Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 13 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
13
Dung lượng
852,31 KB
Nội dung
§2 TÍCH PHÂN Tiết 54 (Tiết 1/4) I Mục tiêu: Về kiến thức: - Hiểu tốn tính diện tích hình thang cong - Hiểu khái niệm tích phân ý nghĩa hình học Về kĩ năng: - Tính số tốn tích phân định nghĩa Về thái độ: - Giáo dục cho học sinh tính đồn kết, u thương, giúp đỡ lẫn Năng lực hướng tới: Năng lực tự học, sáng tạo II Phương pháp kĩ thuật dạy học: Phương pháp dạy học: Phương pháp đặt vấn đề, thuyết trình, hoạt động nhóm (nhỏ) Kĩ thuật dạy học: Kĩ thuật đặt câu hỏi, kỉ thuật tổng hợp kiến thức, kỉ thuật hợp tác III Chuẩn bị giáo viên học sinh: Chuẩn bị giáo viên: Giáo án, SGK, thước kẻ, phấn, hệ thống tập bổ trợ Chuẩn bị học sinh: Vở, SGK IV Tiến trình lên lớp: Hoạt động khởi động: y (C):y=f(x) a Tính diện tích hình vẽ sọc hình bên Hình thành kiến thức 2.1 Tìm hiểu tốn tìm diện tích hình thang cong Hoạt động học sinh giáo viên GV : Hình thành định nghĩa hình thang cong y (C):y=f(x) a x b GV : Có thể chia [a; b] thành đoạn nhỏ: cho đoạn nhỏ hàm số y = f(x) đơn điệu? y (C):y=f(x) F E Q P 1 a M N x x02 x b GV : Hướng dẩn để học sinh chứng minh S(x) x b Nội dung kiến thức I Khái niệm tích phân Diện tích hình thang cong a Hình thang cong : Cho y = f(x) có đồ thị (C) Giả sử y = f ( x) không âm liên tục [a; b] Phần hình phẳng giới hạn (C); trục hoành đường x = a ; x = b gọi hình thang cong b Tính diện tích hình thang cong Xét trường hợp y = f(x) không âm tăng [a; b] Giả sử A(a; f(a)) B(b; f(b)) ∈ (C) Lấy x∈[a; b] Gọi S(x) diện tích hình thang cong giới hạn (C); trục hồnh; đường thẳng vng góc trục hồnh điểm a điểm x Khi đó: “ S(x) nguyên hàm f(x) [a; b]” Định lý : Nếu y = f(x) hàm số liên tục, khơng âm [a; b] có đồ thị (C) F(x) nguyên hàm f(x) Gọi S diện tích giới hạn (C), trục hồnh đường thẳng vng góc trục hồnh a, b thì: S = F(b) – F(a) Ví dụ : Tính diện tích hình thang cong giới hạn y = x2, y = 0, x = x = Bài giải: nguyên hàm f(x) đoạn [a; b] Gọi Q(x; f(x)) va P(x0; f(x0)) ∈ (C) SMNPQ ? S(x0) – S(x) ? SMNEF SMNPQ = ? SMNEF = ? GV : Vậy mn tính diện tích hình thang cong ta cần biết yếu tố ? x3 Gọi F(x) = nguyên hàm y = x2 đoạn [1; 2] Khi đó: S = F(2)- F(1) = 7/3 2.2 Tìm hiểu định nghĩa tích phân Hoạt động học sinh giáo viên Nội dung kiến thức GV : Giới thiệu định nghĩa tích phân kí Định nghĩa tích phân : SGK b hiệu b ∫ f ( x ) dx = F ( x ) a = F ( b ) − F ( a ) a GV : Từ định nghĩa hướng dẫn học sinh rút Trong : a : cận ; b : cận ý Chú ý : a b a HS : Rút kết luận dựa hd gv f x dx = f x dx = − ∫a ( ) ∫a ( ) ∫b f ( x ) dx + ;+ + Tích phân không phụ thuộc vào biến số GV : Cho học sinh vài ví dụ tích phân Ví dụ : Tính a) ∫ xdx = x 2 e ∫ t dt = ln t e = −1 = ; = 1− = b) GV : Dựa vào định nghĩa rút ý nghĩa hình f ( x) học tích phân * Ý nghĩa hình học tích phân : Nếu hàm số b ∫ f ( x ) dx liên tục không âm đoạn [a ; b], a diện tích hình thang cong giới hạn đồ thị f(x), trục Ox hai đường thẳng x = a ; x = b Luyện tập: Hướng dẫn học sinh học nhà: a Hướng dẫn học cũ: + Xem lại định nghĩa tích phân ý + Xem lại tính chất nguyên hàm + Vận dụng làm tập phần củng cố b Chuẩn bị mới: + Tìm hiểu tích phân có tính chất ? §2 TÍCH PHÂN Tiết 55 (Tiết 2/4) I Mục tiêu: Về kiến thức: - Hiểu rõ tính chất tích phân - Hiểu cách tìm tích phân hàm số chứa trị tuyệt đối Về kĩ năng: - Vận dụng tính chất để tính tích phân đơn giản - Tính tích phân hàm chứa dấu trị tuyệt đối Về thái độ: - Giáo dục cho học sinh tỉ mĩ, cần cù, đoàn kết Năng lực hướng tới: Năng lực tự học, sáng tạo II Phương pháp kĩ thuật dạy học: Phương pháp dạy học: Phương pháp đặt vấn đề, thuyết trình, hoạt động nhóm (nhỏ) Kĩ thuật dạy học: Kĩ thuật đặt câu hỏi, kỉ thuật tổng hợp kiến thức, kỉ thuật hợp tác III Chuẩn bị giáo viên học sinh: Chuẩn bị giáo viên: Giáo án, SGK, thước kẻ, phấn, hệ thống tập bổ trợ Chuẩn bị học sinh: Vở, SGK IV Tiến trình lên lớp: Hoạt động khởi động: Hình thành kiến thức: 2.1 Tìm hiểu tính chất & tích phân Hoạt động giáo viên học sinh Nội dung kiến thưc GV : Tương tự nguyên hàm giáo viên yêu cầu II Tính chất tích phân : học sinh tìm tính chất tích phân Tính chất b + ∫ kf ( x ) dx = kF ( a ) − kF ( b ) b a + a = F ( a ) ± G ( a ) − F ( b ) ± G ( b ) = F ( a ) − F ( b ) ± G ( a ) − G ( b ) b a a a b b b a a a ∫ f ( x ) ± g ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx ± ∫ g ( x ) dx ∫ f ( x ) ± g ( x ) dx b a Tính chất b = ∫ f ( x ) dx ± ∫ g ( x ) dx b ∫ kf ( x ) dx = k ∫ f ( x ) dx a = k F ( a ) − F ( b ) = k ∫ f ( x ) dx b Ví dụ : Tính : x3 x + x dx = + x ÷ = 35 ∫1 1 a) ; 2 2 ∫0 x ( x − 1) dx = ∫0 ( x − x + x ) dx = b) ; ( ) π π HS : Thực theo hướng dẫn giáo viên π π 2 GV : Vận dụng tính chất u cầu học sinh tìm ∫ sin − x ÷ dx = cos − x ÷ = tích phân c) ; HS : Nghiêm túc làm ∫0 ( x + 1) dx = 40 d) ; 2π e) ∫ cos 3x − π 2π ÷dx = − 2.2 Tìm hiểu tính chất Hoạt động giáo viên học sinh Nội dung kiến thưc GV : Hướng dẫn học sinh nhận biết tính chất Tính chất c b Từ bêu phương pháp tính tích phân chứa b f x dx = f x dx + hàm trị tuyệt đối ∫a ( ) ∫a ( ) ∫c f ( x ) dx ( a < c < b ) HS : Tiếp thu b Phương pháp tính tích phân ∫ f ( x ) dx a f ( x) = + Tìm nghiệm phương trình khoảng (a ; b) Giả sử nghiệm x1 ; x2 ; xn + Khi : b f ( x ) dx = ∫ GV : Nêu số ví dụ minh họa a x1 ∫ f ( x ) dx + a x2 ∫ f ( x ) dx + + x1 b ∫ f ( x ) dx xn Ví dụ : Tính : a) ∫x − dx x = 1∈ ( 0; ) x2 −1 = ⇔ x = −1∉ ( 0; ) Ta có : Vậy : 2π b) ∫ ∫ 0 Vậy : ∫ ( x − 1) dx + − cos xdx = Ta có : Luyện tập: x − dx = 2π ∫ ∫( x − 1) dx 2π 2sin xdx = ∫ sin x dx sin x = ⇔ x = π ( ∀x ∈ ( 0; 2π ) ) 2π π 2π 0 π ∫ sin x dx = ∫ sin xdx + ∫ sin xdx Hướng dẫn học sinh học nhà: a Hướng dẫn học cũ: + Xem lại ví dụ giải giải lại chúng + Vận dụng làm tập phần củng cố b Chuẩn bị mới: + Xem lại phương pháp tính nguyên hàm đổi biến số để suy phương pháp tính tích phân §2 TÍCH PHÂN Tiết 56 (Tiết 3/4) I Mục tiêu: Về kiến thức: - Hiểu phương pháp tính tích phân đổi biến số Về kĩ năng: - Tính số tích phân đơn giản phương đổi biến số Về thái độ: - Giáo dục cho học sinh tính cẩn thận, xác, u thích mơn học Năng lực hướng tới: Năng lực tự học, sáng tạo II Phương pháp kĩ thuật dạy học: Phương pháp dạy học: Phương pháp đặt vấn đề, thuyết trình, hoạt động nhóm (nhỏ) Kĩ thuật dạy học: Kĩ thuật đặt câu hỏi, kỉ thuật tổng hợp kiến thức, kỉ thuật hợp tác III Chuẩn bị giáo viên học sinh: Chuẩn bị giáo viên: Giáo án, SGK, thước kẻ, phấn, hệ thống tập bổ trợ Chuẩn bị học sinh: Vở, SGK IV Tiến trình lên lớp: π ∫x − dx Hoạt động khởi động: HS1 Tính ; HS2 Tính Hình thành kiến thức: 2.1 Tìm hiểu phương pháp đổi biến số loại Hoạt động giáo viên học sinh GV : Yêu cầu học sinh làm hoạt động SGK Qua tương tự phương pháp đổi biến số nguyên hàm gv nêu phương pháp tính nguyên hàm : t = u ( x) x = u( t) + Đặt ẩn ( hay ) + Đổi cận + Chuyển tích phân sang ẩn tính tích phân HS : Tiếp thu GV : Phân tích định lý (SGK), qua giới thiệu phương pháp đổi biến số loại 1, đặt x = u( t) Ví dụ : dx I =∫ + x2 b) π π x = tan t , t ∈ − ; ÷ 2 Đặt tacó : dx = ( + tan t ) dt Đổi cận : x = t = ; x = π Vậy Chú ý : π + tan t dt = ∫ dt = t + tan t 0 I =∫ π = t= π π − + cos 2xdx Nội dung kiến thưc III Phương pháp tính tích phân Phương pháp đổi biến số Định lý : (SGK) Tóm tắt : Nếu x = u( t) [α; β ] + Hàm có đạo hàm liên tục đoạn f u( t) ) [α; β ] + Hàm hợp ( xác định u ( α ) = a; u ( β ) = b + b Thì Ví dụ : Tính ∫ a β f ( x ) dx = ∫ f ( u ( t ) ) u ′ ( t ) dt α a) I = ∫ − x dx π π x = 2sin t , t ∈ − ; 2 ta có : dx = cos tdt Đặt Đổi cận : + x = t = π t= + x = π Vậy ∫π π I = ∫ − 4sin t cos tdt = ∫ cos tdt 0 π cos 2t + 1 dt = sin 2t + t ÷ = π 2 0 = 4∫ Dấu hiệu : a2 + x2 π π x = a tan t , t ∈ − ; 2 a + x2 Chú ý : π π x = a sin t , t ∈ − ; a − x đặt 2 đặt Dấu hiệu : 2.2 Tìm hiểu phương pháp đổi biến số loại Hoạt động giáo viên học sinh Nội dung kiến thưc GV : Phân tích ghi nêu phương pháp đổi u = u ( x) Định lý : Nếu hàm số đơn điệu có đạo hàm biến số dạng [ a; b ] cho : HS : Tiếp thu : liên tục đoạn GV : Hướng dẫn học sinh làm ví dụ f ( x ) dx = g ( u ( x ) ) u ′ ( x ) dx = g ( u ) du dt = xdx t = + x a) Đặt ta có : u( b) b Từ câu a) rút ý cách đổi biến số đối ∫ f ( x ) dx = ∫ g ( u ) du với hàm số có chứa lũy thừa u( a ) a Ví dụ : Tính x I =∫ dx (1+ x ) a) Đặt t = + x ta có : dt = xdx Đổi cận : x = t = ; x = t = 2 I= b) Đặt t = sin x ta có : dt = cos xdx 1 dt = − ∫ 21t 4t = 16 Vậy : Hàm số có chứa lũy thừa đặt t = biểu thức dấu lũy thừa π I = ∫ sin x cos xdx b) Đặt t = sin x ta có : dt = cos xdx π x= Đổi cận : x = t = ; 1 u3 t dt = = ∫0 3 Vậy Luyện tập: π u ÷= 2 Hướng dẫn học sinh học nhà: a Hướng dẫn học cũ: + Làm tập số SGK + Vận dụng làm tập phần củng cố b Chuẩn bị mới: + Xem trước phương pháp tính tích phân phần §2 TÍCH PHÂN Tiết 57 (Tiết 4/4) I Mục tiêu: Về kiến thức: - Hiểu phương pháp tính tích phân phần Về kĩ năng: - Tính số tích phân phần đơn giản Về thái độ: - Giáo dục cho học sinh tính cẩn thận, xác, u thích mơn học Năng lực hướng tới: Năng lực tự học sáng tạo II Phương pháp kĩ thuật dạy học: Phương pháp dạy học: Phương pháp đặt vấn đề, thuyết trình, hoạt động nhóm (nhỏ) Kĩ thuật dạy học: Kĩ thuật đặt câu hỏi, kỉ thuật tổng hợp kiến thức, kỉ thuật hợp tác III Chuẩn bị giáo viên học sinh: Chuẩn bị giáo viên: Giáo án, SGK, thước kẻ, phấn, hệ thống tập bổ trợ Chuẩn bị học sinh: Vở, SGK IV Tiến trình lên lớp: Hoạt động khởi động: e2 ∫ dx x ln x HS1 Tính e ; HS2 Hình thành kiến thức: ∫x 4x + dx + x +1 Tìm hiểu phương pháp tính tích phân phần Hoạt động giáo viên học sinh GV : Tương tự phương pháp tính nguyên hàm phân giáo viên dẫn dắt đến định lý HS : Học sinh tiếp thu GV : Tương tự nguyên hàm phần yêu cầu học sinh nêu phương pháp tính tích phân phần HS : Trả lời GV : Nhận xét hoàn chỉnh f ( x) g ( x) Lưu ý cho học sinh Q( x ) P ( x) log a Q ( x ) loại hàm : ; a ; ; sin ( Q ( x ) ) cos ( Q ( x ) ) P ( x) Với Q ( x) hàm đa thức GV : Thứ tự ưu tiên chọn u ? Nội dung kiến thưc Phương pháp tính tích phân phần u = u ( x) v = v ( x) Định lý : Nếu hai hàm số có [ a; b] đạo hàm liên tục đoạn b ∫ u ( x).v '( x)dx = u( x).v( x) b a a b Hay : *Phương pháp : ∫ u.dv = u.v a b − ∫ v( x).u '( x)dx a b a b − ∫ v.du a b + Viết tích phân dạng u = f ( x ) dv = g ( x ) dx + Đặt ta có b ∫ f ( x ) g ( x ) dx a du = f ′ ( x ) dx v = ∫ g ( x ) dx (choïn C = 0) b ∫ u.dv = u.v a − ∫ v.du b a + Tính a *Chú ý : Thứ tự ưu tiên chọn u : Nhất lơ, nhì đa, tam lượng, tứ mũ Luyện tập Hoạt động giáo viên học sinh GV : Hướng dẫn học sinh vận dụng phương Ví dụ : Tính pháp để tính tích phân phương pháp I = ∫ xe x dx phần a) Lưu ý : thứ tự ưu tiên chọn u Nội dung kiến thưc f ( x) = x g ( x) = ex u = x du = dx Câu a) ; x dv = e dx v = ex u = x du = dx Đặt ta có 1 dv = e x dx v = ex x Đặt ta có I = xe − ∫ e x dx = e − e x = 0 f ( x ) = cos x g ( x ) = e x Vậy Câu b) ; π u = cos x du = − sin xdx I = e x cos xdx x x ∫ dv = e dx v=e Đặt ta có b) Xuất tích phân giải u = cos x du = − sin xdx phương pháp phần x dv = e dx v = ex Đặt ta có Vậy Đặt π π π 0 I = e x cos x + ∫ e x sin xdx = + ∫ e x sin xdx u = sin x x dv = e dx ta có du = cos xdx x v = e π Khi : π π π x x x ∫ e sin xdx = e sin x − ∫ e cos xdx = e − I 0 π π π e +1 I = + e − I ÷⇔ 2I = e + ⇔ I = Do : Củng cố: - Nhắc lại phương pháp tính tích phân phần - Nhắc lại thứ tự ưu tiên chọn u thích hợp - Vận dụng tính : π ∫ ( x + 1) sin xdx e2 ∫ ( x − 1) ln xdx ∫( x a ; b e ; c Hướng dẫn học sinh học nhà: a Hướng dẫn học cũ: + Xem lại ví dụ giải giải lại chúng + Vận dụng làm tập phần củng cố + Làm tập 4,5,6 SGK I = ∫ x ( x + e x ) dx − 1) e x dx π e ln x dx x ; d ∫ ∫ ( sin x + e ) xdx + Bài tập nhà : Tính a) ; b) b Chuẩn bị mới: + Xem lại phương pháp tính nguyên hàm tiết sau luyện tập 0 e x2 ; c) ∫ ( x + 1) ln xdx BÀI TẬP §2 Tiết 58 I Mục tiêu: Về kiến thức: - Hiểu cách tính tích phân phương pháp đổi biến số - Hiểu cách tính tích phân phương pháp phần Về kĩ năng: - Tính thành thạo tích phân phương pháp đổi biến số - Tính thành thạo tích phân phương pháp phần Về thái độ: - Giáo dục cho học sinh tính cẩn thận, xác, u thích mơn học Năng lực hướng tới: Năng lực tự học sáng tạo II Phương pháp kĩ thuật dạy học: Phương pháp dạy học: Phương pháp đặt vấn đề, thuyết trình, hoạt động nhóm (nhỏ) Kĩ thuật dạy học: Kĩ thuật đặt câu hỏi, kỉ thuật tổng hợp kiến thức, kỉ thuật hợp tác III Chuẩn bị giáo viên học sinh: Chuẩn bị giáo viên: Giáo án, SGK, thước kẻ, phấn, hệ thống tập bổ trợ Chuẩn bị học sinh: Vở, SGK IV Tiến trình lên lớp: Hoạt động khởi động: HS1 Nhắc lại phương pháp tính tích phân phương pháp đổi biến số nêu số dạng đặt t HS2 Nhắc lại phương pháp tính tích phân phương pháp phần nêu thứ tự ưu tiên chọn u Luyện tập: 2.1 Tính tích phân phương pháp đổi biến số Hoạt động giáo viên học sinh GV : Yêu cầu học sinh làm tập sau : Câu Tính I= a) ∫ π x dx x + ; b) π c) sin x dx cos x I =∫ Nội dung kiến thưc BÀI TẬP Câu sin x I =∫ dx + cos x I= ; ; d) I = ∫ − x dx ; a) dx + x2 ∫ x2 + = ∫ x xdx x2 + 2 Đặt t = x + ⇔ t = x + ta có tdt = xdx Đổi cận : x = t = ; x = t = I =∫ x 3dx Vậy I =∫ (t − 1) tdt t t3 = ∫ ( t − 1) dt = − t ÷ = 1 2 e) π π 4 HD : Các tập tính sin x cos x I=∫ dx = ∫ sin xdx phương pháp đổi biến số loại + cos x + cos x 0 a) b) 3 Đặt t = + cos x ta có dt = − sin xdx x dx x xdx I=∫ =∫ π x + x2 + x= t = Đổi cận : x = t = ; 2 2 Đặt t = x + ⇔ t = x + ta có tdt = xdx 2 ( t − 1) ( − dt ) 1 I =∫ = 2∫ 1 − ÷dt = ( t − ln t ) b) t t π π 1 Vậy 4 sin x cos x = − ln I=∫ dx = ∫ sin xdx π π + cos x + cos x 0 4 sin x − cos x I =∫ dx = Đặt t = + cos x ta có dt = − sin xdx ∫0 cos2 x sin xdx cos x c) c) π π Đặt t = cos x ta có dt = − sin xdx 4 sin x − cos2 x π I=∫ dx = ∫ sin xdx x= t= cos x cos2 x 0 Đổi cận : x = t = ; t = cos x dt = − sin xdx Đặt ta có HS : Nghiêm túc làm GV : Nhận xét cho điểm có 1− t t2 I =∫ 1 ( −dt ) = ∫ − 1÷dt = − − t ÷ = −1 t 1t Hoạt động giáo viên học sinh GV : Yêu cầu học sinh làm tập sau : Câu Tính : e ln x ∫1 x ln xdx ∫1 x5 dx a) ; b) ; c) I = ∫ x ( x + e x ) dx π ( π ∫ x cos xdx ) I = ∫ sin x + e x xdx Nội dung kiến thưc Câu e a) ; 2 Vậy 2.2 Tính tích phân phương pháp phần I = ∫ x ln xdx dx du = x u = ln x v = x Đặt dv = xdx ta có 0 d) ;e) e e HD : Các tập giải x2 e2 x e2 + I = ln x − xdx = − = phương pháp phần 2 ∫1 4 Vậy u = ln x ln x a) Đặt dv = xdx ∫1 x5 dx b) u = ln x dx du = dv = dx u = ln x x x5 b) Đặt v = − u = x dv = x dx 4x4 Đặt ta có 2 c) Đặt dv = cos xdx ln x dx 15 − 4ln I =− + ∫ = HS : Làm nghiêm túc 4x x 256 GV : Nhận xét cho điểm Vậy π c) ∫ x cos xdx u = x Đặt dv = cos xdx ta có Vậy π π du = dx v = sin x I = x sin x − ∫ sin xdx = π π π + cos x 02 = − 2 Củng cố: - Nhắc lại phương pháp tính tích phân đổi biến số, pương pháp tính tích phân phần - Nhận dạng phương pháp tính tích phân sau: sin x e I = dx + 3ln x ln x sin x ∫ I1 = ∫ x ( + x ) dx I = e sin x cos xdx I = dx π ( + sin x ) ∫ ∫ − x ; ; ; Hướng dẫn học sinh học nhà: a Hướng dẫn học cũ: + Làm tập lại SGK Xem lại tập giải b Chuẩn bị mới: + Xem lại ý nghĩa hình học tích phân Nghiên cứu cách tính diện tích hình phẳng : “Ứng dụng tích phân hình học”