Các khái niệm + Có dạng y ax b, a + Hàm đồng biến ( tạo với Ox góc nhọn, đường thẳng có hướng lên) a + Hàm số nghịch biến ( tạo với Ox góc tù, đường thẳng có hướng xuống ) a CÔNG THỨC VỀ HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI – Gv: Nguyễn Chí Thành LỚP TỐN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TỒN – 0975.705.122 Hàm số bậc Hệ số góc đường thẳng Hàm số đồng biến – Nghịch biến Phương pháp chung: + Đường thẳng có dạng y ax b, a f x2 f x1 hệ số góc a , + Nếu , hàm số đồng x2 x1 + Nếu góc tạo đường thẳng với trục Ox a tan biến + Hệ số góc đường thẳng qua f x2 f x1 + Nếu , hàm số y2 y1 x2 x1 A x1 ; y1 ; B x2 ; y2 k x2 x1 nghịch biến + Hai đường thẳng song song có hệ số Chú ý: Hàm số y ax b góc: a1 a2 , Hai đường thẳng vng góc Đồng biến a , a1 a2 1 + Góc tạo đường thẳng y a1 x b1 với Giao điểm hai đồ thị Tìm giao điểm hai đồ thị y f x y g x Xét hoành độ giao điểm hai đồ thị thỏa mãn phương trình: f x g x x , thay x vào y f ( x ) y g ( x) để tìm y suy giao điểm Chú ý: Tìm giao điểm đồ thị với Ox: cho y 0 x Tìm giao điểm đồ thị với Oy: cho x 0 y Ba điểm thẳng hàng Cách 1: Viết phương trình đường thẳng qua điểm, thay tọa độ điểm thứ vào, thỏa mãn điểm thẳng hàng, khơng thỏa mãn điểm khơng thẳng hàng Cách 2: Tính hệ số góc đường thẳng AB AC Nếu K AB K AC điểm thẳng hàng ngược lại đường thẳng y a2 x b2 góc α tan a1 a2 a1a2 Tìm điểm cố định y f x, m (chứng minh đồ thị ln qua điểm cố định tìm điểm mà đồ thị qua với m ) Khi giá trị m hàm số y f x; m thay đổi, hàm số y f x; m qua điểm điểm điểm cố định Bước 1: Chuyển y f x, m dạng: f x, m y Bước 2: Nhóm số chứa m lại với nhau: m f x g x, y Bước 3: Gọi I x, y điểm cố định, suy f x x ? g x, y y ? suy điểm cố định I Ba đường thẳng đồng quy Bước 1: Tìm điều kiện để đường thẳng cắt nhau, để đường thẳng hàm số bậc ( có) Bước 2: Tìm giao điểm đường thẳng ( đường thẳng không chứa m) để đường thẳng đồng quy giao điểm thay vào đường thẳng số phải thỏa mãn, từ tìm m; Vẽ đồ thị Đồ thị đường thẳng, ta cần tìm hai điểm qua , thơng thường hay tìm giao điểm với hai trục tọa độ + Giao Ox : Ta cho y để tìm x suy giao điểm + Giao Oy : Ta cho x để tìm y suy giao điểm + Đồ thị y ax qua điểm O 0;0 A 1; a Đường thẳng x a song song với Oy cắt Nghịch biến a Ox a Đường thẳng y b song song với Ox cắt Oy b Vị trí tương đối hai đường thẳng Nếu hai đường thẳng biểu diễn dạng: y a1 x b1 y a2 x b2 : a a2 a a2 Cắt nhau: a1 a2 Song song: Trùng nhau: vng góc: a1 a2 1 b1 b2 b1 b2 Nếu hai đường thẳng biểu diễn dạng: a1 x b1 y c1 a2 x b2 y c2 Cắt nhau: a1 b1 a2 b2 Song song: a1 b1 c a2 b2 c2 a1 b1 a b a1 b1 c1 Trùng nhau: Vng góc: a2 b2 c2 a1a2 1 b1b2 Chú ý: Đường thẳng ax by c : a song song với Ox khi: b c a Trùng với Ox khi: b c a song song với Oy khi: b Trùng với Oy khi: c Phân giác góc phần tư thứ là: y x Phân giác góc phần tư thứ hai là: y x a b c Đường thẳng y ax b song song Ox a 0; b LỚP TỐN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TỒN – 0975.705.122 CÔNG THỨC VỀ HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI – Gv: Nguyễn Chí Thành LỚP TỐN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122 Khoảng cách – Diện tích Phương trình đường thẳng Tương giao hàm số bậc bậc hai + Qua hai điểm: Gọi phương trình đường thẳng Bước 1: Xét hoành độ giao điểm đồ thị thỏa mãn Diện tích tam giác tạo đường thẳng với hai trục: Tìm giao đường thẳng với Ox; Oy A, B Suy y a.x b (1) phương trình: f x g x Đưa phương trình dạng: OA.OB Khoảng cách từ O đến đường thẳng h Tìm giao đường thẳng với Ox; Oy A, B Sau sử dụng hệ thức lượng tam giác vuông OAB : 1 h OA2 OB + Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng ax by c lớn nhất: Cách 1: a + Xét TH m khoảng cách b a + Xét Tìm giao đồ thị với Ox; Oy A, B Sử b S - Thay tọa độ A x1 , y1 ; B x2 , y2 vào (1) ta hệ y a.x1 b phương trình: y2 a.x2 b Từ hệ phương trình tìm a, b thay vào (1) ta phương trình đường thẳng + Qua A x1 , y1 có hệ số góc k Gọi đường thẳng y ax b Vì hệ số góc k nên a k Vì đường thẳng qua A x1 , y1 nên thay tọa độ A vào đường thẳng để tìm b Chú ý: Nếu đường thẳng tạo với trục Ox góc k tan Nếu đường thẳng song song với y cx d k c Ax Bx C (1) Bước 2: Để hai đồ thị tiếp xúc phương trình (1) có nghiệm kép: A0 Từ tìm m B AC Để hai đồ thị khơng cắt phương trình (1) vô nghiệm: + Xét A m Thay vào phương trình kiểm tra kết luận + Xét A m Phương trình vơ nghiệm khi: B2 AC Từ tìm m Để hai đồ thị cắt điểm phân biệt phương trình (1) có nghiệm phân biệt: A0 Từ tìm m B AC + Hai đồ thị cắt hai điểm phân biệt thỏa mãn điều kiện K đó: Bước 1: Tìm điều kiện để hai đồ thị cắt hai điểm phân biệt Bước 2: Viết hệ thức Vi – Ét: Bước 3: Biến đổi điều kiện K thay hệ thức Vi Ét vào để tìm m, so sánh điều kiện kết luận 1 c 1 dụng công thức để tìm khoảng cách, từ Lập phương trình đường thẳng qua điểm ( biết 2 h OA OB hệ số góc) tiếp xúc với đồ thị (P): tìm max + Gọi đường thẳng y ax b Dựa vào điểm qua Cách 2: Dựa vào điểm cố định hệ số góc ta lập đường phương trình + Tìm tọa độ điểm cố định I x0 ; y0 + Xét phương trình hồnh độ giao điểm, hai đồ thị tiếp xúc + Nhận xét: h OI Dấu xảy d OI Bài tốn phương trình có nghiệm kép phương trở tìm m để đường thẳng d qua I x0 ; y0 vng trình + Giải hệ phương trình để tìm a, b góc OI Bảng biến thiên hàm số bậc y ax b, a Bảng biến thiên hàm số bậc hai y ax bx c, a a < : Bảng biến thiên a > : Bảng biến thiên x -∞ +∞ x -∞ +∞ x -∞ +∞ -b 2a y y -∞ a < : Bảng biến thiên a > : Bảng biến thiên +∞ +∞ y Nếu đường thẳng vuông góc với y cx d k +∞ x -b -∞ +∞ 2a +∞ 4a y - -∞ 4a -∞ -∞ Hàm số bậc hai y ax bx c, a + Hàm số y ax + Hàm số y ax bx c, a Nếu a , hàm số đồng biến x , nghịch biến x Nếu a , hàm số đồng biến x , nghịch biến x b + Nếu a : Hàm số đồng biến ; ; Nghịch biến a b ; nghịch biến + Nếu a : Hàm số đồng biến ; 2a LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122 ; b 2a b ; 2a Cách vẽ đồ thị hàm số bậc hai Cách vẽ: y ax bx c (a 0) ta làm sau: b - Tìm trục đối xứng: x 2a Δ b - Tọa độ đỉnh: I ; 2a 4a - Lấy điểm phụ ( thường giao với hai trục O x, Oy - Đánh dấu điểm lên hình vẽ Ta thường lấy điểm Các công thức cần nhớ làm toán: b + Trục đối xứng: x 2a Δ b + Tọa độ đỉnh: I ; a a b x1 x2 a + Định lí Vi Ét: x x c a + Bài cho tọa độ điểm qua, ta phải thay vào đồ thị CÔNG THỨC VỀ HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI – Gv: Nguyễn Chí Thành LỚP TỐN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TỒN – 0975.705.122 Xét tính chẵn lẻ hàm số Tìm tập xác định hàm số Bước 1: Tìm điều kiện xác định: Bước 1: Tìm TXĐ : D - Nếu TXĐ đối xứng, ta chuyển qua bước Ví Nếu có Nếu có dụ TXĐ là: ; 4;4 mẫu mẫu Bước 2: Biểu diễn điều kiện - Nếu TXĐ không đối xứng suy hàm sô không dạng tập hợp ta TXĐ hàm chẵn không lẻ cách : x D số x D Chú ý điều kiện xác định Ví dụ: TXĐ: D 3;5 Ta có: D biểu thức sau: 4 D hàm số không chẵn không lẻ f x Biểu thức xác Bước 2: Chỉ x D x D : g x h x Bước 3: Tính: f ( x ) : Hµm sè ch½n g x định: f ( x ) f ( x ) : Hàm số lẻ h x f ( x ): Hµm sè không chẵn không lẻ f x Biu thc xác - Hàm số y f x hàm số vừa chẵn, vừa lẻ g x h x D tập đối xứng qua O - Để chứng minh hàm số không chẵn ta chứng minh miền xác định D không đối xứng qua O, có x0 D cho f x0 f x0 - Để chứng minh hàm số không lẻ ta chứng minh miền xác định D không đối xứng qua 0, có x0 D cho f x0 f x0 Chú ý: + Đồ thị hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng + Đồ thị hàm số lẻ nhận gốc toạ độ làm tâm đối xứng định: g x h x g x h x g x h x f x a + f ( x) a ,(a 0) f x a Tịnh tiến điểm đồ thị Tịnh tiến điểm A( x; y ) : Lên p đơn vị ta A1 x; y p Xuống p đơn vị ta A1 x; y p Sang trái p đơn vị ta A1 x p; y Sang phải p đơn vị ta A1 x p; y Cho (G ) đồ thị y f ( x) p, q Ta có Tịnh tiến (G ) lên q đơn vị đồ thị y f ( x ) q Tịnh tiến (G ) xuống q đơn vị đồ thị y f ( x ) q Tịnh tiến (G ) sang trái p đơn vị đồ thị y f ( x p ) Tịnh tiến (G ) sang phải p đơn vị đồ thị y f ( x p ) f ( x) a a f ( x) a ,(a 0) Cho đồ thị (C ) : y f ( x) Vẽ đồ thị Cho đồ thị (C ) : y f ( x) Vẽ đồ thị hàm số Cho đồ thị (C ) : y f ( x) Vẽ đồ Cho đồ thị (C ) : y f ( x) Vẽ đồ thị hàm số y f x y f ( x) thị hàm số y f ( x) hàm số y f ( x) u( x) v( x) Vẽ đồ thị hàm số (C ) : y f ( x) f ( x) Ta có: y f ( x) y f ( x) y f ( x) Vẽ đồ thị hàm số (C ) : y f ( x) Ta có: f ( x) nÕu x y f x f (- x) nÕu x Do đó, đồ thị hàm số y f x hợp hai phần: Phần 1: phần đồ thị (C ) nằm bên phải trục Ox Phần 2: phần đối xứng với phần qua trục Ox Vẽ đồ thị hàm số (C ) : y f ( x) f ( x) nÕu f ( x) Ta có: y f x f ( x) nÕu f ( x) Do đó, đồ thị hàm số y f x hợp hai phần: Phần 1: phần đồ thị (C ) nằm bên trục Ox Phần 2: phần đối xứng với phần đồ thị (C ) bên trục Ox qua trục Ox LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TỒN – 0975.705.122 Do đó, đồ thị hàm số y f ( x) hợp hai phần: Phần 1: phần đồ thị (C ) nằm bên trục Ox Phần 2: phần đối xứng với phần qua trục Ox Vẽ đồ thị hàm số (C ) : y f ( x) Ta có: u( x).v( x) nÕu u( x) y u( x).v( x) nÕu u( x) Do đó, đồ thị hàm số y f ( x) u( x) v( x) hợp hai phần: Phần 1: phần đồ thị (C ) miền u ( x) Phần 2: phần đối xứng với phần đồ thị (C ) miền u ( x) qua trục Ox ... đồ thị CÔNG THỨC VỀ HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI – Gv: Nguyễn Chí Thành LỚP TỐN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TỒN – 0975.705 . 12 2 Xét tính chẵn lẻ hàm số Tìm tập xác định hàm số Bước 1: Tìm điều... -b -∞ +∞ 2a +∞ 4a y - -∞ 4a -∞ -∞ Hàm số bậc hai y ax bx c, a + Hàm số y ax + Hàm số y ax bx c, a Nếu a , hàm số đồng biến x , nghịch biến x Nếu a , hàm số đồng... A x1 , y1 ; B x2 , y2 vào (1) ta hệ y a.x1 b phương trình: y2 a.x2 b Từ hệ phương trình tìm a, b thay vào (1) ta phương trình đường thẳng + Qua A x1 , y1 có hệ số góc