Sở GD&ĐT NghệAn Kì thi chọn học sinh giỏi tỉnh Năm học 2007-2008 Môn thi: toán lớp 9 - bảngB Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Bài 1: (5,0 điểm) a. Tìm các số tự nhiên có 3 chữ số, biết rằng: số đó là số chẵn, chia hết cho 11 và tổng các chữ số của số đó cũng chia hết cho 11. b. Chứng tỏ rằng: 3 3 7 50 7 50 + + là số tự nhiên. Bài 2: (3,0 điểm) Giải phơng trình: 2 2 4x 5x 1 3 2 x x 1 9x+ + + = + + Bài 3: (3,0 điểm) Cho a, b là các số thực không âm thoả mãn: a 2 + b 2 = 1. Chứng minh : 1 a + b 2 Bài 4: (3,0 điểm) Cho 3 số thực x, y, z thoả mãn xyz = 1. Chứng minh rằng: Nếu x + y + z > 1 1 1 x y z + + thì trong ba số x, y, z có duy nhất một số lớn hơn 1. Bài 5: (6,0 điểm) Cho đờng tròn tâm O đờng kính AB và dây cung CD (C, D không trùng với A, B). Gọi M là giao điểm các tiếp tuyến của đờng tròn tại C, D; N là giao điểm các dây cung AC, BD. Đờng thẳng qua N vuông góc với NO cắt AD, BC lần lợt tại E, F. Chứng minh: a. MN vuông góc với AB. b. NE = NF. ---------Hết--------- Họ và tên: .Số báo danh: . Đề chính thức Sở GD&ĐT NghệAn Kì thi chọn học sinh giỏi tỉnh Năm học 2007-2008 Hớng dẫn chấm và biểu điểm đề chính thức Môn: toán lớp 9 - bảngB Nội dung Điểm Bài 1 5,0 a, 2.5 Gọi số cần tìm là abc (a, b, c N; a, b, c 9, a 0) (1) Theo bài ra ta có: + + + + M M 100a 10b c 11 (2) a b c 11 (3) c chẵn (4) 0.5 Từ (2) , (3) 101a + 11b + 2c M 11 2(a + c) M 11 mà 1 a+ c 18 và (2; 11) = 1 a + c = 11 (5) 0.5 Từ (3) , (5) b = 0 0.5 do c chẵn và a + c = 11 (a; c) = (9; 2), (7;4), (5; 6), (3; 8) 0.5 Vậy các số cần tìm là 902; 704; 506; 308 0.5 b 2.5 Đặt X = 3 3 7 50 7 50 + + X 3 = 14 3X 0.5 X 3 + 3X 14 = 0 (X-2)(X 2 + 2X + 7) = 0 0.5 Do: X 2 + 2X + 7 >0 0.5 X-2 = 0 X=2 0.5 Nên: 3 3 7 50 7 50 + + =2 hay 3 3 7 50 7 50 + + là số tự nhiên 0.5 Bài 2: 3.0 Điều kiện xác định: {x -1 hoặc 1 x 4 } Đặt 2 2 4x 5x 1 a, (a 0) 2 x x 1 b, (b 0) + + = + = 2 2 2 2 4x 5x 1 a 4x 4x 4 b + + = + = 0.5 a 2 b 2 = a - b (a-b)(a+b-1) =0 0.5 Do b = 2 4x 4x 4 + b 3 0.5 a + b 1 > 0 a b =0 0,5 Từ a b =0 9x 3 = 0 1 x 3 = 0.5 Với 1 x 3 = thoả mãn bài ra, nên nghiệm phơng trình là: 1 x 3 = 0.5 Bài 3 3.0 Với x, y là 2 số bất kỳ ta luôn có (x + y) 2 2(x 2 + y 2 ) 0.5 Nên a, b 0 và a 2 + b 2 =1 (a+b) 2 2 0.5 a+b 2 (dấu = khi a=b= 1 2 ) 0.5 Mặt khác (a+b) 2 = a 2 + b 2 +2ab = 1+ 2ab (a + b) 2 1 0.5 Mà a, b 0 a+ b 1 (dấu = xẩy ra khi (a, b) = (1,0) hoặc (0,1)) 0.5 Vậy ta luôn có 1 a+b 2 0.5 Bài 4 3.0 Xét tích (x 1) (y - 1)(z 1) = xyz xy yz zx + x + y + z 1 = x + y + z - 1 1 1 x y z 0.5 mà x + y + z > 1 1 1 x y z + + (x 1)(y 1)(z 1) >0 0.5 nếu cả 3 thừa số (x 1), (y 1), (z 1) đều dơng xyz > 1 (loại) 0.5 nếu cả 3 thừa số (x 1), (y 1), (z 1) đều âm (x 1)(y 1)(z 1)<0 Nếu 2 thừa số dơng, 1 thừa số âm (x 1)(y 1)(z 1)<0 (loại) 0.5 Nên phải có 2 thừa số âm, 1 thừa số dơng trong 3 số x, y, z có hai số bé hơn 1. Còn một số lớn hơn 1. 0.5 Vậy trong 3 số x, y, z luôn có duy nhất một số lớn hơn 1. 0.5 Bài 5 6.0 0.5 a Gọi P là giao điểm của AD và BC N là trực tâm của tam giác PAB PN AB 0.5 Gọi giao điểm của tiếp tuyến tại D với PN là M . Do góc PDM = góc ABD (1/2 số đo cung AD) ã ã PDM' DPM'= 0.5 Tam giác MPD cân tại M 0.5 MP = MD M là trung điểm đoạn PN 0.5 Tơng tự tiếp tuyến tại C cũng cắt PN tại M 0.5 Do đó M trùng M MN AB 0.5 Q P C M B O N E H D A F b. Trên tia đối của tia DB lấy điểm Q sao cho DQ=DB QA//NO 0.5 QA NE A là trực tâm tam giác QEN 0.5 NA QE (tại H) 0.5 HNQ = CNB NH = NC 0.5 HNE = CNF NE=NF 0.5 Chú ý: - Tổng điểm toàn bài là: 20,0 điểm. - Các cách giải khác cũng đợc cho điểm tơng đơng - Bài 5 không vẽ hình hoặc vẽ hình sai cơ bản thì không chấm. . 2 b 2 = a - b (a -b) (a +b- 1) =0 0.5 Do b = 2 4x 4x 4 + b 3 0.5 a + b 1 > 0 a b =0 0,5 Từ a b =0 9x 3 = 0 1 x 3 = 0.5 Với 1 x 3 = thoả mãn b i. (a +b) 2 = a 2 + b 2 +2ab = 1+ 2ab (a + b) 2 1 0.5 Mà a, b 0 a+ b 1 (dấu = xẩy ra khi (a, b) = (1,0) hoặc (0,1)) 0.5 Vậy ta luôn có 1 a +b 2 0.5 B i