Hướng dẫn giải bài tập Kết Cấu Công Trình . Được chia thành các chương với những bài tập được hướng dẫn rõ ràng, cụ thể. Rất hữu ích cho các sinh viên xây dựng.
Trang 1Chương 1 CẤU KIỆN CHỊU UỐN
(TÍNH TOÁN THEO CƯỜNG ĐỘ)
Cấu kiện chịu uốn là cấu kiện cơ bản rất hay gặp trong thực tế Đó là các dầm, bản của sàn gác, mặt cầu, cầu thang, là các lanh tô, ô văng, là các xà ngang của khung v,v… Về hình dáng có thể chia cấu kiện chịu uốn ra làm
hai loại đó là bản và dầm Các thành phần nội lực xuất hiện trong cấu kiện chịu uốn gồm có mômen uốn và lực cắt.
1.1 Những kiến thức cơ bản
1.1.1 Công thức tính toán cơ bản
a Tiết diện chữ nhật đặt cốt đơn
- Phương trình hình chiếu các lực lên phương trục dầm:
a a
n b x R F R
0
- Phương trình mômen các lực với trục qua điểm đặt hợp lực của Fa:
( )
=
⇔
2
x h x b R M
- Phương trình mômen các lực với trục qua điểm đặt hợp lực bêtông miền nén:
−
=
≤
2
x h F R M
- Điều kiện hạn chế
0
0.h
(0,5 0,7)
0 = ÷
α , phụ thuộc vào mác bêtông và nhóm cốt thép (lấy theo phụ lục 6)
max a
n 0 0
a
R
R h
b
F
µ
= α
≤
=
- Hàm lượng cốt thép phải bảo đảm:
max min ≤µ≤µ
- Hàm lượng cốt thép µmintra bảng 1.1
* Các bài toán
h
x
0
=
α từ công thức (1.1) ta có:
α
= R b h F
.
- Đặt A=α.(1−0.5.α), từ công thức (1.2) ta có:
A h b R M
0 n
gh =
- Đặt γ=(1−0,5.α), từ công thức (1-3) ta có:
γ
=
≤M R F.h
Chú ý: Để thuận tiện trong việc tham khảo Giáo trình Kết cấu công trình, trong tài liệu này chúng tôi giữ nguyên số hiệu các công thức tương ứng trong giáo trình.
Trang 2- Các hệ số α,A,γ có quan hệ với nhau (phụ lục 7).
- Điều kiện hạn chế (1.4) có thể viết thành:
0
A
số hiệu bê tông, cốt thép; các hệ số tính toán.
- Từ công thức (1.8), ta có: 2
0
n.b.h R
M
A=
- NếuA≤A0(có nghĩa làα≤α0, x≤α0.h0) tra bảng phụ lục 7 raα hoặc γ, hoặc tính α = 1 − 1 − 2 A ; γ = 0 , 5 (1 + 1 − 2 A);α là tỷ số của chiều cao vùng nén, (x) và chiều cao tính toán của tiết diện (h0)
- Tìm được α, thay α vào công thức (1.7) ta có:
a
0 n a R
h b R
=
- Hoặc tìm đượcγ; thay vào công thức (1.9) ta có:
γ
=
h R
M F
0 a a
- Kiểm tra:
a
n 0 max 0
a
R
R h
b
= µ
≤
= µ
- Cần bảo đảm:µmin ≤µ≤µmax
Bảng 1.1: Hàm lượng cốt thép tối thiểu µmin
%
min
- Thông thường µ=(0,3÷0,6)% với bản, µ=(0,6÷1,2)% với dầm thì kích thước tiết diện là hợp lý
- Nếu A>A0, không bảo đảm điều kiện hạn chế, phải tăng kích thước tiết diện, mác bêtông để A≤A0 rồi tính theo cốt đơn hoặc cũng có thể tính theo cốt kép
bêtông, cốt thép, các hệ số tính toán.
- Với hai công thức (1.7), (1.8) nhưng có 4 ẩn số b, h, Fa,α vì vậy phải giả thiết 2 ẩn số và tính 2 ẩn còn lại
+ Giả thiết kích thước tiết diện b.h theo kinh nghiệm và điều kiện cấu tạo rồi tính Fa theo bài toán 1
+ Giả thiết b vàα sau đó tính h0 và Fa:
- Chọn b theo kinh nghiệm, theo yêu cầu cấu tạo và yêu cầu kiến trúc Lấy (0,1÷0,25)
=
α với bản, và α=(0,3÷0,4) với dầm, từ đó suy ra A
+ Từ công thức (1-8), ta có:
b R
M A
1 h
n
0 =
Trang 3+ Chiều cao tiết diện h=(h0 +a) chọn phù hợp theo yêu cầu cấu tạo.
- Sau khi kích thước tiết diện b.h đã biết, việc tính Fa như bài toán 1
Bài toán 3: Kiểm tra cường độ (xác định M gh ) khi biết kích thước tiết diện, diện tích cốt thép F a , số hiệu bêtông và cốt thép, các hệ số tính toán.
- Từ công thức (1.7) ta có:
0 n
a a h b R
F R
= α
- Nếu α≤α0 tra bảng ra A, thay A vào công thức (1.8), ta có:
A h b R
Mgh = n 02
- Nếu α > α0chứng tỏ cốt thép chịu kéo Fa quá nhiều, lấy A = A0 thay vào công thức (1.8), ta có:
0 2 0 n
gh R b h A
- Điều kiện bảo đảm về cường độ là:
gh M
M ≤
b Tiết diện chữ nhật đặt cốt kép
* Công thức cơ bản
- Phương trình hình chiếu và mômen viết được hai công thức cơ bản sau:
' a ' a n
a
a.F R b.x R F
0 ' a ' a 0
n
2
x h x b R M
−
=
h
x
0
=
α A=α.(1−0,5α), hai công thức (1.11), (1.12) có dạng sau:
' a ' a 0 n a
a.F R b.h R F
0 ' a ' a 2
0 n
gh R b h A R F h a M
- Điều kiện hạn chế:
0 0 ' x h a
0
' h
a
α
≤ α
* Các bài toán
Bài toán 1: Tính F a và '
a
F khi biết M, b, h, số hiệu bêtông, cốt thép,…
- Điều kiện tính cốt kép: 0 , 5
h b R
M A
0 n
- Lấy x = α0 h0, thay A = A0 vào công thức (1.14) ta có:
) a h ( R
bh R A M
0
' a
2 0 n 0 '
a
−
−
=
- Thay α=α0 vào công thức (1-13), ta có:
a
' a
' a a
0 n 0
F R R
bh R
Bài toán 2: Tính F a khi biết '
a
F , b, h, số hiệu bêtông, cốt thép, M,…
Trang 4- Từ công thức (1.14) ta có:
2 0 n
' 0
' a
' a bh R
) a h ( F R M
- Từ A ta suy ra α
- Nếu α>α0 chứng tỏ '
a
F còn ít, chưa đủ bảo đảm cường độ ở vùng nén nên cần tính lại '
a
F và Fa theo bài toán 1 hoặc tăng b, h, Rn cho α<α0rồi mới tính tiếp
0
h
a
2
α
≤ α
<
′ thì thay α vào (1-13) ta có:
a
' a ' a a
0 n a
R
F R R
bh R
- Nếu
0
h
a
2 ′
<
α thì ứng suất ở '
a
a
'
a < R
σ chứng tỏ '
a
F quá nhiều cho phép lấy x = 2 a ', viết phương trình mômen với trục qua trọng tâm '
a
F , ta có:
0 a a
gh R F h a M
- Từ đó ta rút ra:
) a h ( R
M F
0 a
Bài toán 3: Kiểm tra cường độ (tính M gh ) khi biết b, h, F a, Fa', số hiệu bêtông cốt thép,…
- Từ công thức (1.13), ta có:
0 n
' a
' a a a bh R
F R F
= α
- Nếu α>α0 chứng tỏ '
a
F quá nhiều, thay A = A0 vào công thức ( )1.14 ta có:
0 ' a ' a 2
0 n
gh R b h A R F h a
0
h
a
2
α
≤ α
<
′ , suy ra A và thay vào công thức (1-14) ta có:
) a h ( F R A h b R M
M ≤ gh = n 20 0 + 'a a' 0 − '
- Nếu
0
h
a
2 ′
<
0 a a
gh R F h a M
Ta có: Mgh = Ra Fa.( h0− a')
- Điều kiện để cấu kiện đảm bảo về mặt cường độ là:
gh M
M ≤
c Tiết diện chữ T đặt cốt đơn, cánh nằm trong miền nén
- Phương trình hình chiếu của các lực lên trục dầm:
RaFa = Rnbx + Rn (bc’- b)hc’ (1.16)
- Phương trình mômen các lực lấy với trục qua trọng tâm cốt thép Fa:
Mgh = Rn.b.x.(
2
x
h0− ) + Rn(bc’- b).hc’.(
2
h h
' c
Trang 5+ Đặt ,
h x 0
=
α A=α.(1−0,5α), các công thức (1.36), (1.37) có dạng:
c '
c n 0
n a
a F R b h R b b h
−
− +
=
≤
2
h h h b b R A h b R M M
' c 0 ' c '
c n 2
0 n
- Điều kiện hạn chế:
0
* Các bài toán:
a
F khi biết kích thước tiết diện, số hiệu bê tông và cốt thép, cấp công trình, tổ hợp tải trọng, mômen M.
- Trước hết cần xác định vị trí trục trung hòa (x h vàF' 0)
a
'
=
Ta có:
−
=
2
h h h b R
0
' c
' c n c
- Nếu M ≤ Mcthì trục trung hòa qua cánh ( ' )
c h
x ≤ , việc tính Fa tương tự như việc tính Fa của tiết diện chữ nhật b ' h
c
- Nếu M> Mcthì trục trung hòa qua sườn ( ' )
c
h
x> Việc tính Fa tiến hành như sau:
Từ công thức (1-19), ta có:
2 0 n
' c 0
' c
' c n
h b R
) 2
h h (
h ) b b (
R
M
+ Khi A>A0 có thể tăng kích thước tiết diện, số hiệu bêtông để 0
A
A < sau đó tính lại Hoặc đặt cốt thép '
a
F vào vùng nén và tính theo bài toán chữ T cốt kép dưới đây
+ Khi A≤A0suy ra α, thay α vào (1-18), ta có:
a
' c
' c n a
0 n
h b b R R
h b R
Bài toán 2: Kiểm tra cường độ, tính M gh biết kích thước tiết diện, R n , R a , cấp công trình, tổ hợp tải trọng.
Xác định vị trí trục trung hòa:
- Nếu R F R b h thì x h ' ,
c
' c
' c n a
a ≤ ≤ kiểm tra như tiết diện chữ nhật có kích thước
h
b'
c
- Nếu R F R b h thìx h',
c
' c
' c n a
a > > kiểm tra như sau:
Từ công thức (1-18), ta có:
0 n
c c n a a
h b R
h ) b b ( R F
= α + Khi α≤α0 suy ra A, thay A vào công thức (1.19) ta có:
Trang 6( )
−
− +
=
2
h h h b b R A h b R
0
' c
' c n
2 0 n gh + Khiα>α0 thì lấy A = A0 thay vào công thức (1.19) ta có:
−
− +
=
2
h h h b b R A h b R
0
' c
' c n 0
2 0 n gh
- Điều kiện để bảo đảm về cường độ là:
gh M
M ≤
d Tiết diện chữ T đặt cốt kép, cánh nằm trong miền nén
- Phương trình hình chiếu của các lực lên trục dầm:
a
' a
' c
' c n n
a
a.F R b.x R b b.h R F
- Phương trình mômen các lực lấy với trục qua trọng tâm cốt thép Fa:
gh M
M ≤ =Rn.b.x.(
2
x
h0 − )+Rn(bc’- b).hc’.(
2
h h
' c
0
' a
'
a.F h a
h
x
0
=
α A=α.(1−0,5α), các công thức (1-21), (1-22) có dạng:
a
' a
' c
' c n 0
n a
a.F R b.h R b b.h R F
0
' a
' a
' c 0
' c
' c n
2 0 n
2
h h h b b R A h b R M
−
− +
=
- Điều kiện hạn chế:
0 0 ' x h a
* Các bài toán.
a
F khi biết kích thước tiết diện, số hiệu bê tông và cốt thép, cấp công trình, tổ hợp tải trọng, mômen M.
Trước hết cần xác định vị trí trục trung hoà (x h vàF' 0)
a
'
−
=
2
h h h b R
0
' c
' c n c
- Nếu M ≤ Mcthì trục trung hoà qua cánh ( ' )
c h
x ≤ , việc tính Fa tương tự như việc tính Fa của tiết diện chữ nhật b'c h
- Nếu M>Mcthì trục trung hoà qua sườn ( ' )
c
h
x> Từ công thức (1.24)
với F ' 0 ,
0 n
' c 0
' c
' c n
h b R
) 2
h h (
h ) b b (
R
M
=
Khi A ≤ A0suy ra α, thay α vào công thức (1-23) với F ' 0 ,
a = ta có:
a
' c
' c n a
0 n
h b b R R
h b R
+ Khi A>A0có thể tăng kích thước tiết diện cấu kiện, số hiệu bêtông để 0
A
A< sau đó tính lại Hoặc đặt cốt thép '
a
F vào vùng nén; thay A=A0 vào công thức (1.24) ta có:
Trang 7( )
) a h ( R
2
h h h b b R bh R A M
0
' a
' c 0
' c
' c n
2 0 n 0 '
a = − − −− − + Thay α=α0 và '
a
F vào (1.23) ta có:
a
' a
' a a
' c
' c n a
0 n 0
F R R
h b b R R
bh R
a
F khi biết kích thước tiết diện, số hiệu bê tông và cốt thép, cấp công trình, tổ hợp tải trọng, mômen M.
Trước hết cần xác định vị trí trục trung hoà (x h vàF' 0)
a
'
=
0
' a
' a
' c 0
' c
' c n
2
h h h b R
−
=
- Nếu M ≤ Mcthì trục trung hoà qua cánh ( ')
c h
x ≤ , tính tương tự như việc tính toán tiết diện chữ nhật b ' h
c
- Nếu M>Mcthì trục trung hoà qua sườn ( ')
c h
x > Từ công thức ( )1.24 ta có:
2 0 n
' 0
' a
' a
' c 0
' c
' c n
h b R
a h F R ) 2
h h (
h ).
b b (
R M
+ Khi A≤A0suy ra α, thay α vào công thức (1-23) ta có:
a
' a
' a a
' c
' c n a
0 n
F R R
h b b R R
h b R
+ Khi A>A0 có thể tăng kích thước tiết diện, số hiệu bêtông hoặc đặt thêm cốt thép '
a
F vào vùng nén để A < A0sau đó tính lại
Bài toán 3: Kiểm tra cường độ, tính M gh biết kích thước tiết diện, R n , R a , cấp công trình, tổ hợp tải trọng.
Xác định vị trí trục trung hoà:
- Nếu R F R b h R F thìx h',
c
' a
' a
' c
' c n a
a ≤ + ≤ kiểm tra như tiết diện chữ nhật có kích thước b'.h
c
- Nếu R F R b h R F thìx h',
c
' a
' a
' c
' c n a
Từ công thức (1-23) ta có:
0 n
' a
' a c c n a a
h b R
F R h ) b b ( R F
= α + Khi α≤α0 suy ra A, thay A vào công thức (1-24) ta có:
0
' a
' a
' c 0
' c
' c n
2 0 n
2
h h h b b R A h b R
−
− +
= + Khiα>α0 thì lấy A = A0 thay vào công thức (1.24) ta có:
0
' a
' a
' c 0
' c
' c n 0
2 0 n
2
h h h b b R A h b R
−
− +
=
Trang 8- Điều kiện để bảo đảm an toàn về cường độ là:
gh
M
M≤
e Tính toán cường độ trên mặt cắt nghiêng theo trạng thái giới hạn
* Điều kiện tính toán
0 n 0
k
1.R b.h Q 0,25.R b.h
Trong đó: k1 =0,6 đối với dầm;
8 , 0
k1 = đối với bản;
Thì bêtông bị ép vỡ bởi ứng suất nén chính ở mặt cắt nghiêng
- Thì bêtông bảo đảm được lực cắt nên không cần tính cốt thép ngang
* Công thức tính toán
+
≤ Q R F R F sin
Trong đó: Qb- khả năng chịu cắt của bêtông vùng nén, được xác định theo công thức thực nghiệm:
C
bh R 2
* Tính toán cốt đai khi không đặt cốt xiên
- Khả năng chịu lực cắt của cốt đai và bêtông Qđb
- Khi không có cốt xiên thì:
∑Rax Fx sin α = 0
- Với khoảng cách giữa các cốt đai u đều nhau ta có:
C q u
C f.
n R u
C F R F
Rađ đ = ađ đ = ađ đ = đ
Trong đó:
u
f.
n R u
F R
Thay (1.30), (1.31) vào (1.32), ta có:
ĐB đ
2 0
C
h b R 2
QĐB- khả năng chịu cắt của bêtông và cốt đai trên tiết diện nghiêng C
- Giá trị nhỏ nhất của QĐB tính theo C như sau:
0 q C
h b R 2 dC
Q
d
đ 2
2 0 k
Rút ra
đ
2 0 k
h b R 2
Trong đó:
C0- hình chiếu của tiết diện nghiêng nguy hiểm nhất lên phương của trục dầm
Trang 9- Khả năng chịu lực cắt của cốt đai và bêtông trên tiết diện nghiêng nguy hiểm nhất ký hiệu là Qđb:
đ k 0 đ
2 0 k
đb 8 R b h q 2 , h R b q
* Tính khoảng cách của cốt đai
- Cần xác định 3 đại lượng của cốt đai: đường kính, số nhánh n và khoảng cách u
- Giả thiết trước đường kính, số nhánh rồi tính khoảng cách u theo lực cắt Q
- Khoảng cách cốt đai theo tính toán utt:
+ Điều kiện bảo đảm cường độ trên tiết diện nghiêng:
đ
2 0 k
đb 8 R b h q Q
0 k
2
đ 8 R b h
Q
- Khoảng cách tính toán của cốt đai umax:
tt 2
2 0 k đ
Q
h b R 8 f.
n R
- Khoảng cách lớn nhất giữa hai cốt đai umax:
+ Tiết diện nghiêng nguy hiểm nhất C0 nằm giữa khoảng cách giữa hai lớp cốt đai umax ta có:
max
2 0 k
đb u
h b R 2 Q
Rút ra:
Q
h b R 2
+ Để tăng mức độ an toàn người ta dùng:
Q
h b R 5 , 1
* Khoảng cách cấu tạo của cốt đai: Tiêu chuẩn thiết kế quy định khoảng cách cốt đai cấu tạo như sau:
- Trên đoạn dầm gần gối tựa (lực cắt lớn nhất):
mm
1502
h
≤
→
mm 300 3
h
≤
→
+ Trên đoạn còn l i ở gi a d m: Khi h > 300mm uct
mm
5004
h
≤
Trang 10- Đoạn dầm gần gối tựa lấy bằng ¼ nhịp khi dầm chịu tải trọng phân bố đều; lấy bằng khoảng cách từ gối đến lực tập trung đầu tiên (nhưng không bé hơn
¼ nhịp) khi dầm chịu lực tập trung
* Khoảng cách thiết kế của cốt đai
- Sau khi tính được các khoảng cách cốt đai utt, umax, uct, khoảng cách thiết kế của cốt đai phải lấy nhỏ hơn hoặc bằng giá trị bé nhất trong các giá trị tính được ở trên Tức là:
≤
ct max tt
u u
u min
- ng th i kho ng cách c t đai c ng c n l y ch n đ n đ n v cm cho d thi công
* Tính toán cốt xiên
Căn cứ vào độ lớn của dầm để bố trí cốt đai hợp lý (tức là chọn trước n,
fđ và u), rồi tính Qđb Ở những đoạn dầm mà Q > Qđb thì phải bố trí và tính toán cốt xiên
- Bố trí cốt xiên: Kho ng cách t đi m cu i c a l p c t xiên cu i cùng đ n ti t
di n th ng góc mà t đó tr đi tho mãn đi u ki n: Q < Qđbvề các kho ng cách
ux1, ux2, ux3… đ u < umax Khi tính umaxđ dùng cho đo n nào của dầm thì dùng
Q l n nh t trong đo n đó
- Tính diện tích cốt xiên: Tiết diện nghiêng C bất kỳ có thể cắt qua nhiều lớp cốt xiên, điều kiện đảm bảo cường độ trên mắt cốt xiên đó là:
+
≤ Q R F sin
- Để đơn giản trong khi tính toán và an hơn khi sử dụng cho rằng tiết diện nghiêng C0 luôn luôn cắt qua lớp cốt xiên Khi đó điều kiện cường độ sẽ là:
α +
≤ Q R F sin
+ Với Qi– được tính tại các tiết diện (tham khảo thêm Giáo trình KCCT)
- Diện tích lớp cốt xiên thứ i là:
α
−
= sin R
Q Q F
ađ
đb i
* Kiểm tra cường độ trên tiết diện nghiêng theo mômen
- Điều kiện về cường độ trên tiết diện nghiêng theo mômen:
+
≤ Ra Fa Za Rađ Fđ Zđ Rax Fx Zx
- Điều trên sẽ được thoả mãn bằng một số yêu cầu cấu tạo và tính toán bổ sung
+ Neo cốt dọc chịu kéo gần gối tựa tự do: C t d c ph i đ c neo ch c ch n không tu t, ch ng phá ho i theo ti t di n nghiêng đi qua mép g i
Khi Q≤ K1.Rk.b.h0 thì lneo≥ 5d và th ng l y lneo = 10d
Khi Q > K1.Rk.b.h0 thì lneo= 15d
V i bêtông có mác > 200 thì lneo≥ 10d
Trang 11Khi không b o đ m tiêu chu n trên thì ph i có bi n pháp neo đ c bi t nh hàn các m u thép hình vào đ u mút c t d c; ph i tính toán v ép m t, v chi u dài đ ng hàn và c ng đ c a thép hình
+ Uốn cốt dọc chịu kéo: Để tiết kiệm thép có thể cắt bỏ bớt cốt thép dọc tại những đoạn dầm có mômen nhỏ Điểm cắt thực tế phải cách tiết diện cắt lý thuyết một đoạn W:
d 20 d q
Q Q 8 , 0 W
đ
x + ≥
−
Trong đó: Q - lực cắt tại tiết diện cắt lý thuyết;
Fx - diện tích lớp cốt xiên trong đoạn W không có cốt xiên thì
Fx= 0;
qđ– theo công thức (1-32);
d – đường kính cốt dọc
f Biểu đồ bao vật liệu
- Về nguyên tắc vẽ biểu đồ bao vật liệu tại mỗi tiết diện cần thực hiện bài toán kiểm tra cường độ để tìm khả năng chịu mômen “âm”, mômen “dương” của tiết diện
- Có thể dùng công thức gần đúng:
x x ax a a a
gh R F Z R F Z
Trong đó: Za – khoảng cách từ cốt thép Fa đến điểm đặt hợp lực miền nén được lấy gần đúng:
c 0
0
a h 0 , 5 h
h 9 , 0 Z
−
= với tiết diện chữ nhật và chữ T cánh nén
Zx– khoảng cách từ cốt xiên đến hợp lực miền nén
- Biểu đồ bao mômen thể hiện những mômen lớn nhất có thể có trong dầm,
do tải trọng gây ra, là mômen dầm phải chịu Ta phải dựa vào hình bao mômen để tính toán và bố trí cốt thép Để đánh giá sự đúng đắn và mức độ hợp lý của việc bố trí cốt thép cần vẽ hình bao vật liệu Hình bao vật liệu thể hiện khả năng chịu lực của dầm, có trục ngang là trục dầm và tung độ lấy bằng Mtd Hình bao vật liệu có hai nhánh, nhánh dương tính với Fa là cốt chịu kéo đặt phía dưới, nhánh âm với cốt chịu kéo bê trên
- Hình bao vật liệu có các tính chất sau:
+ Trong đoạn tiết diện và cốt thép không đổi ta có đoạn nằm ngang (chỉ cần tính một trị số)
+ Ứng với tiết diện cắt lý thuyết của cốt thép, quy ước vẽ hình bao vật liệu (HBVL) thành bước nhảy
+ Trong đoạn uốn cốt thép, quy ước vẽ HBVL thành đoạn xiên có các mút ứng với điểm đầu và điểm kết thúc đoạn uốn
- Để đánh giá mức độ hợp lý của việc bố trí cốt thép cần vẽ HBVL và biểu đồ bao mômen trên cùng một trục, cùng tỷ lệ HBVL phải trùm ra ngoài biểu đồ