Logic và suy luận toán học

Logic và suy luận toán học

Bài tập Toán học rời rạc Bài tập chơng 3 lôgic và suy luận toán học I. Đại số mệnh đề 1. Cho p, q, r là những mệnh đề : p: bạn bị cúm q: bạn thi trợt kỳ thi cuối khoá r: bạn đợc lên lớp Hãy diễn đạt những mệnh đề sau thành câu thông thờng : a. p q b. ơq r c. q ơr d. p q r e. (p ơr) (q ơr) f. (p q) (ơq r) 2. Cho p và q là 2 mệnh đề : p: bạn lái xe với tốc độ trên 65 km/h q: bạn bị phạt vì quá tốc độ cho phép Viết các mệnh đề sau thành công thức mệnh đề : a. Bạn không lái xe trên 65 km/h b. Bạn lái xe trên 65 km/h nhng bạn không bị phạt vì quá tốc độ cho phép c. Bạn sẽ bị phạt vì quá tốc độ cho phép Nếu bạn lái xe trên 65 km/h. d. Nếu bạn không lái xe với tốc độ trên 65 km/h thì bạn sẽ không bị phạt vì quá tốc độ cho phép e. Lái xe với tốc độ 65 km/h là đủ để bị phạt vì quá tốc độ cho phép f. Bạn bị phạt vì quá tốc độ cho phép nhng bạn không lái xe trên 65 km/h g. Mỗi lần bị phạt vì quá tốc độ cho phép là bạn đã lái xe trên 65 km/h. 3. Có hai nhóm ngời : nhóm luôn luôn nói dối và nhóm luôn luôn nói thật. a. Giải thích vì sao câu hỏi "có phải anh là ngời nói dối ?" hoặc "có phải anh là ngời nói thật ?" sẽ không thể xác định đợc ngời trả lời là nói dối hay nói thật. b. Tìm câu hỏi để biết đợc ngời trả lời thuộc nhóm nói dối hay nói thật. 4. Lập bảng chân trị cho các công thức mệnh đề sau : a. (p q) r b. (p q) ơr c. (p q) ơr d. (ơp ơq) r e. (p ơq) r f. (ơp q) r g. (p q) (ơq r) h. (p q) (ơq r) 5. Các phép toán XOR (), NAND (|), NOR () đợc định nghĩa nh sau : XOR : A B = T khi và chỉ khi A, B nhận giá trị khác nhau NAND : A | B = F khi và chỉ khi A, B nhận giá trị T 1 Bài tập Toán học rời rạc NOR : A B = T khi và chỉ khi A, B nhận giá trị F Hãy lập bảng chân trị cho các mệnh đề sau : a. (p q) (ơp q) b. (p ơq) | (q r) c. (ơp ơq) (q r) d. (A ơB) C e. (ơA | B) (B C) f. (A B) (ơB | C) g. ơp ơq h. (p q) (p ơq) i. (p q) (p ơq) 6. Bằng các phép biến đổi tơng đơng chứng minh tính tơng đơng của các cặp công thức sau : a. p q và ơq ơp b. ơp q và p ơq c. ơ(p q) và p q d. ơ(p q) và ơp q e. p q và (p | q) | (p | q) f. p q và (p | p) | (q | q) g. p q và (x y) (x y) h. p q và (p p) (q q) 7. Tìm mệnh đề tơng đơng với p q chỉ chứa a. phép toán NAND b. phép toán NOR 8. Lập công thức mệnh đề từ các mệnh đề p, q, r sao cho nó đúng khi và chỉ khi p và q đúng và r là sai. 9. Lập công thức mệnh đề từ các mệnh đề p, q, r sao cho nó đúng khi và chỉ khi 2 trong 3 mệnh đề là đúng. 10. Biểu diễn câu sau chỉ dới dạng phép tuyển và phủ định : "Nếu CSDL danh bạ đợc mở thì monitor đợc đặt ở trạng thái đúng, nếu hệ không ở trạng thái ban đầu của nó". Sau đó phát biểu lại câu nói này theo công thức vừa tìm đợc. II. Lôgic vị từ 11. Cho P(x) là câu x học ở lớp hơn 5 giờ mỗi ngày trong tuần, không gian là tập hợp các sinh viên. hãy diễn đạt các biểu thức lôgic sau thành câu thông thờng : a. xP(x) b. xP(x) c. xơP(x) b. x ơP(x) 12. Cho P(x, y) là câu x đã học môn y, với không gian của x là tập hợp sinh viên trong lớp, không gian của y là tập hợp các môn học. Hãy diễn đạt các mệnh đề sau thành câu thông th- ờng a. xy P(x,y) b. xy P(x,y) c. xy P(x,y) d. yx P(x,y) e. yx P(x,y) f. xy P(x,y) 13. Cho L(x, y) là câu x yêu y, không gian của x, y là tập hợp ngời. Dùng lợng từ diễn đạt các câu sau a. Mọi ngời đều yêu Jerry b. Mọi ngời đều yêu một ai đó c. Có một ngời mà tất cả mọi ngời đều yêu 2 Bài tập Toán học rời rạc d. Không có ai yêu tất cả mọi ngời e. Có một ngời mà Lindya không yêu f. Có một ngời mà không ai yêu g. Có đúng một ngời mà tất cả mọi ngời đều yêu h. Có đúng 2 ngời mà Lynn yêu i. Mọi ngời đều yêu chính mình j. Có một ngời không yêu ai ngoài chính mình 14. Giả sử không gian của hàm mệnh đề P(x, y) gồm các cặp số x, y với trên tập {1, 2, 3}. Dùng phép hội và tuyển viết các mệnh đề sau : a. x P(x,3) b. y P(1,y) c. xy P(x,y) d. xy P(x,y) e. xy P(x,y) f. yx P(x,y) 15. Chứng minh rằng xP(x) xQ(x) và x (P(x) Q(x)) là không tơng đơng. 16. Chứng minh rằng xP(x) xQ(x) và x (P(x) Q(x)) là không tơng đơng. 17. *Chứng minh rằng xP(x) xQ(x) và xy (P(x) Q(y)) là tơng đơng 18. *Chứng minh các cặp mệnh đề sau là tơng đơng a. xP(x) xQ(x) và xy (P(x) Q(y)) là tơng đơng b. xP(x) xQ(x) và xy (P(x) Q(y)) là tơng đơng 19. !x P(x) kí hiệu cho mệnh đề Tồn tại duy nhất x sao cho P(x). Nếu không gian là tập các số nguyên, hãy xác định chân trị của các mệnh đề sau : a. !x (x > 1) b. !x (x 2 = 1) c. !x (x + 3 = 2x) d. !x (x = x + 1) 20. *Biểu diễn lợng từ !x P(x) qua lợng từ phổ dụng (), lợng từ tồn tại () và các phép toán lôgic III. Qui tắc suy luận và phơng pháp chứng minh 21. Quy tắc suy luận nào đợc dùng trong mỗi một lập luận sau: a. Alice là giỏi môn toán. Do đó Alice là giỏi môn toán hoặc môn tin. b. Jerry là giỏi môn toán và môn tin. Do vậy Jerry giỏi môn toán. c. Nếu trời ma thì bể bơi sẽ đóng cửa.Trời ma. do đó bể bơi đóng cửa. d. Nếu hôm nay tuyết rơi thì trờng đại học sẽ đóng cửa. Hôm nay trờng đại học không đóng cửa. Do vậy hôm nay đã không tuyết rơi. e. Nếu tôi đi bơi thì tôi sẽ phơi nắng đợc nhiều. Nếu tôi phơi nắng nhiều thì tôi rám nắng. Do đó nếu tôi đi bơi thì tôi sẽ rám nắng. 22. Quy tắc suy luận nào đợc dùng trong mỗi một lập luận sau: a. Những con Kanguroo sống ở Australia và là loài thú có túi. Do đó Kanguroo là loài thú có túi. b. Hoặc là hôm nay trời nóng trên 100 độ hoặc là sự ô nhiễm là nguy hại. Hôm nay nhiệt độ ngoài trời nhỏ hơn 100 độ. Do đó ô nhiễm là nguy hại. c. Linđa là vận động viên bơi tuyệt vời. Nếu Linđa là vận động viên bơi tuyệt vời, khi đó cô ta có thể làm việc nh một ngời cứu đắm ở bể bơi. Do đó Linđa có thể làm việc nh một ng- 3 Bài tập Toán học rời rạc ời cứu đắm ở bể bơi. d. Steve sẽ làm việc ở một công ty tin học vào mùa hè này. Do dó mùa hè này anh ta sẽ làm việc ở một công ty tin học hoặc là một kẻ lang thang ngoài bãi biển. e. Nếu tôi cả đêm làm bài tập này, thì tôi có thể trả lời đợc tất cả các bài tập. Nếu tôi trả lời đợc tất cả các bài tập thì tôi sẽ hiểu đợc tài liệu này. Do đó nếu tôi cả đêm làm bài tập này thì tôi sẽ hiểu đợc tài liệu này. 23. Xác định xem mỗi suy luận sau là có căn cứ không. Nếu một suy luận là có căn cứ thì nó dùng quy tắc suy luận nào. Nếu không hãy chỉ ra ngụy biện nào đã đợc sử dụng. a. Nếu n là một số thực lớn hơn 1 khi đó n 2 > 1. Giả sử n 2 > 1. Khi đó n > 1. b. log 2 3 là vô tỷ nếu nó không là tỷ số của hai số nguyên. Do đó, vì log 2 3 không thể viết dới dạng a/b với a và b là hai số nguyên, nên nó là vô tỷ. c. Nếu n là một số thực và n > 3 khi đó n 2 > 9. Giả sử n 2 9. Khi đó n 3. d. Một số nguyên dơng hoặc là số chính phơng hoặc có một số chẵn các ớc nguyên dơng. Giả sử n là một số nguyên dơng có một số lẻ các ớc nguyên dơng. Khi đó n là số chính phơng. e. Nếu n là một số thực và n > 2, khi đó n 2 > 4. Giả sử n 2. Khi đó n 2 4. 24. Suy luận sau đây là chứng minh không chính xác của định lý Nếu n 2 không chia hết cho 3 thì n không chia hết cho 3. Nguyên nhân là do dùng suy luận vòng tròn. Sai lầm ở đâu ? Nếu n 2 là không chia hết cho 3, khi đó n 2 không bằng 3k với k là một số nguyên nào đó. Vì thế n không bằng 3l với một số nguyên l. Kết luận n không chia hết cho 3. 25. Chứng minh rằng bình phơng của một số chẵn là một số chẵn bằng : a. Chứng minh trực tiếp b. Chứng minh gián tiếp c. Chứng minh bằng mâu thuẫn. 26. Chứng minh tổng hai số hữu tỷ là số hữu tỷ. 27. Chứng minh tổng một số hữu tỷ với một số vô tỷ là một số vô tỷ nhờ chứng minh bằng mâu thuẫn. 28. Chứng minh rằng tích của hai số hữu tỷ là một số hữu tỷ. 29. Chứng minh hoặc bác bỏ rằng tích hai số vô tỷ là một số vô tỷ. 30. Chứng minh hoặc bác bỏ rằng tích một số hữu tỷ khác không và một số vô tỷ là số vô tỷ. 31. *Chứng minh hoặc bác bỏ rằng n 2 n + 41 là nguyên tố khi n là số nguyên dơng. 32. Chứng minh hoặc bác bỏ rằng 2 n + 1 là nguyên tố với mọi n nguyên không âm. 33. Chỉ ra rằng 3 3 là vô tỷ. 34. *Chỉ ra rằng n là vô tỷ nếu n là số nguyên dơng không chính phơng. 35. Hãy chứng minh hoặc bác bỏ rằng n 2 1 là hợp số với n nguyên dơng lớn hơn 1. 36. Hãy chứng minh hoặc bác bỏ rằng a mod m + b mod m = (a+b) mod m, với m là số nguyên dơng. 37. Hãy chứng minh hoặc bác bỏ rằng mọi số nguyên dơng có thể đợc viết dới dạng tổng các bình phơng của hai số nguyên. 4 Bài tập Toán học rời rạc 38. Chứng minh rằng nếu n là một số nguyên dơng sao cho tổng các ớc của nó bằng n + 1, thì n là số nguyên tố. Bạn đã dùng kiểu chứng minh nào ? 39. Chứng minh hoặc bác bỏ rằng có ba số nguyên dơng lẻ liên tiếp là các số nguyên tố, tức là các số nguyên tố lẻ dạng p, p + 2 và p + 4 (còn gọi là bộ số sinh ba). 40. Chứng minh hoặc bác bỏ rằng với n là một số nguyên dơng khi đó có n số nguyên dơng lẻ liên tiếp là các số nguyên tố. 41. Hãy đa ra một chứng minh kiến thiết của mệnh đề với mọi số nguyên dơng n có một số nguyên chia hết cho nhiều hơn n số nguyên tố". 42. Tìm phản ví dụ cho mệnh đề với mọi số nguyên tố n, n+2 cũng là số nguyên tố. 43. *Chứng minh rằng có vô hạn các số nguyên tố đồng d 3 theo modun 4. Chứng minh của bạn thuộc loại kiến thiết hay không kiến thiết. (Gợi ý : Một phơng pháp giả sử rằng chỉ có một số hữu hạn các số nguyên tố p 1 , p 2 , ., p n đồng d 3 (mod 4). Gọi q = 4 p 1 p 2 . p n + 3. Chứng tỏ rằng q có ớc nguyên tố đồng d 3 theo môdun 4 không nằm trong các số nguyên tố p 1 , p 2 , ., p n ). 44. Chứng minh hoặc bác bỏ rằng nếu p 1 , p 2 , ., p n là số nguyên tố nhỏ nhất thì p 1 p 2 .p n +1 là một số nguyên tố. 45. Chứng minh hay bác bỏ rằng nếu a và b là các số hữu tỷ khi đó a b cũng là hữu tỷ. 46. Chứng minh rằng có các số vô tỷ a và b sao cho a b cũng là hữu tỷ. Chứng minh của bạn thuộc loại kiến thiết hay không kiến thiết? (Gợi ý: Cho a= 2 và b = 2 . Chỉ ra rằng a b hoặc (a b ) b là hữu tỷ). 47. *Bài toán Lô-gic, lấy từ WFFN PROOF, trò chơi Lôgic, có hai giả thiết: 1. Môn lôgic là khó hoặc không có nhiều sinh viên thích môn lôgic 2. Nếu môn toán là dễ thì lôgic là không khó. Bằng cách chuyển các gỉả thiết trên thành các mệnh đề chứa các biến và các toán tử lôgic. Hãy xác định xem mỗi một trong các khẳng định sau đây có là các kết luận có cơ sở của các giả thiết đã cho không: a. Môn toán là không dễ nếu nhiều sinh viên thích môn lôgic. b. Không có nhiều sinh viên thích môn lôgic nếu môn toán là không dễ. c. Môn toán là không dễ hoặc môn lôgic là khó. d. Môn lôgic là không khó hoặc môn toán là không dễ. e. Nếu không có nhiều sinh viên thích môn lôgic khi đó hoặc là môn toán không dễ hoặc là lôgic không khó. 48. *Hãy xác định xem suy luận sau đây có cơ sở hay không: Nếu một siêu nhân có khả năng và muốn ngăn cản một tội ác thì anh ta sẽ làm điều đó. Nếu một siêu nhân không có khả năng ngăn cản một tội ác thì anh ta là ngời bất lực. Nếu anh ta không muốn ngăn cản tội ác anh ta sẽ là một ngời xấu bụng. Một siêu nhân không ngăn cản tội ác. Nếu siêu nhân tồn tại thì anh ta không bất lực và không xấu bụng. Do đó siêu nhân không tồn tại. IV. Qui nạp toán học 49. Hãy tìm công thức tính tổng n số nguyên chẵn đầu tiên. 50. Dùng quy nạp toán học chứng minh công thức tìm đợc trong bài tập trên. 5 Bài tập Toán học rời rạc 51. Dùng quy nạp toán học chứng minh rằng 3.5 + 3.5 2 + . + 3.5 n = 3.(5 n+1 -1)/4, với n là số nguyên không âm. 52. Tìm công thức tính tổng 1 12 1 2 3 1 1. . . ( ) + + + + n n bằng cách quan sát các giá trị của biểu thức này với các giá trị nhỏ của n. Dùng quy nạp toán học để chứng minh kết quả của bạn. 53. Chứng minh rằng 1.1! + 2.2! + . + n.n! = (n+1)! - 1 với n nguyên dơng. 54. *Bằng quy nạp toán học hãy chứng minh bất đẳng thức Bernoulli : Nếu h > 1 thì 1 + nh (1+h) n , với mọi n nguyên không âm. 55. Chứng minh rằng 3 n n! với mọi n nguyên lớn hơn 6. 56. Chứng minh bằng quy nạp rằng 1.2 + 2.3 + . + n(n+1) = n(n+1)(n+2) /3, với mọi n nguyên dơng. 57. Chỉ ra rằng với bất cứ bu phí nào là một số nguyên lớn hơn 7 xu cũng có thể tạo đợc bằng chỉ hai loại tem 3 xu và 5 xu. 58. Chứng minh bằng quy nạp rằng n 3 +2n chia hết cho 3 với n nguyên không âm. 59. Chứng minh bằng quy nạp rằng n 5 - n chia hết cho 5 với n nguyên không âm. 60. Chứng minh bằng quy nạp rằng n 3 - n chia hết cho 6 với n nguyên không âm 61. *Chứng minh bằng quy nạp rằng n 2 - n chia hết cho 8 với n nguyên dơng lẻ. 62. Chứng minh bằng quy nạp rằng n 2 - 7n + 12 là không âm với n nguyên lớn hơn 3. 63. Chứng minh bằng quy nạp rằng tập hợp n phần tử có n(n-1)/2 tập con chứa đúng 2 phần tử trong đó n là số nguyên lớn hơn hay bằng 2. 64. a. Với các con tem loại 5 xu và 6 xu có thể tạo đợc các bu phí nào? b. Chứng minh câu trả lời của bạn trong phần a) bằng quy nạp toán học. c. Chứng minh câu trả lời của bạn trong phần a) bằng nguyên lý thứ hai của quy nạp toán học. 65. Chỉ dùng đồng 10 xu và đồng 25 xu có thể tạo đợc các khoản tiền là bao nhiêu? Hãy chứng minh câu trả lời của bạn bằng quy nạp toán học. 66. Giả sử rằng A= a b 0 0 , trong đó a và b là các số thực. Chứng minh rằng 6 Bài tập Toán học rời rạc A n = a b n n 0 0 , với n là số nguyên dơng tùy ý. 67. Sai lầm ở đâu trong chứng minh tất cả các con ngựa đều cùng màu nh sau: Cho P(n) là mệnh đề tất cả các con ngựa trong một tập n con ngựa là cùng màu. Rõ ràng P(1) là đúng. Bây giờ gỉa sử P(n) là đúng, tức là các con ngựa trong một tập bất kỳ có n con là cùng màu. Xét n+1 con ngựa tùy ý, và đợc đặt tên 1, 2, ., n, n+1. Dễ thấy n con ngựa đầu tiên và n con ngựa cuối cùng phải là cùng màu. Vì tập n con ngựa đầu tiên và tập n con ngựa cuối cùng là gối lên nhau, nên tất cả n+1 con ngựa là cùng màu. Điều này chứng tỏ P(n+1) là đúng và chúng ta hoàn tất chứng minh bằng quy nạp. 68. *Tìm sai lầm trong chứng minh rằng a n = 1 với mọi n nguyên không âm, và a là số thực khác không. Bớc cơ sở : a 0 = 1 là đúng, theo định nghĩa của hàm mũ. Bớc quy nạp : Giả sử a k = 1 với mọi nguyên không âm và nhỏ hơn n. Khi đó: a n+1 = a n . a n / a n-1 = 1.1/1 =1. 69. *Chứng minh rằng : 1 1 2 1 3 1 2 1 1 + + + + > + . ( ). n n 70. *Chứng minh rằng n đờng thẳng chia mặt phẳng thành (n 2 + n + 2)/2 miền nếu không có hai đờng thẳng nào song song và không có đờng nào có chung một điểm. V. đệ qui 71. Hãy tìm f(1), f(2), f(3), và f(4) nếu f(n) đợc định nghĩa bằng đệ quy với f(0) = 1 và với n = 0, 1, 2, . a. f(n+1) = f(n) + 2 b. f(n+1) = 3.f(n) c. f(n+1) = 2 f(n) d. f(n+1) = (f(n)) 2 + f(n) + 2 72. Hãy tìm f(2), f(3), f(4) và f(5) nếu f(n) đợc định nghĩa bằng đệ quy với f(0) = -1, f(1) = 2 và n=1, 2, . a. f(n+1) = f(n) + 3 f(n-1). b. f(n+1) = (f(n)) 2 f(n-1). c. f(n+1) = 3 (f(n)) 2 -4(f(n-1)) 2 . d. f(n+1) = f(n-1)/f(n). 73. Hãy định nghĩa đệ quy của dãy {a n }, n = 1, 2, . nếu a. a n = 6n. b. a n = 2n + 1 c. a n = 10 n . d. a n = 5 e. a n = 4n - 2 f. a n =1 + (-1) n g. a n = n(n+1). h. a n = n 2 7 Bài tập Toán học rời rạc 74. Cho F là hàm sao cho F(n) là tổng của n số nguyên dơng đầu tiên. Hãy đa ra định nghĩa đệ quy của F(n). 75. Hãy đa ra định nghĩa đệ quy của S m (n), tổng của m số nguyên và n số nguyên không âm 76. Hãy đa ra định nghĩa đệ quy của P m (n) là tích của m số nguyên và n số nguyên không âm Trong các Bài tập từ 146-153 f n là số Fibonacci thứ n. 77. Chứng minh rằng f 1 2 + f 2 2 + . . . + f n 2 = f n f n+1 , với n nguyên dơng. 78. Chứng minh rằng f 1 + f 3 + . . . + f 2n-1 = f 2n , với n nguyên dơng. 79. *Chứng minh rằng f n+1 f n-1 - f n 2 = (-1) n , với n nguyên dơng. 80. *Chỉ ra rằng f 0 f 1 + f 1 f 2 + . . . + f 2n-1 f 2n = (f 2n ) 2 , với n nguyên dơng. 81. *Chỉ ra rằng f 0 - f 1 + f 2 - . . . - f 2n-1 + f 2n = f 2n-1 - 1, với n nguyên dơng. 82. Gọi S là tập đợc định nghĩa nh sau : 1 S, và s + t S nếu s S và t S. Chứng minh rằng S là tập các số nguyên dơng. 83. Cho định nghĩa đệ qui của : a. tập các số nguyên lẻ b. tập các luỹ thừa nguyên dơng của 3 c. tập các đa thức với hệ số nguyên 84. Chứng tỏ rằng một biểu thức đúng qui tắc gồm các số, các biến và các toán tử {+, -, x, /, } sẽ chứa cùng một số dấu mở ngoặc và dấu đóng ngoặc 85. Hãy định nghĩa một biểu thức đúng qui tắc của các tập hợp, các biến biểu diễn tập hợp, và các toán tử {, , } 86. Cho định nghĩa đệ qui của xâu đảo (là xâu w viết với thứ tự ngợc các kí tự). 87. Cho định nghĩa đệ qui xâu w i với i là số nguyên không âm (ghép i lần xâu w). 88. Cho định nghĩa đệ qui các xâu nhị phân thuận nghịch (đối xứng gơng). 89. Xác định tập A gồm các xâu nhị phân đợc định nghĩa : A, 0x1 A nếu x A, trong đó là xâu rỗng. 90. Cho định nghĩa đệ qui tập hợp các xâu nhị phân chứa bit 0 nhiều hơn bit 1. VI. Thuật toán đệ qui 91. Hãy cho thuật toán đệ qui tính nx với mọi n nguyên dơng và x nguyên. 92. Mô tả thuật toán đệ qui tìm x n mod m với n, x, m là các số nguyên dơng. 93. Đa ra thuật toán đệ qui tìm n! mod m với n, m là các số nguyên dơng. 94. Tìm thuật toán đệ qui tìm UCLN của các số nguyên không âm a, b (a < b) trong đó dùng đẳng thức UCLN(a, b) = UCLN(b, b-a). 95. Tìm thuật toán đệ qui tính n a 2 trong đó a là một số thực và n là một số nguyên dơng. (gợi ý : dùng đẳng thức 222 1 )a(a nn = + ). 8 Bài tập Toán học rời rạc 96. Tìm thuật toán đệ qui tìm số hạng thứ n của dãy đợc định nghĩa : a 0 = 1, a 1 = 2 và a n = a n-1 .a n-2 với n = 2, 3, 4, 97. Tìm thuật toán đệ qui tìm số hạng thứ n của dãy đợc định nghĩa : a 0 = 1, a 1 = 2, a 2 = 3 và a n = a n-1 + a n-2 + a n-3 với n = 3, 4, 5, 98. Tìm thuật toán đệ qui tìm số các phân hoạch của một số dơng theo định nghĩa đệ qui của nó. 99. Tìm thuật toán đệ qui tìm xâu nghịch đảo của xâu nhị phân 100. Cho định nghĩa đệ qui tìm xâu w i với i là số nguyên, w là xâu nhị phân. 9