4 TINH TIEN, TAM DOI XUNG

TÂM ĐỐI XỨNG CỦA ĐỒ THỊ, PHÉP TỊNH TIẾN A CHUẨN KIẾN THỨC I.TÍNH LỒI , LÕM, ĐIỂM UỐN CỦA ĐƯỜNG CONG Định nghĩa Gọi (C) đồ thị hàm số y  f  x  a;b f có đạo hàm cấp hai  a;b Ta nói :  C  lồi  a;b điểm  C  , tiếp tuyến ln phía  C   C  lõm  a;b điểm  C  , tiếp tuyến ln phía  C Điểm I thuộc  C  ngăn cách phần lồi , phần lõm  C  gọi điểm uốn  C  Định lí Cho hàm số y  f  x có đạo hàm câp hai  a;b gọi  C  đồ thị hàm số a) Nếu f ''(x)  với x thuộc  a;b thi  C  đồ thị lồi khoảng b) Nếu f ''(x)  với x thuộc  a;b  C  đồ thị lõm khoảng  c) Nếu f ''(x) đổi dâu x qua x0 thuộc  a;b điểm I x0;f  x0  uốn  C  II.TỊNH TIẾN HỆ TRỤC TỌA ĐỘ y  Giả sử I x0;f  x0  Y   điểm điểm mặt phẳng tọa độ Oxy Phép tịnh tiến theo uur vectơ OI biến hệ tọa độ Oxy thành hệ tọa Y độ IXY y0 X I Giả sử M điểm mặt X phẳng * (x;y) tọa độ M hệ tọa độ x0 O x x Oxy * (X;Y) tọa độ M hệ tọa độ IXY x  X  x0 � Ta có cơng thức chuyển hệ tọa độ : � �y  Y  y0 y M III ĐỐI XỨNG CỦA HÀM SỐ 106 Lập phương trình ảnh đường Trên mặt phẳng Oxy , cho phép biến hình F có cơng thức tọa độ � x  h(x') (nghĩa F biến M(x;y) thành M '(x';y') x,y,x',y' � �y  g(y') thỏa hệ này) Gọi (C') ảnh (C) : y  f(x) qua phép biến hình F Hãy lập phương trình (C) Cho phép biến hình F hai đường (C1),(C 2) Dựng điểm M ,N thuộc (C1),(C 2) cho N ảnh M qua phép biến hình F Cách giải: Vì (C') ảnh (C) : y  f(x) qua phép biến hình F nên với M '(x';y') tùy ý thuộc (C') tồn M(x;y) thuộc (C) cho F(M)  M ' Do đó, ta có � x  h(x') � �y  g(y') Vì M(x;y) �(C) nên y  f(x) Vì ta g(y')  f(h(x')) Vậy, phương trình (C') g(y)  f(h(x)) Gọi (C1/ ) ảnh (C1) qua phép biến hình F Ta có N  F(M) �F((C1))  (C1/ ) nên N giao điểm (C 2) (C1/ ) Dựa vào tính chất F ta tìm M Chú ý 1: Cho hàm số y  f  x , có đồ thị  C  1.Nếu f  x hàm số chẵn : Đồ thị có đối xứng qua trục Oy - có nghĩa , trục Oy trục đối xứng Nếu f  x hàm số lẻ : Đồ thị nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng Cho hai điểm A  x1;y1 ,B x2;y2  đường thẳng d : mx  ny  p  Nếu A B đối xứng qua đường thẳng d phải thỏa mãn hệ sau : kAB.kd  1 , trung điểm I AB thuộc đường thẳng d , kAB  y2  y1 x2  x1 Cho điểm I  x0;y0  , chuyển hệ tọa độ Oxy dọc theo phương � x  x0  X véc tơ OI cơng thức chuyển trục : � �y  y0  y Khi phương trình đồ thị  C  hệ : Y  F  X;y0;x0  Chú ý : - Đối với đồ thị hàm phân thức , giao hai tiệm cận tâm đối xứng - Đối với hàm số bậc ba tọa độ điểm uốn tọa độ tâm đối xứng 107 - Đối với hàm số trùng phương trục Oy trục đối xứng đồ thị hàm số B LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Chứng minh đồ thị có trục đối xứng Phương pháp giải Công thức tọa độ phép tịnh tiến r Trong mặt phẳng Oxy , cho véc tơ v  (a;b) Gọi Tvr phép tịnh tiến theo r véc tơ v Ta có M '(x';y') ảnh M(x;y) qua phép tịnh tiến Tvr � x'  x  a �x  x' a �� � �y'  y  b �y  y' b Đường (C) : y  f(x) có ảnh qua phép tịnh tiến Tvr (C') : y  b  f(x  a) � y  f(x  a)  b Chứng minh đồ thị có trục đối xứng Cách - Giả sử trục đối xứng có phương trình : x  x0 Gọi điểm I  x0;0 uur OI � x  x0  X - Chuyển  Oxy  ���  IXY   � �y  Y - Viết phương trình đường cong  C  tọa độ : Y  F  X;y0;x0    - Buộc cho   hàm số chẵn : ( Cho hệ số ẩn bậc lẻ O ) - Giải hệ ẩn số bậc lẻ ta suy kết cần tìm Cách Nếu với x  x0 trục đối xứng : f( x  x0)  f  x0  x với x , ta thu kết Các ví dụ uuuu r Ví dụ : Tìm (C) : y  x3  3x  hai điểm M ,N cho MN  (3;0) Phân tích hướng giải Giả thiết toán cho ta thấy N ảnh M qua phép tịnh r tiến Tvr , với v  (3;0) Theo hướng giải tốn dựng điểm phép biến hình, ta nghĩ đến việc tìm ảnh (C') (C) qua phép tịnh tiến Tvr Khi ta "dựng" N giao điểm (C') (C) Lời giải Gọi (C')  Tvr (C) (C') có phương trình y   (x  3)3  3(x  3)  � y  x3  9x2  24x  15 Vì M �(C) nên N  Tvr (M ) �Tvr (C)  (C') Do đó, N giao điểm (C) (C') 108 Phương trình hồnh độ giao điểm (C) (C') x3  3x   x3  9x2  24x  15 Phương trình có hai nghiệm x  x  uuuu r * Khi x  ta N(1;1) Vì MN  (3;0) nên M(2;1) uuuu r * Khi x  ta N(2;5) Vì MN  (3;0) nên M(1;5) Ví dụ : Tìm (C) : y  x3  3x  hai điểm M ,N cho MN song song với trục hồnh MN  Phân tích hướng giải Giả thiết toán cho biết phương đường thẳng (MN) độ dài uuuu r MN khơng đổi Vì véc tơ MN xác định, sai khác hướng Lời giải r uuuu r r Vì MN song song với trục hồnh nên MN  k.i , với i  (1;0) véctơ đơn vị trục hoành uuuu r uuuu r r r Do MN  nên k  � k  �3 Nếu k  3 MN  3v � NM  3v Vì khơng cần xem xét thứ tự hai điểm M với N nên ta cần xét uuuu r r trường hợp MN  3.i  (3;0) Theo toán ta hai cặp điểm M(2;1) N(1;1) M(1;5) N(2;5) Ví dụ 3: Tìm điểm M thuộc  C  : y   d : 2x  cho khoảng cách từ M đến x y  x  bé Phân tích hướng giải Nhưng gọi H hình chiếu M lên đường thẳng (d) uuuu r r r HM  k.n  (k;k) , với n  (1;1) véc tơ pháp tuyến đường thẳng (d) Với k cố định ta cần dựng điểm H �(d) , điểm M �(C) cho M ảnh r H qua phép tịnh tiến theo véc tơ v(k;k) Lời giải uuuu r r Gọi H hình chiếu M lên đường thẳng (d) HM  k.n  (k;k) , với r n  (1;1) véc tơ pháp tuyến đường thẳng (d) r Gọi (d') ảnh (d) qua phép tịnh tiến Tvr với v  (k;k) Ta có phương trình (d') là: y  k  (x  k)  � y  x  2k  Vì M  Tvr (H) �Tvr (d)  (d') M thuộc (C) nên hoành độ M nghiệm phương trình: 2x    x  2k  � x2  2(k  2)x  4k   x ' k2 Phương trình có nghiệm �۳ 109 k Suy khoảng cách từ M đến (d) HM  k �1 Đẳng thức xảy xM  (ứng với k  1) xM  (ứng với k  ) Vậy, M(1;1) M(3;3) tọa độ cần tìm Ví dụ Chứng minh đồ thị y  x4  x2  có trục đối 2 xứng vng góc với trục Ox Lời giải Hàm số cho hàm số chẵn, nên Oy trục đối xứng đồ thị hàm số Giả sử x  m trục đối xứng khác đồ thị hàm số xét Với điểm M  x0;y0  thuộc đồ thị M ' x0 ';y0 ' điểm đối xứng với M qua đường thẳng x  m , tọa độ điểm M ' xác định � x0  x0 '  2m � �y0  y0 ' Vì M ' thuộc đồ thị hàm số, nên tọa độ nghiệm phương trình: y0 '  x04 '  2m  x0     2m  x0   2  x02 ' 2m  x0  Vì y0  y0 ' nên có: x0  x2      2m  x0   , x0 2 2 2 x2   2m  x0   2�� x2   2m  x0  � với x0 Tức � � � � �0 �� �0 � Nhận thấy, không tồn m để đẳng thức x02   2m  x0   với x0 Do vậy, x02   2m  x0   với x0 m  Vậy, x  trục đối xứng đồ thị hàm số CÁC BÀI TỐN LUYỆN TẬP Bài 1: Tìm m để (C) : y  x3  3x  dm : y  x  m cắt ba điểm M ,N mà có hai điểm cho MN  Bài 2: Tìm (C) : y  x3  3x  hai điểm M ,N cho MN song song với trục hoành MN lớn Bài 3: Cho hàm số y  x4  4x3  7x2  6x  4, có đồ thị  C  Chứng minh đường thẳng x  trục đối xứng đồ thị  C  ( Hoặc : Chứng minh đồ thị hàm số có trục đối xứng ; tìm phương trình trục đối xứng ? ) Bài 4: Tìm tham số m để đồ thị hàm số : y  x4  4x3  mx2 , có đồ thị  Cm  , có trục đối xứng song song với trục Oy 110 Dạng 2: Chứng minh đồ thị có tâm đối xứng Công thức tọa độ phép đối xứng tâm Trong mặt phẳng Oxy , cho điểm I(a;b) Gọi SI phép đối xứng tâm I Ta có M '(x';y') ảnh M(x;y) qua SI � x'  2a  x � x  2a  x' �� � y  2b  y' �y'  2b  y � Đường (C) : y  f(x) có ảnh qua đối xứng tâm SI (C) : 2b  y  f(2a  x) � y  f(2a  x)  2b Chứng minh đồ thị có tâm đối xứng Cách - Giả sử đồ thị  C  có tâm đối xứng I  x0;y0  uur � x  x0  X OI - Chuyển :  Oxy  ���  IXY   � �y  y0  Y - Viết phương trình  C  hệ tọa độ : Y  F  X;y0;x0    - Buộc cho   hàm số lẻ : ( Cho hệ số ẩn bậc chẵn ) - Giải hệ ( với hệ số ẩn bậc chẵn ) ta suy kết Cách Nếu đồ thị  C  nhận điểm I làm tâm đối xứng : f(x0  x)  f(x0  x)  2y0 với x Các ví dụ Ví dụ 1: Chứng minh đồ thị (C) : y  I(2;1) x có tâm đối xứng điểm x Lời giải Gọi (C') ảnh (C) qua phép đối xứng tâm SI (C') có phương trình [2�(2)  x]  x 2�1 y  � y [2�(2)  x]  x Do (C') trùng với (C) nên (C) có tâm đối xứng I(2;1) Chú ý: Thực phép tịnh tiến hệ trục tọa độ Oxy thành hệ trục tọa độ � x  X  xI IXY theo công thức � �y  Y  yI Viết phương trình (C) hệ trục tọa độ IXY chứng minh hàm số thu hàm số lẻ Ví dụ 111 Tìm tham số thực m để điểm I thuộc đồ thị  C  : y  x3  3mx2   m  2 x  nằm trục hoành Biết hoành độ điểm I nghiệm phương trình y''  Lời giải Hàm số cho xác định liên tục � Ta có : y'  3x2  6mx  m  y''  6x  6m y''  � x  m   Dễ thấy y'' đổi dấu x qua điểm x0   m Suy I  m;2m  m  2m  điểm uốn đồ thị cho   2 Vì I �Ox � 2m  m  2m   �  m  1 2m  m   � m  m  1 m  CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài 1: Chứng minh giao hai tiệm cận tâm đối xứng đồ thị y  x x x2 có tâm đối xứng , tìm tọa độ tâm đối xứng x1 Bài 2: Cho hàm số y  x3  3x2  1có đồ thị  C  Chứng minh y  Xác định điểm I thuộc đồ thị  C  hàm số cho , biết hoành độ điểm I nghiệm phương trình y''  uur Viết công thức chuyển hệ tọa độ phép tịnh tuyến theo vectơ OI viết phương trình đường cong  C  hệ IXY Từ suy I tâm đối xứng đường cong  C  Viết phương trình tiếp tuyến đường cong  C  điểm I hệ tọa độ Oxy Chứng minh khoảng  �;1 đường cong  C  nằm phía tiếp tuyến điểm I  C  khoảng  1;� đường cong  C nằm phía tiếp tuyến Bài 3: Cho hàm số y  x3   m  3 x2    3m x  2m có đồ thị  C m  , m tham số thực Gọi I điểm có hồnh độ nghiệm phương trình y''  Tìm tham số m để đồ thị hàm số có cực trị điểm I nằm trục Ox 112 Dạng 3: Tìm tham số m để đồ thị có tâm đối xứng Nếu f  x;m hàm số phân thức hữu tỷ : - Tìm tọa độ giao hai tiệm cận Giả sử giao hai tiệm cận J  a;b � a  x0 �m - Để I tâm đối xứng buộc J trùng với I ta suy hệ : � �b  y0 Nếu f  x;m hàm số bậc ba �y''(x;m)  �x  a �� � J  a;b - Tìm tọa độ điểm uốn : � � �y  f(x;m) �y  b - Tương tự , để I tâm đối xứng , ta cho J trùng với I ta suy hệ : � a  x0 �m � �b  y0 Các ví dụ 2m  x có đồ thị  C m  Tìm m�� để x m tồn điểm B cho tam giác ABI vng cân A Trong Ví dụ Cho hàm số y   Cm  A  0;1 I   m; 1 Lời giải uur Ta có: AI    m; 2 r � m  2b � � 2m  b � uuu Vì điểm B � C m  � B�b; �� AB  �b; � � m b � � m b � uuu r uur � AB  AI � AB.AI  � �� Tam giác ABI vuông cân A � � AB  AI AB2  AI � � � � m  2b �m  2b bm mb  0  1 � �m  b   m  b � � �� 2�� m  2b � � 2 � � bm � � m  4 b  � m   b   � � �  2 � �m  b � � � � � � � m2 � b2 2 1 � b  �2 ��  Từ  2 � m   b � � � � � m  m � m2  3m   � m  m  4 Nếu b  2  1 � m m  m � m2  3m   � m  1 Nếu b   1 � m m  113 Vậy m  �1, m  �4 giá trị cần tìm Ví dụ Cho hàm số y  x4  mx3  4x  m  Tìm tất tham số thực m để hàm số cho có 3cực trị A ,B,C trọng tâm G tam giác ABC 4x trùng với tâm đối xứng đồ thị hàm số y  4x  m Lời giải �m � 4x Đồ thị hàm số y  có tâm đối xứng I � ; 1� 4x  m �4 � Hàm số : y  x4  mx3  4x  m  , liên tục � Ta có : y'  4x3  3mx2  Hàm số cho có cực trị phương trình y'  có nghiệm phân biệt , hay phương trình 4x3  3mx2   có nghiệm phân biệt Xét hàm số g  x  4x3  3mx2  liên tục � lim g  x  �, lim g  x  � x�� x�� � x  0,g  0   � Ta có : g' x  12x  6mx � g' x  � � m �m � 16  m3 x  ,g � � � � �2 � g' x đổi dấu lần qua nghiệm g  x  có 3nghiệm phân biệt �m 0 � �2 � m  23 � �16  m  � � Giả sử A  x1;y1  ,B x2;y2  ,C  x3;y3  tọa độ cực trị thỏa mãn đề bài, �x m � 3m2x2 5m  3x  2 y  y� �  � 16 16 � � 3m2xi2 5m  3xi   2,yi '   i  1,2,3 16 �x  x  x3 y1  y  y � ; Vì G trọng tâm tam giác ABC , nên G � � 3 � � �x1  x2  x3 � m 5m G� ; x12  x22  x32   x1  x2  x3    2� � � 16 � � � yi     114 Do x1,x2 ,x3 nghiệm phương trình 4x3  3mx2   , theo định lý Vi� 3m x1  x2  x3  � et ta có � � x x  x x  x 3x1  �1 �x1  x2  x3 m  � � �� 9m2 � 2 x  x  x  x  x  x  x x  x x  x x      3 2 3 � 16 � �m � 9m 5m ;   2�và trọng tâm G tam giác ABC trùng với Khi G � �4 � 16 � � 4x tâm đối xứng đồ thị hàm số y  4x  m �m � �m � 9m4 5m G� ;    2��I � ; 1� �  m  4 9m3  36m2  144m  64  �4 � �4 � 162 � � � m  Vậy m  thỏa mãn đề Chú ý : Ngoài cách giải ta trình bày : Hàm số cho có cực trị phương trình y'  có nghiệm   phân biệt , nghĩa phương trình 4x3  3mx2   có nghiệm phân biệt Khi phương trình 4x3  x2  3m có nghiệm phân biệt khác Nói khác 4x3  đường thẳng y  3m cắt đồ thị hàm số h  x  , giao x2 điểm Đến dễ dàng CÁC BÀI TỐN LUYỆN TẬP Bài 1: Tìm m để hàm số y  x3  3x2  3mx  3m  có tâm đối xứng I  1;2 Tìm m để hàm số y  2x2   m  4 x  2m  x có tâm đối xứng I  2;1 x Bài 2: Tìm m để đồ thị hàm số y    3mx2  m I  1;0  m �0 có tâm đối xứng Bài 3: Cho hàm số y  x3  (3m  1)x2  2mx  m  có đồ thị (C m ) Tìm đồ thị (C 2) cặp điểm đối xứng qua O Tìm m để (C m ) tồn cặp điểm đối xứng qua Oy 115 Dạng 4: Lập phương trình đường cong đối xứng với đường cong qua điểm qua đường thẳng Phương trình phép đối xứng tâm Trong mặt phẳng Oxy , cho điểm I(a;b) Gọi SI phép đối xứng tâm I Ta có M '(x';y') ảnh M(x;y) qua SI khi: � x'  2a  x � x  2a  x' �� � y  2b  y' �y'  2b  y � r Đường (C) : y  f(x) có ảnh qua phép tịnh tiến theo véc tơ v (C') :2b  y  f(2a  x) � y  2b  f(2a  x) Phương trình phép đối xứng qua đường thẳng Trong mặt phẳng Oxy , cho đường thẳng () :Ax  By  C  0, A  B2  Gọi S phép đối xứng qua đường thẳng () Ta có M '(x';y') ảnh M(x;y) qua S � (Ax  By  C) � (Ax' By' C) x'  x  2A x  x' 2A � � 2 � � A B A  B2 �� � �y'  y  2B (Ax  By  C) �y  y' 2B (Ax' By' C) 2 � � � A B � A  B2 Lập phương trình đường cong đối xứng với đường cong qua điểm qua đường thẳng Cho đường cong  C  có phương trình y  f  x điểm M  x0;y0  (cho sẵn) 1.Lập phương trình đường cong  C' đối xứng với đường cong  C  qua điểm M Lập phương trình đường cong  C' đối xứng với đường cong  C  qua đừng thẳng d : y  kx  m Cách giải: Gọi N  x;y  thuộc  C  : y  f  x điểm - Gọi N' điểm đối xứng với N qua M : � x'  2x0  x  1 � N ' x';y' � C' � � �y'  2y0  y  2 � x  2x0  x' - Từ  1  2 ta có : � , Thay x,y tìm vào : y  f  x ,ta suy �y  2y0  y' y'  g  x';x0;y0  Đó phương trình đường cong  C' Gọi A  x;y  � C  � y  f(x);B x';y' � C' 116 - Nếu  C   C' đối xứng qua d A ,B đối xứng qua d : � �y' y � k� � � 1  1 kA B.kd  1 � �x' x � � �� �� I �d � �y' y  k �x  x' � b � � � � � �  2 Ở  1  2 k,b số biết Ta tìm cách khử x y  1  2 để phương trình có dạng y'  g  x' Đó phương trình  C' cần tìm Chú ý: Xét phép biến hình g : M  x,y  � M ’ x’;y’ Để tìm phương trình  C' ,ảnh  C  qua phép biến hình g , ta tính x y theo x’ y’ sau thay x, y vào phương trình  C  suy phương trình  C' Đặc biệt Cho  C  : y = f(x) * Nếu  C' f( -x) * Nếu  C' f(x) * Nếu  C' -x) * Nếu  C' = f(y) Các ví dụ đối xứng với  C  qua gốc tọa độ O phương trình  C' y = đối xứng với  C  qua trục hồnh độ phương trình  C' y = đối xứng với  C  qua trục tung độ phương trình  C' y = f( đối xứng với  C  qua đường thẳng y = x phương trình  C' : x Ví dụ : Lập phương trình đường cong  C' đối xứng với  C  : y  qua đường thẳng d : x  y   3x  x Lời giải Gọi A  x;y  thuộc  C  B x';y' thuộc  C' � x  x' x  � �I y  y' , kd  1 Gọi I trung điểm AB nên có: � kAB  x  x' �y  y  y' �I Nếu  C' đối xứng với  C  qua d , A B đối xứng qua d 117 �y  y'  1  1 � kA B.kd  1 � �y  y'  x  x' �y  x  y' x' � �� � �x  x' �� ;� � x  y  x' y'  I �d � �y  x   y' x' �x  x'  y  y'   � � 2 �y  x' 10 10 �� � x'   � y'  x   y'  y'  x' � 10 Vậy, phương trình hàm số  C' đối xứng với  C  y  x Ví dụ : Viết phương trình đường thẳng qua A(1;4) cắt (C) : y  x3  3x  ba điểm mà có hai ba điểm đối xứng qua A Lời giải Giả sử đường thẳng () qua A cắt (C) ba điểm mà có hai điểm M(x1;y1) , N(x2;y2) đối xứng qua A Ta có M ,N thuộc (C) M ,N đối xứng qua A nên chúng giao điểm (C) ảnh (C') (C) qua phép đối xứng SA Phương trình (C') 2�4  y  (2�1 x)3  3(2�1 x)  � y  x3  6x2  9x  Vì M ,N giao điểm (C) (C') nên x1,x2 nghiệm phương trình x3  3x   x3  6x2  9x  � 3x2  6x   Thực phép chia (x3  3x  2) cho (3x2  6x  1) ta �1 2� x3  3x   (3x2  6x  1)� x  � x  3� 3 �3 Vì M ,N thuộc (C) x1,x2 nghiệm phương trình 3x2  6x   nên � �1 2� �y1  (3x1  6x1  1)� x1  � x1  3� 3 � �3 � � �y  (3x2  6x  1) �1 x  � x  � � 2 � 3� 3 �3 � � y  x  � �1 3 � �y  x  �2 3 Suy phương trình đường thẳng () �(MN) y  x 3 Phương trình hồnh độ giao điểm (C) () x3  3x   Phương trình có ba nghiệm x  2,x  x 3 �2 118 x2  x  có đồ thị  C  Gọi  C' đồ thị đối x1 xứng với  C  qua điểm A  3;4 Tìm phương trình đồ thị  C' Ví dụ Cho hàm số : y  Lời giải Gọi M  x,y  � C  M ' x',y' � C' đối xứng qua đồ thị  C  qua điểm A  3;4 �x  x' 3 � � x   x' � �� Ta có � �y  y'  �y   y' � Thay vào đồ thị  C  :8  y'   Hay y'    x'    x'  x'2  11x' 31   x'  x' x'2  11x' 31  3x' x'2   x'  x' Vậy phương trình đồ thị  C' : y  Ví dụ Cho hàm số y  x2  3x  x2  3x   x  x mx  4m  , cho m hai giá trị m1 m2 Tìm hệ x m  thức liên hệ m1 m2 để hai đường cong C m   C m  suy từ đường nhờ phép tịnh tiến Lời giải mx  4m  m2  4m   m ,x �m x m x m Xét trường hợp m �1,m �3 y � x X m Công thức chuyển hệ tọa độ: � �y  Y  m Phương trình đường cong  C m  hệ tọa độ IXY là: Y  m m m2  4m  m2  4m  hay Y   X  m  m X  Phương trình C m  Phương trình C m  m2  4m1  hệ tọa độ I 1XY : Y  X  m2  4m2  hệ tọa độ I 2XY : Y  X Một hai đường cong  C   C  m1 m2 suy từ đường nhờ phép tịnh tiến khi: m12  4m1   m22  4m2  119 �  m1  m2   m1  m2  4  � m1  m2 m1  m2  Khi m1  1� m2  m2  Khi m1  � m2  m2  CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài 1:Lập phương trình đường cong  C' đối xứng với x2  x   C  : y  qua điểm I  1;1 x I  0;2 x4  C  : y   3x2  qua điểm 2 Bài 2:Lập phương trình đường cong  C' đối xứng với  C  : y  x  x  qua đường thẳng d : x  2y   x x2  x  2  C  : y  qua đường thẳng d : y  x  C  : y  2x(4  x) qua Ox Chứng minh  C  cắt  C' theo Elíp, viết phương trình E-Líp ? Bài 3: Gọi (C) đồ thị hàm số  y  x3  3x  Viết phương trình (C’) với u r (C’) ảnh (C) qua phép tịnh tiến vectơ u  (1;2) (C’) ảnh (C) qua phép đối xứng tâm I(-1;1) (C’) ành qua phép đối xứng trục (d) với (d) đường thẳng phương trình x = Bài 4: Cho hàm số y  x3  3ax2  bx  Tìm a,b để hàm số đạt cực trị điểm x  điểm có hồnh độ thỏa mãn phương trình y''  nằm đường cong y  2x3  11x2  6x  Cho hàm số y  x3  3ax2  2a2x  a2  b hai điểm A  2;1 , B 0; 2 Tìm a,b để đồ thị hàm số có điểm I có hồnh độ thỏa mãn phương trình y''  cho tứ giác ABOI hình bình hành ( O gốc tọa độ ) 120 ... suy hệ : � a  x0 �m � �b  y0 Các ví dụ 2m  x có đồ thị  C m  Tìm m�� để x m tồn điểm B cho tam giác ABI vuông cân A Trong Ví dụ Cho hàm số y   Cm  A  0;1 I   m; 1 Lời giải uur Ta... uuu Vì điểm B � C m  � B�b; �� AB  �b; � � m b � � m b � uuu r uur � AB  AI � AB.AI  � �� Tam giác ABI vuông cân A � � AB  AI AB2  AI � � � � m  2b �m  2b bm mb  0  1 � �m  b ... số y  x4  mx3  4x  m  Tìm tất tham số thực m để hàm số cho có 3cực trị A ,B,C trọng tâm G tam giác ABC 4x trùng với tâm đối xứng đồ thị hàm số y  4x  m Lời giải �m � 4x Đồ thị hàm số