ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP TOÁN CAO CẤP 2

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC THƯƠNG MẠI KHOA: HTTTKT&TMĐT - - ĐỀ CƯƠNG ƠN TẬP Bộ mơn: Tốn Cao Cấp Lớp HP: 1858FMAT0211 GV: Phan Thanh Tùng Hà Nam, 2018 Đề cương ôn tập Toán cao cấp Mục lục Mục lục CHƯƠNG 7: HÀM HAI BIẾN A LÝ THUYẾT Các khái niệm Dạng Tìm tập xác định hàm số Dạng Tính đạo hàm riêng cấp Dạng Tính đạo hàm riêng cấp Dạng Tính gần Cực trị hàm biến Dạng Tìm cực trị hàm số Dạng Tìm cực trị có điều kiện hàm số B GIẢI BÀI TẬP 10 CHƯƠNG 8: PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN 31 A LÝ THUYẾT .31 I Tích phân bất định 31 1.1 Các khái niệm 31 1.2 Các tính chất .31 1.3 Bảng tích phân .31 1.4 Phương pháp giải .32 II Tích phân xác định 33 2.1 Các khái niệm 33 2.2 Các tính chất 33 2.3 Phương pháp giải 34 III Tích phân suy rộng .34 3.1 Trường hợp khoảng lấy tích phân vơ hạn 34 3.1.1 Các khái niệm 34 3.1.2 Các định lí so sánh 35 3.1.2 Các định lí so sánh 36 3.2 Trường hợp hàm có điểm gián đoạn vô cực .37 B BÀI TẬP 38 CHƯƠNG 9: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN 67 A LÝ THUYẾT .67 I Một số khái niệm 67 1.1 Phương trình vi phân 67 1.2 Cấp phương trình vi phân 67 Đề cương ơn tập Tốn cao cấp 1.3 Nghiệm phương trình vi phân 67 II Phương trình vi phân cấp 68 2.1 Dạng phương trình 68 2.2 Nghiệm tổng quát nghiệm riêng - Tích phân tổng quát tích phân riêng 68 2.3 Bài toán Cauchy ( Định lý tồn nghiệm) 68 III Phương trình vi phân cấp 69 3.1 Dạng phương trình 69 3.2 Nghiệm tổng quát nghiệm riêng - Tích phân tổng quát tích phân riêng 69 B DẠNG BÀI TẬP 71 I Phương trình vi phân cấp 71 1.1 Phương trình biến số phân li: 71 1.2 Phương trình đẳng cấp .72  a x  b1 y  c1  y'  f    ax  by  c  74 1.3 Phương trình 1.4 Phương trình tuyến tính cấp 75 1.5 Phương trình Bernoulli .76 II Phương trình vi phân cấp 77 2.1 Phương trình giảm cấp 77 2.1.1 TH vế phải khuyết y, y’: 77 2.1.2 TH vế phải khuyết y : .77 2.1.3 TH vế phải khuyết x: 78 2.2 Phương trình tuyến tính cấp 2(hệ số hằng) .79 C BÀI TẬP 82 CHƯƠNG 10: PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN 112 A LÝ THUYẾT .112 Sai phân 112 a) Lưới bước lưới .112 b) Sai phân 112 Phương trình sai phân 113 a) Định nghĩa 113 b) Nghiệm, nghiệm tổng quát nghiệm riêng 113 Phương trình sai phân tuyến tính 113 a) Định nghĩa 113 b) Tính chất tập nghiệm phương trình tuyến tính cấp k .114 Đề cương ơn tập Tốn cao cấp B DẠNG BÀI TẬP 115 Phương trình sai phân tuyến tính cấp 115 1.1 Phương trình hệ số 115 1.2 Phương trình hệ số biến thiên 118 Phương trình sai phân tuyến tính cấp hệ số 119 C BÀI TẬP 122 Đề cương ôn tập Toán cao cấp CHƯƠNG 7: HÀM HAI BIẾN A LÝ THUYẾT Các khái niệm Định nghĩa: Cho D tập R2 f : D R  x, y   z  f  x, y  Ghi • Nếu M  x, y  , ta viết z  f  M  • Tập D gọi tập xác định • Tập f  D  : { f  x, y  :  x, y   D} gọi tập giá trị • Tập G  { x, y, f  x, y  :  x, y   D} điểm hệ toạ độ Oxyz gọi đồ thị hàm số Dạng Tìm tập xác định hàm số Ví dụ: Tìm tập xác định hàm số sau z  arccos 2x 1  ln  xy  x Giải: Tập xác định hàm x,y thỏa mãn điều kiện  2x 1 1   x  12  x 3x  x     x      3  x xy  xy     xy   y    1 3    Vậy E   x, y  : x   ;1 , y   0;      Định nghĩa Cho hàm z  z  x, y  • Đạo hàm riêng (cấp 1) theo biến x, kí hiệu z 'x  x, y  : coi y số lấy đạo hàm z  x, y  theo biến x • Tương tự, z ' y  x, y  : coi x số lấy đạo hàm theo biến y Đề cương ơn tập Tốn cao cấp Dạng Tính đạo hàm riêng cấp Ví dụ Tính đạo hàm riêng cấp a) z  x  x y b) z  sin( x  y ) Giải: a) Ta có: z 'x  ( x  x y ) 'x  (? x )x  (2 x y )x  x  y 2 x  x  xy Ta có : zy  ( x4  x2 y )y  x2 y b) Ta có : z 'x  (sin( x  y ))x  cos( x  y )( x  y )x  cos( x  y ).2 x Ta có : zy  (sin( x2  y ))y  cos( x2  y )( x2  y )y  cos( x2  y ).2 y Định nghĩa Các đạo hàm riêng cấp 2: o z "xx : ( z 'x ) 'x ; o z "yx : ( z ' y ) 'x z "xy : ( z 'x ) ' y ( đạo hàm riêng 𝑧′𝑥 ) z " yy : ( z ' y ) ' y ; ( đạo hàm riêng 𝑧′𝑦 ) Ghi chú: • Tương tự, ta có đạo hàm riêng cấp n tùy ý • Với “ số điều kiện “ ta ln có : 𝑧"𝑥𝑦 = 𝑧"𝑦𝑥 ( Đinh lý Schwarz) •  z "xx H   z "yx z "xy   gọi ma trận Hessian z "yy  • Ma trận Hessian có nhiều ứng dụng kinh tế & kỹ thuật Dạng Tính đạo hàm riêng cấp Ví dụ z  x  x y Giải: Ta có : z "xx  ( z 'x ) 'x   x  xy  'x  12 x  y z "xy  ( z 'x ) ' y   x3  xy  ' y  xy Đề cương ơn tập Tốn cao cấp z "yy  ( z ' y ) ' y   x y  ' y  x z "xy  z "yx  xy Định nghĩa:Giả sử hàm z  z  x, y  có đạo hàm riêng liên tục đại lượng dz  z 'x ( x0 , y0 )x  z ' y ( x0 , y0 )y gọi vi phân toàn phần hàm số Ghi chú: Dễ thấy, dx  x, dy  y , đó: dz  z 'x ( x0 , y0 )x  z ' y ( x0 , y0 )y Bài tốn tính gần Công thức xấp xỉ z( x0  x, y0  y)  z  x0 , y0  x  z 'x ( x0 , y0 )x  z ' y ( x0 , y0 )y (với ∆ x , ∆ y nhỏ trị tuyệt đối) Ghi chú: Ứng dụng kinh tế z( x0  , y0  )  z  x0 , y0   z 'x ( x0 , y0 )  z ' y ( x0 , y0 ) Dạng Tính gần Ví dụ : Tính gần biểu thức A  ln   8,990  8, 050 Giải: Xét hàm: z  ln  x3 y  Ta có: = 8,990  x0  x  x0  9; x  0, 01 8,050  y0  y  y0  8, y  0,05 Ta có: z  9; 8  ln(  )  ln1  z 'x  z 'y   ( x  y ) 'x  x y x  x3 y  y  x3 y  z y  9;8      z x  9;8   12 Vậy A  z( x0  x, y0  y)  z  x0 , y0  x  z 'x ( x0 , y0 )x  z ' y ( x0 , y0 )y 1   (0, 01)  (0, 05)  0, 006 12 Đề cương ơn tập Tốn cao cấp 2 Cực trị hàm biến Định nghĩa:Ta nói hàm z  z  x, y  đạt cực đại (cực tiểu) điểm M  x0 , y0  tồn lân cận điểm M cho lân cận z ( x, y)  z ( x0 , y0 )( z ( x, y)  z( x0 , y0 )) Ghi • Giá trị cực đại cực tiểu gọi chung cực trị • Giá trị cực đại cực tiểu mang tính địa phương Định lí 1:Nếu hàm z  z  x, y  đạt cực trị điểm M  x0 , y0  hàm số có đạo hàm riêng  x0 , y0  thỏa mãn hệ  z x  x, y     z y  x, y   Ghi chú: • Mỗi điểm M thỏa mãn hệ gọi điểm dừng hay điểm tới hạn (loại 1) • Kí hiệu A  z "xx  x0 , y0  ; B  z "xy  x0 , y0  ; C  z "yy  x0 , y0  Định lí 2: Giả sử M  x0 , y0  điểm tới hạn hàm z  z  x, y  (hàm số có đạo hàm riêng liên tục tới cấp hai M ) Khi đó: • Nếu B  AC  M hàm số khơng có cực trị • Nếu B  AC  M hàm số có cực trị cực đại A  , cực tiểu A  • Nếu B  AC  chưa có kết luận Ghi chú: − Bài tốn tìm cực trị chia làm bước: Bước 1: Tìm điểm tới hạn; Bước 2: Xét dấu B  AC − Khi B  AC  gọi M điểm yên ngựa Dạng Tìm cực trị hàm số Ví dụ Tìm cực trị hàm số z  x3  xy  y3  Đề cương ơn tập Tốn cao cấp Giải: Tập xác định: R Bước Điểm tới hạn:  x  1  z 'x  3x  y  x    ;   z ' y  x  24 y   y   y    2 Suy hàm số có hai điểm tới hạn O  0;0 M (1;  ) Bước Ta có : z 'xx  x ; z 'xy  ; z ' yy  48 y Tại O  0;0 ta có : A  zxx  0;0  ; B  zxy  0;0  ; C  zyy  0;0  Suy ra: B  AC  36  Hàm số khơng có cực trị O  0;0 1 A  z xx (1;  )  6 ; B  z xy (1;  )  ; C  z yy (1;  )  24 2 Suy B  AC  108  Hàm số có cực trị M (1;  ) Vì A  6  nên cực đại zCĐ  z (1;  )  2 Tại M (1;  ) ta có : Bài tốn: Tìm cực trị hàm: z  f  x, y  với ràng buộc: g  x, y   (1) Ghi Để đơn giản, ta ln giả thiết hàm f , g có đạo hàm riêng đến cấp cần thiết Phương pháp nhân tử Lagrange: Kí hiệu Hàm Lagrange L(x, y, λ) = f (x, y) − λg(x, y) (λ gọi nhân tử Langrange) Định lí 1: (Điều kiện cần) Nếu 𝑀0 (𝑥0 , 𝑦0 ) điểm cực trị tốn (1) tồn số thực λ0 Sao cho ( 𝑥0 , 𝑦0 , λ0 ) thỏa mãn hệ 𝐿′ λ (x, y, λ) = {𝐿′ x (x, y, λ) = 𝐿′ y (x, y, λ) = Ghi Mỗi nghiệm hệ gọi điểm dừng hàm Lagrange Đề cương ôn tập Tốn cao cấp Định lí 2: (Điều kiện đủ) Giả sử ( 𝑥0 , 𝑦0 , λ0 ) điểm dừng hàm Lagrange Đặt: 𝑔′𝑥 𝑔′𝑦 |A| = |𝑔′𝑥 𝐿"𝑥𝑥 𝐿"𝑥𝑦 | 𝑔′𝑦 𝐿"𝑦𝑥 𝐿"𝑦𝑦 Khi đó: • Nếu |A|( 𝑥0,𝑦0,λ0 ) > 𝑀0 (𝑥0 , 𝑦0 ) điểm cực đại tốn (1) • Nếu |A|( 𝑥0,𝑦0,λ0 ) < 𝑀0 (𝑥0 , 𝑦0 ) điểm cực tiểu tốn (1) • Nếu |A|( 𝑥0,𝑦0,λ0 ) = khơng có kết luận Ghi • Có thể thay ( 𝑥0 , 𝑦0 , λ0 ) vào A trước tính |A| • Nếu từ ràng buộc g(x, y) = rút x (hoặc y), ta thay vào hàm f , đưa tìm cực trị hàm biến (không cần dùng phương pháp nhân tử Lagrange) Dạng Tìm cực trị có điều kiện hàm số Ví dụ : Tìm cực trị có điều kiện hàm số z = f (x, y) = x + y 𝑥 + 𝑦 = Giải: Tập xác định: 𝑅 Bước Tìm điểm dừng hàm Lagrange Ta có: g(x,y) = 𝑥 + 𝑦 − Hàm Lagrange: L(x, y, λ) = x + y – λ(𝑥 + 𝑦 − 2) Xét hệ : 𝐿′ λ = − (𝑥 + 𝑦 − 2) = 𝑥=1 𝑥 = −1 ′ {𝐿 x = ⇔ { − λ(2x) = ⇔ { 𝑦 = ; { 𝑦 = −1 ′ λ = 1/2 λ = −1/2 𝐿y =0 − λ(2y) = Bước Ta có :   |A| = |𝑔′ 𝑥 𝑔′ 𝑦 𝑔′ 𝑥 𝐿"𝑥𝑥 𝐿"𝑦𝑥 𝑔′ 𝑦 𝐿"𝑥𝑦 | = |2𝑥 2𝑦 𝐿"𝑦𝑦 2𝑥 −2𝜆 2𝑦 | = 8λ(𝑥 + 𝑦 ) −2𝜆 1 * Tại 1,1,  ta có |A| = > ⇒ 𝑀1 (1, 1) điểm cực đại 𝑧𝐶Đ = 2    1 * Tại  1, 1,   ta có |A| = −8 < ⇒ 𝑀2 (−1, −1) điểm cực tiểu 𝑧𝐶𝑇 = −2  ... ′ )