SH tuan BC so fermat mersene hoan hao 2016 07 31

CHUYÊN ĐỀ CÁC SỐ ĐẶC BIỆT: FERMAT, MERSENNE, HOÀN HẢO Giáo viên: Bùi Công Tuấn- Trường THPT chuyên Quang Trung, Bình Phước Điện thoại: 0908907958 Email: congtuan4000@yahoo.com Tóm tắt

CHUYÊN ĐỀ CÁC SỐ ĐẶC BIỆT: FERMAT, MERSENNE, HOÀN HẢO

Giáo viên: Bùi Công Tuấn- Trường THPT chuyên Quang Trung, Bình Phước

Điện thoại: 0908907958

Email: congtuan4000@yahoo.com

Tóm tắt báo cáo

Nội dung chuyên đề:

 Nghiên cứu các tính chất của số Fermat: Tính chất giả nguyên tố, tính chất về ước, điều kiện cần và đủ để một số Fermat là số nguyên tố và giải quyết một số bài toán liên quan tới số Fermat

 Nghiên cứu số Mersenne và điều kiện cần và đủ để một số Mersenne là số nguyên tố

 Nghiên cứu hai định lý quan trọng về số hoàn hảo chẵn và hoàn hảo lẻ qua đó áp dụng giải quyết một số bài toán liên quan tới số hoàn hảo

Mục lục

I Số Fermat

1 Khái niệm ……… 2

2 Tính chất cơ bản……… 2

3 Tính chất giả nguyên tố của số Fermat……… 4

4 Tính chất về ước của số Fermat……… 6

5 Phân tích số Fermat ra thừa số……… 11

6 Điều kiện cần và đủ để số Fermat là số nguyên tố……… 12

7 Một số Ví dụ về số Fermat……… 13

II Số Mersenne 1 Khái niệm……… 15

2 Tính chất……… 15

III Số hoàn hảo 1 Khái niệm……… 18

2 Tính chất ……… 18

3 Các ví dụ ……… 21

IV Bài tập áp dụng

I SỐ FERMAT

1 Khái niệm

Mệnh đề 1.1 Cho số 2m 1 mZ là số nguyên tố thì m2n với nN

Trong chuyên đề này ta sẽ đi nghiên cứu số dạng 2

F F F F F  suy ra: F n 2 mod F m  m 0,1, ,n1

Ví dụ 2.1 Với mỗi số F n n2 tồn tại vô số các số nguyên dương ,x y sao cho F n x22y2

Ví dụ 2.3 Tập tất cả các số không là thặng dư bình phương của số nguyên tố Fermat bằng

với tập các số căn nguyên thủy của số nguyên tố Fermat đó

 Ta cần chứng minh n là căn nguyên thủy của mod F hay cấp của m n trong mod F là m

Suy ra k 22m F m 1 hay n là căn nguyên thủy của mod F m

 Nếu n là căn nguyên thủy mod F thì m 21 1 mod 

3 Tính chất giả nguyên tố của số Fermat

Khái niệm 3.1 Một hợp số n sao cho a n amodn được gọi là giả nguyên tố cơ sở a

Mệnh đề 3.2 Chứng minh rằng tất cả các số Fermat là số nguyên tố hoặc là số giả nguyên tố

cơ sở 2

Chứng minh:

Điều này hiển nhiên

Mệnh đề 3.3 Nếu 2 n1 là số giả nguyên tố cơ sở 2 thì nó là số Fermat

4.Tính chất về ước của số Fermat

Mệnh đề 4.1 Nếu 2 n1 chia hết F với số m n1,m0 thì F m 2n1

Mện đề 4.2 Chứng minh mọi ước nguyên tố của 2  

p h  điều phải chứng minh

Định lý 4.3 (Lucas) Chứng minh mọi ước nguyên tố của 2  

Gọi p là ước nguyên tố của F Ta cần chọn b sao cho n ord b p 2n2 , khi đó

 Ta thấy mọi ước nguyên tố của F có dạng n k.2n2 1 n với k2

Hệ quả 4.9 Gọi p là ước nguyên tố của 2  

vậy bài toán được chứng minh

Ví dụ 4.1 (Mở rộng Chinese TST 2005) Ước nguyên tố lớn nhất của F n n4lớn hơn

 Ta xét q là một ước nguyên tố của F n1

Cho p là số nguyên tố với p2 | 2p1 1 Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n thì số

p1 p!2ncó ít nhất ba ước số nguyên tố phân biệt

p  p  mỗi số có ít nhất một ước nguyên tố lẻ

Ta chứng minh với giả thiết bài toán thì p  1 có ít nhất một ước lẻ

 Giả sử p 1 2k  p 2k 1 k  Suy ra k  2t hay pF t 22t 1

Theo hệ quả 4.11 thì p F và t p2 | 2p1 1 nên p F2 t  p vô lý

 Ta chứng minh: p !  2n không là luỹ thừa của 2

Vậy ta có điều phải chứng minh

5 Phân tích số Fermat ra thừa số

Mệnh đề 5.1 Cho F là hợp số Nếu m F m k.2n1l.2i 1 với ,k l lẻ thì , k l3

Định lý 5.3 Đặt F là hợp số và 2 m k n 1 F m là một ước của F không nhất thiết là ước m

nguyên tố với k lẻ thì ta có các điều sau đây:

6 Điều kiện cần và đủ để số Fermat là số nguyên tố

Mệnh đề 6.1 Giả sử F là số nguyên tố Chứng minh m 3 21 1 mod 

F   nN Chứng minh F là số nguyên tố nếu n

và chỉ nếu F là ước của n

1 2

N p i

k k

d k k

22

Vậy điều phải chứng minh

Nhận xét Trong định lý trên ta có thể tổng quát

Định lý 6.3 (Pepin’s Test tổng quát) Đặt 2  *

 2n1 chia hết cho 3 khi và chỉ khi n chẵn

 Gọi p là số nguyên tố lẻ và là ước của 2

nguyên tố cùng nhau đôi một

 Gọi nghiệm đó là c2m Khi đó: 4m2  1 c2 1 chia hết cho 22i   1 i 1;2; ;k1 Nên ta có điều phải chứng minh

Ví dụ 7.2 Cho số nguyên tố F và số nguyên a Chứng minh rằng m

 Gọi h là bậc của 3 trong mod p hay 3h 1 mod p (h nhỏ nhất)

 Gọi p là số nguyên tố phải tìm

 Ta có 12215 1 (mod p ) hay 12216 1 (mod p )

 Đặt h = ordp (12)  h| 16

2 suy ra h = 2k ( k N) Nếu k < 16 suy ra 2

12 k 1 (mod p ) dẫn tới 12215 1(mod p ) (vô lý) Vậy h = 216 Suy ra p2161

 Nếu m là số nguyên dương thì M m 2m1 được gọi là số Mersenne thứ n

 Nếu p là số nguyên tố và M p 2p 1 là số nguyên tố thì M được gọi là số nguyên tố p Mersenne

 Giả sử q là số nguyên tố lẻ Khi đó M p 2p 1 0 mod q2p 1 mod q mặt khác

1) q M| n với điều kiện q 1 mod8 

2) q| (M n 2) với điều kiện q 3 mod8 

Ví dụ 2.2 Tất cả các số M p 2p1 với p2 là số nguyên tố lẻ thì M là số nguyên tố hoặc p

là giả nguyên tố cơ sở 2

Ví dụ 2.3 Cho số nguyên tố p có dạng 4 k3 và M p Chứng minh F là số nguyên tố khi và p

 Theo Định lý (Pepin’s Test tổng quát).Ta chỉ cần chứng minh p 1

p

M F

Mệnh đề 2.3 Nếu Cho dãy số ( )s : n s n s n212, s0 4 thì

Chứng minh điều kiện đủ

 Giả sử M là ước của p s p2 với ( )s : n s n s n212, s0 4 Chứng minh M là số p nguyên tố

2p  X q  1 M p 1 M p 2p1 mâu thuẩn, vậy điều giả sử là sai

Chứng minh điều kiện cần

M M

Định lý 1.2 Số nguyên dương chẵn nlà số hoàn hảo nếu và chỉ nếu 1 

 Do n chẵn nên n 2k t với k, t là các số nguyên dương và t lẻ

p p chia hết cho 2 mà không

chia hết cho 4 nên từ (*) suy ra tồn tại duy nhất 1 số i sao cho i lẻ và khi đó:

Hệ quả 2.3 Các tính chất khác của số hoàn hảo

Từ hai định lý trên, ta có thể suy ra được các tính chất sau của số hoàn hảo

1) Nếu n là số hoàn hảo lẻ thì n4k1

2) Nếu n là số hoàn hảo thì n không là số chính phương

chẵn nên n không là số chính phương

3) Nếu n là số hoàn hảo thì 1 2

4) Nếu n là số hoàn hảo chẵn thì n là số - triangular

n

i

n n i

n   là số hoàn hảo chẵn và n viết trong hệ cơ số 2 thì có 2 m1 chữ

số và m chữ số đầu tiên là 1 và m1 chữ số sau là 0

Từ đó có điều phải chứng minh

7) Nếu n là số hoàn hảo chẵn thì chữ số tận cùng của n là 6 hoặc 8

2 2 12

p q





 

 suy ra 7

n

+ Hai số a b phân biệt, giả sử a, b

Bài 1 Không có số hoàn hảo nào có dạng 6k1

Bài 2 Không có số Fermat nào là số hoàn hảo

Bài 3 (VMO 2016) Số nguyên dương n được gọi là số hoàn hảo nếu n bằng tổng các

ước số dương của nó (không kẻ chính nó)

1) Chứng minh n là số hoàn hảo lẻ thì nó có dạng n p m s 2 với p là số nguyên tố

dạng 4k1, s là số nguyên dương dạng 4 h1 và m là số nguyên dương không

Bài 5 Với mối số nguyên tố F m m1 thì có dạng 6k1

p h  là ước của F ( m F là hợp số), ở đây p là số nguyên tố , h m

lẻ và  h,3 1 Chứng minh :

1) n1 mod 4  Nếu h 1 mod 5 

2) n3 mod 4  Nếu h 2 mod 5 

3) Đặc biệt nếu p3.2n1 thì n1 mod 4 

Bài 9 Cho số nguyên tố p có dạng 8 k3 hoặc 8k5 và M Chứng minh p F là số p

  thì C là số nguyên tố hoặc giả nguyên tố cơ sở 3

Bài 11 Cho m1 thì số F là số nguyên tố nếu và chỉ nếu m F có thể viết thành tổng hai m

bình phương khác không và cách viết đó là duy nhất cụ thể là  1 2

m

Bài 12 Chứng minh 1093 là Wieferich prime

Bài 13 Chứng minh p là Wieferich prime khi và chỉ khi 1 1 1  



Bài 14 Giả sử một số hoàn hảo nào đó có n ước nguyên tố khác nhau Chứng minh rằng

trong các ước nguyên tố đó có ít nhất một số không vượt quá n

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 Hà Huy Khoái, Chuyên đề BDHSG Số học

2 Michal Krizek, 17 lectures on Fermat numbers

3 Tony Skyner, Perfect Numbers

4 John Voight, Perfect numbers