ĐỀ HSG TOÁN 7(15 16)

PHÒNG GD & ĐT HẬU LỘC -*** ĐỀ CHÍNH THỨC Đề thi gồm 01 trang có 05 ĐỀ GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN MÔN TOÁN Năm học 2015 - 2016 Thời gian làm 150 phút Bài (4,0 điểm) Thực phép tính 212.35 − 46.92 255.73 − 6252.7 a) A = − 126 + 84.35 8753 + 59.143 b) Chứng minh đa thức P(x) = x2 + x - 2017 khơng thể có nghiệm ngun Bài (5,0 điểm) Tìm x biết: a) 7x+2 + 2.7x-1 =345 b) 2010 = 1005.161− x 4018 Tìm cặp số nguyên (x; y) thoả mãn: x2 + xy – 2y – 3x = Bài (4,0 điểm) Cho hàm số y=f(x)= − x (1) a) Tính f(2016) b) Cho điểm M(x0;y0) thuộc đồ thị hàm số (1) thỏa mãn biểu thức 5y +2 x =8 Xác định tọa độ điểm M Tìm số phương có ba chữ số biết chia hết cho 56 Bài (6,0 điểm) Cho tam giác ABC cân A Trên cạnh AB lấy điểm M, tia đối tia CA lấy điểm N cho AM + AN = 2AB a) Chứng minh rằng: BM = CN b) Chứng minh rằng: BC qua trung điểm đoạn thẳng MN c) Đường trung trực MN tia phân giác góc BAC cắt K Chứng minh rằng: KC ⊥ AC Bài (1,0 điểm) Tìm số tự nhiên a; b cho (2008.a + 3.b + 1).(2008a + 2008.a + b) = 225 HẾT Chú ý: - Giám thị không giải thích thêm - Học sinh khơng dùng máy tính HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ ĐÁP ÁN TỐN Giám khảo ý: 1) Trước chấm nên đọc để chắn hướng dẫn khơng có sai sót Hoặc sai sót điều chỉnh lại 2) Tổ chấm nên hội ý để thống số phương án chấm 3) Bài hình: thí sinh khơng vẽ hình khơng chấm điểm; vẽ sai hình ý khơng chấm điểm ý ý sau (có liên quan) thí sinh khơng chứng minh ý lại sử dụng kết ý sau trừ 50% số điểm ý (nếu đúng) 4) Thí sinh chứng minh làm ý khác đáp án mà giám khảo tự cho điểm thành phần với số điểm đạt tương ứng với đáp án Bài Nội dung đáp án 212.35 − 46.92 255.73 − 6252.7 a) A = + 126 + 84.35 8753 + 59.143 212.35 − 212.34 510.73 − 58.7 = 12 12 + 9 3 + + 212.34 (3 − 1) 58.7 (52 − 7) = 12 + (3 + 1) 59.73 (1 + 8) 18 17 = + = + = 5.9 30 b) Giả sử đa thức có nghiệm nguyên x = n Khi : n2 + n -2017 = nên n2 + n = 2017 ⇔ n(n + 1) = 2017 (*) n n + hai số nguyên liên tiếp nên n(n + 1) 2 Điểm 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 Do (*) khơng thể xảy ra, 2017 / 2 Chứng tỏ phương trình cho khơng có nghiệm ngun a) x+2 + 2.7x-1 =345 x −1 (7 + 2) = 345 x −1.345 = 345 x −1 = x −1 = x =1 Vậy x=1 b) 2010 = 1005.161− x 4018 0,5 0,5 0.5 0,5 2010 =1005.161−x 2.2 2.3 2.4 2.2009 1 2010 =1005.161−x 2.2 2 2010 1 ( ) =1005.161−x 2 2 1005 2008 =1005.161−x 4− 4x 2 2008 =1 2012 −4 x =1 2012 −4 x =0 x =503 0,5 0,5 0,5 Vậy x=503 2) Ta có: 0,5 x + xy − y − 3x = ⇒ xy − y + x − x = 0,5 ⇒ y ( x − 2) + x − x − x + = ⇒ y ( x − 2) + x( x − 2) − ( x − 2) = ⇒ ( x − 2)( y + x − 1) = 0,5 Do : x – x + y - ước Lập bảng: x- -5 -1 x + y -1 -1 -5 x -3 y -5 -5 Vậy cặp số nguyên (x; y) : ( -3; 3) , ( 1; -5), ( 3; 3), ( 7; -5) 0,5 0,5 a )f(2016)= − 2016 = −1344 b) +) M(x0;y0) thuộc đồ thị hàm số (1) ta có y0= − x0 0,5 +) M(x0;y0) thỏa mãn biểu thức 5y+2 x =8 ta có 5y0+2 x0 =8 Suy 5( − x0 )+2 x0 =8 hay − 10 x0 + x0 = 24 TH1: x0 ≥ : Ta có TH2: x0 < :Ta có -10x0+6x0=24 -4x0 = 24 x0 = -6(loại) -10x0-6x0=24 -16x0 =24 x0=- (Thỏa mãn) suy y0=1 0,5 KL:vậy M( − ;1) 0,5 b) gọi số phương : xyz với ≤ x ≤ ; ≤ y ; z ≤  xyz = k ( k ∈N ;l∈N ) ta có :   xyz = 56l : k2 = 56.l = 14l suy : l = 14h2 (1) với h ∈ N mặt khác 100 ≤ 56l ≤ 999 ⇒ ≤ l ≤ 17 (2) từ (1) (2) suy ra: h = l = 14 nên số phương phải tìm là: 784 a Chứng minh rằng: BM = CN Theo giả thiết, ta có: 2AB = AB + AB = AB + AM + BM AM + AN = AM + AC + CN ∆ ABC cân A ⇒ AB = AC Do đó, từ AM + AN = 2AB ⇒ BM = CN b) Chứng minh rằng: BC qua trung điểm đoạn thẳng MN MN x BC = I Qua M kẻ ME // AC (E ∈ BC) ∆ ABC cân A ⇒ ∠ABC = ∠ACB (1) Mà ME// AC nên ∠MEB = ∠ACB (2) Từ (1) (2) suy ∠MEB = ∠ABC ⇒ BME cân M ⇒ EM = BM = CN ⇒ ∆ MEI = ∆ NCI (g-c-g) ⇒ IM = IN Vậy: BC qua trung điểm MN c) Chứng minh rằng: KC ⊥ AN + K thuộc đường trung trực MN ⇒ KI ⊥ MN ⇒ ∆ IMK = ∆ INK( c.g.c) ⇒ KM = KN( hai cạnh tương ứng) (3) ˆ (*) ˆ = ACK + ∆ ABK = ∆ ACK (c-g-c) ⇒ KB = KC (4); ABK + Kết câu c/m câu a) BM = CN (5) 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0.5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 ˆ (**) ˆ = NCK + Từ (3), (4) (5) ⇒ ∆ BMK = ∆ CNK (c-c-c) ⇒ ABK ˆ = NCK ˆ = + Từ (*) (**) ⇒ ACK 1800 = 900 ⇒ KC ⊥ AN Theo đề ⇒ 2008a + 3b + 2008 + 2008a + b số lẻ Nếu a ≠ ⇒ 2008a + 2008a số chẵn để 2008a + 2008a + b lẻ ⇒ b lẻ Nếu b lẻ ⇒ 3b + chẵn 2008a + 3b + chẵn (không thoả mãn) Vậy a = Với a = ⇒ (3b + 1)(b + 1) = 225 Vì b ∈ N ⇒ (3b + 1)(b + 1) = 3.75 = 45 = 9.25 3b + không chia hết cho 3b + > b + 0,5 0,5 a 3b + = 25 ⇒ ⇒b=8 b + = 0,25 0,5 0,25 Vậy a = ; b = Hết ...HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ ĐÁP ÁN TOÁN Giám khảo ý: 1) Trước chấm nên đọc để chắn hướng dẫn khơng có sai sót Hoặc sai sót điều chỉnh... -5 x -3 y -5 -5 Vậy cặp số nguyên (x; y) : ( -3; 3) , ( 1; -5), ( 3; 3), ( 7; -5) 0,5 0,5 a )f(2 016)= − 2016 = −1344 b) +) M(x0;y0) thuộc đồ thị hàm số (1) ta có y0= − x0 0,5 +) M(x0;y0) thỏa mãn... (4) (5) ⇒ ∆ BMK = ∆ CNK (c-c-c) ⇒ ABK ˆ = NCK ˆ = + Từ (*) (**) ⇒ ACK 1800 = 900 ⇒ KC ⊥ AN Theo đề ⇒ 2008a + 3b + 2008 + 2008a + b số lẻ Nếu a ≠ ⇒ 2008a + 2008a số chẵn để 2008a + 2008a + b lẻ