tuổi