CHUYÊN ĐỀ PHÉP ĐỔI HÌNH PHÉP ĐỒNG DẠNG

Xuctu.com – Chuyên đề | Sách | Tài liệu | Video miễn phí- Và nữa! PHÉP DỜI HÌNH VÀ PHÉP ĐỒNG DẠNG TRONG MẶT PHẲNG Nguyễn Minh Tiến 1/ Phép Dời Hình ……………………………………………………………………… trang 2/ Phép Tịnh Tiến trang 3/ Phép Đối Xứng Trục……………………………………………………………… trang 10 4/ Phép Đối Xứng Tâm……………………………………………………………… trang 18 5/ Phép Quay trang 22 6/ Hai hình nhau………………………………………………………………… trang 30 7/ Phép Vị Tự………………………………………………………………………… trang 32 8/ Phép Đồng Dạng…………………………………………………………………… trang 38 -1- Xuctu.com – Chuyên đề | Sách | Tài liệu | Video miễn phí- Và nữa! PHÉP DỜI HÌNH VÀ PHÉP ĐỒNG DẠNG TRONG MẶT PHẲNG Vần đề : PHÉP DỜI HÌNH A KIẾN THỨC CƠ BẢN 1/ Phép biến hình ĐN: Phép biến hình quy tắc để với điểm M mặt phẳng, xác định điểm điểm M ′ mặt phẳng Điểm M ′ gọi ảnh M qua phép biến hình Kí hiệu: f phép biến hình đó, M ′ ảnh M qua phép f Ta viết: f M ′ = f ( M ) hay f ( M ) = M ′ hay f : M ֏ M ′ hay M  →M′ Lưu ý : + Điểm M gọi tạo ảnh, M ′ ảnh + f phép biến hình đồng ⇔ f ( M ) = M , ∀M ∈ H Điểm M gọi điểm bất động, điểm kép, bất biến + f1 , f phép biến hình f f1 phép biến hình Nếu H hình tập hợp điểm M ′ = f ( M ) , với M ∈ H , tạo thành hình H ′ gọi ảnh H qua phép biến hình f , ta viết: H ′ = f ( H ) 2/ Phép dời hình Phép dời hình phép biến hình khơng làm thay đổi khoảng cách hai điểm bất kỳ, tức với hai điểm M , N ảnh M ′, N ′ chúng, ta có: M ′N ′ = MN (Bảo tồn khoảng cách) 3/ Tính chất (của phép dời hình): ĐL: Phép dời hình biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng, ba điểm không thẳng hàng thành ba điểm không thẳng hàng HQ: Phép dời hình biến: + Đường thẳng thành đường thẳng + Tia thành tia + Đoạn thẳng thành đoạn thẳng + Tam giác thành tam giác (Trực tâm → trực tâm, trọng tâm → trọng tâm,…) + Đường tròn thành đường tròn (Tâm biến thành tâm: I → I ′, R′ = R ) + Góc thành góc B BÀI TẬP  x ′ = 2x − 1 Trong mpOxy cho phép biến hình f: M(x;y) I → M ′ = f(M) =   y′ = y + Tìm ảnh điểm sau : a) A(1;2) b) B( − 1;2) c) C(2; − 4) Giaûi : a) A ′ = f(A) = (1;5) b) B′ = f(B) = ( − 7;6) c) C′ = f(C) = (3; − 1)  x ′ = 2x − y + Trong mpOxy cho pheùp biến hình f : M(x;y) I → M ′ = f(M) =   y ′ = x − 2y + Tìm ảnh điểm sau : a) A(2;1) b) B( − 1;3) c) C( − 2;4) Giaûi : a) A ′ = f(A) = (4;3) b) B′ = f(B) = ( − 4; − 4) c) C′ = f(C) = ( − 7; − 7) Trong mpOxy cho phép biến hình f : M(x;y) I → M ′ = f(M) = (3x; y) Đây có phải phép dời hình hay không ? -2- Xuctu.com – Chuyên đề | Sách | Tài liệu | Video miễn phí- Và nữa! Giải : Lấy hai điểm M(x1; y1 ),N(x2 ; y ) → M′ = f(M) = (3x1; y1 ) Khi ñoù f : M(x1; y1 ) I → N′ = f(N) = (3x ; y ) f : N(x2 ; y ) I Ta coù : MN = (x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2 , M′N′ = 9(x − x1 )2 + (y − y1 )2 Nếu x1 ≠ x2 M′N′ ≠ MN Vậy : f phép dời hình (Vì có số điểm f không bảo toàn khoảng cách) Trong mpOxy cho phép biến hình : a) f : M(x;y) I → M′ = f(M) = (y ; x-2) b) g : M(x;y) I → M′ = g(M) = ( 2x ; y+1) Phép biến hình phép dời hình ? HD : a) f phép dời hình b) g phép dời hình ( x1 ≠ x2 M′N′ ≠ MN ) Trong mpOxy cho phép biến hình : a) f : M(x;y) I → M′ = f(M) = (y + ; − x) b) g : M(x;y) I → M′ = g(M) = ( x ; 3y ) Phép biến hình phép dời hình ? Giải : a) f phép dời hình b) g phép dời hình ( y1 ≠ y M′N′ ≠ MN ) Trong mpOxy cho phép biến hình f : M(x;y) I → M′ = f(M) = (−2x ; y + 1) Tìm ảnh đường thẳng (∆) : x − 3y − = qua phép biến hình f Giải : Cách 1: Dùng biểu thức toạ độ  − x′ x′ = − 2x x = Ta coù f : M(x;y) I → M′ = f(M) =  ⇔  y′ = y +  y = y ′ −  − x′ Vì M(x;y) ∈ (∆ ) ⇔ ( ) − 3(y′ − 1) − = ⇔ x′ + 6y′ − = ⇔ M′(x′;y′) ∈ (∆′) : x + 6y − = Cách : Lấy điểm M,N ∈ (∆) : M ≠ N + M ∈ (∆) : M(2;0) I → M′ = f(M) = (−4;1) + N ∈ (∆) : N( − 1; − 1) I → N′ = f(N) = (2; 0) Qua M′(−4;1) x+ y − (∆′) ≡ (M′N′) :  → PTCtaéc (∆′) : = ⇒ PTTQ (∆′) : x + 6y − = −1 VTCP : M′N′ = (6; −1) Trong mpOxy cho phép biến hình f : M(x;y) I → M′ = f(M) = (x + ; y + 1) a) CMR f phép dời hình b) Tìm ảnh đường tròn (C) : (x + 1)2 + (y − 2)2 = I → (C′) : (x − 2)2 + (y − 3)2 = Trong mpOxy cho phép biến hình f : M(x;y) I → M′ = f(M) = (x − ; y + 1) a) CMR f phép dời hình b) Tìm ảnh đường thẳng (∆) : x + 2y − = c) Tìm ảnh đường tròn (C) : (x + 1)2 + (y − 2)2 = d ) Tìm aûnh cuûa elip (E) : x2 y2 + =1 -3- Xuctu.com – Chuyên đề | Sách | Tài liệu | Video miễn phí- Và nữa! Giải : a) Lấy hai điểm M(x1; y1),N(x2 ; y2 ) Khi f : M(x1; y1 ) I → M′ = f(M) = (x1 − 3; y1 + 1) → N′ = f(N) = (x − 3; y2 + 1) f : N(x ; y2 ) I Ta coù : M′N′ = (x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2 = MN Vaäy : f phép dời hình b) Cách 1: Dùng biểu thức toạ độ  x ′ = x −  x = x′ + → M′ = f(M) =  ⇔ Ta coù f : M(x;y) I  y′ = y +  y = y′ − Vì M(x;y) ∈ (∆) ⇔ (x′ + 3) + 2(y′ − 1) − = ⇔ x′ + 2y′ − = ⇔ M′(x′;y′) ∈ (∆′) : x + 2y − = Caùch : Lấy điểm M,N ∈ (∆ ) : M ≠ N → M′ = f(M) = (2;1) + M ∈ (∆) : M(5 ;0) I → N′ = f(N) = (0; 2) + N ∈ (∆) : N(3 ; 1) I  Qua M′(2;1) x − y −1 (∆′) ≡ (M′N′) :  → PTCtaéc (∆′) : = → PTTQ(∆′) : x + 2y − = ′ ′ −2  VTCP : M N = (−2;1) Cách : Vì f phép dời hình nên f biến đường thẳng (∆) thành đường thẳng (∆′) // (∆) + Lấy M ∈ (∆) : M(5 ;0) I → M′ = f(M) = (2;1) + Vì (∆′) // (∆) ⇒ (∆′) : x + 2y + m = (m ≠ −5) Do : (∆′) ∋ M′(2;1) ⇒ m = − ⇒ (∆′) : x + 2y − = c) Cách 1: Dùng biểu thức toạ độ x′ = x − x = x′ + → M′ = f(M) =  ⇔ Ta coù f : M(x;y) I y′ = y +  y = y′ − Vì M(x;y) ∈ (C) : (x + 1)2 + (y − 2)2 = ⇔ (x′ + 4)2 + (y′ − 3)2 = ⇔ ⇔ M′(x′;y′) ∈ (C′) : (x + 4)2 + (y − 3)2 = + Taâm I( − 1;2) f + Taâm I′= f [I( − 1;2)] = (−4;3) Caùch : (C)   → (C′)  + BK : R = + BK : R′= R = → (C′) : (x + 4)2 + (y − 3)2 = d) Dùng biểu thức toạ độ  x ′ = x −  x = x′ + Ta coù f : M(x;y) I → M′ = f(M) =  ⇔  y′ = y +  y = y′ − Vì M(x;y) ∈ (E) : x2 y2 (x′+ 3)2 (y′ − 1)2 (x + 3)2 (y − 1)2 + =1 ⇔ + = ⇔ M′(x′;y′) ∈ (E′) : + =1 3 Trong mpOxy cho phép biến hình f : M(x;y) I → M′ = f(M) = (x + 1; y − 2) a) CMR f phép dời hình b) Tìm ảnh đường thẳng (∆) : x − 2y + = c) Tìm ảnh đường tròn (C) : (x + 3)2 + (y − 1)2 = d) Tìm ảnh parabol (P) : y = 4x ÑS : b) x − 2y − = c) (x + 2)2 + (y + 1)2 = d) (y + 2)2 = 4(x − 1) 10 Trong mpOxy cho phép biến hình f : M(x;y) I → M′ = f(M) = (− x ; y) Khẳng đònh sau sai ? A f phép dời hình B Nếu A(0 ; a) f(A) = A C M f(M) đối xứng qua trục hoành D f [ M(2;3)] ∈ đường thẳng 2x + y + = -4- Xuctu.com – Chuyên đề | Sách | Tài liệu | Video miễn phí- Và nữa! ĐS : Chọn C Vì M f(M) đối xứng qua truïc tung → C sai 12 Trong mpOxy cho phép biến hình : f1 : M(x;y) I → M′ = f1(M) = (x + ; y − 4) ; f2 : M(x;y) I → M′ = f2 (M) = ( − x ; − y) Tìm toạ độ ảnh A(4; − 1) qua f1 f2 , nghóa tìm f2 [f1(A)] f f → A′(6; − 5) I → A′′( − ; ) ÑS : A(4; − 1) I x 11 Trong mpOxy cho phép biến hình f : M(x;y) I → M′ = f(M) = ( ; −3y) Khẳng đònh sau sai ? A f (O) = O (O điểm bất biến) B Ảnh A ∈ Ox ảnh A′= f(A) ∈ Ox C Ảnh B ∈ Oy ảnh B′= f(B) ∈ Oy D M′= f [M(2 ; − 3)] = (1; − 9) ÑS : Chọn D Vì M′= f [ M(2 ; − 3)] = (1; 9) Vấn đề : PHÉP TỊNH TIẾN A KIẾN THỨC CƠ BẢN 1/ ĐN: Phép tịnh tiến theo véctơ u phép dời hình biến điểm M thành điểm M ′ cho MM ′ = u Kí hiệu : T hay Tu Khi : Tu (M) = M′ ⇔ MM′ = u i Phép tònh tiến hoàn toàn xác đònh biết vectơ tònh tiến i Nếu To (M) = M , ∀M To phép đồng 2/ Biểu thức tọa độ: Cho u = (a;b) phép tịnh tiến Tu  x′= x + a M(x;y) I → M′=Tu (M) = (x′; y′ )   y′= y + b 3/ Tính chất: i ĐL : Phép tònh tiến bảo toàn khoảng cách hai điểm i HQ : Bảo toàn tính thẳng hàng thứ tự điểm tương ứng Biến tia thành tia Bảo toàn tính thẳng hàng thứ tự điểm tương ứng Biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng Biến đường thẳng thành đường thẳng song song trùng với đường thẳng cho Biến tam giác thành tam giác (Trực tâm I → trực tâm , trọng tâm I → trọng tâm ) Đường tròn thành đường tròn (Tâm biến thành tâm : I I→ I′ , R′ = R ) PHƯƠNG PHÁP TÌM ẢNH CỦA MỘT ĐIỂM  x′= x + a M(x;y) I → M′=Tu (M) = (x′; y′ )   y′= y + b PHƯƠNG PHÁP TÌM ẢNH CỦA MỘT HÌNH (H) Cách 1: Dùng tính chất (cùng phương đường thẳng, bán kính đường tròn: khơng đổi) 1/ Lấy M ∈ (H) I → M′ ∈ (H′) 2/ i (H) ≡ đường thẳng  → (H′) ≡ đường thẳng phương -5- Xuctu.com – Chun đề | Sách | Tài liệu | Video miễn phí- Và nữa! + Tâm I + Taâm I′ i (H) ≡ (C)  I  → (H′) ≡ (C′)  (cần tìm I′) + bk : R  + bk : R′= R Cách : Dùng biểu thức tọa độ Tìm x theo x′ , tìm y theo y′ thay vào biểu thức tọa độ Cách : Lấy hai điểm phân biệt : M, N ∈ (H) I → M′, N′ ∈ (H′) B BÀI TẬP Trong mpOxy Tìm ảnh M′ điểm M(3; − 2) qua phép tònh tiến theo vectơ u = (2;1) Giaûi  x′ − =  x′ = Theo đònh nghóa ta có : M′ = Tu (M) ⇔ MM′ = u ⇔ (x′ − 3; y′ + 2) = (2;1) ⇔  ⇔ ′ y + =   y′ = − ⇒ M′(5; −1) Tìm ảnh điểm qua phép tònh tiến theo vectơ u : a) A( − 1;1) , u = (3;1) b) B(2;1) , u = ( − 3;2) c) C(3; − 2) , u = ( − 1;3) ⇒ A′(2;3) ⇒ B′( − 1;3) ⇒ C′(2;1) Trong mpOxy Tìm ảnh A′,B′ điểm A(2;3), B(1;1) qua phép tònh tiến theo vectơ u = (3;1) Tính độ dài AB , A′B′ Giải Ta có : A′= Tu (A) = (5;4) , B′= Tu (B) = (4;2) , AB = |AB| = , A′B′ = |A′B′ | = Cho vectơ u1; u2 Gỉa sử M1 = Tu (M),M2 = Tu (M1) Tìm v để M2 = Tv (M) Giải Theo đề : M1 = Tu (M) ⇔ MM1 = u1 , M2 = Tu (M1) ⇔ M1M2 = u2 Neáu : M2 = Tv (M) ⇔ MM2 = v ⇒ v = MM2 = MM1 + M1M2 = u1+ u2 Vậy : v = u1+ u2 Đường thẳng ∆ cắt Ox A( − 1;0) , cắt Oy B(0;2) Hãy viết phương trình đường thẳng ∆′ ảnh ∆ qua phép tònh tiến theo vectơ u = (2; − 1) Giải Vì : A′ = Tu (A) = (1; −1) , B′ = Tu (B) = (2;1) i qua A′(1; − 1) Mặt khác : ∆′ = Tu (∆ ) ⇒ ∆′ ñi qua A′,B′ Do ñoù : ∆′  i VTCP : A′B′= (1;2) x = + t ⇒ ptts ∆′ :  y = −1 + 2t Đường thẳng ∆ cắt Ox A(1;0) , cắt Oy B(0;3) Hãy viết phương trình đường thẳng ∆′ ảnh ∆ qua phép tònh tiến theo vectơ u = ( − 1; − 2) Giải Vì : A′ = Tu (A) = (0; −2) , B′ = Tu (B) = (−1;1) i qua A′(0; − 2) x = −t ⇒ ptts ∆′ :  Maët khác : ∆′ = Tu (∆ ) ⇒ ∆′ qua A′,B′ Do : ∆′  y = −2 + 3t i VTCP : A′B′= ( − 1;3) Tương tự : a) ∆ : x − 2y − = , u = (0 ; 3) b) ∆ : 3x + y − = , u = ( − ; − 2) ⇒ ∆′ : x − 2y + = ⇒ ∆′ : 3x + y + = -6- Xuctu.com – Chuyên đề | Sách | Tài liệu | Video miễn phí- Và nữa! Tìm ảnh đường tròn (C) : (x + 1)2 + (y − 2)2 = qua phép tònh tiến theo vectơ u = (1; − 3) Giaûi  x ′= x +  x = x′ − ⇔ Bieåu thức toạ độ phép tònh tiến Tu :   y ′= y −  y = y ′+ Vì : M(x;y) ∈ (C) : (x + 1)2 + (y − 2)2 = ⇔ x ′2 + (y′ + 1)2 = ⇔ M ′(x ′;y ′) ∈ (C′) : x + (y + 1)2 = Vậy : Ảnh (C) (C′) : x + (y + 1)2 = Trong mpOxy cho phép biến hình f : M(x;y) I → M′ = f(M) = (x + 1; y − 2) a) CMR f phép dời hình b) Tìm ảnh đường thẳng (∆ ) : x − 2y + = c) Tìm ảnh đường tròn (C) : (x + 3)2 + (y − 1)2 = d) Tìm ảnh parabol (P) : y2 = 4x ÑS : b) x − 2y − = c) (x + 2)2 + (y + 1)2 = d) (y + 2)2 = 4(x − 1) 10 Trong mpOxy cho phép biến hình f : M(x;y) I → M′ = f(M) = (− x ; y) Khẳng đònh sau sai ? A f phép dời hình B Nếu A(0 ; a) f(A) = A C M f(M) đối xứng qua trục hoành D f [ M(2;3)] ∈ đường thẳng 2x + y + = ĐS : Chọn C Vì M f(M) đối xứng qua trục tung → C sai Tìm ảnh đường tròn (C) : (x − 3)2 + (y + 2)2 = qua phép tònh tiến theo vectơ u = ( − 2;4) x′= x − x = x′+ Giải : Biểu thức toạ độ phép tònh tiến Tu :  ⇔ ′ y = y +   y = y′ − Vì : M(x;y) ∈ (C) : (x − 3)2 + (y + 2)2 = ⇔ (x′ − 1)2 + (y′ − 2)2 = ⇔ M′(x′;y′) ∈ (C′) : (x′ − 1)2 + (y′ − 2)2 = Vậy : Ảnh (C) (C′) : (x − 1)2 + (y − 2)2 = BT Tương tự : a) (C) : (x − 2)2 + (y + 3)2 = 1, u = (3;1) b) (C) : x2 + y2 − 2x + 4y − = 0, u = ( − 2;3) ⇒ (C′) : (x − 1)2 + (y − 2)2 = (C′) : x2 + y2 + 2x − 2y − = 10 Trong hệ trục toạ độ Oxy , xác đònh toạ độ đỉnh C D hình bình hành ABCD biết đỉnh A( − 2;0), đỉnh B( − 1;0) giao điểm đường chéo I(1;2) Giải i Gọi C(x;y) Ta có : IC = (x − 1; y − 2), AI = (3;2),BI = (2; −1) i Vì I trung điểm AC nên : x − = x = ⇔ ⇒ C(4; 4) C = T (I) ⇔ IC = AI ⇔  AI y − = y = i Vì I trung điểm AC nên : x − = x = D = T (I) ⇔ ID = BI ⇔  D ⇔ D ⇒ D(3; 4) BI y D − = y D = Bài tập tương tự : A( − 1;0),B(0;4),I(1;1) ⇒ C(3;2),D(2; − 2) 11 Cho đường thẳng song song d d ′ Hãy phép tịnh tiến biến d thành d ′ Hỏi có phép tịnh tiến thế? -7- Xuctu.com – Chuyên đề | Sách | Tài liệu | Video miễn phí- Và nữa! Giải : Chọn điểm cố đònh A ∈ d , A′ ∈ d′ Lấy điểm tuỳ ý M ∈ d Gỉa sử : M′ = T (M) ⇔ MM′ = AB AB ⇒ MA = M′B ⇒ M′B / /MA ⇒ M′ ∈ d′ ⇒ d′ = T (d) AB Nhận xét : Có vô số phép tònh tiến biến d thành d′ 12 Cho đường tròn (I,R) (I′,R′) Hãy phép tònh tiến biến (I,R) thành (I′,R′) Giải : Lấy điểm M tuỳ ý (I,R) Gỉa sử : M′ = T (M) ⇔ MM′ = II′ II′ ⇒ IM = I′M′ ⇒ I′M′ = IM = R ⇒ M′ ∈ (I′,R′) ⇒ (I′,R′) = T [(I,R)] II′ 13 Cho hình bình hành ABCD , hai đỉnh A,B cố đònh , tâm I thay đổi di động đường tròn (C) Tìm quỹ tích trung điểm M cạnh BC Giải Gọi J trung điểm cạnh AB Khi dễ thấy J cố đònh IM = JB Vậy M ảnh I qua phép tònh tiến T Suy : Quỹ tích M JB ảnh đường tròn (C) phép tònh tiến theo vectơ JB 14 Trong hệ trục toạ độ Oxy , cho parabol (P) : y = ax2 Gọi T phép tònh tiến theo vectơ u = (m,n) (P′) ảnh (P) qua phép tònh tiến Hãy viết phương trình (P′) Giải : Tu i M(x;y) I → M′(x′;y′) , ta coù : MM′= u , với MM′= (x′ − x ; y′ − y)  x′ − x = m  x = x′ − m Vì MM′= u ⇔  ⇔  y′ − y = n  y = y′ − n Maø : M(x; y) ∈ (P) : y = ax2 ⇔ y′ − n = a(x′ − m)2 ⇔ y′ = a(x′ − m)2 + n ⇔ M′(x′;y′) ∈ (P′) : y = a(x − m)2 + n Vaäy : Ảnh (P) qua phép tònh tiến Tu (P′) : y = a(x − m)2 + n ⇔ y = ax2 − 2amx + am + n 15 Cho ñt ∆ : 6x + 2y − 1= Tìm vectơ u ≠ để ∆ = Tu (∆ ) Giải : VTCP ∆ a = (2; − 6) Để : ∆ = Tu (∆) ⇔ u phương a Khi : a = (2; − 6) = 2(1; −3) ⇒ chọn u = (1; − 3) 16 Trong hệ trục toạ độ Oxy , cho điểm A( − 5;2) , C( − 1;0) Bieát : B = Tu (A) , C = Tv (B) Tìm u v để thực phép biến đổi A thành C ? Giải Tu Tv A( − 5;2) I → B I → C(−1; 0) Ta coù : AB = u, BC = v ⇒ AC = AB + BC = u + v = (4; −2) Tu + v 17 Trong hệ trục toạ độ Oxy , cho điểm K(1;2) , M(3; − 1),N(2; −3) vectơ u = (2;3) ,v = ( − 1; 2) Tìm ảnh K,M,N qua phép tònh tiến Tu Tv Tu Tv HD : Gỉa sử : A(x;y) I → B I → C(x′; y′) Ta coù : AB = u, BC = v ⇒ AC = AB + BC = u + v = (1;5)  x′ − =  x′ = Do : K′=Tu + v (K) ⇔ KK′ = (1; 5) ⇔  ⇔ ⇒ K′(2; 7) ′  y − =  y′ = Tương tự : M′(4;4) , N′(3;2) 18 Trong hệ trục toạ độ Oxy , cho ∆ABC : A(3;0) , B( − 2;4) , C( − 4;5) G trọng tâm ∆ABC phép tònh tiến theo vectơ u ≠ biến A thành G Tìm G′ = Tu (G) -8- Xuctu.com – Chuyên đề | Sách | Tài liệu | Video miễn phí- Và nữa! Giaûi Tu Tu A(3;0) I → G(−1;3) I → G′(x′; y′) x′ + = −4 x′ = −5 Vì AG = (−4;3) = u Theo đề : GG′ = u ⇔  ⇔ ⇒ G′(−5;6)  y′ − =  y′ = 19 Trong mặt phẳng Oxy , cho đường tròn (C) : (x − 1)2 + (y + 3)2 = 2,(C′) : x2 + y2 − 10x + 4y + 25 = Có hay không phép tònh tiến vectơ u biến (C) thành (C′) HD : (C) có tâm I(1; − 3), bán kính R = ; (C′) có tâm I′(5; − 2), bán kính R′= Ta thấy : R = R′= nên có phép tònh tiến theo vectơ u = (4;1) biến (C) thành (C′) 20 Trong hệ trục toạ độ Oxy , cho hình bình hành OABC với A( − 2;1) B ∈ ∆ :2x − y − = Tìm tập hợp đỉnh C ? Giải i Vì OABC hình bình hành nên : BC = AO = (2; −1) ⇒ C = Tu (B) với u = (2; −1) Tu  x′ − x =  x = x′ − → C(x′; y′) Do : BC = u ⇔  ⇔ i B(x;y) I y′ − y = −1 y = y′ + i B(x;y) ∈ ∆ ⇔ 2x − y − = ⇔ 2x′ − y′ − 10 = ⇔ C(x′; y′) ∈ ∆′ : 2x − y − 10 = 21 Cho ∆ABC Goïi A1,B1,C1 trung điểm cạnh BC,CA,AB Gọi O1,O2 ,O3 I1,I2 ,I3 tương ứng tâm đường tròn ngoại tiếp tâm đường tròn nội tiếp ba tam giác AB1C1, BC1A1, CA1B1 Chứng minh raèng : ∆O1O2O3 = ∆I1I2 I3 HD : Xét phép tònh tiến : T1 T1 AB AB bieán A I → C,C1 I → B,B1 I → A1 T1 T1 AB AB 2 ⇒ ∆AB1C1 I → ∆C1BA1;O1 I → O2 ; I1 I → I2 ⇒ O1O2 = I1I2 ⇒ O1O2 = I1I2 Lý luận tương tự : Xét phép tònh tiến T1 ,T1 suy : CA 2 O2O3 = I2 I3 vaø O3O1 = I3I1 ⇒ O2O3 = I2 I3 ,O3O1 = I3I1 ⇒ ∆O1O2O3 = ∆I1I2 I3 (c.c.c) BC 22 Trong tứ giác ABCD có AB = 3cm ,CD = 12cm , A = 60 ,B = 150 D = 90 Tính độ dài cạnh BC DA HD : T BC → M ⇔ AM = BC.Ta coù : ABCM hình bình hành BCM = 30 (vì B = 150 ) Xét : A I Lại có : BCD = 360o − (90 + 60 + 150 ) = 60 ⇒ MCD = 30 Đònh lý hàm cos ∆MCD : MD2 = MC2 + DC2 − 2MC.DC.cos30 = (6 3)2 + (12)2 − 2.6 3.12 = 36 ⇒ MD = 6cm Ta có : MD = CD MC = MD ⇒ ∆MDC tam giác ⇒ ∆MCD nửa tam giác ⇒ DMC = 90 MDA = 30 Vaäy : MDA = MAD = MAB = 30 ⇒ ∆AMD tam giác cân M -9- Xuctu.com – Chuyên đề | Sách | Tài liệu | Video miễn phí- Và nữa! Dựng MK ⊥ AD ⇒ K trung điểm AD ⇒ KD=MDcos30 = Tóm lại : BC = AM = MD = 6cm , AD = AB = 3cm cm ⇒ AD = 3cm Để học phần lại vui lòng mua trọn sách để lĩnh hội tất kiến thức Phương pháp Bộ sách kết hợp độc đáo của: Sách truyền thống- CASIO- Video TRỌN BỘ SÁCH THAM KHẢO TOÁN 11 MỚI NHẤT-2019 Bộ phận bán hàng: 0918.972.605 Đặt mua tại: https://goo.gl/FajWu1 https://forms.gle/UMdhdwg3cnzPExEh Xem thêm nhiều sách tại: http://xuctu.com/ Hổ trợ giải đáp: sach.toan.online@gmail.com Xem video giới thiệu sách tính tại: https://www.youtube.com/watch?v=-Ajbox20VSI - 10 - Xuctu.com – Chuyên đề | Sách | Tài liệu | Video miễn phí- Và nữa! 27 Cho hình vuông ABCD có cạnh có đỉnh vẽ theo chiều dương Các đường chéo cắt I Trên cạnh BC lấy BJ = Xác đònh phép biến đổi AI thành BJ HD : Ta có : AI= AB = 2 = ⇒ AI = BJ Lại có : (AI,BJ) = 45 ⇒ BJ = Q (AI) Tâm O = ttrực AB ∩ cung chứa góc 45 (O;45 ) qua A,B ⇒ BJ = Q (AI) (O;45 ) 28 [CB-1.18] Cho ∆ABC Dựng phía tam giác hình vuông BCIJ,ACMN,ABEF gọi O,P,Q tâm đối xứng chúng a) Gọi D trung điểm AB Chứng minh : ∆DOP vuông cân D b) Chứng minh : AO ⊥ PQ vaø AO = PQ HD : a) Vì : AI = Q (MB) ⇒ MB = AI vaø MB ⊥ AI (C;90 ) Mặt khác : DP BM , DO AI ⇒ DP = ⊥ DO ⇒ ∆DOP vuông cân D b) Từ câu a) suy : Q Q (D;90 ) (D;90 ) O I → P, A I → Q ⇒ OA = vaø ⊥ PQ 29 Cho ∆ABC có đỉnh kí hiệu theo hướng âm Dựng phía tam giác hình vuông ABDE BCKF Gọi P trung điểm AC , H điểm đối xứng D qua B , M trung điểm đoạn FH a) Xác đònh ảnh hai vectơ BA BP phép quay Q b) Chứng minh : DF ⊥ BP vaø DF = 2BP HD :  BA = BH (cùng BD) a) Ta có :  (BA;BH) = 90 (B;90 ) 90 ⇒ H = Q 90 B (A) ⇒ BH = Q B (BA) 90 90 Vì : Q 90 B (A) = H,Q B (C) = F ⇒ Q B (AC) = HF 90 Mà : F trung điểm AC , Q 90 B (F) = M trung điểm HF Do : Q B (BP) = BM b) Vì : Q 90 B (BP) = BM ⇒ BP = BM, BP ⊥ BM 1 Maø : BM = DF vaø BM // DF (Đường trung bình ∆HDF ) Do : BP = DF , DF ⊥ BP 2 - 30 - Xuctu.com – Chuyên đề | Sách | Tài liệu | Video miễn phí- Và nữa! 30 Cho tứ giác lồi ABCD Về phía tứ giác dựng tam giác ABM , CDP Về phía tứ giác, dựng hai tam giác BCN ADK Chứng minh : MNPK hình bình hành → A , N I →C HD : Xeùt pheùp quay Q 60 B : M I Q (B;90 ) ⇒ MN I → AC ⇒ MN = AC (1) Xeùt pheùp quay Q 60 → C , K I →A D : P I Q (D;90 ) ⇒ PK I → CA ⇒ PK = CA (2) Từ (1) , (2) suy : MN = PK Lí luận , tương tự : MK = PN ⇒ MKNP hình bình hành 31 Cho ∆ABC Về phía tam giác , dựng ba tam giác BCA1, ACB1, ABC1 Chứng minh : AA1, BB1,CC1 đồng quy HD : Q Q (B;60 ) (B;60 ) Gỉa sử AA1 ∩ CC1 = I Xeùt : A1 I → C, A I → C1 Q (B;60 ) ⇒ A1A I → CC1 ⇒ (A1A; CC1) = 60 ⇒ AJC1 = 60 (1) Lấy CC1 điểm E cho : IE = IA Vì EIA = 60 ⇒ ∆EIA Q Q Q (A;60 ) (A;60 ) (A;60 ) Xeùt : B I → C1, I I → E , B1 I →C Vì : C1, B,C thẳng hàng nên B, I, B1 thẳng hàng ⇒ AA1, BB1,CC1 đồng quy 32 Chứng minh đoạn thẳng nối tâm hình vuông dựng cạnh hình bình hành phía , hợp thành hình vuông HD : Gọi I1, I2 , I3 , I tâm hình vuông cạnh AB,BC,CD,DA Dùng phép quay Q(I;90 ) : B I → C Vì ∆I1BA = ∆I3CD ⇒ CI3 = BI1 vaø DCI3 = ABI1 = 45 Maø DC // AB ⇒ CI3 ⊥ BI1 Q (I;90 ) Vaäy : I3 I → I1 ⇒ I2 I1 = I2 I3 I2 I1 ⊥ I2 I3 Lý luận tương tự , ta có : I1I2 I3I hình vuông Vấn đề : HAI HÌNH BẰNG NHAU A KIẾN THỨC CƠ BẢN ĐL : Nếu ABC A′B′C′ hai tam giác có phép dời hình biến ∆ABC thành ∆A′B′C′ Tính chất : Nếu thực liên tiếp hai phép dời hình phép dời hình Hai hình gọi có phép dời hình biến hình thành hình B BÀI TẬP - 31 - Xuctu.com – Chuyên đề | Sách | Tài liệu | Video miễn phí- Và nữa! Cho hình chữ nhật ABCD Gọi E,F,H,I theo thứ tự trung điểm cạnh AB,CD,BC,EF Hãy tìm phép dời hình biến ∆AEI thành ∆FCH HD : Thực liên tiếp phép tònh tiến theo AE phép đối xứng qua đường thẳng IH T : A I → E,E I → B,I I → H ⇒ T (∆AEI) = ∆EBH AE AE ÑIH : E I → F, B I → C, H I → H ⇒ ÑIH (∆EBH) = ∆FCH ÑIH : T (∆AEI) = ∆FCH AE Do : ĐIH T (∆AEI) = ∆FCH ⇒ ∆AEI = ∆FCH AE Cho hình chữ nhật ABCD Gọi O tâm đối xứng ; E,F,G,H,I,J theo thứ tự trung điểm cạnh AB,BC,CD,DA,AH,OG Chứng minh : Hai hình thang AJOE GJFC HD : Phép tònh tiến theo AO biến A,I,O,E thành O,J,C,F Phép đối xứng qua trục OG biến O,J,C,F thành G,J,F,C Từ suy phép dời hình có cách thực liên tiếp hai phép biến hình biến hình thang AJOE thành hình thang GJFC Do hai hình thang aáy baèng [CB-1.20] Trong mpOxy , cho u = (3;1) đường thẳng (d) : 2x − y = Tìm ảnh (d) qua phép dời hình có cách thực liên tiếp phép quay Q phép tònh tiến Tu (O;90 ) Q Tu (O;90 ) HD : PP : d I → d′ I → d′′ Goïi d′ = Q (d) Vì tâm O ∈ d nên Q (O) = O ∈ d′ (O;90 ) (O;90 ) Maët khaùc : d′ ⊥ d ⇒ d′ : x + 2y + C = (C ≠ 0) maø d′ qua O neân C = ⇒ d′: x + 2y = Q (O;90 ) Cách khác : Chọn M(1;2) ∈ d I → M′ ∈ d ′  x′ = OM cos(α + 90 )  x′ = OM cos α cos 90 − OM sin α sin 90  x′ = x cos 90 − y sin 90 Ta coù : M′  = =  y′ = OM sin(α + 90 )  y′ = OM sin α cos 90 + OM cos α sin 90  y′ = y cos 90 + x sin 90  x′ = 1cos 90 − sin 90  x′ = −2 = = ⇒ M′(−2;1) ′ y =  ′  y = cos 90 + 1sin 90 Goïi d′′ = Tu (d′) ⇒ d′′ // d′ ⇒ d′′ : x + 2y + C =  x′ = x +  x′ = Goïi O′ = Tu (O) ⇔ OO′ = u ⇔  ⇔ ⇔ O′(3;1) ′ y = y +  y′ = Vì d′′ ∋ O′ ⇒ + + C = ⇒ C = −5 ⇒ d′′ : x + 2y − = Vaäy :Tu Q (d) = (d′) : x + 2y − = (O;90 ) - 32 - Xuctu.com – Chuyên đề | Sách | Tài liệu | Video miễn phí- Và nữa! Tìm ảnh đường tròn (C) : x2 + y2 − 2x + 4y − = có cách thực liên tiếp phép tònh tiến theo u = (3; − 1) phép ĐOy ĐS : (C′) : (x + 4)2 + (y + 3)2 = Tìm ảnh đường tròn (C) : x2 + y2 − 6x − 2y + = có cách thực liên tiếp phép quay Q phép ĐOx (O;90 ) HD : (C) có tâm I(3;1) , bk : R = Khi : Q ĐOx (O;90 ) (C) : I(3;1) , R = I→ (C′) : I′( − 1;3) , R = I→ (C′′) : I′′( − 1; − 3) , R = ⇒ (C′′) :(x + 1)2 + (y + 3)2 = [CB-P23] Trong mpOxy cho điểm A( − 3;2),B( − 4;5) C( − 1;3) a) Chứng minh : Các điểm A′(2;3),B′(5;4) C′(3;1) theo thứ tự ảnh A,B C qua Q (O;−90 ) b) Gọi ∆A1B1C1 ảnh ∆ABC qua phép dời hình có cách thực liên tiếp phép Q phép đối xứng ĐOx Tìm toạ độ đỉnh ∆A1B1C1 (O;−90 ) HD : a) Gọi M,N hình chiếu A Ox,Oy M( − 3; 0),N(0;2) Q (O;− 90 ) Khi : Hình chữ nhật OMAN I → hcnhật OM′A′N′ với M′(0;3),N′(2;0) Do : A′(2;3) = Q (A) (O;−90 ) Ttự : B′(5;4) = Q (B),C′(3;1) = Q (C) (O;−90 ) (O;−90 ) Q (O;− 90 ) Caùch khác : Gỉa sử A I → A′ ⇔ ∆AOA′ vuông cân O Điều : OA = OA′= 13, OA.OA′ = Làm tương tự cho B,C ta có điều cần chứng minh b) Phép quay : Q (∆ABC) = ∆A′B′C′ , ĐOx (∆A′B′C′) = ∆A1B1C1 (O;−90 ) - 33 - Xuctu.com – Chuyên đề | Sách | Tài liệu | Video miễn phí- Và nữa! x A = x A′ =  Khi :  ⇒ A1(2; −3).Ttự : B1(5; −4),C1(3; −1) y A1 = yA′ = −3 Trong mpOxy , cho hai parabol : (P1) : y = 2x2 , (P2 ) : y = 2x2 − 4x − Khẳng đònh sau sai ? A) y = 2x2 − 4x − ⇔ y = 2(x − 1)2 − B) Tònh tiến sang trái đơn vò xuống đơn vò ta (P2 ) C) (P1) (P2 ) D) Phép tònh tiến theo u = (1; − 3) biến (P1) thành (P2 ) ĐS : B) Trong mpOxy , cho điểm A(2;0),B(4;4),C(0;2) D( − 4; 4) Khẳng đònh sau sai ? A) Các ∆OAC,∆OBD tam giác vuông cân Q (O;90 ) → ∆OCD B) Phép quay : ∆OAB I C) ∆OAB ∆OCD hai hình D) Tồn phép tònh tiến biến A thành B C thành D ĐS : D) Trong mpOxy cho ∆ABC với A( − 3; 0), B(0;3),C(2; 4) Phép biến hình f biến A thành A′(−;3) , B thành B′(2;6),C thành C′(4;7) Khẳng đònh sau ? A) f phép quay Q (O;90 ) C) f phép tònh tiến theo vectơ u = (2;3) ĐS : C) B) f phép đối xứng tâm I( − 1; ) D) f phép đối xứng trục Để học phần lại vui lòng mua trọn sách chúng tơi để lĩnh hội tất kiến thức Phương pháp Bộ sách kết hợp độc đáo của: Sách truyền thống- CASIO- Video TRỌN BỘ SÁCH THAM KHẢO TOÁN 11 MỚI NHẤT-2019 - 34 - Xuctu.com – Chuyên đề | Sách | Tài liệu | Video miễn phí- Và nữa! Bợ phận bán hàng: 0918.972.605 Đặt mua tại: https://goo.gl/FajWu1 https://forms.gle/UMdhdwg3cnzPExEh Xem thêm nhiều sách tại: http://xuctu.com/ Hổ trợ giải đáp: sach.toan.online@gmail.com Xem video giới thiệu sách tính tại: https://www.youtube.com/watch?v=-Ajbox20VSI Vấn đề : PHÉP VỊ TỰ ÑN : Cho điểm I cố đinh số k ≠ Phép vò tự tâm I tỉ số k Kí hiệu : VIk , phép biến hình biến điểm M thành điểm M′ cho IM′ = k IM - 35 - Xuctu.com – Chuyên đề | Sách | Tài liệu | Video miễn phí- Và nữa! Biểu thức tọa độ : Cho I(xo ; yo ) phép vò tự VIk x′= kx+ (1 − k)xo VIk M(x;y) I → M′ = VIk (M) = (x′; y′)  y′= ky+ (1 − k)yo Tính chất : M′ = VIk (M), N′ = VIk (N) M′N′= kMN , M′N′= |k|.MN Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng bảo toàn thứ tự điểm tương ứng Biến đường thẳng thành đường thẳng song song trùng với đường thẳng cho Biến tia thành tia Biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng mà độ dài nhân lên |k| Biến tam giác thành tam giác đồng dạng với Đường tròn có bán kính R thành đường tròn có bán kính R′= |k|.R Biến góc thành góc B BÀI TẬP Tìm ảnh điểm sau qua phép vò tự tâm I , tỉ số k ≠ : a) A(1;2) , I(3; − 1) , k = b) B(2; − 3), I(−1; −2), k = −3 c) C(8;3), I(2;1) , k = → A′( − 1;5) → B′( − 10;1) → C′(5;2) 1 → P′(1; − ),Q′( − ; − ),R′( − ; ) 3 3 V(I;2)  x ′ − = −4 HD : a) Goïi : A(1;2) I → A′(x′; y′) ⇔ IA′ = 2IA ⇔ (x′ − 3; y′ + 1) = 2(−2;3) ⇔   y′ + = x′ = −1 ⇔ ⇒ A′(−1; 5)  y′ = d) P( − 3;2),Q(1;1), R(2; −4) , I ≡ O,k = − 1/ Cho ba điểm A(0;3),B(2; − 1),C(−1;5) Tồn hay không tồn phép vò tự tâm A , tỉ số k biến B thành C ? HD : Gỉa sử tồn phép vò tự tâm A , tỉ số k biến B thành C V(A;k) −1 = k(2) Khi : B I→ C ⇔ AC = kAB ⇔  ⇔k=− = k( − 4)  Vậy : Tồn phép vò tự V →C : B I (A;− ) Cho ba điểm A( − 1;2),B(3;1),C(4;3) Tồn hay không tồn phép vò tự tâm A , tỉ số k biến B thành C ? HD : Gỉa sử tồn phép vò tự tâm A , tỉ số k biến B thành C V(A;k) Khi : B I→ C ⇔ AC = kAB (1) - 36 - Xuctu.com – Chuyên đề | Sách | Tài liệu | Video miễn phí- Và nữa! Cho ∆OMN Dựng ảnh M,N qua phép vò tự tâm O , tỉ số k trường hợp sau : a) k = b) k = c) k = − Giaûi : M I → M′ , N I → N′ ta có OM′ = 3OM,ON′ = 3ON a) Phép vò tự VO 1/2 : M I b) Phép vò tự VO → H , N I → K HK đường trung bình cuûa ∆OMN 3 −3/ : M I c) Phép vò tự VO → P , N I → Q ta có OP = − OM,OQ = − ON 4 Cho hình bình hành ABCD (theo chiều kim đồng hồ) có tâm O Dựng : a) Ảnh hình bình hành ABCD qua phép vò tự tâm O , tỉ số k = b) Ảnh hình bình hành ABCD qua phép vò tự tâm O , tỉ số k = − Giải : A I a) Gọi VO → A′ OA′ = 2OA B I → B′ OB′ = 2OB C I → C′ OC′ = 2OC D I → D′ OD′ = 2OC : ▱ABCDM I ⇒ VO →▱A′B′C′D′ Ta veõ : AB// A′B′,BC // B′C′,CD // C′D′,DA // D′A′ −1/2 : A I b) Goïi VO → P OP = − OA B I → Q OQ = − OB → R OR = − OC C I → S OS = − OD D I − 1/2 ⇒ VO : ▱ABCDM  → ▱PQRS Ta veõ : AB// PQ,BC // QR,CD // RS,DA // SP Cho ∆ABC coù AB = 4, AC = , AD phân giác A ∆ABC (D ∈ BC) Với giá trò k phép vò tự tâm D , tỉ số k biến B thành C HD : Theo tính chất phân giác A , ta có : V( D;−3/2 ) DB AB =− = − = − ⇒ DC = − DB ⇒ B I →C AC DC Do DB DC ngược hướng - 37 - Xuctu.com – Chuyên đề | Sách | Tài liệu | Video miễn phí- Và nữa! Cho ∆ABC vuông A AB = 6, AC = Phép vò tự V biến B thành B′,C thành C′ (A; ) Khẳng đònh sau sai ? A) BB′C′C hình thang B) B′C′ = 12 C) SAB′C′ = SABC D) Chu vi (∆ABC) = Chu vi(∆AB′C′) HD : V(A;3/2) A) B′C′  → BC 3 B) sai : B′C′= BC = AB2 + AC2 = 15 2 3 SAB′C′ AB′.AC′ AB AC C) : = = = SABC AB.AC AB.AC Chu vi AB′C′ D) : = Chu vi ABC Cho ∆ABC có hai đỉnh B C cố đònh , đỉnh A di động đường tròn (O) cho trước Tìm tập hợp trọng tâm ∆ABC HD : Gọi I trung điểm BC Ta có I cố đònh Nếu G trọng tâm ∆ABC IG = IA 1/3 Vậy G ảnh A qua phép vò tự VI Tập hợp điểm A đường tròn (O) nên tập hợp G đường tròn (O′) , ảnh đường tròn (O) qua phép vò tự VI1/3 Trong mpOxy , cho điểm A( − 1; 2) đường thẳng d qua A có hệ số góc Gọi B đường thẳng di động d Gọi C điểm cho tứ giác OABC hình bình hành Tìm phương trình tập hợp : a) Các tâm đối xứng I hình bình hành b) Các trọng tâm G caùc tam giaùc ABC HD : a) i Qua A( − 1; 2) (AB):  → (AB) : y − = 1(x + 1) ⇔ y = x + i Hsg : k = 1 Vậy B chạy d I chạy d′ // d qua trung điểm M( − ;1) đoạn OA Vậy d′ : x − y + = 2 2/3 (B) Vậy G chạy đt d′′// d qua ñieåm N( − ; ) == V2/3 (A) b) Ta coù : OG = OB ⇒ G = VO O 3 ⇒ d′′: x − y + = - 38 - Xuctu.com – Chuyên đề | Sách | Tài liệu | Video miễn phí- Và nữa! 10 Tìm ảnh đường thẳng d qua phép vò tự tâm I , tỉ soá k : a) d : 3x − y − = ,V(O; − ) b) d : 2x + y − = ,V(O;3) c) d : 2x + y − = ,V(I; − 2) với I( − 1;2) d) d : x + 2y − = ,V(I;2) với I(2; − 1) → d′ : 9x − 3y + 10 = → d′ : 2x + y − 12 = → d′ : 2x + y + = → d′ : x + 2y − = 11 Tìm ảnh đường tròn (C) qua phép vò tự tâm I , tỉ số k : (Có cách giải ) a) (C) : (x − 1)2 + (y + 2)2 = ,V(O; − 2) → (C) : (x + 2)2 + (y − 4)2 = 20 b) (C) : (x − 1)2 + (y − 1)2 = ,V(O; 2) → (C) : (x − 2)2 + (y − 2)2 = 16 c) (C) : (x − 3)2 + (y + 1)2 = ,V(I; − 2) với I(1;2) → (C) : (x + 3)2 + (y − 8)2 = 20 12 Tìm phép vò tự biến d thành d′ : x y →k= a) d : − = 1,d′ : 2x − y − = 0,V(O; k) HD : d : 2x − y − = // d′ : 2x − y − = Laáy A(2;0) ∈ d,B(3; 0) ∈ d′ → B ⇔ OB = kOA Vì : OA= (2; 0),OB = (3; 0) ⇒ OB = OA Vì : phép vò tự V(O;k) : A I 3 V(O; ) V(O; ) 2 Vaäy : A I→ B ⇒ d I→ d′ Lưu ý : Vì O,A,B thẳng hàng nên ta chọn chúng nằm đường thẳng Để đơn giản ta chọn chúng nằm Ox Oy b) (C1) : (x + 4)2 + y2 = ; (C2 ) : (x − 2)2 + (y − 3)2 = HD : V(I; −2),I(−2;1) (C1) có tâm I1(−4; 0), R1 = , (C2 ) có tâm I2 (2;3), R2 = 2 V(I;k) Gỉa sử :(C1) I → (C2 ) : R i R2 = | k | R1 ⇔ | k | = = ⇔ k = ±2 R1 i II2 = kII1 k = − Goïi I(xo ; yo ) (2 − xo ;3 − yo ) = −2(−4 − xo ; − yo ) ⇒ I(−2;1) k = Gọi I(xo ; yo ) (2 − xo ;3 − yo ) = 2(−4 − xo ; −yo ) ⇒ I(−10; −3) Vậy có phép vò tự biến (C1)  → (C2 ) V(I; − 2) với I( − 2;1) V(I;2) với I( − 10; − 3) 13 Trong mpOxy , cho đường troøn (C1) : (x − 1)2 + (y − 3)2 = vaø (C2 ) : (x − 4)2 + (y − 3)2 = a) Xác đònh toạ độ tâm vò tự hai đường tròn b) Viết phương trình tiếp tuyến chung hai đường tròn HD : (C1) có taâm I1(1;3) , bk : R1 = ; (C2 ) có tâm I2 (4;3) , bk : R2 = R a) Gọi I tâm vò tự (C1) (C2 ) , ta có : II2 = kII1 với k = = = ⇒ I(−2;3) R1 b) Tiếp tuyến chung hai đường tròn tiếp tuyến từ I đến (C1) Gọi đt ∆ qua I có hệ số góc k ⇒ ∆ :y − = k(x+2) ⇔ ky − y + + 2k =  ∆ : 2.x − 4y + 12 + = ∆ tiếp xúc (C1) ⇔ d(I1; ∆) = R1 ⇔ k = ± ⇒  ∆2 : 2.x + 4y − 12 + = 2 - 39 - Xuctu.com – Chuyên đề | Sách | Tài liệu | Video miễn phí- Và nữa! 14 Cho đường tròn (O,R) đường kính AB Một đường tròn (O′) tiếp xúc với (O,R) đoạn AB C, D , đường thẳng CD cắt (O,R) I Chứng minh : AI = BI HD : C tâm vò tự đường tròn (O) (O′) D ∈ (O′), I ∈ (O) ba điểm C,D,I thẳng hàng Gọi R′ bán kính đường tròn (O′) , : R′ VCR : O I → O′, I I →D ⇒ OI // O′D ⇒ OI ⊥ AB (Vì O′D ⊥ AB) ⇒ I trung điểm AB ⇒ AI = BI 15 Cho hai đường tròn (O,R) (O′, R′) tiếp xúc A (R > R′) Đường kính qua A cắt (O,R) B cắt (O′, R′) C Một đường thẳng di động qua A cắt (O, R) M cắt (O′, R′) N Tìm quỹ tích I = BN ∩ CM HD : IC CN = Ta coù : BM // CN Hai ∆BMI ∼ ∆NCI Do : IM BM AC CN Hai ∆ACN ∼ ∆ABM Do : = AB BM IC AC 2R′ R′ IC R′ ⇒ = = = ⇒ = IM AB 2R R IM + IC R + R′ R′ V(C;k = ) CI R′ R′ R + R′ → I ⇒ = ⇒ CI = CM ⇒ M : I CM R + R′ R + R′ Vaäy : Taäp hợp điểm I đường tròn (ω) vò tự đường R′ tròn (O,R) phép vò tự V(C ; k = ) R + R′ 16 Cho ∆ABC Gọi I , J M theo thứ tự trung điểm AB, AC IJ Đường tròn ngoại tiếp tâm O ∆AIJ , cắt AO A′ Gọi M′ chân đường vuông góc hạ từ A′ xuống BC Chứng minh : A , M , M′ thẳng hàng HD : Gọi M1 trung điểm BC Ta có : AB = 2AI AC = 2AJ V(A;2) Từ : ∆AIJ → ∆ABC Khi : V(A;2) : O I → A′, M I → M1 ⇒ OM ⊥ IJ ⇒ A′M1 ⊥ BC Như : M1 ≡ M′ ⇒ A, M, M′ thẳng hàng ( A, M, M1 thẳng hàng ) 17 Cho ∆ABC Gọi A1,B1,C1 tương ứng trung điểm BC,CA, AB Kẻ A1x, B1y,C1z song song với đường phân giác góc A,B,C ∆ABC Chứng minh : A1x,B1y,C1z đồng quy HD : Xét phép vò tự tâm G , tỉ số − G trọn g tâm ∆ ABC , I tâm đườn g tròn nôïi tiếp ∆ ABC → A1x , BI I → B1y , CI I → C1z , Ta coù : AJ I GI I I →J ( = − ) ⇒ A1x, B1y, C1z đồn g quy J GJ - 40 - Xuctu.com – Chuyên đề | Sách | Tài liệu | Video miễn phí- Và nữa! 18 Cho hai đường tròn (O1, R1) (O2 , R2 ) R1 ≠ R2 Một đường tròn (O) thay đổi tiếp xúc với (O1) A tiếp xúc với (O2 ) B Chứng minh : Đường thẳng AB luôn qua điểm cố đònh HD : A tâm vò tự biến (O1) thành (O) : AO1 AO ngược hướng B tâm vò tự biến (O) thành (O2 ) : AO1 AO ngược hướng Kéo dài AB cắt (O2 ) C : AO CO2 ngược hướng Vậy : AO1 CO2 ngược hướng Như AC AB phải qua tâm I tâm vò tự (O1) (O2 ) 19 Cho ∆ABC Người ta muốn đònh ba điểm A′,B′,C′ cạnh BC,CA,AB cho ∆A′B′C′ A′B′ ⊥ CA , B′C′ ⊥ AB vaø C′A′ ⊥ BC Gọi E,F,K chân đường cao phát xuất từ A,B,C 2/3 (A),A′= V2/3 (E),B′= V2/3 (F) Đặt : C′= VB B B 2/3 a) Nghiệm lại : A′= VB (E) B′C′ = CK b) Suy : ∆A′B′C′ Chứng minh trực tâm H ∆ABC trọng tâm ∆A′B′C′ HD : Trong ∆ABC đướng cao : AE = BF = CK = a (a cạnh ∆ABC) E,F,K trung điểm cạnh 2/3 (E) ⇔ BA′ = BE ⇔ BC + CA′ = ( BC) ⇔ CA′ = CB Vaäy : A′= V2/3 (E) a) Vì A′= VB B 3 2/3 (A) ⇔ BC′ = BA ⇔ BA + AC′ = BA ⇔ AC′ = − BA = AK ⇔ B′= V2/3 (C) Vì C′= VB A 3 3 2/3 2/3 VA VA Vaäy : C I→ B′, K I→ C′ ⇒ B′C′ = CK i B′C′ // CK cuøng ⊥ AB  b) Ta coù : B′C′ = CK ⇒  a 3 i B′C′ = CK = 3  2 Tương tự : C′A′ = AE vaø A′B′ = BF 3 a ⇒ ∆A′B′C′ Trực tâm H ∆ABC trọng tâm tam giác , nên : 2 2 BH = BF Maø : BC′ = BA ⇒ BH − BC′ = (BF − BA) ⇔ C′H = AF 3 3 Vaäy : C′H // AF Suy : C′H ⊥ A′B′ Lý luận tương tự : A′H ⊥ B′C′ Vaäy : B′C′ ⊥ AB,C′A′ ⊥ BC,A′B′ ⊥ AC vaø B′C′= C′A′= A′B′= - 41 - Xuctu.com – Chuyên đề | Sách | Tài liệu | Video miễn phí- Và nữa! Vấn đề : PHÉP ĐỒNG DẠNG A KIẾN THỨC CƠ BẢN ĐN : Phép biến hình F gọi phép đồng dạng tỉ số k (k > 0) với hai điểm M , N ảnh M′, N′ ảnh chúng , ta có M′N′= k.MN ĐL : Mọi phép đồng dạng F tỉ số k (k> 0) hợp thành phép vò tự tỉ số k phép dời hình D Hệ : (Tính chất ) Phép đồng dạng : Biến điểm thẳng hàng thành điểm thẳng hàng (và bảo toàn thứ tự ) Biến đường thẳng thành đường thẳng Biến tia thành tia Biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng mà độ dài nhân lên k ( k tỉ số đồng dạng ) Biến tam giác thành tam giác đồng dạng với ( tỉ số k) Biến đường tròn có bán kính R thành đường tròn có bán kính R′= k.R Biến góc thành góc Hai hình đồng dạng : ĐN : Hai hình gọi đồng dạng với có phép đồng biến hình thành hình F H đồng dạng G ⇔ ∃ F đồng dạng : H I→ G B.BÀI TẬP Cho điểm M a) Dựng ảnh phép đồng dạng F hợp thành phép đối xứng trục Đa phép vò tự V tâm O , với O ∉ a , tỉ số k = b) Dựng ảnh phép đồng dạng F hợp thành phép vò tự V tâm O , tỉ số k = − phép quay tâm I với góc quay ϕ = 90 Giải Đa VO a) Gọi : M I → M1 I → M2 M ∈ (a) M1 ≡ M M trung điểm OM2 M ∉ (a) O ≠ M1 : i a trung trực đoạn MM1 i M1 trung điểm đoạn OM2 M ∉ (a) O ≡ M1 : i a trung trực đoạn MM1 i M1 trung điểm đoạn OM2 −3 VO Q90 I → M Khi : → M1 I b) Goïi M I OM1 = −3OM , IM = IM1 vaø (IM1; IM) = 90 - 42 - Xuctu.com – Chuyên đề | Sách | Tài liệu | Video miễn phí- Và nữa! Cho ∆ABC có đường cao AH H đoạn BC Biết AH = , HB = , HC = Phép đồng dạng F biến ∆HBA thành ∆HAC F hợp thành hai phép biến hình ? A) Phép đối xứng tâm H phép vò tự tâm H tỉ số k = B) Phép tònh tiến theo BA phép vò tự tâm H tỉ số k = C) Phép vò tự tâm H tỉ số k = phép quay tâm H , góc (HB;HA) D) Phép vò tự tâm H tỉ số k = phép đối xứng trục HD : Q(H;ϕ) với ϕ = (HB;HA) : B I Phép VH → A, A I →C Vậy : F phép đồng dạng hợp thành V Q biến ∆HBA thành ∆HAC Cho hình bình hành ABCD có tâm O Trên cạnh AB lấy điểm I cho IA + 2IB = gọi G trọng tâm ∆ABD F phép đồng dạng biến ∆AGI thành ∆COD F hợp thành hai phép biến hình sau ? A) Phép tònh tiến theo GO phép vò tự V(B; − 1) B) Phép đối xứng tâm G phép vò tự V(B; ) C) Phép vò tự V(A; ) phép đối xứng tâm O 2 D) Phép vò tự V(A; ) phép đối xứng tâm G HD : i Vì G trọng tâm ∆ABD nên AO = AG i Theo giả thiết , ta có : AB = AJ i Phép đối xứng tâm O , biến A thành C B thành D ( O bất biến ) 2/3 ĐO VA i A I→ A I →C 2/3 ÑO VA i G I→ O I →O 2/3 ÑO VA i I I→ B I →D V(A; ) ÑO ⇒ ∆AGI → ∆AOB  → ∆COD Phép đồng dạng F HẾT Để học phần lại vui lòng mua trọn sách để lĩnh hội tất kiến thức Phương pháp Bộ sách kết hợp độc đáo của: Sách truyền thống- CASIO- Video TRỌN BỘ SÁCH THAM KHẢO TOÁN 11 MỚI NHẤT-2019 - 43 - Xuctu.com – Chuyên đề | Sách | Tài liệu | Video miễn phí- Và nữa! Bộ phận bán hàng: 0918.972.605 Đặt mua tại: https://goo.gl/FajWu1 https://forms.gle/UMdhdwg3cnzPExEh Xem thêm nhiều sách tại: http://xuctu.com/ Hổ trợ giải đáp: sach.toan.online@gmail.com Xem video giới thiệu sách tính tại: https://www.youtube.com/watch?v=-Ajbox20VSI - 44 - ... hợp độc đáo của: Sách truyền thống- CASIO- Video TRỌN BỘ SÁCH THAM KHẢO TOÁN 11 MỚI NHẤT-2019 - 22 - Xuctu.com – Chuyên đề | Sách | Tài liệu | Video miễn phí- Và nữa! Bợ phận bán hàng:... kiến thức Phương pháp Bộ sách kết hợp độc đáo của: Sách truyền thống- CASIO- Video TRỌN BỘ SÁCH THAM KHẢO TOÁN 11 MỚI NHẤT-2019 Bộ phận bán hàng: 0918.972.605 Đặt mua tại: https://goo.gl/FajWu1... sach.toan.online@gmail.com Xem video giới thiệu sách tính tại: https://www.youtube.com/watch?v=-Ajbox20VSI - 10 - Xuctu.com – Chuyên đề | Sách | Tài liệu | Video miễn phí- Và nữa! Vấn đề : PHÉP