Thông tin tài liệu
TÂM ĐỐI XỨNG CỦA ĐỒ THỊ, PHÉP TỊNH TIẾN A CHUẨN KIẾN THỨC I.TÍNH LỒI , LÕM, ĐIỂM UỐN CỦA ĐƯỜNG CONG Định nghĩa Gọi (C) đồ thị hàm số y f x a;b f có đạo hàm cấp hai a;b Ta nói : C lồi a;b điểm C , tiếp tuyến ln phía C C lõm a;b điểm C , tiếp tuyến ln phía C Điểm I thuộc C ngăn cách phần lồi , phần lõm C gọi điểm uốn C Định lí Cho hàm số y f x có đạo hàm câp hai a;b gọi C đồ thị hàm số a) Nếu f ''(x) với x thuộc a;b thi C đồ thị lồi khoảng b) Nếu f ''(x) với x thuộc a;b C đồ thị lõm khoảng c) Nếu f ''(x) đổi dâu x qua x0 thuộc a;b điểm I x0;f x0 uốn C II.TỊNH TIẾN HỆ TRỤC TỌA ĐỘ y Giả sử I x0;f x0 Y điểm điểm mặt phẳng tọa độ Oxy Phép tịnh tiến theo uur vectơ OI biến hệ tọa độ Oxy thành hệ tọa Y độ IXY y0 X I Giả sử M điểm mặt X phẳng * (x;y) tọa độ M hệ tọa độ x0 O x x Oxy * (X;Y) tọa độ M hệ tọa độ IXY x X x0 � Ta có cơng thức chuyển hệ tọa độ : � �y Y y0 y M III ĐỐI XỨNG CỦA HÀM SỐ 106 Lập phương trình ảnh đường Trên mặt phẳng Oxy , cho phép biến hình F có cơng thức tọa độ � x h(x') (nghĩa F biến M(x;y) thành M '(x';y') x,y,x',y' � �y g(y') thỏa hệ này) Gọi (C') ảnh (C) : y f(x) qua phép biến hình F Hãy lập phương trình (C) Cho phép biến hình F hai đường (C1),(C 2) Dựng điểm M ,N thuộc (C1),(C 2) cho N ảnh M qua phép biến hình F Cách giải: Vì (C') ảnh (C) : y f(x) qua phép biến hình F nên với M '(x';y') tùy ý thuộc (C') tồn M(x;y) thuộc (C) cho F(M) M ' Do đó, ta có � x h(x') � �y g(y') Vì M(x;y) �(C) nên y f(x) Vì ta g(y') f(h(x')) Vậy, phương trình (C') g(y) f(h(x)) Gọi (C1/ ) ảnh (C1) qua phép biến hình F Ta có N F(M) �F((C1)) (C1/ ) nên N giao điểm (C 2) (C1/ ) Dựa vào tính chất F ta tìm M Chú ý 1: Cho hàm số y f x , có đồ thị C 1.Nếu f x hàm số chẵn : Đồ thị có đối xứng qua trục Oy - có nghĩa , trục Oy trục đối xứng Nếu f x hàm số lẻ : Đồ thị nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng Cho hai điểm A x1;y1 ,B x2;y2 đường thẳng d : mx ny p Nếu A B đối xứng qua đường thẳng d phải thỏa mãn hệ sau : kAB.kd 1 , trung điểm I AB thuộc đường thẳng d , kAB y2 y1 x2 x1 Cho điểm I x0;y0 , chuyển hệ tọa độ Oxy dọc theo phương � x x0 X véc tơ OI cơng thức chuyển trục : � �y y0 y Khi phương trình đồ thị C hệ : Y F X;y0;x0 Chú ý : - Đối với đồ thị hàm phân thức , giao hai tiệm cận tâm đối xứng - Đối với hàm số bậc ba tọa độ điểm uốn tọa độ tâm đối xứng 107 - Đối với hàm số trùng phương trục Oy trục đối xứng đồ thị hàm số B LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Chứng minh đồ thị có trục đối xứng Phương pháp giải Công thức tọa độ phép tịnh tiến r Trong mặt phẳng Oxy , cho véc tơ v (a;b) Gọi Tvr phép tịnh tiến theo r véc tơ v Ta có M '(x';y') ảnh M(x;y) qua phép tịnh tiến Tvr � x' x a �x x' a �� � �y' y b �y y' b Đường (C) : y f(x) có ảnh qua phép tịnh tiến Tvr (C') : y b f(x a) � y f(x a) b Chứng minh đồ thị có trục đối xứng Cách - Giả sử trục đối xứng có phương trình : x x0 Gọi điểm I x0;0 uur OI � x x0 X - Chuyển Oxy ��� IXY � �y Y - Viết phương trình đường cong C tọa độ : Y F X;y0;x0 - Buộc cho hàm số chẵn : ( Cho hệ số ẩn bậc lẻ O ) - Giải hệ ẩn số bậc lẻ ta suy kết cần tìm Cách Nếu với x x0 trục đối xứng : f( x x0) f x0 x với x , ta thu kết Các ví dụ uuuu r Ví dụ : Tìm (C) : y x3 3x hai điểm M ,N cho MN (3;0) Phân tích hướng giải Giả thiết toán cho ta thấy N ảnh M qua phép tịnh r tiến Tvr , với v (3;0) Theo hướng giải tốn dựng điểm phép biến hình, ta nghĩ đến việc tìm ảnh (C') (C) qua phép tịnh tiến Tvr Khi ta "dựng" N giao điểm (C') (C) Lời giải Gọi (C') Tvr (C) (C') có phương trình y (x 3)3 3(x 3) � y x3 9x2 24x 15 Vì M �(C) nên N Tvr (M ) �Tvr (C) (C') Do đó, N giao điểm (C) (C') 108 Phương trình hồnh độ giao điểm (C) (C') x3 3x x3 9x2 24x 15 Phương trình có hai nghiệm x x uuuu r * Khi x ta N(1;1) Vì MN (3;0) nên M(2;1) uuuu r * Khi x ta N(2;5) Vì MN (3;0) nên M(1;5) Ví dụ : Tìm (C) : y x3 3x hai điểm M ,N cho MN song song với trục hồnh MN Phân tích hướng giải Giả thiết toán cho biết phương đường thẳng (MN) độ dài uuuu r MN khơng đổi Vì véc tơ MN xác định, sai khác hướng Lời giải r uuuu r r Vì MN song song với trục hồnh nên MN k.i , với i (1;0) véctơ đơn vị trục hoành uuuu r uuuu r r r Do MN nên k � k �3 Nếu k 3 MN 3v � NM 3v Vì khơng cần xem xét thứ tự hai điểm M với N nên ta cần xét uuuu r r trường hợp MN 3.i (3;0) Theo toán ta hai cặp điểm M(2;1) N(1;1) M(1;5) N(2;5) Ví dụ 3: Tìm điểm M thuộc C : y d : 2x cho khoảng cách từ M đến x y x bé Phân tích hướng giải Nhưng gọi H hình chiếu M lên đường thẳng (d) uuuu r r r HM k.n (k;k) , với n (1;1) véc tơ pháp tuyến đường thẳng (d) Với k cố định ta cần dựng điểm H �(d) , điểm M �(C) cho M ảnh r H qua phép tịnh tiến theo véc tơ v(k;k) Lời giải uuuu r r Gọi H hình chiếu M lên đường thẳng (d) HM k.n (k;k) , với r n (1;1) véc tơ pháp tuyến đường thẳng (d) r Gọi (d') ảnh (d) qua phép tịnh tiến Tvr với v (k;k) Ta có phương trình (d') là: y k (x k) � y x 2k Vì M Tvr (H) �Tvr (d) (d') M thuộc (C) nên hoành độ M nghiệm phương trình: 2x x 2k � x2 2(k 2)x 4k x ' k2 Phương trình có nghiệm �۳ 109 k Suy khoảng cách từ M đến (d) HM k �1 Đẳng thức xảy xM (ứng với k 1) xM (ứng với k ) Vậy, M(1;1) M(3;3) tọa độ cần tìm Ví dụ Chứng minh đồ thị y x4 x2 có trục đối 2 xứng vng góc với trục Ox Lời giải Hàm số cho hàm số chẵn, nên Oy trục đối xứng đồ thị hàm số Giả sử x m trục đối xứng khác đồ thị hàm số xét Với điểm M x0;y0 thuộc đồ thị M ' x0 ';y0 ' điểm đối xứng với M qua đường thẳng x m , tọa độ điểm M ' xác định � x0 x0 ' 2m � �y0 y0 ' Vì M ' thuộc đồ thị hàm số, nên tọa độ nghiệm phương trình: y0 ' x04 ' 2m x0 2m x0 2 x02 ' 2m x0 Vì y0 y0 ' nên có: x0 x2 2m x0 , x0 2 2 2 x2 2m x0 2�� x2 2m x0 � với x0 Tức � � � � �0 �� �0 � Nhận thấy, không tồn m để đẳng thức x02 2m x0 với x0 Do vậy, x02 2m x0 với x0 m Vậy, x trục đối xứng đồ thị hàm số CÁC BÀI TỐN LUYỆN TẬP Bài 1: Tìm m để (C) : y x3 3x dm : y x m cắt ba điểm M ,N mà có hai điểm cho MN Bài 2: Tìm (C) : y x3 3x hai điểm M ,N cho MN song song với trục hoành MN lớn Bài 3: Cho hàm số y x4 4x3 7x2 6x 4, có đồ thị C Chứng minh đường thẳng x trục đối xứng đồ thị C ( Hoặc : Chứng minh đồ thị hàm số có trục đối xứng ; tìm phương trình trục đối xứng ? ) Bài 4: Tìm tham số m để đồ thị hàm số : y x4 4x3 mx2 , có đồ thị Cm , có trục đối xứng song song với trục Oy 110 Dạng 2: Chứng minh đồ thị có tâm đối xứng Công thức tọa độ phép đối xứng tâm Trong mặt phẳng Oxy , cho điểm I(a;b) Gọi SI phép đối xứng tâm I Ta có M '(x';y') ảnh M(x;y) qua SI � x' 2a x � x 2a x' �� � y 2b y' �y' 2b y � Đường (C) : y f(x) có ảnh qua đối xứng tâm SI (C) : 2b y f(2a x) � y f(2a x) 2b Chứng minh đồ thị có tâm đối xứng Cách - Giả sử đồ thị C có tâm đối xứng I x0;y0 uur � x x0 X OI - Chuyển : Oxy ��� IXY � �y y0 Y - Viết phương trình C hệ tọa độ : Y F X;y0;x0 - Buộc cho hàm số lẻ : ( Cho hệ số ẩn bậc chẵn ) - Giải hệ ( với hệ số ẩn bậc chẵn ) ta suy kết Cách Nếu đồ thị C nhận điểm I làm tâm đối xứng : f(x0 x) f(x0 x) 2y0 với x Các ví dụ Ví dụ 1: Chứng minh đồ thị (C) : y I(2;1) x có tâm đối xứng điểm x Lời giải Gọi (C') ảnh (C) qua phép đối xứng tâm SI (C') có phương trình [2�(2) x] x 2�1 y � y [2�(2) x] x Do (C') trùng với (C) nên (C) có tâm đối xứng I(2;1) Chú ý: Thực phép tịnh tiến hệ trục tọa độ Oxy thành hệ trục tọa độ � x X xI IXY theo công thức � �y Y yI Viết phương trình (C) hệ trục tọa độ IXY chứng minh hàm số thu hàm số lẻ Ví dụ 111 Tìm tham số thực m để điểm I thuộc đồ thị C : y x3 3mx2 m 2 x nằm trục hoành Biết hoành độ điểm I nghiệm phương trình y'' Lời giải Hàm số cho xác định liên tục � Ta có : y' 3x2 6mx m y'' 6x 6m y'' � x m Dễ thấy y'' đổi dấu x qua điểm x0 m Suy I m;2m m 2m điểm uốn đồ thị cho 2 Vì I �Ox � 2m m 2m � m 1 2m m � m m 1 m CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài 1: Chứng minh giao hai tiệm cận tâm đối xứng đồ thị y x x x2 có tâm đối xứng , tìm tọa độ tâm đối xứng x1 Bài 2: Cho hàm số y x3 3x2 1có đồ thị C Chứng minh y Xác định điểm I thuộc đồ thị C hàm số cho , biết hoành độ điểm I nghiệm phương trình y'' uur Viết công thức chuyển hệ tọa độ phép tịnh tuyến theo vectơ OI viết phương trình đường cong C hệ IXY Từ suy I tâm đối xứng đường cong C Viết phương trình tiếp tuyến đường cong C điểm I hệ tọa độ Oxy Chứng minh khoảng �;1 đường cong C nằm phía tiếp tuyến điểm I C khoảng 1;� đường cong C nằm phía tiếp tuyến Bài 3: Cho hàm số y x3 m 3 x2 3m x 2m có đồ thị C m , m tham số thực Gọi I điểm có hồnh độ nghiệm phương trình y'' Tìm tham số m để đồ thị hàm số có cực trị điểm I nằm trục Ox 112 Dạng 3: Tìm tham số m để đồ thị có tâm đối xứng Nếu f x;m hàm số phân thức hữu tỷ : - Tìm tọa độ giao hai tiệm cận Giả sử giao hai tiệm cận J a;b � a x0 �m - Để I tâm đối xứng buộc J trùng với I ta suy hệ : � �b y0 Nếu f x;m hàm số bậc ba �y''(x;m) �x a �� � J a;b - Tìm tọa độ điểm uốn : � � �y f(x;m) �y b - Tương tự , để I tâm đối xứng , ta cho J trùng với I ta suy hệ : � a x0 �m � �b y0 Các ví dụ 2m x có đồ thị C m Tìm m�� để x m tồn điểm B cho tam giác ABI vng cân A Trong Ví dụ Cho hàm số y Cm A 0;1 I m; 1 Lời giải uur Ta có: AI m; 2 r � m 2b � � 2m b � uuu Vì điểm B � C m � B�b; �� AB �b; � � m b � � m b � uuu r uur � AB AI � AB.AI � �� Tam giác ABI vuông cân A � � AB AI AB2 AI � � � � m 2b �m 2b bm mb 0 1 � �m b m b � � �� 2�� m 2b � � 2 � � bm � � m 4 b � m b � � � 2 � �m b � � � � � � � m2 � b2 2 1 � b �2 �� Từ 2 � m b � � � � � m m � m2 3m � m m 4 Nếu b 2 1 � m m m � m2 3m � m 1 Nếu b 1 � m m 113 Vậy m �1, m �4 giá trị cần tìm Ví dụ Cho hàm số y x4 mx3 4x m Tìm tất tham số thực m để hàm số cho có 3cực trị A ,B,C trọng tâm G tam giác ABC 4x trùng với tâm đối xứng đồ thị hàm số y 4x m Lời giải �m � 4x Đồ thị hàm số y có tâm đối xứng I � ; 1� 4x m �4 � Hàm số : y x4 mx3 4x m , liên tục � Ta có : y' 4x3 3mx2 Hàm số cho có cực trị phương trình y' có nghiệm phân biệt , hay phương trình 4x3 3mx2 có nghiệm phân biệt Xét hàm số g x 4x3 3mx2 liên tục � lim g x �, lim g x � x�� x�� � x 0,g 0 � Ta có : g' x 12x 6mx � g' x � � m �m � 16 m3 x ,g � � � � �2 � g' x đổi dấu lần qua nghiệm g x có 3nghiệm phân biệt �m 0 � �2 � m 23 � �16 m � � Giả sử A x1;y1 ,B x2;y2 ,C x3;y3 tọa độ cực trị thỏa mãn đề bài, �x m � 3m2x2 5m 3x 2 y y� � � 16 16 � � 3m2xi2 5m 3xi 2,yi ' i 1,2,3 16 �x x x3 y1 y y � ; Vì G trọng tâm tam giác ABC , nên G � � 3 � � �x1 x2 x3 � m 5m G� ; x12 x22 x32 x1 x2 x3 2� � � 16 � � � yi 114 Do x1,x2 ,x3 nghiệm phương trình 4x3 3mx2 , theo định lý Vi� 3m x1 x2 x3 � et ta có � � x x x x x 3x1 �1 �x1 x2 x3 m � � �� 9m2 � 2 x x x x x x x x x x x x 3 2 3 � 16 � �m � 9m 5m ; 2�và trọng tâm G tam giác ABC trùng với Khi G � �4 � 16 � � 4x tâm đối xứng đồ thị hàm số y 4x m �m � �m � 9m4 5m G� ; 2��I � ; 1� � m 4 9m3 36m2 144m 64 �4 � �4 � 162 � � � m Vậy m thỏa mãn đề Chú ý : Ngoài cách giải ta trình bày : Hàm số cho có cực trị phương trình y' có nghiệm phân biệt , nghĩa phương trình 4x3 3mx2 có nghiệm phân biệt Khi phương trình 4x3 x2 3m có nghiệm phân biệt khác Nói khác 4x3 đường thẳng y 3m cắt đồ thị hàm số h x , giao x2 điểm Đến dễ dàng CÁC BÀI TỐN LUYỆN TẬP Bài 1: Tìm m để hàm số y x3 3x2 3mx 3m có tâm đối xứng I 1;2 Tìm m để hàm số y 2x2 m 4 x 2m x có tâm đối xứng I 2;1 x Bài 2: Tìm m để đồ thị hàm số y 3mx2 m I 1;0 m �0 có tâm đối xứng Bài 3: Cho hàm số y x3 (3m 1)x2 2mx m có đồ thị (C m ) Tìm đồ thị (C 2) cặp điểm đối xứng qua O Tìm m để (C m ) tồn cặp điểm đối xứng qua Oy 115 Dạng 4: Lập phương trình đường cong đối xứng với đường cong qua điểm qua đường thẳng Phương trình phép đối xứng tâm Trong mặt phẳng Oxy , cho điểm I(a;b) Gọi SI phép đối xứng tâm I Ta có M '(x';y') ảnh M(x;y) qua SI khi: � x' 2a x � x 2a x' �� � y 2b y' �y' 2b y � r Đường (C) : y f(x) có ảnh qua phép tịnh tiến theo véc tơ v (C') :2b y f(2a x) � y 2b f(2a x) Phương trình phép đối xứng qua đường thẳng Trong mặt phẳng Oxy , cho đường thẳng () :Ax By C 0, A B2 Gọi S phép đối xứng qua đường thẳng () Ta có M '(x';y') ảnh M(x;y) qua S � (Ax By C) � (Ax' By' C) x' x 2A x x' 2A � � 2 � � A B A B2 �� � �y' y 2B (Ax By C) �y y' 2B (Ax' By' C) 2 � � � A B � A B2 Lập phương trình đường cong đối xứng với đường cong qua điểm qua đường thẳng Cho đường cong C có phương trình y f x điểm M x0;y0 (cho sẵn) 1.Lập phương trình đường cong C' đối xứng với đường cong C qua điểm M Lập phương trình đường cong C' đối xứng với đường cong C qua đừng thẳng d : y kx m Cách giải: Gọi N x;y thuộc C : y f x điểm - Gọi N' điểm đối xứng với N qua M : � x' 2x0 x 1 � N ' x';y' � C' � � �y' 2y0 y 2 � x 2x0 x' - Từ 1 2 ta có : � , Thay x,y tìm vào : y f x ,ta suy �y 2y0 y' y' g x';x0;y0 Đó phương trình đường cong C' Gọi A x;y � C � y f(x);B x';y' � C' 116 - Nếu C C' đối xứng qua d A ,B đối xứng qua d : � �y' y � k� � � 1 1 kA B.kd 1 � �x' x � � �� �� I �d � �y' y k �x x' � b � � � � � � 2 Ở 1 2 k,b số biết Ta tìm cách khử x y 1 2 để phương trình có dạng y' g x' Đó phương trình C' cần tìm Chú ý: Xét phép biến hình g : M x,y � M ’ x’;y’ Để tìm phương trình C' ,ảnh C qua phép biến hình g , ta tính x y theo x’ y’ sau thay x, y vào phương trình C suy phương trình C' Đặc biệt Cho C : y = f(x) * Nếu C' f( -x) * Nếu C' f(x) * Nếu C' -x) * Nếu C' = f(y) Các ví dụ đối xứng với C qua gốc tọa độ O phương trình C' y = đối xứng với C qua trục hồnh độ phương trình C' y = đối xứng với C qua trục tung độ phương trình C' y = f( đối xứng với C qua đường thẳng y = x phương trình C' : x Ví dụ : Lập phương trình đường cong C' đối xứng với C : y qua đường thẳng d : x y 3x x Lời giải Gọi A x;y thuộc C B x';y' thuộc C' � x x' x � �I y y' , kd 1 Gọi I trung điểm AB nên có: � kAB x x' �y y y' �I Nếu C' đối xứng với C qua d , A B đối xứng qua d 117 �y y' 1 1 � kA B.kd 1 � �y y' x x' �y x y' x' � �� � �x x' �� ;� � x y x' y' I �d � �y x y' x' �x x' y y' � � 2 �y x' 10 10 �� � x' � y' x y' y' x' � 10 Vậy, phương trình hàm số C' đối xứng với C y x Ví dụ : Viết phương trình đường thẳng qua A(1;4) cắt (C) : y x3 3x ba điểm mà có hai ba điểm đối xứng qua A Lời giải Giả sử đường thẳng () qua A cắt (C) ba điểm mà có hai điểm M(x1;y1) , N(x2;y2) đối xứng qua A Ta có M ,N thuộc (C) M ,N đối xứng qua A nên chúng giao điểm (C) ảnh (C') (C) qua phép đối xứng SA Phương trình (C') 2�4 y (2�1 x)3 3(2�1 x) � y x3 6x2 9x Vì M ,N giao điểm (C) (C') nên x1,x2 nghiệm phương trình x3 3x x3 6x2 9x � 3x2 6x Thực phép chia (x3 3x 2) cho (3x2 6x 1) ta �1 2� x3 3x (3x2 6x 1)� x � x 3� 3 �3 Vì M ,N thuộc (C) x1,x2 nghiệm phương trình 3x2 6x nên � �1 2� �y1 (3x1 6x1 1)� x1 � x1 3� 3 � �3 � � �y (3x2 6x 1) �1 x � x � � 2 � 3� 3 �3 � � y x � �1 3 � �y x �2 3 Suy phương trình đường thẳng () �(MN) y x 3 Phương trình hồnh độ giao điểm (C) () x3 3x Phương trình có ba nghiệm x 2,x x 3 �2 118 x2 x có đồ thị C Gọi C' đồ thị đối x1 xứng với C qua điểm A 3;4 Tìm phương trình đồ thị C' Ví dụ Cho hàm số : y Lời giải Gọi M x,y � C M ' x',y' � C' đối xứng qua đồ thị C qua điểm A 3;4 �x x' 3 � � x x' � �� Ta có � �y y' �y y' � Thay vào đồ thị C :8 y' Hay y' x' x' x'2 11x' 31 x' x' x'2 11x' 31 3x' x'2 x' x' Vậy phương trình đồ thị C' : y Ví dụ Cho hàm số y x2 3x x2 3x x x mx 4m , cho m hai giá trị m1 m2 Tìm hệ x m thức liên hệ m1 m2 để hai đường cong C m C m suy từ đường nhờ phép tịnh tiến Lời giải mx 4m m2 4m m ,x �m x m x m Xét trường hợp m �1,m �3 y � x X m Công thức chuyển hệ tọa độ: � �y Y m Phương trình đường cong C m hệ tọa độ IXY là: Y m m m2 4m m2 4m hay Y X m m X Phương trình C m Phương trình C m m2 4m1 hệ tọa độ I 1XY : Y X m2 4m2 hệ tọa độ I 2XY : Y X Một hai đường cong C C m1 m2 suy từ đường nhờ phép tịnh tiến khi: m12 4m1 m22 4m2 119 � m1 m2 m1 m2 4 � m1 m2 m1 m2 Khi m1 1� m2 m2 Khi m1 � m2 m2 CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài 1:Lập phương trình đường cong C' đối xứng với x2 x C : y qua điểm I 1;1 x I 0;2 x4 C : y 3x2 qua điểm 2 Bài 2:Lập phương trình đường cong C' đối xứng với C : y x x qua đường thẳng d : x 2y x x2 x 2 C : y qua đường thẳng d : y x C : y 2x(4 x) qua Ox Chứng minh C cắt C' theo Elíp, viết phương trình E-Líp ? Bài 3: Gọi (C) đồ thị hàm số y x3 3x Viết phương trình (C’) với u r (C’) ảnh (C) qua phép tịnh tiến vectơ u (1;2) (C’) ảnh (C) qua phép đối xứng tâm I(-1;1) (C’) ành qua phép đối xứng trục (d) với (d) đường thẳng phương trình x = Bài 4: Cho hàm số y x3 3ax2 bx Tìm a,b để hàm số đạt cực trị điểm x điểm có hồnh độ thỏa mãn phương trình y'' nằm đường cong y 2x3 11x2 6x Cho hàm số y x3 3ax2 2a2x a2 b hai điểm A 2;1 , B 0; 2 Tìm a,b để đồ thị hàm số có điểm I có hồnh độ thỏa mãn phương trình y'' cho tứ giác ABOI hình bình hành ( O gốc tọa độ ) 120 ... suy hệ : � a x0 �m � �b y0 Các ví dụ 2m x có đồ thị C m Tìm m�� để x m tồn điểm B cho tam giác ABI vuông cân A Trong Ví dụ Cho hàm số y Cm A 0;1 I m; 1 Lời giải uur Ta... uuu Vì điểm B � C m � B�b; �� AB �b; � � m b � � m b � uuu r uur � AB AI � AB.AI � �� Tam giác ABI vuông cân A � � AB AI AB2 AI � � � � m 2b �m 2b bm mb 0 1 � �m b ... số y x4 mx3 4x m Tìm tất tham số thực m để hàm số cho có 3cực trị A ,B,C trọng tâm G tam giác ABC 4x trùng với tâm đối xứng đồ thị hàm số y 4x m Lời giải �m � 4x Đồ thị hàm số
Ngày đăng: 02/05/2018, 09:31
Xem thêm:
