Bai 21 DABTTL BDTJensen

Khoá h c BDHSG Chuyên đ B t đ ng th c – Th y Tr n Ph BÀI 21 B T ng B t đ ng th c Jensen NG TH C JENSEN ÁP ÁN BÀI T P T LUY N Giáo viên: LÊ C VI T Các t p tài li u đ c biên so n kèm theo gi ng Bài 21 B t đ ng th c Jensen thu c khóa h c B i s d ng hi u qu , b n d ng h c sinh gi i Chuyên đ B t đ ng th c – Th y Tr n Ph ng t i website Hocmai.vn c n h c tr c gi ng sau làm đ y đ t p tài li u Bài Ch ng minh r ng: a1  a   a n n  a1.a a n a1,a , ,a n  n (B t đ ng th c AM – GM) Ch ng minh:  N u Min{a1, a2, …, an} = a1a2 an = suy (đpcm)  Xét tr ng h p l i: Min{a1, a2, …, an} > t f(x) = – lnx v i x > Ta có f '  x   1 ;f "  x   12  x x  f(x) hàm l i v i x > S d ng b t đ ng th c Jensen ta có:  ln   a  a n  a    ln a  ln a n  ln a n n   ln n a1a a n a1  a   a n n  a1a a n a1 ,a , ,a n  n D u b ng x y  a1 = a2 = … = an Bài Cho a1, a2, an; b1, b2, …, bn 2n s th c Ch ng minh:  a12  a 22   a 2n  b12  b22   b2n   a1b1  a 2b2   a n bn 2 (b t đ ng th c BunhiaCôpski) Ch ng minh: Xét f(x) = x2  f’(x) = 2x  f’’(x) = >  f(x) l i  S d ng b t đ ng th c Jensen v i 1, 2, …, n ≥ ta có:       n f  n x1  n x   n n x n     n k f  x k    i  i  i  k 1  i i 1 i 1 i 1  i1  T suy  1x1  2 x    n x n   1  2   n   1x1  2 x   n x n  Hocmai.vn – Ngôi tr 2 1x12   x 22    n x n2  1      n   1  2   n   1x12  2 x 22   n x n2  ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Khoá h c BDHSG Chuyên đ B t đ ng th c – Th y Tr n Ph t i  bi2 ; x i  ng B t đ ng th c Jensen th vào b t đ ng th c ta có: bi  a1b1  a 2b2   a n bn  Bài Ch ng minh: T    a12  a 22   a n2  b12  b22   bn2  x1 x1x  x 2 x2  x 2x3  x xn  n , xk  x n x1  x   Ch ng minh: t uk  xk xn + = x1  u1u2…un=1 x k 1 Bây gi đ t tk= lnk, suy t1 + … + tn = Xét f  t   n T k 1 e t  f ''  t    f(t) hàm s l i   et  x k / x k 1   n    x k / x k 1  k 1   n uk t  t   t n   f  t k   nf  nf    n n  u k k 1 Bài Ch ng minh:  b  c   c  a   a  b     a  b  c  a b c  a  bc  , a, b,c  Ch ng minh: a b c B t đ ng th c  ln  b  c   c  a   a  b    ln   a  b  c   a  b c         a ln b  c  bln c  a  cln a  b  ln   a  b  c  abc 3  1 Xét f  x    ln  a  b  c  x  v i < x < a + b + c Ta có f '  x    1  f ' x   abcx abcx    f(x) hàm s l i S d ng b t đ ng th c Jensen ta có: f  a  ab  c a  a  bb  c b  a  bc  c c  af a  abf b bc cf c   2         ln a  b  c  a  b  c  a ln b  c  b ln c  a  cln a  b abc abc        ln 2ab  2ac  2bc  a ln b  c  b ln c  a  cln a  b abc abc Ta có:  a  b  c   2ab  2ac  2bc  ln   a  b  c   ln 2ab  2ac  2bc a bc   a bc       V y a ln b  c  bln c  a  cln a  b  ln   a  b  c    đpcm abc Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t   T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Khoá h c BDHSG Chuyên đ B t đ ng th c – Th y Tr n Ph Bài Ch ng minh r ng: Ch ng minh: Xét f  x   ng B t đ ng th c Jensen a  b  c  , a, b,c  1 bc ca a b t S = a + b + c, (1)  a  b  c 3 S 1 S  b S  c x v i x  (0, S) S x Ta có f '  x   S  f ''  x  2S  v i x  (0, S) S  x  S  x   f(x) hàm s l i (0, S) S d ng b t đ ng th c Jensen ta có: S a  b  c  f  a   f  b   f  c   3f a  b  c  3f S    Sa Sb Sc 3 2S    D u b ng x y  a = b = c Giáo viên : Lê Ngu n Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 : c Vi t Hocmai.vn - Trang | -