Chuyên đề số phức

Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán học – Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) ep u rpor oc oc m o n/đềw 9: w thttpt:pChuyê /://w w ww tSỐ.atPHỨialCii lei u http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c h t t p : / / w w w t a i l i e u p r o c http://www.tailieupro.c t ph :t /t /pw: /w/ w w tw a i lt iaei ul iperuop cr oo mc http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c A PHƯƠNG PHÁP GIẢI SỐ PHỨC z = a + ib với i2 = 1 a, b  a phần thực b phần ảo Số phức liên hợp z là: z  a  ib MÔĐUN z = a + ib (a; b  ) Môđun: z  a2  b2  zz BIỂU DIỄN HÌNH HỌC: z = a + ib (a, b  ) M(a; b) ảnh z: OM  r  a2  b2 môđun z (Ox,OM)   + k 2 Argument z, argz = DẠNG LƯNG GIÁC z = r(cos + isin) z = rei r = z  = argz CÁC PHÉP TOÁN VỀ SỐ PHỨC  Phép coäng: z1 + z2 = (a1 + a2) + i(b1 + b2)  Phép trừ: z1  z2 = (a1  a2) + i(b1  b2)  Phép nhân: z1.z2 = (a1a2 + b1b2) + i(a1b2 + a2b1)  Pheùp chia: z1 z1 z2 a1a2  b1b2  i(a1b2  a2 b1 )   z2 z2 a12  b12 Với dạng lượng giác: z1z2 = rr'[cos( + ) + isin( + )] = rr'ei( + ) z1 r r  cos(  )  isin(  )  ei() z2 r  r LŨY THỪA SỐ PHỨC z = r (cos + isin) zn = rn(cosn + isinn) công thức de Moirve zn =rnein CĂN BẬC n z = r (cos + isin) = rei (r > 0)    k2n    k2n   n z  n r  cos     isin    n  n   n  n n z  n re   k2n  i   n n  281 Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán học ep u rpor oc oc m o thttpt :p/://w/ w ww ww t.at ial ii lei u http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c h t t p : / / w w w t a i l i e u p r o c http://www.tailieupro.c h t t p  : // w   w  t a i l i e u p r o c  w   w t a  i l i e u p r o c h t t p : / / w w http://www.tailieupro.c t ph :t /t /pw: /w/ w w tw a i lt iaei ul iperuop cr oo mc http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c B ĐỀ THI Bài 1: ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2011 Tìm tất số phức z, biết z2  z  z Giải Giả sử z = x + yi với x, y  R Ta coù: z2  z  z  (x  iy)2  x2  y2  x  iy  x2  y2  2xyi  x2  y2  x  yi x  2y2   x2  y2  x  x2  y2     y  2xy y   x     1   4y2  x   x   x  x           y    y   x   y   y       1 1 Vaäy z  0, z    i, z    i 2 2 Bài 2: ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2011 Tính môđun số phức z, bieát 2z  1  i  z  1  i   2i Giải Giả sử z = x + yi với x, y  R Ta coù: 2z  1  i  z  1  i   2i  2 x  yi  1  i   x  yi  1  i   2i   x  3x  3y  1    Suy ra: z =  i 3 x  y  y    Do đó: z  1   9 Bài 3: ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2011 Tìm số phức z, biết z  5 i 1  z Giaûi Giaû sử z = x + yi 282 Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán học – Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) ep u rpor oc oc m o thttpt :p/://w/ w ww ww t. at ia l ii lei u h t t p : / / w w w   t a  p r o c o  i l i e u http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co h t t p : / / w w w t a i l i e u p r o c o http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c h t t p : / / w w w t a i l i e u p r o c t ph :t /t /pw: /w/ w w tw a i lt iaei ul iperuop cr oo mc   http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c Ta coù: z  5 i    zz   i  z  z  x2  y2   i  x  yi   x2  y2  x   y  i  2  x  y  x   x  x   x  1  x     y    y   y   Vaäy z  1  i hoaëc z   i Bài 4: ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2011 1 i  Tìm phần thực phần ảo số phức z     1 i  Giải Cách 1: Ta có: z =  3i  9i2  3i3 =  3i   3i 4 4 i  = = =2 + 2i  3i   i i 1 i 1  3i  3i  i Vậy số phức z có phần thực phần ảo Cách 2: Có thể giải cách chuyển dạng lượng giác sau:        cos  i sin     = 2 cos   isin  Ta coù: z    3 3     cos  i sin   cos  isin    4 4      3  3     = 2  cos      isin      = 2  cos  isin    2i 4 4       Bài 5: ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2011 Tìm số phức z, biết z   3i z   9i Giaûi Gọi z = x + yi với x, y  R Ta coù: z   3i z   9i  (x + yi) – (2 + 3i)(x – yi) = – 9i  (x + yi) – (2x – 2yi + 3xi + 3y) = – 9i x  3y  x   (–x – 3y) + (3y – 3x)i = – 9i    3y  3x  9 y  1 Vaäy z = – i Bài 6: CAO ĐẲNG KHỐI A, B, D NĂM 2011 Cho số phức z thoả mãn (1+2i)2z + z = 4i – 20 Tính môđun z 283 Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán học ep u rpor oc oc m o thttpt :p/://w/ w ww ww t.at ial ii lei u http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co h t t p : / / w w w t a i l i e u p r o c o http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c t ph :t /t /pw: /w/ w w tw a i lt iaei ul iperuop cr oo mc http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c Giải Đặt z = a + bi Ta coù: (3  4i) a  bi  a  bi  4i  20  3a  3bi  4ai  4b  a  bi  4i  20 2a  4b  20 a  2b  10 a     4a  4b  a  b  b  Vaäy z = + 3i  z  Baøi 7: CAO ĐẲNG KHỐI A, B, D NĂM 2011 Cho số phức z thỏa mãn z2 – 2(1 + i)z +2i = Tìm phần thực phần ảo z Giải Ta có: z2  2(1  i)z  2i   z   i Vaäy phần thực 0 z=1+i  1 i   z 2 1 laø phần ảo – 2 z Bài 8: ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2010 Tìm phần ảo số phức z, biết z  (  i)2 (1  2i) Giải Ta có: z  (  i)2 (1  2i) = (1  2i)(1  2i) =  2i  z   i  Phần ảo số phức z  Bài : ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2010 Cho số phức z thỏa mãn z  (1  3i)2 Tìm môđun số phức z  iz 1 i Giải       Ta coù: (1  3i)   cos     isin           (1  3i)3  cos()  isin() = 8  z  8 8(1  i)   4  4i 1 i  z  iz  4  4i  i(4  4i) = 8(1  i)  z  iz  Baøi 10: ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2010 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn: z  i  (1  i)z Giải Giả sử z = x + yi (với x, y  ) 284 Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán học – Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) ep u rpor oc oc m o thttpt :p/://w/ w ww ww t.at ial ii lei u http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c h t t p :’ =/ -9/=w w trìnht a i l i e u p r o c 9i dow phương hay z = z = -1 + 3i h ttzAp= =z z:= -1/ –+/3izw w+ (1.+ t9) =a20 i l i e u p r o c  =w (1 + 9) h t t p : / / w w  w t a i l i e u p r o c http://www.tailieupro.c h t t p : / / w w w tailieupro.c     t ph :t /t /pw: /w/ w w tw a i lt iaei ul iperuop cr oo mc http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c Suy : z  i  x  (y  1)i vaø (1+ i)z = (1 + i)(x + yi) = (x – y) + (x + y)i Ta coù z  i  (1  i)z  x2  (y  1)2  (x  y)2  (x  y)2  x2 + (y2 – 2y + 1) = (x2 + y2)  x2 + y2 + 2y – =  x2 + (y + 1)2 = Vaäy tập hợp điểm biểu diễn số phức z mặt phẳng tọa độ Oxy đường tròn tâm I(0; –1) có bán kính R = Bài 11: ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2010 Tìm số phức z thoả mãn z  z2 số ảo Giải Đặt z = a + bi (với a, b  )  z = a2 – b2 + 2abi 2   a  b  a  Từ giả thiết ta có hệ phương trình   2 a  b  b      Vaäy: z1   i, z2   i, z3  1  i, z4  1  i Bài 12: ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2009 Gọi z1 z2 nghiệm phức phương trình: z2 + 2z + 10 = Tính giá trò biểu thức A = z12 + z22 Giải Ta có: 2 2 Bài 13: ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2009 Tìm số phức z thỏa mãn: z   i  10 z.z  25 Giải Gọi z = x + yi (với x, y  ) suy z – (2 + i) = (x – 2) + (y – 1)i Ta coù z   i  10  x  2  y 1 z.z  25  x2  y2  25  10 (1) Giải hệ (1) (2) ta được: (x; y) = (3; 4) hoaëc (x; y) = (5; 0) Vậy: z = + 4i z = Bài 14: CAO ĐẲNG KHỐI A, B, D NĂM 2010 Cho số phức z thỏa mãn điều kiện (2 – 3i)z + (4 + i) z = – (1 + 3i)2 Tìm phần thực phần ảo z Giải 285 Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán hoïc ep u rpor oc oc m o thttpt :p/://w/ w ww ww t.at ial ii lei u http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c h t t p : / / w w w t a i l i e u p r o c t ph :t /t /pw: /w/ w w tw a i lt iaei ul iperuop cr oo mc http://www.tailieupro.c h t t p : / / w w w   t a i l i e u p r o c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c Goïi z = x + yi (x, y  ) Ta coù (2 – 3i)z + (4 + i) z = – (1 + 3i)2  (2 – 3i)(x + yi) + (4 + i)(x – yi) = – 6i  (6x + 4y) – (2x + 2y)i = – 6i  6x + 4y = vaø 2x + 2y =  x = –2 y = Vậy phần thực z –2 phần ảo z Bài 15: CAO ĐẲNG KHỐI A, B, D NĂM 2010 Giải phương trình z2 – (1 + i)z + + 3i = tập hợp số phức Giải Ta coù:  = –24 – 10i = (1 – 5i) Do z2 – (1 + i)z + + 3i =  z = – 2i hay z = 3i Bài 16: TNPT NĂM 2010 Cho hai số phức z1 = + 2i z2 = – 3i Xác đònh phần thực phần ảo số phức z1 – 2z2 Giải Ta coù: z1 – 2z2 = (1 + 2i) – 2(2 – 3i) = 3 + 8i Suy số phức z1 – 2z2 có phần thực 3 phần ảo Bài 17: TNPT NĂM 2010 Cho hai số phức z1 = + 5i z2 = – 4i Xác đònh phần thực phần ảo số phức z1.z2 Giải Ta có: z1z2 = (2 + 5i) (3 – 4i) = – 8i + 15i – 20i2 = 26 + 7i  số phức z1z2 có phần thực 26 phần ảo Bài 18: ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2009 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện z   4i  Giải Đặt z = x + yi (x, y  ); suy z – + 4i = (x – 3) + (y + 4)i Từ giả thiết, ta có: x3  y4   x3  y4 4 Tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường tròn tâm I(3; 4) bán kính R = Bài 19: CAO ĐẲNG KHỐI A, B, D NĂM 2009 286 Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán học – Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) ep u rpor oc oc m o thttpt :p/://w/ w ww ww t.at ial ii lei u http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co h t t p : / / w w w t a i l i e u p r o c o http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c t ph :t /t /pw: /w/ w w tw a i lt iaei ul iperuop cr oo mc http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c Cho số phức z thỏa mãn (1 + i)2(2 – i)z = + i + (1 + 2i)z Tìm phần thực phần ảo z Giải Ta coù: (1 + i) (2 – i)z = + i + (1 + 2i)z  (2i)(2 – i)z – (1 + 2i)z = + i  z[4i + – – 2i] = + i  z  i  2i 8 i  15i  10  15i      3i  2i 5 Phần thực z Phần ảo z 3 Bài 20: CAO ĐẲNG KHỐI A, B, D NĂM 2009 Giải phương trình sau tập hợp số phức: 4z   7i  z  2i zi Giải Ta có: 4z   7i  z  2i  z2 – (4 + 3i)z + + 7i = (với z  i) zi  = (4 + 3i)2 – 4(1 + 7i) = – 4i = (2 – i)2  3i   i  3i   i Vaäy : z    i hay z    2i 2 Kết hợp với điều kiện nên phương trình có nghieäm z = + i; z = + 2i Bài 21: TNPT NĂM 2009 Giải phương trình (S): 8z2 – 4z + = tập số phức Giải Ta có:  = 16 – 32 = 16 = (4i) Do đó, phương trình cho có nghiệm là:  4i 1  4i 1 z1    i vaø z2    i 16 4 16 4 Bài 22: TNPT NĂM 2009 Giải phương trình 2z2 – iz + = tập số phức Giải 2 Ta có:  = i – = 9 = (3i) Do đó, phương trình cho có nghiệm là: i  3i i  3i z1   i vaø z2   i 4 287 Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) ... Tìm phần ảo số phức z, biết z  (  i)2 (1  2i) Giaûi Ta coù: z  (  i)2 (1  2i) = (1  2i)(1  2i) =  2i  z   i  Phaàn ảo số phức z  Bài : ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2010 Cho số phức z thỏa... hợp số phức Giải Ta có:  = –24 – 10i = (1 – 5i) Do z2 – (1 + i)z + + 3i =  z = – 2i hay z = 3i Baøi 16: TNPT NĂM 2010 Cho hai số phức z1 = + 2i z2 = – 3i Xác đònh phần thực phần ảo số phức. .. + 2i) – 2(2 – 3i) = 3 + 8i Suy số phức z1 – 2z2 có phần thực 3 phần ảo Bài 17: TNPT NĂM 2010 Cho hai số phức z1 = + 5i z2 = – 4i Xác đònh phần thực phần ảo số phức z1.z2 Giải Ta coù: z1z2 =