Bài 1: Cho x, y thoả mãn điều kiện 1 22 =+ xyyx . Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của 3 )1()1( 22 2222 + +++ = yx yyxx F Bài 2: Có bao nhiêu số tự nhiên có 9 chữ số, trong đó có đúng 3 chữ số lẻ khác nhau, có đúng 3 chữ số chẵn khác nhau và mỗi chữ số chẵn có mặt đúng hai lần? Bài 3: Cho ts giác lồi ABCD, O là giao điểm của hai đờng chéo AC và BD. Gọi A 1 , B 1 , C 1 , D 1 lần lợt là trọng tâm và A 2 , B 2 , C 2 , D 2 lần lợt là trực tâm của tam giác OAB, OBC, OCD, ODA. Chứng minh rằng: 22112211 , CADBDBCA Bài 4: Cho dãy ( X n ) xác định bởi: { 111121 .2)(., ,2006,2005 ++ =+== nnnnn xxxxxxx . Tìm n n x lim Bài 5: Cho hình chóp S. ABCD có đờng chéo BD chia tứ giác ABCD thành hai tam giác tơng đơng, AB = 1, BC = CD, 2 =+ SDSA và thể tích khối chóp S. ABCD bằng 6 1 . Chứng minh rằng hình chóp S. ABCD có mặt cầu ngoại tiếp . Xác định tâm và bán kính của mặt cầu đó. Bài 6: Tìm tất cả hàm f thoả mãn phơng trình hàm: ).(4)().()().( 22 yxxyyxfyxyxfyx =++ Bài 7: Giả sử a, b, c là các nghiệm của phơng trình: 01 3 = xx . Hãy tính: c c b b a a S + + + + + = 1 1 1 1 1 1 Bài 8: Cho tam giác ABC với 3 cạnh là BC = a, CA = b, AB = c và có diện tích S. Chứng minh: ( ) ( ) 222 .234 cbacabcbaS ++++ Bài 9: Cho tứ diện ABCD có AB = CD, AC = BD, AD = BC. Gọi ,, là số đo các góc mà các mặt ABD, ABC, ACD tạo với mặt BCD. Giả sử hình chiếu của A trên ( BCD) thuộc miền tam giác BCD. Cho x, y, z là 3 số tuỳ ý thoả mãn 1 222 =++ zyx . Chứng minh rằng: ( ) ( ) ( ) 1coscoscoscoscoscos <+++++ zyx Bài10: Giải phơng trình: 1200614312log 114312 2006 = ++ ++ xxxx xxxx Bài 11: Cho hình chóp tứ giác đều nội tiếp mặt cầu bán kính R. Gọi r là bán kính mặt cầu nội tiếp hình chóp. Tìm điều kiện của hình chóp để tỉ số R/r đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó. Bài12: Cho 2 dãy số { } n a và { } n b thoả mãn: ( ) , 3,2,1 1 , 1 , 2006 2007 , 2006 2005 1111 = +=+=== ++ n a bb b aaba n nn n nn . Tìm nn n ba + + 304 lim Bài13: Gọi G là trọng tâm tứ diện ABCD, O là một điểm tuỳ ý trong tứ diện. Đờng thẳng OG cắt các mặt phẳng ( BCD), ( ACD), ( ABC) lần lợt tại A, B, C, D. Chứng minh rằng: 4 ' ' ' ' ' ' ' ' =+++ GD OD GC OC GB OB GA OA Bài14: Cho hình hộp chữ nhật ABCD. ABCD có AB = a, AD = b và AA = c. Đờng chéo AC tạo với 3 cạnh AB, AD và AA lần lợt thành các góc ,, . Chứng minh rằng: 4 18 12 18 12 18 12 049.59 coscoscos V cba ++ với V là thể tích hình hộp chữ nhật đã cho. Bài 15: Tìm hàm số f xác định trên R thoả mãn điều kiện: Ryxyfxfyxf yx + + ,,2006)().()( Bài 16: Cho tứ diện S. ABC có SA, SB, SC từng đôi một vuông góc với nhau. Gọi A, B, C lần lợt là trung điểm BC, CA, AB; ,, lần lợt là số đo các nhị diện cạnh AB, BC, CA của tứ diện SABC. Chứng minh rằng: 7 9 cos2 1 cos2 1 cos2 1 + + + + + Bài 17: Cho a, b > 0. Chứng minh rằng: 8 5 )( 4 44 + + + + ba ab ba ba Bài 18: Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau,OA = x, OB = y, OC = z , 3 =++ zyx . Tìm giá trị lớn nhất của bán kính mặt cầu nội tiếp tứ diện OABC. Bài 19: Cho 4 số thực a, b, c, d khác 1 thoả mãn: 1 2222 =+++ dcba . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: )1)(1)(1)(1( dcba abcd P = Bài 20: Cho a, b, c là các số thực không đồng thời bằng 0 và thoả mãn: )(2 222 cabcabcba ++=++ . Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức: ( ) ( ) ( ) 222 333 ,, cbacba cba cbaF ++++ ++ = Bài 21: Cho dãy số ( a n ) thoả mãn: nnn aaa = ++ 12 . Giả sử tổng 2003 số hạng đầu tiên bằng 2005 và tổng của 2005 số hạng đầu tiên là 2003. Tính tổng của 2004 số hạng đầu tiên. Bài 22: Cho điểm O ở bên trong tứ diện ABCD, các tia AO, BO, CO, DO lần lợt cắt các mặt đối diện tại A 1 , B 1 , C 1 , D 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của OD OD OC OC OB OB OA OA F 1111 +++= Bài 23: Giải phơng trình: 14232 33).13(3 32 +++ =++ xxxxx xx Bài 24: Tìm ớc chung lớn nhất của: 2005 2006 5 2006 3 2006 1 2006 , .,, CCCC Bài 25: Trên các cạnh AB, BC, CD, DA, AC và BD của tứ diện ABCD lần lợt lấy các điểm M, N, P, Q, S và R. Gọi V 1 , V 2 , V 3 , V 4 , và V lần lợt là thể tích của các khối tứ diện ASMQ, BMNR, CNPR, DPQR và ABCD. Tìm giá trị nhỏ nhất của tỉ số: 4321 4 VVVV V Bài 26: Tìm các giá trị của tham số a để phơng trình sau có nghiệm thực: x x axxxx 3 314 =+ Bài 27: Cho a, b, c là 3 số thực dơng. Chứng minh rằng; ( ) ( ) ( ) 5 6 )( )( )( )( ,, 2222 2 2 ++ + + ++ + + ++ + = cba bac bac acb acb cba cbaF Bài 28: Giải hệ phơng trình sau: =+ =+ )sin3(log3coslog )cos3(log3sinlog 32 32 xy yx Bài 29: Cho x, y, z dơng thoả mãn: 1 = yxzyxz . Tìm giá trị lớn nhất của 2 2 2 2 2 2 1 3 1 2 1 2 z z y y x x P + + + + = Bài 30: Cho hình lập phơng ABCD.ABCD có cạnh bằng 1 đơn vị. Các điểm M, N lần lợt thuộc các đoạn AB và AD sao cho nhị diện [ ] NACM ,', là nhị diện vuông. Xác định vị trí các điểm M và N để hình chóp A. AMCN có thể tích nhỏ nhất. Bài 31: Cho tứ diện đều ABCD, mặt phẳng (P) đi qua BC cắt cạnh AD tại E. Tính tỉ số thể tích giữa các tứ diện ABCE và BCDE. Biết tang của góc giữa hai mặt phẳng (P) và ( BCD) là 7 25 Bài 32: Xác định m để phơng trình sau có nghiệm duy nhất: [ ] [ ] )31(log)44(log)31(log)34(1)44(log.)1(1 2 5 2 6 2 5 22 6 2 xxxxmxxm +=++++ Bài 33: Cho a, b, c là 3 số dơng thoả mãn: 1 = cba . Tìm giá trị nhỏ nhất của: )( 4 1 444 23 5 23 5 23 5 cba ba c ac b cb a F +++ + + + + + = . Bài 34: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD. Mặt phẳng (P) thay đổi nhng luôn cắt các cạnh SA, SB, SC, SD lần lợt tại A, B, C, D( A, B, C, D không trùng với đầu mút cuả các đoạn thẳng SA, SB, SC, SD). Chứng minh rằng một trong hai tỉ số '' '' SDSB SCSA + + và ''. ''. SCSA SDSB luôn có ít nhất một số không lớn hơn 1 khi mặt phẳng (P) thay đổi. Bài 35: Tìm a sao cho phơng trình: 0)22(log2)32(log.4 3 1 22 3 2 =+++ + axxx xx ax có 3 nghiệm phân biệt. Bài 36: Cho tứ diện đều ABCD, lấy M bất kì thuộc mặt bên BCD. Qua M dựng các đờng vuông góc đến các mặt bên ( ABC), ( ABD), ( ACD) là MH, MK, ML. Chứng minh rằng thể tích tứ diện MHKL luôn nhỏ hơn 45 1 thể tích tứ diện ABCD. Bài 37: Tìm cặp số nguyên dơng ( n; k) sao cho ( ) !11 nn k =+ Bài 38 Giải phơng trình: ( ) xx x lglg 4.3)42(lg1 =++ Bài 39: Hãy xác định các góc của tam giác ABC, biết rằng: 2 33 2 5 cos 2 5 cos 2 5 cos =++ CBA Bài 40: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: + + + + + + + = cb db da ca dc ba T . Trong đó a, b, c là các số thực thuộc đoạn 3 2 ; 2 1 Bài 41: Giải hệ phơng trình: = =+ 6)1( 8)31( 3 3 yx yx Bài 42: Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng: ++ + ++ + ++ ++ 200620062006 2006 200620062006 )2( 1 )2( 1 )2( 1 4 111 cbacbacbacba Bài 43: Cho tam giác ABC nhọn thoả mãn điều kiện: CBACBAACCBBA coscoscos2)coscos(coscoscoscoscoscoscos1 =+++++ . Chứng minh rằng tam giác ABC là tam giác đều. Bài 44: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: xyz zyx F 333 ++ = với x, y, z thuộc đoạn [ ] 2006;1003 Bài 45: Giải phơng trình: 14816 3 3 =+ xxx Bài 46: Giải hệ phơng trình: += += += )91(6 )91(6 )91(6 22 22 22 zxz yzy xyx Bài 47: Cho a, b, c > 0 thoả mãn a + b + c = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: )()()( bab ca aca bc cbc ab T + + + + + = Bài 48: Cho tam giác ABC có các cạnh a, b, c và các góc thoả mãn B = 2A, C = 4A. Tính ++= 222 2 111 cba RS , với R là bán kính đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Bài 49: Gọi K là tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC, B 1 , C 1 theo thứ tự là trung điểm của các cạnh AC, AB. Đờng thẳng C 1 K cắt đờng thẳng AC tại B 2 , đờng thẳng B 1 K cắt đờng thẳng AB tại C 2 sao cho diện tích tam giác ABC bằng diện tích tam giác AB 2 C 2 . Tính góc CAB. Bài 50: Chứng minh rằng trong tam giác ABC bất kì ta có: R rACCBBA 48 5 2 sin 2 sin 2 sin 2 sin 2 sin 2 sin +++ . Trong đó R, r theo thứ tự là bán kính đờng tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác ABC. Bài 51: Cho n số thực n xxxx , .,,, 321 thoả mãn điều kiện: 1 . 22 3 2 2 2 1 =++++ n xxxx . Chứng minh rằng: 2 1 . 11 22 2 2 1 2 2 2 1 2 2 1 1 n xxx x xx x x x n n < ++++ ++ ++ + + Bài 52: Giải hệ phơng trình: ( ) ( ) ++=+ ++=+ ++=+ 222 2 2 22222 22222 15 )14()( )13()( yxzzxyz xzyyxzy zyxxzyx Bài 53: Cho a, b, c là các số thực không âm thoả mãn: 3 =++ cba . Tìm giá trị lớn nhất của: bcacabA 22109 ++= Bài 54: Giải phơng trình: ( ) 1321 22 +=++ xxxx Bài 55: Cho tam giác ABC, có các cạnh BC = a, AC = b, AB = c, và m a , m b , m c , lần lợt là độ dài của các đờng trung tuyến xuất phát từ các đỉnh A, B, C. Chứng minh rằng: Tam giác ABC đều khi và chỉ khi: 222 2 cba mmmcba ++=++ Bài 56: Cho các số thực dơng a, b, c. Chứng minh rằng: 8 )(2 )2( )(2 )2( )(2 )2( 22 2 22 2 22 2 ++ ++ + ++ ++ + ++ ++ bac bac acb acb cba cba Bài 57: Giải phơng trình: 23 3 += xxx Bài 58: Cho 3 số thực dơng a, b, c thoả mãn điều kiện: 1=++ cba . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: abccabcab M 1 )(21 1 + ++ = Bài 59: Cho đa thức bậc 4: 20052003200720042006)( 234 ++++= xxxxxP . Chứng minh rằng: RxxP > 0)( Bài 60: Cho các số thực a, b, c, d thoả mãn: +++< 2 2 ,3 21 ,0 c d bc d ba dcba . Chứng minh rằng: 17 4444 ++ dcba Bài 61: Cho các số thực a, b, c dơng thoả mãn: 12 222 =+++ abccba . Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức: )( 1 1 1 1 1 1 222 222 cba cba T ++ + + = Bài 62: Cho 3 số dơng a, b, c thoả mãn: 3 111 =++ cba . Chứng minh rằng: 3 23 23 2 4 3 4 3 4 3 cbacba ++++ Bài 63: Chứng minh rằng: 7 9 7 2 xyz zxyzxy +++ . Trong đó x, y, z là các số thực không âm thoả mãn điều kiện: 1 =++ zyx Bài 64: Tìm tất cả giá trị [ ] 1,0,,,, edcba sao cho: 4 11111 = + + + + + + + + + = abcd e eabc d deab c cdea b bcde a A Bài 65: Cho bất phơng trình: 162 1 16 1 2004 2006 2004 2006 + + + ++ x xa x xa . Tìm số thực a lớn nhất để bất phơng trình có đúng hai nghiệm. Bài 66: Giải phơng trình: 22 211 2 1 xxx = Bài 67: Cho tam giác ABC thoả mãn: 2 1 22 = B tg A tg . Chứng minh rằng: Điều kiện cần và đủ để tam giác ABC vuông là: 10 1 2 sin 2 sin 2 sin = CBA Bài 68: Giải phơng trình: ( ) 1321 22 +=++ xxxx Bài 69: Cho tam giác ABC có các cạnh BC = a, CA = b, AB = c, B = 2A, C = 4A, bán kính đờng tròn ngoại tiếp là R. Tính ++= 222 2 111 cba RT . ) ( ) 1coscoscoscoscoscos <+++++ zyx Bài10: Giải phơng trình: 120 0614312log 114 312 2006 = ++ ++ xxxx xxxx Bài 11: Cho hình chóp tứ giác. 3 cạnh AB, AD và AA lần lợt thành các góc ,, . Chứng minh rằng: 4 18 12 18 12 18 12 049.59 coscoscos V cba ++ với V là thể tích hình hộp chữ nhật đã cho.