So nguyen to hop so

chuyên đề Số NGUYÊN Tố - HợP số a- lý THUYếT i- Kiến thức bản: Ước bội: Nếu a b a la bội b b ớc a Số nguyên tố số tự nhiên lớn 1, có ớc Hợp số số tự nhiên lớn 1, có nhiều ớc (để chứng minh số tự nhiên a > hợp số, cần ớc khác a) Phân tích số thừa số nguyên tố viết số dới dạng 1000 tích thừa số nguyên tố (đặc biệt 14ns2è430 = 2n.5n), vÝ dô: 1000 = 23 II- Nâng cao: Cách xác định số lợng ớc số: Nếu số M phân tích thõa sè nguyªn tè M = a x by cz số lợng ớc M là: (x + 1) (y + 1) (z + 1) Phân tích số thừa số nguyên tố, số phơng cha thừa số nguyên tố với số mũ chẵn Từ suy ra: - Số phơng chia hết cho phải chia hết cho 22 - Số phơng chia hết cho 23 phải chia hết cho 24 - Số phơng chia hết cho phải chia hết cho 32 - Số phơng chia hết cho 33 phải chia hÕt cho 34 - Sè chÝnh ph¬ng chia hÕt cho phải chia hết cho 52 Tính chất chia hết liên quan đến số nguyên tố: Néu tích a.b chia hết cho số nguyên tố p a chia hÕt cho p hc b chia hÕt cho p Đặc biệt a n chia hết cho p th× a chia hÕt cho p III- chó ý: - Số số không số nguyên tố không hợp số Các số nguyên tố nhỏ 10 là: 2, 3, 5, - Số nguyên tố nhỏ 2, hai số nguyên tố chẵn - Để kết luận số a > số nguyên tố, ta cần chứng tỏ không chia hết cho số nguyên tố mà bình phơng không vợt a, tức p2 < a - Số nguyên tố có dạng: 6n + với n N* B- Các dạng tập: Dạng 1: Toán tìm số nguyên tố Dạng 2: Chứng minh số số nguyên tố hay hợp số I- Bài tập vận dụng dạng 1: Ví dụ 1: Tìm số nguyên tè p, cho p + vµ p + số nguyên tố Bài làm: Số p cã mét d¹ng: 3k; 3k + 1; 3k + víi (k ∈N*) - NÕu p = 3k p = (vì p số nguyên tố), ®ã p + = 5, p + = số nguyên tố - Nếu p = 3k + th× p +2 = 3k + chia hết cho > nên p + hợp số (trái với giả thiết) - NÕu p = 3k + th× p + = 3k + chia hÕt cho vµ > nên p + hợp số (trái với giả thiết) Ví dụ (Bài 4.2): Một số nguyên tố p chia cho 42 có số d r, r hợp số Tìm r Bài làm: Ta cã p = 42k + r = 2.3.7.k + r (k , r ∈N, < r < 42) V× p số nguyên tố nên r không chia cho hết 2, 3, Các hợp số < 42 không chia hết cho 9, 15, 21, 25, 27, 33, 35, 39 Loại số chia hết cho 3, số chia hết cho ta đợc r = 25 Vậy r = 25 II- Bài tập tự luyện dạng 1: Toán tìm số Bài tập 1: Tìm số nguyên tố p, cho số sau số nguyên tố: Bi 2.5 p + 94 p + 1994 Bài 2.10 a) p + 10 p + 14 b) p + 2, p + 6, p + 8, p + 14 B ài 4.11 a) p + vµ p + 10 b) p + 10 vµ p + 20 c) p + 2, p + 6, p + 8, p + 12, p + 14 Bài 5.1 p p +3 Bài 5.2 p + p +8 Bµi 6.1 a) 2p – 4p - b) 2p +1 4p +1 c) p +2, p + 8, p +14, p +26 d) p +2, p +8, 4p2 + Bµi 8.2 8p2+ vµ 8p2 – §Ị 11 3p2+ vµ 24p2 + §Ị 13 p2+ 14 §Ị 19 p + 6, p + 12, p + 34, p + 38 i) p2+ vµ p2 - Bài tập 3.1: Tìm tất số nguyên tố p q cho số 7p + q vµ pq + 11 còng lµ sè nguyên tố Bài tập 7.3: Tìm tất số nguyên tố p cho 4p + 11 số nguyên tố nhỏ 30 Đề (Bài5-Toán 7): Tìm cặp số nguyên tố p q cho 2p + 1997 = 52p +q2 Bµi 6.5: Tìm số nguyên dơng n để số A = n – n2 + n – lµ sè nguyên tố Tìm n thuộc N sau để M = (n - 2) (n2 + n - 1) lµ sè nguyên tố Đề 20(Câu 3a): Tìm tất số tự nhiên n để số sau số nguyªn tè n + 1, n + 3, n + 7, n + 9, n + 13, n + 15 Bài 8.6: Tìm số nguyên tố x, y, z thoả mãn phơng trình: xy + = z Bài 9.1: Tìm số nguyên tố x, y thoả mãn: 824.y 16x = 24 Bài 9.2: Tìm số nguyên tố x, y thoả mãn: 272.x = 11y + 29 Đề 17: Tìm số nguyên tố x, y thoả mãn: 59.x + 46.y = 2004 Đề 12: Tìm số nguyên tố x, y thoả mãn: 51.x + 26.y = 2000 Bài 9.3: Tìm số nguyên tè x, y tho¶ m·n: 690.x – 7.y = 3429 Đề 11: Tìm số nguyên tố x, y thoả m·n: 3x – 13 = y(x – 13) Bµi tËp 4.5: Tìm bốn số nguyên tố liên tiếp cho tổng chúng số nguyên tố Bài tập 4.8: Tìm hai số tự nhiên, cho tổng tích chúng số nguyên tố Bài tập 4.9: Tìm số nguyên tố có ba chữ số biết viết số theo thứ tự ngợc lại ta đợc số lập phơng số tự nhiên Bài 8.3: Tìm số nguyên tố p cho 2p + lập phơng số tự nhiên Bài tập 4.10: Tìm số tự nhiên có bốn chữ số, chữ số hàng nghìn chữ số hàng đơn vị, chữ số hàng trăm chữ số hàng chục, số viết đợc dới dạng tích ba số nguyên tố liên tiếp Bài tập 4.19: Tìm số nguyên tố, biết số tổng hai sè nguyªn tè, b»ng hiƯu cđa hai sè nguyªn tố Bài tập 4.38: Tìm số nguyên tố ab (a>b>0) cho ab - ba số phơng Đề 15: Tìm số nguyên tố có hai chữ số khác dạng ab cho ba số nguyên tố ab - ba số phơng Bài tập 9.8: Tìm số nguyên tố a, b, c cho abc = 3(a + b + c) Bài 2.11: Tìm số tự nhiên có chữ sè gièng cho chØ cã hai íc lµ số nguyên tố Toán phép chia Bài tập 4.17: Mét sè nguyªn tè chia hÕt cho 30 cã số d r Tìm r biết rằng: r không số nguyên tố Bài 1.1: Tìm số chia thơng phép chia biết số bị chia 1339 số chia số tự nhiên có hai chữ số Bài 1.3: Tìm số chia thơng mét phÐp chia biÕt sè bÞ chia b»ng 213, sè d 10 Đề 23: : Tìm số chia thơng phép chia biết số bị chia 145, d 12, thơng khác 1, số chia thơng số tự nhiên Bài 1.2 : Tìm số a biÕt r»ng 559 chia hÕt cho a vµ 20 < a < 100 III- Bài tập vận dụng dạng 2: Ví dụ (Bài 9.6): Chứng minh số sau hợp số: a) + 27 + 311+ 513 + 717 + 1119 b) 21123 + 23124 + 25125 c) 42525 - 3715 d) 195354 - 15125 Bài làm: Nhận xét: + Các chữ số cuối 1n + Các chữ số cuối cïng cđa 5n lµ víi n > + Các chữ số cuối 2 đợc lặp l¹i theo chu kú: 4k + m (víi k ∈N, m = 0, 1, 2, 3), tøc lµ: - n = 0, 4, 8, , 4k + cã chung chữ số cuối - n = 1, 5, 9, , 4k + cã chung ch÷ sè cuèi cïng lµ - n = 2, 6, 10, , 4k + cã chung ch÷ sè cuèi cïng lµ - n = 3, 7, 11, , 4k + có chung chữ số cuối + Các chữ số cuối n đợc lặp lại theo chu kỳ 4k + m (với k ∈N, m = 0, 1, 2, 3), tøc lµ: - n = 0, 4, 8, , 4k + cã chung chữ số cuối - n = 1, 5, 9, , 4k + cã chung ch÷ sè cuèi cïng lµ - n = 2, 6, 10, , 4k + cã chung ch÷ sè cuèi cïng lµ - n = 3, 7, 11, , 4k + có chung chữ số cuối + Các chữ số cuối n đợc lặp lại theo chu kỳ 4k + m (víi k ∈N, m = 0, 1, 2, 3), tøc lµ: - n = 0, 4, 8, , 4k + có chung chữ số cuối - n = 1, 5, 9, , 4k + cã chung chữ số cuối - n = 2, 6, 10, , 4k + cã chung ch÷ sè cuèi cïng lµ - n = 3, 7, 11, , 4k + cã chung ch÷ sè cuèi Vậy áp dụng điều ta cã: a) + 27 + 311+ 513 + 717 + 1119 có chữ số tận => + 27 + 311+ 513 + 717 + 1119 chia hết cho Vậy hợp số b) 21123 + 23124 + 25125 cã ch÷ sè tËn cïng lµ => 21123 + 23124 + 25125 chia hÕt cho Vậy hợp số 42525 - 3715 có chữ số tận c) => 42525 - 3715 chia hết cho Vậy hợp số d) 195354 - 15125có chữ số tận => 195354 - 15125chia hết cho Vậy hợp số Ví dụ 2: Bài 4.15: Cho biết p 8p - số nguyên tố, CMR: 8p + hợp số Bài làm: Ta xét trờng hợp: + Nếu p = => 8p - = 15 hợp số (loại 8p - số nguyên tố) + Xét p > - NÕu p = th× 8p - = 23 số nguyên tố, lúc đó: 8p + = = 25 hợp sè - Víi p > ta xÐt tÝch (8p - 1).8p.(8p+1)  mµ p vµ 8p - hai số nguyên tố nên (8p+ 1) 8p + hợp số 2) a) số nguyên tố > có dạng 4n + (n ∈N*) b) CMR mét sè nguyªn tè > có dạng 6n + (n N*) 2) a) Khi chia mét sè tù nhiªn A > cho đợc số d 0, 1, 2, Trờng hợp có số d A hợp số ta không xét, trờng hợp có số d Với trờng hợp số d 1, ta có A = 4n + Với trờng hợp số d 3, ta cã A = 4m + b) Khi chia số tự nhiên A cho ta cã c¸c sè d 0, 1, 2, 3.4, Trêng hỵp sè d 0, 2, 3, ta cã A nên A hợp số với trờng hợp d 1, A = 6n + Với trờng hợp số d 1, A = 6n + Với trờng hợp số d 5, A = 6m + = 6m + - = 6(m+1)-1 = 6n-2 (víi n = m+ 1) VÝ dô 3: CMR: NÕu 2n- (n > 2) 2n + hợp số Bài làm: Xét sè A = (2n-1) 2n (2n+1) A lµ tÝch cđa ba sè tù nhiªn liªn tiÕp nªn A  Mặt khác 2n - số nguyên tố (theo giả thiết) 2n không chia hết cho Vậy 2n+1 phải chia hết cho (đpcm) IV- Bài tập tự luyện dạng 2: Bài tập 9.7: Chứng minh số sau hợp số a) 1211 + 1317 + 1719 e) 108 + 107 + b) + 2323 + 2929 + 25125 f) 175 + 244- 1321 c) 4525 + 3715 g) 175 + 244 - 1321 d) 95354 + 51 25 Bµi 4.14: Cho p p + số nguyên tố (p > 3) Chứng minh p + hợp số Bµi 6.2: Cho p p + 10 số nguyên tố Chứng minh p + 32 hợp số Bµi 7.9: Cho p vµ 8p + số nguyên tố (p > 3) Chửựng minh 4p + hợp số Bµi 8.1: Cho p 2p + số nguyên tố (p 5) Chứng minh 4p + hợp số Bµi 8.2: Cho p 2p + số nguyên tè (p ≥ 5) Chứng minh 4p + hợp số Bµi tËp 2: a) Chøng minh r»ng: 111 12111 hợp số với n ≥ n sè n sè b) Chøng minh rằng: số 2001.2002.2003.2004 + hợp số Bài tập 3: Chứng tỏ p số nguyên tè > vµ 2p + còng lµ sè nguyên tố 4p + hợp số Bài tập 4: Cho p1 > p2 hai số nguyên tè liªn tiÕp Chøng minh r»ng p1 + p hợp số Bài tập 5: Cho p số nguyên tố lớn Biết p+2 số nguyên tố CMR: p+1 chia hết cho Bài tËp 6: Cho n > kh«ng chia hÕt cho Chøng minh r»ng hai sè n – n2 + đồng thời số nguyên tố Bài tập 7: Cho p số nguyên tè lín h¬n a) Chøng minh r»ng p cã dạng 6k + 6k + b) Biết 8p + số nguyên tố Chứng minh 4p + hợp số SO NGUYEN TO – HP SỐ PHÂN TÍCH MỘT SỐ RA THỪA SỐ NGUYÊN TỐ A/ LÝ THUYẾT: + Số nguyên tố số tự nhiên lớn có hai ước + Hợp số số tự nhiên lớn có nhiều hai ước + Để chứng tỏ số tự nhiên a > hợp số, cần ước khác a Chú ý: 10n = 10….0 = 2n.5n n chữ số + Cách xác đònh số lượng ước số: Khi phân tích M thừa số nguyên tố, ta có M = ax.by….cz ước M (x + 1)(y + 1)…(z + 1) + Nếu ab MP với P số nguyên tố a MP b MP Đặc biệt: Nếu an MP a MP B/ VÍ DỤ: Ví dụ 1: Cho A = + 52 + 53 +……+5100 a) Số A số nguyên tố hay hợp số? b) Số A có phải số phương không? Giải: a) Có A > 5; A M5 ( Vì số hạng chia hết cho 5) nên A hợp số b) Có 52 M25, 53 M25;… ;5100 M25, M25 nên A M25 Số A M5 A M25 nên A không số phương Ví dụ 2: Số 54 có ước Giải: Có: 54 = 33 Số ước 54 là: (1 + 1)(3 + 1) = 2.4 = ước Tập hợp ước 54 là: Ư(54) = { 1; 2;3;6;9;18; 27;54} Ví dụ 3: Tìm số nguyên tố p cho p + , p + số nguyên tố Giải: Vì p số nguyên tố nên p có ba daïng sau: 3k; 3k + 1; 3k + với k số tự nhiên Nếu p = 3k p = (Vì p số nguyên toá) => p + = 5; p + = số nguyên tố Nếu p = 3k + p + = 3k + chia hết cho lớn nên p + hợp số, trái với đề Nếu p = 3k + p + = 3k + chia hết cho lớn nên p + hợp số, trái với đề Vậy p = số nguyên tố cần tìm C/ BÀI TẬP: 1) Tổng số nguyên tố 1012 Tìm số nhỏ ba số đó? 2) Tổng hai số nguyên tố 2003 hay không? 3) Tìm số nguyên tố p, cho số sau số nguyên tố a) p + p + 10 b) P + 10 vaø p + 20 4) Cho p số nguyên tố lớn Biết p + số nguyên tố Chứng minh p + 1chia hết cho 5) Cho p p + số nguyên tố (p > 3).Chứng minh p + hợp số 6) Cho a, n ∈ N*, biết an M5 Chứng minh: a2 + 150 M25 Giải: 1) Tổng số nguyên tố 1012 số chẳn nên ba số nguyên tố phải có số chẳn số số số nhỏ ba số nguyên tố cho 2) Tổng hai số nguyên tố 2003 số lẽ nên hai số nguyên tố phải số số thứ hai là: 2003 – = 2001 chia hết hợp số Vậy không tồn tai hai số nguyên tố có tổng 2003 3) a/ Vì p số nguyên tố nên p có ba dạng sau: 3k; 3k + 1; 3k + với k số tự nhiên Nếu p = 3k p = (Vì p số nguyên tố) => p + = 5; p + 10 = 13 số nguyên tố Nếu p = 3k + p + = 3k + chia heát cho lớn nên p + hợp số, trái với đề Nếu p = 3k + p + 10 = 3k + 12 chia hết cho lớn nên p + 10 hợp số, trái với đề Vậy p = số nguyên tố cần tìm b/ Vì p số nguyên tố nên p có ba daïng sau: 3k; 3k + 1; 3k + với k số tự nhiên Nếu p = 3k p = (Vì p số nguyên tố) => p + 10 = 13; p + 20 = 23 số nguyên tố Nếu p = 3k + p + 20 = 3k + 21 chia hết cho lớn nên p + 20 hợp số, trái với đề Nếu p = 3k + p + 10 = 3k + 12 chia hết cho lớn nên p + 10 hợp số, trái với đề Vậy p = số nguyên tố cần tìm 4) Do p số nguyên tố lớn nên p lẽ, => p + số chẵn nên p + M2 (1) p số nguyên tố lớn nên có dạng 3k + 3k + (k ∈ N) Dạng p = 3k + không xãy Dạng p = 3k + cho ta p + = 3k + M3 (2) Từ (1) (2) suy p + M6 5) p số nguyên tố lớn nên p có dạng 3k + 3k + (k ∈ N) Nếu p = 3k + p + = 3k + chia hết hợp số, trái với đề Vậy p có dạng 3k + p + = 3k + chia hết p + hợp số 10 6) Có anM5 mà số nguyên tố nên a M5 => a2 M25 Mặt khác 150 M25 neân a2 + 150 M25 11 ... bình phơng không vợt a, tức p2 < a - Số nguyên tố có dạng: 6n + với n N* B- Các dạng tập: Dạng 1: To n tìm số nguyên tố Dạng 2: Chứng minh số số nguyên tố hay hợp số I- Bài tập vận dụng dạng 1:... Loại số chia hÕt cho 3, c¸c sè chia hÕt cho ta đợc r = 25 Vậy r = 25 II- Bài tập tự luyện dạng 1: To n tìm số Bài tập 1: Tìm số nguyên tố p, cho số sau số nguyên tố: Bi 2.5 p + 94 p + 1994 Bài 2.10... + 11 số nguyên tố Bài tập 7.3: Tìm tất số nguyên tố p cho 4p + 11 số nguyên tố nhỏ 30 Đề (Bài5 -To n 7): Tìm cặp số nguyên tố p q cho 2p + 1997 = 52p +q2 Bài 6.5: Tìm số nguyên dơng n để số A