Mai Đình Công THCS Nhơn Phúc CHỦ ĐỀ TỰ CHỌN LỚP 9 MÔN: TOÁN TÊN CHỦ ĐỀ: HÀM SỐ BẬC NHẤT – ĐỒ THỊ HÀM SỐ y = ax + b ( a ≠ 0) THỜI LƯNG: 10 tiết I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ VÀ VÍ DỤ MINH HOẠ. ( 3tiết) 1. Hàm số bậc nhất. Hàm số bậc nhất là hàm số được nho bỡi công thức y = ax + b, trong đó a, b là các hệ số, a ≠ 0. Trong trường hợp b = 0 ta được hàm số y = ax đã học ở lớp 7. Rõ ràng là hàm số bậc nhất xác đònh với mọi giá trò thực của x. Từ tính chất trên, thường xuất hiện dạng toán sau: Cho hàm số bậc nhất y = ax + b mà a phụ thuộc vào tham số m( hay chữ số nào đó). Vấn đề là xác đònh m để hàm số đồng biến hay nghòch biến. Với dạng này ta chỉ cần nhớ rằng: a > 0 thì hàm số đồng biến; a < 0 thì hàm số nghòch biến. Ví dụ 1: Cho hàm số y = (m-2)x + 1. Với giá trò nào của m thì hàm số đồng biến trên R? Nghòch biến trên R? Giải + Hàm số đồng biến khi a > 0 ⇔ m -2 > 0 ⇒ m > 2 + Hàm số nghòch biến khi a < 0 ⇔ m -2 < 0 ⇒ m < 2 2. Đồ thò hàm số bậc nhất. Đồ thò hàm số bậc nhất y = ax + b là đường thẳng đi qua hai điểm. Để vẽ đồ thò của hàm số này, ta chỉ cần xác đònh hai điểm nó đi qua. Có thể sử dụng một trong hai cách sau đây: Cách1: Xét y = ax + b. Cho x = 0 ⇒ y = b A(0; b) Cho y = 0 ⇒ x = a b − B( a b − ; 0) Đồ thò là đường thẳng AB. Cách 2: Cho x bằng hai giá trò tùy ý ( nhưng phải thích hợp) để tìm hai giá trò y tương ứng. Chú ý rằng giá trò x mà ta cho phải khôn khéo( hợp lý) để giá trò y tính được thật nhanh, đồng thời số tính được phải là số biểu diễn dễ dàng trên đồ thò. 3. Phương trình hoành độ để xác đònh giao điểm. Cho hai đường thẳng y = ax + b và y = cx + d. Hai đường thẳng này có thể trùng nhau, song song nhau hoặc cắt nhau tại một điểm duy nhất. Trong trường hợp hai đường thẳng cắt nhau, gọi M( x 0 ; y 0 ) là giao điểm. Khi đó, M nằm trên đường thẳng y = ax + b nên ta phải có y 0 = ax 0 + b. Mặt khác, M cũng nằm trên đường thẳng y = cx + d nên ta cũng có y 0 = ax 0 + d. Như vậy: ax 0 + b = cx 0 + d Nói cách khác, x 0 chính là nghiệm của phương trình bậc nhất ax + b = cx + d ⇔ (a – c)x + (b – d) = 0 (1) Vì vậy, ta thường nói rằng (1) là phương trình hoành độ giao điểm của hai đường thẳng đã cho. 4. Hệ số góc của đường thẳng, đường thẳng song song, đường cắt nhau. Cho đường thẳng y = ax + b. Khi đó, ta gọi a là hệ số góc của đường thẳng này. Xét hai đường thẳng y = ax + b và y = a'x + b': Nếu a ≠ a' thì hai đường thẳng đó cắt nhau tại một điểm. Nếu a = a'( Hệ số góc hai đường thẳng bằng nhau): - 1 - Mai Đình Công THCS Nhơn Phúc Khi b = b' thì hai đường thẳng đó trùng nhau. Khi b ≠ b' thì hai đường thẳng song song. Nếu a. a' = -1 thì hai đường thẳng vuông góc nhau. 5. Tìm phương trình đường thẳng đi qua hai điểm. Giả sử đường thẳng cần tìm có dạng y = ax + b. Ta đã biết, đường thẳng đi qua điểm nào thì tọa độ của nó thõa mãn phương trình đã cho. Nếu biết trước rằng đồ thò đường thẳng đi qua hai điểm thì ta sẽ xác lập được hai phương trình cho phép giải ra a và b. Ví dụ 2: Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A(x 1 ; y 1 ) và B( x 2 ; y 2 ). Giải Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm có dạng y = ax + b. Ta cần xác đònh a, b khi biết rằng đường thẳng này đi qua A, B. Vì đường thẳng đi qua A nên nta có: y 1 = ax 1 + b (1) Vì đường thẳng đi qua nên nta có: y 2 = ax 2 + b (2) Lấy (2) – (1) vế theo vế ta được: y 2 - y 1 = a(x 2 – x 1 ) ⇒ a = 12 12 xx yy − − (3) Thay a ở (3) vào (1) ta được: y 1 = − − 12 12 xx yy x 1 + b ⇒ b = y 1 - − − 12 12 xx yy x 1 = 12 1221 xx xyxy − − Vậy phương trình của đường thẳng là: y = 12 12 xx yy − − x + 12 1221 xx xyxy − − II. BÀI TẬP.(7 tiết) Bài 1: Tìm phương trình đường thẳng đi qua M( 2; 3) và N(6; 5) Bài 2: Tìm Phương trình đường thẳng đi qua M( 2; 3) và song song với đường thẳng y = 2x + 3. Bài 3: Tìm phương trình đường thẳng đi qua N( 5; 2) và vuông góc với đường thẳng y = 2x + 1. Bài 4: Xác đònh phưong trình đường thẵng đi qua hai điểm M(1; 2); N(2; 3). Bài 5: Xác đònh phương trình đường thẳng cắt trục hoành tại điểm có hoành độ 0 ≠ α và cắt trục tung tại điểm có tung độ 0 ≠ β . Bài 6: Lập phương trình đường thẳng (d) đi qua M(2; 0) và vuông góc với đường thẳng (k) có phương trình y = 2x – 3. Bài 7: Tìm phương trình đường thẳng đi qua giao điểm hai đường thẳng y = 2x + 1 ; y = 3x – 4 và song song với đường thẳng y = 2 x + 15 Bài 8: Cho hai đường thẳng 3x – 5y + 2 = 0; 5x – 2y + 4 = 0. Viết phương trình đường thẳng qua giao điểm hai đường thẳng trên và a) song song với đường thẳng 2x – y + 4 = 0 b) qua thêm điểm M(1; 4) Bài 9: a) Xác đònh a để các đường thẳng sau đây đồng qui: 2x – y + 3 = 0 ; x + y + 3 = 0; ax – y – 1 = 0. b) Xác đònh m để hai đường thẳng sau đây cắt nhau tại một điểm trên trục hoành. (m – 1)x + my – 5 = 0; mx + (2m – 1)y + 7 = 0 c) Xác đònh điểm trên trục hoành nói ở câu trên. - 2 - Mai Đình Công THCS Nhơn Phúc Bài 10: Lập phương trình của đường thẳng (d) qua B(2; 0) và vuông góc với đường thẳng MN, với M(0; -3), N(1; -1). Bài 11: Cho tam giác với ba cạnh có ba phương trình: x + 2y – 2 = 0; 2x + y – 13 = 0; x – 2y + 6 = 0. Hãy vẽ tam giác này, xác đònh tọa độ của các đỉnh và chứng minh tam giác đó vuông. III. HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP. Bài 1: Phương trình đường thẳng đi qua M( 2; 3) và N(6; 5). Phương trình của đường thẳng đi qua hai điểm có dạng: y = 12 12 xx yy − − x + 12 1221 xx xyxy − − 2 2 1 4 8 4 2 26 2.56.3 26 35 +=+= − − + − − = xxxy Bài 2: Phương trình đường thẳng đi qua M( 2; 3) và song song với đường thẳng y = 2x + 3. Phương trình của đường thẳng có dạng y = ax + b. Vì nó song song với đ/t y = 2x + 3 nên a = 2 Phương trình của đường thẳng trở thành: y = 2x + b Vì đường thẳng cần tìm qua M(2; 3) nên: 3 = 2.2 + b Suy ra b = -1 Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là y = 2x – 1 Bài 3: Phương trình đường thẳng đi qua N( 5; 2) và vuông góc với đường thẳng y = 2x + 1. Phương trình của đường thẳng có dạng y = ax + b. Vì nó vuông góc với đ/t y = 2x + 1 nên a.2 = -1 ⇒ a = 2 1 − Phương trình của đường thẳng trở thành: y = 2 1 − x + b Vì đường thẳng cần tìm qua N(5; 2) nên: 2 = 2 1 − .5 + b Suy ra b = 2 9 Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là y = 2 1 − x – 2 9 Bài 4: Xác đònh phưong trình đường thẵng đi qua hai điểm M(1; 2); N(2; 3). α Tương tự bài tập 1: Đáp số: y = x + 1 Bài 5: Xác đònh phương trình đường thẳng cắt trục hoành tại điểm có hoành độ 0 ≠ α và cắt trục tung tại điểm có tung độ 0 ≠ β . Đây là trường hợp đặc biệt với hai điểm A( α ; 0) và B( 0; β ) Tương tự bài tập 1: Đáp số: y = - β α β + x (Đây được xem như công thức tổng quát để viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm với hai điểm đó nằm trên hai trục tọa độ) Bài 6: Lập phương trình đường thẳng (d) đi qua M(2; 0) và vuông góc với đường thẳng (k) có phương trình y = 2x – 3. Phương trình của đường thẳng có dạng y = ax + b. Vì nó vuông góc với đ/t y = 2x – 3 nên a.2 = -1 ⇒ a = 2 1 − Vì đường thẳng cần tìm qua M(2; 0) nên: 0 = 2 1 − .2 + b - 3 - Mai Đình Công THCS Nhơn Phúc Suy ra b = 1 Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là y = 2 1 − x + 1 Bài 7: Tìm phương trình đường thẳng đi qua giao điểm hai đường thẳng y = 2x + 1 ; y = 3x – 4 và song song với đường thẳng y = 2 x + 15 Hoành độ giao điểm của hai đưởng thẳng y = 2x + 1 ; y = 3x – 4 là nghiệm của phương trình 2x + 1 = 3x – 4, hay x = 5. Suy ra tung độ giao điểm là y = 2.5 +1 = 11. vậy ta có giao điểm M(5; 11). Đường thẳng song song với đường thẳng y = 2 x + 15 có phương trình y = 2 x + b. vì đường này đi qua M nên 11 = 5. 2 + b, suy ra b = 11 - 5. 2 . Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là: y = 2 x + 11 - 5 2 Bài 8: HD: Đưa các phương trình của các đường thẳng về dạng y = ax + b. 3x – 5y + 2 = 0 ⇔ y = 5 2 5 3 + x 5x – 2y + 4 = 0 ⇔ y = 2 2 5 + x 2x – y + 4 = 0 ⇔ y = 2x +4 a) Tương tự bài tập 8: Đáp số: y = 2x + 19 30 b) Tương tự bài tập 8 nhưng tìm tìm b bằng cách thay tọa độ M vào hàm số rồi tính. Đáp số: y = 35 62 35 78 + x Bài 9: a) Xác đònh a để các đường thẳng sau đây đồng qui: 2x – y + 3 = 0 ; x + y + 3 = 0; ax – y – 1 = 0. Viết lại phương trình của hai đường thẳng 2x – y + 3 = 0 ; x + y + 3 = 0 như sau: y = 2x + 3; và y = -x – 3. Giao điểm của hai đường thẳng này có hoành độ là nghiệm của phương trình 2x + 3 = -x -3. Từ đó, giao điểm là M(-2; -1 ). Để ba đường thẳng đồng qui, tọa độ M phải thõa mãn phương trình đường thẳng thứ ba, tức phải có: a(-2) +1 -1 = 0 ⇔ a = 0. b) Xác đònh m để hai đường thẳng sau đây cắt nhau tại một điểm trên trục hoành. (m – 1)x + my – 5 = 0; mx + (2m – 1)y + 7 = 0 Điểm nằm trên trục hoành thì có tung độ bằng 0. Do đó, muốn hai đường thẳng (m – 1)x + my – 5=0 và mx + (2m – 1)y + 7 = 0 có giao điểm nằm trên trục hoành thì ta có: (m – 1)x + m.0 -5 = 0 và mx +(2m – 1).0 + 7 = 0 hay: (m – 1)x – 5 = 0 và mx + 7 = 0. Theo đònh nghóa hàm số bậc nhất, ta phải có m – 1 ≠ 0 và m ≠ 0. Từ mx + 7 = 0 ta có m x 7 − = . Thay vào phương trình (m – 1)x – 5 = 0 ⇔ mx – x – 5 = 0 ⇔ m m 7 − - m 7 − - 5 = 0 ⇔ m = 12 7 c) Xác đònh điểm trên trục hoành nói ở câu trên. Thay m = 12 7 vào phương trình thứ` hai ta được 07 12 7 =+ x Từ đó ta có x = -12. Dễ dàng kiểm tra được x = -12 cũng thõa mãn phưng trình (m – 1)x + my – 5 = 0. Vậy hai đường thẳng đã cho cùng cắt trục hoành tại điểm có tọa độ (0; -12) Bài 10: Lập phương trình của đường thẳng (d) qua B(2; 0) và vuông góc với đường thẳng MN, với M(0; -3), N(1; -1). - 4 - Mai Đình Công THCS Nhơn Phúc Lập phương trình đường thẳng MN: y = 12 12 xx yy − − x + 12 1221 xx xyxy − − = 32 01 0).1(1 3 01 )3(1 −= − −−− + − −−− xx Tiếp theo tương tự như BT 7 ta được y = 1 2 1 +− x . Bài 11: Cho tam giác với ba cạnh có ba phương trình: x + 2y – 2 = 0; 2x + y – 13 = 0; x – 2y + 6 = 0. Hãy vẽ tam giác này, xác đònh tọa độ của các đỉnh và chứng minh tam giác đó vuông. Viết lại ba phương trình đường thẳng: 1 2 1 +−= xy ; y = -2x + 13 ; 3 2 1 += xy Hệ số góc của ba đường thẳng này khác nhau nên chúng cắt nhau từng đôi một. Ngòai ra, rõ ràng hai đường thẳng y = -2x + 13 ; 3 2 1 += xy có tích các hệ số góc bằng -1 nên chúng vuông góc nhau. Tiếp tục vẽ ba đường thẳng trên cùng mp tọa độ rồi xác đònh ba giao điểm. ---------------------------------------------------------------------------------- BGH duyệt GVBM Mai Đình Công - 5 - . đường thẳng đi qua M( 2; 3) và song song với đường thẳng y = 2x + 3. Phương trình của đường thẳng có dạng y = ax + b. Vì nó song song với đ/t y = 2x + 3 nên. 2x + 1 = 3x – 4, hay x = 5. Suy ra tung độ giao điểm là y = 2.5 +1 = 11. vậy ta có giao điểm M(5; 11). Đường thẳng song song với đường thẳng y = 2 x + 15