giải tích 2 lê xuân đại tích phân kep sinhvienzone com

C o e on TS Lê Xuân Đại hV ie nZ Trường Đại học Bách Khoa TP HCM Khoa Khoa học ứng dụng, mơn Tốn ứng dụng in m CHƯƠNG 3: TÍCH PHÂN KÉP TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TP HCM — 2011 https://fb.com/sinhvienzonevn CHƯƠNG 3: TÍCH PHÂN KÉP TP HCM — 2011 / 14 x b, ϕ1 (x) b Nếu D xác định c tục [c, d] y hV D TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ϕ2 (x) d, ϕ1 (y ) d f (x, y )dxdy = f (x, y )dy ϕ1 (x) nZ a ie ϕ2 (x), ϕ1 (x), ϕ2 (x) liên dx f (x, y )dxdy = D y e Nếu D xác định a tục [a, b] on C o Định lý Fubini Cho hàm số f (x, y ) liên tục miền D in m Cách tính tích phân kép x ϕ2 (y ), ϕ1 (y ), ϕ2 (y ) liên ϕ2 (y ) dy c f (x, y )dx ϕ1 (y ) https://fb.com/sinhvienzonevn CHƯƠNG 3: TÍCH PHÂN KÉP TP HCM — 2011 / 14 C o Định lý Fubini e Ví dụ xdxdy , với D tam giác OAB, O(0, 0), A(1, 1), B(0, 1) Tính I = hV ie nZ on D in m Cách tính tích phân kép TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/sinhvienzonevn CHƯƠNG 3: TÍCH PHÂN KÉP TP HCM — 2011 / 14 C o Định lý Fubini e Ví dụ xdxdy , với D tam giác OAB, O(0, 0), A(1, 1), B(0, 1) Tính I = on D nZ hV O ie 1 in m Cách tính tích phân kép TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/sinhvienzonevn CHƯƠNG 3: TÍCH PHÂN KÉP TP HCM — 2011 / 14 C o Định lý Fubini e Ví dụ xdxdy , với D tam giác OAB, O(0, 0), A(1, 1), B(0, 1) Tính I = on D A hV ie O nZ in m Cách tính tích phân kép TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/sinhvienzonevn CHƯƠNG 3: TÍCH PHÂN KÉP TP HCM — 2011 / 14 C o Định lý Fubini e Ví dụ xdxdy , với D tam giác OAB, O(0, 0), A(1, 1), B(0, 1) Tính I = on D O A ie B hV nZ in m Cách tính tích phân kép TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/sinhvienzonevn CHƯƠNG 3: TÍCH PHÂN KÉP TP HCM — 2011 / 14 C o Định lý Fubini e Ví dụ xdxdy , với D tam giác OAB, O(0, 0), A(1, 1), B(0, 1) Tính I = on D O A ie B hV nZ in m Cách tính tích phân kép TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/sinhvienzonevn CHƯƠNG 3: TÍCH PHÂN KÉP TP HCM — 2011 / 14 C o Định lý Fubini Ví dụ e (xy + 2y )dxdy , với D tam giác OAB, Tính I = D hV ie nZ on O(0, 0), A(1, 1), B(2, 0) in m Cách tính tích phân kép TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/sinhvienzonevn CHƯƠNG 3: TÍCH PHÂN KÉP TP HCM — 2011 / 14 C o Định lý Fubini Ví dụ e (xy + 2y )dxdy , với D tam giác OAB, Tính I = D nZ on O(0, 0), A(1, 1), B(2, 0) ie O hV 1 in m Cách tính tích phân kép TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/sinhvienzonevn CHƯƠNG 3: TÍCH PHÂN KÉP TP HCM — 2011 / 14 C o Định lý Fubini Ví dụ e (xy + 2y )dxdy , với D tam giác OAB, Tính I = D nZ on O(0, 0), A(1, 1), B(2, 0) A O hV ie in m Cách tính tích phân kép TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/sinhvienzonevn CHƯƠNG 3: TÍCH PHÂN KÉP TP HCM — 2011 / 14 C o Đổi biến hệ tọa độ cực Ví dụ: tam giác có cạnh nằm trục y ⇔ ϕ = π/2 ⇔ ϕ = −π/2 ρ(cos ϕ + sin ϕ) = ρ(cos ϕ − sin ϕ) = on = (y > 0) = (y < 0) =1−x ⇔ =x −1 ⇔ ie −1 f (x, y ) dy 1−x nZ x x x y y x−1 dx e I = hV Nối tia từ gốc tọa độ quan sát với đoạn đoạn tia thuộc miền in m Cách tính tích phân kép TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/sinhvienzonevn CHƯƠNG 3: TÍCH PHÂN KÉP TP HCM — 2011 12 / 14 C o Đổi biến hệ tọa độ cực Ví dụ: tam giác có cạnh nằm trục D1 : − π2 D2 : ie −1 ⇔ ϕ = π/2 ⇔ ϕ = −π/2 ρ(cos ϕ + sin ϕ) = ρ(cos ϕ − sin ϕ) = on = (y > 0) = (y < 0) =1−x ⇔ =x −1 ⇔ nZ x x x y y f (x, y ) dy 1−x e y x−1 dx I = ϕ ϕ 0, π 2, hV Với ϕ > ta thu trường hợp; với ϕ > ta trường hợp khác Cần phải chia miền lấy tích phân thành miền in m Cách tính tích phân kép TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/sinhvienzonevn CHƯƠNG 3: TÍCH PHÂN KÉP TP HCM — 2011 12 / 14 C o Đổi biến hệ tọa độ cực Ví dụ: tam giác có cạnh nằm trục D1 : − π2 D2 : ie −1 ⇔ ϕ = π/2 ⇔ ϕ = −π/2 ρ(cos ϕ + sin ϕ) = ρ(cos ϕ − sin ϕ) = on = (y > 0) = (y < 0) =1−x ⇔ =x −1 ⇔ nZ x x x y y f (x, y ) dy 1−x e y x−1 dx I = ϕ ϕ 0, ≤ ρ cos ϕ−sin ϕ π 2, hV Trên tia tương ứng với góc ϕ từ −π/2 đến 0, miền lấy tích phân chứa đoạn từ gốc tọa độ đến điểm giao với phương trình y = x − in m Cách tính tích phân kép TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/sinhvienzonevn CHƯƠNG 3: TÍCH PHÂN KÉP TP HCM — 2011 12 / 14 C o Đổi biến hệ tọa độ cực Ví dụ: tam giác có cạnh nằm trục D1 : − π2 D2 : ie −1 ⇔ ϕ = π/2 ⇔ ϕ = −π/2 ρ(cos ϕ + sin ϕ) = ρ(cos ϕ − sin ϕ) = on = (y > 0) = (y < 0) =1−x ⇔ =x −1 ⇔ nZ x x x y y f (x, y ) dy 1−x e y x−1 dx I = ϕ ϕ π 2, 0, ≤ ρ ρ cos ϕ−sin ϕ cos ϕ+sin ϕ hV Trên tia tương ứng với góc ϕ từ đến π/2, miền lấy tích phân chứa đoạn từ gốc tọa độ đến điểm giao với đường thẳng y = − x in m Cách tính tích phân kép TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/sinhvienzonevn CHƯƠNG 3: TÍCH PHÂN KÉP TP HCM — 2011 12 / 14 C o Đổi biến hệ tọa độ cực Ví dụ: tam giác có cạnh nằm trục nZ x = (y > 0) = (y < 0) =1−x ⇔ =x −1 ⇔ D1 : − π2 ϕ ϕ ie D2 : −1 I = hV Đáp số: TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) π 2, 0, ≤ ρ cos ϕ−sin ϕ cos ϕ+sin ϕ ρ 1/(cos ϕ−sin ϕ) dϕ −π/2 + ⇔ ϕ = π/2 ⇔ ϕ = −π/2 ρ(cos ϕ + sin ϕ) = ρ(cos ϕ − sin ϕ) = on x x y y f (x, y ) dy 1−x e y x−1 dx I = in m Cách tính tích phân kép f (ρ cos ϕ, ρ sin ϕ)ρ dρ+ π/2 1/(cos ϕ+sin ϕ) dϕ f (ρ cos ϕ, ρ sin ϕ)ρ dρ https://fb.com/sinhvienzonevn CHƯƠNG 3: TÍCH PHÂN KÉP TP HCM — 2011 12 / 14 C o Đổi biến hệ tọa độ cực Ví dụ: phần parabol dx f (x, y ) dy x2 hV ie nZ on −1 e I = in m Cách tính tích phân kép TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/sinhvienzonevn CHƯƠNG 3: TÍCH PHÂN KÉP TP HCM — 2011 13 / 14 C o Đổi biến hệ tọa độ cực Ví dụ: phần parabol 1 dx f (x, y ) dy e I = x2 −1 on y −1 ie nZ 1 x hV Biểu diễn miền lấy tích phân D hình vẽ in m Cách tính tích phân kép TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/sinhvienzonevn CHƯƠNG 3: TÍCH PHÂN KÉP TP HCM — 2011 13 / 14 C o Đổi biến hệ tọa độ cực Ví dụ: phần parabol 1 dx y = x ⇔ sin ϕ = ρ cos2 ϕ y = ⇔ ρ sin ϕ = f (x, y ) dy e I = x2 −1 on y −1 ie nZ 1 x hV Mơ tả phương trình biên hệ tọa độ cực in m Cách tính tích phân kép TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/sinhvienzonevn CHƯƠNG 3: TÍCH PHÂN KÉP TP HCM — 2011 13 / 14 C o Đổi biến hệ tọa độ cực Ví dụ: phần parabol 1 dx y = x ⇔ sin ϕ = ρ cos2 ϕ y = ⇔ ρ sin ϕ = f (x, y ) dy e I = x2 −1 on y −1 ie nZ 1 x hV Nối tia từ gốc tọa độ quan sát với đoạn đoạn tia thuộc miền in m Cách tính tích phân kép TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/sinhvienzonevn CHƯƠNG 3: TÍCH PHÂN KÉP TP HCM — 2011 13 / 14 C o Đổi biến hệ tọa độ cực Ví dụ: phần parabol 1 dx y = x ⇔ sin ϕ = ρ cos2 ϕ y = ⇔ ρ sin ϕ = f (x, y ) dy e I = x2 −1 D1 : ϕ π 4, D2 : π ϕ 3π , D3 : 3π on y −1 ie nZ 1 ϕ π, x hV Với < ϕ < π/4 ta thu trường hợp; với π/4 < ϕ < 3π/4 ta trường hợp khác; với 3π/4 < ϕ < π ta trường hợp thứ in m Cách tính tích phân kép TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/sinhvienzonevn CHƯƠNG 3: TÍCH PHÂN KÉP TP HCM — 2011 13 / 14 C o Đổi biến hệ tọa độ cực Ví dụ: phần parabol 1 dx y = x ⇔ sin ϕ = ρ cos2 ϕ y = ⇔ ρ sin ϕ = f (x, y ) dy e I = x2 −1 D1 : 0 ϕ ρ D2 : π ϕ D3 : 3π on y −1 ie nZ 1 ϕ π 4, sin ϕ cos2 ϕ 3π , π, x hV Trên tia tương ứng với góc ϕ từ đến π/4, miền lấy tích phân chứa đoạn từ gốc tọa độ đến điểm giao với phương trình y = x in m Cách tính tích phân kép TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/sinhvienzonevn CHƯƠNG 3: TÍCH PHÂN KÉP TP HCM — 2011 13 / 14 C o Đổi biến hệ tọa độ cực Ví dụ: phần parabol 1 dx y = x ⇔ sin ϕ = ρ cos2 ϕ y = ⇔ ρ sin ϕ = f (x, y ) dy e I = x2 −1 y nZ D2 : ie D3 : −1 ϕ ρ on D1 : 0 1 π 3π ϕ ρ ϕ π 4, sin ϕ cos2 ϕ 3π , sin ϕ π, x hV Trên tia tương ứng với góc ϕ từ π/4 đến 3π/4, miền lấy tích phân chứa đoạn từ gốc tọa độ đến điểm giao với đường thẳng y = in m Cách tính tích phân kép TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/sinhvienzonevn CHƯƠNG 3: TÍCH PHÂN KÉP TP HCM — 2011 13 / 14 C o Đổi biến hệ tọa độ cực Ví dụ: phần parabol 1 dx y = x ⇔ sin ϕ = ρ cos2 ϕ y = ⇔ ρ sin ϕ = f (x, y ) dy e I = x2 −1 y nZ D2 : ie D3 : −1 ϕ ρ on D1 : 0 1 π 3π ϕ ρ ϕ ρ x π 4, sin ϕ cos2 ϕ 3π , sin ϕ π, sin ϕ cos2 ϕ hV Trên tia tương ứng với góc ϕ từ 3π/4 đến π, miền lấy tích phân chứa đoạn từ gốc tọa độ đến điểm giao với đường thẳng y = x in m Cách tính tích phân kép TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/sinhvienzonevn CHƯƠNG 3: TÍCH PHÂN KÉP TP HCM — 2011 13 / 14 C o Đổi biến hệ tọa độ cực Ví dụ: phần parabol 1 dx y = x ⇔ sin ϕ = ρ cos2 ϕ y = ⇔ ρ sin ϕ = f (x, y ) dy e I = x2 −1 y nZ D2 : ie D3 : −1 hV Đáp số: dϕ TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) π 3π ϕ ρ ϕ ρ x 3π/4 I = π/4 + ϕ ρ on D1 : 0 in m Cách tính tích phân kép π 4, sin ϕ cos2 ϕ 3π , sin ϕ π, sin ϕ cos2 ϕ 1/ sin ϕ dϕ π/4 f (ρ cos ϕ, ρ sin ϕ)ρ dρ+ sin ϕ/ cos2 ϕ sin ϕ/ cos2 ϕ π + dϕ 3π/4 https://fb.com/sinhvienzonevn CHƯƠNG 3: TÍCH PHÂN KÉP TP HCM — 2011 13 / 14 on e C o Đổi biến hệ tọa độ cực hV ie nZ THANK YOU FOR ATTENTION in m Cách tính tích phân kép TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/sinhvienzonevn CHƯƠNG 3: TÍCH PHÂN KÉP TP HCM — 2011 14 / 14 ... O(0, 0), A (2, 4), B(6, 0) in m Cách tính tích phân kép TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb .com/ sinhvienzonevn CHƯƠNG 3: TÍCH PHÂN KÉP TP HCM — 20 11 / 14 e Chuyển sang hệ tọa độ cực tích phân kép... chuyển tích phân kép dạng: β ? ?2 (ϕ) dϕ g (ρ, ϕ) dρ ρ1 (ϕ) hV ie α in m Cách tính tích phân kép TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb .com/ sinhvienzonevn CHƯƠNG 3: TÍCH PHÂN KÉP TP HCM — 20 11 /... = hV Biểu diễn miền lấy tích phân D hình vẽ in m Cách tính tích phân kép TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb .com/ sinhvienzonevn CHƯƠNG 3: TÍCH PHÂN KÉP TP HCM — 20 11 12 / 14 C o Đổi biến hệ tọa