Phương pháp phản chứng hình học Hồng Huy Thơng - Bùi Bá Anh 10CT, Nguyễn Văn Quang Trường THPT Chun Nguyễn Du, Đắk Lắk Trong tốn học, hình học phần quan trọng, biết đến từ sớm, phát triển không ngừng nghỉ từ xưa tới Trong hệ thống THCS, THPT, hình học xem phần quan trọng nhất, thu hút nhiều bạn học sinh tìm tòi, học tập Ngay kì thi tuyển sinh, Học sinh giỏi, Olympic, tốn hình học ln góp mặt tốn khó, thường dùng để phân loại Do tính phát triển liên tục, tốn hình học kì thi ngày phức tạp, đòi hỏi phải tìm thêm “cơng cụ” mới, phương pháp để giải chúng, mà để làm phong phú, tích lũy thêm kinh nghiệm cho Bài viết xin giới thiệu phương pháp chứng minh hình học: Phương pháp phản chứng Phương pháp phản chứng hình học vốn khơng phải phương pháp q xa lạ, từ lớp 7, ta biết dùng kiến thức để chứng minh tính chất bản, chẳng hạn chứng minh hai góc so le - đồng vị nhau, ứng dụng Tiên đề Euclid Hay lớp trên, phương pháp sử dụng quan trọng việc chứng minh định lý đảo, điển hình định lý Ceva, Menelaus (có thể có cách chứng minh khác khơng sử dụng phương pháp này), chứng minh tính v.v Tuy nhiên, cho phương pháp mới, bản, có tốn dành riêng cho nó, phương pháp mẻ, sử dụng để chứng minh Cơ sở khoa học mục tiêu nghiên cứu 1.1 Cơ sở phương pháp chứng minh phản chứng Phương pháp chứng minh phản chứng mơ tả q trình lập luận sau: Cần chứng minh mệnh đề A B Để chứng minh A B đúng, ta xây dựng giả thiết: A đúng, A B sai Bởi A B sai, mà A nên B phải có giá trị sai, nghĩa Từ đúng, thong qua số phép biến đổi tương đương dẫn đến Từ giả thiết trình lập luận ta có A đồng thời đúng, dẫn đến mâu thuẫn Điều chứng tỏ giả thiết sai Vậy B hay A B (điều phải chứng minh) 1.2 Các bước suy luận phản chứng Bước 1: Giả sử điều phản chứng sai (phủ định mệnh đề cần chứng minh) Bước 2: Từ điều giả sử suy số tính chất, quan hệ mới, mà tính chất, quan hệ mâu thuẫn với điều cho trái với tính chất mà ta biết Bước 3: Kết luận điều giả sử ban đầu sai Từ tốn chứng minh Chú ý Trong bước trên, bước quan trọng cần tạo mệnh đề phủ định điều cần chứng minh phải xác Xin bắt đầu với toán sau: 236 Bài toán Chứng minh đường thẳng d cắt ba cạnh tam giác qua đỉnh tam giác Bài tốn coi tính chất hiển nhiên chứng minh hình học mà nhiều trình làm bài, ta thừa nhận kết Tuy nhiên, tính chất hồn tồn chứng minh Với bạn thường xuyên tiếp xúc, khơng hình học, kinh nghiệm là: Những tốn mang tính thừa nhận, đòi hỏi chứng minh, cách chứng minh thường gặp hiệu phản chứng! Lời giải Xét tam giác ABC Giả sử ngược lại, đường thẳng d không qua đỉnh tam giác Khi d chia mặt phẳng làm hai miền Do đỉnh tam giác khơng có đỉnh thuộc d, theo ngun tắc Dirichlet, tồn miền chứa hai đỉnh, khơng tính tổng qt, đỉnh A đỉnh B Khi cạnh AB nằm hồn tồn nửa mặt phẳng cắt d được, mâu thuẫn với giả thiết d cắt tất ba cạnh tam giác ABC Vậy d phải qua đỉnh tam giác Bài tốn Cho hình vng ABCD có cạnh a, M trung điểm cạnh AD, điểm E nằm BC thỏa mãn điều kiện < CE < Qua M kẻ đường thẳng song song với AE, cắt cạnh CD F Chứng minh hình thang AMFE khơng thể hình thang cân Lời giải Giả sử AMFE hình thang cân Ta có AM = EF (1) Mặt khác, ta lại có: = = ⇒ EA tia phân giác góc ngồi đỉnh E tam giác EFC (2) Vì tứ giác ABCD hình chữ nhật nên CA tia phân giác đỉnh C tam giác EFC (3) Từ (2) (3) suy A tâm đường tròn bàng tiếp góc tam giác EFC, đường tròn bàng tiếp tiếp xúc với EC B, FC D Do đó: EF = BE + DF Theo giả thiết, < CE < ⇒ BE > EF = BE + DF > BE > = AM Mâu thuẫn với (1)! 237 Vậy điều giả sử sai ta có đpcm Nhận xét Trên toán phương pháp phản chứng hình học Ý tưởng phản chứng rõ ràng khơng khó để chứng minh Những toán giới thiệu sau toán tiếng từ kỳ thi HSG, mang vẻ đẹp thực phương pháp này, chúng không dễ để hình thành ý tưởng cách chứng minh: Bài tốn Cho ∆ABC có = 105o , đường trung tuyến BM đường phân giác CD cắt K cho KB = KC Tính góc ∆ABC Lời giải Kẻ AH vng góc với BC Xét tam giác AHC vng H, ta có AM = CM = HM (vì M trung điểm AC) Suy = = = (Vì KB = KC) Mà = + nên = Do tam giác HBM cân H Như HM = HB • Nếu HA > HB Suy < 45o mà = 105o nên > 600 Do = 1800 – < 600 ⇒ HA < HM ⇒ HA < HB Mâu thuẫn • Nếu HA < HB Hồn tồn tương tự suy vơ lý Vậy HA = HB Từ ta có = 45o , = 105o , = 300 Bài toán Chứng minh tam giác có hai đường phân giác tam giác tam giác cân (Định lí Steiner – Lenmus) Lời giải Cách Giả sử hai đường phân giác BD, CE thỏa mãn BD = CE Ta chứng minh Giả sử (Nếu chứng minh tương tự) Dựng hình bình hành BEID 238 Ta có ∆EIC cân E nên Mà nên (1) Xét ∆BCD ∆CBE, ta có BC chung BD = CE Nên CD > BE CD > DI Suy (2) Từ (1) (2) ta có Mâu thuẫn Do điều giả sử sai Vậy ∆ABC tam giác cân Cách Gọi F giao điểm BD CE Giả sử , ta lấy điểm I đoạn thẳng FE cho Khi tứ giác BICD tứ giác nội 239 tiếp Mặt khác nên Suy Ta có < 900 (vì ) nên từ suy Do CI > BD, dẫn đến CE > BD, trái với giả thiết Vậy , ∆ABC cân A Nhận xét Ngoài hai cách dùng phản chứng trên, có cách dùng cơng thức tính độ dài đường phân giác biến đổi đại số sau: Ta có Vì nên ta có hay Vậy b = c hay tam giác ABC cân A Bài toán Cho tam giác nhọn ABC có đường cao kẻ từ B C cắt O Chứng minh đường tròn nội tiếp tam giác OAB đường tròn nội tiếp tam giác OAC có bán kính tam giác ABC tam giác cân (Đề thi học sinh giỏi lớp tỉnh Quảng Ngãi-2009) Nhận xét So với toán định lý Steiner - Lenmus, việc hình thành ý tưởng cho toán “phong phú” hơn, toán cho nhiều kiện, phù hợp với phương pháp chứng minh thông thường kẻ đường phụ,xét quan hệ độ dài, tam giác v.v, đặc biệt giả thiết có xuất đường tròn nội tiếp tam giác tư tưởng lại khẳng định Thế nhưng, bạn đọc thử chứng minh xem, liệu dễ dàng thực cách làm Tơi xin khẳng định bước đầu, cách chứng minh thông thường thất bại, q trình tìm tòi, ta dễ dàng nhận cách làm thiếu kiện “nào đó”, thứ chưa đủ để chứng minh “xuôi về” mà phục vụ tam giác cân, giả thiết có tính đối xứng Đứng trước tình đó, tư tưởng phản chứng tư tưởng cuối mà phù hợp 240 Lời giải Gọi X,Y tâm đường tròn nội tiếp tam giác OAB OAC H,K thứ tự tiếp điểm hai đường tròn với AB,AC Từ giả thiết suy XH = YK Do O trực tâm tam giác ABC nên (cùng phụ ) Xét ∆BXH ∆CYK vng H, K ta có: = XH = YK Suy ∆BXH = ∆CYH (cạnh huyền – góc nhọn) Từ ta có BH = CK • Nếu AB > AC AH > AK (do BH = CK) < (1) ⇒ ⇒ (do OA vng góc BC) ⇒ AB < AC (trái với điều giả sử) • Nếu AB < AC, hoàn toàn tương tự ta suy AB > AC, mâu thuẫn Tóm lại, AB = AC, tức ∆ABC cân A Chú ý Trong tốn này, ta thừa nhận tính chất hiển nhiên (1), điều hoàn toàn chứng minh sau: Do AH > AK nên đoạn AH, lấy I cho IH = AK, dễ chứng minh ∆IHX = ∆AKY (c-g-c), từ áp dụng tính chất góc ngồi ý I nằm A H, ta có đpcm Bài tốn Cho hình bình hành ABCD, AB < AD, góc A tù, E điểm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD Đường thẳng a qua đỉnh C cắt AB AD H K Chứng minh E tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AHK đường thẳng a chứa đường phân giác góc BCD Nhận xét Cũng giống toán trên, ý tưởng cho tốn phương pháp hình học thơng thường, chắn “dám” nghĩ sử dụng phương pháp phản chứng để chứng minh, tốn có nhiều giả thiết phức tạp, giả thiết có phần khơng đối xứng Điều gợi cho ta nghĩ tới phương pháp lại từ kết luận tốn Sau chúng tơi xin giới thiệu cách giải sử dụng phương pháp phản chứng: 241 • Nếu AH = AK = Suy = = = (do ABCD hình bình hành) Do đường thẳng a chưa tia phân giác • Nếu AH > AK, hạ EI , EF thứ tự vng góc AB AD ( I thuộc AB, F thuộc AD) Suy EF > EI ( khoảng cách từ tâm tới dây bé lớn hơn) Mặt khác, tứ giác ABDE nội tiếp nên = , ta có ∆BEI ∆DEF tam giác vuông đồng dạng ⇒ = ⇒ EI.DF = EF.BI, mà EF > EI nên DF > BI Ta lại có FK = AK < AH = AI ⇒ DK = DF – FK > BI – AI = AB = DC Mặt khác, dễ thấy ∆DCK đồng dạng với ∆AHK nên: > = ⇒ AH < AK Mâu thuẫn với điều giả sử! • Nếu AH < AK, hồn tồn tương tự ta suy điều vơ lý Tóm lại, xảy AH = AK ta có đpcm Từ tốn lần khẳng định vẻ đẹp phương pháp phản chứng hình học, mà khẳng định lại tính “khơng tự nhiên” Những tốn sử dụng phương pháp phản chứng hay, khó để nghĩ tới tìm lời giải cho phương pháp Vì tốn trên, tốt hết bạn đọc thử tạo cách giải khác mang tính “tự nhiên” hơn, từ nhiều giả thiết phức tạp, hồn tồn có nhiều cách giải khác cho Bài tốn Cho hình vng ABCD, điểm M thuộc miền hình vuông thỏa mãn điều kiện = = 15o Chứng minh tam giác MBC Nhận xét Đây toán quen thuộc sử dụng phương pháp tính tốn góc kẻ đường phụ, khơng khó tốn trên, nhiên bạn biết đến cách chứng minh khác cho toán Đó điểm mẻ toán: Phản chứng minh! Theo giả thiết ta suy ra: = = 75o (1) = 1500 (2) Ta có ∆MAD cân M nên MA=MD (3) Từ (1) (3) ⇒ ∆BMA = ∆CMD (c – g –c ) (4) ⇒ MB = MC hay MBC cân M ⇒ = Giả sử ∆MBC không đều, suy MB > BC MB < BC • Nếu MB > BC, tức MB > AB 242 ⇒ > , từ (1) suy ra: < 75o (5) Từ (2), (4), (5) ta có: + + < 3000 0 ⇒ > 600 ⇒ < 180 2−60 = 600 Do > ⇒ MB < BC (vơ lý) • Nếu BC > MB, hoàn toàn tương tự ta suy điều vơ lý Vậy phải có MB = BC, kết hợp với MB = MC, ta suy ∆MBC Bài toán Chứng minh đường thẳng đồng thời chia chu vi diện tích tam giác thành hai phần đường thẳng qua giao điểm đường phân giác tam giác Nhận xét Bài tốn thực tốn khó - ý tưởng lẫn cách chứng minh, chí phương pháp quen thuộc “mạnh” kẻ đường phụ không xử lí Nguyên nhân nằm giả thiết rời rạc Vì khéo léo khai triển giả thiết từ suy nghĩ đơn giản tư tưởng phản chứng minh tốn lại rõ Lời giải Xét tam giác ABC có tâm đường tròn nội tiếp I Giả sử đường thẳng MN chia chu vi diện tích tam giác thành phần nhau, ta chứng minh MN qua I Từ giả thiết ta có được: AM + AN = BM + BC + CN (1) SAMN = SBMNC (2) Gọi r khoảng cách từ I tới cạnh tam giác, từ (1) ta có: r(AM + AN) = r(MB + BC + CN) ⇒ SIAM + SIAN = SIMB + SIBC + SINC (3) Tới ý tưởng rõ, ta thấy I thuộc MN đẳng thức (3) (2), vậy, ta phản chứng • Nếu I nằm tam giác AMN trừ vế theo vế (2) cho (3) ta SIMN = –SIMN (vô lý) • Nếu I nằm ngồi tam giác AMN trừ vế theo vế (2) cho (3) ta –SIMN = SIMN (vô lý) Như vậy, I phải nằm cạnh tam giác AMN, hiển nhiên I không nằm AM, AN, I thuộc MN 243 Bài toán Gọi P điểm tam giác ABC, đường thẳng AP, BP, CP cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác tam giác ABC lại K, N, M Tiếp tuyến C cắt cạnh AB kéo dài S Biết MK = MN Chứng minh SC = SP Lời giải Gọi E, F thứ tự giao điểm SP với đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC • Giả sử ME > MF, suy = – < – = (do MN = MK) Do EK < FN( góc nội tiếp chắn cung EK FN) ⇒=+ 1800 – = Tồn điểm D đoạn SA cho = ∆SPD đồng dạng ∆SBP SP2 = SB.SD < SB.SA = SC2 (do SC tiếp tuyến đường tròn) ⇒ SP < SC (1) Mặt khác, ME > MF = + > + = (góc tạo tiếp tuyến dây góc có đỉnh bên đường tròn) SP > SC (cạnh đối diện góc lớn lớn hơn) Điều mâu thuẫn với (1) Tương tự trường hợp lại, ME < MF, ta thu điều mâu thuẫn Vậy xảy khả ME = MF, = hay SP = SC Nhận xét Từ toán lần khẳng định vẻ đẹp phương pháp phản chứng hình học, mà khẳng định lại tính “khơng tự nhiên” Những toán sử dụng phương pháp phản chứng hay, khó để nghĩ tới tìm lời giải cho phương pháp Vì toán trên, tốt hết bạn đọc thử tạo cách giải khác mang tính “tự nhiên” hơn, từ nhiều giả thiết phức tạp, hồn tồn có nhiều cách giải khác cho 244 Bài tập đề nghị Bài tập Có tồn hay khơng tam giác có hai đường trung tuyến nhỏ nửa cạnh đối diện? Bài tập Cho đường tròn (O) I, K trung điểm dây cung AB, CD Biết AB > CD tia AB cắt tia CD P, chứng minh PI > PK Bài tập Cho đường tròn tâm O có hai đường kính AB CD vng góc với Gọi I K trung điểm OA, OB Tia CK cắt (O) F Chứng minh khơng phải góc vng Bài tập Cho tam giác ABC có trọng tâm G Chứng minh AB + GC = AC + GB ABC tam giác cân Kết luận Đề tài viết theo chương trình THPT, dùng cho học sinh, giáo viên việc nghiên cứu tham khảo Chứng minh phương pháp phản chứng dạng toán hay giúp ta giải bàn tốn với tính đắn thấy mà cách chứng minh khác làm Trong đề tài, đưa sở lý thuyệt, số tập, nhận xét rút trình nghiên cứu Tuy nhiên nhận xét mang tính cá nhân nên có nhiều hạn chế Mong nhận góp ý bổ ích từ Thầy, Cơ bạn độc giả Xin trân trọng cảm ơn! Buôn Ma Thuột, ngày 28 tháng 12 năm 2014 Tài liệu tham khảo Nguyễn Bá Đang (Tuyển chọn): 279 Bài tốn hình học phẳng Olympic nước, NXBGD Lê Quốc Hán: Ẩn sau định lý Ptoleme, NXB Giáo dục, 2007 Đoàn Quỳnh (Chủ biên) : Tài liệu Chun tốn Hình học, NXB Giáo dục Tạp chí Tốn học Tuổi trẻ Diễn đàn toán học VMF: http:/ diendantoanhoc.net/forum Diễn đàn Mathscope: http://website.informer.com/forum.mathscope.or Diễn đàn AOSP: http://www Artofproblemsolving.com/forum Mathlink.ro 245 ... Chun tốn Hình học, NXB Giáo dục Tạp chí Tốn học Tuổi trẻ Diễn đàn toán học VMF: http:/ diendantoanhoc.net/forum Diễn đàn Mathscope: http://website.informer.com/forum.mathscope.or Diễn đàn AOSP: