CÔNG PHÁ NGUYÊN hàm TỪNG PHẦN

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Ứng Dụng PHƯƠNG PHÁP NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN Cho hai hàm số u v liên tục đoạn  a; b  có đạo hàm liên tục đoạn  a; b  Khi đó:  udv  uv   vdu * Để tính nguyên hàm  f  x  dx phần ta làm sau: Bước Chọn u , v cho f  x  dx  udv (chú ý dv  v '  x  dx ) Sau tính v   dv du  u '.dx Bước Thay vào công thức * tính  vdu Chú ý Cần phải lựa chọn dv hợp lí cho ta dễ dàng tìm v tích phân  vdu dễ tính  udv Ta thường gặp dạng sau sin x  ● Dạng I   P  x    dx , P  x  đa thức u cos x  u  P  x   Với dạng này, ta đặt  sin x  dv  cos x  dx    ax  b ● Dạng I   P  x  e dx , P  x  đa thức u  P  x  Với dạng này, ta đặt  ax  b dv  e dx ● Dạng I   P  x  ln  mx  n  dx , P  x  đa thức u  ln  mx  n  Với dạng này, ta đặt  dv  P  x  dx sin x  x ● Dạng I     e dx cos x   sin x  u    Với dạng này, ta đặt  cos x   x dv  e dx BÀI TẬP DẠNG Câu Tìm  x sin xdx ta thu kết sau đây? A x sin x  cos x  C C x sin x  cos x Câu Nguyên hàm hàm số f  x   x sin x là: A F  x    x cos x  sin x  C 1 x sin x  cos x  C 1 D x sin x  cos x B B F  x   x cos x  sin x  C File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 106 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A C F  x    x cos x  sin x  C Câu Biết D F  x   x cos x  sin x  C  x cos xdx  ax sin x  b cos x  C A ab  B ab  Tích Phân Ứng Dụng với a , b số hữu tỉ Tính tích ab ? C ab   D ab   x2  a   Cho biết F  x   x  x  nguyên hàm f  x   Tìm nguyên hàm x x2 g  x   x cos ax Câu 1 x sin x  cos x  C 1 D x sin x  cos x  C A x sin x  cos x  C B C x sin x  cos x  C Câu Nguyên hàm I   x sin xdx là: Câu x  x sin x  cos x   C  1  C  x  cos x  x sin x   C 4  Tìm nguyên hàm I    x  1 sin xdx A A I  Câu 1  x  cos x  sin x  C 1  x  cos x  sin x  C C I  Tìm nguyên hàm  sin xdx A  sin xdx  Câu Câu B 1 cos x   x  x sin x   C D Đáp án A C B I    x  cos x  sin x  C   x  cos x  sin x  C D I  cos x  C x C  sin xdx  cos x  C B  sin xdx   cos x  C A I1   x cos3 x  t  t  C , t  sin x C I1  x cos3 x  t  t  C , t  sin x x Một nguyên hàm f  x   : cos x A x tan x  ln cos x B I1   x cos3 x  t  t  C , t  sin x D I1  x cos3 x  t  t  C , t  sin x C x tan x  ln cos x D x tan x  ln sin x Nguyên hàm I   x sin x cos xdx là: Câu 10 Một nguyên hàm f  x   x : sin x D  sin xdx  2 x cos x  2sin x  C B x tan x  ln  cos x  A x cot x  ln sinx B  x cot x  ln  sin x  C  x tan x  ln cos x D x tan x  ln sin x File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 107 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đơng Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Ứng Dụng x      ;  F  x  nguyên hàm xf   x  thỏa mãn cos x  2    F    Biết a    ;  thỏa mãn tan a  Tính F  a   10a  3a  2 1 A  ln10 B  ln10 C ln10 D ln10 Câu 11 Cho f  x   DẠNG Câu 12 Họ nguyên hàm  e x 1  x  dx là: B I  e x  A I  e x  xe x  C x xe  C C I  e x  xe x  C D I  2e x  xe x  C Câu 13 Biết  xe x dx  axe x  be x  C  a, b    Tính tích ab A ab   B ab  C ab   D ab  2x e  ax  b   C , a, b   C số Mệnh đề A a  2b  B b  a C ab D 2a  b  x x Câu 15 Biết F  x    ax  b  e nguyên hàm hàm số y   x  3 e Khi a  b Câu 14 Cho biết  xe 2x dx  A B C D Câu 16 Biết   x  3 e 2 x dx   e 2 x  x  n   C , với m, n   Tính S  m  n m A S  10 B S  C S  65 D S  41 x Câu 17 Tìm nguyên hàm I    x  1 e dx A I    x  1 e  x  C B I    x  1 e  x  C C I    x  3 e  x  C D I    x  3 e  x  C Câu 18 Cho F ( x) nguyên hàm hàm số f  x    x  1 e x F    Tính F 1 A F 1  11e  B F 1  e  C F 1  e  D F 1  e  f  x    x  3 e x F  x    mx  n  e x  m, n    Câu 19 Cho hàm số Nếu nguyên hàm f  x hiệu m  n A B C D Câu 20 Cho F  x  nguyên hàm hàm số f  x   e x F    Hãy tính F  1 15 e DẠNG A  B  10 e C 15 4 e D 10 e Câu 21 Kết  ln xdx là: A x ln x  x  C C x ln x  C Câu 22 Nguyên hàm I   x ln xdx với: B Đáp án khác D x ln x  x  C File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 108 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Ứng Dụng x2 x2 ln x   xdx  C ln x   xdx  C B 2 C x ln x   xdx  C D x ln x   xdx  C Câu 23 Tìm nguyên hàm hàm số f  x   x ln  x   A x2 x2  4x ln x   C    x2  x2  4x ln  x    C B  f  x  dx  x2 x2  4x C C  f  x  dx  ln  x    2 x2  x2  4x ln  x    C D  f  x  dx  2 A f  x  dx  Câu 24 Hàm số sau nguyên hàm g  x    ln x  x ln x  ln  1999 x 1 x 1 ln x x  ln  2016 C x 1 x 1 ln  cos x  dx là: Câu 25 Họ nguyên hàm I   sin x A cot x.ln  cos x   x  C A C cot x.ln  cos x   x  C ln x  x  1 ?  ln x x  ln  1998 x 1 x 1 ln x x  ln  2017 D x 1 x 1 B B  cot x.ln  cos x   x  C D  cot x.ln  cos x   x  C Câu 26 Tìm nguyên hàm hàm số f  x   x ln x 32 f  x  dx  x  3ln x    C f  x  dx  x  3ln x  1  C 32 A  B  f  x  dx  x  3ln x    C 3 C  D  f  x  dx  x  3ln x    C ln  x  3 Câu 27 Giả sử F  x  nguyên hàm f  x   cho F  2   F 1  Giá trị x2 F  1  F   A 10 ln  ln B C ln D ln  ln   x2  Câu 28 Tìm nguyên hàm hàm số f  x   x ln  ?   4 x    x2   x  16    x  A x ln  B  x  2x2   ln     x 4  x         x2  C x ln   2x2   4 x  x dx Câu 29 Tìm H   ?  x sin x  cos x   x  16    x  D   2x2  ln      4 x  File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 109 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Câu 30 A H  x  tan x  C cos x  x sin x  cos x  B H  x  tan x  C cos x  x sin x  cos x  C H  x  tan x  C cos x  x sin x  cos x  D H  x  tan x  C cos x  x sin x  cos x    x x   x ln x dx có dạng a   x2   Tích Phân Ứng Dụng b x ln x  x  C , a, b hai số hữu tỉ Giá trị a bằng: A B C f ( x) Câu 31 Cho F ( x)  nguyên hàm hàm số Tính 2x x D Khơng tồn e  f ( x) ln xdx bằng: e 3 2e e 2  e2 A I  B I  C I  D I  2e e e 2e a  ln x Câu 32 Cho F  x    ln x  b  nguyên hàm hàm số f  x   , a , b   x x2 Tính S  a  b A S  2 B S  C S  D S  a Câu 33 Cho số thực a , b khác không Xét hàm số f  x    bxe x với x khác 1  x  1 2 Biết f     22  f  x  dx  Tính a  b ? A 19 B C D 10 Câu 34 Cho a số thực dương Biết F  x  nguyên hàm hàm số 1  1 f  x   e x  ln  ax    thỏa mãn F    F  2018   e 2018 Mệnh đề sau x  a đúng?     ;1 A a   B a   0; C a  1; 2018  D a   2018;    2018   2018  DẠNG 4: Câu 35 Phát biểu sau đúng? A  e x sin xdx  e x cos x   e x cos xdx C  e x sin xdx  e x cos x   e x cos xdx Câu 36 Tìm J   e x sinxdx x D  e x sin xdx  e x cos x   e x cos xdx ? e  cos x  sin x   C ex C J   sin x  cos x   C A J  B  e x sin xdx  e x cos x   e x cos xdx ex  sin x  cos x   C ex D J   sin x  cos x  1  C B J  File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 110 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Ứng Dụng HƯỚNG DẪN GIẢI Câu DẠNG Tìm  x sin xdx ta thu kết sau đây? 1 x sin x  cos x  C 1 D x sin x  cos x Hướng dẫn giải A x sin x  cos x  C B C x sin x  cos x Ta có: I   x sin xdx Câu du  dx u  x   Đặt:  dv  sin xdx v   cos x  1 1 Khi đó: I  uv   vdu   x cos x   cos xdx   x cos x  sin x  C 2 Chọn B Nguyên hàm hàm số f  x   x sin x là: A F  x    x cos x  sin x  C B F  x   x cos x  sin x  C C F  x    x cos x  sin x  C D F  x   x cos x  sin x  C Hướng dẫn giải Chọn C Ta có: I   f  x  dx   x sin x dx u  x du  dx Đặt  Ta có  dv  sin x dx v   cos x I   f  x  dx   x sin x dx   x cos x   cos x dx   x cos x  sin x  C Câu Biết  x cos xdx  ax sin x  b cos x  C A ab  B ab  với a , b số hữu tỉ Tính tích ab ? C ab   Hướng dẫn giải D ab   Chọn A du  dx u  x   Đặt  d v  cos xdx v  sin x  1 1 Khi  x cos xdx  x sin x   sin xdx  x sin x  cos x  C 2 1 a , b Vậy ab  x2  a   Cho biết F  x   x  x  nguyên hàm f  x   Tìm nguyên hàm x x2 g  x   x cos ax Câu File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 111 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Ứng Dụng 1 x sin x  cos x  C 1 D x sin x  cos x  C Hướng dẫn giải A x sin x  cos x  C B C x sin x  cos x  C Chọn C  x  a Ta có F   x   x    Suy a  x x2 Khi  g  x  dx   x cos xdx   xd sin x  x.sin x   sin xdx  x.sin x  cos x  C 2 Câu Nguyên hàm I   x sin xdx là: x  x sin x  cos x   C  1  C  x  cos x  x sin x   C 4  A B 1 cos x   x  x sin x   C D Đáp án A C Hướng dẫn giải biến đổi: 1   cos x  I   x sin xdx   x   dx   xdx   x cos xdx  x   x cos xdx  C1 2    Ta I1 I1   x cos xdx Câu du  dx u  x   Đặt  dv  cos x v  sin x  1 1  I1   x cos xdx  x sin x   sin xdx  x sin x  cos x  C 2 1 1   I   x  cos x  x sin x   C   x  x sin x  cos x   C 4  1   cos x   x  x sin x   C Chọn C Tìm nguyên hàm I    x  1 sin xdx A I  1  x  cos x  sin x  C 1  x  cos x  sin x  C C I  B I    x  cos x  sin x  C   x  cos x  sin x  C D I  Hướng dẫn giải Chọn D Câu  du  dx u  x    Đặt  dv  sin xdx v   cos x  Khi 1 1 I    x  1 sin xdx    x  1 cos x   cos xdx    x  1 cos x  sin x  C 2 Tìm nguyên hàm  sin xdx File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 112 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A A  sin xdx  Tích Phân Ứng Dụng B  sin xdx   cos x  C cos x  C x C  sin xdx  cos x  C D  sin xdx  2 x cos x  2sin x  C Hướng dẫn giải Chọn D Đặt t  x , ta có  sin xdx   2t sin tdt u  2t du  2dt Đặt  ta có  dv  sin tdt v   cos t  2t sin tdt  2t cos t   cos tdt   2t cos t  2sin t  C  2 x cos x  2sin x  C Câu Nguyên hàm I   x sin x cos xdx là: A I1   x cos3 x  t  t  C , t  sin x B I1   x cos3 x  t  t  C , t  sin x 3 C I1  x cos3 x  t  t  C , t  sin x D I1  x cos3 x  t  t  C , t  sin x 3 Hướng dẫn giải Ta đặt: u  x du  dx    du  sin x cos x u   cos xdx  I   x sin x cos xdx   x cos3 x   cos3 xdx  C1   I1 Xét I1   cos xdx   cos x 1  sin x  dx Đặt t  sin x  dt  cos xdx  I1   1  t  dt  t  t  C2 Câu  I   x cos3 x  I1   x cos3 x  t  t  C Chọn A x Một nguyên hàm f  x   : cos x A x tan x  ln cos x B x tan x  ln  cos x  C x tan x  ln cos x D x tan x  ln sin x Hướng dẫn giải Ta có: I   x dx cos x u  x du  dx  Đặt:   dv  cos x dx v  tan x Khi đó: I  uv   vdu  x tan x   tan xdx  x tan x  ln cos x  C Chọn C Câu 10 Một nguyên hàm f  x   A x cot x  ln sinx x : sin x B  x cot x  ln  sin x  File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 113 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A C  x tan x  ln cos x Tích Phân Ứng Dụng D x tan x  ln sin x Hướng dẫn giải x Ta có: I   dx sin x u  x du  dx  Đặt:   dv  sin x dx v   cot x Khi đó: I  uv   vdu   x cot x   cot xdx   x cot x  ln sin x  C Chọn B x      ;  F  x  nguyên hàm xf   x  thỏa mãn cos x  2    F    Biết a    ;  thỏa mãn tan a  Tính F  a   10a  3a  2 1 A  ln10 B  ln10 C ln10 D ln10 Hướng dẫn giải Chọn C Ta có: F  x    xf   x  dx   xd f  x   xf  x    f  x  dx Câu 11 Cho f  x   Ta lại có: x  f  x  dx   cos x dx =  xd  tan x   x tan x   tan xdx  x tan x   sin x dx cos x d  cos x   x tan x  ln cos x  C  F  x   xf  x   x tan x  ln cos x  C cos x Lại có: F     C  , đó: F  x   xf  x   x tan x  ln cos x  x tan x    F  a   af  a   a tan a  ln cos a Khi f a  a  a 1  tan a   10a cos a 1   tan a  10  cos a  cos a 10 10  cos a  Vậy F  a   10a  3a  10a  3a  ln 1  10a  3a  ln10 10 DẠNG Câu 12 Họ nguyên hàm  e x 1  x  dx là: x xe  C A I  e x  xe x  C B I  e x  C I  e x  xe x  C D I  2e x  xe x  C Hướng dẫn giải Ta có: I   e x 1  x  dx   e x dx   e x xdx  e x  C1   xe x dx  I1 Xét I1   e xdx x u  x du  x Đặt   x x dv  e dx v  e File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 114 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A  I1  xe x   xe x dx  I1   I  ex  Tích Phân Ứng Dụng x xe  C2 x xe  C Chọn B Câu 13 Biết  xe x dx  axe x  be x  C  a, b    Tính tích ab A ab   B ab  C ab   Hướng dẫn giải D ab  Chọn C du  dx u  x   Đặt  2x 2x dv  e dx v  e  1 1 Suy ra:  xe x dx  xe x   e x dx  xe x  e x  C 2 1 Vậy: a  ; b    ab   Câu 14 Cho biết  xe x dx  e x  ax  b   C , a, b   C số Mệnh đề A a  2b  B b  a C ab D 2a  b  Hướng dẫn giải Chọn A Đặt u  x  du  dx , e2 x dv  e x dx  v  xe x e2 x xe x e x e2 x 2x  dx   C  Ta có  xe dx   x  1  C Suy a  , b  1 2 4 Câu 15 Biết F  x    ax  b  e x nguyên hàm hàm số y   x  3 e x Khi a  b A B C Hướng dẫn giải Ta có:   2x+3 e x dx   ax+b  e x , nghĩa là: D  ax+b  e x  '   2x+3 e x  a.e x  e x  ax  b  =  2x+3 e x  e x  ax  a  b  =  2x+3 e x Đồng hệ số ta được: a=2 b =1 Vậy a  b  Chọn B Câu 16 Biết   x  3 e 2 x dx   e 2 x  x  n   C , với m, n   Tính S  m  n m A S  10 B S  C S  65 D S  41 Hướng dẫn giải Chọn C du  dx u  x    Đặt  2 x 2 x dv  e dx v   e  File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 115 10 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đơng Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Ứng Dụng 1 1 dx   e 2 x  x  3   e 2 x dx   e 2 x  x  3  e 2 x  C 2 2 x 2 x   e  x   1  C   e  x    C  m  4; n  4 S  m  n  65 Câu 17 Tìm nguyên hàm I    x  1 e  x dx Khi   x  3 e 2 x A I    x  1 e  x  C B I    x  1 e  x  C C I    x  3 e  x  C D I    x  3 e  x  C Hướng dẫn giải Chọn A u  x  du  2dx Đặt   x x dv  e dx v  e Ta có I    x  1 e  x   2.e  x dx    x  1 e  x  2e  x  C    x  1 e  x  C Câu 18 Cho F ( x) nguyên hàm hàm số f  x    x  1 e x F    Tính F 1 A F 1  11e  B F 1  e  C F 1  e  D F 1  e  Hướng dẫn giải Chọn C Ta có F  x     x  1 e x dx u  x  du  5dx  Đặt  x x dv  e dx  ve F  x    x  1 e x   5e x dx   x  1 e x  5e x  C   x   e x  C Mặt khác F     4  C   C   F  x   5x  4 ex  Vậy F 1  e  Câu 19 Cho hàm số f  x    x  3 e x Nếu F  x    mx  n  e x  m, n    nguyên hàm f  x hiệu m  n A B C Hướng dẫn giải: D Chọn A Tính   x  3 e x dx Đặt u  x   du  2dx; dv  e x dx  v  e x Suy ra:   x  3 e dx   x  3 e x x   e x dx  C   x  3 e x  2e x  C   x   e x  C Suy ra: m  ; n  5 Vậy m  n  F  x Câu 20 Cho nguyên hàm hàm số f  x   e x F    Hãy tính F  1 A  15 e B  10 e 15 4 e Hướng dẫn giải C D 10 e Chọn C Ta có I   f  x  dx   e x dx File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 116 11 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Đặt Tích Phân Ứng Dụng x  t  x  t  dx  3t dt I   e x dx  3 et t dt t  u 2tdt  du  t Đặt  t  I  e t t   e t t dt e dt  dv e  v Tính  et tdt    3et t   et tdt t  u dt  du Đặt  t   et tdt  tet   et dt  tet  et  t e dt  dv e  v Vậy  I  3et t   et t  et   C  F  x   3e Theo giả thiết ta có  F  1  x  x2  e F     C  4 x x e  F  x   3e 3 x x C x  e x x e x 4 15 4 e DẠNG Câu 21 Kết  ln xdx là: A x ln x  x  C C x ln x  C B Đáp án khác D x ln x  x  C Hướng dẫn giải Ta có: I   ln xdx dx  u  ln x du  Đặt:   x dv  dx v  x  Khi đó: I  uv   vdu  x ln x   dx  x ln x  x  C Chọn D Câu 22 Nguyên hàm I   x ln xdx với: x2 ln x   xdx  C A C x ln x   xdx  C x2 ln x   xdx  C B 2 D x ln x   xdx  C Hướng dẫn giải Ta đặt:  du  dx  u  ln x x   dv  xdx v  x  x2  I   x ln xdx  ln x   xdx 2 Chọn B Câu 23 Tìm nguyên hàm hàm số f  x   x ln  x   x2 x2  4x ln x   C    x2  x2  4x ln  x    C B  f  x  dx  A f  x  dx  File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 117 12 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Ứng Dụng x2 x2  4x ln x   C    2 x2  x2  4x ln  x    C D  f  x  dx  2 Hướng dẫn giải Chọn B dx  d u  u  ln  x    x2  Đặt  dv  xdx v  x  x2 x2 dx suy  f  x  dx   x ln  x   dx  ln  x     2 x2 x2   x2  x2  4x  ln  x      x   ln  x    C  dx  2  x2 2 ln x Câu 24 Hàm số sau nguyên hàm g  x   ?  x  1 C f  x  dx   ln x  x ln x  ln  1999 x 1 x 1 ln x x  ln  2016 C x 1 x 1 A  ln x x  ln  1998 x 1 x 1 ln x x  ln  2017 D x 1 x 1 Hướng dẫn giải B  u  ln x du  dx    x  Đặt  dv  dx  v  1  x  1   x 1 S  ln x  ln x   lnx dx 1  dx        dx    dx  x 1 x  x  1 x 1 x 1 x x 1  x x 1   ln x  ln x x S   ln x  ln x    C   ln C x 1 x 1 x 1 Chọn A ln  cos x  dx là: Câu 25 Họ nguyên hàm I   sin x A cot x.ln  cos x   x  C B  cot x.ln  cos x   x  C C cot x.ln  cos x   x  C D  cot x.ln  cos x   x  C Hướng dẫn giải Ta đặt: u  ln  cos x  du   tan xdx    dx v   cot x dv  sin x   I   cot x.ln  cos x    dx   cot x.ln  cos x   x  C Chọn B Câu 26 Tìm nguyên hàm hàm số f  x   x ln x File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 118 13 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A A  C  32 x  3ln x    C f  x  dx  x  3ln x  1  C f  x  dx  Tích Phân Ứng Dụng 32 x  3ln x    C  3 D  f  x  dx  x  3ln x    C Hướng dẫn giải B f  x  dx  Chọn A I   f  x  dx   x ln x.dx Đặt: t  x  dt  dx  2tdt  dx x  I   t ln t dt   t ln t.dt  du  t dt u  ln t  Đặt:  dv  t dt v  t  1 1  1   I   t ln t   t dt    t ln t  t  C   t  3ln t  1  C 3  3   x 3ln x   C  x  3ln x    C ln  x  3 Câu 27 Giả sử F  x  nguyên hàm f  x   cho F  2   F 1  Giá trị x2 F  1  F    A  10 ln  ln B ln Hướng dẫn giải C D ln  ln Chọn A Cách 1: Ta có hàm số f  x  liên tục khoảng  3;0   0;   Tính  ln  x  3 dx x2  u  ln  x  3 du  dx   x3  Đặt  (Chọn C   ) dx dv  v      x  x   x 3x ln  x  3 x3 x3 dx   ln  x  3   dx   Suy ra: F  x    ln  x  3  ln x  C x 3x 3x 3x Xét khoảng  3;0  , ta có: F  2   ln  C1 ; F  1  ln  C1 3 Xét khoảng  0;   , ta có: F 1   ln  C2   ln  C2 ; F     ln  ln  C2 3 1    Suy ra: F  2   F 1    ln  C1     ln  C2    C1  C2  ln 3    File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 119 14 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Ứng Dụng 2    Do đó: F  1  F     ln  C1     ln  ln  C2  3    10  ln  ln  ln  ln  ln  ln 3 Cách 2: (Tận dụng máy tính) Xét khoảng  3;0  , ta có: F  1  F  2   ln  x  3 dx  0, 231  A (lưu vào A ) 1 x2 2 1 1  f  x  dx   2 Xét khoảng  0;   , ta có: ln  x  3 dx  0, 738  B (lưu vào A )   x2 F    F 1   f  x  dx   Lấy 1 cộng   theo vế ta được: F  1  F    F  2   F 1  A  B  F  1  F    A  B  0,969 So phương án ta Chọn A   x2  Câu 28 Tìm nguyên hàm hàm số f  x   x ln  ?   4 x    x2   x  16    x  A x ln  B  x  2x2   ln     4 x     4 x    x2  C x ln   2x2   4 x   x  16    x  D   2x2  ln      4 x  Hướng dẫn giải x    x  du  16  u  ln   x  16  Đặt:   4 x   4  v  x   x  16 dv  x dx  4  4 x   x  16    x   x  16    x    x ln  dx  ln  xdx   2x2  C      ln       x 4  x 4  x           Chọn B x dx Câu 29 Tìm H   ?  x sin x  cos x  A H  x  tan x  C cos x  x sin x  cos x  B H  x  tan x  C cos x  x sin x  cos x  C H  x  tan x  C cos x  x sin x  cos x  D H  x  tan x  C cos x  x sin x  cos x  Hướng dẫn giải File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 120 15 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ta có: H   x2  x sin x  cos x  dx   Tích Phân Ứng Dụng x cos x  x sin x  cos x  x dx cos x x  x sin x  cos x  du  dx u  cos x    cos x  Đặt  d  x sin x  cos x   x cos x dv  v   dx  2   x sin x  cos x  x sin x  cos x   x sin x  cos x  x 1 x H   dx   tan x  C cos x x sin x  cos x cos x cos x  x sin x  cos x  Chọn C a b x   x ln x  x  C , a, b hai số Câu 30  x x   x ln x dx có dạng hữu tỉ Giá trị a bằng: A B C D Không tồn Hướng dẫn giải Cách 1: Theo đề, ta cần tìm Ta có:   2x Để tìm   2x       x   x ln x dx Sau đó, ta xác định giá trị a x   x ln x dx   x x  dx   x ln x dx   2x  x   x ln x dx ta đặt I1   x x  dx I   x ln x dx tìm I1 , I * I1   x x  dx Dùng phương pháp đổi biến Đặt t  x  1, t  ta t  x  1, xdx  tdt Suy ra: 2 I1   x x  dx   2t dt  t  C1  x   C1 , C1 số 3 * I   x ln x dx   Dùng phương pháp nguyên hàm phần  du  dx u  ln x  x  Đặt  , ta được: dv  xdx v  x  I   x ln x dx   udv  uv   vdu 2 1 1 2  x ln x   x  dx  x ln x   xdx  x ln x  x  C2 2 x 2 2 2  x x   x ln x dx  I1  I  x   C1  x ln x  x  C2 2 2  x   x ln x  x  C a b Suy để  x x   x ln x dx có dạng x   x ln x  x  C a   , b    Chọn B           File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 121 16 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Cách 2:Dùng phương pháp loại trừ   b x ln x  x  C Sau đó, với a a b x   x ln x  x  C đáp án ta lấy đạo hàm Khơng khuyến khích cách việc tìm đạo hàm hàm hợp phức tạp có đáp án nên việc tìm đạo hàm trở nên khó khăn Sai lầm thường gặp: A Đáp án A sai Một số học sinh không đọc kĩ đề nên tìm giá trị b Học sinh khoanh đáp án A sai lầm C Đáp án C sai Một số học sinh sai lầm sau: Ta thay giá trị a đáp án vào  a Tích Phân Ứng Dụng x2    * I1   x x  dx Dùng phương pháp đổi biến Đặt t  x  1, t  ta t  x  1, tdt  xdx Suy ra: 1 I1   x x  dx   t dt  t  C1  x   C1 , C1 số 3 1 Học sinh tìm I  x ln x  x  C2 theo phân tích 1 2 x x   x ln x dx  I  I  x   C1  x ln x  x  C2  1 2  x   x ln x  x  C a b x   x ln x  x  C a  1, b  Suy để  x x   x ln x dx có dạng Thế là, học sinh khoanh đáp án C sai lầm D Đáp án D sai Một số học sinh sai lầm sau:             * I1   x x  dx Dùng phương pháp đổi biến Đặt t  x  1, t  ta t  x  1, tdt  xdx Suy ra: 1 I1   x x  dx   t dt  t  C1  x   C1 , C1 số 3 2 Học sinh tìm I  x ln x  x  C2 theo phân tích 1 2 x x   x ln x dx  I  I  x   C1  x ln x  x  C2  1 2  x   x ln x  x  C a b Suy để  x x   x ln x dx có dạng x   x ln x  x  C a   , b    Thế là, học sinh khoanh đáp án D sai lầm tính sai giá trị b             File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 122 17 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Câu 31 Cho F ( x)  A I  Tích Phân Ứng Dụng f ( x) nguyên hàm hàm số Tính 2x x e 3 2e 2 B I  e  f ( x) ln xdx bằng: 2e e 2 C I  e e Hướng dẫn giải 2 D I   e2 2e Chọn A Do F ( x)  e Tính I   1 f ( x) f ( x)   nguyên hàm hàm số nên     f  x   2x x x x  2x  1 ln x  u  dx  du  x f ( x) ln xdx Đặt   f   x  dx  dv  f  x   v  e e f  x e2  1 Khi I  f  x  ln  x    dx   ln  x    2e x x 2x 1 a  ln x Câu 32 Cho F  x    ln x  b  nguyên hàm hàm số f  x   , a , b   x x2 Tính S  a  b A S  2 B S  C S  D S  Hướng dẫn giải Chọn B   ln x  Ta có I   f  x  dx     dx  x  1 1  ln x  u  x dx  du   Đặt    v  x dx  dv  x 1 1 I   1  ln x    dx   1  ln x    C    ln x    C  a  1; b  x x x x x Vậy S  a  b  a Câu 33 Cho số thực a , b khác không Xét hàm số f  x    bxe x với x khác 1  x  1 e Biết f     22 e  f  x  dx  Tính a  b ? A 19 B Chọn D Ta có f   x   3a  x  1 C Hướng dẫn giải D 10  be x  bxe x nên f     3a  b  22 1 1  a  dx x f x d x   bx e d x  a  b xe x dx  aI  bJ     0 0   x  13     x  1  1 dx Tính I      2  x  1  x  1 1 u  x du  dx Tính J   xe x dx Đặt    x x d v  e d x v  e   File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 123 18 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Ứng Dụng 1 Khi J   xe x    e x dx  e x  e x  Suy a  b    0 3a  b  22 a    Từ 1   ta có  3a Vậy a  b  10 b   b    Câu 34 Cho a số thực dương Biết F  x  nguyên hàm hàm số 1  1 f  x   e x  ln  ax    thỏa mãn F    F  2018   e 2018 Mệnh đề sau x  a đúng?     ;1 A a   B a   0; C a  1; 2018  D a   2018;    2018   2018  Hướng dẫn giải Chọn A 1 ex x x I   e  ln  ax    dx   e ln  ax  dx   dx (1) x x   Tính  e x ln  ax  dx :  u  ln  ax  du  dx ex x x  e ln ax d x  e ln ax  Đặt   x        x dx x v  e x dv  e dx   Thay vào (1), ta được: F  x   e x ln  ax   C  1  1a C  e  F  a   Û e ln1  C  Û Þa Với    2018 2018 ln a 2018  2018     e ln  a.2018   C  e  F  2018   e 2018    ;1  Vậy a    2018  DẠNG 4: Câu 35 Phát biểu sau đúng? A  e x sin xdx  e x cos x   e x cos xdx C  e x sin xdx  e x cos x   e x cos xdx B  e x sin xdx  e x cos x   e x cos xdx D  e x sin xdx  e x cos x   e x cos xdx Hướng dẫn giải Chọn B Đặt u  e x du  e x dx   dv  sin xdx v   cos x   e x sin xdx  e x cos x   e x cos xdx Câu 36 Tìm J   e x sinxdx x ? e A J   cos x  sin x   C ex C J   sin x  cos x   C ex B J   sin x  cos x   C ex D J   sin x  cos x  1  C Hướng dẫn giải File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 124 19 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A u  e x du  e x dx Đặt:   dv1  sin x.dx v1   cos x  J  e x cos x   e x cos xdx  e x cos x  T Tích Phân Ứng Dụng T   e cos xdx  x Tính T   e x cos xdx :  T  e x sin x   e x sin xdx  e x sin x  J ex  J  e cos x  e sin x  J  J  e  sin x  cos x   J   sin x  cos x   C Chọn C x x x File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 125 20 ...  x  x  nguyên hàm f  x   Tìm nguyên hàm x x2 g  x   x cos ax Câu 1 x sin x  cos x  C 1 D x sin x  cos x  C A x sin x  cos x  C B C x sin x  cos x  C Câu Nguyên hàm I  ... 3 e x F  x    mx  n  e x  m, n    Câu 19 Cho hàm số Nếu nguyên hàm f  x hiệu m  n A B C D Câu 20 Cho F  x  nguyên hàm hàm số f  x   e x F    Hãy tính F  1 15 e DẠNG... ( x)  nguyên hàm hàm số Tính 2x x D Không tồn e  f ( x) ln xdx bằng: e 3 2e e 2  e2 A I  B I  C I  D I  2e e e 2e a  ln x Câu 32 Cho F  x    ln x  b  nguyên hàm hàm số